Как найти ускорение тела под действием силы – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Классическая механика
История…
Фундаментальные понятия Пространство Время Масса Скорость Сила Механическая работа Энергия Импульс
Формулировки Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Формализм Гамильтона — Якоби Уравнения Рауса Уравнения Аппеля Теория Купмана — фон Неймана
Разделы Прикладная механика Небесная механика Механика сплошных сред Геометрическая оптика Статистическая механика
Учёные Галилей Кеплер Ньютон Эйлер Лаплас Д’Аламбер Лагранж Гамильтон Коши
См. также: Портал:Физика

Второ́й зако́н Нью́то́на — дифференциальный закон механического движения, описывающий зависимость ускорения тела от равнодействующей всех приложенных к телу сил и массы тела. Один из трёх законов Ньютона. Основной закон динамики^[1]^[2]^[3].

Объектом, о котором идёт речь во втором законе Ньютона, является материальная точка, обладающая неотъемлемым свойством — инерцией^[4], величина которой характеризуется массой. В классической (ньютоновской) механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами^[5]^[6]^[7]^[8].

Второй закон Ньютона в его наиболее распространённой формулировке, справедливой для скоростей, много меньших скорости света, утверждает: в инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, не зависит от её природы^[9], совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки^[10].

Второй закон Ньютона в классической механике[править | править код]

Возможные формулировки[править | править код]

В своём труде «Математические начала натуральной философии» Исаак Ньютон приводит следующую формулировку^[11] своего закона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Современная формулировка:

В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

Обычно этот закон записывается в виде формулы

${vec {a}}={frac {{vec {F}}}{m}},$

где ${vec {a}}$ — ускорение тела, $vec{F}$ — сила, приложенная к телу, а $m$ — масса тела.

Или в ином виде:

$m{vec {a}}={vec {F}}$

Формулировка второго закона Ньютона с использованием понятия импульса:

В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе^[12]:

${frac {d{vec {p}}}{dt}}={vec {F}},$

где ${vec p}=m{vec v}$ — импульс (количество движения) точки, ${vec {v}}$ — её скорость, а $t$ — время.

Область применения закона[править | править код]

Второй закон Ньютона в классической механике сформулирован применительно к движению материальной точки. Предполагается, что масса материальной точки неизменна во времени^[13]^[14]^[15]. Уравнения, соответствующие данному закону, называются уравнениями движения материальной точки или основными уравнениями динамики материальной точки.

Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения ${displaystyle d{vec {p}}/dt={vec {F}}}$ и на случай тел переменной массы. Однако вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила^[16]^[17].

В случае, когда на материальную точку действует несколько сил, каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было (принцип суперпозиции сил). Поэтому результирующее ускорение материальной точки можно определить по второму закону Ньютона, подставив в него равнодействующую силу^[18].

Уравнение второго закона Ньютона ${displaystyle {vec {F}}=m{vec {a}}}$ предполагает скалярную аддитивность масс^[19].

Помимо материальной точки, уравнение второго закона Ньютона применимо также для описания механического движения центра масс механической системы. Центр масс движется, как материальная точка, имеющая массу, равную массе всей системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к точкам системы (теорема о движении центра масс системы).

Уравнение второго закона Ньютона может быть записано в виде ${displaystyle dmcdot d{vec {v}}/dt=d{vec {F}}}$ для распределённой силы, где ${displaystyle dm=rho dV}$ — элемент массы ( $rho$ — плотность вещества, $dV$ — элементарный объём), а ${displaystyle d{vec {F}}}$ — бесконечно малая действующая на него сила ( ${displaystyle {vec {f}}=d{vec {F}}/dV}$ — плотность силы). Отталкиваясь от такой записи, получают^[20] гидродинамический вариант закона — уравнение Эйлера.

Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта^[21]^[22]. Тем не менее, добавляя к силам, действующим со стороны других тел, силы инерции, для описания движения в неинерциальных системах отсчёта можно пользоваться уравнением второго закона Ньютона^[23]. В таком случае для неинерциальной системы отсчёта уравнение движения записывается в той же форме, что и для инерциальной системы: масса тела, умноженная на его ускорение относительно неинерциальной системы отсчёта, равна по величине и направлению равнодействующей всех сил, включая и силы инерции, приложенные к телу^[24]^[25].

Логическая роль второго закона Ньютона[править | править код]

В ньютоновском изложении классической механики законы Ньютона ниоткуда не «выводятся», они имеют статус аксиом, базирующихся на совокупности экспериментальных фактов. Как и аксиомы математики, аксиомы ньютоновской динамики можно сформулировать немного по-разному.

При одном подходе второй закон Ньютона позиционируется как экспериментально проверяемое утверждение о пропорциональности ускорения вызывающей его силе и, одновременно, определение инертной массы тела через отношение величин силы и ускорения^[26]^[27]. Тогда основная идея второго закона состоит в декларации линейности соотношения «сила—ускорение», то есть что именно эти величины (а не, скажем, сила и скорость) и именно таким образом (а не квадратично и т. п.) связаны между собой.

При другом подходе можно ввести инертную массу независимо от второго закона Ньютона, через массу определённого тела, принимаемого за эталон. Тогда второй закон содержит два независимо экспериментально проверяемых утверждения: о пропорциональности ускорения силе и обратной пропорциональности массе^[28].

Во многих практических и учебных задачах второй закон Ньютона позволяет вычислять силу. Но данный закон не является дефиницией силы^[29] (высказывание типа «по определению, сила есть произведение массы на ускорение» неуместно), иначе он превратился бы в тавтологию.

В случае отсутствия воздействия на тело со стороны других тел ( ${displaystyle {vec {F}}=0}$ ), из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела равно нулю. Отсюда может показаться, что первый закон Ньютона входит во второй как его частный случай. Однако, это не так, поскольку именно первым законом постулируется существование инерциальных систем отсчёта, что является самостоятельным содержательным утверждением. Соответственно, первый закон Ньютона формулируется независимо от второго^[30].

Второй закон Ньютона устанавливает связь между динамическими и кинематическими величинами^[31]. Кроме того, уравнение закона ${displaystyle {vec {F}}=m{vec {a}}}$ может рассматриваться как уравнение связи между физическими величинами при определении единиц силы в системах СИ, СГС и других^[32]. Единица силы определяется как такая сила, которая материальной точке с массой, равной единице массы, принимаемой в качестве основной, сообщает ускорение, равное единице ускорения, определённой ранее в качестве производной единицы^[33]. (При независимом выборе единиц массы, силы и ускорения выражение второго закона нужно писать в виде ${displaystyle m{vec {a}}=k{vec {F}}}$ , где $k$ — коэффициент пропорциональности, определяющийся выбором единиц измерения^[34]^[35]^[36]^[37]).

Сила $vec{F}$ во втором законе Ньютона зависит только от координат ${vec {r}}$ и скорости $vec{v}$ материальной точки: ${displaystyle {dot {vec {p}}}={vec {F}}({vec {r}},{vec {v}})}$ . Основная задача физической механики сводится к нахождению функции ${displaystyle {vec {F}}({vec {r}},{vec {v}})}$ ^[38].

Формула второго закона Ньютона ${displaystyle {vec {a}}={vec {F}}/m}$ выражает принцип причинности классической механики. Координаты и скорости материальной точки в момент времени ${displaystyle t+Delta t}$ (где $Delta tto 0$ ) непрерывно и однозначно определяются через их значения в момент времени $t$ и заданную силу $vec{F}$ , действующую на материальную точку. Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь малыми первого порядка по $t$ , получаем^[39]: ${displaystyle {vec {r}}(t+Delta t)={vec {r}}(t)+{vec {v}}Delta t}$ , ${displaystyle {vec {v}}(t+Delta t)={vec {v}}(t)+{vec {a}}Delta t}$ . Форма, в которой в механике реализуется причинность, называется механистическим или лапласовским детерминизмом^[40].

Уравнение второго закона Ньютона ${displaystyle {vec {F}}=m{vec {a}}}$ инвариантно относительно преобразований Галилея. Это утверждение называется принципом относительности Галилея^[41].

В классической механике закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса являются следствиями второго закона Ньютона, однородности времени, однородности и изотропности пространства, а также некоторых предположений относительно характера действующих сил^[42].

