Как найти ускорение точки вращающегося тела

1.
Скорости точек тела. Рассмотрим
какую-нибудь точку М твердого
тела, находящуюся на расстоянии h от
оси вращения (см. рис.9). При вращении
тела точка М будет
описывать окружность радиуса h,
плоскость которой перпендикулярна оси
вращения, а центр С лежит
на самой оси. Если за время dt проис­ходит
элементарный поворот тела на угол dφ,
то точка М при
этом совершает вдоль своей траектории
элементарное перемещение ds=hdφ.
Тогда числовое значение скорости точки
будет равно отно­шению ds к dt, т.е

Скорость   в
отличие от угловой скорости тела называют
иногда еще линейной
или окружной скоростью точки М.

Таким образом,
числовое значение скорости точки
вращающегося твердого тела равно
произведению угловой скорости тела на
расстоя­ние от этой точки до оси
вращения.

Направлена
скорость по касательной к описываемой
точкой окружности или перпендикулярно
плоскости, проходящей через ось вращения
и точку М.

Так
как для всех точек тела  имеет
в данный момент времени одно и то же
значение, то скорости точек вращающегося
тела пропорциональны их расстояниям
от оси вращения.

Скорость и
ускорение точки вращающегося тела

Следовательно,
линейная скорость любой точки вращающегося
тела равна произведению угловой скорости
на расстояние от данной точки до оси
вращения. Направлена эта скорость всегда
по касательной к окружности, которую
описывает данная точка при своем
движении.

 В
каждый данный момент времени угловые
скорости точек вращающегося тела равны.
Поэтому линейные скорости точек тела
пропорциональны их расстоянию до оси
(рис.3.4), т.е. скорость изменяется
полинейному закону.

Так
как точки тела совершают криволинейное
движение (траектории точек – окружности),
то полное ускорение слагается из
нормального и касательного ускорений,
которыеопределяются ,

 ,

                       (3.14)

Таким
образом полное ускорение точки
будет   (3.15) Из
формул (3.15) следует, что полное ускорение
точки вращающегося тела пропорционально
ее расстоянию до оси вращения.

При
вращательном движении тела вокруг оси
нормальное ускорение  называют
еще центростремительным  (вектор
направлен по радиусу к центру
кривизны),  касательное
ускорение называют
и иначе – вращательным ускорением  (вектор
ускорения направлен по касательной).

47.Скорость и ускорение точки при векторном способе заданиядвижения

Скорость
точки – это величина, характеризующая
как быстро и в каком направлении меняется
положение точки в пространстве. Поскольку
она определяет направление перемещения
точки, скорость является величиной
векторной. Пусть за время Δt радиус-вектор
точки М изменился на величину Δ. Тогда
средней скоростью называется векторная
величина                                                                                                                                                                                 (2.1)

Этот
вектор направлен так же, как и .
Предельное значение ,
при стремящемся к нулю ,
определит мгновенное значение скорости
в данный момент времени

                                                 (2.2)

При
стремлении  к
нулю хорда ММ₁,
а значит и вектор  поворачивается
вокруг точки М, приближаясь к касательной
к траектории в точке М и в пределе,
совпадая с ней. Поэтому вектор  направлен
по касательной к траектории точки в
сторону движения.

         В
общем случае криволинейного движения
вектор скорости изменяется по величине
и направлению в функции времени.
Следовательно, за время  вектор  можно
представить в виде . Ускорение точки
в криволинейном движении характеризует
быстроту изменения вектора  по
величине и направлению. Тогда средняя
величина ускорения определится ,
а мгновенное значение ,
или

                                                         (2.3)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1

Содержание:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси:

Вращением тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела, например А и В, неподвижны (рис. 162). Прямая, проходящая через указанные две неподвижные точки, называется осью вращения. Если мысленно провести через тело две полуплоскости — неподвижную

Рис. 162.

При вращении тела угол поворота его изменяется с течением времени, а поэтому он является функцией времени:

Уравнение (97) называется уравнением вращения; зная его, можно для любого момента t найти угол , а следовательно, и положение вращающегося тела.

Величины угловой скорости и углового ускорения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяются по формулам (87) и (90).

Если , то такое вращение тела называется равномерным и уравнение вращения его (97) напишется аналогично уравнению (71) расстояний точки, движущейся равномерно:

Поэтому такое уравнение по аналогии с равномерным движением точки называется уравнением равномерного вращения.

Точно так же, если то вращение тела называется равнопеременным.

Уравнения равнопеременного вращения тела могут быть выведены аналогично уравнениям (82) и (83) равнопеременного движения точки путем замены линейных характеристик угловыми и записаны в виде:

Условимся угловую скорость вращающегося тела изображать вектором, отложенным по оси вращения в такую сторону, чтобы, смотря с конца этого вектора, вращение тела происходило в направлении, противоположном движению часовой стрелки (рис. 163).

Рис. 163.

