Как найти ускорение полюса

а) Определение:

Полюсом при
вычислении ускорений может считаться
любая точка, ускорение которой в данный
момент известно (или его можно легко
найти).

б) Основные
формулы:

По теореме о
разложении плоского движения оно
является совокупностью поступательного
движения вместе с полюсом и вращательного
движения вокруг этого полюса, поэтому:

ускорение любой
точки плоской фигуры геометрически
складывается из ускорения поступательного
движения какой-либо точки, принимаемой
за полюс и ускорения этой точки во
вращательномдвижении плоской
фигуры вокруг полюса.

Ускорение
вращательного движения точки при
вращении плоской фигуры вокруг полюса
состоит из нормального (центростремительного)
ускорения и касательного (тангенциального)
ускорения. Примем точку Аза полюс,
тогда можно записать:

,
(11)

или, учитывая, что

получим:

; (12)

Формула (12) называется
формулой Ривальса, которая вместе
с формулой (1) составляет математическую
основу модели плоскопараллельного
движения твердого тела.

Для любой другой
точки аналогично:

(13)

где нормальное
ускорение всегда известно по модулю и
по направлению (направлено по звену к
полюсу А). Модули нормального
ускорения:

;
;
(14)

Если известно
угловое ускорение звена по величине и
направлению, то касательное ускорение
точки направлено перпендикулярно
нормальному ускорению в сторону углового
ускорения
.

;
. (15)

Так как угловая
скоростьи
угловое ускорениезвена
известны, то для точкиСаналогично:

,

где:

;

Модуль и направление
ускорения точек В,КиС можно
найти геометрически построением
соответствующего параллелограмма.

Проиллюстрируем
полученные равенства (Рис.46):

Рис. 46

3.2 Вычисление
ускорения точек методом двукратного
проектирования

Ускорение любой
точки можно определить аналитически
почленным проектированием уравнений
(12), (13) на две взаимно перпендикулярные
оси координат. Удобно одну ось направлять
по звену (так как нормальное ускорение
направлено по звену к полюсу), другую
перпендикулярно звену (по линии действия
касательного ускорения).

Пусть известно
линейное ускорение полюса по величине
и по направлению. Будем считать, что
известна угловая скорость тела или
звена
,
угловое ускорение тела или звена(то есть известны нормальные и касательные
ускорения по величине и по направлению).
Ускорение искомой точки, не известно
ни по величине, ни по направлению, тогда,
спроектировав (12), на оси координат «x»и «y»получим
(Рис.47):

Рис.47

Направление вектора
ускорения найдем по направляющим
косинусам:

Для определения
ускорения точки К, введем новые
координатные осиX₁иY₁(Рис.47).
Спроектировав уравнение (13) на эти оси
координат получим:

Направление вектора
ускорения найдем по направляющим
косинусам:

Для любой другой
точки, (например, С) аналогично
(Рис.47):

Спроектировав
уравнение (16) почленно на две взаимно
перпендикулярные оси координат, получим:

;

;

.

3.3 Вычисление
ускорений методом однократного
проектирования.

Этот метод
применяется, в том случае, когда известно
направление линейного ускорения точки,
а также известна угловая скорость тела
(или звена) –
,
но не известно угловое ускорение звена
–(Рис.48).

Тогда:

Рис. 48

Ускорение точки
Визвестно по направлению (вектор
направляем произвольно по линии
движения ползуна, истинное направление
покажут расчёты).

Будем проектировать
векторное уравнение (12) на ось
перпендикулярную касательному ускорению
(т.е. на ось «x»,
совпадающую со звеномАВ). Получим:

,

отсюда:

Если при вычислениях
получен в ответе знак «минус», то это
означает, что ускорение точки В–направлено в сторону противоположную
обозначенному направлению на чертеже.

3.4 Вычисление
углового ускорения, если направление
и модуль углового ускорения тела или
звена неизвестно.

Для определения
углового ускорения, спроектируем
уравнение (12 )на ось «y»
(Рис. 48) получим:

.

Отсюда:

.

Зная алгебраическое
значение
,
определим угловое ускорение звенаАВ:

.

Если при подстановке
численных значений касательное ускорение
получилось со знаком минус, то оно
направлено в сторону, противоположную
обозначенному направлению на чертеже.

Если требуется
найти ускорения нескольких точек, то
за полюс необходимо брать одну и ту же
точку.

Пример 16

Линейка АВ
длиной
=40
см. движется
в плоскости чертежа. В некоторый момент
времени ускорение точки А
=40
см/с²
и совпадает с направлением АВ.
Определить ускорение точки В,
если
=1
рад/с;=0,5
рад/с².