В случае, когда сила $vec{F}$ постоянна, интегрирование уравнения второго закона Ньютона ${displaystyle {frac {d{vec {v}}}{dt}}={frac {vec {F}}{m}}}$ приводит к равенству ${displaystyle {vec {v}}_{2}-{vec {v}}_{1}={frac {vec {F}}{m}}(t_{2}-t_{1})}$ . Это соотношение показывает, что под действием заданной силы $vec{F}$ определённое изменение скорости ${displaystyle Delta {vec {v}}={vec {v}}_{2}-{vec {v}}_{1}}$ у тела с большей массой происходит за более продолжительный промежуток времени. Поэтому говорят, что все тела обладают инерцией, а массу $m$ называют мерой инерции тела^[43].

Запись закона в разных системах координат[править | править код]

Основной источник: ^[18]

Векторная запись второго закона Ньютона ${displaystyle m{vec {a}}={vec {F}}}$ верна для любой инерциальной системы координат, относительно которой определяются входящие в этот закон величины (сила, масса, ускорение)^[44]. Однако, разложение на компоненты (проекции) будет различным для декартовой, цилиндрической и сферической систем. Интерес также представляет разложение на нормальную и тангенциальную составляющие.

Декартова прямоугольная система координат

${displaystyle m{ddot {x}}=F_{x}}$ , ${displaystyle m{ddot {y}}=F_{y}}$ , ${displaystyle m{ddot {z}}=F_{z}}$ ,
где ${displaystyle {vec {F}}=F_{x}{vec {i}}+F_{y}{vec {j}}+F_{z}{vec {k}}}$ , а орты декартовой системы $vec{i}$ , $vec{j}$ , $vec{k}$ направлены по осям координат (в сторону возрастания конкретной координаты),

Цилиндрическая система координат

${displaystyle m({ddot {rho }}-rho {dot {varphi }}^{2})=F_{rho }}$ , ${displaystyle m(rho {ddot {varphi }}+2{dot {rho }}{dot {varphi }})=F_{varphi }}$ , ${displaystyle m{ddot {z}}=F_{z}}$ ,
где ${displaystyle {vec {F}}=F_{rho }{vec {e}}_{rho }+F_{varphi }{vec {e}}_{varphi }+F_{z}{vec {e}}_{z}}$ , а орты ${displaystyle {vec {e}}_{rho }}$ , ${displaystyle {vec {e}}_{varphi }}$ , ${displaystyle {vec {e}}_{z}}$ цилиндрической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от оси $z$ под 90⁰ к ней, по окружности в плоскости $xy$ с центром на оси, и вдоль $z$ (в сторону возрастания конкретной координаты),

Сферическая система координат

${displaystyle m({ddot {r}}-r{dot {varphi }}^{2}sin ^{2}theta -r{dot {theta }}^{2})=F_{r}}$ ,
${displaystyle m([r{ddot {varphi }}+2{dot {r}}{dot {varphi }}]sin theta +2r{dot {varphi }}{dot {theta }}cos theta )=F_{varphi }}$ ,
${displaystyle m(2{dot {r}}{dot {theta }}+r{ddot {theta }}-r{dot {varphi }}^{2}sin theta cos theta )=F_{theta }}$ ,
где ${displaystyle {vec {F}}=F_{r}{vec {e}}_{r}+F_{varphi }{vec {e}}_{varphi }+F_{theta }{vec {e}}_{theta }}$ , а орты ${displaystyle {vec {e}}_{r}}$ , ${displaystyle {vec {e}}_{varphi }}$ , ${displaystyle {vec {e}}_{theta }}$ сферической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от центра $O$ , по «параллелям», и по «меридианам» (в сторону возрастания конкретной координаты).

Разложение в соприкасающейся плоскости

В соприкасающейся плоскости ускорение ${displaystyle {vec {a}}={vec {a}}_{n}+{vec {a}}_{tau }}$ материальной точки массой $m$ и действующую на неё силу ${displaystyle {vec {F}}={vec {F}}_{n}+{vec {F}}_{tau }}$ можно разложить на нормальную (перпендикулярную касательной к траектории в соприкасающейся плоскости) ${displaystyle {vec {F}}_{n}=m{vec {a}}_{n}}$ и тангенциальную (параллельную касательной к траектории в соприкасающейся плоскости) ${displaystyle {vec {F}}_{tau }=m{vec {a}}_{tau }}$ составляющие.

Абсолютная величина нормальной силы равна ${displaystyle F_{n}=ma_{n}=mv^{2}/R}$ , где $R$ — радиус кривизны траектории материальной точки, $v$ — абсолютная величина её скорости. Нормальная сила направлена к центру кривизны траектории материальной точки. В случае круговой траектории радиуса $R$ абсолютная величина нормальной силы ${displaystyle F_{n}=momega ^{2}R}$ , где $omega$ — угловая скорость обращения точки. Нормальную силу также называют центростремительной.

Тангенциальная составляющая силы равна ${displaystyle F_{tau }=ma_{tau }=m{frac {d^{2}s}{dt^{2}}}}$ , где ${displaystyle s=s(t)}$ — дуговая координата по траектории точки^[45]. Если ${displaystyle {frac {d^{2}s}{dt^{2}}}>0}$ , то сила ${displaystyle {vec {F}}_{tau }}$ совпадает по направлению с вектором скорости $vec{v}$ и её называют движущей силой. Если ${displaystyle {frac {d^{2}s}{dt^{2}}}<0}$ , то сила ${displaystyle {vec {F}}_{tau }}$ противоположна по направлению вектору скорости $vec{v}$ и её называют тормозящей силой.

Второй закон за пределами классической механики[править | править код]

В релятивистской динамике[править | править код]

Второй закон Ньютона в виде $m{vec {a}}={vec {F}}$ приближённо справедлив только для скоростей, много меньших скорости света, и в инерциальных системах отсчёта.

В виде ${frac {d{vec {p}}}{dt}}={vec {F}}$ второй закон Ньютона точно справедлив также в инерциальных системах отсчёта специальной теории относительности и в локально инерциальных системах отсчёта общей теории относительности, однако при этом вместо прежнего выражения для импульса используется равенство ${vec p}={frac {m{vec v}}{{sqrt {1-{frac {displaystyle v^{2}}{displaystyle c^{2}}}}}}}$ , где $c$ — скорость света^[46].

Существует и четырёхмерное релятивистское обобщение второго закона Ньютона. Производная четырёхимпульса ${displaystyle {vec {mathrm {P} }}}$ по собственному времени $tau$ материальной точки равна четырёхсиле ${displaystyle {vec {Phi }}}$ ^[47]:

${displaystyle {vec {Phi }}={frac {d{vec {mathrm {P} }}}{dtau }}}$ .

В релятивистской динамике вектор трёхмерного ускорения ${vec {a}}$ уже не параллелен вектору трёхмерной силы $vec{F}$ ^[48].

В квантовой механике[править | править код]

Законы ньютоновской динамики, в том числе второй закон Ньютона, неприменимы, если длина волны де Бройля рассматриваемого объекта соизмерима с характерными размерами области, в которой изучается его движение. В этом случае необходимо пользоваться квантовомеханическими законами^[49].

Тем не менее, второй закон Ньютона при определённых условиях актуален применительно к движению волнового пакета в квантовой механике. Если потенциальная энергия волнового пакета пренебрежимо мало изменяется в области нахождения пакета, то производная по времени среднего значения импульса пакета будет равна силе, понимаемой как градиент потенциальной энергии, взятый с обратным знаком (теорема Эренфеста).

Для описания движения частицы в потенциальном поле, в квантовой механике справедливо операторное уравнение, по форме совпадающее с уравнением второго закона Ньютона: ${displaystyle m{frac {d{hat {v}}}{dt}}=-nabla {hat {U}}}$ . Здесь: $m$ — масса частицы, ${displaystyle {hat {v}}={frac {hat {p}}{m}}}$ — оператор скорости, ${hat {p}}$ — оператор импульса, ${displaystyle {hat {U}}=U(x,y,z)}$ — оператор потенциальной энергии^[50].

Видоизменённый второй закон Ньютона используется и при квантовомеханическом описании движения электронов в кристаллической решётке. Взаимодействие электрона с периодическим электромагнитным полем решётки при этом учитывается введением понятия эффективной массы.