При вращении тела вокруг неподвижной оси (рис. 164) любая точка его М, отстоящая на расстоянии h от оси вращения, описывает окружность радиуса h и имеет линейную скорость, определяемую формулой (89):

Если провести из любой точки О оси радиус-вектор в точку М, то вектор линейной скорости точки М может быть представлен также в виде векторного произведения на  :

В самом деле, раскрывая векторное произведение, получим величину скорости, определяемую формулой (89):

Вектор же скорости направлен перпендикулярно к плоскости векторов на в такую сторон, чтобы обход контура параллелограмма, построенного на на , задаваемый первым вектором , стоящим в векторном произведении, происходил против часовой стрелки, что согласуется с определением векторного, произведения двух векторов.

Рис. 164.                                                             Рис. 165.

В самом общем случае, когда ось вращения тела составляет любые углы с координатными осями (рис. 165), проекции скорости точки М могут быть найдены по формулам проекций векторного произведения двух векторов (11):

Равенства (101) называются формулами Эйлера. Здесь  — проекции ; а —проекции на координатные оси.

Если ось вращения вертикальна (рис. 164), то и формулы Эйлера принимают вид:

что было получено нами раньше (88). Мы уже знаем, что величина углового ускорения определяется по формуле (90).

Рис. 166.

Введем в рассмотрение вектор углового ускорения е, под которым мы будем понимать векторную величину:

Так как имеет постоянное направление, то вектор всегда совпадает с осью вращения.

При векторы — одного направления;

при векторы — противоположных направлений.

Нормальное и касательное ускорения любой точки М вращающегося тела (рис. 166) Moryт быть найдены по формулам (91):

Дадим векторное обобщение этим величинам. В самом общем случае вектор ускорения может быть найден по формуле (79):

Принимая во внимание формулы (100) и (102), имеем:

или

где

Действительно, в силу определения векторного произведения, находим:

Это приводит нас к формулам (91). Направления же соответствуют правилу откладывания векторов, полученных по правилам векторного произведения (рис. 166).

Задача №1

Маховик делает 360 об/мин. Найти его угловую скорость .    ,

Решение. В нашем случае По формуле (94) находим:

Задача №2

Маховик начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя. Сделав с момента начала движения 60 оборотов, маховик имеет угловую скорость, равную Определить угловое ускорение маховика.

Решение. По условию задачи    и 

По формулам (99) получаем:

Подставляя значение , найденное из первого уравнения, во второе, находим:

Задача №3

Тело делает вокруг оси, составляющей углы с координатными осями; при этом ,  и.

Найти такую точку тела, расположенную в плоскости , проекции скорости которой суть: .

Решение. Угловая скорость:

Для определения имеем известное соотношение: , откуда:

Найдем теперь проекции угловой скорости на координатные оси:

По формулам Эйлера (101) имеем:

или

Из первых двух уравнений находим, что и , а поэтому искомая точка будет:

Задача №4

Маховик радиусом R = 1 м вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно к плоскости чертежа, согласно уравнению

Найти скорость и ускорение точки М обода маховика по прошествии после начала его движения. Для всех точек маховика, расположенных вдоль радиуса ОМ, изобразить графически скорости и ускорения.

Решение. Найдем сначала по формулам (87) и (90) угловую скорость и угловое ускорение маховика:

и 

Далее, линейная скорость, нормальное и касательное ускорения’ точки М в момент t найдутся по формулам (89) и (91):

При и

Величина и направление ускорения точки М определятся по формулам (92) и (93):

Так как величины линейных скоростей и ускорений точек, расположенных на одном из радиусов’маховика, например ОМ, зависят от величины самого радиуса, входящего в формулы (89) и (92) в первой степени, то отсюда следует, что концы векторов скоростей и ускорений точек одного радиуса будут расположены на прямой (рис. 167). Для удобства выполнения чертежа на радиусе ОМ дано изображение ускорений точек прямой ОМ, а на радиусе — изображение скоростей.

Рис. 167.

Задача №5

Диск, прикрепленный к вертикальной проволоке, совершает крутильные колебания вокруг оси проволоки так, что угол закручивания его меняется по закону: , где  выражается в секундах.

Найти нормальное, касательное и полное ускорения какой-либо точки М на ободе диска в момент , если диаметр диска (рис. 168).

Рис. 168.

Указание: находим сначала угловую скорость и угловое ускорение диска по формулам (87) и (90), а затем ускорение точки М по формулам (91) и (92).

Ответ.

Рис. 169.

Задача №6

Зубчатое колесо А радиусом находится во внешнем зацеплении с колесом В радиусом (рис. 169). На выступ радиусом колеса А намотана нить, к концу которой подвешен груз. Движение груза в сантиметрах и секундах выражается уравнением: Найти угловую скорость и угловое ускорение колеса В, а также полное ускорение точки на ободе этого колеса.

Решение. В общей точке касания колеса А и В имеют одинаковую линейную скорость, равную где  — угловые скорости колес А и В. Отсюда следует, что

т. е. отношение угловых .скоростей колес обратно пропорционально их радиусам.