Рис.49

Решение:

Выбираем за полюс
точку А,
тогда:
,

учитывая, что
,
получим.

Нормальное ускорение
всегда известно по модулю и направлению
(направлено к полюсу, т.е. к точке А)
и по модулю равно:

=140=40
см/с².

Касательное
ускорение направлено в сторону углового
ускорения, перпендикулярно нормальному
ускорению и по модулю равно:
=0,540=20
см/с²;

Введём координатные
оси и покажем направления ускорений
(Рис.50):

Рис.50

Спроектируем
векторное равенство на координатные
оси X
и Y:

Пример 17
(18.26[9])

Груз 1,
связанный посредством нерастяжимой
нити с катушкой 2,
опускается вертикально вниз по закону
x=t²
м.
При этом
катушка 2
катится без скольжения по неподвижному
горизонтальному рельсу. Определить
скорости точек С,
А,
В,
О
и Е
катушки в момент времени t
= 1 c
в положении, указанном на рис. 44, а также
угловую скорость катушки, если AD
СE,
СD=2OC=0,2
м.

Рис.51

Решение:

По заданному
условием задачи закону движения груза
1, определяем его скорость (см.
пример 15, Рис. 44).

м/с

Скорость точки D,
общей для нити и катушки, направлена
вдоль нити и, поскольку нить считается
нерастяжимой, имеет модуль, равный
модулю скорости груза

Движение катушки
плоское (катушка движется в плоскости
рисунка). По условию задачи катушка
катится без скольжения. Установив
положение мгновенного центра скоростей,
который находится в точке касания
катушки и неподвижного рельса (то есть,
в точке О
) по известной скорости точки D
находим угловую скорость и угловое
ускорение катушки:

с^-1

с^-2

Отсюда при t
= 1 c
получим:

с^-1

В качестве полюса
выберем центр катушки С,
который движется по прямолинейной
траектории. Скорость центра катушки:

м/с

Вектор ускорения
точки С
направлен
вдоль этой траектории (Рис.52), а его
модуль определяем с помощью выражения:

м/с².

Рис.52

Ускорения точек
А, В, D,
О и E
определим с помощью общей формулы
ускорений. Для ускорения точки А
запишем:

.

Учитывая полученные
значения угловой скорости и углового
ускорения катушки, находим значения
нормального и касательного ускорений:

м/с²;
м/с².

Спроектировав
векторное равенство на координатные
оси хиу, получим (Рис.53):

Рис.53

Повторяя описанное
решение для точек В, Е, ОиDбудем иметь

,

где:

м/с²

м/с²

Проекции на
координатные оси (Рис.54):

Рис.54

Для точки Е(Рис.55):

Рис.55

где:

м/с²

м/с²

Проекции на оси
координат:

Для точки О,
совпадающей с мгновенным центром
скоростей катушки (Рис.56):

,

где:

м/с²

м/с²

Рис.56

Проекции на оси
координат:

Для точки D:

где:

м/с²

м/с²

Проекции на оси
координат (Рис.57):

Рис.57

Пример 18
(18.34[9])

Ускорения концов
однородного стержня АВ
длины 12
см,
совершающего плоскопараллельное
движение, перпендикулярны АВ
и направлены
в одну сторону, причем
=24
см/с²,
=12
см/с^2..
Определить угловую скорость и угловое
ускорение стержня, а также ускорение
его центра тяжести С.

Решение:

Для решения задачи
используем общую формулу плоского поля
ускорений.

Выбираем за полюс
точку А,
тогда:
,
учитывая, что,

получим:

.

Нормальное
(центростремительное) ускорение
направлено к полюсу, т.е. к точке А
и по модулю равно:
;

где
– мгновенная угловая скорость стержня.

Касательное
ускорение направлено в сторону углового
ускорения ,
перпендикулярно нормальному ускорению
и по модулю равно:
.

Введём координатные
оси и покажем направления ускорений,
(так как направление углового ускорения
нам не известно, то вектор касательного
ускорения
направляем перпендикулярно нормальному
ускорению в любую сторону) (Рис.58):

Рис.58

Спроектировав
векторное уравнение на оси координат
хиу, получим:

;

.

В результате:

см/с².

Зная касательное
ускорение, определяем угловое ускорение
звена АВ:с^-2.

По известным
значениям угловой скорости и углового
ускорения стержня можно найти ускорение
любой его точки. Записываем общую формулу
плоского поля ускорений для ускорения
точки С:

,

где: нормальное
ускорение при вращательном движении
точки Свокруг точкиАтак как угловая скорость звенаАВравна нулю. Касательное ускорение при
вращательном движении точкиСвокруг
точкиА
см/с².

Проектируя равенство
(26) на координатные оси, получим:

;

см/с².

