Как найти ускорение ракеты

Unit Converter

Не интересная задача. Банальная.

Расчёт примитивный. Всего один закон и две формулы

F1 = ma и F2=mg; отсюда а = (F1 – F2) / m; (силы отнимаем, поскольку они ортогональные и имеют разный вектор)

А вот какое будет реальное ускорение – ещё зависит и от точки старта (на меридиане Земли).

На полюсе оно будет меньшим, нежели на экваторе. Поскольку g не константа, как учат в школе. Так же надо очень серьёзно учитывать фактор атмосферы и её плотность. (Так называемое аэродинамическое торможение).

Другой вопрос, из какого небесного тела стартует ракета? Если с Земли, произведя приблизительные расчёты – стартовая скорость на экваторе = ( 600 – 30* 9,81 ) / 30 = 10,19 м/с^2. Для Луны – совсем другая, приблизительно 60,5 м/с^2.

Более интересная задача, какой прирост скорости получит ракета на заданном количестве топлива и движке с постоянной силой тяги. (так называемое дельта V). Ведь топливо используется, масса ракеты уменьшается, а сила и ускорения возрастают, поскольку зависят от массы.

Проектировать, строить и запускать модели ракет не просто. Особенно, когда конструктор стремится к достижению наивысших результатов в соревнованиях.

Успех спортсмена во многом зависит от правильного выбора двигателя для модели. Еще один шаг к достижению рекорда — знание законов движения модели.

В этой главе мы познакомимся с понятиями, связанными с движением — скоростью, ускорением и другими факторами, влияющими на высоту полета.

Летные качества моделей ракет в основном зависят от следующих факторов:

• G_CT — стартовый вес модели ракеты (кг);
• G_T — вес топлива (кг);
• J_∑ — суммарный импульс двигателя (двигателей) (кг·сек);
• Р_уд — удельная тяга двигателя (двигателей) (кг·сек/кг);
• V — скорость модели ракеты (м/сек);
• Р — тяга двигателя (двигателей) (кг);
• а — ускорение модели ракеты (м/сек²);
• t — время действия двигателя (двигателей) (сек);
• i — количество ступеней модели ракеты.

Идеальная скорость модели ракеты

Высота полета модели ракеты зависит в первую очередь от ее скорости, достигаемой в конце работы двигателя. Сначала рассмотрим, как найти конечную скорость модели без учета сопротивления воздуха и притяжения земли. Такую скорость назовем идеальной скоростью модели ракеты.

Для определения скорости модели ракеты используем следующий закон механики: изменение количества движения какого-либо тела равно импульсу приложенной к телу силы.

Количеством движения называется произведение массы тела m на его скорость V, а импульсом силы — произведение приложенной к телу силы F на время ее действия t.

В нашем случае этот закон выражается формулой:

где m — масса модели ракеты;

V_к — скорость модели ракеты в конце работы двигателя;

V_ст — скорость модели ракеты в начале движения (в данном случае Уст=0);

Р — тяга двигателя;

t — время работы двигателя.

Так как в момент старта V_ст = 0, получим:

Масса модели ракеты во время работы двигателя по мере выгорания топлива меняется. Будем считать, что расход топлива — величина постоянная и что за время работы двигателя вес топлива равномерно уменьшается от G_T до 0. Для упрощения расчетов предположим, что средний вес топлива равен G_T/2, тогда средняя масса модели ракеты будет равна:

Учитывая, что P·t=J_∑—Р_уд·G_T) и исходя из среднего веса топлива, перепишем уравнение (20):

откуда:

или

Эта формула — приближенное выражение известной формулы К. Э. Циолковского. Ее можно записать и в другом, более удобном для расчета виде. Для этого умножим числитель и знаменатель правой части формулы на G_T/2.

Приведем несколько примеров использования этой формулы.

Задача 4. Определить идеальную скорость одноступенчатой модели ракеты, если: G_CT=0,1 кг; Р_уд=30 кг·сек/кг; G_T=0,018 кг.

Решение. Для решения применим формулу (23). Получим:

Формула К. Э. Циолковского

Точнее идеальную скорость модели ракеты можно определить по известной формуле К. Э. Циолковского с помощью логарифмических таблиц.