Найдем теперь угловую скорость , и угловое ускорение колеса А:

откуда

и

Вращение колес А и В равноускоренное, а поэтому и откуда

Отсюда угловая скорость  и угловое ускорение колеса В:

и

Ускорение какой-либо точки обода колеса В находим по формуле (92):

Рис. 170.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором его точки описывают окружности с центрами на одной и той же неподвижной прямой, перпендикулярной к их плоскостям

Вращательное движение

Как было показано, для определения движения твердого тела достаточно определить движение трех его точек, не лежащих на одной прямой. Пусть во- время движения тела две его точки О и O₁ остаются неподвижными.

Тогда движение тела можно определить движением третьей точки К, принадлежащей телу и не лежащей на одной прямой с точками О и O₁. Выберем эту точку произвольно и, соединив все три точки прямолинейными отрезками, получим треугольник OO₁K-Так как точки О и O₁ неподвижны, то неподвижна и сторона OO₁ треугольника OO₁K, и движение точки К, а также и всего тела определится поворотом плоскости треугольника OO₁K вокруг прямой OO₁. Точку К мы выбрали произвольно, следовательно, поворачивается вокруг прямой OO1 любая плоскость, проведенная в теле через эту прямую. Такое движение тела называют вращательным движением, или, коротко, вращением, а неподвижную прямую OO₁, вокруг которой вращается тело, называют осью вращения.

Ось вращения может проходить и за пределами тела. Так, например, Луна, двигаясь вокруг Земли, повернута к ней всегда одной стороной. Движение Луны по отношению к Земле можно назвать вращением. Ось вращения проходит за пределами Луны через центры круговых траекторий ее точек.

Если движение тела определять по движению его точек, то вращение вокруг оси можно определить как движение твердого тела, при котором все точки тела описывают окружности с центрами на одной и той же неподвижной прямой, перпендикулярной к плоскостям этих окружностей, а ось вращения можно определить как неподвижную прямую, на которой расположены центры окружностей, описываемых точками вращающегося тела.

Вращательное движение твердого тела определено, если задан как функция времени угол, на который поворачивается плоскость, проходящая через ось вращения и какую-нибудь точку вращающегося тела: φ=φ(t)

Уравнение вращательного движения. Построим основную систему координат xcyz, направив ось Oz по оси вращения тела (рис. 101). Эта система неподвижная и не связана с вращающимся телом. Построим теперь другую, подвижную, систему координат x’0y’z’, направив ось Oz’ также по оси OO₁ вращения тела, а ось Ox’ — на какую-либо точку K₁ тела. Эта система координат неизменно связана с телом и поворачивается вместе с ним относительно основной системы xOyz. Угол φ на который поворачивается плоскость, проходящая через ось вращения и какую-нибудь точку вращающегося тела, называют углом поворота и обозначают буквой φ. Так, если в начальное мгновение оси Ox’ и Ox (см. рис. 101) совпадали, то углом поворота мы назовем двугранный угол между неподвижной плоскостью xθz и подвижной плоскостью x’Oz’ или равный ему линейный угол x’Ox’.

Рис. 101

Угол φ можно рассматривать как угловую координату тела, потому что он определяет положение всего вращающегося тела. Измеряется угол φ в радианах.

Будем считать угол φ положительным, если он отсчитан от положительной оси Ox к положительной оси Оу, т. е. против вращения часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Oz. При отсчете в противоположную сторону будем считать угол отрицательном.

Чтобы определить вращение тела, надо знать угол поворота как некоторую непрерывную однозначную функцию времени:

φ=φ(t)    (82)

Уравнение (82) является уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Всякая плоскость OO₁K, проведенная через ось вращения и какую-либо точку К тела, поворачивается за данное время на такой же угол φ, на который за это же время повернулась плоскость x’Oz’. Это следует из условия неизменяемости твердого тела.

Угловая скорость выражается первой производной от угла поворота по времени:

Угловая скорость. Угол поворота характеризует вращение тела только с геометрической стороны. Чтобы охарактеризовать вращение тела не только в пространстве, но и во времени, возьмем отношение изменения ∆φ угла поворота ко времени Δt, в течение которого это изменение происходило, называемое средней угловой скоростью тела:

                      (83′)

Пределом отношения (83′) при Δt, стремящимся к нулю, является первая производная от угла поворота по времени. Она характеризует изменение угла поворота в данное мгновение, т. е. характеризует вращение тела не только по отношению к окружающему пространству, но и во времени. Эта величина принята за пространственно-временную меру вращения твердого тела вокруг оси и ее называют угловой скоростью тела:

                      (83)

Знак производной (83) указывает, в какую сторону поворачивается тело вокруг оси Oz: если производная (83) положительна, то наблюдатель, смотрящий с положительной стороны оси Oz, видит тело вращающимся против часовой стрелки, т. е. справа налево — от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Оу: при отрицательной производной (83) вращение тела происходит в обратном направлении.

Размерность угловой скорости равна размерности угла поворота, деленной на размерность времени. Но угол поворота является отвлеченной величиной, и размерность его—единица. Следовательно, размерность угловой скорости обратна размерности времени.

[ω]=T^-1.

Чаще всего время измеряют в секундах, тогда единица угловой скорости ceκ^-1.