Получили ускорение
точки С:

а_С
=18см/с².

Направление можно
определить по направляющим косинусам.

3.5 Вычисление
ускорений через мгновенный центр
ускорений (МЦУ)

а) Определение:

При движении
плоской фигуры в каждый момент времени
существует точка, жестко связанная с
плоской фигурой, ускорение которой в
данный момент времени равно нулю. Эта
точка называется мгновенным центром
ускорений (МЦУ). Обозначается МЦУ – Q.

б) Основные
формулы:

Пусть точка Q
– полюс. Тогда, записав теорему о сложении
ускорений при плоском движении, получим
(Рис.59):

; (16)

; (17)

где:

;

; (18)

;

; (19)

В формулах (18) и
(19)
– мгновенная угловая скорость плоской
фигуры;
– мгновенное угловое ускорение плоской
фигуры.

Рис. 59

Так как. по
определению ускорение мгновенного
центра ускорений
,
то ускорение точекА
и М
можно определить по теореме Пифагора:

;
(20)

;
(21)

Для любой другой
точки тела или звена получим аналогичные
равенства.

Выводы:

1. Ускорение
любой точки плоской фигуры можно
определить как сумму двух векторов:
нормального и касательного, которая
представляет собой ускорение плоской
фигуры во вращательном движении вокруг
мгновенного центра ускорений. Ускорение
любых точек тела прямо пропорциональны
их расстояниям до мгновенного центра
ускорений.

Для произвольной
точки М:

,

Модуль ускорения:

;

Для произвольной
точки А:

;

Модуль ускорения:

2. Отношения
модулей ускорений любых точек тела к
их расстояниям до мгновенного центра
ускорений одинаковы для всех точек
тела:

(22)

3.
Угол наклона вектора абсолютного
ускорения точки к расстоянию от этой
точки до МЦУ не зависит от выбора точки
тела, т.е. все ускорения точек одинаково
наклонены к расстоянию от точки до МЦУ.

(23)

в) Методы
определения МЦУ.

1. Если ω
= 0, а
,
это означает, что
,
а

и ускорение
,
то МЦУ будет лежать на пересечении
перпендикуляров к ускорениям двух точек
(Рис.60).

Рис. 60

2. Если
,

,
то



и абсолютное ускорение
,
то ускорения всех точек плоской фигуры
направлены к мгновенному центру ускорений
и МЦУ будет лежать на пересечении самих
ускорений двух точек (Рис.61).

Рис. 61

Если
,

,
то


,
то, кроме угловой скорости

и углового ускорения 
должны быть известны направления
ускорений точек А
и М
–
и
,
а также угол наклона вектора
абсолютного
ускорения точки к расстоянию от этой
точки до МЦУ
–
или

;
тогда МЦУ лежит на пересечении прямых
проведенных под углом 
к ускорениям (Рис.62).

Рис. 62

4. Пусть известно
ускорение какой-нибудь точки и по
величине и по направлению (например
точки А –
),
а также известно, что,.
Определими
расстояние;
то есть МЦУ находится на расстоянииQA
от точки А
под углом 
к ускорению
(Рис.63).

Рис. 63

5. Общий случай.

Известны ускорения
двух точек А
и М
по величине и по направлению, известна
длина отрезка АМ,
но не известны угловая скорость
и угловое
ускорение
.
Необходимо определить положение
мгновенного центра ускорений, а также
угловую скорость и угловое ускорение
звенаАВ.

Рис. 64

Любую точку (А
или М)
берем за полюс. Будем считать, что точка
А
полюс.
Тогда, ускорение точки М
может быть определено с помощью формулы
распределения ускорений (Рис.64):

;

Рис. 65

Спроектируем это
векторное равенство на координатные
оси X
и Y
(Рис.65).

Получим:

– проекция на ось
Х:

;

Отсюда:

;

Из этого выражения
определим угловую скорость:

.

– проекция на ось
Y:

;

Отсюда:

;

Из этого выражения
определим угловое ускорение:

,

а значит определяем
.

Откладываем под
углом

отрезки к направлениям ускорений
и.
Пересечение этих прямых и является
мгновенным центром ускоренийQ
(Рис.66).

Рис. 66

6. Определение
положения мгновенного центра ускорений
в случае, когда ускорения точек плоской
фигуры параллельны между собой.

Положение мгновенного
центра ускорений – Q
определяется в этом случае на основании
следующего:

– ускорения точек
пропорциональны длинам отрезков,
соединяющих точки с МЦУ, то есть:

.

– ускорения точек
составляют с отрезками, соединяющими
точки один и тот же угол:

.

