Как найти уравнение вписанной окружности

Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник, стороны которого лежат на прямых x = 0, y = 0 и 3x + 4y – 12 = 0.

найдем координаты вершин треугольника, решив следующие системы уравнений:

Этот треугольник прямоугольный, так как прямые x = 0 и y = 0 перпендикулярны. Пусть r – радиус вписанной окружности в треугольник, S – площадь треугольника, p – полупериметр треугольника. Тогда

и .

Так как окружность касается прямых x = 0 и y = 0, то координаты центра окружности – (r; r) или (1; 1).

Итак, искомое уравнение окружности (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

a , b , c – стороны треугольника

p – полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

a – сторона треугольника

r – радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

a – равные стороны равнобедренного треугольника

b – сторона ( основание)

α – угол при основании

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

a – равные стороны равнобедренного треугольника

b – сторона ( основание)

h – высота

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Фигура	Рисунок	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-09-24-00-40-48

http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolrost.htm

[/spoiler]

Источник

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Для этого надо сначала составить уравнения биссектрис треугольника и найти точку их пересечения.

Пример.

Дан треугольник ABC с вершинами в точках A(0;-3), B(12;-12) и C(3,36;-0,48).

1) Найти точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

2) Найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

3) Составить уравнение вписанной в треугольник ABC окружности.

Решение:

1) Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

Уравнение прямой, проходящей через две точки можно искать, например, в виде

$[ frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }} ]$

Для прямой AB

$[frac{{y - ( - 3)}}{{ - 12 - ( - 3)}} = frac{{x - 0}}{{12 - 0}}, ]$

Уравнение прямой AC:

$[frac{{y - ( - 3)}}{{ - 0,48 - ( - 3)}} = frac{{x - 0}}{{3,36 - 0}},]$

Уравнение прямой BC:

$[ frac{{y - ( - 12)}}{{ - 0,48 - ( - 12)}} = frac{{x - 12}}{{3,36 - 12}},]$

Составим уравнение биссектрисы треугольника ABC, исходящей из угла B. Она образована прямыми AB и BC:

$[ frac{{3x + 4y + 12}}{{sqrt {3^2 + 4^2 } }} = pm frac{{4x + 3y - 12}}{{sqrt {4^2 + 3^2 } }}, ]$

откуда уравнения биссектрис угла B: x-y-24=0 или x+y=0. Чтобы понять, которое из двух уравнений является биссектрисой внутреннего угла треугольника, следует подставить в уравнения координаты точек A и C. Поскольку они лежат по разные стороны от биссектрисы внутреннего угла B, то подстановка их координат в уравнение биссектрисы даёт числа разных знаков.

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x-y-24=0: 0-(-3)-24<0; 3,36-(-0,48)-24<0. Получили числа одного знака, значит это уравнение не является биссектрисой внутреннего угла треугольника.

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x+y=0: 0+(-3)<0, 3,36+(-0,48)>0. Получили числа разных знаков, x+y=0 — биссектриса угла B треугольника ABC.

Составим уравнение биссектрисы угла C. Угол C образован прямыми AC и BC, откуда

$[frac{{3x - 4y - 12}}{{sqrt {3^2 + ( - 4)^2 } }} = frac{{4x + 3y - 12}}{{sqrt {4^2 + 3^2 } }},]$

уравнения биссектрис угла C: 7x-y-24=0 и x+7y=0.

A(0;-3), B(12;-12) в 7x-y-24=0: 7·0-(-3)-24<0, 7·12-(-12)-24>0. Получили числа разных знаков, значит 7x-y-24=0 — уравнение биссектрисы внутреннего угла C.

Поскольку все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, третью биссектрису находить не требуется.

Точку пересечения биссектрис углов B и C найдём из системы уравнений

$[left{ begin{array}{l} x + y = 0, \ 7x - y - 24 = 0, \ end{array} right.]$

O(3;-3) — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

2) Радиус вписанной в треугольник ABC окружности можно найти как расстояние от точки O до прямой AB, BC или AC. Найдем, например, расстояние от O до AB:

$[ r = left| {OF} right| = frac{{left| {3 cdot 3 + 4 cdot ( - 3) + 12} right|}}{{sqrt {4^2 + 3^2 } }} = frac{9}{5}. ]$

3) Чтобы найти уравнение вписанной в треугольник ABC окружности, в уравнение окружности подставляем координаты центра O(3;-3) и r=9/5:

$[(x - 3)^2 + (y - ( - 3))^2 = (frac{9}{5})^2 ,]$

$[(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = frac{{81}}{{25}}.]$

Источник

Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (J_A,J_B,J_C), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон^[en]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника.
Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла^[en] и биссектрис двух других внешних углов^[en]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему^[en]^[1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника[править | править код]

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника^[2].

Вписанная окружность[править | править код]

Пусть имеет вписанную окружность радиуса r с центром I.
Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB.
Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда
является прямым.
Тогда радиус C’I будет высотой треугольника
.
Таким образом,

имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна
${tfrac {1}{2}}cr$ .
Подобным же образом

имеет площадь
${tfrac {1}{2}}br$
и

имеет площадь ${tfrac {1}{2}}ar$ .
Поскольку эти три треугольника разбивают , получаем, что

${displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,}$

где Delta — площадь , а ${displaystyle p={frac {1}{2}}(a+b+c)}$ — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен ${displaystyle rcdot mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}}$ . То же самое верно для . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

${displaystyle Delta =r^{2}cdot (mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle B}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle C}{2}})}$

Вневписанные окружности[править | править код]

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен $r_{c}$ , а её центр — $I_{c}$ . Тогда $I_{c}G$ является высотой треугольника $triangle ACI_{c}$ ,
так что $triangle ACI_{c}$ имеет площадь ${tfrac {1}{2}}br_{c}$ . По тем же причинам
$triangle BCI_{c}$
имеет площадь
${tfrac {1}{2}}ar_{c}$ ,
а $triangle ABI_{c}$
имеет площадь
${tfrac {1}{2}}cr_{c}$ .
Тогда

${displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}}$

Таким образом, ввиду симметрии,

${displaystyle Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}}$

По теореме косинусов получаем

$cos A={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Комбинируя это с тождеством $sin ^{2}A+cos ^{2}A=1$ , получим

$sin A={frac {sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$

Но $Delta ={tfrac {1}{2}}bcsin A$ , так что

${displaystyle {begin{aligned}Delta &={frac {1}{4}}{sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\&={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\&={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},end{aligned}}}$

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с , получим

${displaystyle r^{2}={frac {Delta ^{2}}{p^{2}}}={frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$

Аналогично, ${displaystyle (p-a)r_{a}=Delta }$ даёт

${displaystyle r_{a}^{2}={frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}}$

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:^[3]

$Delta ={sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно ${frac {pi }{3{sqrt {3}}}}$ , и равенство достигается только на правильных треугольниках^[4].

Связанные построения[править | править код]

Окружность девяти точек и точка Фейербаха[править | править код]

Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек^[5].

Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них – точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник и точка Жергонна[править | править код]

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔT_aT_bT_c) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах.
Эти вершины обозначим T_A, и т. д..
Точка T_A лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга^[en] с выколотым центром^[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова^[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

вершина $A=0:sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)$
вершина $B=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)$
вершина $C=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):0$

Трилинейные координаты точки Жергонна

$sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)$

или, эквивалентно, по теореме синусов,

${frac {bc}{b+c-a}}:{frac {ca}{c+a-b}}:{frac {ab}{a+b-c}}$

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля[править | править код]

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами T_A, T_B и T_C, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка X_A противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника T_AT_BT_C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые AT_A, BT_B и CT_C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

вершина $A=0:csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)$
вершина $B=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)$
вершина $C=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):0$

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

$csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)$

или, эквивалентно, по теореме синусов,

${frac {b+c-a}{a}}:{frac {c+a-b}{b}}:{frac {a+b-c}{c}}$

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников[править | править код]

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

вершина
вершина
вершина

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

вершина
вершина
вершина

Уравнения окружностей[править | править код]

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos²(A/2), v = cos²(B/2), w = cos²(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов^[8]:

Вписанная окружность:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0$

$pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0$

A-внешневписанная:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0$

$pm {sqrt {-x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0$

B-внешневписанная:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0$

$pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {-y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0$

C-внешневписанная:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0$

$pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {-z}}cos {frac {C}{2}}=0$

Другие свойства вписанной окружности[править | править код]

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности[править | править код]

Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника^[9].

Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника^[10].

Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус^[11]

$r={sqrt {frac {xyz}{x+y+z}}}$

и площадь треугольника равна

Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть h_a, h_b и h_c, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть

$r={frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.$

Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен^[1]

$rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.$

Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей^[12]:

$ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.$

Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна^[13].

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

Теорема Эйлера[править | править код]

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике^[10]:

$(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},$

где R и r_in являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

$(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},$

где r_ex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей^[15]^[16]^[17]

Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением^[18]

$OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),$

${displaystyle OI^{2}={frac {abc,}{a+b+c}}left[{frac {abc,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}$

Аналогично для второй формулы:

$d^{2}=R(R+2r_{ex}).$

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно^[18]

$IN={frac {1}{2}}(R-2r)<{frac {1}{2}}R.$

Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны^[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания T_A и T_C,

$BT_{A}=BT_{C}={frac {BC+AB-AC}{2}}.$

Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим^[20]

${frac {IAcdot IA}{CAcdot AB}}+{frac {IBcdot IB}{ABcdot BC}}+{frac {ICcdot IC}{BCcdot CA}}=1$

и^[21]

$IAcdot IBcdot IC=4Rr^{2}.$

Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности^[10].

Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ‘, b ‘ и c ‘, при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

$aa^{prime }+bb^{prime }+cc^{prime }=2K.$

Другие свойства вневписанных окружностей[править | править код]

Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r_a, r_b, r_c^[12]:

$r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,$

$r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},$

$r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},$

Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R^[12].

Если H — ортоцентр треугольника ABC, то^[12]

$r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,$

$r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.$

Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника J_AJ_B,J_C,

где J_AJ_B,J_C — центры вневписанных окружностей^[10].

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].
Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей^[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония[править | править код]

Определение окружности Аполлония[править | править код]

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок)^[23].

Радиус окружности Аполлония[править | править код]

Радиус окружности Аполлония равен ${frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$ , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника^[24].

Определение точки Аполлония Ap[править | править код]

Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A’ , B’ и C’ есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA’ , BB’ и CC’ пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение[править | править код]

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника^[25].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника^[25].

Обобщение на другие многоугольники[править | править код]

Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то

{displaystyle AB+BC=AD+DCquad Leftrightarrow quad AE+EC=AF+FC.}

См. также[править | править код]

Вневписанная окружность
Внеописанный четырёхугольник
Вписанная окружность
Вписанные и описанные фигуры для треугольника
Вписанное коническое сечение^[en]
Вписанная сфера
Высота треугольника
Замечательные точки треугольника
Инцентр или Центр вписанной окружности
Окружность
Описанная окружность
Описанный четырёхугольник
Ортоцентр
Степень точки относительно окружности
Теорема Мансиона
Теорема о трезубце
Теорема Тебо 2 и 3
Теорема Харкорта
Точки Аполлония
Степень точки относительно окружности
Центр Шпикера
Центроид
Центроид треугольника
Эллипс Мандарта
Эллипс Штейнера

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. 189, #298(d).
↑ H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2. — Wiley, 1961..
↑ Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
↑ D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
↑ С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
↑ William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books).
↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
↑ ¹ ² ³ ⁴ А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
↑ Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
↑ ¹ ² ³ ⁴ Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141-146..
↑ ¹ ² Мякишев, 2002, с. 11, п. 5.
↑ Roger Nelson. Euler’s triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58-61.
↑ R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
↑ ¹ ² ³ William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 231–236..
↑ Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March. — С. 161-165..
↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175-182.
↑ Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187-195..
↑ ¹ ² В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.

Литература[править | править код]

Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.
Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

Ссылки[править | править код]

Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
Weisstein, Eric W. Incircle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Сайты с интерактивным содержанием[править | править код]

Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
Five Incircles Theorem at cut-the-knot
Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
An interactive Java applet for the incenter

Источник

Автор

Сообщение

Заголовок сообщения: Уравнение вписанной в треугольник окружности

Добавлено: 10 дек 2011, 19:27

Начинающий

Зарегистрирован:
10 дек 2011, 17:45
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Здравствуйте!!! Задача следующая:
Даны координаты вершин треугольника: А(10;3) В(-6;15) С(1;-9).
Сделать чертёж и найти:
1) длины и уравнения сторон треугольника;
2) уравнение высоты АD;
3) уравнение медианы СМ;
4) уравнение вписанной окружности.

В этой задаче не могу найти только уравнение вписанной окружности, пожалуйста помогите))

Вернуться к началу

bober	Заголовок сообщения: Re: Уравнение вписанной в треугольник окружности Добавлено: 10 дек 2011, 19:55
	Спасибо)) Но по этой ссылке не могу найти, то что мне нужно – это координаты центра окружности и её радиус. Подскажите как их найти?
Вернуться к началу

bober	Заголовок сообщения: Re: Уравнение вписанной в треугольник окружности Добавлено: 10 дек 2011, 20:26
	Я знаю об этом)) Знаю, как найти медиану, она делит сторону пополам, а вот биссектриса, как найти координаты второй точки – не доходит и точки их пересечения.
Вернуться к началу

bober	Заголовок сообщения: Re: Уравнение вписанной в треугольник окружности Добавлено: 11 дек 2011, 19:02

Вернуться к началу

bober	Заголовок сообщения: Re: Уравнение вписанной в треугольник окружности Добавлено: 12 дек 2011, 11:35
	Уравнения сторон у меня получились вот такие: АВ: 3х+4у-42=0 ВС: 24х+7у-39=0 АС: 4х-3у-31=0
Вернуться к началу

bober	Заголовок сообщения: Re: Уравнение вписанной в треугольник окружности Добавлено: 14 дек 2011, 10:24

Вернуться к началу