Равномерное вращение иногда характеризуют числом п оборотов, совершаемых телом за единицу времени (обычно за минуту).

Найдем соотношение между угловой скоростью ω, выраженной в радианах в секунду, и числом оборотов в минуту. Если тело делает n оборотов в минуту, то оно поворачивается за каждую минуту на 2πn радианов, а за секунду—в 60 раз меньше, следовательно,

                      (84)

Формулу (84) широко применяют в технической механике. Приближенно можно считать

   (84′)

В формулах (84) и (84′) n выражеyо в оборотах за минуту, a ω — в радианах за секунду, как их большей частью и выражают. Однако для очень медленно вращающихся тел число оборотов удобнее считать не за минуту, а за другие единицы времени. Так, Земля вращается вокруг своей оси, делая 1 оборот в сутки. Было бы неудобно считать, что Земля делает  оборота в минуту. Угловую скорость Земли следует подсчитывать не по формуле (84), а из тех соображений, что Земля делает один оборот (2π радианов) за сутки, а в сутках 86400 сек, следовательно,

Самые медленные вращения встречаются в звездном мире. Так< например, период обращения Солнца вокруг центра Галактики (Млечного пути) составляет 190 миллионов лет.

Наибольшая угловая скорость, полученная в технике, соответствует миллионам оборотов в минуту. C такой скоростью вращаются гироскопы Гюгенара —маленькие роторы, подвешенные без подшипников в магнитном поле.

За одно и то же время все части твердого тела поворачиваются вокруг оси на один и тот же угол. Следовательно, угловая скорость является общей мерой вращения для всего тела, и в каждое мгновение тело, вращающееся вокруг оси, имеет только одну угловую скорость.

Для тех случаев, когда тело совершает сложное движение, например вращается вокруг оси в то время, как эта ось поворачивается, удобно изображать угловую скорость вектором, направленным вдоль оси вращения. Величина и положение вектора показывают величину угловой скорости и положение оси вращения. Но вектор угловой скорости, как и вектор момента силы относительно точки, отличается от прочих известных нашим читателям векторов (скорость точки, ускорение точки, радиус-вектор, сила и др.) тем, что, изображая его стрелкой соответствующей длины, отложенной вдоль оси вращения, надо (вполне произвольно) условиться относительно направления стрелки. В нашем курсе мы всюду пользуемся правой системой координат, поэтому установим и для вектора угловой скорости правило правого винта, т. е. будем направлять вектор угловой скорости вдоль оси вращения к той ее стороне, с которой вращение тела представляется происходящим против вращения часовой стрелки. Так, например, вектор угловой скорости земного шара, вращающегося с запада на восток, мы направим к северному полюсу: глядя с северного полюса, мы увидели бы Землю вращающейся против часовой стрелки.

Угловое ускорение выражается первой производной от угловой скорости по времени:

Угловое ускорение. Изменение угловой скорости происходит с течением Времени и, вообще говоря, бывает различным в разные моменты времени. Пространственно-временную меру, характеризующую изменение угловой скорости тела в данное мгновение, называют угловым ускорением тела.

Поскольку угловая скорость — векторная величина, вектором Должно быть и угловое ускорение. Но при вращении тела вокруг Неподвижной оси мы обычно рассматриваем угловую скорость как скаляр, и потому здесь нас могут интересовать только величина и знак углового ускорения.

Пусть величина угловой скорости изменилась на ∆ω в течение промежутка времени Δt. Предел отношения при Δt, стремящемся к нулю, выражает угловое ускорение тела и обозначается греческой буквой ε (эпсилон):

               (85)

или, принимая во внимание равенство (83),

Следовательно, угловое ускорение выражается первой производной “от угловой скорости по времени, или, что то же, второй производной от угла поворота по времени. Эта величина характеризует быстроту изменения угловой скорости тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Размерность углового ускорения равна размерности угла поворота, деленной на квадрат размерности времени, т. е. равна единице, деленной на квадрат времени.

[ω]=T^-2.

Чаще всего время измеряется в секундах, тогда единица углового ускорения ceκ^-2, или по записи, рекомендованной ГОСТом, pa∂/ceκ².

Если с течением времени абсолютная величина угловой скорости тела увеличивается, то производная  имеет тот же знак, что и ω, и вращение тела ускоренное. Если же величина угловой скорости с течением времени уменьшается, то производная  и угловая скорость имеют различные знаки — вращение тела замедленное. Каждое из этих вращений, и ускоренное и замедленное, называют переменным вращением.

Задача №7

Унифиляр (тело, подвешенное на вертикальном стержне) (рис. 102) закрутили на угол от равновесного положения и затем (в мгновение t = 0) предоставили самому себе, и он стал вращаться согласно уравнению

Рис. 102

Определить угловую скорость (в ρa∂/ceκ.) и угловое ускорение (в рад/сек) через каждые 3 сек от начала движения.