Возможны несколько
случаев:

1. Известны угловая
скорость
,
угловое ускорение,
угол наклона вектора
абсолютного
ускорения точки к расстоянию от этой
точки до МЦУ
острый, то
есть изменяется в пределах
.

Положение МЦУ в
этом случае определяется построением,
приведенным на рис 67 и рис.68:

Рис. 67

Рис.68

2. Известны угловая
скорость
,
угловое ускорение,
угол наклона вектора
абсолютного
ускорения точки к расстоянию от этой
точки до МЦУ
прямой, то
есть
,
тогда:

Положение МЦУ в
этом случае определяется построением,
приведенным на рис 69 и рис.70:

Рис. 69

Рис.70

3. Известны ускорения
двух точек А
и В
равные по модулю и одинаковые по
направлению. Положение МЦУ в этом случае
определяется построением, приведенным
на рис.73. В этом случае МЦУ находится в
бесконечности. Распределение ускорений
будет таким же, как при поступательном
движении.

Рис.71

Пример 19
(18.34[9])

Ускорения концов
однородного стержня АВ
длины 12 см,
совершающего плоскопараллельное
движение, перпендикулярны АВ
и направлены
в одну сторону, причем
=24
см/с²,
=12
см/с^2..
Определить угловую скорость и угловое
ускорение стержня, положение мгновенного
центра ускорений, а также ускорение его
центра тяжести С.

Решение:

Находим положение
мгновенного центра ускорений, который
находится на продолжении отрезка АВ
за точкой В
(Рис.72).

Рис.72

Составим отношение:

.

Подставив значения,
получим:

.

Длина отрезка от
точки В до МЦУ – BQ=12
см.

Длина отрезка от
точки А до
МЦУ – АQ=24
см.

Так как угол наклона
вектора
абсолютного
ускорения точки к расстоянию от этой
точки до МЦУ
прямой, то
,
и.
Учитывая, что,
получаем.

Используя формулу:
,
или:.

Определяем угловое
ускорение:
с^-1.

Для определения
ускорения средней точки С
стержня АВ
находим расстояние от точки С
до МЦУ. Оно равно: АС+ВС=6+12=18
см.

Ускорение точки
С:

181=18см/с².

Примечание:
применение мгновенного центра ускорений
связано с трудоемкими методами нахождения
его положения, поэтому определение
ускорений точек плоской фигуры проще
выполнять через полюс.

4. Практическое
занятие по теме
«Плоскопараллельное
движение».

Задачей практических
занятий является изучение методов
расчета типовых задач, а также практическое
осмысление основных теоретических
положений курса. При решении задач
обращается внимание на логику решения,
на физическую сущность используемых
величин, их размерность. Далее проводится
анализ полученного решения, результат
сопоставляется с реальными объектами,
что вырабатывает у студентов инженерную
интуицию.

Под умением
применять законы и уравнения при анализе
и расчете движений звеньев механизма
понимаются следующие умения:

– умение определить
вид движения тела ;

– умение по виду
движения тел и данным поставленной
задачи определить закон (теорему,
уравнение, принцип), с помощью которого
задачу можно решить.

Перед практическим
занятием необходимо разобрать материал,
изложенный на лекции и выполнить
самостоятельную работу, предусмотренную
рабочим планом. Для этого используются:
конспект лекций, соответствующие разделы
печатных и электронных учебников, ответы
на вопросы для самоконтроля знаний.
После практического занятия самостоятельно
решить рекомендованные задачи и
расчетно-графические работы.

Решение любой
задачи включает в себя четыре принципиально
важных этапа:

– изучение (анализ)
содержания задачи, краткая запись
условий и требований;

– поиск способа
(принципа) решения и составление плана
решения;

– осуществление
решения, проверка правильности и его
оформление;

– обсуждение
(анализ) проведенного решения, отбор
информации, полезной для дальнейшей
работы.

Решить учебную
задачу по теоретической механике –
значит найти последовательность общих
положений механики (законов, формул,
определений, правил), использование
которых позволяет получить то, что
требуется в задаче, – ее ответ.

При решении задач
следует:

– определить к
какому разделу теоретической механики
относится рассматриваемая задача;

– усвоить теоретический
материал на изучаемую тему;

– выписать
предложенные на лекциях, рекомендованных
учебниках и учебных пособиях алгоритмы
решения задач на данную тему;

– разобрать задачи,
рассмотренные на практических занятиях
и имеющиеся в учебниках и пособиях
примеры решения задач;

– записать краткое
условие задачи;

– определиться с
методом решения задачи;

– выписать
математическое выражение выбранного
метода;

– сделать четкий
рисунок в выбранном масштабе,
соответствующий условию задачи и методу
решения;

– запись уравнений
и их решение приводить в буквенном виде,
численные значения подставлять в
конечные выражения;

– привести таблицу
ответов, полученных величин.

