Как найти уравнение сторон диагонали

Формулы параллелограмма

Для расчёта всех основных параметров параллелограмма воспользуйтесь калькулятором.

Признаки и свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллельны и равны.
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
4. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°
5. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон
6. Сумма углов параллелограмма равна 360°
7. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
8. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
9. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Формулы стороны параллелограмма

Длины сторон через диагонали и угол между ними

Длина стороны через диагонали и известную сторону

Длины сторон через высоты и угол между сторонами

Формулы диагоналей параллелограмма

Длина диагонали через стороны и углы между ними

Длина диагонали через стороны и известную диагональ

Длина диагонали через площадь параллелограмма, известную диагональ и угол между диагоналями

Формулы углов параллелограмма

Косинус острого угла

Косинус тупого угла

Синус острого и тупого угла через площадь и стороны параллелограмма

Формулы углов между диагоналями параллелограмма

Косинус острого угла через стороны и диагонали

Косинус тупого угла через стороны и диагонали

Синус острого и тупого угла через площадь и диагонали

Задача 43087 уравнения двух сторон параллелограмма x.

Условие

уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 2 = 0 и x + y-4= 0, а уравнения одной из его диагоналей x-2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать рисунок. Прошу решите

Решение

[b](10;-6)[/b] — координата вершины А

Так как точка А не принадлежит диагонали x-2=0

то диагональ пересекается со сторонами x + 2y + 2 = 0 и x + y–4= 0

Середина ВС — точка О

Так как О- середина AD, то координаты точки D легко найти из формул середины отрезка DA

[b]D(-6;6)[/b]

Как найти уравнения сторон параллелограмма

Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х+3у+1=0, 2х+у-1=0 и уравнение одной из его диагоналей 3х+2у+3=0. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

Выразим у:

Мы видим, что в уравнениях сторон коэффициенты при х не равны, значит прямые, определяемые этими уравнениями, не параллельны. То есть пересекаются, образуя одну из вершин. Пусть это будет вершина А. И пусть первое уравнение – сторона АВ, второе – А D .

Для нахождения точки А приравняем эти два уравнения:

А(-2;5)

Мы видим, что уравнение 3х+2у+3=0 задает диагональ BD . Поэтому, приравняв сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения, найдем соответственно точки D и В.

Итак В (1;-3) D (5;-9)

Как известно в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть коэффициенты k при х равны. Поэтому для сторон ВС и CD остаются неизвестными только свободные члены d . Найдем их, подставив в уравнения прямых их известные точки D и В соответственно:

Теперь для нахождения точки С приравняем уравнения сторон BC и CD

С(8;-17)

Найдем концы диагоналей квадрата:

$$x=0$$

$$5*0+4у-20=0$$

$$y=5$$

$$y=0$$

$$5x+4*0-20=0$$

$$x=4$$

Следовательно, т. $%A(0; 5)$%, $%C(4; 0)$%
Найдем угловой коэффициент прямой:
$$5x+4y-20=0$$
$$4y=20-5x$$
$$y=-5/4 x+20$$
$$k_1=-5/4$$
$$(k_1-k_2)/(1+k_2 k_2 )=1$$
$$(-5/4-k_2)/(1-5/4 k_2 )=1$$
$$-5/4-k_2=1-5/4 k_2$$
$$k_2=9$$

Составим уравнение первой стороны квадрата проходящую через точку $%А(0; 5)$%

$$y-y_0=k(x-x_0 )$$
$$y-5=9(x-0)$$
$$y-5=9x$$
$$y=9x+5-AD $$

уравнение первой стороны квадрата
Составим уравнение стороны квадрата перпендикулярное стороне AD. Найдем угловой коэффициент

$$-5/4-k_2=-1+5/4 k_2$$
$$k_2=-1/9$$

Составим уравнение первой стороны квадрата проходящую через точку А(0; 5)
$$y-y_0=k(x-x_0 )$$
$$y-5=-1/9 (x-0)$$
$$y-5=-1/9 x$$
$$y=-x/9+5-AB$$

уравнение второй стороны квадрата
Найдем уравнение третьей стороны квадрата из условия параллельности сторон AD и BC через точку $%С(4; 0)$%
$$-y+9x+5=0$$
$$9(x-4)-1(y-0)=0$$
$$9x-y-36=0-BC$$

уравнение третьей стороны квадрата
Найдем уравнение третьей стороны квадрата из условия параллельности сторон AB и CD через точку $%С(4; 0)$%
$$-y-x/9+5=0$$
$$-1/9 (x-4)-1*(y-0)=0$$
$$-x/9-y+4/9=0-CD$$

mashkama
Преобразуем уравнение диагонали [math][BD][/math] к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

[math]x+3y-3=0~Rightarrow~y=-frac{1}{3}x+1.[/math]

Диагональ [math][AC][/math] перпендикулярна диагонали [math][BD][/math] и проходит через точку [math]A.[/math] Значит, угловой коэффициент диагонали [math][AC][/math] равен [math]k_{AC}=-frac{1}{k_{BD}}=-frac{1}{-frac{1}{3}}=3,[/math] а её уравнение находится следующим образом:

[math]y-y_A=k_{AC}(x-x_A),~y-0=3(x-(-2)),~y=3x+6,[/math] или [math]3x-y+6=0.[/math]

Найдём координаты центра квадрата, решив совместно уравнения диагоналей:

[math]-frac{1}{3}x+1=3x+6~Rightarrow~frac{10}{3}x=-5,~x=-frac{15}{10}=-frac{3}{2},[/math]

[math]y=-frac{1}{3}bigg(-frac{3}{2}bigg)+1=frac{1}{2}+1=frac{3}{2}.[/math]

Центр квадрата находится в точке [math]Ebigg(-frac{3}{2};~frac{3}{2}bigg).[/math]

Попробуйте дальше продолжить сами. Например, чтобы найти координаты точки [math]C,[/math] можно воспользоваться тем, что точка [math]E[/math] делит отрезок [math][AC][/math] пополам. А можно найти расстояние [math]|AE|,[/math] составить уравнение окружности с центром в точке [math]E[/math] и радиусом [math]R=|AE|,[/math] а затем найти точки пересечения этой окружности с прямыми [math](AC)[/math] и [math](BD).[/math]