Решение. Дифференцируя уравнение движения, получим выражение угловой скорости унифиляра:

Дифференцируя вторично найдем, угловое ускорение унифиляра:

Чтобы определить угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение в заданные мгновения, надо в уравнение движения тела и в полученные соотношения подставить t = 3, 6, 9, … и т. д. секунд. Анализируя полученные данные относительно ω и ε, убедимся, что унифиляр совершает крутильные колебания с периодом 18 сек.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Равномерное и равнопеременное вращения

Если угловая скорость ω постоянна, то производная = 0, и вращение равномерное. Таким образом, при равномерном вращении тела угловое ускорение равно нулю, угловая скорость постоянна, а угол поворота изменяется пропорционально времени:

ε = 0, ω = const, φ = φ₀+ωt,  (86)

где φ₀-начальное значение угла.

Формулы (86) справедливы только для равномерного вращения тела и неприменимы при других движениях.

Из различных переменных вращений тела в задачах наиболее часто встречается равнопеременное вращение. Равнопеременным вращением называют такое вращение твердого тела вокруг оси, πph котором угловое ускорение остается постоянным:

ε = const.

Интегрируя это уравнение, находим

ω = εt + C₁.

Постоянную интегрирования C₁ находим из начальных данных. В начальное мгновение (при t=0) величина угловой скорости была ω₀. Подставляя эти частные значения аргумента t и функции ω, находим постоянную C₁:

C₁ = ω₀.

Таким образом,

Интегрируя это равенство, получаем

Постоянную C₂ находим из начальных данных. Если при начале вращения тело было повернуто на некоторый угол φ₀, то, подставляя φ₀ вместо φ и 0 вместо t, найдем C₂ = φ₀. Для равнопеременного вращения тела имеем:
      (87)

Формулы (87) справедливы только для равнопеременного вращения твердого тела и неприменимы при других движениях.

Задача №8

Барабан суперцентрифуги делает при установившемся движении 30000 об/мин, а после прекращения подачи энергии (на выбеге) вращается равнозамедленно с угловым ускорением ε=π1∕ceκ². Определить время выбега (время до остановки) и угол поворота барабана за это время.

Решение. В мгновение прекращения подачи энергии угловая скорость барабана была

C этого мгновения барабан вращается равнозамедленно по (87):

ω= 1000π—πt.

В мгновение остановки барабана угловая скорость его равна нулю. Подставляя это значение угловой скорости, находим время выбега.

t = 1000 сек = 16 мин 40 сек.

За это время барабан повернется на угол

Чтобы по углу поворота определить число оборотов, надо поделить этот угол (выраженный в радианах) yа 2π—число радианов в одном обороте.

Ответ. t = 16 мин 40 сек, φ = 250 000 об.

Задача №9

В инерционном аккумуляторе Уфимцева (1918 г.) для ветроэлектрических станций стальной диск вращается в глубоком вакууме, делая 20 000 об/мин. Предоставленный самому себе, он продолжает вращаться в течение двух недель. Определить е диска, считая вращение равнозамедленным.

Решение. Определим начальную угловую скорость диска н время (2 нед.) до остановки в секундах:

Ответ получим, разделив ω₀ на t.

Ответ. 

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося тела

Точки вращающегося тела, расположенные на одной прямой, параллельной оси вращения, совершают одинаковые движения

Траектории точек вращающегося тела

Вращением тела называют движение, при котором точки тела описывают окружности с центром на оси вращения. Следовательно, по самому определению вращательного движения траектории точек тела—окружности.

Если тело мысленно пересечь какой-либо плоскостью, перпендикулярной оси вращения, то в этой плоскости будут находиться круговые траектории всех расположенных в ней точек тела. Очевидно, что движения точек тела, лежащих на ном в какой-либо из точек к этой плоскости, совершенно одинаковы, а потому и движение точек всего тела может быть полностью охарактеризовано движением точек, лежащих в этой плоскости.

Сохраним и в этом параграфе расположение осей координат (см. рис. 101), при котором оси Oz и Oz’ неподвижной и подвижной систем совпадают с осью вращения тела, а плоскость x’0y’ находится в плоскости хОу.

Возьмем в этом теле какую-либо точку К (рис. 103), координаты которой относительно подвижной системы обозначимx’,y’ и г’. Эти координаты точки К во время вращения тела не меняются, так как оси подвижной системы координат неизменно связаны с телом и вращаются вместе с ним. Координаты той же точки в основной системе обозначим х, у и z.

Координаты х и у точки К связаны с координатами х’ и у’ той же точки формулами, известными из аналитической геометрии и понятными из чертежа (рис. 103):

х = х’ cos φ—y’ sin φ,    (88′)

y = x’ sin φ +y’ os φ.     (88″)

Если тело вращается, то с течением времени меняется угол φ, являющийся некоторой функцией (71) от времени t, а следовательно, меняются и координаты х и у точки К в основной системе отсчета. Координата же z при направлении оси Oz вдоль оси вращения не изменяется и остается равной z’:

z = z’.    (88″‘)

Аналогично можно определить подвижные координаты по неподвижным и углу φ:

х’ = х cos φ у sin φ; y’ = y cos φ—x sinφ; z’ = z.