Научно-историческое значение закона[править | править код]

Оценивая значение второго закона Ньютона, А. Эйнштейн писал:

Дифференциальный закон является той единственной формой причинного объяснения, которая может полностью удовлетворять современного физика. Ясное понимание дифференциального закона есть одно из величайших духовных достижений Ньютона… Только переход к рассмотрению явления за бесконечно малое время (т. е. к дифференциальному закону) позволил Ньютону дать формулировку, пригодную для описания любого движения… Так Ньютон пришёл… к установлению знаменитого закона движения:

Вектор ускорения × Масса = Вектор силы.

Это — фундамент всей механики и, пожалуй, всей теоретической физики.

— Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1967. — Т. 4. — С. 82, 92. — 599 с. — 31 700 экз.

Все законы природы для сил в зависимости от свойств тел, их состояний и движений получаются из опытов и устанавливаются всегда и только на основе решения уравнения ${displaystyle {vec {F}}=m{vec {a}}}$ , которое употребляется для выражения силы^[51].

Второй закон Ньютона является важной частью парадигмы, принятой в классической физической картине мира^[52].

Лагранжево и гамильтоново обобщения закона[править | править код]

В аналитической механике существует два аксиоматических подхода. При одном подходе в качестве аксиомы принимается второй закон Ньютона и из него выводятся уравнения Лагранжа. При другом подходе в качестве аксиомы принимаются уравнения Лагранжа. Тогда второй закон Ньютона рассматривается как следствие из них ^[53].

Из уравнений Лагранжа для произвольной голономной системы, на которую действуют как потенциальные ( ${displaystyle Q_{i}^{p}}$ ), так и непотенциальные ( ${displaystyle Q_{i}^{n}}$ ) обобщённые силы, ${displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}right)-{frac {partial L}{partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}}$ следует, что производная по времени обобщённого импульса ${displaystyle p_{i}={frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}}$ равна суммарной обобщённой силе ${displaystyle Q_{i}=Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}={frac {partial L}{partial q_{i}}}+Q_{i}^{n}}$ :

${displaystyle {dot {p}}_{i}=Q_{i}}$ .

Записанные так в декартовых координатах уравнения Лагранжа называются уравнениями движения в форме Ньютона^[54].

Теорема об изменении обобщённого импульса обобщает и включает как частные случаи теоремы ньютоновской динамики об изменении количества движения и об изменении кинетического момента^[55].

В гамильтоновой динамике

${displaystyle {dot {p}}_{i}=-{frac {partial H}{partial q_{i}}}}$ ,

где, как и выше, ${displaystyle p_{i}={frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}}$ — обобщённый импульс, через ${displaystyle H=sum _{i=1}^{s}p_{i}{dot {q}}_{i}-L}$ обозначена функция Гамильтона, а ${displaystyle L=L(q_{i},{dot {q}}_{i},t)}$ — лагранжиан, то есть разность кинетической и потенциальной энергий системы.

См. также[править | править код]

Первый закон Ньютона
Уравнение Гейзенберга
Уравнение Мещерского
Уравнение Эренфеста
Теорема о движении центра масс системы
Принцип причинности

Примечания[править | править код]

↑ Г. А. Бугаенко, В. В. Маланин, В. И. Яковлев Основы классической механики. — М., Высшая школа, 1999. — ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3000 экз. — c. 43
↑ Кузнецов Б. Г. Основные принципы физики Ньютона // отв. ред. Григорьян А. Т., Полак Л. С. Очерки развития основных физических идей. — М., АН СССР, 1959. — Тираж 5000 экз. — с. 188;
↑ Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И. Теоретическая механика. — М., ТрансЛит, 2012. — ISBN 978-5-94976-455-8. — Тираж 1000 экз. — с. 249
↑ То же, что инертность. См. Инерция // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 146. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
↑ “Дополнительной характеристикой (по сравнению с геометрическими характеристиками) материальной точки является скалярная величина m — масса материальной точки, которая, вообще говоря, может быть как постоянной, так и переменной величиной. … В классической ньютоновской механике материальная точка обычно моделируется геометрической точкой с присущей ей постоянной массой) являющейся мерой её инерции.” стр. 137 Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. М: Наука, 1989.
↑ Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 87. — 572 с. «Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения».
↑ Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. — М.: МГУ, 2000. — С. 160. — 720 с. — ISBN 5-211-04244-1. «Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет своё значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий».
↑ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 287. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9. «В классической механике масса каждой точки или частицы системы считается при движении величиной постоянной»
↑ Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С.39.
↑ Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 107
↑ Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. — М.: Наука, 1989. — С. 40. — 690 с. — («Классики науки»). — 5000 экз. — ISBN 5-02-000747-1.
↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит; изд-во МФТИ, 2005. — Т. I. Механика. — С. 76. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
↑ Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 254. — 572 с. «…второй закон Ньютона справедлив только для точки постоянного состава. Динамика систем переменного состава требует особого рассмотрения».
↑ Иродов И. Е. Основные законы механики. — М.: Высшая школа, 1985. — С. 41. — 248 с.«В ньютоновской механике… m=const и dp/dt=ma».
↑ Kleppner D., Kolenkow R. J. An Introduction to Mechanics. — McGraw-Hill, 1973. — P. 112. — ISBN 0-07-035048-5. Архивная копия от 17 июня 2013 на Wayback Machine Архивированная копия. Дата обращения: 9 февраля 2013. Архивировано 17 июня 2013 года. «For a particle in Newtonian mechanics, M is a constant and (d/dt)(Mv) = M(dv/dt) = Ma».
↑ Зоммерфельд А. Механика = Sommerfeld A. Mechanik. Zweite, revidierte Auflage, 1944. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 45-46. — 368 с. — ISBN 5-93972-051-X.
↑ Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. — М.: Наука, 1977. 480 с.
↑ ¹ ² Яворский Б.М., Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: Оникс, 2007. — ISBN 978-5-488-01248-6. — Тираж 5 100 экз. — С. 38 – 39
↑ Орир Дж. Физика // М., Мир, 1981. — Тираж 75 000 экз. — Том 1. — с. 54
↑ Д. В. Александров, А. Ю. Зубарев, Л. Ю. Искакова. Введение в гидродинамику. Изд-во УрФУ, Екатеринбург (2012). — см. стр. 8-11. Дата обращения: 30 апреля 2023.
↑ Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 118
↑ Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 289
↑ Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 118-119
↑ Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 291
↑ Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 119
↑ Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 106
↑ Хайкин С. Э. Физические основы механики. — М.: Физматгиз, 1963. — C. 104
↑ Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С. 30.
↑ Р. Ф. Фейнман Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики. — М.: Наука, 1978. — С. 209-210.
↑ Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 54
↑ Селезнев Ю. А. Основы элементарной физики. – М., Наука, 1966. – Тираж 100 000 экз. – с. 40
↑ Г. Д. Бурдун, Б. Н. Марков Основы метрологии. — М.: Издательство стандартов, 1972. — Тираж 30 000 экз. — С. 49.
↑ Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1977. — С. 24.
↑ Савельев И. В. Курс общей физики / 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1982. — Т. 1. Механика. Молекулярная физика. — С. 54. — 432 с. Архивная копия от 4 февраля 2014 на Wayback Machine
↑ Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1969. — С. 22. — 304 с. Архивная копия от 1 февраля 2014 на Wayback Machine
↑ Мултановский В.В. Курс теоретической физики: Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика. — М.: Просвещение, 1988. — С. 73. — 304 с. — ISBN 5-09-000625-3. Архивная копия от 5 июля 2014 на Wayback Machine
↑ «Не следует смешивать понятия силы и произведения массы на ускорение, которому она равна» (Фок В.А. Механика. Рецензия на книгу: Л. Ландау и Л. Пятигорский. Механика. (Теоретическая физика под общей редакцией проф. Л.Д. Ландау, т. I). Гостехиздат. Москва — Ленинград, 1940 // УФН. — 1946. — Т. 28, вып. 2–3. — С. 377–383. Архивировано 31 октября 2015 года.).
↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. – М., Наука, 1979. – Тираж 50 000 экз. – с. 71-72
↑ Р. Ф. Фейнман Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики. — М.: Наука, 1978. — С. 164.
↑ Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3 000 экз. — С. 47.
↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. – М., Наука, 1979. – Тираж 50 000 экз. – с. 94
↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. – М., Наука, 1979. – Тираж 50 000 экз. – с. 199
↑ Жирнов Н. И. Классическая механика. – М., Просвещение, 1980. – с. 34-35
↑ Р. Неванлинна Пространство, время и относительность. – М., Мир, 1966. – c. 202
↑ Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В. Теоретическая механика. – М., ТрансЛит, 2012. – ISBN 978-5-94976-455-8. – с. 254
↑ Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.
— М.: Наука, 1987. — С. 237.
↑ Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 347. — ISBN 5-06-003587-5
↑ Кычкин И. С., Сивцев В. И. Школьная физика: второй закон Ньютона Архивная копия от 30 мая 2019 на Wayback Machine // Международный журнал экспериментального образования. – 2016. № 3-2. – С. 194-197.
↑ Бутиков Е. И., Быков А. А., Кондратьев А. С. Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С. 544.
↑ Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 76
↑ Седов Л.И.Методы подобия и размерности в механике. — М.: Гостехтеориздат, 1954. — С. 21 – 28.
↑ Томас Кун Структура научных революций. — М., АСТ, 2020. — ISBN 978-5-17-122824-8. — с. 280-282
↑ Айзерман М.А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — Тираж 17 500 экз. — С. 164-165
↑ Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: Физматлит, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 — С. 38.
↑ Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 247. — ISBN 5-06-003587-5

Ссылки[править | править код]

Gundlach J. H., Schlamminger S., Spitzer C. D., Choi K.-Y., Woodahl B. A., Coy J. J., Fischbach E. Laboratory Test of Newton’s Second Law for Small Accelerations (англ.). Phys. Rev. Lett., Vol. 98. American Physical Society (13 апреля 2007). Дата обращения: 7 апреля 2017. Архивировано 30 марта 2021 года.

Источник

На прошлом уроке мы с вами говорили о первом законе Ньютона, где постулируется существование инерциальных систем отсчёта, в которых выполняется закон инерции. Давайте вспомним, что согласно закону инерции, скорость движения тела остаётся постоянной, если на него не действуют другие тела или их действия компенсируются.

Движение тела, которое происходит без действия на него других тел, называют движением по инерции. А свойство тел, проявляющееся в том, что скорость их движения остаётся неизменной до тех пор, пока на них не действуют другие тела, называется инертностью.

Опыты показывают, что чем больше время изменения скорости тела, тем оно более инертно. В седьмом классе вы узнали, что мерой инертности тела является масса, единица измерения которой в системе СИ является килограмм.

— А как сравнить массы двух тел?

Конечно это можно сделать взвешиванием на рычажных или пружинных весах.

Во всех случаях весы — это прибор для определения массы тела по действующей на него силе тяжести. Для всех весов определение массы производится путём сравнения двух сил: силы притяжения к Земле взвешиваемого тела и силы притяжения к Земле эталона (гирь):

— А можно ли сравнить массы тел, не используя силы притяжения?

Ответим на этот вопрос, проведя такой опыт. Поставим на горизонтальную поверхность две тележки разной массы, способные катиться почти без трения. Будем разгонять тележки так, чтобы они ускорялись одинаково, не обгоняя и не отставая друг от друга.

Как видно из опыта, показания первого динамометра в три раза больше чем второго. Значит первую тележку в три раза труднее разогнать, чем вторую, то есть она в три раза более инертна. Такой опыт подтверждает, что масса тела является мерой его инертности.

Напомним ещё о двух практически важных свойствах массы:

· общая масса нескольких тел равна сумме их масс:

· масса однородного вещества, заключённого в объёме, пропорциональна этому объёму:

Теперь поговорим о взаимодействии тел. Как мы с вами знаем, в мире всё находится в непрерывном движении и изменении. Но, двигаясь, тела действуют друг на друга, то есть взаимодействуют. Взаимодействие, как и движение, является неотъемлемым свойством материи.

Чтобы получить первые представления о сущности этого понятия, рассмотрим такой пример. На экране вы видите тележку, с прикреплённой к ней стальной линейкой. Тележка находится в покое в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Будет ли тележка двигаться, если линейка выпрямится?

Ответ на вопрос может дать эксперимент. Пережжём нить. Пластина резко выпрямляется, но тележка остаётся на прежнем месте.

Поставим по другую сторону согнутой линейки ещё одну такую же тележку.

После пережигания нити обе тележки приходят в движение и разъезжаются в разные стороны.

Из результатов эксперимента можно сделать вывод: для изменения скорости тележки понадобилось второе тело — вторая тележка. В движение пришли обе тележки, обе они стали двигаться относительно стола и обе подействовали друг на друга. Значит, действие одного тела на другое не может быть односторонним.

Для количественного описания действия одного тела на другое в механике вводится понятие «сила». Сила — одно из основных понятий динамики, ведь не случайно слово «динамика» происходит от греческого «динамис» — сила.

Сила — это физическая векторная величина, являющаяся количественной мерой воздействия одного тела на другое.

Единицей силы в СИ является ньютон:

Так как сила — величина векторная, то мы должны ясно представлять себе: к какой точке тела приложена сила; по какой линии и как она направлена; и каков модуль этой силы.

Если на тело действуют сразу несколько сил, то оно движется с ускорением, если их равнодействующая не равна нулю.

Вспомним, что равнодействующей называется сила, оказывающая такое же действие, как несколько сил совместно.

Так как в результате действия силы возникает ускорение, то логично предположить, что должна существовать некая количественная взаимосвязь между этими величинами.

Проведём простой опыт. К тележке, движущейся по гладкой горизонтальной поверхности с некоторой скоростью, приложим силу. Поскольку сила тяжести и сила упругости компенсируют друг друга, а сила сопротивления пренебрежимо мала, то приложенная нами сила равна результирующей всех приложенных к тележке сил. Если силу направить по скорости, то она будет разгонять тележку, если против скорости — тормозить её.

— А куда направлено ускорение тележки?

Из кинематики мы знаем, что при разгоне оно направлено по скорости, а при торможении — противоположно ей. Но в обоих случаях направления векторов ускорения и силы совпадают.

Проведённый опыт, как и множество других опытов с движущимися телами, показывает, что ускорение тела направлено по результирующей всех сил, приложенных к нему, при любом движении тела по любой траектории.

Теперь рассмотрим такой опыт. Положим на наклонную плоскость шарик, удерживаемый динамометром. На шар будут действовать сила тяжести, сила упругости плоскости (её ещё называют силой реакции опоры и обозначают буквой N), и сила упругости пружины динамометра. В состоянии покоя равнодействующая этих сил равна нулю.

Отпустим шарик. Он начнёт скатываться с некоторым ускорением. В этом опыте можно пренебречь силой трения качения и сопротивлением воздуха. Следовательно, результирующая сил, действующих на тележку, равна геометрической сумме сил тяжести и реакции опоры. Тогда из формулы следует, что модуль результирующей всех сил, приложенных к шарику при её движении, равен показаниям динамометра при её покое.

Продолжим опыт. Выясним, как зависит ускорение тележки от действующих на неё сил и от её массы. Для этого измерим время движения шарика и пройденный им путь.

Модуль ускорения шарика определим по формуле кинематики

Теперь, увеличивая угол наклона, будем увеличивать значение равнодействующей силы в два, три и четыре раза, и определять ускорение шарика для каждого случая.

Опыт показывает, что при увеличении модуля силы в два, три и четыре раза модуль ускорения увеличится тоже в два, три и четыре раза.

Следовательно, модуль ускорения тела прямо пропорционален модулю результирующей всех приложенных к нему сил:

Будем теперь проводить измерения для тел разных масс при одном и том же значении модуля силы. Постоянство силы будем поддерживать, регулируя наклон плоскости и контролируя её значение динамометром. Массу будем изменять, используя шарики из различных материалов, массы которых заранее известны. Как и в прошлом опыте, для каждого случая будем определять ускорение.

Из результатов опыта видно, что под действием одной и той же силы, тело в два, три, четыре раза большей массы приобретает в два, три, четыре раза меньшее ускорение.

Значит, модули ускорений, приобретаемых телами под действием одинаковых сил, обратно пропорциональны массам этих тел:

Полученные нами закономерности можно выразить одной формулой:

где k — это постоянный коэффициент, который зависит от выбора единицы силы.

Мы знаем, что единицей силы в СИ является один ньютон — эта сила, под действием которой тело массой один килограмм движется с ускорением один метр на секунду в квадрате. Поэтому в СИ коэффициент k = 1.

