Как найти ускорение тела в математике

Как найти ускорение тела в математике

7. Взаимосвязь функции и ее производной


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Связь производной со скоростью и ускорением тела

Если (x=x(t)) – уравнение, задающее движение точки, зависящее от времени, то:

(blacktriangleright) производная (x'(t)) задает скорость в момент времени (t);

(blacktriangleright) вторая производная (производная от производной) (x”(t)) задает ускорение в момент времени (t).


Задание
1

#740

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^2 – 12t), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 14t – 12), тогда в момент (t = 1) с:

(x'(1) = 14cdot 1 – 12 = 2) м/с.

Ответ: 2


Задание
2

#741

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^2 – 8t), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 4t – 8), тогда в момент (t = 2) с:

(x'(2) = 4cdot 2 – 8 = 0) м/с.

Ответ: 0


Задание
3

#742

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 2t + 3), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 2t + 2), тогда в момент (t = 1) с:

(x'(1) = 2cdot 1 + 2 = 4) м/с.

Ответ: 4


Задание
4

#743

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^3 – t^2 + 2t + 3), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 6t^2 – 2t + 2), тогда в момент (t = 2) с:

(x'(2) = 6cdot 2^2 – 2cdot 2 + 2 = 22) м/с.

Ответ: 22


Задание
5

#744

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^4 + 6t^3 + 5t^2 + 4t + 2016), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 0,5) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 28t^3 + 18t^2 + 10t + 4), тогда в момент (t = 0,5) с:

(x'(0,5) = 28cdot dfrac{1}{8} + 18cdot dfrac{1}{4} + 10cdot dfrac{1}{2} + 4 = 3,5 + 4,5 + 5 + 4 = 17) м/с.

Ответ: 17


Задание
6

#745

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 3t^2 + 6t + 2), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла (15) м/с? Ответ дайте в секундах.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 6t + 6), тогда для момента (t), когда скорость материальной точки была равна (15) м/с, выполнено (6t + 6 = 15), откуда (t = 1,5) с.

Ответ: 1,5


Задание
7

#746

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 3t – 1), где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла (11) м/с? Ответ дайте в секундах.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)), в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)).

(x'(t) = 2t + 3), тогда для момента (t), когда скорость материальной точки была равна (11) м/с, выполнено (2t + 3 = 11), откуда (t = 4) с.

Ответ: 4

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник
Ускорение
{displaystyle {vec {a}}={frac {mathrm {d} {vec {v}}}{mathrm {d} t}}}
Размерность LT−2
Единицы измерения
СИ м/с²
СГС см/с²
Примечания
векторная величина

Падающий мяч при отсутствии сопротивления воздуха ускоряется, то есть движется все быстрее и быстрее.

Ускоре́ние (обычно обозначается латинскими буквами a (от лат. acceleratio) или w) — физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела, то есть первая производная от скорости по времени. Ускорение является векторной величиной, показывающей, на сколько изменяется вектор скорости {vec {v}} тела при его движении за единицу времени:

vec a={dvec v over dt}.

Например, тела, свободно падающие вблизи поверхности Земли вдоль вертикали, в случаях, когда испытываемое ими сопротивление воздуха мало, увеличивают свою скорость примерно на 9,8 м/с за секунду, то есть их ускорение примерно равно 9,8 м/с². При непрямолинейном движении учитывается изменение не только величины скорости, но и её направления: скажем, ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, не равно нулю: имеется постоянное по модулю (и переменное по направлению) ускорение, направленное к центру окружности.

Единицей ускорения в Международной системе единиц (СИ) служит метр в секунду за секунду (русское обозначение: м/с2; международное: m/s2).

Ускорение в кинематике точки[править | править код]

Наиболее общий случай[править | править код]

Ускорение и связанные величины[править | править код]

Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём однократного дифференцирования по времени вектора скорости материальной точки (или двукратного дифференцирования радиус-вектора):

vec a = {dvec v over dt} = {d^2vec r over dt^2}.

Если на траектории точки известны координаты vec r (t_0) = vec r_0 и вектор скорости vec v(t_0) = vec v_0 в какой-либо момент времени t0, а также зависимость ускорения от времени vec a (t), то, интегрируя это уравнение, можно получить координаты и скорость точки в любой момент времени t (как до, так и после момента t0):

{displaystyle {vec {v}}(t)={vec {v}}_{0}+int _{t_{0}}^{t}{vec {a}}(tau )dtau ,}
{displaystyle {vec {r}}(t)={vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){vec {v}}_{0}+int _{t_{0}}^{t}int _{t_{0}}^{xi }{vec {a}}(tau )dtau dxi .}

Производная ускорения по времени, то есть величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок:

vec j=frac {mathrm{d} vec a} {mathrm{d}t}, где vec j — вектор рывка.

Анализ движения по кривой[править | править код]

Траекторию движения материальной точки на малом участке можно считать плоской. Вектор ускорения vec a можно разложить по сопутствующему базису left{vec tau, vec{n}, vec{b}right}:

vec a = {a}_tau {vec tau} + {a}_n {vec n} + {a}_b {vec b} = frac{dv}{dt}{vec tau} + frac{v^2}{R} {vec n} + {a}_b {vec b} ,

где

v — величина скорости,
{vec tau} = vec v/|vec v| — единичный касательный к траектории вектор, направленный вдоль скорости (касательный орт),
{vec n} — орт главной нормали к траектории, который можно определить как единичный вектор в направлении d vec tau / d l ,
{vec b} — орт бинормали к траектории, перпендикулярный одновременно ортам {vec tau} и {vec n} (то есть ортогональный к мгновенной плоскости траектории),
R — радиус кривизны траектории.

Слагаемое {a}_b{vec b}, называемое бинормальным ускорением, всегда равно нулю. Это можно считать прямым следствием определения векторов vec n, vec b: можно сказать, что они выбираются именно так, чтобы первый всегда совпадал с нормальным ускорением, второй же был ортогонален первому.

Векторы {a}_tau{vec tau} и {a}_n{vec n} называются касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями соответственно.

Итак, учитывая сказанное выше, вектор ускорения при движении по любой траектории можно записать как:

vec a = {a}_tau {vec tau} + {a}_n {vec n} = frac{dv}{dt}{vec tau} + frac{v^2}{R} {vec n}.

Важные частные случаи[править | править код]

Равноускоренное движение[править | править код]

Если вектор vec a не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении вышеприведённые общие формулы упрощаются до следующего вида:

vec v(t) = vec v_0 + (t - t_0)vec a,
vec r(t) = vec r_0 + (t-t_0)vec v_0 + {(t-t_0)^2over 2}vec a.

Частным случаем равноускоренного движения является случай, когда ускорение равно нулю в течение всего времени движения. В этом случае скорость постоянна, а движение происходит по прямолинейной траектории (если скорость тоже равна нулю, то тело покоится), поэтому такое движение называют прямолинейным и равномерным.

Равноускоренное движение точки всегда является плоским, а твёрдого тела — плоскопараллельным (поступательным). Обратное, вообще говоря, неверно.

Равноускоренное движение при переходе в другую инерциальную систему отсчёта остаётся равноускоренным.

Случай равноускоренного движения, когда ускорение (постоянное) и скорость направлены по одной прямой, но в разных направлениях, называется равнозамедленным движением. Равнозамедленное движение всегда одномерно. Движение можно рассматривать как равнозамедленное лишь до того момента, пока скорость не станет равной нулю. Кроме того, всегда существуют инерциальные системы отсчёта, в которых движение не является равнозамедленным.

Прямолинейное движение[править | править код]

Важным частным случаем движения с ускорением является прямолинейное движение, когда ускорение в любой момент времени коллинеарно скорости (например, случай падения тела с вертикальной начальной скоростью). В случае прямолинейного движения можно выбрать одну из координатных осей вдоль направления движения и заменить радиус-вектор и векторы ускорения и скорости на скаляры. При этом, при постоянном ускорении из приведённых выше формул вытекает, что

{displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2,as.}

Здесь v0 и v — начальная и конечная скорость тела, a — его ускорение, s — пройденный телом путь.

Ряд практически важных формул связывают затраченное время, пройденный путь, достигнутую скорость и ускорение при равноускоренном прямолинейном движении с нулевой ({displaystyle v_{0}=0}) начальной скоростью:

t = sqrt{frac{2 s}{a}} = frac{v}{a} = frac{2s}{v}, qquadqquad s = frac{vt}{2}=frac{a t^2}{2} = frac{v^2}{2a},
v = sqrt{2 , a s} = at = frac{2s}{t}, qquadqquad a = frac{v}{t} = frac{2s}{t^2} = frac{v^2}{2s},

так что любые две из этих величин определяют две другие (здесь предполагается, что время отсчитывается от начала движения: t0 = 0).

Движение по окружности[править | править код]

Равномерное движение по окружности. Ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру.

Пример неравномерного движения по окружности (математический маятник). Ускорение, складывающееся из тангенциальной и центростремительной компонент, в разные моменты изменяется от полностью касательного до полностью нормального к траектории.

Вектор ускорения

vec a = frac{d vec v}{dt}

при движении точки по окружности можно разложить на два слагаемых (компоненты):

vec a = vec a_tau + vec a_n .

Тангенциальное или касательное ускорение vec a_tau (обозначается иногда vec w_tau, vec u_tau и т. д., в зависимости от того, какой буквой в конкретном тексте принято обозначать ускорение) направлено по касательной к траектории. Является составляющей вектора ускорения vec a, коллинеарной вектору мгновенной скорости. Характеризует изменение скорости по модулю.

vec a_tau = frac{vec v}{|vec v|} cdot frac{d |vec v|}{dt}.

Центростремительное или нормальное ускорение vec a_n (также обозначается иногда vec w_n, vec u_n и т. д.) возникает (не равно нулю) всегда при движении точки не только по окружности, но и по любой траектории с ненулевой кривизной. Является составляющей вектора ускорения vec a, перпендикулярной вектору мгновенной скорости. Характеризует изменение скорости по направлению. Вектор нормального ускорения всегда направлен к мгновенной оси вращения,

vec a_n = {|vec v|} cdot frac{d}{dt}frac{vec v}{|vec v|},

а модуль равен

|vec a_n| = omega ^2 r = {v^2 over r},

где ω — угловая скорость относительно центра вращения, а r — радиус окружности.

Кроме этих двух компонент, используется также понятие угловое ускорение, показывающее, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени, и, аналогично линейному ускорению, вычисляемое следующим образом:

vec varepsilon = {dvec omega over dt}.