В сборниках задач
по теоретической механике ([9]) приводятся
задачи двух видов: на усвоение учебного
материала (стандартные задачи) и активное
использование изученного материала.
Основная учебная функция упражнений
по решению стандартных задач – перевод
знаний, усвоенных на уровне воспроизведения,
на уровень знаний – умений. Для таких
задач имеются способы решения, одни из
которых описаны в самих задачниках,
другие анализируются на практических
занятиях. Решение задач на активное
использование изученного материала –
нестандартных или проблемных, поисковых,
творческих, олимпиадных задач это
исследовательская работа студента
первокурсника.

Скорости и ускорения точек при плоскопараллельном движении

1. Мгновенный центр скоростей. (МЦС)
2. Определение скоростей точек тела при помощи мгновенного центра скоростей.
3. Определение ускорений точек тела.
4. Понятие о мгновенном центре ускорений твердого тела. (МЦУ)

 1.     Мгновенный центр скоростей. (МЦС)

Мгновенным центром скоростей называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

 

 2. Определение скоростей точек тела при помощи мгновенного центра скоростей.

  

 то есть, скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей, и это отношение определяет угловую скорость тела в данный момент времени:

 

Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей

	Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, то точка касания Р имеет в данный момент времени скорость равную нулю, и, следовательно  является мгновенным центром скоростей .
	Если скорости точек A и B тела параллельны друг другу, причем    линия AB не перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что, , то есть .
	Если скорости точек Aи B тела параллельны друг другу и при этом линия AB перпендикулярна , то мгновенный центр скоростей определяется построениями, показанными на рисунке. В этом случае кроме направлений скоростей  и , необходимо знать и их модули, чтобы найти P.

Примеры:

3. Определение ускорений точек тела

Теорема: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

где        – тангенциальное ускорение полюса, точки А;  – нормальное ускорение полюса, точки А;

 – тангенциальное или вращательное ускорение звена АМ, направлено перпендикулярно к звену АМ;

  – нормальное или центростремительное ускорение звена АМ, всегда направлено от точки М к полюсу, точке А.

4. Мгновенный центр ускорений

Следовательно, ускорение любой точки тела равно ее ускорению во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений Q.

То есть ускорения точек тела пропорционально их расстояниям от мгновенного центра ускорений.

Положение мгновенного центра ускорений и мгновенного центра скоростей в общем случае в любой данный момент времени не совпадают.

Добавить комментарий

Содержание:

Мгновенный центр ускорений:

В каждый момент движения плоской фигуры в своей плоскости, если Эту точку называют мгновенным центром ускорений. Обозначим ее через . Для доказательства этой теоремы предположим, что известны по модулю и направлению ускорение какой-либо точки плоской фигуры, угловая скорость и угловое ускорение этой фигуры. Пусть (рис. 56). Мгновенный центр ускорений лежит на линии, проведенной под углом к ускорению точки, тангенс которого вычисляем по формуле

Рис. 56

При этом угол надо отложить от ускорения в направлении дуговой стрелки углового ускорения , т. е. в рассматриваемом случае по часовой стрелке. Только в точках этой прямой ускорение и ускорение от вращения могут иметь противоположные направления и одинаковые значения, т. е.

и тогда

Но

следовательно,

Из приведенного доказательства следует, что мгновенный центр ускорений является единственной точкой плоской фигуры, ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю. В другой момент времени мгновенный центр ускорений находится в общем случае в другой точке плоской фигуры.

Если мгновенный центр ускорений известен, то, выбрав его за полюс, для ускорения точки плоской фигуры по формуле (10) получаем

так как

и, следовательно,

Ускорение направлено под углом  к отрезку , соединяющему точку с мгновенным центром ускорений в сторону дуговой стрелки углового ускорения (рис. 57).

Для точки , аналогично,

и ускорение также направлено под углом к отрезку .

Рис. 57

Из формул (16) и (17) имеем

т. е. ускорения точек плоской фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений.

Итак, суммируя результаты, получаем, что ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно определить так же, как и при вращательном движении плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений с угловой скоростью и угловым ускорением .

Для вычисления скоростей точек плоской фигуры при плоском движении принимают, что плоская фигура вращается вокруг мгновенного центра скоростей, а для вычисления ускорения следует считать, что она вращается вокруг мгновенного центра ускорений.

При качении без скольжения колеса по прямой (см. пример в § 7) получается, что ускорение мгновенного центра скоростей не равно нулю; следовательно, в общем случае мгновенные центры скоростей и ускорений являются различными точками плоской фигуры.