Скорость точки тела, вращающегося вокруг оси, равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от оси: υ= ωr

Скорости точек вращающегося тела. Для получения проекций скорости на неподвижные оси координат продифференцируем по времени равенства (88), рассматривая φ как функцию времени. Будем иметь

Но согласно (88) выражение, стоящее в скобках в первом из этих равенств, есть у, а во втором х, а потому      (89)

Возводя эти равенства в квадрат и складывая, найдем

Но в левой части мы имеем квадрат полной скорости точки, а в скобках правой части — квадрат расстояния точки от оси. Мы получили одну из главнейших формул кинематики:
υ = ωr     (90)

— величина скорости точки вращающегося тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от оси вращения.

Таким образом, для определения скорости точки вращающегося тела нет необходимости знать ее координаты, надо знать лишь расстояние точки от оси вращения и угловую скорость тела.

Можно определить угловую скорость тела по скорости какой-либо из его точек и по расстоянию этой точки от оси вращения:

      (91)

По этим формулам можно определить скорость любой точки вращающегося тела, независимо от того, какую форму имеет тело и находится точка на поверхности или внутри тела. Скорость точки тела, вращающегося вокруг оси, называют вращательной скоростью точки. Она направлена перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку и ось вращения, против хода часовой стрелки или по ходу часовой стрелки в зависимости от знака производной (83).

Если же смотреть на тело с той стороны оси вращения, куда мы направили вектор угловой скорости, то вектор вращательной скорости всякой точки тела направлен против хода часов. Такое же направление (против хода часов) имеет вектор , если смотреть на него с конца вектора вращательной скорости .

Следовательно, вектор вращательной скорости точки и по величине и по направлению можно рассматривать как момент вектора угловой скорости тела относительно этой точки. Его можно представить в виде векторного произведения аналогично тому, как это сделано в статике с моментом силы относительно точки.

Вращательную скорость точек, лежащих на поверхности цилиндра (шкива, барабана, махового колеса, вала и т. п.), вращающегося вокруг своей оси, называют окружной скоростью тела. Окружная скорость равна произведению ω на радиус R тела:

υ_{oκp =} ωR.

Задача №10

Определить вращательную скорость точек земной поверхности на экваторе и на широте Москвы (55°45′) при вращении Земли вокруг оси (рис. 104). Средний радиус Земли 6371 км и cos 55^o45′ = 0,5628.

Рис. 104

Решение. Вращаясь вокруг своей оси, Земля совершает один оборот (2π рад) за сутки (86 400 сек), и угловая скорость Земли ω=727∙10^-7 pa∂/ceκ. Умножая угловую скорость на радиус Земли, выраженный в метрах (6371 ∙ 10³), найдем вращательную скорость точек Земли на экваторе:

υ= ωR=727 •  6371 • 10^-4 = 463 м/сек.

Для определения вращательной скорости точек в Москве надо умножить ω Земли на расстояние г от Москвы до земной оси:

Она направлена против вращения часовой стрелки, если смотреть с северного полюса.

Задача №11

Шкив динамомашины R₁= 15 см (рис. 105) вращается посредством бесконечного ремня от паровой машины со шкивом R₂ — 60 см, делающим 100 об/мин. Определить угловую скорость ω₁ шкива динамомашины.

Рис. 105

Решение. Определим окружную скорость шкива паровой машины:

Такова же величина скорости частиц ремня, а следовательно, и окружная  скорость шкива динамомашины. Его угловая скорость

Ответ. ω₁=41,87 рад/сек, n = 400 об/мин.

Касательное ускорение точки вращающегося тела равно произведению углового ускорения тела на расстояние точки от оси вращения тела: α_r=e_r

Ускорение точек вращающегося тела

Если в выражении касательного (69) и нормального (74) ускорений вместо скорости v мы подставим выражение (90) вращательной скорости, то получим касательное и нормальное ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Касательное ускорение

или 

a_τ = ε_r.      (92)  

Касательное ускорение точки вращающегося тела равно произведению углового ускорения тела на расстояние точки от оси вращения.

Центростремительное ускорение точки вращающегося тела равно произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние точки от оси вращения тела:
αN=ω²r

Каждая точка вращающегося тела описывает окружность, а потому радиус кривизны р траектории точки равен расстоянию этой точки от оси вращения тела. Имеем

или 

αN=ω²r

Нормальное ускорение точки вращающегося тела обычно называют центростремительным ускорением. Оно равно произведению квадрата угловой скорости на расстояние точки от оси вращения тела.

Величина полного ускорения точки тела, вращающегося вокруг оси, выражается формулой

Зная касательное и центростремительное ускорения, определим по формуле (75) величину полного ускорения этой точки:

или

 .      (94)  

Иногда бывает необходимо определить проекции ускорения точки вращающегося тела на неподвижные оси координат. Для этого продифференцируем равенства (89) по времени, учитывая, что при вращении тела меняется не только его угловая скорость, но и координаты х и у его точек:

a_x =—уε—υ_yω, a_y = xε+υ_λω, α_z = 0.

Подставляя вместо υ_x и υ_y их значения (89), найдем проекции ускорения точки вращающегося тела на неподвижные оси:

 .      (95)  

Возводя в квадрат и складывая, найдем

a² = (x² + y²) (ε² + ω⁴),

или, так как x²+y² = r², получаем уже знакомую нам формулу (94). Следовательно,

a_Tх=—yε; α_Ty = xε; a_Nх= — xω²; a_Ny=-yω².       (95′)

Задача №12

Тело вращается вокруг оси Oz без начальной угловой скорости и с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/сек². Определить для t = 10 сек: 1) координаты точки К тела, если при t = 0 координаты точки К были: х = +10, y=0, z-0∙, 2) ее вращательную скорость; 3) направляющие косинусы вращательной скорости; 4) касательное и центростремительное ускорения той же точки; 5) направляющие косинусы касательного и центростремительного ускорений; 6) угол, составляемый векторами полного и центростремительного ускорений.

Решение. Тело вращается равноускоренно; по (87) найдем угловое ускорение, угловую скорость и угол поборота тела для заданного мгновения: ε = 0,4 ρaд/ceκ²; ω = 0,4 • 10 = 4 ρaд/ceκ;

Тело повернулось за 10 сек на 20 рад. Переведем радианы в градусы:

a_r = 1145^о54’56”,

за вычетом полных оборотов определим угол αr, составляемый радиусом-вектором с осью Ox (рис. 106):

20 рад = 65^о54’56”,

По тригонометрическим таблицам находим: cos a_r = 0,4080, sin a_r = 0,9130. Приняв во внимание, что расстояние точки К от оси вращения тела равно 10 см, найдем координаты точки К в мгновение t=10 сек:

х=10 cos a_r = +4,080 см,

y = 10 sin a_r = +9,130 см.

Величину вращательной скорости определим по (90):

υ = ωr = 4 • 10 = 40 см/ceκ.

Чтобы определить направляющие косинусы вращательной скорости, найдем сначала по (89) ее проекции на оси координат:
υ_x= — yω = — 36,52 см/сек,

υ_y= +xω = + 16,32 см/сек

по затем по (62) — направляющие косинусы:

Определим по (92) величину касательного ускорения:

a_τ=ε_r = 0,4 ∙10 = 4 см/ceκ²

и по (95′) — проекции касательного ускорения на оси х и у:

a_Tx = — yε=—3,652 см/сек², a_Ty = xε =+1,632 см/сек².

Разделив проекции на модуль касательного ускорения, найдем направляющие косинусы касательного ускорения:

Мы видим, что направляющие косинусы касательного ускорения тождественны с направляющими косинусами скорости.

Напомним, что знак направляющего косинуса определяется знаком числителя. Если ω и ε имеют одинаковые знаки (как в данной задаче), то тело вращается ускоренно и направление касательных ускорений его точек совпадает с направлением их скоростей, если же знаки ω и ε различны, то вращение замедленное и векторы касательных ускорений и скоростей точек направлены в противоположные стороны.

Величину центростремительного ускорения определим по (93);

a_N=ω²r = 4²∙10 = 160 см/сек²

и по (95′) —его проекции на оси координат: 

a_Nx=—xω²= —65,280 см/сек²,

a_Ny = — yω² = —146,080 см/сек².

Проекции нормального ускорения точки на оси координат имеют знаки, обратные знаку соответствующей координаты точки. В самом деле, ayx отрицательна, если абсцисса х положительна, и положительна, если х отрицательна (аналогично и ayy). Следовательно, центростремительное ускорение всегда направлено к началу координат, т. е. к центру круговой траектории точки.

Разделив проекции центростремительного ускорения на его модуль, найдем направляющие косинусы центростремительного ускорения:

Так как касательное ускорение перпендикулярно к центростремительному, то (по условию перпендикулярности, известному из аналитической геометрии) сумма произведений соответствующих направляющих косинусов должна равняться нулю. Действительно,

cos a_T cos a_N + cos β_T cos β_N = ( — 0,9130) ( —0,4080) + ( + 0,4080) ( — 0,9130) =0.

Определим теперь тангенс угла между направлением полного и нормального ускорений:

Пользуясь таблицами тригонометрических функций, определим, что угол равен l^o26’0″.

Ответ. 1) х = + 4,080 см, у = + 9,130 см; 2) υ = 40 см/сек, 3)cos a_υ=—0,9130, cos β_υ = +0.4080; 4) a_T = 4 см/сек1, a_N= 160 см/сек²; 5) cos a_T=—0,9130, cos β_T= +0,4080, cos a_N = – 0,4080, cos β_N=—0,9130; 6) угол равен l^o26’0″.

Задача №13

При сборке ротора молотковой дробилки была допущена неточность, в результате которой центр тяжести ротора отстоит от оси вращения на расстоянии 1 мм. Определить центростремительное ускорение центра тяжести ротора, если n = 3000 об/мин.

Решение. По формулам (84) и (93) имеем

Ответ. a_N=98,6 м/сек² ≈ 10g.