Направление вектора здесь показывает, увеличивается или уменьшается модуль скорости. Если векторы углового ускорения и угловой скорости сонаправлены (или хотя бы их скалярное произведение положительно), значение скорости растёт, и наоборот.

В частном случае равномерного движения по окружности векторы углового ускорения и тангенциального ускорения равны нулю, а центростремительное ускорение постоянно по модулю.

Ускорение при сложном движении[править | править код]

Говорят, что материальная точка (тело) совершает сложное движение, если она движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой, «лабораторной», системы отсчёта. Тогда абсолютное ускорение тела в лабораторной системе равно сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

{displaystyle {vec {a}}={vec {a}}_{r'}+{vec {a}}_{e}+2left[{vec {omega }}times {vec {v}}_{r'}right].}

Последний член содержит векторное произведение угловой скорости вращения движущейся системы отсчёта и скорости материальной точки в этой движущейся системе.

Ускорения в кинематике твёрдого тела[править | править код]

Связь ускорений двух точек абсолютно твёрдого тела A и B можно получить из формулы Эйлера для скоростей этих точек:

vec{v}_B = vec{v}_A + left[vec{omega}timesvec{AB}right],

где vec{omega} — вектор угловой скорости тела. Продифференцировав её по времени, получаем формулу Ривальса[1][2] (Marc-Joseph-Émilien Rivals, 1833–1889[3]):

vec{a}_B = vec{a}_A + left[vec{omega}times left[ vec{omega}times vec{AB}right] right] + left[ vec{varepsilon}times vec{AB} right],

где vec{varepsilon} — вектор углового ускорения тела.

Второе слагаемое называется осестремительным ускорением, а третье — вращательным ускорением[1].

Создание ускорения. Динамика точки[править | править код]

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчёта. В этих системах отсчёта равномерное прямолинейное движение имеет место в том случае, когда тело (материальная точка) не подвергается никаким внешним воздействиям в процессе своего движения. На основе этого закона возникает ключевое для механики понятие силы как такого внешнего воздействия на тело, которое выводит его из состояния покоя или влияет на скорость его движения. Таким образом, постулируется, что причиной возникновения ненулевого ускорения в инерциальной системе отсчёта всегда является некоторое внешнее силовое воздействие[4].

Классическая механика[править | править код]

Второй закон Ньютона применительно к нерелятивистскому движению (то есть к движению со скоростями, много меньшими скорости света) утверждает, что ускорение материальной точки всегда пропорционально приложенной к ней и порождающей ускорение силе, причём коэффициент пропорциональности всегда один и тот же независимо от вида силового воздействия (он называется инертной массой материальной точки):

m vec a = vec F.

Если известны масса материальной точки и (как функция времени) сила, действующая на неё, то из второго закона Ньютона известно и её ускорение: vec a = vec F /m. При постоянстве силы ускорение также будет постоянным. Скорость и координаты точки в любой момент времени можно получить, проинтегрировав ускорение по формулам из раздела о кинематике точки при заданных начальных скорости и координатах.

Релятивистская механика[править | править код]

В релятивистской физике второй закон Ньютона записывается в форме

{displaystyle m{frac {d}{dt}}{frac {vec {v}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={vec {F}}}

что делает нахождение ускорения более сложной задачей, чем в классическом случае. В частности, длительное движение с постоянным ускорением принципиально невозможно (иначе скорость точки в конце концов превысит скорость света), а неизменность силы не означает неизменности ускорения: оно будет стремиться к нулю при нарастании скорости. Тем не менее, если зависимость {displaystyle {vec {a}}(t)} всё же найдена, расчёт {displaystyle {vec {v}}(t)} и {vec r}(t) осуществим по тем же формулам, что и в нерелятивистском пределе.

Ускорение в теории относительности[править | править код]

В теории относительности движение тела с переменной скоростью вдоль мировой линии в 4-мерном пространстве-времени характеризуется определённой величиной, аналогичной ускорению. В отличие от обычного (трёхмерного) вектора ускорения, 4-вектор ускорения (называемый 4-ускорением) ai является второй производной от 4-вектора координат xi не по времени, а по пространственно-временному интервалу τ (или, что то же самое, по собственному времени) вдоль мировой линии тела:

a^i = frac {d^2 x^i}{dtau^2} = frac{du^i}{dtau} .

В любой точке мировой линии 4-вектор ускорения всегда ортогонален к 4-скорости:

u_i a^i = 0 , .

Это означает, в частности, что 4-скорости меняются не по модулю, а лишь по направлению: независимо от направления в пространстве-времени 4-скорость любого тела равна по модулю скорости света. Геометрически, 4-ускорение совпадает с кривизной мировой линии и является аналогом нормального ускорения в классической кинематике.

В классической механике значение ускорения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то есть ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея. В релятивистской механике 4-ускорение является 4-вектором, то есть при преобразованиях Лоренца изменяется аналогично пространственно-временным координатам.

“Обычный” трёхмерный вектор ускорения vec{w} (то же, что {displaystyle {vec {a}}(t)} в предыдущих разделах, обозначение заменено во избежание путаницы с 4-ускорением), определяемый как производная “обычной” трёхмерной скорости vec{v} по координатному времени {displaystyle {vec {w}}=d{vec {v}}/dt}, применяется и в рамках релятивистской кинематики, но инвариантом преобразований Лоренца не является. В мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта 4-ускорение — это a=(0, vec{w}). При действии постоянной силы ускорение точки vec{w} уменьшается с ростом скорости, однако 4-ускорение остаётся неизменным (такой случай именуют релятивистски равноускоренным движением, хотя “обычное” ускорение при этом не постоянно).

Измерения ускорений[править | править код]

Используемые единицы[править | править код]

  • метр на секунду в квадрате (метр в секунду за секунду), м/с², производная единица системы СИ;
  • сантиметр на секунду в квадрате (сантиметр в секунду за секунду), см/с², производная единица системы СГС, имеет также собственное наименование гал, или галилео (применяется преимущественно в гравиметрии);
  • g (произносится «же»), стандартное ускорение свободного падения на поверхности Земли, равное по определению 9,80665 м/с². В технических расчётах, не требующих точности выше 2 %, часто используется приближение g ≈ 10 м/с².
Преобразования между различными единицами ускорения

м/с2 фут/с2 g см/с2
1 м/с² = 1 3,28084 0,101972 100
1 фут/с² = 0,304800 1 0,0310810 30,4800
1 g = 9,80665 32,1740 1 980,665
1 см/с² = 0,01 0,0328084 0,00101972 1

Технические средства[править | править код]

Приборы для измерения ускорения называются акселерометрами. Они не «детектируют» ускорение непосредственно, а измеряют силу реакции  (укр.) (рус. опоры, возникающую при ускоренном движении. Поскольку аналогичные силы сопротивления возникают в поле тяготения, с помощью акселерометров можно измерять также гравитацию.

Акселерографы — приборы, измеряющие и автоматически записывающие (в виде графиков) значения ускорения поступательного и вращательного движения.

Значения ускорения в некоторых случаях[править | править код]

Значения ускорений различных движений:[5]

Вид движения Ускорение, м/с2
Центростремительное ускорение Солнечной системы при орбитальном движении в Галактике 2,2⋅10−10
Центростремительное ускорение Земли при орбитальном движении вокруг Солнца 0,0060
Центростремительное ускорение Луны при орбитальном движении вокруг Земли 0,0027
Пассажирский лифт 0,9—1,6
Поезд метро 1
Автомобиль «Жигули» 1,5
Бегун на коротких дистанциях 1,5
Велосипедист 1,7
Конькобежец 1,9
Мотоцикл 3—6
Аварийное торможение автомобиля 4—6
Усэйн Болт, максимальное ускорение 8[6]
Гоночный автомобиль 8—9
Торможение при открытии парашюта 30 (3 g)
Запуск и торможение космического корабля 40—60 (4—6 g)
Манёвр реактивного самолёта до 100 (до 10 g)
Свая после удара копром 300 (30 g)
Поршень двигателя внутреннего сгорания 3×103
Пуля в стволе винтовки 2,5×105
Микрочастицы в ускорителе (2—50)×1014
Электроны между катодом и анодом трубки цветного телевизора (20 кВ, 0,5 м) ≈7×1015
Электроны при соударении с люминофором трубки цветного телевизора (20 кВ) ≈1022
Альфа-частицы в атомном ядре ≈1027

Примечание: здесь g ≈ 10 м/с2.

Понятие “обобщённое ускорение”[править | править код]

Если динамика механической системы описывается не в декартовых, а в обобщённых координатах q_{i} (например, в гамильтоновой или в лагранжевой формулировках механики), то можно ввести обобщённые ускорения ddot{q_i} — первые производные по времени обобщённых скоростей dot{q_i} или вторые производные по времени обобщённых координат; например, если в качестве одной из обобщённых координат выбран угол, то обобщённым ускорением будет соответствующее угловое ускорение. Размерность обобщённых ускорений в общем случае не равна LT−2.

См. также[править | править код]

  • Ускорение свободного падения
  • Собственное ускорение
  • Релятивистски равноускоренное движение
  • Приливное ускорение
  • Кориолисово ускорение
  • Рывок (кинематика)

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРо, 1999. — С. 59. — 572 с.
  2. ↑ Обзор результатов Ривальса: Appendice au Mémoire de M. Bresse // Journal de l’École polytechnique. — 1853. — Т. 20. — С. 109—115. Архивировано 9 марта 2016 года.
  3. ↑ Joulin L. Notice biographique sur M. le commandant Rivals // Mémoires de l’Académie royale des sciences, inscriptions et belles-lettres de Toulouse. — 1891. — Т. 3, вып. 9. — С. 535—539. Архивировано 8 марта 2016 года.
  4. ↑ Для того, чтобы использовать уравнение движения в форме, совпадающей с формой уравнения второго закона Ньютона, применительно к ускорениям, возникающим в неинерциальных системах отсчёта даже в отсутствие каких-либо воздействий на тело, вводят фиктивные силы инерции. Например, пусть тело массой m покоится в инерциальной системе отсчёта на некотором расстоянии R от оси. Если привести систему отсчёта во вращение с угловой скоростью ω вокруг этой оси, то система становится неинерциальной, а тело будет совершать видимое вращательное движение с линейной скоростью v=ωR по окружности вокруг оси. Для его описания во вращающейся системе отсчёта необходимо ввести центростремительное ускорение, которое можно формально считать результатом действия одной из сил инерции — силы Кориолиса, равной по модулю 2mvω и направленной к оси, перпендикулярно оси и скорости тела; при этом она наполовину компенсируется действием другой силы инерции — центробежной силы, равной по модулю mvω и направленной от оси вращения.
  5. ↑ Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. — 10-е, испр. и доп.. — М.: Наука, 1988. — С. 61. — 256 с. — ISBN 5-02-013833-9.
  6. ↑ График зависимости ускорения У. Болта от времени Архивная копия от 10 мая 2013 на Wayback Machine — забег на 100 м на летних Олимпийских играх 2008 года в Пекине

Ссылки[править | править код]

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
  • David C. Cassidy, Gerald James Holton, and F. James Rutherford. Understanding physics. — Birkhäuser  (англ.) (рус., 2002. — ISBN 978-0-387-98756-9.
  • Pauli W. Theory of Relativity. — Dover, 1981. — ISBN 978-0-486-64152-2.
Источник

Искать “а” ради “ускорения”-пустое занятие. Искать надо F-Силу,которая вызывает движение,и изменяет его. S/tt=F/m. S,t,m можно измерить. F=?

Ошибка Ньютон: S=att/2. S=att ! (без /2).

“а”-это ЭНЕРГИЯ движения. Она НЕ зависит от графика движения, и численно = S/tt (V/t).

У падающего “яблока..” несколько скоростей: нач. скорость, кон.скорость,средняя скорость, at, 2at. “средняя скорость”-(S/t)-это та-же скорость at,но выраженная через ЭНЕРГИЮ и ВРЕМЯ: F/m*t.

ВСЕ расчёты на движение надо делать ТОЛЬКО из СРЕДНЕЙ скорости! (Энергия одинакова, и НЕ зависит от графика движения). И нет “надобности” в “интегралах”. …Задачка: машина m=1165 кг, прошла 250 м. за 18 с.(набрала скорость от 0 до 27,7 м/с за 18 сек.) (“Жигули”). Вопрос: какая мощность мотора?

Всякий механизм имеет КПД. КПД ДВС (у бензиновых двс=16%).Решение: S/tt=F/m. 250/324=F/1165, (или 13,9/18=F/1165). F=900 кг.м/сс. Это 12 л.с. при 100% КПД ! При 16% мощность=75 л.с. (а,Да! “ускорение”? оно =0,77 м/сс….). Но и без “а”не обойтись…

Грубая ошибка, находить “а”: Vo=0. V кон.=27,7. t=18 сек. а=(27,7-0)/18. а=1,5 м/сс. Мощность мотора=150 л.с.

То-же с “яблоком…” Vo=0, Vкон.=9,8. t=1 c. Правильно: (0+9,8)/2t. a=4,9 м/cc S=4,9 м.

“Если тело упало на Землю с высоты h, то S/tt ВСЕГДА !!! РАВНО числу 4,9… Это число 4,9 м/сс и ЕСТЬ “УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ”! Скорость: м/с. Ускорение-м/сек.сек. 9,8-это скорость,(но НЕ ускорение).

Сколько ошибок (и слёз) при решении задач:

Vo=5. t=10. a=2. S=? a=? V кон.=?

Решение: S=Vot+att. S=5/10+2*10*10. S=250. a=S/tt. a=2,5. V кон.=Vo+2at. Vкон.=5+2*2*10. V кон.=45. Проверка:S=att. 2,5*10*10=250. S=(v+V)/2*t. (5+45)/2*10. S=250 м.

По принятым формулам: S=(vo+att/2)*t. S=5*10+2*10/10/2=150 м. a=2S/tt. 300/100=3 м/сс

V кон.=v0+at. 5+20=25. S=(5+5+25)*10. S=350 м. (“ОГОРОД!”)

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости движущегося тела.[1]
 Если скорость тела остается постоянной, то оно не ускоряется. Ускорение имеет место только в том случае, когда скорость тела меняется. Если скорость тела увеличивается или уменьшается на некоторую постоянную величину, то такое тело движется с постоянным ускорением. [2]
 Ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (м/с2) и вычисляется по значениям двух скоростей и времени или по значению силы, приложенной к телу.

  1. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 1

    1

    Формула для вычисления среднего ускорения. Среднее ускорение тела вычисляется по его начальной и конечной скоростям (скорость – это быстрота передвижения в определенном направлении) и времени, которое необходимо телу для достижения конечной скорости. Формула для вычисления ускорения: a = Δv / Δt, где а – ускорение, Δv – изменение скорости, Δt – время, необходимое для достижения конечной скорости.[3]

    • Единицами измерения ускорения являются метры в секунду за секунду, то есть м/с2.
    • Ускорение является векторной величиной, то есть задается как значением, так и направлением.[4]
       Значение – это числовая характеристика ускорения, а направление – это направление движения тела. Если тело замедляется, то ускорение будет отрицательным.

  2. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 2

    2

    Определение переменных. Вы можете вычислить Δv и Δt следующим образом: Δv = vк – vн и Δt = tк – tн, где vк – конечная скорость, vн – начальная скорость, tк – конечное время, tн – начальное время.[5]

    • Так как ускорение имеет направление, всегда вычитайте начальную скорость из конечной скорости; в противно случае направление вычисленного ускорения будет неверным.
    • Если в задаче начальное время не дано, то подразумевается, что tн = 0.

  3. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 3

    3

    Найдите ускорение при помощи формулы. Для начала напишите формулу и данные вам переменные. Формула: a = Δv / Δt = (vк – vн)/(tк – tн). Вычтите начальную скорость из конечной скорости, а затем разделите результат на промежуток времени (изменение времени). Вы получите среднее ускорение за данный промежуток времени.

    • Если конечная скорость меньше начальной, то ускорение имеет отрицательное значение, то есть тело замедляется.
    • Пример 1: автомобиль разгоняется с 18,5 м/с до 46,1 м/с за 2,47 с. Найдите среднее ускорение.
      • Напишите формулу: a = Δv / Δt = (vк – vн)/(tк – tн)
      • Напишите переменные: vк = 46,1 м/с, vн = 18,5 м/с, tк = 2,47 с, tн = 0 с.
      • Вычисление: a = (46,1 – 18,5)/2,47 = 11,17 м/с2.
    • Пример 2: мотоцикл начинает торможение при скорости 22,4 м/с и останавливается через 2,55 с. Найдите среднее ускорение.
      • Напишите формулу: a = Δv / Δt = (vк – vн)/(tк – tн)
      • Напишите переменные: vк = 0 м/с, vн = 22,4 м/с, tк = 2,55 с, tн = 0 с.
      • Вычисление: а = (0 – 22,4)/2,55 = -8,78 м/с2.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 4

    1

    Второй закон Ньютона. Согласно второму закону Ньютона тело будет ускоряться, если силы, действующие на него, не уравновешивают друг друга. Такое ускорение зависит от результирующей силы, действующей на тело.[6]
     Используя второй закон Ньютона, вы можете найти ускорение тела, если вам известна его масса и сила, действующая на это тело.

    • Второй закон Ньютона описывается формулой: Fрез = m x a, где Fрез – результирующая сила, действующая на тело, m – масса тела, a – ускорение тела.
    • Работая с этой формулой, используйте единицы измерения метрической системы, в которой масса измеряется в килограммах (кг), сила в ньютонах (Н), а ускорение в метрах в секунду за секунду (м/с2).

  2. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 5

    2

    Найдите массу тела. Для этого положите тело на весы и найдите его массу в граммах. Если вы рассматриваете очень большое тело, поищите его массу в справочниках или в интернете. Масса больших тел измеряется в килограммах.

    • Для вычисления ускорения по приведенной формуле необходимо преобразовать граммы в килограммы. Разделите массу в граммах на 1000, чтобы получить массу в килограммах.

  3. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 6

    3

    Найдите результирующую силу, действующую на тело. Результирующая сила не уравновешивается другими силами. Если на тело действуют две разнонаправленные силы, причем одна из них больше другой, то направление результирующей силы совпадает с направлением большей силы.[7]
     Ускорение возникает тогда, когда на тело действует сила, которая не уравновешена другими силами и которая приводит к изменению скорости тела в направлении действия этой силы.

    • Например, вы с братом перетягиваете канат. Вы тянете канат с силой 5 Н, а ваш брат тянет канат (в противоположном направлении) с силой 7 Н. Результирующая сила равна 2 Н и направлена в сторону вашего брата.
    • Помните, что 1 Н = 1 кг∙м/с2.[8]

  4. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 7

    4

    Преобразуйте формулу F = ma так, чтобы вычислить ускорение. Для этого разделите обе стороны этой формулы на m (массу) и получите: a = F/m. Таким образом, для нахождения ускорения разделите силу на массу ускоряющегося тела.

    • Сила прямо пропорциональна ускорению, то есть чем больше сила, действующая на тело, тем быстрее оно ускоряется.
    • Масса обратно пропорциональна ускорению, то есть чем больше масса тела, тем медленнее оно ускоряется.

  5. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 8

    5

    Вычислите ускорение по полученной формуле. Ускорение равно частному от деления результирующей силы, действующей на тело, на его массу. Подставьте данные вам значения в эту формулу, чтобы вычислить ускорение тела.

    • Например: сила, равная 10 Н, действует на тело массой 2 кг. Найдите ускорение тела.
    • a = F/m = 10/2 = 5 м/с2

    Реклама

  1. 1

    Направление ускорения. Научная концепция ускорения не всегда совпадает с использованием этой величины в повседневной жизни. Помните, что у ускорения есть направление; ускорение имеет положительное значение, если оно направлено вверх или вправо; ускорение имеет отрицательное значение, если оно направлено вниз или влево. Проверьте правильность вашего решения, основываясь на следующей таблице:

      Движение автомобиля Изменение скорости Значение и направление ускорения
      Движется вправо (+) и ускоряется + → ++ (более положительное) Положительное
      Движется вправо (+) и замедляется ++ → + (менее положительное) Отрицательное
      Движется влево (-) и ускоряется – → — (более отрицательное) Отрицательное
      Движется влево (-) и замедляется — → – (менее отрицательное) Положительное
      Движется с постоянной скоростью Не меняется Равно 0

  2. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 10

    2

    Направление силы. Помните, что ускорение всегда сонаправлено силе, действующей на тело. В некоторых задачах даются данные, цель которых заключается в том, чтобы ввести вас в заблуждение.

    • Пример: игрушечная лодка массой 10 кг движется на север с ускорением 2 м/с2. Ветер, дующий в западном направлении, действует на лодку с силой 100 Н. Найдите ускорение лодки в северном направлении.
    • Решение: так как сила перпендикулярна направлению движения, то она не влияет на движение в этом направлении. Поэтому ускорение лодки в северном направлении не изменится и будет равно 2 м/с2.

  3. Изображение с названием Calculate Acceleration Step 11

    3

    Результирующая сила. Если на тело действуют сразу несколько сил, найдите результирующую силу, а затем приступайте к вычислению ускорения. Рассмотрим следующую задачу (в двумерном пространстве):

    Реклама

  • Владимир тянет (справа) контейнер массой 400 кг с силой 150 Н. Дмитрий толкает (слева) контейнер с силой 200 Н. Ветер дует справа налево и действует на контейнер с силой 10 Н. Найдите ускорение контейнера.
  • Решение: условие этой задачи составлено так, чтобы запутать вас. На самом деле все очень просто. Нарисуйте схему направления сил, так вы увидите, что сила в 150 Н направлена вправо, сила в 200 Н тоже направлена вправо, а вот сила в 10 Н направлена влево. Таким образом, результирующая сила равна: 150 + 200 – 10 = 340 Н. Ускорение равно: a = F/m = 340/400 = 0,85 м/с2.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 189 884 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Формулы вычисления ускорения через скорость. Пример задачи

Любое перемещение тел изучает специальный раздел физики – кинематика. В нем не рассматриваются причины, которые привели к началу движения тела, а изучаются лишь законы изменения положения тела в пространстве с течением времени. В данной статье ответим на вопрос, как найти ускорение через скорость.

Скорость и ускорение – основные кинематические характеристики

Вам будет интересно: Идиолект – это. Общие сведения, место и роль

Каждый школьник сможет дать ответ на вопрос, что такое скорость. Под ней понимают физическую величину, которая определяет быстроту прохождения телом расстояний, что математически выражается через производную пути l по времени t:

В системе СИ скорость принято измерять в метрах в секунду (м/с).

Если взять теперь производную по времени t от скорости v, то мы получим ускорение a:

a = dv/dt = d2l/dt2.

Заметим, что ускорение может быть также рассчитано, как вторая производная по времени от пути. Величина a показывает быстроту, с которой изменяется величина v. Как правило, ускорение определяют в метрах в секунду в квадрате (м/с2).

Величины a и v являются векторными. Скорость направлена по касательной к траектории, а ускорение совпадает с вектором изменения скорости.

Равноускоренное (равнозамедленное) движение по прямой

Когда тело движется вдоль прямой линии с постоянным ускорением, то есть a=const, то существует всего три формулы определения ускорения через скорость и время:

Первое выражение позволяет определить ускорение, если тело начало ускоренное движение из состояния покоя. Оно отличается от математического определения ускорения тем, что в данном случае определяется средняя величина a за время движения t. Второе выражение также справедливо для ускоренного движения, только в этом случае до возникновения ускорения тело уже имело скорость v0. Наконец, третья формула применяется тогда, когда тело замедляет свое движение (тормозит) с постоянным ускорением.

Отметим, что все три равенства предполагают линейную зависимость между величинами a и v.

Пример решения задачи

Автомобиль двигался по трассе со скоростью 80 км/ч. Затем он начал тормозить и остановился ровно через 1 минуту. Необходимо определить его среднее ускорение торможения.

Прежде чем пользоваться записанной в предыдущем пункте формулой ускорения через скорость, переведем известные из условия задачи величины в единицы СИ:

v0 = 80 км/ч = 22,22 м/с;

Поскольку автомобиль в итоге остановился, то v = 0. Подставим все известные значения в соответствующую формулу, получим:

a = (v0-v)/t = 22,22/60 = 0,37 м/с2.

Рассчитанная величина не является слишком большой по сравнению с ускорением, которое наша планета сообщает всем телам (9,81 м/с2).

Как определить величину ускорения: подробный анализ

Ускорение скорость, с которой скорость изменения. Поскольку скорость является векторной величиной, ускорение также является векторной величиной. В результате требуется не только направление, но и величина. Итак, в этой статье мы рассмотрим, как определить величину ускорения.

Мы используем формулы и соотношения для расчета величины. Мы можем представить величину в единицах. Поскольку ускорение определяется как изменение скорости во времени, единицей СИ для него является ㎨. На ускорение влияют различные факторы, такие как скорость, время, сила и т. Д. Мы рассмотрим несколько различных методов оценки величины ускорения. Давайте читать дальше.

1. Как найти величину ускорения из определения ускорения:

Как мы все знаем, ускорение относится к скорости изменения скорости. Если начальная скорость тела равна vi, а его конечная скорость равна vf, ускорение можно вычислить, разделив изменение скорости на временной интервал Δt:

(Здесь величина вектора показана жирным шрифтом, а вертикальные линии обозначают величину вектора или, можно сказать, абсолютное значение вектора, которое всегда положительно.)

Используя скорость и время, приведенное выше уравнение можно использовать для определения величины ускорения.

2. Как определить величину ускорения Из второго закона Ньютона:

Второй закон Ньютона гласит, что сила получается умножением ускорения на массу тела. Итак, как можно определить величину ускорения?

Итак, согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, пропорциональна его ускорению, тогда как масса обратно пропорциональна ускорению. Переведем эти утверждения в формулу величины ускорения:

3. Как найти величину ускорения по компонентам вектора ускорения:

Как мы все знаем, ускорение – это векторная величина. Чтобы получить это количество, сложите компоненты ускорения. Здесь можно использовать простое правило сложения векторов. Если задействованы две компоненты вектора, мы можем написать:

В декартовой плоскости мы можем использовать координаты X и Y. Как в этих обстоятельствах определить величину ускорения? В декартовой системе координат компоненты X и Y перпендикулярны друг другу. Величину ускорения можно вычислить, возведя значения в квадрат и затем вычислив квадратный корень из суммы.

В результате уравнение выглядит следующим образом:

Формула величины ускорения в трехмерном пространстве:

4. Как найти величину центростремительного ускорения:

Из-за непрерывного изменения направления при круговом движении скорость изменяется, что приводит к ускорению. Ускорение направлено в направлении центра круга. Возведение в квадрат скорости тела v и деление ее на расстояние тела от центра круга дает величину центростремительного ускорения. Таким образом, центростремительное ускорение:

5. Как найти величину ускорения из уравнений движения:

Уравнения движения – это, по сути, уравнения, которые объясняют движение любой физической системы и демонстрируют взаимосвязь между перемещением объекта, скоростью, ускорением и временем.

Когда величина ускорения постоянна, кинематическое уравнение движения в одном измерении также используется для вычисления величины ускорения.

Ниже приведены уравнения движения:

Когда мы рассматриваем ускорение в уравнении, мы получаем следующее:

    (Это то же самое, что мы получили из определения ускорения.)

Вот как мы можем определить величину ускорения.

Решенные примеры определения величины ускорения:

1 задачи:

Автомобиль трогается с места и развивает скорость 54 км / ч за 3 секунды. Найти его ускорение?

Решение: Автомобиль заводится с отдыха. Таким образом, начальная скорость автомобиля

Таким образом, Ускорение : a = (Vf – Vi) / Δt

2 задачи:

Определите ускорения, возникающие при приложении чистой силы 12 Н к объекту массой 3 кг, а затем к объекту массой 6 кг.

Решение: Приложенная сила F = 12 Н

Масса объекта m1 = 3 кг

Ускорение объекта массой 3 кг

Ускорение объекта массой 6 кг

Поскольку масса и ускорение обратно пропорциональны, мы можем наблюдать, что по мере увеличения массы ускорение уменьшается.

3 задачи:

Тело движется по оси абсцисс в соответствии с соотношением

, где x в метрах, а t в секундах. Найти ускорение тела при t = 3 с.

Решение: Вот :

Скорость v = dX / dt

Ускорение : a = dv / dt

Как мы видим, для этого движения ускорение не зависит от времени; ускорение будет постоянным на протяжении всего движения, а величина ускорения будет .

4 задачи:

Рассчитайте центростремительное ускорение точки на расстоянии 7.50 см от оси ультрацентрифуги, вращающейся при число оборотов в минуту.

Решение: Здесь нам даны:

Расстояние от центра r = 7.5 см

Таким образом, центростремительное ускорение:

Последние выпуски в области передовой науки и исследований

Как найти ускорение, зная скорость и время: формулы и пример решения типовой задачи

Ускорение и скорость – это две важные кинематические характеристики любого типа движения. Знание зависимости этих величин от времени позволяет рассчитать пройденный телом путь. Данная статья содержит ответ на вопрос, как найти ускорение, зная скорость и время.

Понятие о скорости и ускорении

Прежде чем давать ответ на вопрос, как, зная скорость и время, найти ускорение, рассмотрим каждую из характеристик с точки зрения физики.

Скоростью называется величина, которая определяет быстроту изменения координат в пространстве при движении тела. Скорость вычисляется по формуле:

Где dl – пройденный телом путь за время dt. Скорость всегда направлена вдоль касательной в траектории перемещения.

Движение может происходить либо с постоянной во времени скоростью, либо с переменной. В последнем случае говорят о наличие ускорения. В физике ускорение определяет быстроту изменения величины v, что в виде формулы записывается так:

Это равенство является ответом на вопрос, как найти ускорение по скорости. Для этого достаточно лишь взять первую производную по времени от v.

Направление ускорения совпадает с направлением разницы векторов скорости. В случае прямолинейного ускоренного движения величины a и v направлены в одну сторону.

Как найти ускорение, зная скорость и время?

При изучении механики сначала рассматривают равномерное и равноускоренное типы движения по прямой траектории. В обоих случаях для определения ускорения следует выбрать промежуток времени Δt. Затем, необходимо определить значения скоростей v1 и v2 на концах этого промежутка. Среднее ускорение определится так:

В случае равномерного движения скорость остается постоянной (v2 = v1), поэтому величина a будет равна нулю. В случае же равноускоренного перемещения постоянной будет величина a, поэтому она не зависит от промежутка времени Δt в формуле.

Для более сложных случаев движения, когда скорость является некоторой функцией времени, следует пользоваться формулой для a через производную, которая была представлена в пункте выше.

Пример решения задачи

Разобравшись с вопросом, как найти ускорение, зная время и скорость, решим простую задачу. Предположим, что тело, двигаясь по некоторой траектории, изменяет свою скорость в соответствии с таким уравнением:

Чему будет равно ускорение тела в момент времени t = 5 секунд?

Ускорение является первой производной величины v по переменной t, имеем:

Чтобы ответить на вопрос задачи, следует подставить известное значение времени в полученное уравнение: a = 29 м/c 2 .

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.lambdageeks.com/how-to-find-magnitude-of-acceleration/

http://fb.ru/article/454894/kak-nayti-uskorenie-znaya-skorost-i-vremya-formulyi-i-primer-resheniya-tipovoy-zadachi

[/spoiler]

Источник

Добавить комментарий