Ускорения точек плоской фигуры при плоском движении, подобно скоростям точек, можно определять двумя способами: по формуле (10), выражающей зависимость ускорений двух точек плоской фигуры, и по формуле (16), используя мгновенный центр ускорений. Обычно мгновенный центр ускорений, кроме частных случаев, когда угловая скорость или угловое ускорение равны нулю, располагается на плоской фигуре так, что трудно определить расстояние от него до рассматриваемых точек фигуры. Поэтому определение ускорения точек рекомендуется вычислять по формуле (10).

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра ускорений как в частных, так и в общем случаях.

1. Пусть известно, что угловое ускорение , а угловая скорость . Очевидно, это возможно в случае, когда плоская фигура вращается в своей плоскости с постоянной угловой скоростью или когда угловая скорость достигает относительно наибольшего или наименьшего значения. В этом случае для угла

и, следовательно, угол .

Мгновенный центр ускорений лежит на прямой линии, по которой направлено ускорение какой-либо точки плоской фигуры (рис. 58). Так как это справедливо для любой точки фигуры, то, следовательно, мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения прямых линий, по которым направлены ускорения точек плоской фигуры. Ускорения точек плоской фигуры в этом случае направлены к мгновенному центру ускорений, так как они состоят только из одной относительной нормальной составляющей от вращения вокруг мгновенного центра ускорений.

Рис. 58

Если известно ускорение, например точки , то мгновенный центр ускорений можно найти по расстоянию :

Эта формула получается из (16) в том случае, когда угловое ускорение равно нулю.

2.    Пусть угловая скорость , а угловое ускорение . Это возможно при мгновенном поступательном движении.

Тогда

и, следовательно, угол  — прямой. Его надо откладывать от ускорения точки в направлении дуговой стрелки углового ускорения. Мгновенный центр ускорений лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек плоской фигуры, проведенных из этих точек (рис. 59). Если известно числовое значение ускорения какой-либо точки , то расстояние от до мгновенного центра ускорений можно вычислить по формуле , которая получается из формулы (16) при .

3.    В общем случае, когда угловая скорость и угловое ускорение известны и не равны нулю, для угла имеем

Мгновенный центр ускорений лежит на пересечении прямых линий, проведенных к ускорениям точек фигуры под одним и тем же углом , причем угол а нужно откладывать от ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления угловой скорости плоской фигуры (см. рис. 57). Если известно ускорение, например точки , то расстояние от точки до мгновенного центра ускорений можно найти по формуле (16), т. е.

Рис. 59

4. Пусть в данный момент времени  известны ускорения двух точек плоской фигуры: и (рис. 60). Укажем способ нахождения мгновенного центра ускорений в этом случае. По формулам (10)… (13), приняв за полюс точку , имеем

 

где

Проецируя левую и правую части векторной формулы (19) на две взаимно перпендикулярные оси и , получаем

где и — известные углы соответственно между ускорениями  и и положительным направлением оси .

При принятом направлении оси проекцию на эту ось надо взять со знаком плюс, так как направлена всегда от точки к полюсу . Проекцию ускорения на ось предположительно возьмем с плюсом, считая дуговую стрелку в рассматриваемом случае направленной против часовой стрелки. Определяя и , легко находим

Естественно, что в реальных случаях величина , найденная из полученной формулы, должна оказаться положительной. Знак же углового ускорения определяется знаком правой части формулы для .

После того как найдены и , задача нахождения мгновенного центра ускорений сводится к уже рассмотренному случаю 3.

Рис. 60

Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении

При вычислении ускорений точек фигуры при плоском движении необходимо знать угловое ускорение. Рассмотрим некоторые приемы его определения.

1.    Если известен угол поворота или угловая скорость в зависимости от времени, то угловое ускорение е определяем путем дифференцирования их по времени, т. е.

2.    Обычно требуется определить угловое ускорение в какой-либо момент времени по другим величинам, известным в этот же момент времени. В этом случае угловое ускорение тоже можно получить путем дифференцирования угловой скорости по времени, считая ее для вывода формулы известной функцией времени. Угловую скорость можно найти по формуле (7):

где — точка плоской фигуры; — мгновенный центр скоростей.

Дифференцируя по времени, получаем

В тех случаях, когда постоянно,

так как

где  — касательное ускорение точки .

Так, например, при качении колеса без скольжения по неподвижной прямой линии (см. рис. 55), если за точку взять центр колеса , то, учитывая, что он движется прямолинейно, получим

так как в этом случае

где — радиус колеса.

При качении без скольжения одного колеса по неподвижному другому колесу сначала установим зависимость между угловой скоростью подвижного колеса и угловой скоростью со кривошипа  (рис. 61). Учитывая, что мгновенный центр скоростей подвижного колеса лежит в точке соприкосновения колес, получаем

где — радиус неподвижного колеса; — радиус подвижного колеса.

