Как найти ускорения центра обруча

2019-11-28   

По плоскости катится обруч. Ускорение центра обруча равно $a$. Найти ускорения точек А, В, C и D обруча (рис.) через время $t$ после начала ею движения, если начальная скорость центра обруча равна $v_{0}$ и обруч не проскальзывает.

Решение:

В системе координат, связанной с центром обруча, ускорение каждой из точек обруча равно сумме центростремительного ускореиия $a_{ц} = frac{v^{2} }{R}$ ($v$ – линейная скорость точек обруча) и тангенциального (касательного) ускорения (рис. а). Так как обруч не проскальзывает, то линейная скорость точек обруча в любой момент времени равна скорости его центра в системе координат, связанной с Землей. Это означает, что изменение линейной скорости обруча в единицу времени, то есть касательное ускорение точек обруча, равно ускорению центра обруча, то есть $a$.

Для того чтобы вычислить центростремительное ускорение точек обруча через время $t$ после начала движения, нужно знать их линейную скорость в этот момент. Она равна в

$v = v_{0} + at$.

Поэтому

$a_{ц} = frac{(v_{0} + ay )^{2} }{R}$.

Для того чтобы найти ускорения точек обруча в системе координат, связанной с Землей, нужно к векторам ускорения точек прибавить вектор $a$ ускорения центра обруча (рис. б). Таким образом, мы найдем:

$a_{A} = sqrt{a^{2} + (a_{ц} + a )^{2} } = sqrt{a^{2} + left ( frac{(v_{0} + at )^{2} }{R} + a right )^{2} }$,

$a_{B} = sqrt{(2a)^{2} + a_{ц}^{2} } = sqrt{4a^{2} + frac{(v_{0} + at )^{4} }{R^{2} } }$,

$a_{C} = sqrt{a^{2} + (a_{ц} – a )^{2} } = sqrt{a^{2} + left ( frac{ (v_{0} +at)^{2} }{R} – a right )^{2} }$,

$a_{D} = a_{ц} = frac{(v_{0} + at )^{2} }{R}$.

2016-09-17   

На горизонтальной поверхности покоится однородный тонкий обруч массой $M$ и радиусом $R$ (см. рисунок). Горизонтальный диаметр обруча представляет собой лёгкую гладкую трубку, в которую помещён шарик массой $m$, прикреплённый к обручу двумя пружинами жёсткостью $k$ каждая. Удерживая обруч неподвижным, шарик отклонили влево на расстояние $x$, после чего предоставили систему самой себе. Найдите ускорение центра обруча в начальный момент времени. Проскальзывание обруча отсутствует.

Решение:

Направим координатную ось $X$ влево, а координатную ось $Y$ вверх (рис.). Через малое время $Delta t$ после того, как систему предоставили самой себе, расстояние $x$ практически не успевает измениться, проекции скоростей центра обруча и шарика на ось $X$ равны $V$ и $v$, а проекции их ускорений на эту же ось равны $A = Delta V/ Delta t$ и $a = Delta v/ Delta t$. Энергия рассматриваемой системы через указанный промежуток времени складывается из кинетических энергий поступательного $W_{пост} = frac{MV^{2}}{2} + frac{mv^{2}}{2}$ и вращательного $U_{вр} = frac{MV^{2}}{2} + frac{m (V/R)^{2} x^{2}}{2}$ движений обруча и шарика, потенциальной энергии пружин $U_{пр} = 2 cdot frac{kx^{2}}{2}$ и шарика в поле силы тяжести $U_{тяж} = mgy$, где $y$ — высота шарика над поверхностью. Изменения кинетической и потенциальной энергий системы за время $Delta t$ равны, соответственно,

$frac{ Delta W}{ Delta t} = frac{ Delta W_{пост}}{ Delta t} + frac{ Delta W_{вр}}{ Delta t} = MV frac{ Delta V}{ Delta t} + mv frac{ Delta v}{ Delta t} + MV frac{ Delta V}{ Delta t} + m left ( frac{x}{R} right )^{2} V frac{ Delta V}{ Delta t} = AV left ( 2M + m left ( frac{x}{R} right )^{2} right ) + mav$;

$frac{ Delta U}{ Delta t} = frac{ Delta U_{пр}}{ Delta t} + frac{ Delta U_{тяж}}{ Delta t} = 2kx frac{ Delta x}{ Delta t} + mg frac{ Delta y}{ Delta t} = 2kx (v – V) – mgx frac{V}{R}$,

где $Delta x / Delta t = v — V$ и учтено, что $Delta y/ Delta t < 0$. В соответствии со вторым законом Ньютона, $ma = —2kx$ (сразу после того, как систему предоставили самой себе, ускорение шарика направлено вправо — см. рисунок). С учётом этого из закона сохранения механической энергии $Delta W + Delta U = 0$ получаем, что

$frac{ Delta W}{ Delta t} + frac{ Delta U}{ Delta t} = AV left ( 2M + m left ( frac{x}{R} right )^{2} right ) – 2kxV – mgx frac{V}{R} = 0$.

Отсюда искомое ускорение центра обруча в начальный момент времени

$A = xR frac{mg + 2kR}{2MR^{2} + mx^{2}}$.