Таким образом, ускорение, приобретаемое телом под действием приложенных к нему сил, прямо пропорционально результирующей силе и обратно пропорционально массе тела.

Это основной закон динамики — второй закон Ньютона.

Формула, выражающая математическую запись второго закона Ньютона, подчёркивает, что сила является причиной, а ускорение — следствием. Поэтому эту формулу ещё называют уравнением движения тела.

Второй закон Ньютона — один из самых фундаментальных законов природы. Его называют основным законом динамики, так как он позволяет найти положение тела в любой момент времени, то есть решить основную задачу механики.

Отметим также то, что второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта.

Закрепления материала.

Сани массой сто килограмм тянут по горизонтальному участку пути, прикладывая силу под углом 60^о к горизонту. Модуль прикладываемой силы равен 400 Н, а модуль силы трения скольжения — 100 Н. Определите модуль ускорения движения саней.

Источник

Загрузить PDF

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости движущегося тела.^[1] Если скорость тела остается постоянной, то оно не ускоряется. Ускорение имеет место только в том случае, когда скорость тела меняется. Если скорость тела увеличивается или уменьшается на некоторую постоянную величину, то такое тело движется с постоянным ускорением. ^[2] Ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (м/с²) и вычисляется по значениям двух скоростей и времени или по значению силы, приложенной к телу.

1
Формула для вычисления среднего ускорения. Среднее ускорение тела вычисляется по его начальной и конечной скоростям (скорость – это быстрота передвижения в определенном направлении) и времени, которое необходимо телу для достижения конечной скорости. Формула для вычисления ускорения: a = Δv / Δt, где а – ускорение, Δv – изменение скорости, Δt – время, необходимое для достижения конечной скорости.^[3]
- Единицами измерения ускорения являются метры в секунду за секунду, то есть м/с².
- Ускорение является векторной величиной, то есть задается как значением, так и направлением.^[4] Значение – это числовая характеристика ускорения, а направление – это направление движения тела. Если тело замедляется, то ускорение будет отрицательным.
2
Определение переменных. Вы можете вычислить Δv и Δt следующим образом: Δv = v_к – v_н и Δt = t_к – t_н, где v_к – конечная скорость, v_н – начальная скорость, t_к – конечное время, t_н – начальное время.^[5]
- Так как ускорение имеет направление, всегда вычитайте начальную скорость из конечной скорости; в противно случае направление вычисленного ускорения будет неверным.
- Если в задаче начальное время не дано, то подразумевается, что t_н = 0.
3
Найдите ускорение при помощи формулы. Для начала напишите формулу и данные вам переменные. Формула: a = Δv / Δt = (v_к – v_н)/(t_к – t_н). Вычтите начальную скорость из конечной скорости, а затем разделите результат на промежуток времени (изменение времени). Вы получите среднее ускорение за данный промежуток времени.
- Если конечная скорость меньше начальной, то ускорение имеет отрицательное значение, то есть тело замедляется.
- Пример 1: автомобиль разгоняется с 18,5 м/с до 46,1 м/с за 2,47 с. Найдите среднее ускорение.
  - Напишите формулу: a = Δv / Δt = (v_к – v_н)/(t_к – t_н)
  - Напишите переменные: v_к = 46,1 м/с, v_н = 18,5 м/с, t_к = 2,47 с, t_н = 0 с.
  - Вычисление: a = (46,1 – 18,5)/2,47 = 11,17 м/с².
- Пример 2: мотоцикл начинает торможение при скорости 22,4 м/с и останавливается через 2,55 с. Найдите среднее ускорение.
  - Напишите формулу: a = Δv / Δt = (v_к – v_н)/(t_к – t_н)
  - Напишите переменные: v_к = 0 м/с, v_н = 22,4 м/с, t_к = 2,55 с, t_н = 0 с.
  - Вычисление: а = (0 – 22,4)/2,55 = -8,78 м/с².
Реклама

1
Второй закон Ньютона. Согласно второму закону Ньютона тело будет ускоряться, если силы, действующие на него, не уравновешивают друг друга. Такое ускорение зависит от результирующей силы, действующей на тело.^[6] Используя второй закон Ньютона, вы можете найти ускорение тела, если вам известна его масса и сила, действующая на это тело.
- Второй закон Ньютона описывается формулой: F_рез = m x a, где F_рез – результирующая сила, действующая на тело, m – масса тела, a – ускорение тела.
- Работая с этой формулой, используйте единицы измерения метрической системы, в которой масса измеряется в килограммах (кг), сила в ньютонах (Н), а ускорение в метрах в секунду за секунду (м/с²).
2
Найдите массу тела. Для этого положите тело на весы и найдите его массу в граммах. Если вы рассматриваете очень большое тело, поищите его массу в справочниках или в интернете. Масса больших тел измеряется в килограммах.
- Для вычисления ускорения по приведенной формуле необходимо преобразовать граммы в килограммы. Разделите массу в граммах на 1000, чтобы получить массу в килограммах.
3
Найдите результирующую силу, действующую на тело. Результирующая сила не уравновешивается другими силами. Если на тело действуют две разнонаправленные силы, причем одна из них больше другой, то направление результирующей силы совпадает с направлением большей силы.^[7] Ускорение возникает тогда, когда на тело действует сила, которая не уравновешена другими силами и которая приводит к изменению скорости тела в направлении действия этой силы.
- Например, вы с братом перетягиваете канат. Вы тянете канат с силой 5 Н, а ваш брат тянет канат (в противоположном направлении) с силой 7 Н. Результирующая сила равна 2 Н и направлена в сторону вашего брата.
- Помните, что 1 Н = 1 кг∙м/с².^[8]
4
Преобразуйте формулу F = ma так, чтобы вычислить ускорение. Для этого разделите обе стороны этой формулы на m (массу) и получите: a = F/m. Таким образом, для нахождения ускорения разделите силу на массу ускоряющегося тела.
- Сила прямо пропорциональна ускорению, то есть чем больше сила, действующая на тело, тем быстрее оно ускоряется.
- Масса обратно пропорциональна ускорению, то есть чем больше масса тела, тем медленнее оно ускоряется.
5
Вычислите ускорение по полученной формуле. Ускорение равно частному от деления результирующей силы, действующей на тело, на его массу. Подставьте данные вам значения в эту формулу, чтобы вычислить ускорение тела.
- Например: сила, равная 10 Н, действует на тело массой 2 кг. Найдите ускорение тела.
- a = F/m = 10/2 = 5 м/с²
Реклама

Направление ускорения. Научная концепция ускорения не всегда совпадает с использованием этой величины в повседневной жизни. Помните, что у ускорения есть направление; ускорение имеет положительное значение, если оно направлено вверх или вправо; ускорение имеет отрицательное значение, если оно направлено вниз или влево. Проверьте правильность вашего решения, основываясь на следующей таблице:

Движение автомобиля	Изменение скорости	Значение и направление ускорения
Движется вправо (+) и ускоряется	+ → ++ (более положительное)	Положительное
Движется вправо (+) и замедляется	++ → + (менее положительное)	Отрицательное
Движется влево (-) и ускоряется	– → — (более отрицательное)	Отрицательное
Движется влево (-) и замедляется	— → – (менее отрицательное)	Положительное
Движется с постоянной скоростью	Не меняется	Равно 0

2
Направление силы. Помните, что ускорение всегда сонаправлено силе, действующей на тело. В некоторых задачах даются данные, цель которых заключается в том, чтобы ввести вас в заблуждение.
- Пример: игрушечная лодка массой 10 кг движется на север с ускорением 2 м/с². Ветер, дующий в западном направлении, действует на лодку с силой 100 Н. Найдите ускорение лодки в северном направлении.
- Решение: так как сила перпендикулярна направлению движения, то она не влияет на движение в этом направлении. Поэтому ускорение лодки в северном направлении не изменится и будет равно 2 м/с².
3

Результирующая сила. Если на тело действуют сразу несколько сил, найдите результирующую силу, а затем приступайте к вычислению ускорения. Рассмотрим следующую задачу (в двумерном пространстве):

Реклама

Владимир тянет (справа) контейнер массой 400 кг с силой 150 Н. Дмитрий толкает (слева) контейнер с силой 200 Н. Ветер дует справа налево и действует на контейнер с силой 10 Н. Найдите ускорение контейнера.
Решение: условие этой задачи составлено так, чтобы запутать вас. На самом деле все очень просто. Нарисуйте схему направления сил, так вы увидите, что сила в 150 Н направлена вправо, сила в 200 Н тоже направлена вправо, а вот сила в 10 Н направлена влево. Таким образом, результирующая сила равна: 150 + 200 – 10 = 340 Н. Ускорение равно: a = F/m = 340/400 = 0,85 м/с².

