Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Пример.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
Решение:
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
![[left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot 5 + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{43}}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1ebb4cb88ff4ddea61fa582512c6330_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, уравнение прямой BC —
![[y = - frac{{11}}{4}x + frac{{43}}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e7cdca5088b4773ed3f43b5cafdcf00_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
![[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{{11}}{4}}} = frac{4}{{11}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-957fc8767c0e3564c633c5351d70f9a8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
![[y = frac{4}{{11}}x + b.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1bb0df7d86b778a56c8ee7c60c4fc3dc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
![[2 = frac{4}{{11}} cdot ( - 7) + b, Rightarrow b = frac{{50}}{{11}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9eba8dcea8a35ea6a15faf611738505b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
![[y = frac{4}{{11}}x + frac{{50}}{{11}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9418b647dec32813c8f5fa86e356ad0a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
![[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ - 3 = k cdot 5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{11}}{{12}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0a02b88852aeee8a6bd155228757096_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Уравнение прямой AB:
![[y = - frac{5}{{12}}x - frac{{11}}{{12}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f18f3a59d2382816ca661fd318d84e36_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
![[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{5}{{12}}}} = frac{{12}}{5} = 2,5.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2e004465257931ad448abe523a48537a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
![[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{29}}{4}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f252a5d6d7600b9f5493852b9f376d6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
![[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{frac{3}{4}}} = - frac{4}{3}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1423fe595e6b68c5925d249222dd49c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
![[y = - frac{4}{3}x + b.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-408144d7eca296db8bf257c2a0d41d00_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
![[- 3 = - frac{4}{3} cdot 5 + b, Rightarrow b = frac{{11}}{3}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8cb96b8a0c63d62a1f0d049d4bc33cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
![[y = - frac{4}{3}x + frac{{11}}{3}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3aea65f5ffd6bd70bb8730b1e5a42a3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Найти уравнение и длину высоты аd
уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Y
1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
.
Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:
.
2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:
.
Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.
.
3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k BC =2/3. Из условия перпендикулярности k AD =-1/ k BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
.
4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.
Точка Е (1 /2,2).
5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k BC =2/3, k AB =-2/3.
6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде
AB : 2 x + 3 y = 7 ,
BC : 2 x – 3 y =- 11 ,
Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.
2 x – 3 y =- 2-6=-8>-11,
Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид
Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку 
.
Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид 
. Так как гипербола проходит через точку А (8; 
), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 
. Так, как 
= 1,25, то 
= 1,25, но 
, тогда 
= 1,5625 
или 
.
Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .
Решая эту систему, находим = 16 и 
= 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид 
.
Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы 
и центр окружности 
.
Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.
Уравнение параболы: 
;
уравнение окружности: 
.
Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).
Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле
.
Получим 
, или 
.
Высота треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
Высота треугольника. Определение
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.
Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.
Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:
Ответ:
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:
Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:
Ответ:
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
Далее, из теоремы синусов имеем:
Подставляя (6) в (7), получим:
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Проверим сначала условие (9):
(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу
Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )
| ( small h_a=c cdot sin angle B. ) | (11) |
Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:
[spoiler title=”источники:”]
http://lms2.sseu.ru/courses/eresmat/course1/primz1/pr8.htm
http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php
[/spoiler]
Please wait.
We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6df08d85da813aa1 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Уравнение высоты треугольника по координатам формула
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Даны координаты вершин треугольника 
.
1) Вычислить длину стороны 
.
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора 
.
; 
.
2. Уравнение прямой ВС: 
; 
; 
.
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
: 
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: 
.
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
; 
; 
.
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении 
.
Используем формулы деления отрезка в данном отношении 
:
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами 
и 
; 
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы 
Систему решим по формулам Крамера: 
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
| 1. |  . |
2. |  . |
| 3. |  . |
4. |  . |
| 5. |  . |
6. |  . |
| 7. |  . |
8. |  . |
| 9. |  . |
10. |  . |
| 11. |  . |
12. |  . |
| 13. |  . |
14. |  . |
| 15. |  . |
16. |  . |
| 17. |  . |
18. |  . |
| 19. |  . |
20. |  . |
| 21. |  . |
22. |  . |
| 23. |  . |
24. |  . |
| 25. |  . |
26. |  . |
| 27. |  . |
28. |  . |
| 29. |  . |
30. |  . |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – 
| 8008 – 
или читать все.
Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @
Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)
Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:
Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0
Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9
Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:
y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.
10 = (32/3) + d,
d = -2/3
Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0
Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: XE = 6, YE = -1
Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.
(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0
Это уравнение медианы AE.
Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:
S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)
[spoiler title=”источники:”]
http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/
[/spoiler]
Please wait.
We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6df08d85da813aa1 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Уравнение высоты треугольника по координатам формула
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
; .
2. Уравнение прямой ВС: ; ; .
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
; ; .
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
| 1. | . |
2. | . |
| 3. | . |
4. | . |
| 5. | . |
6. | . |
| 7. | . |
8. | . |
| 9. | . |
10. | . |
| 11. | . |
12. | . |
| 13. | . |
14. | . |
| 15. | . |
16. | . |
| 17. | . |
18. | . |
| 19. | . |
20. | . |
| 21. | . |
22. | . |
| 23. | . |
24. | . |
| 25. | . |
26. | . |
| 27. | . |
28. | . |
| 29. | . |
30. | . |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.
Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @
Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)
Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:
Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0
Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9
Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:
y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.
10 = (32/3) + d,
d = -2/3
Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0
Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: XE = 6, YE = -1
Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.
(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0
Это уравнение медианы AE.
Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:
S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)
источники:
http://www.treugolniki.ru/uravnenie-vysoty-treugolnika/
http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/
4) вычислим cos β для a . Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинус угла β определяются по формуле: cos β = ya1 .
|
Тогда cos β = |
y |
−6 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
286 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5) вычислим |
a +b |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a +b = (35;−3; 9). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сумма векторов равна вектору с координатами: |
Тогда длина |
этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вектора равна |
a +b |
= 352 +(−3)2 +92 = |
1225 +9 +81 |
= |
1315 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
6) вычислим прb a . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Проекцией |
вектора a на |
вектор b называется |
число, равное |
пр a |
= |
a |
b |
. |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пр a |
= |
a |
b |
= 15 20 −6 3 −5 16 = |
202 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
20 |
2 +32 +162 |
665 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Опр. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором.
Опр. Если вектор n перпендикулярен направляющему вектору апрямой l, то он называется
нормальным вектором прямой l.
1)каноническое уравнениями прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) и имеющей направляющий вектор а = (а1, а2 ):
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
(1) |
|
|
a |
a |
2 |
||
|
1 |
2) уравнение прямой, проходящей через две точки М0(x0, y0) и М1(x1, y1):
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
(2) |
|||
|
x |
− x |
0 |
y |
− y |
0 |
|
|
1 |
1 |
3)общее уравнение прямой на плоскости. Вектор a = (−B, A)является направляющим вектором прямой, а вектор n = (А, В) является нормальным вектором прямой, заданной
общим уравнением:
4) уравнением прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) перпендикулярно вектору
n = (А, В):
|
А(x − x0 ) + В(y − y0 )= 0 |
(4) |
5)расстояние d от точки М0(x0, y0) до прямой, заданной общим уравнением вычисляется формулой:
|
d = |
Ax0 + By0 +C |
(5) |
||||||||||||||
|
A2 + B2 |
||||||||||||||||
|
6) расстояние d между двумя точками М0(x0, y0) |
и М1(x1, y1) вычисляется по формуле: |
|||||||||||||||
|
d = |
(x |
− x |
0 |
)2 + (y |
1 |
−y |
0 |
)2 |
(6) |
|||||||
|
1 |
7) координаты точки М(x, y), делящей отрезок М1М2 пополам вычисляется по формуле:
|
x |
1 |
+ x |
2 |
|||
|
x = |
||||||
|
2 |
(7) |
|||||
|
y |
||||||
|
1 |
+ y |
2 |
||||
|
y = |
||||||
|
2 |
||||||
|
8) условие перпендикулярности прямых: прямые l1 |
и l2 перпендикулярны, если нормальные |
векторыn1 = (A1, B1 ) иn2 = (A2 , B2 ) ортогональны, т.е. A1 A2 + B1 B2 = 0 .
9)условие параллельности прямых: прямые l1 и l2 параллельны, если их направляющие векторыa = (−B1, A1 ) иb = (−B2 , A2 ) коллинеарны, т.е. координаты этих векторов
пропорциональны: А1 = В1 .
А2 В2
Задача 4. Известны координаты вершин треугольника ABC: A(4; 3); B(-3; –3); C(2; 7). Найти:
1)общее уравнение всех сторон;
2)уравнение всех высот в общем виде (AN1, BN2, CN3);
3)уравнение всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3);
4)расстояние от точки C до прямой AB;
5)уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB;
6)длину стороны AB;
7)длину медианы AM1;
8)длину высоты AN1;
9)площадь треугольника ABC.
Решение.
1) Найдем общее уравнение всех сторон.
Найдем уравнение стороны AB как уравнение прямой, проходящей через две точки A(4; 3) и B(-3; –3) согласно формуле (2):
|
y −3 |
= |
x − 4 |
y −3 |
= |
x − 4 |
– 7(y – 3)= (−6)(x − 4) 6x – 7y – 3 = 0. |
||||||||||||||||||||
|
−3 −3 |
−3 − 4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
−6 |
−7 |
|||||||||||||||||||||||||
|
Найдем уравнение стороны BС как уравнение прямой, проходящей через две точки B(-3; –3) |
||||||||||||||||||||||||||
|
и C(2; 7): |
y +3 |
= |
x +3 |
y +3 |
= |
x +3 |
5(y +3)=10(x +3) 2x – y +3 = 0 . |
|||||||||||||||||||
|
7 +3 |
2 +3 |
10 |
5 |
|||||||||||||||||||||||
|
Найдем уравнение стороны AС как уравнение прямой, проходящей через две точки A(4; 3) и |
||||||||||||||||||||||||||
|
C(2; 7): |
y −3 |
= |
x − 4 |
y −3 |
= |
x − 4 |
– 2(y – 3)= 4(x − 4) 2x + y -11 = 0 . |
|||||||||||||||||||
|
7 −3 |
2 − 4 |
4 |
− 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
2) Найдем общее уравнение всех высот (AN1, BN2, CN3). |
||||||||||||||||||||||||||
|
Найдем общее уравнение высоты AN1 |
как уравнением прямой, проходящей через точку |
М0(x0, y0) перпендикулярно нормальному векторуn = (А, В). Так как прямая проходящая через точку А(4, 3) перпендикулярно нормальному вектору BC = (5,10), то уравнение данной прямой будет иметь вид:
5(x − 4) +10(y −3)= 0 5x − 20 +10y −30 = 0 5x +10y −50 = 0 x + 2y −10 = 0 .
Найдем общее уравнение высоты BN2 как уравнением прямой, проходящей через точку через точку B(-3, -3) перпендикулярно нормальному вектору AC = (−2,4), то уравнение данной прямой будет иметь вид:
− 2(x +3) + 4(y +3)= 0 − 2x −6 + 4y +12 = 0 − 2x + 4y + 6 = 0 x − 2y −3 = 0 .
Найдем общее уравнение высоты CN3 как уравнением прямой, проходящей через точку через точку C(2, 7) перпендикулярно нормальному вектору AB = (−7,−6), то уравнение данной прямой будет иметь вид:
−7(x − 2) −6(y −7)= 0 −7x +14 −6y + 42 = 0 −7x −6y +56 = 0 7x + 6y −56 = 0..
3)Найдем уравнение всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3).
Чтобы найти уравнение медианы AM1, нужно найти координаты точки M1 – середины
|
отрезка ВС, по формуле (7) имеем: х = |
х1 + х2 |
; |
у = |
у1 + у2 |
. |
|
|
2 |
2 |
|||||
Тогда х = 2 −2 3 = − 12 ; у = 7 −2 3 = 2 М1 (−0,5;2) .
|
Пусть a = AМ1 = (−4,5;−1)– направляющий вектор прямой. |
|||||||||||
|
х− x |
у− y |
1 |
|||||||||
|
Тогда из канонического уравнения прямой на плоскости (1) имеем: |
1 |
= |
. |
||||||||
|
a |
a |
2 |
|||||||||
|
1 |
|||||||||||
|
Следовательно, |
х−4 |
= |
у−3 |
AМ1 : 2x −9y +19 =0. |
|||||||
|
−1 |
|||||||||||
|
−4,5 |
|||||||||||
|
Аналогично уравнение |
медианы BM2 в общем виде: |
4x −3y +3 =0, |
медианы |
СM2: 14x −3y −7 =0.
4) Найдем расстояние от точки C до прямой AB.
Расстояние от точки C(2; 7) до прямой AB, заданной общим уравнением 6x – 7y – 3 = 0
|
вычисляется формулой (5): d = |
Ax3 |
+ By3 |
+C |
. |
||||||||||||||||||
|
A2 + B2 |
||||||||||||||||||||||
|
Следовательно, d = |
6 2 −7 7 −3 |
= |
− 40 |
= |
40 |
. |
||||||||||||||||
|
62 + (−7)2 |
85 |
85 |
||||||||||||||||||||
5) Найдем уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB.
Прямая СС1 проходит через точку C(2; 7) и параллельна AB, заданной общим уравнением 6x – 7y – 3 = 0. Таким образом, прямая CC1, заданная общим Ax + By + C = 0 и параллельна прямой AB, если ее коэффициенты при x и y пропорциональны (согласно условию
параллельности прямых), т.е. A6 = −B7 . Взяв A = 6, B = -7 (при коэффициенте
|
пропорциональности, |
равном 1), |
получим уравнение |
прямой CC1: 6x – 7y + С = 0 . |
||||||||||||||
|
Коэффициент |
С найдем с учетом того, что координаты точки С(2;7), лежащей на прямой, |
||||||||||||||||
|
должны удовлетворять ее уравнению, т.е. |
6 2 – 7 7 + С = 0 , откуда С = 37 и уравнение |
||||||||||||||||
|
прямой СС1 примет вид: 6x – 7y +37 = 0. |
|||||||||||||||||
|
6) Найдем длину стороны AB. |
|||||||||||||||||
|
Длина стороны AB – это расстояние от точки А до точки |
B и находится по формуле (6): |
||||||||||||||||
|
= |
|||||||||||||||||
|
AB |
= |
(x |
− x )2 +(y |
− y )2 |
, тогда |
AB |
= |
(−3 − 4)2 + (−3 −3)2 |
|||||||||
|
2 |
2 |
85. |
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
7) Найдем длину медианы AM1.
Длина медианы AM1 – это расстояние от точки А до точки М1 (−0,5;4) и находится по формуле (6): AМ1 = 
(−0,5 − 4)2 + (3 − 4)2 = 
21,25.
8) Найдем длину высоты AN1.
Длина высоты AN1 – это расстояние от точки А(4;3) до прямой BC и вычисляется по
|
формуле (5): d = |
Ax1 + By1 +C |
. |
Так |
как общее уравнение прямой BC имеет вид |
|||||||||||||||
|
A2 + B2 |
|||||||||||||||||||
|
2x – y +3 = 0, то d = |
2 4 −1 3 +3 |
= |
8 |
= |
8 |
. |
|||||||||||||
|
22 + (−1)2 |
5 |
5 |
|||||||||||||||||
9)Найдем площадь треугольника ABC.
Площадь треугольника вычисляется по формуле: S∆ = 12 AB× AC
Имеем AB = (−7;−6;0), AC = (−2;4;0).
|
Тогда q = AB × AC = |
i |
j |
k |
= k (−1)1+3 |
−7 |
−6 |
= (−28 −12)k |
= −40k. |
||||||||||||||||
|
−7 |
−6 |
0 |
||||||||||||||||||||||
|
− 2 |
4 |
0 |
− 2 |
4 |
||||||||||||||||||||
|
Следовательно, вектор q = (0,0,−40). |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
+ 0 |
2 |
+ (−40) |
2 |
= |
40 = |
20 (кв. ед.) |
||||||||||||||||
|
Тогда S∆ = 2 |
q |
= 2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
Соседние файлы в папке Subj
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
