Как найти ускорение центра масс цилиндра

  • Печать

Ускорение центра масс

Теорема о движении центра масс является общей теоремой динамики, она утверждает, что ускорение центра масс не зависит от действия внутренних сил.

Ускорение центра масс согласно теореме движения центра масс, определяется как сумма внешних сил (по отношению к системе), при этом принято считать, что силы приложены к некой материальной точке, расположенной в центре масс.

При поступательном движении любого твердого тела, ускорение всех его точек независимо от момента времени одинаково и, таким образом, эквивалентно ускорению центра масс. Исходя из этого, теорему движения центра масс можно использовать для исследования и решения задач поступательного движения твердых тел.

Ускорение центра масс формула

Общий вид:

а =∑F

Скатывание шара по наклонной поверхности:

Пример возможных задач

Найти линейное ускорение центра масс некого шара, который скатывается без скольжения по наклонной плоскости. Угол наклона 20 град., начальная скорость шара 0.

Ответ

В виду того, что шар находится в неподвижном состоянии, сила трения принимается равной 0. Таким образом, решение задачи сводится к уравнению:

а = g*sin(α) = 9.81*sin(20) = 9.81*0.34 = 3,3354 м/с2

    1. Движение твердого тела

      1. Динамика твердого тела

Ускорение

центра масс твердого тела определяется
по теореме о движении центра масс:

, (2.41)

где т
– масса,
геометрическая
сумма внешних сил, действующих на
твердое тело.

Внешний
вид уравнения (2.41) совпадает со вторым
законом Ньютона для материальной точки
(2.14), и, следовательно, метод его применения
состоит из тех же операций. Векторное
уравнение (2.38) эквивалентно трем
уравнениям:

. (2.42)

Для
материальной точки и соответственно
для твердого тела справедливо уравнение
движения

, (2.43)

где геометрическая
сумма моментов всех внешних сил,
действующих на твердое тело, относительно
неподвижной точки О.

Если
точку О считать началом декартовой
системы координат, то, как обычно,
векторное уравнение (2.43) эквивалентно
трем уравнениям:

, (2.44)

где проекции
вектора момента импульса

на оси координат. Их называют моментами
импульса твердого тела относительно
неподвижных осей ОХ,
OY,
OZ
соответственно.

Можно
показать, что для материальной точки
и для твердого тела

, (2.45)

где моменты
инерции материальной точки и твердого
тела относительно неподвижных осей
ОХ, OY,
OZ
соответственно,

проекции
угловой скорости

на те же оси.

С учетом
(2.45) уравнения (2.44) можно записать в виде

. (2.46)

Если
моменты инерции

постоянны, то уравнения движения
приобретают вид

, (2.47)

где проекции
вектора углового ускорения на оси
координат.

Эти
уравнения называют уравнениями движения
относительно неподвижных осей ОХ, OY,
OZ соответственно.

Твердое
тело имеет шесть степеней свободы,
поэтому для описания его движения
необходимо шесть независимых уравнений.
Таковыми и являются или два векторных
уравнения (2.41) и (2.43), или эквивалентная
им система из шести уравнений (2.42) и
(2.46). Метод применения законов (2.42) ничем
не отличается от метода применения
второго закона Ньютона. Метод применения
законов (2.46) также очень похож на метод
применения второго закона Ньютона,
если к последнему добавить две
дополнительные операции: нахождение
момента инерции тела и момента внешних
сил относительно соответствующей оси.
Таким образом, динамический метод и
для описания движения твердого тела
остается практически тем же.

      1. Один
        конец вертикально расположенной нити
        закреплен в точке О (рис.
        2.12), а другой намотан на сплошной
        узкий цилиндр (диск) массы т=10
        кг и радиуса R=10
        см. Определить ускорение центра
        масс и силу натяжения нити. Нить
        невесома и нерастяжима.

Решение.
В физическую систему включим два тела:
цилиндр и нить. Цилиндр нельзя принять
за материальную точку. Будем считать
его твердым телом. Его центр масс (точка
С) движется вертикально вниз, а сам
цилиндр вращается относительно
неподвижной оси, проходящей через центр
масс. Применим теорему о движении центра
масс (2.41) и уравнение движения (2.47).
Инерциальную систему отсчета свяжем
с Землей, а оси координат направим как
показано на рисунке 2.12. На цилиндр
действуют две силы: сила тяжести

и сила натяжения нити
.
По теореме о движении центра масс,

.

Проецируя
это векторное уравнение на ось ОХ,
получаем

.

Цилиндр вращается относительно подвижной
оси, но эта ось перемещается параллельно
самой себе; в этом случае уравнение
движения (2.47) остается справедливым:

,

где угловое
ускорение.

Решая полученную систему уравнений,
находим

.

Отсюда
6,
6 м/с2;
163
Н.

Усложним
решенную задачу: пусть к закрепленному
концу нити привязано тело (материальная
точка) массой m1=1
кг, которое может без трения двигаться
по горизонтальной плоскости, а сама
нить находится на невесомом блоке (рис.
2.13).

Обозначим
т2
массу цилиндра. Применяя динамический
метод, составляем замкнутую систему
уравнений для поступательного движения
материальной точки и цилиндра
соответственно:


и
,

а также
для вращательного движения цилиндра:

.

Ускорение
ас
центра масс цилиндра, ускорение а1
материальной точки и угловое ускорение

связаны соотношением

ас=
а1+R.

Решая
полученную систему уравнений, находим:

Подставляя
числовые значения, получаем

9,1
м/с2,
7,5
м/с2,
7,5
Н,
15,1
рад/с2.

Можно
еще более усложнить задачу, учитывая
трение между телом т1
и горизонтальной плоскостью, принимая
во внимание массу блока, считая его
твердым телом и т.д. Все эти задачи могут
быть решены тем же динамическим методом.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

  1. Динамика плоского движения твердого тела
  2. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
  3. Порядок решения задач динамики плоского движения твердого тела
  4. Примеры решения задач на тему: динамика плоского движения твердого тела

Плоское движение твердого тела определяют как движение, при котором скорости всех точек тела параллельны некоторой плоскости. Если с любой точкой тела (или его мысленного продолжения) связать поступательно движущуюся систему координат, то относительное движение будет чистым вращением вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости движения.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Динамика плоского движения твердого тела

Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Момент количества движения тела (главный момент количества движения твердого тела), вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно этой оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения.

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Из кинематики известно, что для определения положения твердого тела, которое совершает плоское движение, достаточно задать положение любой ее точки, которая принимается за полюс, и угол поворота вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости движения.

Задачи динамики будут решаться проще всего, если за полюс выбрать центр масс Динамика плоского движения твердого тела тела (рис.11.1) и определять положение тела координатами Динамика плоского движения твердого телаДинамика плоского движения твердого тела и углом Динамика плоского движения твердого тела.

Динамика плоского движения твердого тела

Таким образом, для изучения плоского движения твердого тела достаточно составить три дифференциальных уравнения, которые связывают величины Динамика плоского движения твердого телаДинамика плоского движения твердого тела  и Динамика плоского движения твердого тела с внешними силами, действующими на тело.

Для определения движения центра масс используется теорема о движении центра масс системы:

Динамика плоского движения твердого тела

где Динамика плоского движения твердого тела – масса тела,

Динамика плоского движения твердого тела – главный вектор всех внешних сил, которые действуют на тело,

Динамика плоского движения твердого тела – ускорение центра масс.

Уравнение, определяющее вращательное движение тела, получается из теоремы об изменении момента количества движения относительно оси, которая проходит через точку Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

где Динамика плоского движения твердого тела – момент количества движения тела относительно оси, которая проходит через центр масс,

Динамика плоского движения твердого тела – главный момент внешних сил, которые приложены к телу.

Проектируя уравнение (11.1) на неподвижные оси координат Динамика плоского движения твердого тела, а также учитывая, что для твердого тела Динамика плоского движения твердого тела, где Динамика плоского движения твердого тела – момент инерции тела относительно оси, которая проходит через точку Динамика плоского движения твердого тела, получают следующие дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

или

Динамика плоского движения твердого тела

С помощью этих уравнений можно решать как прямую, так и обратную задачи динамики.

При несвободном движении, когда траектория центра масс известна, уравнение движения точки Динамика плоского движения твердого тела удобнее составлять в проекциях на касательную Динамика плоского движения твердого тела и главную нормаль Динамика плоского движения твердого тела к этой траектории, переменный радиус кривизны которой Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

Порядок решения задач динамики плоского движения твердого тела

Выбрать неподвижную систему координат, относительно которой рассматривается движение тела.

Изобразить твердое тело в текущем положении и показать все внешние силы, которые приложены к нему.

Составить дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела в форме уравнений (11.4).

Если известна траектория центра масс твердого тела, то удобнее применить уравнение (11.5).

В случае решения прямой задачи искомые внешние силы и их моменты определяются из систем дифференциальных уравнений (11.4) и (11.5).

В случае решения обратной задачи путем интегрирования систем (11.4) или (11,5) определяют кинематические уравнения движения центра масс твердого тела.

Примеры решения задач на тему: динамика плоского движения твердого тела

Задача №1

Однородный прямой круглый цилиндр радиусом Динамика плоского движения твердого тела и массой Динамика плоского движения твердого тела движется на гладкой наклонной плоскости, которая составляет с горизонтом угол Динамика плоского движения твердого тела. В начальный момент времени цилиндр неподвижен.

Определить движение цилиндра (рис. 11.2) и давление его на наклонную поверхность.

Динамика плоского движения твердого тела

Решение. Изобразим цилиндр в среднем положении на наклонной плоскости и покажем внешние силы, которые действуют на него: Динамика плоского движения твердого тела – сила тяжести цилиндра, Динамика плоского движения твердого тела – нормальная реакция наклонной плоскости. Оси координат выбираем так, как показано на рис.11.2.

Дифференциальные уравнения плоского движения круглого цилиндра в данном случае имеют вид:

Динамика плоского движения твердого тела

Динамика плоского движения твердого тела

где Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела – координаты центра масс цилиндра.

Поскольку во время движения Динамика плоского движения твердого тела, то из второго уравнения вытекает:

Динамика плоского движения твердого тела

Из третьего уравнения системы находим: Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку

Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку в начальный момент времени Динамика плоского движения твердого тела, то и во время движения Динамика плоского движения твердого тела. Это значит, что по гладкой поверхности цилиндр будет скользить без вращения.

Решая первое уравнение, находим закон изменения координаты Динамика плоского движения твердого тела.

Динамика плоского движения твердого тела

Разделим переменные и проинтегрируем:

Динамика плоского движения твердого тела

Отсюда

Динамика плоского движения твердого тела

Окончательно,

Динамика плоского движения твердого тела

Следовательно, цилиндр совершает поступательное движение.

Ответ: Динамика плоского движения твердого тела

Задача № 2

Однородный круглый цилиндр с радиусом Динамика плоского движения твердого тела и массой Динамика плоского движения твердого тела (рис.11.3) движется из состояния покоя по шероховатой неподвижной наклонной плоскости, которая составляет с горизонтом угол Динамика плоского движения твердого тела. Коэффициент трения скольжения цилиндра по плоскости равен Динамика плоского движения твердого тела.

Динамика плоского движения твердого тела

Определить уравнение движения цилиндра и его давление на наклонную поверхность.

Решение. К цилиндру приложены внешние силы: Динамика плоского движения твердого тела – сила тяжести цилиндра; Динамика плоского движения твердого тела – нормальная реакция наклонной плоскости; Динамика плоского движения твердого тела – сила трения о шероховатую наклонную поверхность, которая направлена в сторону, противоположную движению цилиндра. Оси координат и все силы показаны на рис.11.3.

Дифференциальные уравнения движения цилиндра в этом случае запишутся в виде:

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку во время движения Динамика плоского движения твердого тела, то из уравнения (2) следует:

Динамика плоского движения твердого тела или Динамика плоского движения твердого тела

Уравнения (1) и (3) имеют три неизвестных: Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела. В нашем случае нельзя определять Динамика плоского движения твердого тела, поскольку это равенство имеет место, когда точка касания скользит вдоль плоскости, а при качении, когда проскальзывание отсутствует, должно быть Динамика плоского движения твердого тела

Найдем еще одно дополнительное уравнение. Поскольку точка Динамика плоского движения твердого тела является мгновенным центром скоростей, то:

Динамика плоского движения твердого тела

Тогда, с учетом уравнения (4), а также значения Динамика плоского движения твердого тела, уравнения (1) и (3) приобретут вид:

Динамика плоского движения твердого тела

Окончательно

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку левые части этих уравнений одинаковы, тогда равны и их правые части. Поэтому

Динамика плоского движения твердого тела или Динамика плоского движения твердого тела

По закону Кулона

Динамика плоского движения твердого тела или Динамика плоского движения твердого тела

Итак,

Динамика плоского движения твердого тела

откуда

Динамика плоского движения твердого тела

Это и есть условие качения цилиндра по шероховатой поверхности без проскальзывания.

Определим ускорение центра масс цилиндра при таком качении. Для этого в уравнение (1)

Динамика плоского движения твердого тела

подставим значение силы трения

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку Динамика плоского движения твердого тела то, разделяя переменные, получим

Динамика плоского движения твердого тела

Проинтегрируем это выражение:

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку Динамика плоского движения твердого тела, то, разделяя переменные и интегрируя, получим

Динамика плоского движения твердого тела

Динамика плоского движения твердого тела

Определим закон вращения цилиндра вокруг оси. Для этого воспользуемся уравнением (3):

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку

Динамика плоского движения твердого тела

то

Динамика плоского движения твердого тела или Динамика плоского движения твердого тела

откуда

Динамика плоского движения твердого тела

Разделим переменные и проинтегрируем:

Динамика плоского движения твердого тела

Закон изменения угловой скорости имеет вид:

Динамика плоского движения твердого тела

Определим закон изменения угла вращения:

Динамика плоского движения твердого тела или Динамика плоского движения твердого тела

Динамика плоского движения твердого тела

и тогда

Динамика плоского движения твердого тела

Видно, что закон вращения цилиндра вокруг его оси не зависит от движения центра масс.

Ответ: Динамика плоского движения твердого тела

Задача № 3

Тяжелый круглый цилиндр Динамика плоского движения твердого тела с массой Динамика плоского движения твердого тела и радиусом Динамика плоского движения твердого тела обмотан посередине невесомой и нерастяжимой нитью, конец которой Динамика плоского движения твердого тела закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить.

Определить скорость оси цилиндра Динамика плоского движения твердого тела после того, как ось опустится на высоту Динамика плоского движения твердого тела, и найти натяжение Динамика плоского движения твердого тела нити.

Решение. К цилиндру Динамика плоского движения твердого тела приложены внешние силы: Динамика плоского движения твердого тела – сила тяжести цилиндра; Динамика плоского движения твердого тела – натяжение нити.

За начало координат примем положение центра масс цилиндра Динамика плоского движения твердого тела в начальный момент. Направление осей Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела показано на рис.11.4.

Динамика плоского движения твердого тела

Дифференциальные уравнения плоского движения в данном случае имеют вид:

Динамика плоского движения твердого тела

Угол поворота цилиндра отсчитываем по направлению по часовой стрелке.

Поскольку Динамика плоского движения твердого тела

то из уравнения (2) имеем:

Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела

Следовательно, скорость центра масс будет иметь только одну составляющую – Динамика плоского движения твердого тела и поэтому Динамика плоского движения твердого тела.

Уравнение (1) запишем в виде:

Динамика плоского движения твердого тела

В этом уравнении две неизвестных величины – Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела. Для получения дополнительного условия воспользуемся уравнением (3), которое запишем в виде:

Динамика плоского движения твердого тела

или

Динамика плоского движения твердого тела

где Динамика плоского движения твердого тела – момент инерции цилиндра относительно оси, которая проходит через его центр масс.

Между угловой скоростью Динамика плоского движения твердого тела и скоростью центра масс Динамика плоского движения твердого тела существует зависимость. Поскольку точка Динамика плоского движения твердого тела – мгновенный центр скоростей цилиндра, то

Динамика плоского движения твердого тела

Подставим значение Динамика плоского движения твердого тела в уравнение (5):

Динамика плоского движения твердого тела

Левые части уравнений (4) и (6) равны, следовательно, равны и правые части:

Откуда: Динамика плоского движения твердого тела

Откуда получим: 

Динамика плоского движения твердого тела

Подставим в уравнение (4) значение Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку необходимо определить скорость центра масс Динамика плоского движения твердого тела как функцию расстояния, а не времени, в последнем уравнении заменим переменную Динамика плоского движения твердого тела на переменную Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

Разделим переменные и проинтегрируем:

Динамика плоского движения твердого тела

и

Динамика плоского движения твердого тела

Окончательно,

Динамика плоского движения твердого тела

Ответ: Динамика плоского движения твердого тела

Задача № 4

Однородный стержень Динамика плоского движения твердого тела длиной Динамика плоского движения твердого тела и весом Динамика плоского движения твердого тела (рис.11.5) одним концом закреплен с помощью плоского шарнира в точке Динамика плоского движения твердого тела; второй конец стержня удерживается нитью Динамика плоского движения твердого тела, которая составляет со стержнем угол Динамика плоского движения твердого тела. Стержень составляет с горизонтом угол Динамика плоского движения твердого тела.

Динамика плоского движения твердого тела

Определить, как изменится давление стержня на шарнир Динамика плоского движения твердого тела, если нить Динамика плоского движения твердого тела оборвется.

Решение. Сначала определим реакции в шарнире Динамика плоского движения твердого тела и натяжение нити Динамика плоского движения твердого тела. На стержень Динамика плоского движения твердого тела действует плоская система сил: сила тяжести Динамика плоского движения твердого тела, натяжение Динамика плоского движения твердого тела нити Динамика плоского движения твердого тела, направленное от точки Динамика плоского движения твердого тела к точке Динамика плоского движения твердого тела, а также реакция шарнира Динамика плоского движения твердого тела в виде составляющих Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела, которые направим в сторону положительных направлений осей Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела

Составим уравнение равновесия плоской системы сил, приложенной к стержню Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

Из уравнения (3) находим натяжение нити Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

Подставляя значения Динамика плоского движения твердого тела в уравнения (1) и (2) находим реакции Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

Если нить оборвется, то стержень начнет совершать вращательное движение вокруг шарнира Динамика плоского движения твердого тела.

Дифференциальные уравнения такого движения, учитывая, что точка Динамика плоского движения твердого тела неподвижна, можно записать в виде:

Динамика плоского движения твердого тела

где Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела – координаты центра масс стержня;

Динамика плоского движения твердого тела – угол, определяющий положение стержня в момент разрыва нити Динамика плоского движения твердого тела;

Динамика плоского движения твердого тела – момент силы тяжести стержня относительно оси шарнира Динамика плоского движения твердого тела;

Динамика плоского движения твердого тела – момент инерции стержня относительно оси шарнира Динамика плоского движения твердого тела.

С рис.11.5 вытекает:

Динамика плоского движения твердого тела

Продифференцируем эти выражения дважды, учитывая, что угол Динамика плоского движения твердого тела зависит от времени Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку в момент разрыва нити Динамика плоского движения твердого тела, то

Динамика плоского движения твердого тела

Подставив найденные значения Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела в выражения (4) и (5), получим:

Динамика плоского движения твердого тела

Для определения неизвестного значения Динамика плоского движения твердого тела воспользуемся уравнением (6), которое для момента обрыва нити запишется следующим образом:

Динамика плоского движения твердого тела

откуда

Динамика плоского движения твердого тела

Момент инерции однородного стержня относительно оси, которая проходит через его конец:

Динамика плоского движения твердого тела

Тогда

Динамика плоского движения твердого тела

Подставив значение Динамика плоского движения твердого тела в уравнения (7) и (8), получим:

Динамика плоского движения твердого тела

Следовательно, изменение реакций после обрыва нити будет равно:

Динамика плоского движения твердого тела

Динамика плоского движения твердого тела

Ответ: Динамика плоского движения твердого тела

Задача № 5

Тяжелое тело состоит из стержня Динамика плоского движения твердого тела длиной Динамика плоского движения твердого тела и весом Динамика плоского движения твердого тела и прикрепленного к нему диска с радиусом Динамика плоского движения твердого тела и весом Динамика плоского движения твердого тела В начальный момент при вертикальном положении стержня (рис.11.6,а) телу придается такое движение, что скорость центра тяжести Динамика плоского движения твердого тела стержня равна нулю, а скорость центра тяжести Динамика плоского движения твердого тела диска равна Динамика плоского движения твердого тела и направлена по горизонтали вправо.

Динамика плоского движения твердого тела

Определить следующее движение тела, принимая во внимание только действие сил тяжести.

Решение. Сначала определим положение центра масс тела. Для этого с точкой Динамика плоского движения твердого тела свяжем систему координат Динамика плоского движения твердого тела (рис.11.6, а).

Как видно из рисунка, вследствие симметрии тела относительно оси Динамика плоского движения твердого тела центр масс должен лежать на этой оси, то есть Динамика плоского движения твердого тела. Для определения второй координаты (Динамика плоского движения твердого тела) воспользуемся известным выражением:

Динамика плоского движения твердого тела

Для рассматриваемого случая эта формула принимает вид:

Динамика плоского движения твердого тела

где Динамика плоского движения твердого тела – масса стержня, равная Динамика плоского движения твердого тела;

Динамика плоского движения твердого тела – масса диска, равная Динамика плоского движения твердого тела;

Динамика плоского движения твердого тела – координата центра масс (тяжести) стержня:

Динамика плоского движения твердого тела

Динамика плоского движения твердого тела – координата центра масс (тяжести) диска.

Динамика плоского движения твердого тела

С учетом приведенных соотношений формула (1) примет вид:

Динамика плоского движения твердого тела

или

Динамика плоского движения твердого тела

Таким образом, центр масс тела находится в точке с координатами Динамика плоского движения твердого тела. Итак, центр масс тела совпадает с точкой Динамика плоского движения твердого тела, с которой мы связали начало системы координат Динамика плоского движения твердого тела.

Для определения движения тела, изобразим его в промежуточном положении на траектории (рис.11.6, б) и покажем действующие на тело силы: Динамика плоского движения твердого тела – сила тяжести стержня и Динамика плоского движения твердого тела – сила тяжести диска.

Принимаем за полюс центр масс Динамика плоского движения твердого тела, а за положительное направление угла поворота Динамика плоского движения твердого тела – вращение тела против хода часовой стрелки.

Дифференциальные уравнения плоского движения (11.4) в данном случае примут вид

Динамика плоского движения твердого тела

Из уравнения (2) вытекает:

Динамика плоского движения твердого тела

Итак, проекция скорости центра масс на ось Динамика плоского движения твердого тела сохраняется постоянной во время движения тела.

Определим величину Динамика плоского движения твердого тела. По условиям задачи в начальный момент времени (Динамика плоского движения твердого тела) скорость центра тяжести Динамика плоского движения твердого тела диска равна Динамика плоского движения твердого тела и направлена по горизонтали вправо, а скорость центра тяжести Динамика плоского движения твердого тела стержня равна нулю. Следовательно, точка Динамика плоского движения твердого тела является мгновенным центром скоростей. Тогда (рис. 11.6, а)

Динамика плоского движения твердого тела откуда Динамика плоского движения твердого тела

или

Динамика плоского движения твердого тела

Таким образом,

Динамика плоского движения твердого тела

Определим закон движения центра масс по направлению оси Динамика плоского движения твердого тела:

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку при Динамика плоского движения твердого телато Динамика плоского движения твердого тела

Таким образом,

Динамика плоского движения твердого тела

Центр масс в направлении оси Динамика плоского движения твердого тела движется равномерно.

Из дифференциального уравнения (3) определим закон движения центра масс тела по направлению оси Динамика плоского движения твердого тела.

Запишем уравнение (3) в виде:

Динамика плоского движения твердого тела

Поскольку Динамика плоского движения твердого тела то последнее уравнение примет вид:

Динамика плоского движения твердого тела

Разделяя переменные и интегрируя, находим зависимость скорости центра масс тела по направлению оси Динамика плоского движения твердого тела от времени:

Динамика плоского движения твердого тела

Постоянную интегрирования Динамика плоского движения твердого тела определяем по начальным условиям: при Динамика плоского движения твердого тела Следовательно, Динамика плоского движения твердого тела

Таким образом,

Динамика плоского движения твердого тела

то есть по направлению оси в центр масс движется равноускорено.

Находим закон движения центра масс:

Динамика плоского движения твердого тела

Разделим переменные и проинтегрируем:

Динамика плоского движения твердого тела

Постоянную интегрирования Динамика плоского движения твердого тела определяем по начальным условиям: при Динамика плоского движения твердого тела откуда Динамика плоского движения твердого тела

Следовательно, закон движения центра имеет тела по направлению оси Динамика плоского движения твердого тела имеет вид:

Динамика плоского движения твердого тела

Решая вместе зависимости (5) и (6), находим уравнение траектории центра масс.

Из выражения (5) вытекает, что

Динамика плоского движения твердого тела

Подставив значение Динамика плоского движения твердого тела в зависимость (6), получим:

Динамика плоского движения твердого тела

Таким образом, центр масс тела (точка Динамика плоского движения твердого тела) движется по параболе.

Определим закон вращательного движения тела вокруг оси, которая проходит через центр масс тела. Для этого уравнения (4) запишем в виде (рис.11.6, б):

Динамика плоского движения твердого тела

где Динамика плоского движения твердого тела – плечо силы Динамика плоского движения твердого тела относительно точки Динамика плоского движения твердого тела;

Динамика плоского движения твердого тела – плечо силы Динамика плоского движения твердого тела относительно точки Динамика плоского движения твердого тела.

С рис. 11.6,б найдем:

Динамика плоского движения твердого тела

Подставляя в выражение (7) значения Динамика плоского движения твердого тела и Динамика плоского движения твердого тела, получим:

Динамика плоского движения твердого тела

откуда, при Динамика плоского движения твердого тела, вытекает:

Динамика плоского движения твердого тела или Динамика плоского движения твердого тела

Таким образом, при движении в плоскости Динамика плоского движения твердого тела тело вращается вокруг оси, которая проходит через центр масс, с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости Динамика плоского движения твердого тела в начальный момент времени.

По условиям задачи, при Динамика плоского движения твердого тела скорость точки Динамика плоского движения твердого тела равнялась Динамика плоского движения твердого тела. Поскольку точка Динамика плоского движения твердого тела – мгновенный центр скоростей, то

Динамика плоского движения твердого тела

откуда

Динамика плоского движения твердого тела

Ответ: Динамика плоского движения твердого тела

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Момент силы
  4. Пара сил
  5. Произвольная система сил
  6. Плоская произвольная система сил
  7. Трение
  8. Расчет ферм
  9. Расчет усилий в стержнях фермы
  10. Пространственная система сил
  11. Произвольная пространственная система сил
  12. Плоская система сходящихся сил
  13. Пространственная система сходящихся сил
  14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  15. Естественный способ задания движения точки
  16. Центр параллельных сил
  17. Параллельные силы
  18. Система произвольно расположенных сил
  19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  20. Кинематика
  21. Кинематика твердого тела
  22. Движения твердого тела
  23. Динамика материальной точки
  24. Динамика механической системы
  25. Динамика относительного движения материальной точки
  26. Динамика твердого тела
  27. Кинематика простейших движений твердого тела
  28. Общее уравнение динамики
  29. Работа и мощность силы
  30. Обратная задача динамики
  31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  33. Сферическое движение твёрдого тела
  34. Движение свободного твердого тела
  35. Сложное движение твердого тела
  36. Сложное движение точки
  37. Плоское движение тела
  38. Статика твердого тела
  39. Равновесие составной конструкции
  40. Равновесие с учетом сил трения
  41. Центр масс
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Допустим, что у нас есть некоторая система, состоящая из n-ного количества материальных точек. Возьмем одну из них и обозначим ее массу как mk. Приложенные к точке внешние силы (как активные силы, так и реакции связей) имеют равнодействующую Fke. Внутренние силы имеют равнодействующую Fkl. Наша система находится в движении, следовательно, нужная точка будет иметь ускорение ak. Зная основной закон динамики, мы можем записать следующую формулу:

mkak=Fke+Fkl.

Ее можно применить к любой точке системы. Значит, для всей системы целиком можно сформулировать следующие уравнения:

m1a1=F1e+F1l,m2a2=F2e+F2l,⋯mnan=Fne+Fnl.

Данная формула состоит из дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в векторной форме. Если мы спроецируем эти равенства на соответствующие координатные оси, то у нас получатся дифференциальные уравнения движения в проекциях. Но в конкретных задачах чаще всего вычислять движение каждой точки системы не требуется: можно ограничиться характеристиками движения всей системы в целом.

Движение центра масс: основная теорема

Характер движения системы можно определить, зная закон, по которому движется ее центр масс.

Определение 1

Центр инерции системы (центр масс) – это воображаемая точка с радиус-вектором R, выражаемым через радиус-векторы r1, r2, … соответствующих материальных точек по формуле R=m1r1+m2r2+…+mnrnm.

Здесь сумма показателей в числителе m=m1+m2+…+m3 выражает общую массу всей системы.

Для нахождения этого закона нам нужно взять уравнения движения системы, приведенные в предыдущем пункте, и сложить их правые и левые части. У нас получится, что:

∑mkak¯=∑Fk¯e+∑Fk¯l.

Взяв формулу радиус-вектора центра масс, получим следующее:

∑mkrk=Mrc.

Теперь возьмем вторую производную по времени:

∑mkak=Mac.

Здесь буквой ac¯ обозначено ускорение, которое приобретает центр масс системы.

Определение 2

Свойство внутренних сил в системе гласит, что Fkl равно нулю, значит, окончательное равенство будет выглядеть так:

Mac¯=∑Fk¯e.

Это уравнение является записью закона движения центра масс. Запишем его:

Движение центра масс системы идентично движению материальной точки той же массы, что и вся система целиком, к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

Иначе говоря, произведение ускорения центра масс системы на массу самой системы будет равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на эту систему.

Возьмем полученное выше уравнение и спроецируем его правую и левую части на соответствующие координатные оси. У нас получится:

Mxc¨=∑Fkx¯e, Myc¨=∑Fky¯e, Mzc¨=∑Fkz¯e.

Эти равенства являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекции на оси в декартовой системе координат.

Практическое значение теоремы о движении центра масс

Данная теорема имеет большую практическую ценность. Поясним, в чем именно она заключается.

Теорема 1
  1. Любое тело, движущееся поступательно, может быть рассмотрено в качестве материальной точки, масса которой равна массе всего тела. Во всех других случаях такой подход возможен лишь тогда, когда для определения положения тела в пространстве нам будет достаточно знать, в каком положении находится его центр масс. Также важно, чтобы условия задачи допускали исключение вращательной части движения тела.
  2. С помощью теоремы движения центра масс системы мы можем не рассматривать в задачах неизвестные нам заранее внутренние силы.

Разберем пример применения теоремы для решения практической задачи.

Пример 1

Условие: к оси центробежной машины на нити подвешено кольцо из металла. Оно совершает равномерные вращательные движения с угловой скоростью, равной ω. Вычислите, на каком расстоянии центр кольца находится от оси вращения.

Решение

Практическое значение теоремы о движении центра масс

Очевидно, что система находится под воздействием силы тяжести N N¯ αα. Также необходимо учесть силу натяжения нити и центростремительное ускорение.

Второй закон Ньютона для системы будет выглядеть так:

ma¯=N¯+mg¯.

Теперь создадим проекции обеих частей равенства на оси абсцисс и ординат и получим:

N sin α=ma;N cos α=mg.

Мы можем разделить одно уравнение на другое:

tg α=ag.

Поскольку a=υ2R, υ=ωR, то нужное нам уравнение будет выглядеть так:

R=gtgαω2.

Ответ: R=gtgαω2.

Содержание:

Динамика материальной точки:

Динамика, как было указано вначале, занимается изучением движения физических тел под действием сил. Предыдущие два раздела теоретической механики, а именно статику и кинематику, можно рассматривать как вспомогательные разделы, облегчающие изучение динамики, хотя вопросы, рассмотренные в них, имеют большое самостоятельное значение.

В кинематике нами была изучена лишь геометрическая сторона движения тел и было дано математическое выражение этого движения. В динамике мы будем рассматривать возникновение этих математических соотношений с учетом тех причин и условий, которые вызывают определенный характер движения; при этом нам придется ввести ряд дополнительных понятий, Например: масса, работа и пр.

Что касается статики, то в этом разделе механики были изучены главным образом вопросы равновесия тел, а равновесие можно рассматривать как частный случай движения. Поясним сказанное. Пусть на свободную материальную точку действуют Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Частный же случай, соответствующий равновесию или прямолинейному и равномерному движению точки, будет выражаться равенством:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда следует, что выводы статики являются лишь частными случаями тех положений, которые будут даны в динамике.

Исходя из этого, статику можно было бы изучать совместно с динамикой, где рассматриваются самые общие законы механического движения.

В своем развитии механика прошла три периода. В первый период, самый продолжительный, до Галилея и Ньютона, механика развивалась главным образом в области статики. Во второй период, начатый Галилеем и Ньютоном (XVI—XVII вв.), основные вопросы, связанные с изучением механического движения тел, были уже окончательно разрешены, круг этих вопросов является содержанием классической механики.

Основные законы классической механики, сформулированные Ньютоном, были опубликованы в 1687 г. в его сочинении «Математические начала натуральной философии». Однако классическая механика, получившая свое развитие на основе чисто механических принципов, оказалась ограниченной и не была в состоянии разрешить вопросы, связанные с изучением других форм движения материи (тепловая энергия, электрическая и пр.). Поэтому во второй период, наряду с развитием классической механики, ряд выдающихся ученых того времени работает также и в области физики. С открытием выдающимся русским ученым М. В. Ломоносовым закона сохранения энергии начинается третий период развития механики.

Как известно из курса физики, закон сохранения энергии в самом общем виде может быть записан так:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Т — кинетическая энергия;

  •        П — потенциальная энергия;
  •        Q — тепловая энергия;
  •       X— электрическая энергия и т. д.

Из написанного следует:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Первое из этих равенств указывает на постоянство суммы всех видов энергии, второе —на переход одного вида энергии в другой.

Из закона сохранения энергии непосредственно следует, что механическое движение, входящее в выражение закона сохранения энергии в виде слагаемых Т и П, является только одной из форм физических движений материи.

Неудача, постигшая исследователей при построении ими механики электрона на основе выводов классической механики, привела к дальнейшему развитию физики. Эти направления в развитии физики завершились построением теории относительности. С открытием теории относительности выяснилось, что основные законы, сформулированные Ньютоном в его сочинении «Математические начала натуральной философии», оказались только первым приближением, достаточно справедливым тогда, когда скорость в изучаемых явлениях мала по сравнению со скоростью света. Поэтому в тех случаях, когда скорости изучаемых движений велики, как это имеет место, например, при изучении э лектромагнитных взаимодействий, методы классической механики оказываются недостаточными.

Перейдем теперь к изложению основных законов динамики применительно к материальной точке.

Закон первый (принцип инерции)

Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Отсюда следует, что покоящейся точке свойственно оставаться в покое, а движущейся прямолинейно и равномерно — сохранять это движение. Такое состояние точки называется инерциальным. Его можно представить себе, если материальную точку мысленно изолировать от воздействия окружающих тел. В этом случае на материальную точку не будет действовать никаких сил и ее скорость по отношению к выбранным осям координат будет оставаться постоянной как по величине, так и по направлению, в частности может быть равной нулю. Такое свойство точки сохранять неизменной величину и направление своей скорости называется инертностью, или инерцией. Это свойство было сформулировано впервые Галилеем. В дальнейшем движение материальной точки или системы мы будем рассматривать по отношению к координатным осям, связанным с Землей, считая ее условно неподвижной.

Если почему-либо точка движется неравномерно или непрямолинейно, то такое движение является результатом действия на точку силы. В указанном случае движения точки, как известно из кинематики, появляется ускорение. Поэтому между силой, сообщающей ускорение, и самим ускорением имеется связь, которая устанавливается вторым законом динамики.

Закон второй (основное уравнение динамики)

Ускорение, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой, имеет направление силы и по величине’пропорционально силе.

Обозначим силу, действующую на материальную точку, через Р, а сообщаемое этой силой ускорение через Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда второй закон может быть представлен следующим равенством:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Это равенство называется основным уравнением динамики.

Коэффициент пропорциональности Динамика материальной точки в теоретической механике между Р и Динамика материальной точки в теоретической механике представляет собой положительный скалярный множитель и называется массой материальной точки.

Из основного уравнения динамики видно, что чем больше Динамика материальной точки в теоретической механике при постоянной силе Р, тем меньше Динамика материальной точки в теоретической механике.

Первый закон динамики легко получается из основного уравнения динамики, как следствие.

В самом деле, при Динамика материальной точки в теоретической механике:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда Динамика материальной точки в теоретической механике, что и выражает принцип инерции.

При сравнении сил, действующих на материальные точки, применяются два способа — статический и динамический.

При статическом способе сравнения сил употребляются различного рода весы; при динамическом способе мы принимаем Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда имеет место соотношение:

Динамика материальной точки в теоретической механике

т. е. силы сравниваются динамически, так же как и вызываемые этими силами ускорения.

Указанные способы применяются также при сравнении масс материальных точек.

При статическом способе сравнения масс полагают Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда:

Динамика материальной точки в теоретической механике

т. е. статически массы сравниваются между собой так же, как и силы.

Сравнивая массы динамически, полагают Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда:

Динамика материальной точки в теоретической механике.

Отсюда следует, что при динамическом сравнении масс, их отношение обратно пропорционально ускорениям.

В том случае, когда свободная материальная точка находится под действием силы тяжести Q, основное уравнение динамики (130) принимает вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — ускорение силы тяжести, имеющее постоянную величину в данном месте земной поверхности (приблизительно Динамика материальной точки в теоретической механике).

Из уравнения (131) легко определяется масса тела путем его взвешивания.    ‘

При статическом способе сравнения масс материальных точек отношение масс равно отношению весов точек; в этом заключается удобство статического способа сравнения масс.

В дальнейшем при изучении динамики следует обращать внимание на размерность механических величин. В разделе кинематики мы встречались уже с двумя основными единицами: расстоянием и временем; в динамике же к указанным основным единицам присоединяется третья — масса или сила. В зависимости от того, что будет принято в качестве третьей основной единицы — масса или сила, существуют две системы единиц — физическая и техническая.

Размерность всех механических величин, как, например, работы, мощности, момента инерции и пр., следует в дальнейшем выводить из основных единиц (длина, масса, время или длина, сила, время), положенных в основу физической и технической систем единиц.

Размерность наиболее часто встречаемых величин: силы, массы, работы и . мощности, выраженная в физической и технической системах единиц, приведена в таблице 9.

Таблица 9

Динамика материальной точки в теоретической механике

В дальнейшем мы будем пользоваться технической системой единиц или системой МКГСС.

Закон третий (закон независимости действия сил)

Если на Свободную материальную точку действуют несколько сил, то они сообщают ей ускорение, равное геометрической сумме тек ускорений, которые точка получает при действии каждой из этих сил в отдельности.

Пусть ускорения, которые точка получает от действия каждой силы в отдельности Динамика материальной точки в теоретической механике, соответственно равны Динамика материальной точки в теоретической механике. Пусть также при одновременном действии всех указанных сил точка получает ускорение, равное Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда на основании закона независимости действия сил можно написать:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Умножим обе части равенства на Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда следует, что при одновременном действии на материальную точку нескольких сил их можно заменить равнодействующей, равной геометрической сумме действующих сил.

Закон четвертый (закон равенства действия и противодействия)

Всякому действию всегда соответствует равное и противоположное противодействие.

Этот закон достаточно подробно был уже изучен в разделе статики.