где W — скорость истечения газов из сопла;

m_ст — стартовая масса модели ракеты;

m_к — конечная масса модели ракеты;

Z — число Циолковского.

Коэффициент 2,3026 появился во второй формуле при переходе от натурального логарифма к десятичному.

Задача 5. Определить идеальную скорость модели ракеты по формуле К. Э. Циолковского, если: G_CT=0,1 кг; G_T=0,018 кг; Р_уд=30 кг·сек/кг.

Решение. Конечный вес модели ракеты:

Подставим имеющиеся данные в формулу Циолковского:

3. Действительная скорость модели ракеты

На полет модели ракеты оказывают влияние сопротивление воздуха и наличие земного тяготения. Поэтому в наши расчеты необходимо ввести поправку на эти факторы. Только тогда мы получим действительную скорость модели ракеты в конце работы двигателя, на основании которой можно подсчитать и траекторию полета модели.

Действительную конечную скорость модели ракеты можно подсчитать по формуле:

где V_к — идеальная скорость модели ракеты;

Р_ср — средняя тяга двигателя;

g — земное ускорение;

t — время;

D — диаметр миделя;

А — коэффициент.

В этой формуле выражение gt учитывает тяготение земли, а выражение D²/P_ср·А — влияние сопротивления воздуха. Коэффициент А зависит от идеальной скорости и высоты полета модели ракеты. Значения коэффициента А для различных идеальных скоростей и высот полета приведены в табл. 2.

Задача 6. Определить действительную скорость модели ракеты в конце активного участка траектории полета, если Р_уд=30 кг·сек/кг; G_T=0,018 кг; G_Т=0,1 кг; t=0,6 сек; Р_ср=0,9 кг; D=3 см.

Решение. Идеальную скорость модели ракеты определим по одному из приведенных вариантов формулы К. Э. Циолковского:

Действительную скорость модели ракеты подсчитаем по формуле (25):

Значение коэффициента А для данной высоты полета А=0,083.

Задача 7. Определить действительную скорость модели ракеты в конце активного участка, если Р_уд=25 кг·сек/кг; G_T=0,1 кг; t=4 сек; D=3 см; G=0,1 кг (G_к — вес модели ракеты без топлива).

Решение. Стартовый вес модели:

Идеальная скорость модели ракеты:

Средняя тяга двигателя:

Действительная скорость модели ракеты:

Исходя из того, что суммарный импульс и время работы — основные параметры двигателя, эту формулу для практического использования удобнее переписать в виде:

так как

4. Высота полета модели ракеты

Рассмотрим теперь, как, зная скорость модели ракеты, найти высоту ее полета. Будем рассматривать полет модели строго по вертикали. Траекторию полета модели ракеты можно разбить на два участка — активный, при работающих двигателях модели ракеты, и пассивный — полет модели по инерции после окончания работы двигателей. Таким образом, общая высота полета модели ракеты равна:

где h₁ — высота полета на активном участке;

h₂ — высота полета на пассивном участке.

Высоту h₁ можно вычислить, считая, что скорость модели ракеты изменяется равномерно от 0 до V_действ в конце работы двигателей. Средняя скорость на данном участке равна

где t — время полета на активном участке.

В формуле (27) при подсчете V_действ было учтено сопротивление воздуха. Другое дело, когда мы будем подсчитывать h₂. Если бы сопротивление воздуха отсутствовало, то по законам механики тело, летящее по инерции с начальной скоростью, набирает высоту

Так как в нашем случае V_нач=V_действ, то

В эту формулу для учета сопротивления воздуха необходимо ввести коэффициент. Опытным путем найдено, что он приблизительно равен 0,8. Таким образом, с учетом сопротивления воздуха формула примет вид

Тогда формулу (26) можно записать в виде:

Задача 8. Рассчитать высоту траектории полета модели ракеты и ее ускорение на основании данных: G_CT=0,08 кг; D=2,3 см; P_уд=45,5 кг·сек/кг; Р_ср=0,25 кг; f=4 сек; G_Т=0,022 кг; J_∑=1,0 кг·сек (двигатель ДБ-З-СМ-10).