Об этой статье

Эту страницу просматривали 189 989 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Второй закон Ньютона – простая и популярная школьная тема, но и тут могут быть коварные вопросы. Обсуждаем их в рамках школьной программы и немного за её пределами.

Второй закон Ньютона – самый простой и наиболее широко применяемый из великой тройки законов Ньютона. На своей практике я ещё не встречала школьника, который не мог бы запомнить формулы “эф равно эм а” F=ma, практически все могут решать простые задачки на эту тему. Тем не менее, попадаются каверзные вопросы по теории, в которых могут “плавать” даже сильные школьники. Также в этой статье добавлю интересную, на мой взгляд, информацию по этому закону.

Формула – треугольник

Что от чего зависит во втором законе Ньютона

Важно не только выучить формулу, но и понять, какие величины являются зависимыми, а какие – независимыми. Помогут это выяснить “коварные вопросы”:

Рассмотрим формулу F=ma. Верно ли утверждение, что сила, действующая на тело, зависит от его ускорения?
Рассмотрим формулу F=ma. Верно ли, что сила, действующая на тело, зависит от его массы?
Рассмотрим формулу m=F/a. Как изменится масса тела, если силу, действующую на него, увеличить в два раза?

Если рассмотреть формально, то первые два утверждения верны, а в третьем масса увеличится в два раза. Действительно, если есть формула, то есть и зависимость, разве нет?

Нет. В физике важно знать, какие величины являются независимыми, а какие зависимыми, мы не можем их “назначать” произвольно, как в математике. Итак:

Сила не зависит от ускорения. Сила определяется тем, какие именно тела действуют на данное тело. Может быть сила тяжести, упругости, трения… Наоборот, это ускорение зависит от силы.
Сила в общем случае не зависит от массы. Опять же, сила определяется не данным телом, а другими телами. Исключение – сила тяжести F=mg и сила всемирного тяготения, которые пропорциональны массе самого данного тела. Но могут быть и другие силы, например сила упругости, которые от массы никак не зависят.
Масса тела не зависит ни от силы, ни от ускорения. Масса тела зависит от того, сколько в нём молекул и каких. Если силу увеличить в два раза, масса не изменится, а в формуле ускорение тоже увеличится в два раза, так чтобы сохранить отношение неизменным.

Итак, независимые величины во втором законе Ньютона – сила и масса. Ускорение же является зависимой величиной, оно зависит и от силы, и от массы. Чем больше сила, тем больше ускорение, чем больше масса, тем ускорение меньше.

Направления силы и ускорения

Поскольку масса является скалярной величиной и всегда больше нуля, то векторы силы и ускорения всегда направлены в одну сторону. Это надо помнить. Вот пример задачки с сайта “решуЕГЭ.рф”

Задача на второй закон Ньютона из ЕГЭ

Здесь нам дали два вектора – ускорения и скорости. Вектор скорости здесь дан только для отвлечения внимания. На самом деле направление силы не зависит от направления скорости, а сонаправлено с ускорением, то есть идёт, как и ускорение, вниз.

Реактивное движение. Скорость и ускорение

Давайте немного выйдем за пределы базовой школьной программы. Если масса тела меняется в процессе движения, то нельзя пользоваться формулой F=ma. Здесь нужно применять второй закон Ньютона через импульс, в дифференциальной форме. Вот вывод, как связано ускорение с силой и скоростью в том случае, если масса меняется.

Второй закон Ньютона через импульс и вывод ускорения в случае переменной массы.

Раскрываем производную произведения, выполняем алгебраические действия, и получаем, что ускорение определяется не только внешней силой, но и скоростью тела, и тем, как меняется масса. Если нет внешних сил и масса тела убывает, то ускорение будет сонаправлено со скоростью – тело будет разгоняться.

Довольно сложная штука, правда? Для того, чтобы сохранить общность записи ускорения через силу, российский учёный Мещёрский ввёл понятие реактивной силы. Второе слагаемое в обведённой формуле – это и есть реактивная сила, деленная на массу. Таким образом, при движении с переменной массой реактивную силу можно “приплюсовать” к другим силам, и тогда сохранится векторная запись а=F/m. Только особенностью реактивной силы является то, что действует она не со стороны других тел, а со стороны части самой системы.

Квазичастицы и второй закон Ньютона

Небольшой экскурс за пределы школьной программы.

Бывает ли отрицательная масса? Для отдельной частицы, конечно, нет. Но если мы рассмотрим поведение сложной системы большого количества частиц, например, электронов в кристалле, то при некоторых условиях может оказаться, что частицы под действием внешней силы могут вести себя так, как будто бы они обладают отрицательной “массой”. Их “масса” может стать больше или меньше массы свободной частицы. Это связано с тем, что на частицу, кроме внешней силы, действуют ещё внутренние силы со стороны других частиц системы, которые мы не можем описать непосредственно. Кроме того, коллективные движения частиц могут проявляться как новые частицы с совершенно странными свойствами. Такие частицы называются квазичастицами (квази – как бы, почти). Для таких частиц вводится понятие эффективной массы, которая учитывает действие внутренних сил. Внутренние силы как бы дают “добавку” к массе m’, и в результате получается новая масса m*, отличная от исходной.

Алгебраические выкладки, объясняющие по-простому эффективную массу.

В зависимости от величины и направления внутренних сил, эффективная масса может быть и отрицательной, и даже тензорной величиной, если суммарные внутренние силы не сонаправлены с внешними.

Конечно, если можно было бы легко посчитать или измерить внутренние силы, никому не нужна была бы дополнительная эффективная масса. Но на практике их посчитать нереально, и подходят с другой стороны – изучают колебания частиц, возникающие волны и законы дисперсии. И в теории, и в эксперименте получаются характерные кривые зависимости энергии от импульса, и по их кривизне определяется эффективная масса. Эта масса не имеет отношения к гравитации, и может иметь самые разные значения, поэтому иногда говорят о “тяжёлых” и “лёгких” электронах и дырках.

Иногда журналисты делают мнимые сенсации, мол, в каких-то кристаллах обнаружили частицы отрицательной массы. Важно понимать, что никакого нарушения законов природы тут нет, если речь идёт не о свободных частицах. Когда мы говорим о системах многих частиц, там могут быть самые разные взаимодействия, и не всегда их возможно описать в рамках законов Ньютона.

На этом заканчиваю статью. Конечно, второй закон Ньютона велик, могуч и всеобъемлющ, и моя статья не претендует на полноту изложения, а лишь добавляет некоторые штрихи.

Спасибо, что дочитали до конца! Буду рада лайкам и новым подписчикам!

Источник

Три закона Ньютона

Динамика — раздел механики, изучающий причины движения тел и способы определения их ускорения. В нем движение тел описывается с учетом их взаимодействия.

Большой вклад в развитие динамики внес английский ученый Исаак Ньютон. Он первым смог выделить законы движения, которым подчиняются все макроскопические тела. Эти законы называют законами Ньютона, законами механики, законами динамики или законами движения тел.

Внимание! Законы Ньютона нельзя применять к произвольным телам. Они применимы только к точке, обладающей массой — к материальной точке.

Основное утверждение механики

Для описания движения тела можно взять любую систему отсчета. Обычно для этого используется система отсчета, связанная с Землей. Если какое-то тело меняет свою скорость, рядом с ним всегда можно обнаружить другое тело, которое на него действует. Так, если поднять камень и отпустить, он не останется висеть в воздухе, а упадет вниз. Следовательно, на него что-то подействовало. В данном случае сама Земля притянула камень к себе. Отсюда следует основное утверждение механики:

Основное утверждение механики

Изменение скорости (ускорение) тела всегда вызывается воздействием на него других тел.

Согласно утверждению, если на тело не действуют никакие силы, его ускорение будет нулевым, и оно будет либо покоиться, либо двигаться равномерно и прямолинейно (с постоянной скоростью).