Основные законы динамики были сформулированы нами для случая свободной точки. Если точка не свободна, то связи могут быть заменены их реакциями.

В самом общем случае движение точки может происходить по линии пересечения двух поверхностей; движения точки по трем поверхностям происходить не может, так как пересечение трех поверхностей определяет положение неподвижной точки.

На точку, движущуюся по линии пересечения двух поверхностей I и II, после замены связей их реакциями, действуют три силы: равнодействующая всех заданных сил Р и нормальные реакции поверхностей Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 243).

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 243.

В этом случае основное уравнение динамики примет вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике.

При Динамика материальной точки в теоретической механике точка движется по поверхности, а при Динамика материальной точки в теоретической механике точка является свободной.   

Если сами поверхности перемещаются в пространстве, то уравнение каждой из поверхностей, помимо координат х,у и z, будет содержать еще и время t.

Линия, по которой движется точка, есть пересечение этих поверхностей, представляемых4 аналитически уравнениями:    

Динамика материальной точки в теоретической механике

Если же обе поверхности в пространстве неподвижны и не изменяют со временем своей формы, то они будут представлены уравнениями:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Уравнения (133)или (133а)называются уравнениями связи, так как они определяют ту линию, на которой движущаяся точка вынуждена все время оставаться при действии на нее сил. Связи, представленные уравнениями (133а), не зависят от времени, т. е. остаются неподвижными и не меняют своей формы. Такие связи называются стационарными связями.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть свободная материальная точка М (рис. 244) совершает движение в пространстве под действием сил Динамика материальной точки в теоретической механике. Напишем для этого случая основное уравнение динамики (130):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Проектируя обе части геометрического равенства на выбранные неподвижные координатные оси Ох, Оу и Oz, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Заменяя проекции ускорений через вторые производные соответствующих координат по времени, получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениям движения свободной материальной точки.

Для точки, движущейся в плоскости, можно, очевидно, написать, два дифференциальных уравнения движения, а для случая прямолинейного движения — всего лишь одно.

Вообще число дифференциальных уравнений движения точки всегда равно числу ее кинематических уравнений движения.

При помощи дифференциальных уравнений движения точки, являющихся следствием основного уравнения динамики, можно решать следующие две задачи.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 244.

Первая задача: по заданным уравнениям движения тбчки Динамика материальной точки в теоретической механике требуется найти силу Р, вызывающую это движение.

Вторая задача: п-о заданной силе или системе сил Динамика материальной точки в теоретической механике. действующей на точку, требуется найти уравнения движения точки: Динамика материальной точки в теоретической механике, которые соответствуют заданным силам.

Ясно, что вторая задача является обратной первой задаче. При решении первой задачи следует каждое из заданных уравнений движения точки продифференцировать два раза по времени t и подставить значения вторых производных х, у и z в уравнения (134). Тогда легко определятся проекции Динамика материальной точки в теоретической механике искомой равнодействующей силы Р на координатные оси.

Решение второй задачи сводится к тому, что мы находим проекции на координатные оси сил, приложенных к точке, и подставляем найденные значения Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механике в правую часть уравнений (134).

Далее, интегрируя дважды каждое из этих дифференциальных уравнений движения, получаем уравнения движения точки: Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механикесодержащие шесть постоянных интегрирования. Постоянные интегрирования определятся, если известно начальное положение точки (ее координаты Динамика материальной точки в теоретической механике), а также проекции начальной скорости Динамика материальной точки в теоретической механике на координатные оси. Запись для определения постоянных интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике следует проводить в следующем порядке:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

При составлении дифференциальных уравнений движения (134) мы спроектировали основное уравнение динамики (130) на оси Ох, Оу, Oz.

В некоторых случаях геометрическое равенство (130) бывает удобнее проектировать на координатные оси, из которых одна совпадает с направлением касательной к траектории точки, вторая — с направлением главной нормали, а третья — с направлением бинормали.

Из кинематики известно, что проекция ускорения на бинормаль равна нулю, так как лектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости.

Обозначая проекции равнодействующей сил, приложенных к точке на касательную, главную нормаль и бинормаль, соответственно через Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Эти уравнения называются естественными уравнениями движения.

Исследуя движение несвободной материальной точки, мы должны будем в число действующих на точку сил включить также и реакции связей Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 243). Тогда дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки примут вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике, а также Динамика материальной точки в теоретической механике — углы, которые составляют нормали к поверхностям I и II в данной точке с осями координат Ох, Оу и Oz.

В случае Динамика материальной точки в теоретической механике дифференциальные уравнения для несвободной точки (136) превращаются в уравнения (134) для свободной точки.

Преобразуем теперь эти уравнения.

Из куpca дифференциальной геометрии известно, что косинусы углов нормалей с осями координат выражаются так:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Аналогично:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где

Динамика материальной точки в теоретической механике

Обозначая сокращенно произведения Динамика материальной точки в теоретической механике соответственно через Динамика материальной точки в теоретической механике, получим дифференциальные уравнения движения (136) в виде:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике движение точки происходит по поверхности, при Динамика материальной точки в теоретической механике движение точки свободное.

Решим сначала ряд задач на прямолинейное движение точки.

Задача №1

Прямолинейное движение ножа режущего аппарата комбайна в сантиметрах и секундах выражается приближенным уравнением: Динамика материальной точки в теоретической механике. Определить в килограммах силу Р, приводящую нож в движение, в зависимости от расстояния s, приняв вес ножа Динамика материальной точки в теоретической механике.

Решение. Нож движется поступательно, а поэтому ускорение любой его точки будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Искомая сила Р определится из основного уравнения динамики (130) или по одному из равенств (134):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №2

При погрузке зерна его засыпают на желоб, наклоненный под углом Динамика материальной точки в теоретической механике к горизонту.

Рассматривая движение по желобу одного зерна и принимая его за материальную точку, найти промежуток времени Динамика материальной точки в теоретической механике по истечении которого зерно соскользнет с желоба, и его скорость в этот момент, если начальная скорость зерна Динамика материальной точки в теоретической механике, коэффициент трения скольжения его о желоб Динамика материальной точки в теоретической механике и длина желоба Динамика материальной точки в теоретической механике.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 245.

Решение. При движении зерна по желобу на него действуют три силы: вес зерна Q, нормальная реакция желоба N и сила трения F (рис. 245). Выбрав начало отсчета О в месте, соответствующем началу движения зерна, и направив ось х по желобу, составим дифференциальное уравнение движения зерна:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интегрируя дважды составленное дифференциальное уравнение, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Постоянные интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике определятся из начальных условий.    

Так как в начальный момент Динамика материальной точки в теоретической механике зерно находилось в начале отсчета, а проекция его начальной скорости на ось х равна Динамика материальной точки в теоретической механике, то, подставляя значения Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике в полученные уравнения (а), определим постоянные интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике, откуда Динамика материальной точки в теоретической механике 

 при Динамика материальной точки в теоретической механикеоткуда Динамика материальной точки в теоретической механике

После подстановки найденных значений Динамика материальной точки в теоретической механике в уравнения (а) последние примут вид: 

Динамика материальной точки в теоретической механике

Полагая во втором из найденных уравнений Динамика материальной точки в теоретической механике, определим время Динамика материальной точки в теоретической механике движения зерна по желобу:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя значение Динамика материальной точки в теоретической механике в первое уравнение и полагая Динамика материальной точки в теоретической механике определим скорость зерна Динамика материальной точки в теоретической механике в момент, когда оно проходйт всю длину желоба:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интегрирование дифференциального уравнения Динамика материальной точки в теоретической механике Динамика материальной точки в теоретической механике можно было бы произвести, пользуясь определенным интегралом. Перепишем это уравнение в виде:

Динамика материальной точки в теоретической механике

и проинтегрируем его два раза. Первый раз (по переменным Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике) в прёделах: Динамика материальной точки в теоретической механике  тогда получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Второй раз проинтегрируем (по переменным х и t) в пределах Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из последнего уравнения определяем, как и выше, время Динамика материальной точки в теоретической механике, а из уравнения скорости Динамика материальной точки в теоретической механике — величину Динамика материальной точки в теоретической механике, подставив вместо Динамика материальной точки в теоретической механике найденное значение Динамика материальной точки в теоретической механике.

Задача №3

Автомобиль, вес которого равен Q, движется по прямолинейному горизонтальному участку дороги со скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике. В некоторый момент двигатель выключили и предоставили автомобилю двигаться по инерции. При движении автомобиля развивается сопротивление, пропорциональное первой степени скорости; коэффициент пропорциональности Динамика материальной точки в теоретической механике.

Какое расстояние s пройдет автомобиль до остановки, если предположить, что кроме указанного сопротивления никаких других тормозящих сил нет?

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис 246.

Решение. При движении автомобиля с выключенным двигателем к нему приложены три силы: вес автомобиля Q, реакция полотна дороги N и сила сопротивления Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 246). Выбрав начало координат в точке О, соответствующей началу выключения двигателя, и направив ось Ох вправо, получим следующее дифференциальное уравнение движения автомобиля:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Произведя интегрирование, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике, откуда Динамика материальной точки в теоретической механике, поэтому Динамика материальной точки в теоретической механике, или Динамика материальной точки в теоретической механике.

Произведя второй раз интегрирование, получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике, откуда Динамика материальной точки в теоретической механике. Поэтому:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике пройденный путь Динамика материальной точки в теоретической механике

Этот же результат может быть получен также путем применения определенного интеграла. Для этого перепишем составленное выше дифференциальное уравнение движения в виде:

Динамика материальной точки в теоретической механике

После сокращения на Динамика материальной точки в теоретической механике найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике или Динамика материальной точки в теоретической механике

Проинтегрировав последнее уравнение (по переменным Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике) в пределах Динамика материальной точки в теоретической механике, получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда находим, что путь, пройденный автомобилем в момент выключения двигателя до остановки равен:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №4

К концу упругой нити прикреплен шарик массы Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 247). Для удлинения нити на 1 см нужно приложить силу Динамика материальной точки в теоретической механике Вытянув нить по вертикали вдвое, отпускают шарик без начальной скорости. Пренебрегая весом шарика по сравнению с упругой силой нити и считая натяжение нити пропорциональным ее удлинению, найти закон движения шарика. При решении задачи силами сопротивления пренебречь.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 247.

Решение. Пусть начальное положение шарика Динамика материальной точки в теоретической механике, а конечное Динамика материальной точки в теоретической механике. Выбрав начало отсчета в точке Динамика материальной точки в теоретической механике, составим дифференциальное уравнение движения шарика:    

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для решения полученного уравнения заменим Динамика материальной точки в теоретической механике через Динамика материальной точки в теоретической механике и умножим обе части равенства на Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механике. После интегрирования найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике а поэтому Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставим полученное значение Динамика материальной точки в теоретической механике и извлечем из обеих частей равенства квадратный корень:    |

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интегрируем вторично обе части равенства, для чего предварительно разделим переменные:

Динамика материальной точки в теоретической механике или Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда находим: Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике, поэтому Динамика материальной точки в теоретической механике, откуда Динамика материальной точки в теоретической механике. Окончательно имеем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Перейдем теперь к решению задач на криволинейное движение точки.

Задача №5

Движение тела весом Динамика материальной точки в теоретической механике в метрах и секундах выражается уравнениями:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Определить силу, действующую на тело, приняв Динамика материальной точки в теоретической механике.

Решение. Считая тело за материальную точку, найдем по формулам (134) проекции Динамика материальной точки в теоретической механике на координатные оси силы Р, действующей на тело:

Динамика материальной точки в теоретической механике

но так как Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механике, то

Динамика материальной точки в теоретической механике

Величина и направление силы Р определятся по формулам:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из уравнений движения следует, что точка движется равномерно по окружности радиусом 5 м с ускорением, направленным к центру окружности Динамика материальной точки в теоретической механике, а поэтому на основании уравнения (130) заключаем, что и сила Динамика материальной точки в теоретической механике направлена, так же как и ускорение Динамика материальной точки в теоретической механике, к центру окружности.

Задача №6

Движение тела массой Динамика материальной точки в теоретической механике в метрах и секундах выражается уравнениями: Динамика материальной точки в теоретической механике Определить силу, действующую на тело, принимая его за материальную точку.

Ответ: тело находится под действием силы тяжести Q = 100 кГ.

Задача. Для сортирования семян применяется центробежная сортировальная установка, представляющая круглый диск, вращающийся вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к плоскости диска. Диск имеет радиальные перегородки, вдоль которых под действием центробежных сил перемещаются сортируемые семена. Скорость, с которой семена сходят с диска, равна Динамика материальной точки в теоретической механике и направлена горизонтально; высота падения семян Динамика материальной точки в теоретической механике Определить дальность s полета семени в случаях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, а также когда при падении семени развивается сопротивление Динамика материальной точки в теоретической механике, направленное противоположно скорости Динамика материальной точки в теоретической механике. Масса одного семени Динамика материальной точки в теоретической механике, a Динамика материальной точки в теоретической механике — заданный постоянный коэффициент.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 248.

Решение. Пусть семя, принимаемое за материальную точку (рис. 248), движется по некоторой кривой.

Проведем координатные оси х и у, выбрав за начало координат точку О, соответствующую началу схода семени с диска.

Во время полета семени при отсутствии сопротивления на него действует одна вертикальная сила тяжести Динамика материальной точки в теоретической механике. Составляя дифференциальные уравнения движения семени (134), можем написать: Динамика материальной точки в теоретической механике

Сокращая оба уравнения на Динамика материальной точки в теоретической механике и произведя интегрирование, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Постоянные интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике определятся из того условия, что в начальный момент семя находилось в начале координат, а поэтому Динамика материальной точки в теоретической механике. Так как вектор начальной скорости семени Динамика материальной точки в теоретической механике при этом горизонтален, то Динамика материальной точки в теоретической механике.

Из сказанного следует:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставив значения постоянных интегрирования в полученные выше уравнения, найдем выражения проекций скоростей и координат движущейся точки (семени) как функций времени:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Исключая из уравнений движения время t, найдем, что траектория семени — парабола:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Дальность полета семени s определится из уравнения траектории путем подстановки: Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

При наличии сопротивления Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 248) дифференциальные уравнения (134) будут:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Сокращая на Динамика материальной точки в теоретической механике и умножая на Динамика материальной точки в теоретической механике, получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Произведя интегрирование, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из начальных условий, имеем:

при

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

поэтому:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интегрирующим множителем последних двух уравнений является Динамика материальной точки в теоретической механике.

В этом легко можно убедиться, если умножить эти уравнения на Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интегрируя первое из этих уравнений, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике, следовательно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Умножим второе уравнение на Динамика материальной точки в теоретической механике и, интегрируя его, будем иметь:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Выражение Динамика материальной точки в теоретической механике интегрируем по частям:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Поэтому получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике, следовательно Динамика материальной точки в теоретической механике, отсюда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Уравнения (а) и (б) являются уравнениями движения семени. Найдем уравнение траектории полета семени, для чего из уравнений движения (а) и (б) следует исключить время Динамика материальной точки в теоретической механике.

Из уравнения (а) имеем:

Динамика материальной точки в теоретической механике или Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя найденное значение Динамика материальной точки в теоретической механике в уравнение (б) и обозначая Динамика материальной точки в теоретической механике получим уравнение траектории:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для нахождения дальности полета семени следует в уравнение траектории подставить Динамика материальной точки в теоретической механике и решить это уравнение одним из приближенных способов относительно s.

Задача №7

При очистке зерен их пропускают сквозь колеблющееся решето, имеющее отверстия и расположенное горизонтально. Горизонтальная скорость, с которой зерно подходит к краю отверстия, равна Динамика материальной точки в теоретической механике, форма зерна — шар радиуса R (рис. 249).    

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 249.

Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить минимальную длину отверстия Динамика материальной точки в теоретической механике так, чтобы зерно могло проскочить.

Указание: минимальная длина отверстия Динамика материальной точки в теоретической механике определится из того условия, что в момент проскакивания зерна через отверстие его центр должен быть расположен на уровне поверхности решета.

Ответ: Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №8

Решить задачу (см. рис. 247) в том случае, когда при вытягивании нити вдвое шарику сообщена вправо начальная скорость Динамика материальной точки в теоретической механике а в точке Динамика материальной точки в теоретической механике имеется неподвижное гладкое кольцо, через которое проходит упругая нить (рис. 250).

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 250.

Указание: обозначим угол между направлением нити и осью Ох через Динамика материальной точки в теоретической механике, а длину Динамика материальной точки в теоретической механике через Динамика материальной точки в теоретической механике, тогда по формулам.(134) наводим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Так как

Динамика материальной точки в теоретической механике

то

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интегрируя каждое из полученных дифференциальных уравнений аналогично тому, как это было проделано при решении задачи (рис. 247), получим уравнения движения шарика:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Исключая из уравнений движения время Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №9

Дождевальная установка для орошения полей состоит из горизонтальных труб с вертикальными ответвлениями; последние оканчиваются сферическими наконечниками, имеющими отверстия на поверхности сферы (рис. 251). Вода под напором выбрасывается во все стороны с одинаковой скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике в виде струй, образующих капли воды, которые падают на землю под действием сил тяжести. Пренебрегая сопротивлением воздуха, показать, что во всякий момент движения все капли будут расположены на сфере, центр которой опускается с ускорением свободно падающего тела, а радиус равен Динамика материальной точки в теоретической механике, где Динамика материальной точки в теоретической механике — время, прошедшее с момента выбрасывания капель.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Решение. Пусть капля движется по некоторой кривой. Выберем координатные оси, как показано на рисунке 251. На каждую каплю, принимаемую за материальную точку, будет действовать только сила тяжести, а поэтому дифференциальные уравнения движения будут иметь вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

После сокращения Динамика материальной точки в теоретической механике и интегрирования получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для определения постоянных интегрирования получаем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — углы, которые составляет вектор Динамика материальной точки в теоретической механике с осями координат.

Подставляя значения постоянных интегрирования в написанные выше уравнения, получим следующие уравнения движения для каждой капли:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Исключая из найденных уравнений движения время Динамика материальной точки в теоретической механике и полагая Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем, что каждая капля будет расположена на сфере:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №10

Для очистки и перемещения зерна на механизированных токах применяется зернопульт, который выбрасывает семена с начальной скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике,  расположенной в плоскости zOy и составляющей с осью Оу угол Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 252).

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 252.

Пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая зерно за материальную точку, определить координаты зерна в момент его падения на горизонтальную плоскость хОу, если на зерно во время его полета, помимо веса Q, действует постоянное давление ветра Р, направленное параллельно оси Ох.

Решение. Зерно после вылета из зернопульта будет двигаться по пространственной кривой. Положение выбранных координатных осей показано на рисунке 252.

Во время полета зерна на него действуют две силы Q и Р, поэтому дифференциальные уравнения движения будут:

Динамика материальной точки в теоретической механике

После простых преобразований и интегрирования найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Определим постоянные интегрирования.

Динамика материальной точки в теоретической механике

После подстановки найденных значений постоянных интегрирования в полученные выше уравнения движения будем иметь:

Динамика материальной точки в теоретической механике

В момент удара зерна о землю (положение А) оно находится в плоскости хОу, поэтому, полагая Динамика материальной точки в теоретической механике,  найдем, что время падения зерна:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя найденное значение Динамика материальной точки в теоретической механике в уравнения движения, получим координаты точки А:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №11

Конический маятник состоит из груза М весом Динамика материальной точки в теоретической механике, подвешенного на нити длиной Динамика материальной точки в теоретической механике в неподвижной точке О, причем нить составляет с вертикалью угол 60°, а груз М описывает окружность в горизонтальной плоскости (рис. 253).

Определить скорость Динамика материальной точки в теоретической механике груза и натяжение нити Динамика материальной точки в теоретической механике

Решение. Связью для груза М является нить ОМ, допускающая движение груза по сфере радиуса Динамика материальной точки в теоретической механике Отсюда, обозначив координаты точки М через Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем уравнение ее связи:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Точка М движется по одной поверхности, поэтому, полагая в уравнениях (137) Динамика материальной точки в теоретической механике, получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где

Динамика материальной точки в теоретической механике

Перед Динамика материальной точки в теоретической механике взят знак плюс потому, что мы предполагаем, что реакция нити направлена в сторону внешней нормали.