Решение. Идеальная скорость модели ракеты:

Действительная скорость модели ракеты:

Высота полета модели ракеты на активном участке:

Высота полета на пассивном участке:

Общая высота полета модели ракеты:

5. Изменение параметров траектории полета модели ракеты в зависимости от времени работы двигателя

Из формулы (29) видно, что высота полета модели ракеты в основном зависит от величины скорости модели ракеты, достигаемой в конце работы двигателей. Чем больше эта скорость, тем выше полетит модель. Посмотрим, какими способами можно увеличить эту скорость. Возвратимся к формуле (25).

Мы видим, что чем меньше значение gt и D₂/P_ср·A, тем выше скорость модели ракеты, а значит, больше значение высоты полета модели.

Таблица 3 показывает изменение параметров траектории полета ракеты в зависимости от времени работы двигателя. Таблица дана для моделей ракет со стартовым весом G_CT=0,08 кг и двигателем ДБ-З-СМ-10. Характеристики двигателя: J_∑=1,0 кг·сек; Р_уд=45,5 кг·сек/кг; G_T=0,022 кг. Суммарный импульс остается постоянным на протяжений всего полета.

Из таблицы видно, что при времени работы двигателя 0,1 сек, теоретическая высота полета модели равна 813 м. Казалось бы, давайте делать двигатели с таким временем работы — и рекорды обеспечены. Однако при таком времени работы двигателя модель должна развить скорость от 0 до 140,6 м/сек. Если бы на борту ракеты с такой скоростью были живые существа, то ни одно из них не смогло бы выдержать такой перегрузки.

Таким образом, мы с вами подошли еще к одному важному понятию в ракетостроении — скорости набора скорости или ускорению. Перегрузки, связанные с чрезмерным ускорением модели ракеты, могут разрушить модель. А чтобы сделать конструкцию более прочной, придется увеличить ее вес. Кроме того, полеты с большими ускорениями опасны для окружающих.

6. Ускорение модели ракеты

На модель ракеты в полете действуют следующие силы: направленная вверх сила тяги двигателя, и направленные вниз сила притяжения земли (вес модели) и сопротивления воздуха.

Допустим, что сопротивление воздуха отсутствует. Для определения ускорения нашей модели используем второй закон механики: произведение массы тела на его ускорение равно действующей ка тело силе (F=m·a).

В нашем случае этот закон примет вид:

Это выражение для ускорения в начале полета.

Из-за выгорания топлива масса модели ракеты постоянно меняется. Следовательно, меняется и ее ускорение. Чтобы найти ускорение в конце активного участка, будем считать, что все топливо в двигателе сгорело, но двигатель еще работает в последний момент перед отключением. Тогда ускорение в конце активного участка можно рассчитать по формуле:

Если ввести в формулу средний вес модели ракеты на активном участке G_ср= G_CT—G_T/2, то получим формулу среднего ускорения:

Ускорение модели ракеты можно также определить из приближенной формулы Циолковского (23), зная, что по известной формуле механики V_к=a_ср·t (t в нашем случае — время работы двигателя), подставим это значение для V_к в формулу (23)

Приближенная формула Циолковского не учитывает влияние земного притяжения, которое направлено вниз и придает всем телам ускорение, равное g. С поправкой на земное притяжение формула для среднего ускорения на активном участке полета примет вид:

Еще раз следует подчеркнуть, что формулы (32) и (33) не учитывают сопротивление воздуха.

Задача 9. Определить, не учитывая сопротивления воздуха, среднее ускорение модели ракеты, если G_CT=0,08/кг; G_T=0.022 кг; Р_ср=0,25 кг; t=4 сек; Р_уд=45,5 кг·сек/кг; W=P_уд·g=446 м/сек.

Решение. Среднее ускорение модели ракеты найдем по формулам (32) и (33):

Как видите, результаты получились одинаковыми. Но так как эти формулы не учитывают сопротивления воздуха, то величина действительной скорости, подсчитанная по формуле V_действ=а_ср·t, будет завышена.

Задача 10. Определить без учета сопротивления воздуха скорость модели ракеты в конце активного участка и высоту полета, исходя из результатов задачи 9. Результаты сравнить с результатами задачи 8.

Решение. V_действ=а_ср·t=25,7·4=102,2 м/сек.

Действительная скорость модели ракеты в задаче 8, решенной с учетом сопротивления воздуха, равна 76,4 м/сек. Следовательно, пренебрежение сопротивлением воздуха дает абсолютную погрешность

и относительную погрешность

Без учета сопротивления воздуха высота полета модели ракеты на активном участке:

На пассивном участке:

Общая высота: H=h₁+h₂=205,6+538=743,6 м.

Сравнивая эти результаты с результатами задачи 8, где высота полета модели подсчитывалась с учетом сопротивления воздуха и равнялась 390,8 м, получим:

7. Истинное ускорение модели ракеты

Для определения истинного ускорения модели ракеты часто используется формула:

При выведении формулы (34) рассматриваются два положения модели ракеты во время полета: на старте, когда ее масса равна G_CT/g, и в конце активного участка, когда масса модели равна (G_CT—G_T)/g. Для этих двух положений подсчитывается ускорение модели и берется его среднее значение. Причем не учитывается, что расход топлива в процессе полета приводит не к постоянному (линейному) изменению ускорения, а к неравномерному.

Для примера рассмотрим полет модели ракеты со стартовым весом G_CT=0,08 кг и двигателем ДБ-З-СМ-10, имеющим данные Р_ср=0,25 кг; t=4 сек, G_T=0,022 кг; ω=0,022/4=0,0055 кг; Р_уд=45,5 кг·сек/кг.

По формуле (30), не учитывающей сопротивления воздуха, произведем расчет ускорений через каждые 0,5 сек, допуская, что секундный расход топлива величина постоянная (ω=const).

По формуле (34) подсчитаем среднее ускорение:

Определим среднее ускорение по формулам (32) и (33), также не учитывающим сопротивление воздуха:

Теперь наглядно видна разница между полученными результатами. Формула (34) для подсчета среднего ускорения модели ракеты не годится, т. к. неприменима для тел с переменной массой. Нужно использовать формулы (32) и (33), дающие достаточную точность в любой точке траектории полета модели ракеты. Но как показали результаты полетов моделей ракет и их испытания в аэродинамических трубах, в формулы (32) и (33) необходимо ввести учитывающий сопротивление воздуха коэффициент К, который изменяется в пределах 0,66÷0,8.

Таким образом, формулы истинного ускорения модели ракеты имеют вид:

Разберем вышеприведенный пример до конца. Определим истинное ускорение модели ракеты и ее действительную скорость (возьмем среднее значение коэффициента К=0,743)

Выбирать значение коэффициента надо в зависимости от площади миделя модели ракеты. Чем больше площадь миделя, тем меньше нужно брать значение К из диапазона его изменения 0,66÷0,8.

Приведенный метод расчета действительной скорости модели ракеты наиболее простой и достаточно точный. Исключает необходимость пользования таблицами.

8. Скорость многоступенчатых моделей ракет

Идея многоступенчатых ракет принадлежит нашему соотечественнику, замечательному ученому К. Э. Циолковскому. Модель многоступенчатой ракеты с тем же запасом топлива, что и одноступенчатая, достигает большей конечной скорости, дальности и высоты полета, так как двигатели каждой ступени работают последовательно, один за другим. Когда отработает двигатель нижней ступени, она отделяется, начинает работать двигатель следующей ступени и т. д. С отделением очередной ступени масса модели ракеты уменьшается. Так повторяется до последней ступени. Благодаря длительному разгону и все уменьшающейся массе модель получает значительно большую скорость, чем при одновременном срабатывании всех двигателей.

Большое значение имеют весовые соотношения ступеней. Эти соотношения даже более существенны, чем выбор топлива для двигателей.

Предположим, что на каждой ступени модели ракеты используются двигатели с одинаковой удельной тягой, т. е. одинаковой скоростью истечения газов из сопла двигателя.