Но в нашем мире мы не всегда это наблюдаем. И этому есть объяснение. Если тело покоится, оно действительно не меняет свою скорость. Так, мяч лежит на траве до тех пор, пока его не пнут. После того, как его пнут, он начинает катиться, но затем останавливается. Пока мяч катится, к нему больше не прикасаются. Казалось бы, согласно основному утверждению механики, мяч должен катиться вечно. Но этого не происходит, потому что на мяч действует сила трения, возникающая между его поверхностью и травой.

Основное утверждение механики можно проиллюстрировать в открытом космосе в месте, где сила притяжения космических тел пренебрежимо мала. Если в космосе придать телу скорость и отпустить, оно будет двигаться с такой скоростью по прямой линии до тех пор, пока на него не подействуют другие силы. Ярким примером служат межгалактические звезды, или звезды-изгои. Гравитационно они не связаны ни с одной из галактик, а потому движутся с постоянной скоростью. Так, звезда HE 0437-5439 удаляется от нашей галактики с постоянной скоростью 723 км/с.

Свободное тело — тело, на которое не действуют другие тела. Свободное тело либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.

Первый закон Ньютона

Исаак Ньютон, изучая движение тел, заметил, что относительно одних систем отсчета свободные тела сохраняют свою скорость, а относительно других — нет. Он разделил их на две большие группы: инерциальные системы отсчета и неинерциальные. В этом кроется первый закон динамики.

Первый закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых тела движутся равномерно и прямолинейно или находятся в состоянии покоя, если на них не действуют другие тела или их действие компенсировано.

Примером инерциальной системы отсчета служит система отсчета, связанная с Землей (геоцентрическая). Другой пример — гелиоцентрическая система отсчета (связанная с Солнцем).

Неинерциальная система отсчета — система отсчета, в которой тела могут менять свою скорость при отсутствии на них действия других тел.

Примером неинерциальной системы отсчета служит автобус. Когда он движется равномерно и прямолинейно, стоящие внутри пассажиры находятся относительно него в состоянии покоя. Но когда автобус останавливается, пассажиры падают вперед, т. е. меняют свою скорость, хотя на них не действуют другие тела.

Второй закон Ньютона

В примере с автобусом видно, что пассажиры стараются сохранить свою скорость относительно Земли — инерциальной системы отсчета. Такое явление называется инерцией.

Инерция — явление, при котором тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Инертность — физическое свойство, заключающееся в том, что любое тело оказывает сопротивление изменению его скорости (как по модулю, так и по направлению).

Не все тела одинаково инертны. Вы можете взять мячик и придать ему большое ускорение. Но вы не можете придать такое же ускорение гире, хотя она обладает похожим размером. Но мячик и гиря различаются между собой массой.

Масса — скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела. Чем больше масса, тем больше инертность тела.

Масса обозначается буквой m. Единица измерения массы — кг. Прибор для измерения массы — весы.

Чтобы придать одинаковую скорость двум телам с разной инертностью, к телу с большей инертностью придется приложить больше силы. Попробуйте сдвинуть с места стол, а затем — шкаф. Сдвинуть с места стол будет проще.

Если же приложить две одинаковые силы к телам с разной инертностью, будет видно, что тело с меньшей инертностью получает большее ускорение. Если приставить к пружине теннисный шарик, а затем сжать ее и резко отпустить, шарик улетит далеко. Если вместо теннисного шарика взять железный, он лишь откатится на некоторое расстояние.

Описанные выше примеры показывают, что между силой, прикладываемой к телу, и ускорением, которое оно получает в результате прикладывания этой силы, и массой этого тела есть взаимосвязь. Она раскрывается во втором законе Ньютона.

Второй закон Ньютона

Сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, которое сообщает эта сила.

F = ma

где F — сила, которую прикладывают к телу, a — ускорение, которое сообщает эта сила, m — масса тела

Сила — количественная мера действия тел друг на друга, в результате которого тела получают ускорения.

Сила — векторная физическая величина. Обозначается F. Единица измерения — Н (Ньютон). Прибор для измерения силы — динамометр.

Пример №1. Определить, с какой силой действует Земля на яблоко, если, упав с ветки, оно получило ускорение 9,8 м/с². Масса яблока равна 200 г.

Сначала переведем массу яблока в кг. 200 г = 0,2 кг. Теперь найдем силу, действующую на яблоко со стороны Земли, по второму закону Ньютона:

F = ma = 0,2 ∙ 9,8 = 1,96 (Н)

Равнодействующая сила

Иногда на тело действуют несколько сил. Тогда при описании его движения вводится понятие равнодействующей силы.

Определение

Равнодействующая сила — векторная сумма всех сил, действующих на тело одновременно.

R = F₁ + F₂ + F₃ + …

В этом случае второй закон Ньютона формулируется так:

Второй закон Ньютона через равнодействующие силы

Если на тело действует несколько сил, то их равнодействующая R будет равна произведению массы на ускорение этого тела.

ma = R = F₁ + F₂ + F₃ + …

Правила сложения сил и их проекций

Сложение двух сил, направленных вдоль одной прямой в одну сторону
	Если F₁↑↑F₂, то: R = F₁ + F₂ Равнодействующая сила сонаправлена с обеими силами.
Сложение двух сил, направленных вдоль одной прямой во взаимно противоположных направлениях
	Если F₁↑↓F₂, то: R = \|F₁ – F₂\| Равнодействующая сила направлена в сторону направления большей по модулю силы.
Сложение двух сил, перпендикулярных друг к другу
	Если F₁ перпендикулярна F₂, то равнодействующая сила вычисляется по теореме Пифагора:
Сложение двух сил, расположенных под углом α друг к другу
	Если F₁ и F₂ расположены под углом α друг к другу, равнодействующая сила вычисляется по теореме косинусов:
Сложение трех сил
	Способ сложения определяется правилами сложения векторов. В данном случае:
Сложение проекций сил
	Проекция на ось ОХ: F_1x + F_2x– F_3x = 0 Проекция на ось OY: F_1y– F_2y= 0

Третий закон Ньютона

Когда одно тело действует на другое, начинается взаимодействие этих тел. Это значит, если тело А действует на тело В и сообщает ему ускорение, то и тело В действует на тело А, тоже придавая ему ускорение. К примеру, если сжать пружину руками, то руки будут чувствовать сопротивление, оказываемое силой упругости пружины. Если же, находясь в лодке, начать тянуть за веревку вторую лодку, то обе лодки будут двигаться навстречу друг другу. То есть, вы, находясь в своей лодке, тоже будете двигаться навстречу второй лодке.

Иногда на тело действует сразу несколько сил, но тело продолжает покоиться. В этом случае говорят, что силы друг друга компенсируют, то есть их равнодействующая равна нулю.

Две силы независимо от их природы считаются равными по модулю и противоположно направленными, если их одновременное действие на тело не меняет его скорости.

Примером такого явления служит ситуация, когда при перетягивании каната его никто не может перетянуть в свою сторону. Если взять два каната и присоединить между ними два динамометра, а затем начать игру в перетягивание, выяснится, что показания динамометра всегда будут одинаковыми. Это значит, что независимо от масс и придаваемых ускорений два взаимодействующих тела оказывают друг на друга равные по модулю силы. В этом заключается смысл третьего закона Ньютона.

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулям и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

F_A = –F_B

Используя второй закон Ньютона, третий закон механики можно переписать иначе:

m₁a₁ = –m₂a₂

Отсюда следует:

Отношение модулей ускорений a₁ и a₂ взаимодействующих друг с другом тел определяется обратным отношением их масс и совершенно не зависит от характера действующих между ними сил.

Пример №2. Определить ускорение, с которым движется Земля к падающему на нее яблоку. Масса яблока равна 0,2 кг. Ускорение свободного падения принять равной за 10 м/с². Массу Земли принять равно 6∙10²⁴ кг.

Согласно третьему закону Ньютона модули сил, с которыми взаимодействуют Земли и яблоко, равны. Поэтому:

F₁ = F₂

Отсюда:

m₁a₁ = m₂a₂

Пусть тело 1 будет яблоко, а тело 2 — Земля. Тогда a₁ будет равно g. Отсюда ускорение, с которым движется Земля к падающему на нее яблоку, равна:

Задание EF17993

Скорость тела массой 5 кг, движущегося вдоль оси Ох в инерциальной системе отсчёта, изменяется со временем в соответствии с графиком (см. рисунок). Равнодействующая приложенных к телу сил в момент времени t=2,5 с равна…

а) 2Н

б) 8 Н

в) 10 Н

г) 20 Н

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Проанализировать задачу.

3.Записать второй закон Ньютона.

4.Определить ускорение по графику проекции скорости от времени.

5.Подставить найденное ускорение в формулу второго закона Ньютона и произвести вычисления.

Решение

Запишем исходные данные:

Так как графиком скорости является прямая, непараллельная ось времени, тело движется с постоянным ускорением. Если ускорение постоянно, равнодействующая сил тоже будет постоянной в любой момент времени. Поэтому нам достаточно использовать координаты любой, более удобной для их определения точки. К примеру, в точке, соответствующей моменту времени 10 с.

Запишем второй закон Ньютона:

F = ma

Ускорение тела определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого эта скорость менялась. Согласно графику, за 10 секунд скорость изменилась на 20 м/с. Следовательно, ускорение равно:

a = 20/10 = 2 (м/с²)

Теперь можем вычислить равнодействующую сил:

F = ma = 5∙2 = 10 (Н)

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18915

Необходимо собрать экспериментальную установку, с помощью которой можно определить коэффициент трения скольжения стали по дереву. Для этого школьник взял стальной брусок с крючком. Какие два предмета из приведённого ниже перечня оборудования необходимо дополнительно использовать для проведения этого эксперимента?

а) деревянная рейка

б) динамометр

в) мензурка

г) пластмассовая рейка

д) линейка

Алгоритм решения

1.Проанализировать задачу. Выяснить, какие предметы необходимы для проведения опыта.

2.Вывести формулу для коэффициента трения.

3.Определить, какую величину нужно измерить, чтобы рассчитать коэффициент трения, и какой прибор для этого нужен.

Решение

Для определения коэффициента трения стали по дереву, нужен не только стальной груз, но и деревянная поверхность. То есть, понадобится деревянная рейка.

Сила трения определяется формулой:

Отсюда коэффициент трения равен:

Ускорение свободного падения известно. Массу можно измерить на весах, но весов в вариантах ответа нет. Силу трения можно измерить динамометром. Следовательно, для опыта нужны только динамометр и деревянная рейка. Рейка из пластика не понадобится, так как цели расчета коэффициента трения стали по пластику нет. Мензурка используется для определения объема жидкости. В данном опыте она тоже не нужна.

Ответ: аб

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17589

Система отсчёта, связанная с Землёй, считается инерциальной. В этом случае систему отсчёта, связанную с самолётом, можно считать инерциальной, если самолёт движется:

а) равномерно и прямолинейно, набирая высоту

б) с постоянным ускорением по горизонтали

в) равномерно, выполняя поворот

г) по взлетной полосе при взлете

Алгоритм решения

Сформулировать первый закон Ньютона об инерциальных системах отсчета.
На основании закона сделать вывод, при каких условиях система отсчета, связанная с самолетом, может считаться инерциальной.
Проанализировать все 4 ситуации, приведенные в вариантах ответа.
Выбрать тот вариант, который описывает ситуацию, не противоречащую условию, выведенному в шаге 2.

Решение

Первый закон Ньютона формулируется так:

«Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых тела движутся равномерно и прямолинейно или находятся в состоянии покоя, если на них не действуют другие тела или их действие компенсировано».

Чтобы система отсчета, связанная с самолетом, была инерциальной, она должна быть неподвижной или двигаться относительно Земли — инерциальной системы отсчета — равномерно и прямолинейно.

Когда самолет движется равномерно и прямолинейно, набирая высоту, самолет движется с собственным ускорением, которое компенсируется ускорением свободного падения. И это единственный верный ответ, так как:

Самолет, двигаясь с постоянным ускорением по горизонтали, движется неравномерно, что противоречит условию.
Самолет, двигаясь равномерно во время поворота, движется непрямолинейно (с центростремительным ускорением).
Самолет, двигаясь по взлетной полосе при взлете, движется прямолинейно, но неравномерно, так как он разгоняется из состояния покоя.

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22791

Погрешность прямого измерения силы динамометром, на котором висит груз, равна цене деления. Каков вес груза?

Ответ: ( ± ) Н.

Внимание! Записывать ответ следует последовательностью цифр без запятых.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Определить цену деления шкалы.

3.Записать значение измерения с учетом погрешности.

Решение

Из условий задачи известно, что погрешность равна цене деления шкалы. Цена деления шкалы определяется отношением разности двух ближайших числовых обозначений на шкале и количеству делений между ними. Возьмем ближайшие значения 1,0 и 1,5. Между ними 5 делений. Следовательно, цена деления шкалы динамометра равна:

Так как погрешность равна цене деления, она также равна 0,1 Н.

Стрелка динамометра показывает 1,1 Н. Следовательно, вес груза равен: 1,1±0,1. Но по условию задачи ответ нужно записать без запятых и прочих знаков. Следовательно, верный ответ: 1101.

Ответ: 1101

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17484

Тело массой m скользит по шероховатой наклонной опоре с углом α к горизонту (см. рисунок). На него действуют 3 силы: сила тяжести mg, сила упругости опоры N и сила трения F_тр. Если скорость тела не меняется, то модуль равнодействующей сил F_тр и mg равен:

а) N cosα

б) N

в) N sinα

г) mg + F_тр

Алгоритм решения

Запись второго закона Ньютона в векторном виде.
Вывод формулы равнодействующей силы трения и силы тяжести.
Нахождение модуля равнодействующей силы трения и силы тяжести.

Решение

Записываем второй закон Ньютона в векторном виде с учетом того, сто скорость тела не меняется (ускорение равно 0):

N + mg + F_тр = 0

Отсюда равнодействующая силы трения и силы тяжести равна:

mg + F_тр = –N

Следовательно, равнодействующая силы трения и силы тяжести направлена противоположно силе реакции опоры, но равна ей по модулю. Отсюда:

|mg + F_тр| = N

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18548

На тело действуют две силы: F₁ и F₂. По силе F₁ и равнодействующей двух сил F = F₁+ F₂ найдите модуль второй силы (см. рисунок).

Алгоритм решения

Изобразить на рисунке второй вектор с учетом правил сложения векторов.
Записать геометрическую формулу для расчета модуля вектора по его проекциям.
Выбрать систему координат и построить проекции второй силы на оси ОХ и ОУ.
По рисунку определить проекции второй силы на оси.
Используя полученные данные, применить формулу для расчета вектора по его проекциям.

Решение

Построим вектор второй силы. Его начало должно совпадать с концом вектора первой силы, а его конец — с концов равнодействующей этих сил. Этот вывод следует из сложения векторов правилом треугольника.

Модуль вектора равен корню из суммы квадратов его проекций на оси ОХ и ОУ:

Выберем систему координат и построим проекции второй силы на оси ОХ и ОУ:

Согласно рисунку, проекция второй силы на ось ОХ равна: x = 4 (Н). Ее проекция на ось ОУ равна: y = 3 (Н).

Подставим известные данные в формулу и вычислим модуль вектора второй силы:

Ответ: 5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 16.4k

Источник

Второй закон Ньютона в классической механике[править | править код]

Возможные формулировки[править | править код]

Область применения закона[править | править код]

Логическая роль второго закона Ньютона[править | править код]

Запись закона в разных системах координат[править | править код]

Второй закон за пределами классической механики[править | править код]

В релятивистской динамике[править | править код]

В квантовой механике[править | править код]

Научно-историческое значение закона[править | править код]

Лагранжево и гамильтоново обобщения закона[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Что от чего зависит во втором законе Ньютона

Направления силы и ускорения

Реактивное движение. Скорость и ускорение

Квазичастицы и второй закон Ньютона

Спасибо, что дочитали до конца! Буду рада лайкам и новым подписчикам!

Три закона Ньютона

Основное утверждение механики

Первый закон Ньютона

Второй закон Ньютона

Равнодействующая сила

Правила сложения сил и их проекций

Третий закон Ньютона

Вам также может понравиться

Правила кирхгофа как найти направление тока

Как найти рецепт пряников

Как найти напряжение через амплитуду напряжения

Добавить комментарий Отменить ответ