После подстановки значений Динамика материальной точки в теоретической механике в последнее дифференциальное уравнение, определим из него реакцию нити Динамика материальной точки в теоретической механике.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Так как мы направили реакцию в сторону внешней нормали, то знак минус указывает на то, что реакция Динамика материальной точки в теоретической механике будет направлена в сторону внутренней нормали (т. е. к точке О закрепления нити).

Для нахождения скорости груза продифференцируем два раза по Динамика материальной точки в теоретической механике уравнение его связи; тогда получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 253.

Здесь Динамика материальной точки в теоретической механике, а значения Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике найдем из первого и второго дифференциальных уравнений движения после подстановки в них найденного значения Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Эта же задача может быть решена проще, если воспользоваться естественными уравнениями движения (135). Проведем через точку М (рис. 253) естественные оси Динамика материальной точки в теоретической механике и спроектируем силы, приложенные к точке М, вес Q и реакцию Динамика материальной точки в теоретической механике на эти оси; тогда получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Работа сил, приложенных к материальной точке

Для характеристики эффекта действия на материальную точку силы в зависимости от пути, на котором она действует, вводится понятие ее работы. Остановимся на понятии работы силы в самом общем случае.

Элементарной работой силы на элементарном перемещении называется произведение силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлениями силы, и перемещения (или скорости).

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 254.

Если обозначить элементарную работу через dA, а вектор перемещения, соответствующий бесконечно малой дуге ds и направленный по касательной в сторону движения, через dr (рис. 254), то по определению:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для вычисления полной работы А силы Р на некотором перемещении (рис. 254) следует взять сумму бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных работ на каждом из элементарных участков ds; тогда получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При подсчете суммы (139) иногда бывает полезно представить выражение элементарной работы через проекции силы Р и вектора перемещения dr на координатные оси. Так как элементарная работа (138) представляет собой скалярное произведение Р на dr, то на основании свойства скалярного произведения (9):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 255.

В случае прямолинейного перемещения и постоянства действующей силы (рис. 255) полная работа А на пути Динамика материальной точки в теоретической механике найдется из формулы (139):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Работа А положительна, если Динамика материальной точки в теоретической механике и отрицательна, если Динамика материальной точки в теоретической механике:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Если на точку М действует несколько сил Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 256), то, заменяя их

одной равнодействующей, можно написать: Динамика материальной точки в теоретической механике

Умножив скалярно обе части последнего равенства на dr, получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или на основании равенства (138):

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

т. е. работа равнодействующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ составляющих.

Наряду с понятием работы вводят понятие мощности, как отношения элементарной работы к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого проведена работа. Обозначив мощность через N, можем написать:

Динамика материальной точки в теоретической механике

т. е. мощность равна скалярному произведению силы на скорость.

Задача №12

Показать, что работа силы тяжести зависит только от крайних положений, между которыми происходит перемещение точки приложения силы, и не зависит от формы кривой, по которой перемещается эта точка.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 257.

Решение. Пусть на материальную точку М (рис. 257), действует сила тяжести Q и пусть крайние положения, между которыми происходит перемещение точки приложения силы, заданы точками: Динамика материальной точки в теоретической механике

При вычислении элементарной работы по формуле (140) замечаем, что Динамика материальной точки в теоретической механике; поэтомуДинамика материальной точки в теоретической механике.

Полная работа А найдется как сумма элементарных работ:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Обозначим Динамика материальной точки в теоретической механике, где знак плюс соответствует Динамика материальной точки в теоретической механике, а знак минус Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению силы тяжести на величину перемещения по вертикали ее точки приложения.

Если перемещение происходит вверх, то А < 0, а если вниз, то А > 0.

Задача №13

Вычислить работу упругой силы пружины при вытягивании ее конца на величину h, если известно, что сила упругости пружины пропорциональна ее удлинению (или укорочению).

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 258.

Решение. При вытягивании конца пружины М на величину х (рис. 258, а) возникает упругая реакция пружины Р, направленная вертикально вверх. Так как по условию упругая сила пружины Р пропорциональна ее вытягиванию х, то Динамика материальной точки в теоретической механике, где с — постоянный коэффициент, характеризующий степень жесткости пружины.

Применим формулу (140) к нахождению элементарной работы упругой силы: Динамика материальной точки в теоретической механике

Полная работа упругой силы найдется по формуле (139):

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для определения коэффициента жесткости с проделывают следующий опыт: к концу Динамика материальной точки в теоретической механике пружины (рис. 258, б) подвешивают известный нам груз Q, который, вытянув пружину на некоторую величину Динамика материальной точки в теоретической механике, уравновесится силой упругости пружины Динамика материальной точки в теоретической механике.

Очевидно, что при равновесии Динамика материальной точки в теоретической механике; но так как Динамика материальной точки в теоретической механике, то Динамика материальной точки в теоретической механике; откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №14

Какова должна быть наименьшая мощность двигателя для того, чтобы груз весом Q=10 т при равномерном движении его поднять вверх по наклонной плоскости на высоту Динамика материальной точки в теоретической механике в течение Динамика материальной точки в теоретической механике. Коэффициент трения груза о плоскость Динамика материальной точки в теоретической механике, угол наклона плоскости Динамика материальной точки в теоретической механике и коэффициент полезного действия двигателя Динамика материальной точки в теоретической механике.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 259.

Решение. При подъеме груза по плоскости приходится преодолевать сопротивление сил: веса груза Q и силы трения F (рис. 259). Найдем работу А этих сил при подъеме груза на высоту h:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Работа силы Динамика материальной точки в теоретической механике равна нулю, так как Динамика материальной точки в теоретической механике

Но так как

Динамика материальной точки в теоретической механике

то

Динамика материальной точки в теоретической механике

Искомая мощность двигателя в лошадиных силах с учетом коэффициента полезного действия будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Теорема кинетической энергии материальной точки

Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (134), (135), (137) легко выполнимо лишь в частных случаях.

В большинстве случаев решение задач динамики весьма облегчается применением так называемых общих теорем динамики, а именно: теоремы кинетической энергии, количества движения и моментов количества движения.

Все эти теоремы выражают зависимость между координатами точки, скоростью и временем и называются первыми интегралами уравнений движения точки. Они получаются в результате различных преобразований дифференциальных уравнений движения.

В настоящем параграфе рассмотрим теорему кинетической энергии. Кинетической энергией Т  материальной точки называется половина произведения ее массы на квадрат скорости:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Кинетическая энергия является величиной скалярной и притом всегда положительной, обращающейся в нуль только в том случае, когда скорость движущейся точки относительно выбранной системы координат равна нулю.

Как видно, кинетическая энергия имеет размерность работы и является мерой механического движения, которое при известных условиях способно превратиться в эквивалентное количество другого вида движения (электрическая энергия, тепловая и пр.). При движении точки ее скорость Динамика материальной точки в теоретической механике меняется, а поэтому изменяется и кинетическая энергия. Найдем это изменение. Пусть на несвободную точку М действует равнодействующая заданных сил Р; действие же связи заменим ее реакциями Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 243).

Умножим теперь уравнения (137) соответственно на dx, dy и dz и сложим их: 

Динамика материальной точки в теоретической механике

В случае свободной точки, когда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для точки не свободной, когда Динамика материальной точки в теоретической механике (движение по поверхности), или когда Динамика материальной точки в теоретической механике (движение по линии), уравнение (а) обращается в уравнение (б) только при условиях:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Сравнивая эти условия с теми, которые получаются от дифференцирования уравнений связи:

Динамика материальной точки в теоретической механике

в виде:

Динамика материальной точки в теоретической механике

замечаем, что последние принимают вид предыдущих условий только при Динамика материальной точки в теоретической механике когда связи не изменяются со временем, т. е. когда поверхности, на линии пересечения которых находится движущаяся точка, не перемещаются в пространстве и не изменяют своей формы.

Итак, теорема кинетической энергии применима в том случае, когда связи стационарны, т. е. уравнения их не содержат времени t.

Для преобразования уравнения (б) запишем очевидное равенство:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Тогда уравнение (б) принимает вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

т. е. бесконечно малое изменение кинетической энергии равно элементарной работе сил, приложенных к точке на одном и том же бесконечно малом ее перемещении. Для нахождения изменения кинетической энергии точки на некотором участке (рис. 243) следует произвести на этом участке суммирование всех элементарных изменений кинетической энергии и работы.

Обозначив скорость точки в положении Динамика материальной точки в теоретической механике через Динамика материальной точки в теоретической механике а в положении Динамика материальной точки в теоретической механике через Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Следовательно, изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно сумме работ приложенных к ней сил на том же перемещении.

В этом заключается теорема кинетической энергии точки. Применение этой теоремы для решения ряда задач удобно тем, что сюда входят только начальная и конечная скорости движущейся точки.

Задача №15

Какую скорость надо сообщить шарику М, прикрепленному к жесткому невесомому стержню, чтобы последний повернулся в плоскости чертежа вокруг О на заданный угол а (рис. 260).

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 260.

Решение. При движении шарика на него действуют две силы: его вес Q и реакция стержня N. Уравнение кинетической энергии (147) в нашем случае примет вид Динамика материальной точки в теоретической механике.

Здесь конечная и начальная скорости шарика соответственно равны: Динамика материальной точки в теоретической механике, а работа реакции N равна нулю, так как при движении шарика сила N все время перпендикулярна Динамика материальной точки в теоретической механике. Величина скорости Динамика материальной точки в теоретической механике будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №16

Тело А (рис. 261) весом Q кГ спускается без начальной скорости по гладкой цилиндрической поверхности, представленной на чертеже в виде четверти окружности радиуса Динамика материальной точки в теоретической механике. Далее, тело А начинает двигаться по горизонтальной шероховатой плоскости и, пройдя расстояние s, вследствие трения останавливается. Найти величину s, если коэффициент трения тела А о плоскость Динамика материальной точки в теоретической механике.

Указание: применяем для тела А, принятого нами за материальную точку, два раза теорему кинетической энергии для двух участков пути — криволинейного АВ и прямолинейного ВС.

Динамика материальной точки в теоретической механике
Рис. 261.

В первом случае определяем скорость тела в положении В:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Принимая эту скорость для участка ВС за начальную, находим из уравнения (147):

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №17

При статическом загружении пружины грузом Q=200 кГ осадка равна Динамика материальной точки в теоретической механике. Пренебрегая массой пружины, найти ее наибольшую осадку h в двух случаях:

1)    когда груз Q положен на пружину и опущен без начальной скорости;

2)    когда груз падает на пружину без начальной скорости с высоты H = 8 см.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 262.

Решение. Найдем сначала осадку пружин h для того случая, когда на нее падает груз Q с высоты Н (рис. 262). Для нахождения h удобнее всего применить к падающему грузу теорему кинетической энергии точки на пути Динамика материальной точки в теоретической механике.

В правую часть уравнения (147) в нашем случае войдет работа двух сил, а именно—силы тяжести Q на участке Динамика материальной точки в теоретической механике и упругой силы пружины на участке Динамика материальной точки в теоретической механике В левой же части уравнения (147) будет стоять нуль, так как начальная и конечная скорости груза равны нулю.

На основании сказанного, а также на основании формул (143), (144) и (147) находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставим вместо с его значение по формуле (145) и сократим все уравнения на Q; тогда получим квадратное уравнение:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда    

Динамика материальной точки в теоретической механике

Перед корнем будет знак Динамика материальной точки в теоретической механике, так как осадка пружины должна быть величиной положительной.

Полагая Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем осадку пружины для случая, когда груз Q положен на пружину и отпущен без начальной скорости: Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №18

При механизации животноводческих ферм применяется механический разгрузчик, представляющий саморазгружающуюся вагонетку, вес которой вместе с грузом равен Динамика материальной точки в теоретической механике.

Груженая вагонетка скатывается без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 30° с высоты Н и ударяется о две упорные пружины, расположенные в конце плоскости (рис. 263). В момент наибольшего сжатия пружин вагонетка автоматически разгружается и под действием упругих сил пружин поднимается на ту же высоту Н, причем вес порожней вагонетки равен Динамика материальной точки в теоретической механике.

Зная, что коэффициент трения при качении вагонетки Динамика материальной точки в теоретической механике и пренебрегая размерами вагонетки, определить соотношение между весами Динамика материальной точки в теоретической механике.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 263.

Решение. Во время движения вагонетки вниз по наклонной плоскости на нее действуют три силы: вес вагонеткиДинамика материальной точки в теоретической механике, нормальная реакция плоскости Динамика материальной точки в теоретической механике и сила трения Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 263), а в момент сжатия пружин — еще и сила упругости пружин.

Обозначим жесткость пружин через с, а их наибольшее сжатие через h; тогда, принимая вагонетку за материальную точку и применяя к ее движению на участке Динамика материальной точки в теоретической механике теорему кинетической энергии (147), получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Начальная и конечная скорости вагонетки приняты равными нулю.

При движении вагонетки вверх по наклонной плоскости сила трения Динамика материальной точки в теоретической механике направлена в сторону, противоположную силе Динамика материальной точки в теоретической механике, а работа упругих сил пружин будет уже положительная; поэтому уравнение (147) примет вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Решая совместно полученные уравнения, находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №19

Математический маятник состоит из грузика М (принимаемого нами за материальную точку), подвешенного на нерастяжимой и невесомой нити длиной Динамика материальной точки в теоретической механике к неподвижной точке О (рис. 264). Маятник отклонили от вертикали на угол Динамика материальной точки в теоретической механике и отпустили без начальной скорости. 

Для положения, когда нить составляет с вертикалью угол Динамика материальной точки в теоретической механике, определить величину углового ускорения Динамика материальной точки в теоретической механике а также реакцию нити N, если вес грузика равен Q кГ.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 264.

Решение. Применим для решения задачи естественные уравнения движения (135). Пусть в момент Динамика материальной точки в теоретической механике маятник составляет с вертикалью угол Динамика материальной точки в теоретической механике, а грузик, движущийся по дуге окружности радиуса Динамика материальной точки в теоретической механике, занимает положение М (рис. 264). Проведем через точку М оси Динамика материальной точки в теоретической механике, совпадающие с направлениями касательной и главной нормали к траектории точки М; тогда естественные уравнения движения (135) будут:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя значения Динамика материальной точки в теоретической механике  и, полагая Динамика материальной точки в теоретической механике , найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Решим эти уравнения относительно Динамика материальной точки в теоретической механике и N:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Вообще же:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для определения скорости шарика Динамика материальной точки в теоретической механике соответствующей углу Динамика материальной точки в теоретической механике , применим теорему кинетической энергии:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя значение скорости Динамика материальной точки в теоретической механике в выражение, найденное для реакции N, можем написать:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Консервативное поле и потенциальная энергия материальной точки

Природа возникновения сил, действующих на материальную точку, может быть различной. Так, при движении точки по шероховатой поверхности возникает сила трения, зависящая от нормальной реакции поверхности, которая, в свою очередь, зависит от скорости движения точки и других факторов. Аналогично при движении точки в сплошной среде возникает сила сопротивления среды, зависящая от скорости движения точки.

Однако имеется особая категория сил, обладающих тем свойством, что их величина и направление зависят только от положения точки (ее координат).

Из указанной категории сил мы рассмотрим только такие силы, работа которых не зависит от формы кривой, по которой происходит перемещение их точки приложения.

Такие силы называются консервативными, а область или часть пространства, где действуют эти силы, называется консервативным полем.

Примером силы, действующей в консервативном поле, может служить сила упругости пружины, зависящая от расстояния точки пружины от равновесного положения, соответствующего отсутствию деформации.

Точно так же величина и направление силы тяжести, действующей на точку, зависят от положения самой точки, а отсюда пространство вблизи земной поверхности является консервативным полем для сил тяжести.

Обратимся теперь к вычислению работы силы, действующей в консервативном поле.

Введем понятие силовой функции, под которой будем понимать такую функцию координат точки, полный дифференциал которой представляет элементарную работу консервативной силы. Обозначив ее через U, будем иметь:

Динамика материальной точки в теоретической механике

с другой стороны:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Итак, проекции консервативной силы равны частным производным от силовой функции по соответствующим координатам.

Из равенств (148) следует:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Но, так как

Динамика материальной точки в теоретической механике

то, составляя разности, найдем следующий признак консервативности силы:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Вычислим теперь полную работу силы, действующей в консервативном поле, при перемещении точки между положениямиДинамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике

Пусть в положении Динамика материальной точки в теоретической механике, силовая функция имеет значение Динамика материальной точки в теоретической механике, а в положении Динамика материальной точки в теоретической механике — значение Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда полная работа силы на пути Динамика материальной точки в теоретической механике равна разности этих значений:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Значения силовой функции U в различных точках поля, вообще говоря, различны. Положим, в некоторой точке поля М (х, у, z) силовая функция имеет значение С, т. е. U (x, у, z) = C.

Это равенство представляет собой уравнение поверхности с параметром С.

Такая поверхность, на которой расположены точки, имеющие одно и то же значение С силовой функции, называется поверхностью уровня или эквипотенциальной поверхностью.

Давая параметру С всевозможные значения Динамика материальной точки в теоретической механике, мы получим бесчисленное множество поверхностей уровня. Отсюда — потенциальное поле можно представить состоящим из отдельных слоев, имеющих каждый постоянное значение силовой функции.

При С=0 поверхность уровня проходит через нулевое положение Динамика материальной точки в теоретической механике. Во всех точках такой поверхности силовая функция равна нулю.

Из формулы (149) следует, что в каждой точке консервативного поля направление силы поля, действующей на точку, нормально к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

В самом деле, пусть точка М лежит на поверхности уровня с параметром С (рис. 265). Дав точке М элементарное перемещение по поверхности уровня Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда Динамика материальной точки в теоретической механике поэтому сила Р перпендикулярна также и поверхности уровня.

Силовая функция точки, взятая со знаком минус, называется потенциальной энергией точки.

Динамика материальной точки в теоретической механике
              Рис. 265.                                                Рис. 266.

Обозначая потенциальную энергию точки Динамика материальной точки в теоретической механике через Динамика материальной точки в теоретической механике, можем написать:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Пусть теперь точка М движется в консервативном поле под действием силы Р (рис. 266).

Обозначив скорости движущейся точки в положениях Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике соответственно через Динамика материальной точки в теоретической механике применим к точке М для участка пути Динамика материальной точки в теоретической механике теорему кинетической энергии:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — значения потенциальной энергии точки М в положениях Динамика материальной точки в теоретической механике .

Далее имеем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Но так как положения Динамика материальной точки в теоретической механике были выбраны нами произвольно, то отсюда следует:

Динамика материальной точки в теоретической механике

т. е. при действии на материальную точку консервативных сил полная анергия материальной точки сохраняет постоянную величину.

В этом заключается закон сохранения энергии.

Импульс силы и теорема количества движения материальной точки

Приступая к выводу теоремы количества движения, остановимся на понятиях импульса силы и количества движения материальной точки.

Пусть на материальную точку М (рис. 256) действуют силы Динамика материальной точки в теоретической механике; заменим эти силы их равнодействующей Р:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Тогда элементарным импульсом силы Р за бесконечно малый промежуток времени dt называется вектор dS, равный произведению силы Р  на dt

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из геометрического равенства равнодействующей силы и сил составляющих следует:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Импульсом силы Р за промежуток Динамика материальной точки в теоретической механике называется вектор S, равный геометрической сумме элементарных импульсов:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

или, обозначая импульсы составляющих сил через Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Итак, импульс равнодействующей нескольких сил равен геометрической сумме импульсов сил составляющих.

Установим теперь понятие количества движения.

Количеством движения материальной точки М называется вектор, равный произведению ее массы на скорость и имеющий направление скорости.

Обозначим массу движущейся точки через Динамика материальной точки в теоретической механике, скорость ее через Динамика материальной точки в теоретической механике и вектор количества движения через К; тогда по определению имеем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Скорость движущейся точки с течением времени изменяется, а поэтому изменяется также и ее количество движения. Найдем это изменение.

Напишем основное уравнение динамики:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Но так как

Динамика материальной точки в теоретической механике то Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Итак, векторная производная по времени от количества движения равна равнодействующей сил, приложенных к точке.

В этом заключается теорема количества движения.

Изменение количества движения за промежуток Динамика материальной точки в теоретической механике , очевидно, равно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — скорости точки M, когда она находится в положениях Динамика материальной точки в теоретической механике, соответствующих моментам Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 256).

Уравнение (152а) может быть записано в форме проекций на координатные оси:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Итак, изменения проекций количества движения за некоторый промежуток времени равны сумме одноименных проекций импульсов приложенных сил за тот же промежуток времени.

Уравнениями (152а) и (152б) часто пользуются при решении задач.

Задача №20

Материальная точка А весом Q = 10 кГ движется по окружности с постоянной скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике в направлении, указанном стрелкой (рис. 267). Найти импульс Динамика материальной точки в теоретической механике силы, действующей на точку А, в двух случаях:

1)    когда точка А перейдет в положение Динамика материальной точки в теоретической механике, пройдя четверть окружности;

2)    когда точка А перейдет в положениеДинамика материальной точки в теоретической механике, пройдя полуокружность.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 267.

Решение. Импульс силы, действующей на точку А за время прохождения точкой пути Динамика материальной точки в теоретической механике, найдется по формуле (152а):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда, определение Динамика материальной точки в теоретической механике сводится к нахождению разности векторов Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике, что легко проводится путем построения (рис. 267).

Так как Динамика материальной точки в теоретической механике, то Динамика материальной точки в теоретической механике, поэтому:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Аналогично находится импульс силы Динамика материальной точки в теоретической механике за время прохождения точкой пути Динамика материальной точки в теоретической механике:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №21

Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить время t и высоту h поднятия материальной точки, брошенной вверх со скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис.268.

Решение. Для нахождения времени t применим теорему количества движения в форме проекций, для чего возьмем начало отсчета О в точке, соответствующей началу толчка, а ось Ох направим по вертикали вверх (рис. 268). По первой из формул (152б) находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

В нашем случае Динамика материальной точки в теоретической механике Динамика материальной точки в теоретической механике

поэтому Динамика материальной точки в теоретической механике откуда:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Высота поднятия h определяется по теореме кинетической энергии:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №22

Тело весом Q = 60 кГ падает с высоты Н = 1 м и входит в землю на глубину h = 1 см. Считая сопротивление земли за время движения постоянным, определить время удара и величину ударной силы, равной силе сопротивления земли.

Решение. Для нахождения силы сопротивления земли Р применим теорему кинетической анергии на пути Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

В нашем случае Динамика материальной точки в теоретической механике. Работа силы тяжести на расстоянии Динамика материальной точки в теоретической механике положительна; работа силы сопротивления земли на расстоянии h отрицательна.

Это дает:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для определения времени удара применим теорему количества движения на участке h в форме проекций на вертикальное направление.

По одной из формул (152б) находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Здесь Динамика материальной точки в теоретической механике определяется по теореме кинетической энергии аналогично предыдущему.

Окончательно имеем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда видно, что при ударе развивается значительная сила, действующая в продолжение короткого промежутка времени.

Поэтому в теоретической механике часто считают время удара бесконечно малым, а ударную силу бесконечно большой; при этом произведение силы на время (мгновенный импульс) является конечной величиной, измеряемой количеством движения при ударе.

Теорема моментов количества движения материальной точки

Подобно тому, как в статике вводятся понятие момента силы относительно точки, мы можем ввести также в рассмотрение момент вектора количества движения. Обозначим равнодействующую всех заданных сил и реакций связей точки В через Р, а вектор ее количества движения через К (рис. 269).

Пусть положение движущейся точки М в данный момент определяется радиусом-вектором Динамика материальной точки в теоретической механике. Тогда, как известно из статики, момент силы Р относительно точки О будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Аналогично, моментом количества движения относительно точки О называется вектор L, величина и направление которого определяется векторным произведением Динамика материальной точки в теоретической механике и К, т.е.:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Продифференцируем выражение (153) по времени:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Но так как  Динамика материальной точки в теоретической механике, а по теореме количества движения Динамика материальной точки в теоретической механике, то окончательно имеем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Итак, первая производная по времени от вектора момента количества движения относительно неподвижной точки О равна моменту равнодействующей силы относительно той же точки.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 269.

В этом заключается теорема моментов количества движения, или теорема о кинетическом моменте точки.

Дадим аналитическое выражение теореме моментов количества движения, для чего спроектируем геометрическое равенство (154) на координатные оси

Динамика материальной точки в теоретической механике

т. е. производная по времени от момента количества движения относительно какой-либо оси равна моменту равнодействующей всех приложенных сил относительно той же оси.

Задача №23

Найти закон качания математического маятника (рис. 270). Во время качаний маятника на него действуют две силы — сила тяжести Q и реакция нити N. Так как N проходит через О, то ее момент относительно оси вращения обращается в нуль.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 270.

Решение. Пусть в данный момент положение качающегося маятника определяется углом Динамика материальной точки в теоретической механике, образованным нитью ОВ с вертикалью. Угол Динамика материальной точки в теоретической механике с течением времени изменяется. Найдем это изменение, для чего применим теорему моментов количества движения в виде одного из равенств (154а), приняв за ось моментов некоторую ось Динамика материальной точки в теоретической механике, проходящую через О перпендикулярно к плоскости чертежа:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Здесь Динамика материальной точки в теоретической механике

После подстановки вместо Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике их значений получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Так как полученное дифференциальное уравнение качаний математического маятника интегрируется при помощи эллиптических функций, то, ограничиваясь случаем малых колебаний маятника, полагаем Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Это дифференциальное уравнение может быть уже легко проинтегрировано (см. задачу к рис. 247).

Для дальнейшего обобщения теоремы моментов количества движения найдем скорость движения точки в полярных координатах.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 271.

Пусть в момент t движущаяся точка занимает положение В (рис. 271), определяемое радиусом-вектором Динамика материальной точки в теоретической механике

Из кинематики известно, что скорость точки Динамика материальной точки в теоретической механике.

Но, так как Динамика материальной точки в теоретической механике гдеДинамика материальной точки в теоретической механике —единичный вектор радиуса-вектора Динамика материальной точки в теоретической механике то:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из векторного анализа известно, что Динамика материальной точки в теоретической механике [см. формулу (21)].

Итак, скорость точки, представляющая векторную производную г по t, является геометрической суммой двух составляющих, из которых первая Динамика материальной точки в теоретической механике,  направленная по радиусу-вектору, характеризует быстроту изменения его величины; вторая же Динамика материальной точки в теоретической механике характеризует быстроту изменения радиуса вектора по направлению.

Составляющие Динамика материальной точки в теоретической механике называются соответственно радиальной и трансверсальной компонентами вектора скорости.

Секторной скоростью точки В (рис. 271) называют площадь, отнесенную ко времени, описываемую ее радиусом-вектором.

Так как площадь Динамика материальной точки в теоретической механике содержащаяся между двумя бесконечно близко расположенными радиусами-векторами Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике, равна:

Динамика материальной точки в теоретической механике

то, заменяя элементарный сектор Динамика материальной точки в теоретической механике круговым с центральным углом Динамика материальной точки в теоретической механике и радиусом Динамика материальной точки в теоретической механике, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда видно, что секторная скорость точки, найденная относительно некоторого неподвижного полюса О, равна половине момента скорости Динамика материальной точки в теоретической механике точки В относительно того же полюса.

Следовательно, секторную скорость точки можно представить вектором Динамика материальной точки в теоретической механике, равным половине векторного произведения Динамика материальной точки в теоретической механике на Динамика материальной точки в теоретической механике:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Мы нашли секторную скорость точки, движущейся как угодно в пространстве.

В астрономии, электротехнике и пр. часто приходится вычислять секторную скорость точки, совершающей движение в одной из координатных плоскостей при полюсе в начале координат. В этом случае секторную скорость в каждой из координатных плоскостей можно рассматривать, как секторную скорость точки, представляющей проекцию точки В на соответствующую плоскость.

Обозначая секторные скорости в каждой из координатных плоскостей yOz, xОz и хОу соответственно через Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике найдем их величины из формулы (156а):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Впервые понятие секторной скорости было введено в механику Кеплером через его второй закон: радиусы-векторы, соединяющие Солнце с отдельными планетами, описывают в равные времена равные площади. Отсюда следует, что секторная скорость для каждой планеты имеет свое постоянное значение.

Полагая Динамика материальной точки в теоретической механике, по формуле (156) найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

т. е. площадь сектора возрастает пропорционально времени, а поэтому площади секторов, описываемые в равные промежутки времени, должны быть равны между собой.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 272.

Из рисунка 272 видно, что при движении планеты по орбите, представляющей эллипс, в одном из фокусов О которого находится Солнце, площади секторов Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике, описанные радиусом—вектором планеты за одно и то же время, должны быть равны между собой; следовательно, Динамика материальной точки в теоретической механике , т. е. чем планета находится ближе к Солнцу, тем она быстрее движется по своей орбите. Введем теперь в равенства (154 а), выражающие теорему моментов количества движения, сектриальные скорости, определяемые по формулам (156б):

Динамика материальной точки в теоретической механике

В последние равенства, выражающие теорему моментов количества движения, входят секторные скорости, зависящие от изменения некоторых площадей, поэтому данную теорему называют также теоремой площадей.

При применении теоремы моментов могут встретиться два частных случая.

1.    Положим Динамика материальной точки в теоретической механике. Это может быть в том случае, когда сила Р и ось z расположены в одной плоскости.

Следовательно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике или Динамика материальной точки в теоретической механике

Т. е. получив интеграл площадей, мы видим, что секторная скорость в плоскости хОу постоянна.

2.    Положим Динамика материальной точки в теоретической механике. Это будет в том случае, когда сила проходит все время через полюс О; такая сила называется центральной. Величина центральной силы может меняться по любому закону, в частности она может зависеть от времени, координат, скорости и пр.

Здесь мы имеем случай, когда Динамика материальной точки в теоретической механике, а поэтому Динамика материальной точки в теоретической механике.

Отсюда Динамика материальной точки в теоретической механике, и мы получаем уже три интеграла площадей. Так как при действии центральной силы точка движется в плоскости, определяемой начальной скоростью и полюсом О, то оггсюда следует, что траектории при центральных движениях представляют плоские кривые и вектор L перпендикулярен к плоскости, содержащей траекторию точки.

Если за плоскость движения точки принять координатную плоскость хОу, то тогда из трех интегралов площадей будет иметь место только один: Динамика материальной точки в теоретической механике, а два других обращаются в тождество: 0=0.

Следовательно, при действии центральной, силы секторная скорость точки постоянна.

Задача №24

Шарик М весом Q кГ, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по инерции по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике в отверстие О на плоскости (рис. 273). Определить закон движения шарика, если известно, что в начальный момент нить была натянута, расстояние между шариком и отверстием равнялось R и начальная скорость шарика равна Динамика материальной точки в теоретической механике.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 273.

Решение. Взяв О за полюс, напишем уравнение связи в полярных координатах Динамика материальной точки в теоретической механике. Единственной силой, действующей на точку М, является сила натяжения нити, проходящая все время через точку О. Так как эта сила центральная, то имеет место интеграл площадей:

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Следовательно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

где

Динамика материальной точки в теоретической механике

При Динамика материальной точки в теоретической механике откуда окончательно находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №25

При своем движении планета описывает эллипс, в одном из фокусов которого О находится Солнце (рис. 272). Когда планета находится на кратчайшем расстоянии от Солнца, она обладает скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике.

Найти скорость Динамика материальной точки в теоретической механике планеты в противоположной вершине эллипса, если большая полуось и эксцентриситет эллипса соответственно равны а и е.

Решение. Пусть положения планеты в указанных крайних положениях по отношению к точке О определяются соответственно радиусами-векторами Динамика материальной точки в теоретической механике. Так как единственной силой, действующей на планету, является центральная сила притяжения, направленная к точке О, то имеет место интеграл площадей:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Так как Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике, то можем написать:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Откуда получаем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Колебательное движение материальной точки

С колебательным движением материальных точек и систем часто приходится встречаться в технике. Так, например, элементы машин и сооружений, будучи упругими, под действием приложенных сил способны вибрировать. Иногда вибрации достигают значительной величины и являются уже недопустимыми с точки зрения прочности и нормальной работы машины или сооружения. Поэтому задача заключается в том, чтобы изучить вопросы колебательного движения и тем самым предотвратить те случаи вибраций, которые являются опасными.

Прямолинейное колебательное движение материальной точки

Начнем с изучения прямолинейного колебательного движения материальной точки; при этом рассмотрим следующие случаи.

1. Материальная точка совершает свободные колебания.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 274.

Колебательное движение точки М (рис. 274) называется свободным, если оно происходит под действием силы Р, пропорциональной удалению точки М от некоторого центра притяжения О и направленной все время к этому центру:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Такая сила называется восстанавливающей.

Постоянный множитель с, очевидно, имеет размерность Динамика материальной точки в теоретической механике и определяет величину восстанавливающей силы в тот момент, когда точка находится на расстоянии единицы от центра притяжения.

Для выяснения характера движения точки М составим дифференциальное уравнение ее движения:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Условимся по поводу знаков для расстояний и сил. Будем считать х положительным, если точка М находится справа от начала отсчета, и отрицательным — если слева. Условимся силу считать положительной, если ее направление (проекция) совпадает с положительным направлением оси Ох и отрицательной — если сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси Ох. Так, например, в нашем случае силу Р следует взять со знаком минус, а силу Рх со знаком плюс.

Нетрудно видеть, что, соблюдая указанное правило знаков, мы получаем для точки, находящейся в положении М, такое же дифференциальное уравнение движения, что и для точки, находящейся в положении Динамика материальной точки в теоретической механике:

Динамика материальной точки в теоретической механике

что совпадает с предыдущим уравнением. Разделим теперь дифференциальное уравнение на Динамика материальной точки в теоретической механике и обозначим Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Составляем, далее, характеристическое уравнение Динамика материальной точки в теоретической механике. Так как корни его мнимые: Динамика материальной точки в теоретической механике, то отсюда общий интеграл дифференциального уравнения (158) будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

что следует из теории линейных однородных дифференциальных уравнений.

Вместо неизвестных постоянных интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике введем новые Динамика материальной точки в теоретической механике положив: Динамика материальной точки в теоретической механике тогда:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Итак, свободное колебательное движение материальной точки является гармоническим (см. § 22). Здесь Динамика материальной точки в теоретической механике — фаза колебаний.

Постоянные интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике представляющие амплитуду колебаний и начальную фазу, определятся из начальных условий:

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда  

Динамика материальной точки в теоретической механике

Частота свободных колебаний определяется формулой:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда находим период свободных колебаний:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из формул (159) и (160) видно, что частота и период свободных колебаний не зависят от начальных условий.

Выше нами было получено дифференциальное уравнение малых качаний математического маятника (155):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Сравнивая это уравнение с выражением (158), находим, что период колебаний математического маятника выразится:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №26

К свободному концу упругого стержня АО, заделанного жестко одним концом, прикреплен груз О весом Q кГ (рис. 275). При отклонении груза на 1 см нужно приложить силу с кГ . Величина с называется жесткостью. Определить, во сколько раз надо изменить вес груза Q, чтобы период его колебаний увеличился в два раза. При решении задачи массой стержня следует пренебречь и колебания груза считать малыми и прямолинейными.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 275.

Решение. Груз Q совершает свободные колебания. Обозначим груз, при котором период колебаний увеличивается в два раза, через Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда для грузов Динамика материальной точки в теоретической механике периоды колебаний определятся по формуле (160): 

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для определения Динамика материальной точки в теоретической механике возведем обе части этих равенств в квадрат и разделим одно равенство на другое, тогда после сокращения найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №27

Определить период колебаний Т груза Динамика материальной точки в теоретической механике прикрепленного к двум пружинам, имеющим различные жесткости Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 276).

Известно, что для удлинения верхней пружины на 1 см нужна сила 10 кГ, а нижней пружины 5 кГ. При решении задачи силами сопротивления следует пренебречь.

Динамика материальной точки в теоретической механике

       Рис. 276.              Рис. 277.

Решение. Жесткости верхней и нижней пружин соответственно равны: Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике.

Пусть под действием груза Q верхняя пружина вытянулась на Динамика материальной точки в теоретической механике, тогда нижняя пружина сократится на эту же величину. Отсюда сила Q, равная упругой силе пружин, определится:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — приведенная жесткость пружин, равная Динамика материальной точки в теоретической механике.

Период колебаний груза Q будет:

Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механике

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №28

Решить предыдущую задачу для того случая, когда пружины, имеющие жесткости Динамика материальной точки в теоретической механике соединены последовательно (рис. 277).

Решение. Пусть под действием силы Q первая пружина вытянется на величину Динамика материальной точки в теоретической механике, а вторая – на Динамика материальной точки в теоретической механике. Так как сила, растягивающая каждую пружину, равна Q, то вытягивание каждой из пружин будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Удлинение обеих пружин равно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда приведенная жесткость пружин Динамика материальной точки в теоретической механике будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

и период колебаний груза Q:

Динамика материальной точки в теоретической механике

2. Материальная точка совершает вынужденные колебания.

Колебательное движение точки М (рис. 278) называется вынужденным, когда на нее, помимо восстанавливающей силы Динамика материальной точки в теоретической механике, действуетеще возмущающая сила Динамика материальной точки в теоретической механике, выражающаяся функцией времени. В технике наиболее часто приходится встречаться с теми случаями, когда возмущающая сила является периодической функцией вида: Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 278.

Составим дифференциальное уравнение движения точки:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Разделив все уравнение на Динамика материальной точки в теоретической механике, введем обозначения: Динамика материальной точки в теоретической механике Динамика материальной точки в теоретической механике Тогда дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (162), как известно, складывается из двух решений: общего без правой части, которое нами было получено при рассмотрении свободных колебаний точки, и частного с правой частью. Пусть при Динамика материальной точки в теоретической механике частное решение уравнения (162) будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Найдем такие значения Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике, которые удовлетворяли бы уравнению (162), для чего в это уравнение подставим вместо х написанное выше выражение:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Сравнивая коэффициенты при Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике, находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интеграл уравнения без правой части нами был получен выше. Отсюда общее решение дифференциального уравнения (162) вынужденных колебаний будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Итак, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил, материальная точка совершает движение, составленное из двух гармонических колебаний, из которых первое называется собственным или свободным колебанием, а второе вынужденным колебанием.

Из формулы (163) видно, что амплитуда вынужденных колебаний А будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интересно отметить, что даже при небольшой величине h, т. е. при малой возмущающей силе, амплитуда вынужденных колебаний достигает большой величины, если частоты свободных и вынужденных колебаний k и р близки друг к другу. Наконец, если частоты совпадают, т. е. если Динамика материальной точки в теоретической механике, то Динамика материальной точки в теоретической механике. Это явление называется резонансом.

Если Динамика материальной точки в теоретической механике, то частное решение уравнения (162) отыскивается в форме:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Поступая no предыдущему, найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Поэтому, при Динамика материальной точки в теоретической механике общий интеграл уравнения (162) получается в виде:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда видно, что при равенстве частот, а следовательно, и периодов свободных и вынужденных колебаний амплитуда точки М с течением времени беспредельно возрастает.

Задача №29

К концу Динамика материальной точки в теоретической механике упругого стержня, заделанного другим концом, прикреплена ось вращения груза D, делающего постоянное число оборотов (рис. 279).

При каком числе оборотов в минуту груза D вокруг оси Динамика материальной точки в теоретической механике может наступить для стержня Динамика материальной точки в теоретической механике явление резонанса, если вес груза в точке Динамика материальной точки в теоретической механике равен Динамика материальной точки в теоретической механикежесткость стержня с = 2000 кГ/см и вес груза, насаженного на конце стержня Динамика материальной точки в теоретической механике, равен Q = 200 кГ.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 279.

Все размеры указаны на чертеже. При решении задачи массами стержней пренебречь.

Решение.

Рассмотрим вертикальное перемещение точек D и Динамика материальной точки в теоретической механике. Груз D, принятый нами за материальную точку, находится под действием двух сил: веса Q и реакции стержня N. На конец балки Динамика материальной точки в теоретической механике действуют три силы: одна из них Динамика материальной точки в теоретической механике равна по величине силе N и представляет действие груза D на ось вращения, другая сила Р является силой упругости стержня и равна Динамика материальной точки в теоретической механике и третья—сила веса Динамика материальной точки в теоретической механике. Выбрав начало координат в точке Динамика материальной точки в теоретической механике соответствующей статическому прогибу стержня /Динамика материальной точки в теоретической механике под действием грузов Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике , составим дифференциальные уравнения движения по оси у для точек D и Динамика материальной точки в теоретической механике:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из второго уравнения находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Но так как по закону «действие равно противодействию» Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механике, то, подставляя найденное значение Динамика материальной точки в теоретической механике в первое уравнение, получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из чертежа видно, чтоДинамика материальной точки в теоретической механике и, кроме того, Динамика материальной точки в теоретической механике поэтому после простых преобразований уравнение (а) примет вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Сравнивая это уравнение с (162), видим, что конец стержня Динамика материальной точки в теоретической механике совершает вынужденные колебания, при этом квадраты частот свободных и вынужденных колебаний соответственно равны:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Явление резонанса наступит при условии, когда Динамика материальной точки в теоретической механике, а отсюда:

Динамика материальной точки в теоретической механике

3. Колебания материальной точки при наличии сопротивления. Рассмотренная нами теория свободных и вынужденных колебаний материальной точки совершенно не учитывает сопротивления, возникающего при движении точки. Между тем, силы сопротивления оказывают значительное влияние на характер колебательного движения, способствуя иногда быстрому его затуханию.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 280.

Так, например, если груз, прикрепленный к свободному концу пружины, закрепленной другим концом, вытянуть и отпустить, то он, совершив некоторое число колебаний, под влиянием сил сопротивления, остановится. Изучим сначала влияние сил сопротивления для случая свободных колебаний материальной точки.

Пусть точка М (рис. 280) находится под действием восстанавливающей силы сх и силы сопротивления среды, пропорциональной первой степени скорости движущейся точки и равной Динамика материальной точки в теоретической механике. Составим дифференциальное уравнение движения точки:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Разделим все уравнение на Динамика материальной точки в теоретической механике и введем обозначения:

Динамика материальной точки в теоретической механике

тогда получим окончательный вид дифференциального уравнения Свободных колебаний с учетом сопротивления:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для нахождения интеграла этого уравнения составим характеристическое уравнение: Динамика материальной точки в теоретической механике и найдем его корни:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Здесь могут встретиться три случая.

а) Случай малого сопротивления, когда Динамика материальной точки в теоретической механике, или, что то же, когда Динамика материальной точки в теоретической механике.

Здесь корни характеристического уравнения получаются мнимые:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Поэтому общий интеграл уравнения (165) будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Заменим постоянные интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике через постоянные Динамика материальной точки в теоретической механике по формулам:

Динамика материальной точки в теоретической механике

после чего получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике

Постоянные интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике определяются по начальным данным. Из уравнения (166) следует, что точка совершает колебательное движение, причем множитель Динамика материальной точки в теоретической механике, стоящий при амплитуде, указывает на то, что колебания затухают с течением времени. Это явление наглядно представлено на графике затухающих колебаний (рис. 281).

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 281.

Из выражения для периода затухающих колебаний:

Динамика материальной точки в теоретической механике

видно, что он сохраняет постоянную величину и не зависит от начальных условий. Сравнивая периоды свободных колебаний без учета и с учетом сопротивления, замечаем, что сопротивление увеличивает период свободных колебаний. Обозначим в уравнении (166) величину одного размаха через Динамика материальной точки в теоретической механике, тогда, давая времени t значения Динамика материальной точки в теоретической механике, где Динамика материальной точки в теоретической механике —время одного размаха, мы получим величины последующих размахов: Динамика материальной точки в теоретической механике Отсюда следует, что величины размахов уменьшаются в отношении Динамика материальной точки в теоретической механике. Величину Динамика материальной точки в теоретической механике, представляющую разность натуральных логарифмов двух последующих размахов, называют логарифмическим декрементом, а Динамика материальной точки в теоретической механике — коэффициентом затухания.

б)    Случай, когда Динамика материальной точки в теоретической механике Здесь корни характеристического уравнения получаются равными Динамика материальной точки в теоретической механике и общий интеграл уравнения (165) будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Это движение уже не будет колебательным.

в)    Случай большого сопротивления, когда Динамика материальной точки в теоретической механике, что то же, когда Динамика материальной точки в теоретической механике.

В этом случае корни характеристического уравнения получаются:  

Динамика материальной точки в теоретической механике

и общий интеграл уравнения. (165) принимает вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Движение, определяемое этим уравнением, также не является колебательным и называется апериодическим.

Задача №30

Для определения вязкости жидкости проделывают следующий опыт: прикрепив к двум одинаковым пружинам жесткости с тонкую пластинку А (рис. 282, а), заставляют ее совершать горизонтальные колебания в той жидкости, вязкость которой хотят определить, и находят период колебания Динамика материальной точки в теоретической механике.

Затем ту же пластинку А заставляют колебаться в воздухе, прикрепив ее к концу пружины той же жесткости с (рис. 282, б), и находят период колебания Динамика материальной точки в теоретической механике. Силу трения, выраженную в граммах между пластинкой и жидкостью, можно принять равной Динамика материальной точки в теоретической механике, где Динамика материальной точки в теоретической механике — поверхность пластинки, находящейся в жидкости, Динамика материальной точки в теоретической механике — ее скорость, Динамика материальной точки в теоретической механике — коэффициент вязкости. По найденным из опыта величинам Динамика материальной точки в теоретической механике определить коэффициент вязкости Динамика материальной точки в теоретической механике зная, что вес пластинки равен Динамика материальной точки в теоретической механике.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 282.

Решение. Составим дифференциальные уравнения движения пластинки для двух случаев, когда она колеблется в воздухе и когда колебания ее происходят в жидкости. В первом случае дифференциальное уравнение имеет вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Во втором случае, считая колебания пластинки прямолинейными, находим:    

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Сравнивая уравнения(а) и (б) с уравнениями (158) и (165),видим,что колебания пластинки в воздухе свободные, а в жидкости затухающие.

Отсюда периоды колебаний для колебания пластинки в воздухе и в жидкости определятся по формулам (160) и (167):

Динамика материальной точки в теоретической механике

где

Динамика материальной точки в теоретической механике

Коэффициент Динамика материальной точки в теоретической механике определим из уравнений (в) и (г). Решаем сначала уравнение (в) относительно с:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя значение с в уравнение (г) и, решая его относительно находим окончательно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №31

Пластинка весом Q= 100 г, подвешенная на пружине, движется между полюсами магнита.

Вследствие токов Фуко движение тормозится силой, пропорциональной скорости. Сила сопротивления движению равна:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике — скорость в см/сек;

Ф — магнитный поток между полюсами.

В начальный момент скорость пластинки равна нулю, и пружина не растянута; удлинение ее на 1 см получается при статическом действии силы в 20 г. Определить движение пластинки в том случае, когда Динамика материальной точки в теоретической механике максвеллов.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 283.

Решение. Во время колебания пластинки (рис. 283) на нее действуют следующие силы: вес пластинки Q, сила упругости пружины Динамика материальной точки в теоретической механике и сила сопротивления движению Динамика материальной точки в теоретической механике.

Дифференциальное уравнение движения пластинки будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

или

Динамика материальной точки в теоретической механике

Обозначив:

Динамика материальной точки в теоретической механике

получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Как было показано выше, общий интеграл такого дифференциального уравнения будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Скорость движения пластинки:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для определения постоянных интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике воспользуемся начальными условиями.

При t = 0

Динамика материальной точки в теоретической механике

при t = 0

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя найденные численные значения, получим окончательно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

4. Вынужденные колебания материальной точки при наличии сопротивления. Рассмотрим, наконец, влияние сопротивления на вынужденные колебания материальной точки.

В этом случае, как легко видеть, дифференциальное уравнение движения материальной точки принимает вид:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Решение этого уравнения представляется в виде суммы общего интеграла уравнения (168) без правой части:

Динамика материальной точки в теоретической механике

который для случая малого сопротивления, когда Динамика материальной точки в теоретической механике выражается уравнением (166) и частного решения; последнее мы будем искать в виде:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из последнего равенства находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя из последних равенств значения Динамика материальной точки в теоретической механике в уравнение (168) и сравнивая коэффициенты при cos pt и sin pt получим систему двух уравнений с двумя неизвестными В и D:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Решая совместно полученные уравнения, найдем, что D и В будут равны:

Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя значения D и В в равенство (а), будем иметь: 

Динамика материальной точки в теоретической механике

Введем обозначения:

Динамика материальной точки в теоретической механике

тогда получим частное решение уравнения (а) в виде:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Следовательно, решение дифференциального уравнения (168) может быть представлено в виде:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Первое слагаемое правой части равенства (170) представляет затухающие колебания, второе слагаемое—гармонические колебания с частотой р, амплитудой А и начальной фазой Динамика материальной точки в теоретической механике. Наличие второго слагаемого обусловлено действием возмущающей силы, а поэтому эти колебания называются вынужденными.

Амплитуду вынужденных колебаний можно представить иначе:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Если предположить, что Динамика материальной точки в теоретической механике, т. е. возмущающая сила прикладывается статически, то Динамика материальной точки в теоретической механике, и поэтому Динамика материальной точки в теоретической механике.

Но так как Динамика материальной точки в теоретической механике то Динамика материальной точки в теоретической механике.

В силу равенства (145) величина Динамика материальной точки в теоретической механике представляет наибольшее перемещение точки, которое получилось бы при наибольшем значении возмущающей силы Н, если бы она была приложена статически.

Величина же

Динамика материальной точки в теоретической механике

представляет коэффициент динамичности, который может оказать значительное влияние на увеличение амплитуды колебаний.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 284.

На рисунке 284, а изображены кривые, показывающие, как изменяется коэффициент динамичности Динамика материальной точки в теоретической механике в зависимости от Динамика материальной точки в теоретической механике т. е. от отношения Динамика материальной точки в теоретической механике при различных значениях Динамика материальной точки в теоретической механике. Из этих кривых видно, что точки максимума коэффициента динамичности Динамика материальной точки в теоретической механике расположены несколько левее ординат, соответствующих резонансу, когда Динамика материальной точки в теоретической механике. При уменьшении коэффициента сопротивления Динамика материальной точки в теоретической механике, уменьшается также Динамика материальной точки в теоретической механике, а коэффициент динамичности возрастает. В этом случае Динамика материальной точки в теоретической механике приобретает максимальное значение при отношении Динамика материальной точки в теоретической механике, близком к единице. Поэтому при расчетах в большинстве случаев принимают Динамика материальной точки в теоретической механике при отношении Динамика материальной точки в теоретической механике.

Если при Динамика материальной точки в теоретической механике, то Динамика материальной точки в теоретической механике, а отсюда и Динамика материальной точки в теоретической механике, т. е. амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает, что практически может привести к разрушению конструкции.

Из рисунка 284, а видно, что в области, близкой к состоянию резонанса, когда отношение Динамика материальной точки в теоретической механике находится в пределах 0,75— 1,25, затухание оказывает существенное влияние на уменьшение коэффициента динамичности Динамика материальной точки в теоретической механике.

Из уравнений (168) и (170) следует, что вынужденные колебания отстают от возмущающей силы по фазе на величину Динамика материальной точки в теоретической механике, определяемую вторым равенством (169). Во многих случая учет разницы фаз Динамика материальной точки в теоретической механике при исследовании вынужденных колебаний имеет большое практическое значение. Такой учет необходимо бывает производить, например, при динамометрировании сельскохозяйственных машин, когда приходится вычислять тяговые усилия, пользуясь динамограммой, полученной с помощью приборов, называемых динамографами.

На рисунке 284, б показаны диаграммы, представляющие характер изменения Динамика материальной точки в теоретической механике при различных значениях Динамика материальной точки в теоретической механике.

Из этих диаграмм видно, что при малых затуханиях, когда Динамика материальной точки в теоретической механике, а следовательно, и Динамика материальной точки в теоретической механике малы, в области, близкой к резонансу, имеют место резкие изменения фазы вынужденных колебаний Динамика материальной точки в теоретической механике. Так, при Динамика материальной точки в теоретической механике разница фаз Динамика материальной точки в теоретической механике мала, она становится равной Динамика материальной точки в теоретической механике, когда Динамика материальной точки в теоретической механике, и приближается к Динамика материальной точки в теоретической механике в случае Динамика материальной точки в теоретической механике.

При Динамика материальной точки в теоретической механике, когда Динамика материальной точки в теоретической механике, разница фаз Изменяется сразу с 0 на Динамика материальной точки в теоретической механике.

Если Динамика материальной точки в теоретической механике, т. е. когда частота вынужденных колебаний меньше частоты собственных колебаний Динамика материальной точки в теоретической механике, то Динамика материальной точки в теоретической механике и вынужденные колебания находятся в одной фазе с возмущающей силой.

Если же Динамика материальной точки в теоретической механике, т. е. Динамика материальной точки в теоретической механике, то Динамика материальной точки в теоретической механике, и вынужденные колебания находятся в противоположной фазе с возмущающей силой. Так, например, если к нижнему концу пружины подвесить груз, а верхнему концу сообщить колебательное движение с помощью кривошипа или руки, то при Динамика материальной точки в теоретической механике, т. е. когда Динамика материальной точки в теоретической механике, колеблющийся груз достигает своего нижнего положения, когда возмущающая сила получит наибольшее значение в направлении вниз. Если же Динамика материальной точки в теоретической механике, т. е. Динамика материальной точки в теоретической механике, то в момент, когда возмущающая сила достигнет своего максимального значения в направлении вниз, колеблющийся груз достигнет своего верхнего положения.

И, наконец, если Динамика материальной точки в теоретической механике, т. е. когда частота вынужденных колебаний верхнего конца пружины совпадет с частотой собственных колебаний груза, то возмущающая сила и вынужденные колебания груза изменятся по фазе на величину Динамика материальной точки в теоретической механике.

Относительное движение материальной точки

С вопросом относительного движения точки мы уже встречались в разделе кинематики. Изучим теперь динамику относительного движения материальной точки, находящейся под действием сил Динамика материальной точки в теоретической механике.

Как известно, абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений — относительного, переносного и поворотного:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Умножим обе части этого равенства на Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда

Динамика материальной точки в теоретической механике

Обозначим

Динамика материальной точки в теоретической механике

и назовем эти векторы соответственно центробежной, касательной и кориолисовой силами инерции, тогда получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Следовательно, относительное движение точки можно рассматривать как абсолютное, происходящее под действием приложенных сил и трех сил инерции: центробежной, касательной и кориолисовой.

В правую часть равенства (172) вошли центробежная, касательная и кориолисовая силы инерции. Эти силы являются фиктивными. Они прикладываются к материальной точке, совершающей относительное движение, и каждая из этих сил равна произведению массы точки на соответствующее ускорение и направлена в сторону, противоположную этому ускорению.

Задача №32

Точка привеса математического маятника длиной Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 285) совершает горизонтальные гармонические колебания: Динамика материальной точки в теоретической механике. Определить малые колебания маятника, считая, что в момент Динамика материальной точки в теоретической механике он находится в покое.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 285.

Решение. Переносное движение маятника поступательное, совершающееся по закону: Динамика материальной точки в теоретической механике Согласно вышеизложенному, для определения малых колебаний маятника присоединим к действующим силам Q и N переносную силу инерции:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где

Динамика материальной точки в теоретической механике

Применим теперь теорему моментов количества движения по отношению к оси у, проходящей через О перпендикулярно к плоскости чертежа:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где

Динамика материальной точки в теоретической механике

Так как по условию колебания малые, то можно положить: Динамика материальной точки в теоретической механике.

После подстановки найденных значений Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике в уравнение (а) найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Положим Динамика материальной точки в теоретической механике; тогда получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Общий интеграл уравнения (б) найдется как сумма общего интеграла без правой части:

Динамика материальной точки в теоретической механике

и частного решения вида: Динамика материальной точки в теоретической механике. Следовательно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Постоянные интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике определятся из начальных условий:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя значения постоянных интегрирования в уравнение (в), получим окончательно:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №33

Сигнальное устройство ручного сепаратора состоит из рукоятки OA длиной Динамика материальной точки в теоретической механике, представляющей полую трубку, вдоль которой может перекатываться шарик В весом Q кГ (рис. 286). Найти закон движения шарика по отношению к трубке, если рукоятка вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике, а в начальный момент шарик находился в точке А и его относительная скорость равнялась нулю.

Динамика материальной точки в теоретической механике

Рис. 286.

Трением шарика о стенки трубки пренебречь.

Решение. Относительное движение шарика вдоль трубки можно рассматривать как абсолютное, присоединив к действующим силам Q и N переносную и

кориолисовую силы инерции Динамика материальной точки в теоретической механике. Величина Динамика материальной точки в теоретической механике.

Дифференциальное уравнение относительно движения шарика будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Полагая Динамика материальной точки в теоретической механике и сокращая все уравнение на Q, получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Общее решение полученного дифференциального уравнения (а) складывается из двух решений: общего без правой части и частного с правой частью: Динамика материальной точки в теоретической механике

Для нахождения решения дифференциального уравнения Динамика материальной точки в теоретической механике без правой части составим характеристическое уравнение Динамика материальной точки в теоретической механике и найдем его корни Динамика материальной точки в теоретической механике

Так как корни характеристического уравнения действительные, то общий интеграл будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Для получения частного решения с правой частью положим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Подставляя эти значения в уравнение (а), найдем:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Поэтому частное решение с правой частью будет:

Динамика материальной точки в теоретической механике

а общее решение:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Заменяя Динамика материальной точки в теоретической механике получим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Определим постоянные интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике из начальных условий.

По условию при Динамика материальной точки в теоретической механике и Динамика материальной точки в теоретической механике. Подставляя эти значения в выражения Динамика материальной точки в теоретической механике, получим следующую систему двух уравнений:

Динамика материальной точки в теоретической механике

из которых находим:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Поэтому:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика

Динамика  — основной раздел теоретической механики. В динамике изучают механическое движение материальных объектов в связи с силами, приложенными к ним. Простейшим объектом является материальная точка — геометрическая точка, наделенная массой. Для решения текстовых задач , требуется определенный навык прочтения условия, умение выделить существенное, заметить недосказанное и, главное, не приписать к условию того, чего там нет. Например, если в задаче речь идет об автомобиле, который при некоторых условиях разгоняется за одно время, а при других условиях — за другое, то естественно предположить, что двигатель в обоих случаях один и тот же, и все параметры движения, кроме тех о которых явно сказано, одинаковые. Общий принцип здесь — не вносить в условие дополнительных сложностей и использовать все имеющиеся в тексте данные. Кроме того, для успешного решения этих задач рекомендуем повторить методы интегрирования) и методы решения дифференциальных уравнений.

Постоянные силы

Постановка Задачи. Материальная точка движется по прямой или по окружности под действием постоянных по величине сил. Определить закон движения точки или отдельные параметры движения.

План решения:

1. Выбираем систему координат. Для прямолинейного движения ось х направляем вдоль линии движения точки. Уравнения движения под действием сил, главный вектор которых обозначим как Динамика материальной точки в теоретической механике имеют вид

Динамика материальной точки в теоретической механике

При движении по окружности используем уравнения движения в естественных осях:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Нормаль n направлена к центру окружности, Динамика материальной точки в теоретической механике — орт касательной, направленный в сторону увеличения дуговой координаты Динамика материальной точки в теоретической механике ОсьДинамика материальной точки в теоретической механике — перпендикулярна плоскости окружности.

Прикладываем к точке все действующие на нее силы.

2. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси. В проекции на одну из осей уравнение движения вырождается в уравнение равновесия. Если в условии задачи есть трение, то из этого уравнения можно найти силу трения или выразить ее через другие силы.

3. Интегрируем дифференциальное уравнение. Константы интегрирования определяем из начальных условий.

4. Из полученного закона движения определяем необходимые величины.
11.1.Постоянные силы

Задача №34

С аэростата сбросили балласт, падение аэростата замедлилось, и через время Динамика материальной точки в теоретической механике он поднялся на ту высоту, с которой сбросили балласт. Сила сопротивления воздуха R = const, подъемная сила аэростата — Т, масса аэростата без балласта — m. Сколько времени после сброса балласта аэростат опускался?

Решение

1. Ось у. направим вверх, поместив ее начало в нижней точке траектории аэростата. При падении на аэростат действуют силы тяжести Динамика материальной точки в теоретической механике сила сопротивления воздуха R и подъемная сила Т (рис. 121). Аэростат принимаем за материальную точку.

2.Составляем дифференциальное уравнение движения:

Динамика материальной точки в теоретической механике

3.Дважды интегрируем уравнение движения. Для постоянных сил интеграл берется просто:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Начальные условия: t = 0, у = H, Динамика материальной точки в теоретической механике Отсюда находим константы интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике Получаем уравнения

Динамика материальной точки в теоретической механике

Аналогично составляем уравнение при подъеме аэростата.
Динамика материальной точки в теоретической механике
Сила сопротивления при этом меняет свое направление (рис. 122). Оставляя ось у прежней, время отсчитываем от нуля с момента подъема:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Интегрируя уравнение

Динамика материальной точки в теоретической механике

получаем

Динамика материальной точки в теоретической механике

Начальные условия: Динамика материальной точки в теоретической механике Находим константы интегрирования: Динамика материальной точки в теоретической механикеИз (4) следует

Динамика материальной точки в теоретической механике

4. Находим искомое время падения. Обозначаем его за Динамика материальной точки в теоретической механике а время подъема — за Динамика материальной точки в теоретической механике По условию Динамика материальной точки в теоретической механике Подставляем в (1,2) условия: Динамика материальной точки в теоретической механике Получаем систему трех

уравнений с неизвестными Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Исключая неизвестную высоту Н и неизвестную начальную скорость Динамика материальной точки в теоретической механикеполучаем

Динамика материальной точки в теоретической механике

Переменные силы

Постановка Задачи. Материальная т,очка движется по прямой или по окружности под действием переменных сил. Определить закон движения точки или отдельные параметры движения.

План решения:

1. Выбираем систему координат. Для прямолинейного движения ось х направляем вдоль линии движения точки. При движении по окружности используем полярную систему координат с началом в центре окружности.

Прикладываем к точке все действующие на нее силы.

2. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси.

3. Интегрируем дифференциальное уравнение.

В зависимости от вида сил, действующих на точку, различают следующие случаи.

A. Сила зависит только от времени F = F(t). Решение задачи сводится к интегрированию функции F(t).

Б. Сила зависит только от координаты точки F = F(x). Вводится замена переменной Динамика материальной точки в теоретической механике после чего получается уравнение с разделяющимися переменными.

B. Сила зависит только от скорости точки Динамика материальной точки в теоретической механике Если в начальных условиях или в вопросе присутствуют время и скорость, то следует использовать замену Динамика материальной точки в теоретической механике Если в начальных условиях или в вопросе присутствуют координата и скорость, то вводят замену переменной Динамика материальной точки в теоретической механике

Г. Сила зависит только от скорости точки и от координаты Динамика материальной точки в теоретической механике Если в начальных условиях или в вопросе присутствуют скорость и координата, то вводят замену переменной Динамика материальной точки в теоретической механике Дифференциальное уравнение допускает разделение переменных: Динамика материальной точки в теоретической механике .

Константы интегрирования определяем из начальных условий.

4. Из полученного закона движения определяем необходимые величины.

Задача №35

Грузовик массой m имеет максимальную скорость Динамика материальной точки в теоретической механике и разгоняется с места до Динамика материальной точки в теоретической механике за время Динамика материальной точки в теоретической механике Сила сопротивления пропорциональна скорости. Чему равна средняя сила тяги двигателя грузовика?

Решение

1. Ось х системы координат принимаем горизонтальной, начало координат помещаем в начальное положение грузовика. Изображаем грузовик в некоторый промежуточный момент движения. На него действует сила тяжести Динамика материальной точки в теоретической механике сила сопротивления Динамика материальной точки в теоретической механике пропорциональная скорости Динамика материальной точки в теоретической механике с неизвестным пока коэффициентом Динамика материальной точки в теоретической механике неизвестная сила тяги F и реакция опоры N (рис. 123).

Динамика материальной точки в теоретической механике

2. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х:

Динамика материальной точки в теоретической механике

3. Дважды интегрируем уравнение движения. Так как правая часть уравнения является функцией скорости, а в вопросе задачи содержится время, вводим замену Динамика материальной точки в теоретической механике и интегрируем уравнение с разделяющимися переменными Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Начальные условия: Динамика материальной точки в теоретической механике Так как в этой задаче не идет речь о расстояниях, то интегрировать второй раз и использовать условие на координату х не требуется. Из условия на скорость находим константу интегрирования Динамика материальной точки в теоретической механике Зависимость скорости от времени движения принимает вид

Динамика материальной точки в теоретической механике

4. Находим искомую силу тяги F грузовика, считая сс постоянной. Для этого используем все имеющиеся в задаче данные. Известна максимальная скорость Динамика материальной точки в теоретической механике Необходимым условием экстремума функции Динамика материальной точки в теоретической механике является равенство Динамика материальной точки в теоретической механике или Динамика материальной точки в теоретической механике Отсюда: Динамика материальной точки в теоретической механике Подставляем это соотношение в (1), откуда, при Динамика материальной точки в теоретической механике получаем среднюю силу тяги грузовика Динамика материальной точки в теоретической механике

Теорема о движении центра масс

постановка задачи. Механизм, состоящий из п связанных между собой тел, установлен на призме, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Одно из тел получает перемещение относительно призмы. Куда и на какое расстояние переместится призма?

План решения:

Для решения задачи используем теорему о движении центра масс. Выбираем систему координат. Одну из осей, например, ось х направляем перпендикулярно линии действия внешних сил. В проекции на ось х уравнение движения центра масс принимает вид

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — координата центра масс системы,Динамика материальной точки в теоретической механике масса всей системы. Дважды интегрируя (1) при условии, что в начальный момент скорость центра масс была равна нулю, получаем

Динамика материальной точки в теоретической механике

Координата центра масс системы вычисляется по формуле

Динамика материальной точки в теоретической механике

Записывая (2) с учетом (3) один раз для начального положения системы (в покое), а другой раз после смещения одного из тел, получаем формулу, связывающую абсолютные смещения тел системы:

Динамика материальной точки в теоретической механике

1.    Абсолютное смещение каждого тела представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины заданного относительного смещения одного из тел, и неизвестного переносного смещения Динамика материальной точки в теоретической механике, равного абсолютному смещению того тела, относительно которого задавалось смещение.

2.    Подставляя абсолютные смещения в (4), получаем уравнение для смещения Динамика материальной точки в теоретической механике Решение уравнения дает ответ.

Задача №36

Механизм, состоящий из груза А массой 50 кг, блока В массой 80 кг (больший радиус R = 30 см, меньший г = 10 см) и цилиндра С массой 120 кг радиусом Динамика материальной точки в теоретической механике, установлен на призме D массой 210 кг, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз А получает перемещение S = 1.2 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево; Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 124). Куда и на какое расстояние переместится призма?

Решение

Задаем систему координат. Проекции на горизонтальную ось всех внешних сил (сил тяжести Динамика материальной точки в теоретической механике, реакции опоры N), действующих на систему, равны нулю (рис. 125), а трения между призмой D и опорой по условию нет. Применим к системе следствие из теоремы о движении центра масс в форме (4).

1. Абсолютное смещение тел А, В и С представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины S относительного смещения груза А, и неизвестного переносного смещения Динамика материальной точки в теоретической механике, равногоДинамика материальной точки в теоретической механике
абсолютному смещению призмы, относительно которой задавалось смещение 5. Обозначаем абсолютные смещения координат центров масс тел системы Динамика материальной точки в теоретической механике. Направление оси х определяет знаки смещений: налево с минусом, направо с плюсом. Предполагаем, что призма сместится направо. Перемещение центра цилиндра

С относительно призмы и перемещение груза А связаны так же. как связаны их скорости.

Цилиндр С совершает плоское движение. Абсолютное смещение его центра в проекции на ось х равно Динамика материальной точки в теоретической механике — смещение центра цилиндра вдоль наклонной поверхности призмы. Выразим Динамика материальной точки в теоретической механике через S. Для этого свяжем скорости груза А и центра масс цилиндра С. Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точке касания призмы, поэтому скорость его центра масс относительно призмы вдвое меньше скорости нити, накручиваемой на обод. Скорость груза А выражаем через угловую скорость блока (рис. 132. с. 249):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Исключая отсюда Динамика материальной точки в теоретической механике имеем связь скоростей: Динамика материальной точки в теоретической механике Интегрируя это соотношение при нулевых начальных значениях, получаем искомую зависимость: Динамика материальной точки в теоретической механике. Находим выражение абсолютных смещений всех тел через Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

2. Подставляя абсолютные смещения в (4), получаем уравнение Динамика материальной точки в теоретической механикеили

Динамика материальной точки в теоретической механике Решаем это уравнение относительно Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Призма D переместится вправо на 14.39 см.

Кинетическая энергия механической системы

Постановка задачи. Выразить кинетическую энергию механической системы с одной степенью свободы через угловую скорость одного из тел системы или линейную скорость какой-либо ее точки.

План решения:

1.    Составляем кинематические графы системы. Угловые скорости тел системы и линейные скорости их центров масс выражаем через заданную скорость.

2.    Вычисляем кинетические энергии отдельных тел системы. Для тела, совершающего поступательное движение, кинетическая энергия

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — масса тела, v — скорость любой его точки. Напомним, что при поступательном движении скорости всех точек тела равны, а угловая скорость равна нулю. Кинетическая энергия тела, совершающего вращательное движение с угловой скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

J — момент инерции тела относительно оси вращения. Напомним, что у однородного цилиндра радиуса R момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,Динамика материальной точки в теоретической механике, однородного стержня длиной а, относительно серединыДинамика материальной точки в теоретической механике, а относительно конца Динамика материальной точки в теоретической механике

Моменты инерции тела относительно параллельных осей связаны соотношениемДинамика материальной точки в теоретической механике(( — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, h — расстояние между осями (см. также с. 273). Если известен радиус инерции Динамика материальной точки в теоретической механике тела массы Динамика материальной точки в теоретической механике, то его момент инерции Динамика материальной точки в теоретической механике

Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение,

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — скорость центра масс тела, Динамика материальной точки в теоретической механике — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. В частности, кинетическая энергия однородного цилиндра, катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, вычисляется по формуле

Динамика материальной точки в теоретической механике

3. Кинетическую энергию системы вычисляем как сумму кинетических энергий отдельных тел:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №37

Выразить кинетическую энергию механической системы с одной степенью свободы (рис. 126) через угловую скорость Динамика материальной точки в теоретической механике Система состоит из двух однородных цилиндров 1 и 2, радиусом R. соединенных двухзвенником ABC. Невесомый стержень АВ жесткоДинамика материальной точки в теоретической механике
соединен с цилиндром 1. Массы цилиндров 1 и 2 равны Динамика материальной точки в теоретической механике масса однородного стержня ВС — Динамика материальной точки в теоретической механике Качение цилиндра происходит без проскальзывания и сопротивления. На цилиндр 1 действует момент М, к оси С приложена горизонтальная сила Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике Условие задачи содержит избыточные данные — М, F. Они потребуются в дальнейшем для составления нелинейного уравнения движения этой системы.

Решение

1. Составляем кинематические графы системы:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Записываем соответствующие им кинематические уравнения в проекциях на оси х и у (рис. 127):Динамика материальной точки в теоретической механике

Точка К является МЦС цилиндра 2. С учетом кинематических связей Динамика материальной точки в теоретической механике из системы (2) получаем выражения скоростей точек С, D и угловой скорости Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

2. Вычисляем кинетическую энергию тел системы. Цилиндр 1 масса которого Динамика материальной точки в теоретической механике, а момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс,Динамика материальной точки в теоретической механике имеет кинетическую энергию

Динамика материальной точки в теоретической механике

Кинетическая энергия однородного цилиндра 2, катящегося без проскальзывания по неподвижной поверхности (с. 242),

Динамика материальной точки в теоретической механике

Кинетическая энергия плоского движения стержня ВС, центр масс которого находится в точке D,

Динамика материальной точки в теоретической механике

3. Кинетическую энергию системы вычисляем как сумму кинетических энергий отдельных тел:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №38

Однородный диск 1 массой Динамика материальной точки в теоретической механике, радиусом Динамика материальной точки в теоретической механике шарнирно соединен в точке А с вертикально движущимся штоком 2 массой Динамика материальной точки в теоретической механике
Динамика материальной точки в теоретической механике
Диск катится по горизонтальному штоку 3 массой Динамика материальной точки в теоретической механике без проскальзывания; Динамика материальной точки в теоретической механике Выразить кинетическую энергию механической системы (рис. 128) через угловую скорость Динамика материальной точки в теоретической механике 

Решение

1. Составляем кинематические графы системы:Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике Записываем соответствующие им кинематические уравнения в проекциях на оси х и у (рис. 129)
Динамика материальной точки в теоретической механике
По условию задачи Динамика материальной точки в теоретической механике Используя эти соотношения (кинематические связи) получаем из (3)
Динамика материальной точки в теоретической механике
2. Вычисляем кинетическую энергию тел системы. Цилиндр 1, масса которого Динамика материальной точки в теоретической механике, а момент инерции относительно оси вращения Динамика материальной точки в теоретической механике имеет кинетическую энергию

Динамика материальной точки в теоретической механике

Кинетическая энергия штока Динамика материальной точки в теоретической механике

кинетическая энергия штока Динамика материальной точки в теоретической механике

3. Кинетическую энергию системы вычисляем как сумму кинетических энергий отдельных тел:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии

Постановка задачи. Механическая система, находящаяся в покое, под действием внешних сил приходит в движение. За некоторое время одно из тел системы перемещается на заданное расстояние. Найти скорости, приобретенные телами системы.

План решения:

1.    Выражаем кинетическую энергию системы через скорость Динамика материальной точки в теоретической механике тола, перемещение Динамика материальной точки в теоретической механике которого задано.

2.    Вычисляем сумму работ сил, приложенных к системе, на заданном перемещении. Перемещения точек приложения сил и углы поворота тел, к которым приложены моменты, выражаем через Динамика материальной точки в теоретической механике.

3.    Из теоремы об изменении кинетической энергии,Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — работа внешних и внутренних сил, определяем скорость Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №39

Механизм, состоящий из груза А, блока В и цилиндра С радиусом Динамика материальной точки в теоретической механикеустановлен на неподвижной призме (рис. 130). Под действием сил тяжести из состояния покоя механизм пришел в движение. Даны массы Динамика материальной точки в теоретической механике радиусы Динамика материальной точки в теоретической механике  радиус инерции блока Динамика материальной точки в теоретической механике = 15 см, коэффициент трения качения цилиндра о наклонную плоскость Динамика материальной точки в теоретической механике = 2 мм, коэффициент трения скольжения груза о горизонтальную поверхность Динамика материальной точки в теоретической механике = 0.1. Трения на оси блока В нет. Нити, соединяющие блок с грузом и цилиндром, параллельны плоскостям, по которым перемещаются эти тела. Какую скорость развил груз А, переместившись на расстояние Динамика материальной точки в теоретической механике = 1.2 м?

Решение

Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы (1). Для рассматриваемой системы, состоящей из твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, работа внутренних сил равна нулю:

Динамика материальной точки в теоретической механике В начальном положении все элементы механизма находились в покое, скорости всех тел были равны нулю, поэтому Динамика материальной точки в теоретической механике = 0. Кинетическая энергия Динамика материальной точки в теоретической механике, которую получила система после того, как груз переместился вдоль горизонтальной поверхности на расстояние Динамика материальной точки в теоретической механике зависит от искомой скорости Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

1. Кинетическую энергию системы, состоящую из трех слагаемых

Динамика материальной точки в теоретической механике

выражаем через скорость Динамика материальной точки в теоретической механике. Груз А движется поступательно, следовательно, его кинетическая энергия равна Динамика материальной точки в теоретической механике Тело В (блок) вращается относительно неподвижной оси:Динамика материальной точки в теоретической механике Момент инерции блока относительно оси вращения вычисляем через заданный радиус инерции Динамика материальной точки в теоретической механике Угловую скорость Динамика материальной точки в теоретической механике необходимо выразить через искомую скорость Динамика материальной точки в теоретической механике Линейная скорость внешнего обода блока совпадает со скоростью груза Динамика материальной точки в теоретической механике, так как обод связан нерастяжимой нитью с грузом. Для угловой скорости блока записываем формулу Динамика материальной точки в теоретической механике. Выражаем Тв через скорость Динамика материальной точки в теоретической механике:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Тело С (цилиндр) совершает плоское движение, поэтому

Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике — скорость центра масс цилиндра, Динамика материальной точки в теоретической механике— момент инерции цилиндра относительно центральной оси:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Выражаем Динамика материальной точки в теоретической механике через v. Точки внутреннего обода блока имеют скорость Динамика материальной точки в теоретической механикеили, выражая Динамика материальной точки в теоретической механике через скорость груза, Динамика материальной точки в теоретической механике (рис.131).
Динамика материальной точки в теоретической механике
Цилиндр катится без проскальзывания, поэтому точка его соприкосновения с призмой является мгновенным центром скоростей тела (рис. 132), отсюда

Динамика материальной точки в теоретической механике
В результате находим кинетическую энергию цилиндра С:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Кинетическую энергию системы трех тел представляем в виде Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — приведенная масса системы.

2.    Находим сумму работ внешних сил. Изображаем действующие на систему силы (рис. 133). Реакции опор Динамика материальной точки в теоретической механике работы не совершают, так как они перпендикулярны перемещениям точек их приложения. Реакции осиДинамика материальной точки в теоретической механике приложены к неподвижным точкам, поэтому их работа также равна нулю. Аналогично, работа силы сцепления, приложенной к цилиндру С в точке касания, равна нулю. Находим сумму работ остальных сил:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — соответственно, смещение центра тяжести и угол поворота цилиндра С. Находим силу трения скольжения груза А и момент трения качения цилиндра С. ИмеемДинамика материальной точки в теоретической механике где Динамика материальной точки в теоретической механике соответствующие нормальные реакции. Проекция всех сил, действующих на тело А, на нормаль к поверхности равна нулю. Отсюда, Динамика материальной точки в теоретической механике Аналогично, из равенства нулю суммы проекций на нормаль к боковой поверхности призмы всех сил, действующих на цилиндр, получаем Динамика материальной точки в теоретической механике В результате

Динамика материальной точки в теоретической механике

Так какДинамика материальной точки в теоретической механике то интегрируя (2) и (3) при нулевых начальных условиях, получаем Динамика материальной точки в теоретической механике Суммарную работу выражаем через Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

3.    Кинетическую энергию (4) приравниваем сумме работ (5):

Динамика материальной точки в теоретической механике

Отсюда получаем: v = 2.10 м/с.

Теорема о моменте количества движения системы

Постановка задачи. Горизонтальная платформа, на которой расположено N материальных точек, свободно вращается вокруг вертикальной оси. Как изменится угловая скорость платформы, если в некоторый момент времени точки начнут перемещаться по платформе вокруг оси вращения с заданными скоростями ? Трением пренебречь.

План решения:

По условию задачи моменты Динамика материальной точки в теоретической механике всех внешних сил относительно оси вращения равен нулю (силы тяжести параллельны вертикальной оси, а реакции подшипников пересекают ось). Поэтому из теоремы об изменении момента количества движения системы, записанной в проекции на ось вращения z,

Динамика материальной точки в теоретической механике

следует закон сохранения момента количества движения системы

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — проекции момента количества движения системы на ось z до и после относительного движения точек. 

1. Вычисляем момент количества движения системы, для случая неподвижных относительно платформы точек:Динамика материальной точки в теоретической механике
где Динамика материальной точки в теоретической механике, — момент инерции платформы относительно оси г, совпадающей с осью вращения, Динамика материальной точки в теоретической механике — проекция начальной угловой скорости на ось Динамика материальной точки в теоретической механике — массы точек и радиусы окружностей, на которых они расположены.

2.    Вычисляем момент количества движения системы, для случая, когда точки начали двигаться относительно платформы со скоростями Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — угловая скорость, которую получила платформа.

3.    Из уравнения (1) находим угловую скоростьДинамика материальной точки в теоретической механике

Задача №40

Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс с постоянной угловой скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике при этом на платформе стоят четыре человека: два — на краю платформы, а два на расстояниях от оси вращения, равных половине радиуса платформы (рис. 134).
Динамика материальной точки в теоретической механике

Как изменится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, будут двигаться по окружности в сторону вращения с относительной скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике а люди, стоящие на расстоянии половины радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в противоположную сторону с относительной скоростью Динамика материальной точки в теоретической механике Людей считать материальными точками одинаковой массы, а платформу — однородным диском.

Решение

На систему, состоящую из платформы и четырех человек, действуют внешние силы. Ось Динамика материальной точки в теоретической механике направим по оси вращения. Моменты сил тяжести людей Динамика материальной точки в теоретической механикеплатформы Динамика материальной точки в теоретической механике и реакций подшипника (реакция X перпендикулярна плоскости чертежа и на рис. 135 не обозначена) относительно оси 2 равны нулю (рис. 135). Используем уравнение сохранения момента количества движения (1).

1.    Вычисляем момент количества движения системы, когда люди стоят неподвижно на платформе:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — момент инерции платформы, Динамика материальной точки в теоретической механике — масса каждого человека, R, — радиус платформы.

2.    Вычисляем момент количества движения системы после того, как люди начали двигаться относительно платформы. У двух человек на внешнем ободе относительные скорости v и переносные скорости Динамика материальной точки в теоретической механике суммируются, Динамика материальной точки в теоретической механике и момент количества движения вычисляется в виде произведения величины количества движения Динамика материальной точки в теоретической механикена плечо R. У людей на внутреннем ободе переносная скорость меньше в два раза,Динамика материальной точки в теоретической механике направлена в сторону вращения диска. Относительная же скорость Динамика материальной точки в теоретической механике направлена в противоположную сторону, поэтому она берется с минусом. В итоге,

Динамика материальной точки в теоретической механике

3.    Из равенстваДинамика материальной точки в теоретической механике следует, что Динамика материальной точки в теоретической механике т.е. угловая скорость вращения платформы не изменилась

Динамический расчет механизма с неизвестным параметром

Постановка задачи. Механическая система с неизвестным параметром под действием внешних сил приходит в движение из состояния покоя. За некоторое время одно из тел системы перемещается на заданное расстояние и приобретает, известную скорость. Найти неизвестный параметр системы и рассчитать движение системы в измененных условиях.

План решения:

Постановка задачи по сути представляет собой простой вариант практически важной проблемы идентификации параметров механизма по наблюдаемым характеристикам его движения. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии.

1.    Выражаем кинетическую энергию каждого тела системы через известную скорость Динамика материальной точки в теоретической механике— приведенная масса Динамика материальной точки в теоретической механике-го тела. Вычисляем суммарную приведенную массу: Динамика материальной точки в теоретической механике

2.    Записываем теорему об изменении кинетической энергии:Динамика материальной точки в теоретической механике

Для неизменяемых систем (твердые тела, нерастяжимые нити) внутренние силы работу не совершают:Динамика материальной точки в теоретической механике В начальном состоянии система находилась в покое Динамика материальной точки в теоретической механике = 0. Вычисляем работы внешних сил и записываем (1) в форме

Динамика материальной точки в теоретической механике

Пусть неизвестная характеристика системы содержится в выражении для работы .

3.    Решая уравнение (2), определяем неизвестный параметр.

4.    Рассчитываем систему в новых условиях. В соответствии с ними вычисляем измененное значение работы Динамика материальной точки в теоретической механике Искомую скорость определяем из равенства

Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №41

Механическая система состоит из трех тел, соединенных нитью. Блок А внутренним ободом катится без проскальзывания по наклонной плоскости, шкив Б (однородный цилиндр) вращается вокруг неподвижной оси. Груз D закреплен пружиной жесткости с (рис. 136).Динамика материальной точки в теоретической механике

В начальном положении механизм находится в состоянии покоя, а пружина не напряжена. Переместившись вниз вдоль наклонной плоскости на расстояние Динамика материальной точки в теоретической механике = 3 м, блок А приобретает скорость 2.5 м/с.

Динамика материальной точки в теоретической механике Аналогично решается задача, когда неизвестная характеристика, например масса, содержится в кинетической энергии.

Определить коэффициент трения качения блока А о наклонную плоскость. Учесть момент трения на оси цилиндра Динамика материальной точки в теоретической механике и трение скольжения груза D о горизонтальную плоскость с коэффициентом Динамика материальной точки в теоретической механике Даны радиусы Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механикерадиус инерции блока Динамика материальной точки в теоретической механикеИзвестны массы тел Динамика материальной точки в теоретической механике угол Динамика материальной точки в теоретической механике и жесткость пружины Динамика материальной точки в теоретической механике

Чему будет равна скорость блока А на перемещении Динамика материальной точки в теоретической механике, если коэффициент трения качения увеличить в 3 раза?

Решение

1. Выражаем кинетическую энергию каждого тела системы через известную скорость Динамика материальной точки в теоретической механике центра блока А. Блок А совершает плоское движение. Кинетическая энергия блока А

Динамика материальной точки в теоретической механике

Здесь Динамика материальной точки в теоретической механике — момент инерции блока относительно центра Динамика материальной точки в теоретической механике

масс, Динамика материальной точки в теоретической механике — радиус инерции блока. Выражаем угловую скорость блока Динамика материальной точки в теоретической механике через скорость центраДинамика материальной точки в теоретической механике . Блок катится без проскальзывания, следовательно, его мгновенный центр скоростей находится в точке касания внутреннего (меньшего) радиуса с плоскостью (рис. 137). Таким образом:Динамика материальной точки в теоретической механике

Кинетическая энергия блока А имеет видДинамика материальной точки в теоретической механике

Приведенная масса (коэффициент при Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Цилиндр В совершает вращательное движение вокруг своей оси, Динамика материальной точки в теоретической механике Угловую скорость цилиндра В выражаем через скорость точки обода:Динамика материальной точки в теоретической механике Скорость обода Динамика материальной точки в теоретической механике цилиндра В совпадает со скоростью внешнего обода блока А, так как они связаны нерастяжимой нитью. Расстояние от внешнего обода А до МЦС блока равно Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 137). Отсюда получаем выражение для скорости обода:
Динамика материальной точки в теоретической механике
и угловой скорости цилиндра:
Динамика материальной точки в теоретической механике
Получаем выражение для кинетической .энергии:
Динамика материальной точки в теоретической механике
где приведенная масса Динамика материальной точки в теоретической механике = 5 кг.
Динамика материальной точки в теоретической механике
Груз D движется поступательноДинамика материальной точки в теоретической механике Скорость поступательного движения груза совпадает с линейной скоростью точек обода цилиндра Динамика материальной точки в теоретической механике. Кинетическая энергия груза D
имеет вид Динамика материальной точки в теоретической механике
Приведенная масса Динамика материальной точки в теоретической механике = 4 кг.

Приведенная масса механизма:Динамика материальной точки в теоретической механике

2.    Записываем теорему об изменении кинетической энергии

Динамика материальной точки в теоретической механике

Вычисляем работу внешних сил (рис. 138). Реакции опор Динамика материальной точки в теоретической механике перпендикулярны смещениям точек их приложения и их работы равны нулю. Так как блок катится без проскальзывания, то сила сцепления Динамика материальной точки в теоретической механике приложена к МЦС блока и ее работа также равна нулю. Аналогично не совершают работу реакции Динамика материальной точки в теоретической механике, приложенные к неподвижной точке. Работа силы тяжести блока А, катящегося вниз

Динамика материальной точки в теоретической механике

Работа момента сил трения на оси В

Динамика материальной точки в теоретической механике

Угол поворота Динамика материальной точки в теоретической механике цилиндра В вокруг оси (в радианах) выражаем через Динамика материальной точки в теоретической механике, интегрируя (4) при нулевых начальных условиях. Получаем Динамика материальной точки в теоретической механикеоткуда Динамика материальной точки в теоретической механике Работа силы трения скольжения Динамика материальной точки в теоретической механике груза D на перемещенииДинамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

где перемещение Динамика материальной точки в теоретической механике получаем, интегрируя (3) при нулевых начальных условиях. Работа силы упругости пружины

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — удлинение пружины, равное перемещению груза D, Динамика материальной точки в теоретической механикеВычисляем: Динамика материальной точки в теоретической механике

3.    Определяем коэффициент трения качения 6 блока А. Согласно

(5), Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — работа момента сил трения качения Динамика материальной точки в теоретической механике на угле поворота Динамика материальной точки в теоретической механикеблока А. При Динамика материальной точки в теоретической механике = 2.5 м/с находим

Динамика материальной точки в теоретической механике

Момент силы трения качения, Динамика материальной точки в теоретической механикезависит от свойств соприкасающихся телДинамика материальной точки в теоретической механике и от реакции Динамика материальной точки в теоретической механике которую можно найти из уравнения проекции на нормаль к наклонной плоскости Динамика материальной точки в теоретической механике Угол поворота Динамика материальной точки в теоретической механикеВ результате получаем

Динамика материальной точки в теоретической механике

откуда Динамика материальной точки в теоретической механике

4. Определяем скорость центра блока А в измененных условиях, при Динамика материальной точки в теоретической механике Вычисляем работу трения качения при Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Из теоремы об изменении кинетической энергии находим соответствующую скорость

Динамика материальной точки в теоретической механике

 Вычисляем ответ:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Замечание. Для решения задачи можно также использовать методы аналитической механики: общее уравнение динамики, уравнение Лагранжа 2-го рода и метод графов для определения скоростей.

Плоское движение системы

Постановка Задачи. Механическая система с одной степенью свободы состоит из тел, совершающих плоское движение. Составить и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения системы.

План решения:

1. Разбиваем систему на отдельные тела. Связи заменяем их реакциями.

2. Для каждого тела выбираем систему координат, в которой записываем дифференциальные уравнения движения тела.

3. Записываем кинематические соотношения между скоростями и угловыми скоростями отдельных тел. Дифференцируя эти соотношения, находим связь соответствующих ускорений.

4. Преобразуем и при необходимости интегрируем систему дифференциальных уравнений движения тел и кинематические соотношения.

Задача №42

К барабану ворота радиуса Динамика материальной точки в теоретической механике и массы Динамика материальной точки в теоретической механике приложен постоянный вращающий момент М (рис. 139). К концу троса, намотанного на барабан, прикреплена ось С колеса массой Динамика материальной точки в теоретической механике Колесо катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом Динамика материальной точки в теоретической механике к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан, сделав из состояния покоя Динамика материальной точки в теоретической механике оборотов? Барабан и колесо считать однородными круглыми цилиндрами. Массой троса и трением пренебречь.
Динамика материальной точки в теоретической механике
Решение

1. Разбиваем систему на два отдельных тела (рис. 140, 141). Связи заменяем их реакциями. Действие троса заменяем силой его натяжения Т, которую прикладываем к барабану и колесу во взаимно противоположных направлениях. Действие оси, на которой вращается барабан ворота, заменяем реакциями Динамика материальной точки в теоретической механике К катящемуся без проскальзывания колесу С прикладываем силу сцепления Динамика материальной точки в теоретической механике и нормальную реакцию опоры N. Силу сцепления колеса с наклонной плоскостью Динамика материальной точки в теоретической механике направляем условно вверх (истинное направление будет известно в результате решения задами). Прикладываем внешние силы: веса Динамика материальной точки в теоретической механике

2. Записываем уравнения вращательного движения барабана массой Динамика материальной точки в теоретической механике в выбранной системе координат

Динамика материальной точки в теоретической механике

Центр масс барабана неподвижен, поэтому первые два уравнения движения имеют форму уравнений статики.

Рассматриваем движение колеса массой Динамика материальной точки в теоретической механике (рис. 141). Система уравнений движения колеса имеет вид

Динамика материальной точки в теоретической механике

Во втором уравнении мы положили Динамика материальной точки в теоретической механике.

3. Кинематические связи системы

Динамика материальной точки в теоретической механике

Знак минус возникает из-за того, что положительные направления углов поворота (против часовой стрелки) колеса и барабана соответствуют отрицательной проекции скорости оси колеса. Дифференцируем (3) и получаем соотношения для ускорений

Динамика материальной точки в теоретической механике

4. Система восьми уравнений (1), (2), (4) содержит восемь неизвестных Динамика материальной точки в теоретической механике и разбивается на две. Для первых пяти неизвестных можно выделить систему пяти уравнений.
Гл.12.Динамика системы

Учитывая, что моменты инерции однородных цилиндров имеют вид Динамика материальной точки в теоретической механикеполучаем

Динамика материальной точки в теоретической механике

Исключая неизвестные Динамика материальной точки в теоретической механике находим

Динамика материальной точки в теоретической механике

Правая часть (5) не зависит от времени. Обозначим ее за —А. Получим Динамика материальной точки в теоретической механикеИнтегрируем (5) при условии, что в начале процесса (t= 0) барабан находился в покое Динамика материальной точки в теоретической механикеи угол поворота отсчитывается от нуля Динамика материальной точки в теоретической механикеПолучаем уравнения Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механике которые записываем для некоторого момента Динамика материальной точки в теоретической механике когда барабан сделает по часовой стрелке n оборотов и повернется на отрицательный угол Динамика материальной точки в теоретической механике Угловая скорость барабана при этом достигнет величины Динамика материальной точки в теоретической механике которую надо определить в задаче:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Исключая неизвестное время Динамика материальной точки в теоретической механике получаем ответ:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Знак минус показывает, что вращение барабана направлено по часовой стрелке. Анализ подкоренного выражения дает ограничение на существование решения: Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамические реакции в подшипниках ротора

Постановка Задачи. На оси, вращающейся в двух неподвижных подшипниках под действием постоянного внешнего момента, закреплен цилиндр и жесткий невесомый стержень с точечной массой на конце. Ось цилиндра составляет малый угол с осью вращения. Найти динамические составляющие реакций подшипников.

План решения:

Динамические составляющие реакций подшипников Динамика материальной точки в теоретической механикеДинамика материальной точки в теоретической механикена подвижные оси, связанные с вращающимся ротором, удовлетворяют уравнениям [16]

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — масса ротора,Динамика материальной точки в теоретической механике — координаты его центра масс, Динамика материальной точки в теоретической механике — центробежные моменты инерции ротора. Ось Динамика материальной точки в теоретической механике направлена по оси вращения ротора; Динамика материальной точки в теоретической механике — угловые скорость и ускорение ротора в проекции на Динамика материальной точки в теоретической механике — координаты подшипников А и В.

1. Вводим систему координат. Начало координат помещаем в одном из подшипников, например, А. Ось Динамика материальной точки в теоретической механике направляем по оси вращения, ось х направляем так, чтобы ось цилиндра лежала в плоскости Динамика материальной точки в теоретической механике Определяем массу m системы двух тел и координаты центра масс системы:

Динамика материальной точки в теоретической механике

где Динамика материальной точки в теоретической механике — координаты центров масс тел.

2. Вычисляем моменты инерции цилиндра, осьДинамика материальной точки в теоретической механике которого составляет малый угол с осью вращения Динамика материальной точки в теоретической механике относительно осей координат:

Динамика материальной точки в теоретической механике

Малый угол Динамика материальной точки в теоретической механике отсчитывается от оси цилиндра Динамика материальной точки в теоретической механике к положительному направлению оси Динамика материальной точки в теоретической механике Угол берется положительный, если со стороны оси у поворот оси цилиндра к оси z виден против часовой стрелки, и отрицательный — если поворот виден по направлению часовой стрелки. Моменты инерцииДинамика материальной точки в теоретической механике вычислены по теореме ГюйгенсаДинамика материальной точки в теоретической механике . Вторые слагаемые в (3) представляют собой соответствующие моменты инерции центра масс цилиндра относительно начала координат.

3. Вычисляем моменты инерции точечной массы (груза) относительно осей х, у, z

Динамика материальной точки в теоретической механике

4. Находим суммарные моменты инерции системы

Динамика материальной точки в теоретической механике

5. Вычисляем угловое ускорение ротора Динамика материальной точки в теоретической механике и угловую скорость ротора в указанный момент t.Если Динамика материальной точки в теоретической механикето Динамика материальной точки в теоретической механике

6. Искомые реакции находим из решения системы (1) при Динамика материальной точки в теоретической механике

Задача №43

На оси, вращающейся в неподвижных подшипниках А и В под действием постоянного момента Динамика материальной точки в теоретической механикезакреплен ротор, состоящий из цилиндра массой Динамика материальной точки в теоретической механике и жесткого невесомого стержня длиной L = 21 см с точечной массой Динамика материальной точки в теоретической механике на конце (рис. 142). Ось цилиндра составляет угол Динамика материальной точки в теоретической механике рад с осью вращения Динамика материальной точки в теоретической механике Центр массы цилиндра лежит на оси Динамика материальной точки в теоретической механике Стержень перпендикулярен Динамика материальной точки в теоретической механикеНайти динамические составляющие реакций подшипников в момент времени t = 3 с. Ротор вращается из состояния покоя.
Динамика материальной точки в теоретической механике
Введены системы координат Динамика материальной точки в теоретической механике с осями, параллельными Динамика материальной точки в теоретической механике проходящими через центры масс тел 1 и 2. Ось Динамика материальной точки в теоретической механике является осью цилиндра и вместе с осями Динамика материальной точки в теоретической механике лежит в плоскости xz. Оси Динамика материальной точки в теоретической механике перпендикулярны Динамика материальной точки в теоретической механике

Решение

1. Вводим систему координат. Начало координат помещаем в подшипнике А, ось z направляем по оси вращения. Ось цилиндра лежит в плоскости xz. Определяем массу системы Динамика материальной точки в теоретической механике и координаты центра масс системы по формуле (2)

Динамика материальной точки в теоретической механике

2.Вычисляем моменты инерции цилиндра относительно осей координат по формулам (3), где Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

Угол берется положительный, так как со стороны оси у поворот оси цилиндра к оси Динамика материальной точки в теоретической механике виден против часовой стрелки.

3.Вычисляем моменты инерции точечной массы (груза) относительно осей Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

4. Находим суммарные моменты инерции системы Динамика материальной точки в теоретической механике Динамика материальной точки в теоретической механике

5.Вычисляем угловое ускорение ротора Динамика материальной точки в теоретической механике и угловую скорость ротора в момент t = 3 с. Так как Динамика материальной точки в теоретической механике и  Динамика материальной точки в теоретической механике

6. Динамические реакции опор вычисляем, решая систему (1) при Динамика материальной точки в теоретической механике

Динамика материальной точки в теоретической механике

  • Движение материальной точки
  • Аналитическая статика
  • Теорема о движении центра инерции 
  • Теорема количества движения
  • Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку
  • Движение твердого тела
  • Сложение движений точки
  • Сложение движений твердого тела в теоретической механике – формулы и определения с примерами

Добавить комментарий