Идеальную скорость последней ступени модели ракеты можно вычислить по формуле Циолковского (24), только вместо отношения масс m_ст/m_к возьмем величину М. Формула (24) примет вид:

Для вычислений при отсутствии таблиц натуральных логарифмов можно пользоваться таблицами десятичных логарифмов, учитывая, что ln

М

= 2,3026 lg М.

Заметим также, что вместо отношения масс можно пользоваться отношением весов, так как:

Следует помнить, что эта формула не учитывает влияния сопротивления воздуха и тяготения Земли.

Задача 11. Вычислить идеальную скорость полета одноступенчатой, двухступенчатой и трехступенчатой моделей ракет, если на моделях установлены двигатели_ ДБ-З-СМ-10 с удельной тягой 45,5 кг·сек/кг. Отношения масс

m₁

=

m₂

=

m₃

=2.

Решение. Скорость истечения газов:

Идеальная скорость одноступенчатой модели ракеты:

Идеальная скорость двухступенчатой модели ракеты:

Идеальная скорость трехступенчатой модели ракеты:

Задача 12. Рассчитать высоту полета трехступенчатой модели ракеты, если ее стартовый вес G_CT=0,12 кг; вес первой ступени G₁=0,03 кг; вес второй ступени G₂=0,03 кг; вес третьей ступени G₃=0,06 кг. На каждой ступени установлен двигатель ДБ-28-СМ-10, имеющий следующие данные: Р_уд=70 кг·сек/кг; t=3 сек, G_T=0,0143 кг.

Решение. Отношение масс первой ступени:

Отношение масс второй ступени:

Отношение масс третьей ступени:

Идеальную скорость каждой ступени определим по формуле Циолковского:

Определим высоту полета модели ракеты на первом участке траектории полета:

Определим высоту полета модели на втором участке траектории полета:

Определим высоту полета модели на третьем участке траектории:

Определим высоту полета на пассивном участке:

Общая высота полета трехступенчатой модели ракеты:

9. Расчет высоты полета модели-копии ракеты-носителя космического корабля «Восток»

Задача 13. Рассчитать высоту полета модели-копии ракеты «Восток», исходя из следующих данных: G_CT=0,5 кг; G_T=0,09 кг; Р_ср=1,575 кг; J_∑=6,3 кг/сек; Р_уд=70 кг·сек/кг; t=4 сек; D=11,3 см; W=686,7 м/сек.

Примечание: Для моделей-копий типа «Восток», принимая во внимание их диаметр, а следовательно, и большую площадь сопротивления, следует применять коэффициент К=0,7. Тогда высота полета модели будет примерно соответствовать действительности.

Решение. Истинное среднее ускорение модели ракеты с учетом сопротивления воздуха и ускорения Земли найдем по формуле (37):

Действительная скорость модели ракеты:

Высота полета модели ракеты на активном участке:

Высота полета на пассивном участке:

Общая высота полета модели:

Дорога в космос так и начиналась — с простых, маленьких ракет.

Фо́рмула Циолко́вского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической скоростью:

где  — конечная скорость летательного аппарата, которая для случая манёвра в космосе при орбитальных манёврах и межпланетных перелетах часто обозначается ΔV, также именуется характеристической скоростью;

 — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

 — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);

 — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата).

История[править | править код]

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 (22) мая 1897^[1] и опубликована в 1903 году в майском выпуске журнала «Научное обозрение» в следующем виде^[2]:53[3][4]:

где  — конечная скорость ракеты;

 — скорость вырывающихся элементов относительно ракеты;

 — масса ракеты без взрывчатых веществ (то есть без топлива);

 — масса взрывчатых веществ.

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур в 1810—1811 годах^[5],
опубликовавший решение в своей книге в 1813 году^[6].

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:

где  — масса точки;

 — скорость точки;

 — относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы.

Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс ^[7].

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введем обозначения:

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической[править | править код]

Поскольку в условиях реального полёта на ракету кроме тяги двигателей действуют и другие силы, скорость, развиваемая ракетами в этих условиях, как правило, ниже характеристической из-за потерь, вызываемых силами гравитации, сопротивления среды и другими факторами.