Дифференцируя по времени (21), имеем

так как

Рис. 61

Из сравнения (21) и (22) видно, что связь между угловыми скоростями и угловыми ускорениями колес полностью аналогична. Это справедливо и для углов поворота колес, если нулевые их значения выбрать в один и тот же момент времени.

При внешнем зацеплении дуговые стрелки угловой скорости и углового ускорения подвижного колеса совпадают с дуговыми стрелками соответственно угловой скорости и углового ускорения кривошипа .

Рис. 62

При внутреннем зацеплении колес дуговые стрелки  и колеса и кривошипа имеют противоположные направления.

3. Иногда угловое ускорение можно найти путем проецирования на оси координат известного по направлению ускорения, например точки , если ускорение какой-либо другой точки и угловая скорость фигуры известны или их можно вычислить предварительно.

Так, если ускорение точки

то, проецируя обе части (23) на ось , перпендикулярную ускорению , получаем соотношение, из которого можно определить угловое ускорение, если другие величины, входящие в это соотношение, известны.

Определим этим способом угловое ускорение линейки эллипсографа (рис. 62). Эллипсографом называют механизм, в котором одна точка его линейки движется только по оси , а другая — по оси . Линейка эллипсографа обычно приводится в движение вращением кривошипа вокруг оси , причем точка лежит на середине линейки и описывает окружность с центром в точке , а точки части линейки описывают всевозможные эллипсы, заключенные между окружностью и прямой . Точки части линейки соответственно могут описать набор эллипсов, заключенных между окружностью и прямой .

В эллипсографе, когда ускорения точек и направлены соответственно по осям и , проецируя (23) на , получаем

так как

Соотношение (24) и служит для определения углового ускорения линейки эллипсографа , если все другие величины в этом соотношении известны или их можно предварительно определить.

Описанным выше приемом удобно определять угловое ускорение шатунов в различных кривошипно-шатунных механизмах, когда у шатуна есть точка, движущаяся прямолинейно.

Если известны ускорения двух точек и плоской фигуры по модулю и направлению в какой-либо момент времени, то путем проецирования соотношения (23) на два взаимно перпендикулярных направления, одно из которых удобно направить по , получим два уравнения для определения угловой скорости и углового ускорения (см. п. 4 § 8).

Наоборот, по угловой скорости и угловому ускорению из этих уравнений можно найти числовые значения ускорений точек и , если известны направления ускорений этих точек.

4. В задачах (см. § 6, рис. 53), где зависимость между угловыми скоростями различных тел можно установить путем дифференцирования по времени тождественных соотношений между углами поворота, зависимость между угловыми ускорениями часто можно получить путем двукратного дифференцирования по времени этих тождеств. Так, после первого дифференцирования в рассматриваемом случае

Дифференцируя вторично, имеем

Так как — угловое ускорение шатуна и — угловое ускорение кривошипа , то

Если дополнительно известно, что угловая скорость кривошипа постоянна, т. е. , то

Отсюда можно определить угловое ускорение шатуна в зависимости от углов и и угловых скоростей и .

Пример:

Диск радиусом приводится в движение от кривошипа и вертикальной рейки (рис. 63). От кривошипа движение диску передается при помощи шатуна . Рейка движется поступательно по закону ; кривошип вращается согласно уравнению . Угол отсчитывается от горизонтального направления.

Определить угловые скорость и ускорение диска и шатуна, а также скорости и ускорения точек  , , , мгновенные центры скоростей и ускорений диска в момент времени , если и точки  диска и кривошипа расположены на одной горизонтальной прямой.

Рис. 63

Рис. 64

Рис. 65

Решение. Положение кривошипа в момент времени определяется . Кривошип в этот момент занимает вертикальное положение, параллельное рейке.

Для алгебраических угловой скорости и углового ускорения кривошипа имеем

При . Таким образом угловые скорость и ускорение кривошипа . Дуговую стрелку для следует направить против положительного направления угла , так как .

Для скорости и ускорения точки кривошипа, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеем:

Ускорение изображено на рис.64 с учетом дуговой стрелки для .

У точки шатуна такие же скорость и ускорение, как и у точки кривошипа. Приняв точку за полюс (рис. 65), определяем скорость точки шатуна по формуле

Но ; следовательно, , причем перпендикулярна . В проекциях на выбранные оси координат из (а) получаем

Траекторией точки является вертикальная прямая. Поэтому , . С учетом этого из (а’) имеем, что и угловая скорость шатуна .

Вычисляем скорость и ускорение точки рейки по формулам , . При  ,  . Производные и положительны, поэтому и следует направить в сторону возрастания .

При отсутствии скольжения у точки диска будут такие же скорость и составляющая ускорения в вертикальном направлении , как и у точки рейки (рис. 66).

Приняв за полюс точку диска, определяем скорость его точки по формуле

Рис. 66

Предположив, что диск вращается против часовой стрелки, строим треугольник скоростей для точки в соответствии с (б). Он выродился в отрезок прямой (рис. 66).

В проекциях на оси координат из (б) имеем , . Но ; следовательно,  и . Скорость получилась положительной; следовательно, предположение о направлении вращения диска подтвердилось. Угловую скорость диска определяем по формуле

Мгновенным центром скоростей диска является его точка , так как . Используя эту точку как , для точки  имеем

Перейдем к определению ускорений точек и углового ускорения диска . Приняв за полюс точку шатуна, ускорение его точки определим по формуле

где ,  и перпендикулярно . На основании (в) строим многоугольник ускорений для точки (рис. 67, а), предполагая, что  направлено против часовой стрелки.

В проекциях на оси координат из (в) (см. рис. 65 и 67, а) имеем

Ускорение точки  направлено параллельно оси вследствие ее прямолинейного движения в этом направлении. Следовательно, , , , так как

Так как получили со знаком минус, то направление для дуговой стрелки противоположно предположенному (см. рис. 65).

Угловое ускорение шатуна. Ускорение направлено вверх, т.е. отрицательно, и . Для определения углового ускорения диска вычислим ускорение точки , приняв за полюс точку . Имеем

где

В соответствии с (г) строим многоугольник ускорений для точки , приняв направленным против часовой стрелки (рис. 67, б).

В проекциях на выбранные оси координат из (г) с учетом рис. 67, б получаем

Но

С учетом полученных значений из (г’) имеем:

и

Ускорение получилось положительным, что подтверждает правильность выбора направления для . Угловое ускорение диска

Рис. 68    

Рис. 69

Приняв за полюс точку , для ускорения точки получим

где

На рис. 68 приведен многоугольник ускорений для точки . В проекциях на оси координат из (д) имеем

Определим ускорение точки :

Для определения мгновенного центра ускорений диска вычисляем

Угол откладываем от ускорения  в направлении дуговой стрелки . На линии, проходящей через точку под углом находится точка . Расстояние до нее от точки определяем по формуле

Точка находится вблизи точки . На рис. 69 указаны в примерном масштабе значения ускорений точек диска и положение . Ускорения и тоже образуют такие же углы с отрезками прямых, соединяющих эти точки с точкой .

Мгновенный центр ускорений шатуна находится в точке (см. рис. 65), так как для шатуна

• Заказать решение задач по теоретической механике

Теорема о конечном перемещении плоской фигуры

Понятие мгновенного центра скоростей плоской фигуры при плоском движении можно ввести используя теорему о конечном перемещении плоской фигуры. Фигуру в ее плоскости из заданного положения I в любое другое положение II (рис. 70) можно перевести одним поворотом в этой плоскости вокруг точки , называемой центром конечного вращения.

Пусть в положении I плоская фигура характеризуется отрезком , скрепленным с фигурой, а в положении II этот отрезок займет положение .

Рис. 70

Рассмотрим случай, когда и не параллельны. Можно доказать, что центр конечного вращения находится на пересечении перпендикуляров и , восставленных из середин отрезков и .  Для этого докажем, что заштрихованные треугольники и равны по трем сторонам; как гипотенузы в равных прямоугольных треугольниках и , так как по построению точка есть середина отрезка , a — общий катет треугольников. Аналогично, рассматривая равные треугольники и , получаем ; — по условию.

Для перевода плоской фигуры из положения I в положение II достаточно совместить между собой равные треугольники и . Это можно осуществить одним поворотом треугольника в его плоскости вокруг вершины . При этом если сторону  до совмещения со стороной повернуть на угол , то сторону до совмещения со стороной следует повернуть на угол , равный углу ф, так как углы и  состоят из общего для них угла  и одинаковых углов , лежащих в равных заштрихованных треугольниках против равных сторон.

Итак, если отрезок повернуть вокруг на угол , то отрезок   при этом повернется на тот же угол и в том же направлении, что и отрезок , и, следовательно, точка совпадает с точкой ,  а точка —с точкой , т. е. отрезок  совпадет всеми своими точками с отрезком .

В том случае, когда отрезок параллелен отрезку , перпендикуляры к и  к параллельны и, следовательно, пересекаются в бесконечности. В этом случае следует считать находящимся в бесконечности и плоскую фигуру из положения I в положение II можно перевести поступательным перемещением, что соответствует повороту фигуры вокруг бесконечно удаленной точки.