Как найти уравнение всех высот в треугольнике - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

$[left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot 5 + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{43}}{4}.]$

Таким образом, уравнение прямой BC —

$[y = - frac{{11}}{4}x + frac{{43}}{4}.]$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{{11}}{4}}} = frac{4}{{11}}.]$

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

$[y = frac{4}{{11}}x + b.]$

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

$[2 = frac{4}{{11}} cdot ( - 7) + b, Rightarrow b = frac{{50}}{{11}}.]$

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

$[y = frac{4}{{11}}x + frac{{50}}{{11}}.]$

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

$[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ - 3 = k cdot 5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{11}}{{12}}.]$

Уравнение прямой AB:

$[y = - frac{5}{{12}}x - frac{{11}}{{12}}.]$

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{5}{{12}}}} = frac{{12}}{5} = 2,5.]$

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

$[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{29}}{4}.]$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{frac{3}{4}}} = - frac{4}{3}.]$

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

$[y = - frac{4}{3}x + b.]$

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

$[- 3 = - frac{4}{3} cdot 5 + b, Rightarrow b = frac{{11}}{3}.]$

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

$[y = - frac{4}{3}x + frac{{11}}{3}.]$

Источник

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Источник

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Другие решения по аналитической геометрии на плоскости

Понравилось? Добавьте в закладки

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, – 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Не получаются задачи? Решим быстро и подробно!

Источник

Пример решения
некоторых заданий из типовой работы
«Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины
,

треугольника АВС. Найти:

Уравнения всех
сторон треугольника;
Систему линейных
неравенств, определяющих треугольник
АВС;
Уравнения высоты,
медианы и биссектрисы треугольника,
проведенных из вершины А;
Точку пересечения
высот треугольника;
Точку пересечения
медиан треугольника;
Длину высоты,
опущенной на сторону АВ;
Угол А;
Сделать чертеж.

Решение:

Пусть вершины
треугольника имеют координаты: А
(1; 4), В
(5; 3), С
(3; 6). Сразу нарисуем чертеж:

1. Чтобы выписать
уравнения всех сторон треугольника,
воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через две заданные точки с
координатами (x₀,
y₀)
и (x₁,
y₁):

Таким образом,
подставляя вместо (x₀,
y₀)
координаты точки А,
а вместо (x₁,
y₁)
координаты точки В,
мы получим уравнение прямой АВ:

Полученное уравнение
будет уравнением прямой АВ,
записанным в общей форме. Аналогично
находим уравнение прямой АС:

И так же уравнение
прямой ВС:

2. Заметим, что
множество точек треугольника АВС
представляет собой пересечение трех
полуплоскостей, причем каждую полуплоскость
можно задать с помощью линейного
неравенства. Если мы возьмем уравнение
любой из сторон ∆АВС,
например АВ,
тогда неравенства

задают точки,
лежащие по разные стороны от прямой АВ.
Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где
лежит точка С. Подставим ее координаты
в оба неравенства:

и
.

Правильным будет
второе неравенство, значит, нужные точки
определяются неравенством

Аналогично поступаем
с прямой ВС, ее уравнение
.
В качестве пробной используем точку А
(1, 1):

значит, нужное
неравенство имеет вид:

Если проверим
прямую АС (пробная точка В), то получим:

значит, нужное
неравенство будет иметь вид

Окончательно
получаем систему неравенств:

Знаки «≤», «≥»
означают, что точки, лежащие на сторонах
треугольника, тоже включены во множество
точек, составляющих треугольник АВС.

3. а) Для того, чтобы
найти уравнение высоты, опущенной из
вершины А на
сторону ВС,
рассмотрим уравнение стороны ВС:

.
Вектор с координатами

перпендикулярен стороне ВС
и, значит, параллелен высоте. Запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку А
параллельно вектору
:

Это уравнение
высоты, опущенной из т. А
на сторону ВС.

б) Найдем координаты
середины стороны ВС
по формулам:

Здесь

– это координаты т. В,
а

– координаты т. С.
Подставим и получим:

Прямая, проходящая
через эту точку и точку А
является искомой медианой:

в) Уравнение
биссектрисы мы будем искать, исходя из
того, что в равнобедренном треугольнике
высота, медиана и биссектриса, опущенные
из одной вершины на основание треугольника,
равны. Найдем два вектора

и

и их длины:

Тогда вектор

имеет такое же направление, что и вектор
,
а его длина

Точно так же единичный вектор

совпадает по направлению с вектором

Сумма векторов

есть вектор, который
совпадает по направлению с биссектрисой
угла А.
Таким образом, уравнение искомой
биссектрисы можно записать виде:

4) Уравнение одной
из высот мы уже построили. Построим
уравнение еще одной высоты, например,
из вершины В.
Сторона АС
задается уравнением

Значит, вектор

перпендикулярен АС,
и, тем самым, параллелен искомой высоте.
Тогда уравнение прямой, проходящей
через вершину В
в направлении вектора

(т. е. перпендикулярно АС),
имеет вид:

Известно, что
высоты треугольника пересекаются в
одной точке. В частности, эта точка
является пересечением найденных высот,
т.е. решением системы уравнений:

– координаты этой
точки.

5. Середина АВ
имеет координаты
.
Запишем уравнение медианы к стороне
АВ. Эта
прямая проходит через точки с координатами
(3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет
вид:

Заметим, что ноль
в знаменателе дроби в записи уравнения
прямой означает, что эта прямая проходит
параллельно оси ординат.

Чтобы найти точку
пересечения медиан достаточно решить
систему уравнений:

Точка пересечения
медиан треугольника имеет координаты
.

6. Длина высоты,
опущенной на сторону АВ,
равна расстоянию от точки С
до прямой АВ
с уравнением

и находится по формуле:

7. Косинус угла А
можно найти по формуле косинуса угла
между векторами

и
,
который равен отношению скалярного
произведения этих векторов к произведению
их длин: