Как найти уровнение высоты

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

   

Таким образом, уравнение прямой BC —

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

   

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

   

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

   

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

   

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

   

Уравнение прямой AB:

   

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

   

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

   

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

   

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

   

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

   

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

.

.

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

.

(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )

( small h_a=c cdot sin angle B. )

(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Уравнение высоты треугольника по координатам формула

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

А

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

.

Точка К является серединой отрезка АМ.

.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.

Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:

Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0

Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9

Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:

y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.

10 = (32/3) + d,
d = -2/3

Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0

Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: X_E = 6, Y_E = -1

Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.

(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0

Это уравнение медианы AE.

Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:

S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php

http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/

[/spoiler]

Раздел V.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

И В ПРОСТРАНСТВЕ

В раздел включены
задачи, которые рассматриваются в теме
«Аналитическая геометрия на плоскости
и в пространстве»: составление различных
уравнений прямых на плоскости и в
пространстве; определение взаимного
расположения прямых на плоскости,
прямых, прямой и плоскости, плоскостей
в пространстве; изображение кривых
второго порядка. Необходимо отметить,
что в данном разделе представлены задачи
экономического содержания, при решении
которых применяются сведения из
аналитической геометрии на плоскости.

При решении задач
аналитической геометрии целесообразно
воспользоваться учебными пособиями
следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш.
Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина,
т.к. в данной литературе рассматривается
более широкий круг задач, которые можно
использовать для самостоятельной
подготовки по данной теме. Применение
анали­тической геометрии к решению
экономических задач изложено в учебных
изда­ниях М.С. Красса и В.И. Ермакова.

Задача 5.1. Даны
координаты вершин треугольника АВС.
Необходимо

а) написать
уравнения сторон треугольника;

б) написать
уравнение высоты треугольника проведенной
из вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину;

в) написать
уравнение медианы треугольника,
проведенной из вершины В
к стороне АС;

г) найти углы
треугольника и установить его вид
(прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный);

д) найти длины
сторон треугольника и определить его
тип (разносторонний, равнобедренный,
равносторонний);

е) найти координаты
центра тяжести (точка пересечения
медиан) треугольника АВС;

ж) найти координаты
ортоцентра (точка пересечения высот)
треугольника АВС.

К каждому из
пунктов а) – в) решения сделать рисунки
в системе координат. На рисунках
обозначить соответствующие пунктам
задачи линии и точки.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1) ; 2) ; 3) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ;

4) ; 5) ; 6) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30).

Пример 5.1

Даны координаты
вершин треугольника АВС:

.
Необходимо а) написать уравнения сторон
треугольника; б) написать уравнение
высоты треугольника проведенной из
вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину; в) написать уравнение
медианы треугольника, проведенной из
вершины В
к стороне АС;
г) найти длины сторон треугольника и
определить его тип (разносторонний,
равнобедренный, равносторонний); д)
найти углы треугольника и установить
его вид (прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный); е) найти координаты центра
тяжести (точка пересечения медиан)
треугольника АВС;
ж) найти координаты ортоцентра (точка
пересечения высот) треугольника АВС.

Решение

а)
Для каждой стороны треугольника известны
координаты двух точек, которые лежат
на искомых линиях, значит уравнения
сторон треугольника – уравнения прямых,
проходящих через две заданные точки

,

(5.1)

где

и

соответствующие координаты точек.

Таким образом,
подставляя в формулу (5.1) координаты
соответствующих прямым точек получаем

,
,
,

откуда после
преобразований записываем уравнения
сторон

,

,

.

На рис. 7 изобразим
соответствующие сторонам треугольника

прямые.

Ответ:

,
,
.

Рис. 7

б)
Пусть

– высота, проведенная из вершины

к стороне
.
Поскольку

проходит через точку

перпендикулярно вектору
,
то составим уравнение прямой по следующей
формуле

,

(5.2)

где

– координаты вектора перпендикулярного
искомой прямой,

– координаты точки, принадлежащей этой
прямой. Найдем координаты вектора,
перпендикулярного прямой
,
и подставим в формулу (5.2)

,
,

,

,

.

Найдем длину высоты
CH
как расстояние от точки

до прямой

,

(5.3)

где

– уравнение прямой
,

– координаты точки
.

В предыдущем пункте
было найдено

.

Подставив данные
в формулу (5.3), получим

,

На рис. 8 изобразим
треугольник и найденную высоту СН.

Ответ:

.

Рис. 8

в)
медиана

треугольника

делит сторону

на две равные части, т.е. точка

является серединой отрезка
.
Исходя из этого, можно найти координаты

точки

, ,

(5.4)

где

и

– координаты соответственно точек

и
,
подставив которые в формулы (5.4), получим

;
.

Уравнение медианы

треугольника

составим как уравнение прямой, проходящей
через точки

и

по формуле (5.1)

,

.

Ответ:

(рис. 9).

Рис. 9

г)
Длины сторон треугольника найдем как
длины соответствующих векторов, т.е.

,
,
.

Стороны

и

треугольника

равны, значит, треугольник является
равнобедренным с основанием
.

Ответ:
треугольник

равнобедренный с основанием
;

,
.

д)
Углы треугольника

найдем как углы между векторами,
исходящими из соответствующих вершин
данного треугольника, т.е.

,
,
.

Поскольку треугольник
равнобедренный с основанием
,
то

,

Углы между векторами
вычислим по формуле (4.4), для которой
потребуются скалярные произведения
векторов
,
.

Найдем координаты
и модули векторов, необходимых для
вычисления углов

,
;

,
,
.

Подставляя
найденные данные в формулу (4.4), получим

,

,

Поскольку значения
косинусов всех найденных углов
положительны, то треугольник

является остроугольным.

Ответ:
треугольник

остроугольный;

,
,
.

е)
Пусть

– центр тяжести треугольника
,
тогда координаты

точки

можно найти, по формулам (5.5)

, ,

(5.5)

где
,

и

– координаты соответственно точек
,

и
,
следовательно,

,
.

Ответ:

– центр тяжести треугольника
.

ж) Пусть

– ортоцентр треугольника
.
Найдем координаты точки

как координаты точки пересечения высот
треугольника. Уравнение высоты

было найдено в пункте б).
Найдем уравнение высоты
:

,
,

,

.

Поскольку
,
то решение системы

является координатами
точки
,
откуда находим
.

Ответ:

– ортоцентр треугольника
.

Задача 5.2.
Фиксированные издержки на предприятии
при выпуске некоторой продукции
составляют F
руб. в месяц, переменные издержки – V₀
руб. за
единицу продукции, при этом выручка
составляет R₀
руб. за единицу изготовленной продукции.
Составить функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
;

7)
;

8)
;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)
;

19)
;

20)
;

21)
;

22)
;

23)
;

24)
;

25)
;

26)
;

27)
;

28)
;

29)
;

30)
.

Пример 5.2

Фиксированные
издержки на предприятии при выпуске
некоторой продукции составляют

руб. в месяц, переменные издержки –

руб. за единицу
продукции, при этом выручка составляет


руб. за единицу
изготовленной продукции. Составить
функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Решение

Вычислим совокупные
издержки на производстве при выпуске
q
единиц некоторой продукции

.

Если будет продано
q
единиц продукции, то совокупный доход
составит

.

Исходя из полученных
функций совокупного дохода и совокупных
издержек, найдем функцию прибыли

,

,

.

Точка
безубыточности – точка, в которой
прибыль равна нулю, или точка, в которой
совокупные издержки равны совокупному
доходу

,

,

откуда находим

– точка безубыточности.

Для построения
графика (рис. 10) функции прибыли найдем
еще одну точку

.

Рис. 10

Ответ:
функция прибыли
,
точка безубыточности
.

Задача 5.3. Законы
спроса и предложения на некоторый товар
соответственно определяются уравнениями
p=p_D(q),
p=p_S(q),
где p
– цена на товар, q
– количество товара. Предполагается,
что спрос определяется только ценой
товара на рынке p_С,
а предложение – только ценой p_S,
получаемой поставщиками. Необходимо

а) определить
точку рыночного равновесия;

б) точку равновесия
после введения налога, равного t.
Определить увеличение цены и уменьшение
равновесного объема продаж;

в) найти субсидию
s,
которая приведет к увеличению объема
продаж на q₀
ед. относительно изначального
(определенного в пункте а));

г) найти новую
точку равновесия и доход правительства
при введении налога, пропорционального
цене и равного N%;

д) определить,
сколько денег будет израсходовано
правительством на скупку излишка при
установлении минимальной цены, равной
p₀.

К каждому пункту
решения сделать рисунок в системе
координат. На рисунке обозначить
соответствующие пункту задачи линии и
точки.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
;

7)
;

8)
;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)
;

19)
;

20)
;

21)
;

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Пример 1:

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Уравнение АЕ

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

Уравнение СК

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

Уравнение AN

4) Площадь треугольника

Длина ВС

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

• периметр треугольника;
• уравнения сторон AB и BC;
• уравнение высоты AD; угол ABC;
• площадь треугольника.

Сделать чертеж.

А(1; 2); В (–1; 2); С(3; 0).

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

Требуется найти:

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Сделать чертёж.

А(4;-3), B(-2;-1), C(3;-2).

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

       

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой,  – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

8) Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1. Уравнение прямой 
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: 
   
   Уравнение прямой AB 
   Каноническое уравнение прямой: 
   
   или 
   
   или 
   y = ^-3/₇x + ¹⁶/₇ или 7y + 3x – 16 = 0 
2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 
   
   
   M(3;1) 
   Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому: 
   Каноническое уравнение прямой: 
   
   или 
   
   или 
   y = ^-1/₁₁x + ¹⁴/₁₁ или 11y + x – 14 = 0 
3. Уравнение высоты через вершину C 
   Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 
   
   Найдем уравнение высоты через вершину C 
   
   y = ⁷/₃x + ⁶²/₃ или 3y -7x – 62 = 0
4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
   Уравнение прямой AB: y = ^-3/₇x + ¹⁶/₇
   Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
   y – y₀ = k(x – x₀)
   Подставляя x₀ = -8, k = ^-3/₇, y₀ = 2 получим:
   y-2 = ^-3/₇(x-(-8))
   или
   y = ^-3/₇x – ¹⁰/₇ или 7y + 3x +10 = 0

Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5). 

Решение от преподавателя:

4) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = ^-1/₄x + ¹⁵/₂ или 4y +x -30 = 0 
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AB. 
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k₁ = 4 
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1. 
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим: 
4k = -1, откуда k = ^-1/₄ 
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = ^-1/₄,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀). 
Подставляя x₀ = 10, k = ^-1/₄, y₀ = 5 получим: 
y-5 = ^-1/₄(x-10) 
или 
y = ^-1/₄x + ¹⁵/₂ или 4y + x – 30 = 0 
Найдем точку пересечения с прямой AB: 
Имеем систему из двух уравнений: 
y -4x +3 = 0 
4y + x – 30 = 0 
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. 
Получаем: 
x = ⁴²/₁₇ 
y = ¹¹⁷/₁₇ 
D(⁴²/₁₇;¹¹⁷/₁₇) 
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C 
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины: 

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0) 

5,7) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам. 


Е(7;9) 
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ⁴/₃x ^-1/₃ или 3y -4x +1 = 0 
Найдем длину медианы. 
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: 

6) CD–диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности  (x-x₀)²+(y-y₀)²=r²

(x-106/17)²+(y-101/17)²=256/17 

8) Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A 

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4),  С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

Решение.

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Даны вершины A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃)    треугольника.

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник  с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9). 
1) Уравнение прямой 
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: 

Уравнение прямой AB 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ³/₂x -9 или 2y -3x +18 = 0 

2) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(4;-3) 
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ⁶/₇x ^-45/₇ или 7y -6x +45 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = ^-2/₃x -11 или 3y +2x + 33 = 0 
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9) 
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0 
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле: 

Или     2y -3x +9 = 0 

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(-1;0) 
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому: 

или 

или 
y = ¹/₉x + ¹/₉ или 9y -x – 1 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину B

Пример 15:

Дан треугольник АВС. Найти:

а) величину угла А;

б) уравнение стороны АС;

в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.

Сделать чертеж.

А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Треугольник задан вершинами А(-6; -2);  В(4; 8); С(2; -8). Найти:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

б) уравнение медианы CD;

в) уравнение высоты АЕ;

Решение от преподавателя:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

Уравнение прямой AC:

Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-3/₄x ^-13/₂ или 4y + 3x +26 = 0

Уравнение BN параллельно AC находится по формуле:
y – y₀ = k(x – x₀)
Подставляя x₀ = 4, k = ^-3/₄, y₀ = 8 получим:
y-8 = ^-3/₄(x-4)
или
y = ^-3/₄x + 11 или 4y + 3x – 44 = 0

б) уравнение медианы CD;

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(-1;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(2;-8) и М(-1;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-11/₃x ^-2/₃ или 3y + 11x +2 = 0

в) уравнение высоты АЕ;

Прямая, проходящая через точку Е₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину A

y = ^-1/₈x – ¹¹/₄ или 8y +x + 22 = 0

Пример 17:

A(1, 2), В(5, 8), С(11, 3).

Решение от преподавателя:

Пример 18:

В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).

Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК)  и медианы (CМ).

Решение от преподавателя:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
x +4 = 0 или x = -4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-1/₄x + 3 или 4y + x – 12 = 0

Найдем уравнение высоты через вершину B

y = 4x + 13 или y -4x – 13 = 0

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(8;1) и М(-4;¹/₂), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ¹/₂₄x + ²/₃ или 24y -x – 16 = 0

Пример 19:

Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-5;-3; 2), B(-2;-6;-3) и C(-2; 2;-1).
Найти:
а) длину стороны АВ;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника АВС (через векторное произведение).

Решение от преподавателя:

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.