В следующей таблице приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при предполагаемом выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне^[8].

Ступень	Характеристическая скорость, м/c	Гравитационные потери, м/c	Аэродинамические потери, м/c	Потери на управление, м/c	Фактическая скорость, м/c
Первая (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Вторая (S-II)	4725	335	0	183	4207
Третья (S-IVB)	4120	122	0	4,5	3993,5
В сумме	12505	1677	46	187,5	10594,5[9]

Как видно из таблицы, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:^[10]

где  — местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта.

Как видно из таблицы, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение близко к максимальному значению — 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

где  — сила лобового аэродинамического сопротивления;

 — текущая масса ракеты.

Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Космический аппарат должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

где  — текущая сила тяги двигателя;

 — текущая масса ракеты, а  — угол между векторами тяги и скорости ракеты.

Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет[править | править код]

Выведенная в конце XIX века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

(1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса.

Введём следующие обозначения:

•  — масса полезного груза;
•  — масса конструкции ракеты;
•  — масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

где  — коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции.

При рациональном конструировании этот коэффициент, в первую очередь, зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента . Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения ).

Предыдущее уравнение может быть записано в виде:

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента .

Формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы:

, иначе говоря,

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости при заданных значениях удельного импульса и коэффициента . Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты[править | править код]

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс м/c. Коэффициент означает, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя.

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c, характеристическая скорость, таким образом, составит м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина . Неравенство (4) не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Данный расчет является упрощенным и не учитывает затрат на изменение потенциальной энергии тела, и при его прямом применении возникает иллюзия, что затраты уменьшаются с ростом высоты орбиты. В реальности без учёта потерь на сопротивление атмосферы и гравитационных потерь за время вывода на орбиту потребная скорость (мгновенно приданная телу на уровне нулевой высоты над поверхностью) оказывается выше. Её можно примерно определить, применив закон сохранения механической энергии (гипотетическая эллиптическая орбита с перицентром в точке касания Земли и апоцентром на высоте целевой орбиты):

где  — средний радиус Земли;

 — высота круговой орбиты (с учётом радиуса Земли, то есть ); .

Если принять скорость в перицентре равной круговой на уровне поверхности Земли (), то:

, или

Это приближение не учитывает импульсов на переход с круговой орбиты Земли на эллиптическую и с эллиптической на новую круговую, а также применимо только к хомановским переходам (то есть применение для параболических и гиперболических переходов не работает), но много точнее, чем просто принимать за потребную скорость первую космическую для широкого диапазона высот НОО.

Тогда на высоте 250 км потребная скорость для вывода составит 8,063 м/с, а не 7,764, а для геостационарной орбиты (35 786 км над уровнем Земли) — уже 10,762 м/с, а не 3,077 м/с, как было бы при игнорировании затрат на изменение потенциальной энергии.

Расчёт для двуступенчатой ракеты[править | править код]

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двухступенчатой ракеты: м/c. На этот раз , что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для второй ступени получаем:

т;

т.

Таким образом, полная масса второй ступени составляет 55,9 т.

Для первой ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса второй ступени; после соответствующей подстановки получаем:

т;

т.

Таким образом, полная масса первой ступени составляет 368,1 т, а общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10+55,9+368,1 = 434 т. Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем, что стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т, четырёхступенчатой — 294,2 т, пятиступенчатой — 281 т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении: при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями-переходниками — несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента , а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования — при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Обобщённая формула Циолковского[править | править код]

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

где  — скорость света^[11].

Для фотонной ракеты и формула имеет вид:

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

В филателии[править | править код]

Формула Циолковского изображена на почтовой марке Польши 1963 года (Sc #1178), почтовой марке Никарагуа 1971 года из серии «10 математических формул, которые изменили лик Земли» (Sc #880) и на полях почтового блока Белоруссии 2002 года, посвящённого 45-летию освоения космоса (Sc #454).

См. также[править | править код]

• Уравнение Мещерского
• Ракетодинамика

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. — М.: Наука, 1980. — 512 с.