Зависимости между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем аналогичны зависимостям между расстоянием, скоростью, касательным ускорением и временем

Аналогия формул

Формулы кинематики вращательного движения аналогичны соответствующим формулам кинематики точки и могут быть из них получены, если заменить расстояние s углом поворота φ, скорость υ— угловой скоростью ω и касательное ускорение α_T-угловым ускорением ε. Это правило является мнемоническим, оно непригодно для вывода формул, но может облегчить их запоминание. Ниже приведен ряд формул, получающихся одна из другой такой заменой.

Движение точки	Вращение точки
Уравнение движения по траектории s=s(t) Средняя скорость точки Величина скорости точки Величина касательного ускорения Равномерное движение точки Равнопеременное движение	Уравнение вращения вокруг оси φ=φ(t) Средняя угловая скорость тела Величина угловой скорости тела Величина углового ускорения Равномерное вращение тела Равнопеременное вращение

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

Так как при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси расстояние каждой из его точек до оси вращения должно оставаться неизменным, то очевидно, что все его точки описывают в этом движении окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения и радиус каждой из них равен расстоянию соответствующей точки тела до оси вращения.

Очевидно, что радиусы всех этих окружностей поворачиваются за один и тот же промежуток времени на один и тот же угол , равный приращению угла поворота тела за этот промежуток времени, но точки, лежащие на разных расстояниях от оси вращения (точки и на рис. 118), опишут при этом дуги различной длины.

Зная угловую скорость тела и расстояние какой-нибудь точки тела от оси вращения, легко найти и скорость этой точки.

Пусть за промежуток времени , соответствующий приращению угла поворота угла, данная точка перемешается из положения в положение (рис. 118).

Длина дуги , пройденной точкой по ее траектории, равна приращению дуговой координаты этой точки.

Алгебраическое значение скорости точки, как известно, равно производной от ее луговой координаты по времени

Но длина дуги окружности равна ее радиусу , умноженному на соответствующий центральный угол в радианах, т. е. .

Подставляя значение в предыдущее равенство, получаем:

Алгебраическое значение скорости точки вращающегося тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние данной точки от оси вращения

Направлен вектор скорости точки по касательной к траектории точки в сторону вращения тела. Иными словами, этот вектор перпендикулярен к радиусу, соединяющему ось вращения с рассматриваемой точкой. Из формулы (83) следует, что скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения.

Так как в формуле приращение угла должно быть обязательно выражено в радианах, то и угловая скорость в формуле (83) должна обязательно выражаться в рад/сек, рад/мин и т. д., но не в об/сек или в об/мин. Только в этом случае будет получаться принятая размерность скорости .

При любом вращательном движении тела скорости его точек непременно изменяются (только по направлению при равномерном вращательном движении или и по направлению и по модулю при неравномерном вращательном движении), следовательно, точки вращающегося тела всегда движутся с некоторым ускорением.

Ускорение точки вращающегося тела, как и ускорение всякого криволинейного движения точки, может быть разложено на касательное ускорение часто называемое в этом случае вращательным ускорением, и нормальное ускорение называемое в этом случае центростремительным ускорением.

Полагая в формулах (68) и (69) для касательного и нормального ускорения точки и радиус кривизны траектории равным радиусу окружности, описываемой точкой, будем иметь:

Величина вращательного ускорения тонки равна произведению углового ускорения тела на расстояние данной точки от оси вращения:

Модуль центростремительного ускорения точки равен квадрату угловой скорости тела, умноженному на расстояние данной точки от оси вращения:

Направление вращательного ускорения точки совпадает с направлением ее скорости в случае ускоренного вращения тела (рис. 119, а) и направлено в сторону, противоположную скорости, в случае замедленного вращения (рис. 119, б).

Центростремительное ускорение точки всегда направлено к центру окружности, описываемой точкой.

Зная вращательную и центростремительную составляющие ускорения точки, всегда можно найти величину и направление этого ускорения, изображаемого диагональю прямоугольника, построенного на векторах и (рис. 119).

Модуль этого ускорения

Острый угол между направлением ускорения точки и направлением радиуса (внутренней нормали к траектории) найдется из формулы

Для получения правильной размерности ускорений , и в формулы (84), (85) нужно подставлять в

Пример задачи:

Шкив диаметром 600 мм вращается вокруг его оси. Скорость точек на его ободе равна в данный момент 1,5 м/сек.

Определить угловую скорость шкива в оборотах в минуту.

Решение:

По формуле (83) вычисляем сначала угловую скорость шкива

Пользуясь зависимостью (80) , находим затем угловую скорость шкива

Пример задачи:

Маховик имеет в данный момент угловую скорость рад/сек и угловое ускорение . Найти скорость, вращательное, центростремительное и полное ускорения точки маховика, находящейся на расстоянии 0,8 м от оси вращения.

Решение:

Скорость точки

Вращательное ускорение точки

Так как знаки и различны, то маховик вращается замедленно и потому ускорение точки направлено в сторону, противоположную ее скорости (рис. 120). Центростремительное ускорение точки

Полное ускорение точки

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы: