Как найти условные коэффициенты

Как найти условные коэффициенты

Под абсолютными
величинами
в статистике понимают показатели,
которые характеризуют размеры изучаемых
явлений и процессов. Например, объем
товарной продукции предприятия,
численность промышленно-производственного
персонала, размер прибыли и др.

Абсолютные величины
в статистике являются исходной базой
статистического анализа. Они выражаются
в натуральных, условно-натуральных,
стоимостных и трудовых единицах.

Натуральные
показатели имеют
наименование, даны в натуральных единицах
измерения (тонны, килограммы, метры,
литры, штуки и т.д.) Условно-натуральные
показатели
используются в тех случаях, когда какой
либо продукт имеет несколько разновидностей,
и общий объем можно определить только
исходя из общего для всех разновидностей
потребительского свойства. Перевод в
условные единицы измерения осуществляется
на основе специальных коэффициентов,
рассчитываемых как отношение
потребительских свойств отдельных
разновидностей продукта к их эталонному
значению.

Стоимостные
показатели дают
денежную оценку социально- экономическим
явлениям и процессам.

К трудовым
единицам измерения
относятся показатели, характеризующие
общие затраты труда, трудоемкость. Они
измеряются в человеко-днях, человеко-часах
и т.д.

Различают
индивидуальные и сводные (суммарные)
абсолютные показатели.

Индивидуальные
показатели получают непосредственно
в процессе статистического наблюдения
как результат замера, взвешивания,
подсчета и т. д. изучаемого количественного
признака.

Сводные (суммарные)
показатели характеризуют объем признака
или объем совокупности либо всего
объекта, либо его части. Их определяют
в результате сводки и группировки
индивидуальных значений.

Относительные
величины представляют собой результат
сравнения (деления) двух показателей.

В зависимости от
того, к какому числу единиц приравнена
база сравнения, относительные величины
могут выражаться в форме:

  • коэффициента,
    если основание принято за 1;

  • процента (%), если
    основание принято за 100;

  • промилле (0/00),
    если основание принято за 1000;

  • продецимилле
    (0/000),
    если основание принято за 10000.

Следует иметь в
виду, что большинство относительных
величин являются неименованными числами,
за исключением тех, которые получаются
в результате сравнения разноименных
показателей и внешне напоминают средние
величины (например, плотность населения).

В отличие от
абсолютных величин, относительные
показатели являются величинами
производственными и рассчитываются на
основе абсолютных величин.

В статистическом
анализе рассчитывают следующие виды
относительных
величин: динамики, выполнения плана,
планового задания, структуры, координации,
интенсивности, сравнения.

Относительный
показатель динамики(ОПД) – показатели,
характеризующие соотношение одноименных
величин во времени. Они рассчитываются
по формуле:

Частное от деления
числителя на знаменатель дроби называют
коэффициентом
динамики.
Коэффициент динамики, выраженный в
процентах, называют темпом
роста. Не
следует путать отчетный и базисный
периоды. Отчетный
период –
всегда текущий, базисный–
период, предшествующий отчетному.

Приведем пример
расчета относительных величин динамики
(табл. 8).

Таблица 8

Расчет относительных
величин динамики

по данным выпуска
товарной продукции

в организации

Месяц

Товарная

продукция,

млн.
руб.

Относительная
величина динамики

С
постоянной базой сравнения

С переменной
базой

сравнения

коэффициент

%

коэффициент

%

Январь

1390,7

1,000

100,0

–

–

Февраль

1426,9

1,026

102,6

1,026

102,6

Март

1492,6

1,073

107,3

1,046

104,6

Апрель

1547,5

1,113

111,3

1,037

103,7

Вычислим относительные
величины динамики с постоянной базой
сравнения, приняв за базу
январь:1426,9/1390,7=1,026*100=102,6%;
1492,6/1390,7=1,073*100=107,3% и т.д. Такие величины
с постоянной базой сравнения называют
базисными
темпами роста.
Здесь каждый последующий уровень
сравнивается с одним постоянным
закрепленным уровнем.

Вычислим относительные
величины динамики с переменной
базой сравнения, используя
соотношения каждого последующего месяца
к предыдущему:
1426,9/1390,7=1,026*100=102,6%;1492,6/1426,9=1,046*100=104,6% и т.д.
Эти полученные относительные показатели
с переменной базой сравнения называют
цепными
темпами роста.

Между базисными
и цепными темпами роста существует
взаимосвязь: произведение цепных темпов
роста равно базисному темпу последнего
периода.

Относительный
показатель выполнения плана (ОПВП) –
показатели,
характеризующие степень выполнения
планового задания. Они рассчитываются
по формуле:

Рассмотрим расчет
показателей выполнения плана по данным
табл. 8.

За I
квартал ОПВП .=(24,15/22,28)*100%=108,4%;

За II
квартал ОПВП .=(23,62/21,35)*100%=110,6%.

Аналогичные расчеты
произведем за остальные периоды. По
расчетам можно сделать следующие выводы:
более высокий процент выполнения плана
по выпуску продукции приходится на II
квартал (110,6%). Меньше всего перевыполнен
план был в III
квартале – на 4,3%.

Относительный
показатель планового задания (ОППЗ) –
показатели, характеризующие степень
установления планового задания на
отчетный период. Они рассчитываются
по формуле:

Рассмотрим расчет
относительных показателей планового
задания по данным табл. 9.

Таблица 9

Расчет относительных
величин выполнения плана и планового
задания по данным выпуска продукции
бригадой в организации

Квартал

Выпуск
продукции, млн. руб.

Выполнение
плана, %

Выполнение
планового задания, %

Базисный
период

Отчетный
период

план

факт

I

22.25

22,28

24,15

108,4

100,1

II

21.30

21,35

23,62

110,6

100,2

III

22.3

22,94

23,93

104,3

102,9

IV

22.20

22,29

24,08

108,0

100,4

За I
квартал
ОППЗ = (22,28/22,25)*100=100,1 %.

Аналогичные расчеты
производим за остальные периоды. По
расчетам можно сделать следующие выводы:
самый высокий процент установления
планового задания приходится на III
квартал (102,9%).

Относительные
величины динамики планового задания
и выполнения плана находиться в
определенной зависимости, а именно:
произведение относительных величин
выполнения плана и планового задания
равно относительной величине динамики.

Между указанными
показателями существует связь вида:
ОПД = ОПВП
ОППЗ.

Относительный
показатель структуры (ОПС) –
показатели, характеризующие долю
составных частей целевого в общем итоге.
Если задать условие, что:

n

X1+X2+X3+…Xn=∑X

1

то, приняв итоговую
величину за 100%, можно рассчитать по
отношению к этой величине в процентном
соотношении каждую составляющую. При
этом сумма
рассчитанных относительных величин
структуры должна составлять 100% или
1.

Относительный
показатель координации (ОПК) – показатели,
характеризующие соотношение друг к
другу составных частей целого.

При вычислении
относительных величин координации за
базу, сравнения принимается какая –
либо одна часть изучаемой совокупности,
а остальные соотносятся с ней.

Относительные
величины координации могут быть выражены
не только в коэффициентах, но и в
процентном соотношении, и тех же
именованных единицах, в которых выражен
признак.

В качестве базы
сравнения целесообразно выбирать ту,
которая имеет наибольший удельный вес
или является приоритетной (например,
число мужчин на 1000 женщин).

Относительный
показатель интенсивности (ОПИ) –
показатели,
характеризующие соотношение одного
экономического явления в расчете на
единицу другого

При вычислении
относительных величин интенсивности
необходимо помнить, что они, в отличие
от величин динамики, выполнения плана
и структуры являются величинами
именованными.

К относительным
величинам интенсивности можно отнести
показатели выработки, фондоотдачи,
число родившихся или умерших на 1000
человек населения, производство продукции
на душу населения.

Относительный
показатель сравнения (ОПСр)
– показатели,
характеризующие сравнительные размеры
одноименных явлений за один и тот же
период времени, но по разным объектам.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Лекции по дисциплине Геодезия (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

Такая наука, как геодезия тесно связана с измерениями, которые сопровождаются неизбежными ошибками. Если обозначим:

У – истинное значение измеряемой величины;

у – результат измерений;

– истинная ошибка.

то истинная ошибка может быть вычислена по формуле:

(15)

2 Виды ошибок измерений

По источникам и характеру ошибки делятся на грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются, как правило, следствие промахов, просчетов в измерениях, неисправностями инструментов и приборов, резким ухудшением внешних условий и пр. Они обнаруживаются при несоблюдении допусков и контролей и исключаются повторными измерениями.

Систематические – те, которые знаком или величиной однообразно повторяются в многократных измерениях. Их источниками являются неисправности в применяемых инструментах, неточная установка инструментов, личные физиологические особенности наблюдателя, влияние внешних факторов и т. п.

Примеры систематических ошибок:

– ошибка в измеренном значении длины линии на местности из-за отклонения мерной ленты от створа;

– ошибка в определении длины мерного прибора (ошибка компарирования).Эта ошибка постоянна и действует пропорционально измеренному расстоянию;

– систематическая ошибка нанесения шрихов лимба теодолита.

Влияние систематических ошибок сводят к допустимому минимуму путем тщательной поверки инструментов, применения соответствующей методики измерений, а также путем введения поправок в результаты измерений.

Некоторые рекомендации по уменьшению влияния систематических ошибок измерения:

– устанавливают закон появления систематической ошибки, после чего ошибку устраняют введением поправки в результаты измерений. Например, эталонирование мерного прибора и введение потом поправок за длину и температуру;

– применяют соответствующую методику измерений, чтобы систематические ошибки меняли знак. Например:

1) отсчитывание по диаметрально противоположным штрихам лимба, что приводит к исключению влияния эксцентриситета алидады;

2) перестановка лимба между приёмами на угол 180˚/n, где n-число приёмов ( при этом ослабевает влияние систематических ошибок штрихов лимба);

– используют определённую методику обработки результатов измерений. Например, углы и координаты вытянутого теодолитного хода уравнивают раздельно. Это ведёт к ослаблению влияния систематических ошибок угловых и линейных измерений.

Таким образом, будем считать, что результаты измерений содержат только слуайные ошибки, т. е. такие, размер и характер влияния которых на каждый отдельный результат измерения остается неизвестным.

3 Свойства случайных ошибок

Величину и знак случайных погрешностей установить нельзя.

Примеры случайных ошибок:

– ошибки отсчитывания по угломерному кругу;

– часть ошибки визирования, обусловленную колебаниями изображения;

– случайные ошибки нанесения штрихов лимба;

– влияние вибрации сигнала;

– ошибка отсчитывания по нивелирной рейке;

– ошибка за округление чисел при вычислениях.

Если результаты измерений содержат только случайные ошибки (грубые и систематические исключают), то

Чем ближе результат измерений к истинному значению, тем он точнее. Чем меньше ошибки, тем выше точность.

4 Обработка рядя равноточных измерений.

По точности результаты измерений разделяют на равноточные и неравноточные.

Под равноточными понимают однородные результаты, полученные при измерениях одним и тем же инструментом, одинаковым числом приемов, одним и тем же или равноценными методами и в одинаковых условиях.

5 Критерии оценки точности результатов измерений.

В геодезии необходиом уметь оценивать точность результатов измерений. Основным критерием точности в геодезии является средняя квадратическая ошибка (СКО). Ее математическое выражение:

, (16)

то есть квадрат СКО равен математическому ожиданию квадрата истинной ошибки.

Для оценки точности отдельного измерения применяется формула Гаусса:

или (17)

– случайная ошибка, тоже истинная, но

θ- истинная ошибка в более широком смысле. Она может состоять из случайной и систематической частей.

СПРАВКА: (1777 – 1855гг) – немецкий математик. Автор работ по астрономии. геодезии. физике. Разработал математические основы высшей геодезии, вычисляя погрешности при измерениях, разработал метод наименьших квадратов.

Кроме основной характеристики m, характеризующей влияние случайных ошибок на результаты измерений. иногда применяют дополнительную характеристику – среднюю ошибку

,

но СКО имеет ряд преимуществ по сравнению со средней квадратической погрешностью:

– на величину СКО сильнее влияют большие по абсолютной величине ошибки;

– СКО – устойчивая характеристика, даже при небольшом числе измерений даёт надёжные результаты.

Если – среднее арифметическое или арифметическая средина, то СКО арифметической средины М находится по формуле

где n – число измерений;

m – СКО одного измерения.

Для решения практических задач используется предельная ошибка ∆пред. Для серии ошибок в качестве ∆пред принимается утроенная СКО.

Это допуск, предел, больше которого не должно быть ошибки.

На практике во многих работах для повышения требований к точности измерений за предельную ошибку принимают удвоенную СКО.

Все приведённые выше ошибки называются абсолютными ошибками. Кроме абсолютных бывают относительные ошибки fотн, которыми называют отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеряемой величины. Относительная ошибка выражается дробью, числитель которой равен 1, а знаменатель – отношение среднего значения измеряемой величины к абсолютной ошибке.

Приведенная выше формула Гаусса 17 применима для случаев, когда известны истинные значения измеряемых величин (или истинные ошибки). Эти случаи в практике редки. Известны они могут быть например, при моделировании, или за истинные значения принимают результаты измерений более высокой точности.

6 Арифметическая средина и ее средняя квадратичная ошибка

Как правило, истинные значения измеряемых величин неизвестны, но из измерений можно получить наиболее надежный результат – арифметическую средину по формуле:

(18)

=

Вычислив уклонение отдельных измерений от арифметической средины

, (19)

можно СКО одного измерения определить по формуле Бесселя:

(20)

Справка: (1784 – 1846гг) – немецкий астроном. член Берлинской АН. Он один из первых определил расстояние до звёзд. Реформировал методы учёта инструментальных и других ошибок, что повысило точность астрономических измерений.

7Средние квадратичные ошибки функций измеренных величин.

Формулы Гаусса и Бесселя определяют СКО непосредственно измеренных величин. Если определяемая величина является функцией других непосредственно измеряемых величин, то СКО функции может быть найдена по формуле:

где – СКО функции;

– функция многих независимых аргументов ;

– частные производные от функции по каждой переменной (результату измерений);

– СКО каждого результата измерений.

8 Неравноточные измерения.

9 Понятие о весе.

На практике часто производятся неравноточные измерения, которые выполнены в различных условиях, приборами различной точности, различным числом приемов и т. д. В этом случае уже нельзя ограничиваться простым арифметическим средним, а необходимо учитывать степень надежности каждого результата измерений. Надежность результата, выраженная числом, называется его весом. Чем надежнее результат, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью результата измерения, которая характеризуется СКО. Поэтому вес результата измерения принимают обратно пропорциональным квадрату СКО, то есть:

, (22)

где – некоторая постоянная величина, коэффициент пропорциональности;

– СКО измерения.

Таким образом, вес – относительная характеристика точности измерений. Использование веса вместо СКО облегчает. упрощает формулы математической обработки в случае неравноточных измерений. Необходим вес и потому, что более точные измерения в большей степени должны влиять на окончательный результат. (Для облегчения задачи отыскивания весов обычно вес какого-либо результата принимают за единицу и относительно его вычисляют веса остальных неизвестных.)

Если вес результат какого-либо измерения принять равным единице, а СКО измерения его обозначить через , то общее выражение веса примет вид:

, (23)

где – ср. кв. ош-ка единицы веса.

В практике геодезических работ в качестве весов принимают:

– при обработке результатов угловых измерений одним и тем же прибором – величины, пропорциональные количеству измерений каждого угла; для суммы углов в ходе, имеющем ni вершин,

– при обработке линейных измерений одним и тем же мерным прибором вес вычисляется по формуле

где si – длина линии;

– при обработке превышений из геометрического нивелирования – величины, обратно пропорциональные длине ходов или числу станций;

– при тригонометрическом нивелировании вес вычисляется по формуле

где si – расстояние между пунктами.

Принципы уравнивания геодезических сетей

1 Уравнивание геодезических сетей по МНК коррелатным способом.

2 Средняя квадратичная ошибка единицы веса

Геодезические измерения характерны тем, что их всегда больше, чем необходимо для определения искомых величин. Необходимыми называют такие измерения, которые позволяют однократно, бесконтрольно найти определяемые величины. Избыточными измерениями называются те, которые выполняют сверх необходимых. Например, для решения треугольника измеряют три угла, тогда как было бы достаточно измерить два угла.

Избыточные измерения позволяют:

– проконтролировать результаты измерений;

– в среднем повысит точность определяемых величин;

– выполнить оценку точности этих величин.

Число избыточных измерений определяется по формуле , (24)

где – число всех измерений в сети;

– число необходимых измерений.

Геодезические измерения ведутся в создаваемых на местности геодезических построениях, истинные элементы которых, в том числе и измеряемые, связаны между собой Математическими зависимостями.

Каждое избыточное измерение приводит к появлению математического соотношения с другими измеренными величинами. Неизбежные ошибки в измерениях приводят к появлению невязок в этих соотношениях. Для устранения невязок необходимо уравнивание результатов измерений.

Уравнивание – это математическая обработка результатов измерений, позволяющая:

– найти наиболее надежные (вероятнейшие) значения неизвестных с оценкой точности полученных результатов;

– исключить все математические противоречия в зависимостях, существующих между измеряемыми величинами.

ВЫВОД: сама задача уравнивания может быть поставлена только при наличии в сети избыточных измерений.

Целью уравнивания является:

– нахождение таких поправок к результатам измерений, которые не только компенсировали бы невязки, но и наилучшим образом приблизили уравненные значения измеренных величин к их истинным значениям;

– повышение точности всех измеренных величин;

– выполнение оценки точности по материалам уравнивания.

Может быть найдено множество систем поправок (множество вариантов), ликвидирующих невязки, но только одна система поправок позволяет найти вероятнейшие (т. е. наиболее приближённые к истинным) значения определяемых величин (и их функций).

Такая система поправок находится под условиями 25 и 26:

– для равноточных измерений,

(условие Лежандра) (25)

-для неравноточных измерений)

(условие Гаусса) (26)

Первое условие – сумма квадратов поправок в непосредственные измерения должна быть минимальной.

Второе условие – сумма произведений квадратов поправок на веса соответствующих результатов измерений должна быть минимальной.

Уравнивание под условиями 25 и 26 называют уравниванием по методу наименьших квадратов (МНК), а условия (25) и (26) – принципом наименьших квадратов.

Уравнивание по МНК – строгое. Другие способы нахождения поправок – приближённое уравнивание.

Для решения задачи уравнивания по МНК применяются два основных способа:

– коррелатный, основанный на способе Лагранжа с неопределенными множителями для нахождения условного экстремума;

– параметрический – способ абсолютного экстремума, при котором все измеренные величины представляют в виде функций некоторых независимых неизвестных параметров.

Существуют также комбинированные способы уравнивания – коррелатный с дополнительными неизвестными и параметрический с избыточными параметрами.

1 Уравнивание геодезических сетей по МНК коррелатным способом

Пусть выполнено измерений их которых – необходимых.

– результаты измерений;

– истинные значения измеренных величин;

– установленная система весов результатов измерений;

– обратные веса.

Связь между ними может быть выражена следующими соотношениями:

, (27)

где

– случайные ошибки;

. (28)

Число избыточных измерений , где .

Каждое избыточное измерение приводит к математическому соотношению между истинными значениями измеренных величин, т. е. в геодезической сети возникает условий:

, (29)

где

( т. е. здесь r функций: ).

Эта исходная система условных уравнений связи включает только независимые уравнения, число которых равно

Вследствие неизбежных ошибок в измерениях, эти же функции, но от измеренных величин примут вид:

где – невязки.

Это выражение называется системой условных уравнений связи от измеренных значений.

(31)

Отдельные ошибки неизвестны, но их совокупность (сумма) в каждом условии может быть вычислена.

Необходимо найти такие поправки к результатам измерений, которые ликвидируют невязки, то есть должно выполняться равенство:

, (32)

где поправки к результатам измерений;

Уравненные результаты измерений находят по формуле:

(33)

Тогда система условных уравнений связи от уравненных значений примет вид:

(34)

где

В правой части опять нули, т. к. невязки компенсировались поправками.

Систему (34) приводят к линейному виду, раскладывая каждое уравнение в ряд Тейлора, и пренебрегая при этом малыми (нелинейными) членами разложения:

Первое слагаемое согласно формуле (30) является невязкой , поэтому выражение (35) примет вид:

Обозначим частные производные от первой функции буквой , от второй –, от третьей –и т. д. То есть:

, ,…,;

, ,…, (37)

, ,…,

С учетом (37) система (36) примет вид:

(38)

Это система условных уравнений поправок. В ней:

– невязки;

– коэффициенты при поправках;

– неизвестные поправки, которые надо найти, решив систему (38).

Так как в системе (38) число уравнений меньше числа неизвестных поправок , то такая система имеет множество решений, т. е. не решается однозначно. Чтобы из множества вариантов выбрать один, наилучший, необходимо поставить дополнительное условие. Это условие:

(39)

является принципом наименьших квадратов.

Вывод нормальных уравнений коррелат представляется в матричной форме. Система (38) условных уравнений поправок

решается под условием (39) МНК

,

где – матрица коэффициентов при поправках условных уравнений поправок;

– вектор поправок;

– трансформированный вектор поправок;

– вектор свободных членов;

– матрица весов результатов измерений;

Используя метод Лагранжа с неопределенными множителями, называемыми в геодезии коррелатами, представленными в виде вектора коррелат (40)

составляют функцию Лагранжа (41)

чтобы найти min, находят производную от этой функции (42)

, (43)

(44)

где – трансформированная матрица коэффициентов при поправках;

– вектор коррелат.

Полагая, что , как симметричная матрица, получим коррелатное уравнение поправок, выражающее поправки в виде функций коррелат

(45)

– матрица обратных весов результатов измерений;

– обратный вес результата измерений;

– единичная матрица – т. е. уравнение (45) можно представить в виде

(46)

Выражение (46) является коррелатным уравнением поправок.

Подставив (46) в (38), получают систему нормальных уравнений коррелат:

(47)

,

где – матрица коэффициентов нормальных уравнений.

Коэффициенты, стоящие на главной диагонали, называются квадратичными, они всегда положительны, остальные – неквадратичные.

(48)

В системе нормальных уравнений коррелат (48) – неизвестные коррелаты. Их число r, как и число уравнений, поэтому система (48) решается однозначно.

Способы решения могут быть различны:

– по схеме Гаусса;

– методом исключения, когда из последнего уравнения выражается последнее неизвестное, подставляется в предыдущее уравнение и т. д.;

– на ЭВМ, по готовым программам.

Из решения нормальных уравнений находят коррелаты , а по ним поправки:

(49)

Выражение (49) называется коррелатным уравнением поправок.

Контролем вычисления поправок является равенство:

(50)

После этого вычисляют уравненные значения результатов измерений

, () (51)

и делают контроль уравнивания путем подстановки уравненных измерений в условные уравнения связи

(52)

2 Средняя квадратическая ошибка единицы веса

Оценка точности по результатам уравнивания, то есть по поправкам, может быть выполнена по формуле:

, (53)

где – средняя квадратическая ошибка единицы веса, то есть ошибка измерения с весом .

Чтобы оценить какой-либо элемент сети (отметку, координату, угол и т. д.) необходимо составить функцию, то есть математически выразить этот элемент.

(54)

где – средняя квадратическая ошибка функции;

– вес функции.

1 Уравнивание одиночного нивелирного хода коррелатным способом

Рассмотрим нивелирный ход

Рисунок 9 – Нивелирный ход

– исходные пункты;

– отметки исходных пунктов;

– измеренные превышения;

– длины секций;

– определяемые пункты, отметки которых необходимо найти.

Уравнивание нивелирного хода начинается с подсчета числа избыточных измерений по формуле

(55)

В ходе, представленном на рисунке 9, число измеренных превышений . Число необходимых измерений – по числу определяемых пунктов. Поэтому .

Контроль вычисления производится по формуле , (56)

где – число замкнутых полигонов;

– число исходных пунктов.

Таким образом, в нивелирном ходе возникает только одно условие и соответственно одно условное уравнение связи:

(57)

где – невязка.

Так как , то, согласно общей теории уравнивания, составляется одно нормальное уравнение коррелат

, (58)

где – обратные веса;

при , обратные веса ;

– коэффициенты при поправках условного уравнения поправок

(59)

Коэффициенты находятся как частные производные от функции по результатам измерений , т. е. , ,…, .

Коррелатный способ уравнивания

Коррелатный способ основан на использовании функциональной связи между собой элементов геодезических построений Xi (i = 1, n). Эти уравнения связи называются условными уравнениями:

При коррелатном способе уравнивания вначале составляется система условных уравнений AV + W = 0,

где А – матрица коэффициентов системы условных уравнений;

V – вектор поправок в измеренные значения элементов сети;

W – вектор невязок условных уравнений.

При этом коэффициенты aij условных уравнений поправок определяются по формуле:

а невязки уравнений – по формуле:

где xi (i = 1, n) – измеренные значения элементов геодезических построений.

При известной весовой матрице Р вначале вычисляют обратную весовую матрицу Q = P -1 , а затем от системы условных уравнений переходят к системе нормальных уравнений:

Определив коррелаты К = – (AQA T ) W, вычисляют поправки V = QA T K и уравненные значения измеренных элементов сети x* = x + v,

где х* – вектор уравненных значений;

х – вектор измеренных значений элементов геодезических построений.

Дата добавления: 2016-06-02 ; просмотров: 1885 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Примеры коррелатного способа уравнивания

В этом разделе приводятся примеры уравнивания некоторых геодезических построений. В примерах рассматривается алгоритм решения задачи уравнивания для разных вариантов геодезических построений со сравнительно небольшим числом измеренных величин, как это часто имеет место, например, в практике геодезических и маркшейдерских работ на земной поверхности при создании опорных сетей либо в горных выработках при обработке результатов измерений в системах полигонометрических ходов. Уравнивание систем нивелирных ходов обычно производится при точных и высокоточных измерениях, например, при наблюдениях за деформациями горных выработок и наземных сооружений, что тоже имеет место и в практике геодезических и маркшейдерских работ.

В примерах рассмотрены сравнительно простые схемы геодезических построений, однако принцип расчётов и в сложных системах точно такой же, как и в простых.

137.1. Уравнивание углов в полигоне

В полигоне, состоящем из четырёх вершин (рис. 14.7), неравноточно измерены горизонтальные углы: А = β1 , В = β2 , С = β3 , D = β4 (табл. 14.4).

Выполнить уравнивание углов без учёта измерения длин сторон.

Предварительно найдем веса pi и обратные веса qi, приняв м (см. табл. 14.4) без учёта величин измеренных углов, считая их практически примерно одинаковыми (значения весов определяются по условию возможной погрешности в направлениях из-за центрирования теодолита; для веса угла применяется правило сложения обратных весов направлений):

, (14.91)

где s1 и s2 – стороны, образующие данный угол.

Шаг 1. Общее число измеренных величин n = 4, число необходимых измерений k = 3, число избыточных измерений r = 1.

Шаг 2. Составим условное уравнение (условие сумм углов полигона).

Всего одно уравнение, поскольку r = 1.

Шаг 3. Приводим условное уравнение к линейному виду, для чего продифференцируем его и найдем частные производные функции по аргументам βi . Очевидно, что

Составим матрицу коэффициентов aij со строкой обратных весов qi (таблица 14.5).

Рис. 14.7. Уравнивание углов в полигоне.

Обозначение Значение угла Вес pi Обратный вес qi
β1 80 0 16′ 44,3″ 0,221 4,520
β2 91 0 45′ 00,7″ 0,459 2,181
β3 69 0 25′ 56,8″ 0,473 2,113
β4 118 0 32′ 25,2″ 0,225 4,452

Матрица коэффициентов, весов и обратных весов

i→ j↓
+ 1 + 1 + 1 + 1
рi 0,221 0,459 0,473 0,225
qi 4,520 2,181 2,113 4,452

Свободный член уравнения

Шаг 4. Найдём коэффициенты bjj нормальных уравнений (в данном случае – уравнений коррелат):

, (14.92)

. (14.93)

Для приведенного примера, с учётом значений aij и qi , 13,266 k1 + 7 = 0, откуда k1 = – 0,528.

Шаг 5. Составляем условное уравнение поправок

(14.94)

и формулы для вычисления поправок (с вычислением их значений):

Контроль по формуле (14.94): условие выполнено! (проверьте сами). Отступление при округлениях значений поправок на 0,1″ является допустимым.

Вспомните загадку, которая прозвучала в начале этой главы. А если забыли, то возвратитесь к этому началу. Вот оно, что «под конец тонко» – это и есть хвостик решения всей задачи уравнивания: маленькие поправочки в измеренные величины. Ну а что тут было зелено, да посерёдке толсто – это уж понятно из решения данной задачи. Правда, приведенная задача – одна из самых простых. Дальше будет корнеплод посложнее. Но, всему своё время. А сейчас – закончим решение приведенной задачи.

Шаг 6. Вычисляем уравненные значения углов:

β1 ‘ = 80° 16′ 44,3″ – 2,4″ = 80° 16′ 41,9″; β2 ‘ = 91° 45′ 00,7″ – 1,1″ = 91° 44′ 59,6″;

β3 ‘ = 69° 25′ 56,8″ – 1,2″ = 69° 25′ 55,6″; β4 ‘ = 118° 32′ 25,2″ – 2,4″ = 181° 32′ 22,8″.

Контроль: подстановка уравненных значений углов в уравнение (14.91) – условие выполнено! (проверьте это условие).

Очевидно, что при равноточных измерениях углов для них были бы получены одинаковые поправки, т.е. невязка была бы распределена поровну во все углы.

137.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками

На местности пройдена система нивелирных ходов с четырьмя узловыми точками 1, 2, 3 и 4 (рис. 14.8). В результате измерений образовано 9 секций, превышения в которых по указанному направлению приведены непосредственно на схеме. Указаны также высоты исходных реперов Р10, Р20 и Р30. В табл. 14.6 приведены длины ходов в секциях и значения весов и обратных весов превышений в секциях, вычисленные по формулам:

Рис. 14.8. Схема нивелирных ходов с четырьмя узловыми точками.

№ секции Превышение h, мм Длина хода s в секции, км Вес p пре-вышения Обратный вес q пре-вышения
+3586 0,84 2,38 0,42
+2841 1,36 1,47 0,68
-752 2,15 0,93 1,08
-1243 0,78 2,56 0,39
+509 2,63 0,76 1,32
+5338 2,05 0,98 1,03
-5863 3,02 0,66 1,51
+4639 3,44 0,58 1,72
-3024 2,38 0,84 1,19

, (14.95)

где

Требуется определить уравненные значения высот узловых точек.

Шаг 1. Общее число измерений n = 9, число необходимых измерений k = 4, число избыточных измерений r = 5.

Шаг 2. Составим r = 5 условных уравнений:

Шаг 3. Приведём условные уравнения к линейному виду, продифференцировав их по аргументам hi. Получим коэффициенты aij условных уравнений поправок:

Составим матрицу коэффициентов aij со строкой обратных весов qi (табл. 14.7).

Матрица коэффициентов и обратных весов

→ i j↓
+1 -1 +1
-1 +1 +1
+1 +1 +1
+1 +1 -1
+1 +1 +1
qi 0,42 0,68 1,08 0,39 1,32 1,03 1,51 1,72 1,19

Вычислим свободные члены (в мм), подставив в уравнения (14.96) измеренные значения hi в секциях:

Шаг 4. Найдём по формулам (14.88) коэффициенты bjj нормальных уравнений коррелат:

(14.97)

После подстановки значений aij и qi в уравнения (14.97) получим исходные нормальные уравнения коррелат:

Из решения системы уравнений (14.98) одним из способов получим:

Контроль вычисления коррелат выполняем подстановкой их значений в исходные уравнения (14.98):

1. 2,18 (-2,137) – 1,08 (-11,552) + 0,42 (-1,945) – 7 = + 0,001;

2. -1,08(-2,137) + 2,79(-11,552) + 1,32(+9,606) + 0,39(-1,945) + 18 = -0,001;

3. 1,32(-11,552) + 3,86(+9,606) + 1,51(-3,882) – 16 = – 0,031;

4. 1,51(+9,606) + 4,42(-3,882) + 1,72(-1,945) + 6 = +0,001;

5. 0,42(-2,137) + 0,39(-11,552) + 1,72(-3,882) + 2,53(-1,945) + 17 = -0,001.

Сравнительно большее невыполнение условия мы видим в уравнении 3. Это вызвано погрешностями округлений. При вычислении с большими значащими цифрами этого не наблюдалось бы. При этом результаты вычислений принимаем удовлетворительными, поскольку поправки в измеренные значения превышений для данных условий будут в дальнейшем округляться до 1 мм, а вычисления проведены с большим запасом точности.

Шаг 5. Составляем условные уравнения поправок vi, пользуясь формулами (14.86) и табл. 14.7:

(14.99)

1. v1 = 0,42 ∙1∙ (-2,137) + 0,42∙1∙ (-1,945) = – 1,714 = – 2 мм;

2. v2 = 0,68 ∙ (-1) ∙ (-2,137) = + 1,453 = + 1 мм;

3. v3 = 1,08 ∙ 1 ∙ (2,137) + 1,08 ∙ (-1) ∙ (-11,552) = +10,168 = + 10 мм;

4. v4 = 0,39 ∙ 1 ∙ (-11,552) + 0,39 ∙1 ∙ (-1,945) = – 5,264 = – 5 мм;

5. v5 = 1,32 ∙1∙ (-11,552) + 1,32 ∙ 1 ∙ (+9,606) = – 2,569 = – 3 мм;

6. v6 = 1,03 ∙1 ∙ (+9,606) = + 9,894 = + 10 мм;

7. v7 = 1,51 ∙ 1 ∙ (+9,606) + 1,51 ∙1 ∙ (-3,882) = + 8,643 = + 9 мм;

8. v8 = 1,72 ∙ 1 ∙ (-3,882) + 1,72 ∙ 1 ∙ (-1,945) = – 10,022 = – 10 мм;

9. v9 = 1,19 ∙ (-1) ∙ (-3,882) = + 4,620 = + 5 мм.

Контроль вычисления поправок можно выполнить по формулам (14.96), подставив в них вместо превышений значения поправок (суммы поправок должны быть равны значениям соответствующих невязок с обратным знаком):

Шаг 6. Вычисляем уравненные значения превышений в секциях и контролируем уравнивание по выполнению условия (14.96):

h6 ‘= + 5338 + 10 = + 5348 мм;

Подстановка в уравнения (14.96) подтверждает выполнение указанного условия.

Вычисляем уравненные значения высот узловых точек 1, 2 , 3 и 4:

Контроль вычислений здесь можно выполнить вторичным получением высот искомых точек по другим направлениям. Должны получиться те же результаты. Например, H1 = HP30 – h8‘ – h4‘ = 85,301 – 4,629 + 1,248 = 81,920 м.

137.3. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками

Уравнивание таких систем полигонометрических ходов аналогично уравниванию как одиночного полигонометрического хода, так и системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой. В такой системе (рис. 14.9) образуется три независимых полигонометрических хода [(1), (2), (3)], в которых возникает по три условия: три условия дирекционных углов и шесть условий координат, т.е. получается девять условных уравнений.

Рис. 14.9. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками.

В табл. 14.8, 14.9 и 14.10 приведены необходимые исходные данные для решения задачи уравнивания, заключающейся в определении уравненных значений координат точек 1, 2, 3, M, N, а также уравненного значения дирекционного угла узловой линии MN. (В данном примере узловые точки M и N образуют и узловую линию).

Часто между узловыми точками прокладывают полигонометрический ход в две и более линии. Тогда понятие узловой линии не будет иметь места. Ею может быть любая линия с началом в какой-либо узловой точке).

Горизонтальные углы измерены равноточно с погрешностью mβ = 2,0″. Расстояния измерены светодальномером с погрешностью, примерно одинаковой для всех линий (ms = 18 мм = 1,8 см). В соответствии с указанной точностью измерения расстояний и углов веса углов принимаем равными единице (pβ = 1; qβ = 1), а веса расстояний –

Координаты исходных пунктов

Координаты, м B C F G
Х 7183,652 8137,565 6124,924 7894,521
Y 4380,124 6463,782 4718,048 7173,596

Исходные дирекционные углы

αАВ 71º 08′ 14,3″ α BA 251º 08′ 14,3″
α CD 118º 19′ 14,7″ α DC 298º 19′ 14,7″
α EF 324º 21′ 18,0″ α FE 144º 21′ 18,0″
α GH 159º 58′ 14,2″ α HG 339º 58′ 14,2″

Измеренные горизонтальные углы и расстояния

Обозначение угла Значение угла Обозначение расстояния Значение расстояния, м
β 1 226º 15′ 25″ s 1 475,885
β 2 201º 36′ 36″ s 2 693,027
β 3 85º 02′ 31″ s 3 857,338
β 4 170º 15′ 07″ s 4 401,239
β 5 172º 53′ 18″ s 5 841,215
β 6 271º 07′ 58″ s 6 625,329
β 7 280º 34′ 07″ s 7 573,421
β 8 84º 46′ 52″ s 8 989,716
β 9 337º 03′ 44″
β 10 178º 54 26″
β 11 78º 21 28″

Выполним предварительные вычисления в полигонометрических ходах (1), (2) и (3), т.е. определим координаты точек ходов, используя только измеренные величины (табл. 14.11).

Шаг 1. Общее число измерений n = 19 (11 углов и 8 расстояний), число необходимых измерений k = 10, число избыточных измерений r = 9.

№№ точек Гориз.углы β Дирекц.углы α Рассто-яния s , м Приращения координат, м Координаты, м №№ точек
Δх Δу Х Y
A Ход (1)
71°08’14,3″
B 226°15’25” 7183,652 4380,124 B
117°23’39,3″ 475,885 -218,960 +422,520
201°36’36” 6964,692 4802,644
139°00’15,3″ 693,027 -523,068 +454,628
M 280°34’07” 6441,624 5257,272 M
239°34’22,3″ 625,329 -316,693 -539,205
F 84°46’52” 6124,931 6124,924 +0,7 см 4718,067 4718,048 +1,9 см F o FИСХ
144°21’14,3″ 144°21’18,0″ -3,7″
E
Ход (2)
A
71°08’14,3″
B 226°15’25” 7183,652 4380,124 B
117°23’39,3″ 475,885 -218,960 +422,520
201°36’36” 6964,692 4802,644 1
139°00’15,3″ 693,027 -523,068 +454,628
M 85°02’31” 6441,624 5257,272 M
44°02’46,3″ 857,338 +616,237 +596,054
N 170°15’07” 7057,861 5853,326 N
34°17’53,3″ 401,239 +331,470 +226,098
172°53’18” 7389,331 6079,424
27°11’11,3″ 841,215 +748,281 +384,341
C 271°07’58” 8137,612 8137,565 6463,765 6463,782 C o СИСХ
118°19’09,3″ 118°19’14,7″ -5,4″
D +4,7 см -1,7 см
Ход (3)
H
339°58’14,2″
G 78°21’28” 7894,521 7173,596 G
238°19’42,2″ 573,421 -301,075 -488,022
178°54’26” 7593,446 6685,574
237°14’08,2″ 989,716 -535,620 -832,255
N 337°03’44” 7057,826 5853,320 N
34°17’52,2″ 401,239 +331,471 +226,096
172°53’18” 7389,297 6079,415
27°11’10,2″ 841,215 +748,283 +384,337
C 271°07’58” 8137,580 8137,565 6463,752 6463,782 C o СИСХ
118°19’08,2″ 118°19’14,7″ -6,5″
D +1,5 см -3,0 см

Шаг 2. Составление условных уравнений.

Для трёх независимых ходов, будем иметь три условных уравнения для дирекционных углов и шесть условных уравнений для координат ( три – для абсцисс, три – для ординат).

1.

2.

3.

4.

5. (14.100)

6.

7.

8.

9.

В уравнениях (14.100) индексы (1), (2) и (3) относятся к соответствующим ходам (см. табл. 14.11), например, n(1) = 4, n(2) = 6, n(3) = 5.

Приведём условные уравнения к линейному виду по правилам, изложенным выше. В полученные выражения введём знак гауссовых сумм.

1.

2.

3.

4.

5. (14.101)

6.

7.

8.

9.

В уравнениях (14.101) значения координат берут в километрах, а значение ρ = 206265″ уменьшают на 100000.

Вычислим значения невязок в уравнениях (14.101) с учётом данных измерений и предварительных вычислений:

где Ti o – результат вычисления исходной величины Ti(исх).

W1 = 144º 21′ 14,3″ – 144º 21′ 18,0″ = – 3,7″ ;

W2 = 118º 19′ 09,3″ – 118º 19′ 14,7″ = – 5,4″ ;

W3 = 118º 19′ 08,2″ – 118º 19′ 14,7″ = – 6,5″ ;

W4 = 6124,931 – 6124,924 = +0,007 м = + 0,7 см;

W5 = 4718,067 – 4718,048 = + 0,019 м = + 1,9 см;

W6 = 8137,612 – 8137,565 = + 0,047м = + 4,7 см;

W7 = 6463,765 – 6463,782 = – 0,017 м = – 1,7 см;

W8 = 8137,580 – 8137,565 = + 0,015 м = + 1,5 см;

W9 = 6463,752 – 6463,782 = – 0,030 м = – 3.0 см .

По данным табл. 14.11 составим табл. 14.12 значений синусов и косинусов дирекционных углов и разностей абсцисс и ординат. Получим окончательные условные уравнения поправок:

Значения синусов и косинусов дирекционных углов, значения разностей координат

№№ точек Sin αi Cos αi (хn 0 -xi 0 ), км (yn 0 -yi 0 ), км
Ход 1
В (В-1) 0,8879 -0,4601 -1,0587 0,3379
(1-М) 0,6560 -0,7548 -0,8398 -0,0846
М (M-F) -0,8623 -0,5064 -0,3167 -0,5392
F
Ход 2
В (В-1) 0,8879 -0,4601 0,9540 2,0836
(1-М) 0,6560 -0,7548 1,1729 1,6611
М (M-N) 0,6952 0,7188 1,6960 1,2065
N (N-2) 0,5635 0,8261 1,0798 0,6104
(2-C) 0,4569 0,8895 0,7483 0,3843
C
Ход 3
G (G-3)-0,8511 -0,5250 0,2431 -0,7098
(3-N)-0,8409 -0,5412 0,5441 -0,2218
N (N-2)0,5635 0,8261 1,0798 0,6104
(2-C)0,4569 0,8895 0,7483 0,3843
C

Составим матрицу коэффициентов aij и обратных весов qi , необходимую для определения коэффициентов нормальных уравнений коррелат (табл. 14.13).

Матрица коэффициентов и обратных весов

i→ j↓ β1 β2 β3 β4 β5 β6 β7 β8 β9
-0,1638 0,0410 0,2614
-0,5133 -0,4071 -0,1535
-1,0102 -0,8053 -0,5849 -0,2959 -0,1863
0,4625 0,5686 0,8222 0,5235 0,3628
-0,1863 -0,2959
0,3628 0,5235
qi

(продолжение табл. 14.13)

β10 β11 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8
-0,4601 -0,7548 -0,5064
0,8879 0,6560 -0,8623
-0,4601 -0,7548 0,7188 0,8261 0,8895
0,8879 0,6560 0,6952 0,5635 0,4569
0,1076 0,3441 0,8261 0,8895 -0,5250 -0,5412
0,2638 0,1178 0,5635 0,4569 -0,8511 -0,8409
0,810 0,810 0,810 0,810 0,810 0,810 0,810 0,810

Шаг 4. Составление нормальных уравнений коррелат.

[spoiler title=”источники:”]

http://helpiks.org/8-23439.html

http://lektsii.org/3-97898.html

[/spoiler]

Источник

Условный коэффициент

Cтраница 2

Определяя условные коэффициенты для прежнего и нового топлива для разных печей и беря их отношение, получаем переводный коэффициент, на который нужно умножить расход прежнего топлива, чтобы полу – тать расход природного газа.
 [16]

Если условный коэффициент вытяжки mcm равен или больше-допустимого коэффициента вытяжки полого цилиндра из той же заготовки тг, то ступенчатую деталь можно отштамповать за одну операцию.
 [17]

Какой условный коэффициент инжекции имеет термохимический трансформатор при работе по расщепительной и повысительной схемам и какая из этих схем имеет большие перспективы для практического применения.
 [18]

Эти условные коэффициенты загрязнения были определены косвенным путем на основании опытных данных по суммарному теплообмену в топочных камерах и, естественно, не отражали реальных условий загрязнения.
 [19]

Эти условные коэффициенты загрязнения были определены подбором на основании опытных данных по суммарному тепловосприятию топочных камер и, как показали выполненные впоследствии непосредственные измерения, существенно отличаются от действительных коэффициентов загрязнения.
 [20]

Однако условный коэффициент продуктивности скважины зависит от мощности пласта и по нему можно сделать выводы только по конкретной скважине. Для общности рассуждений необходимо построить графики относительного коэффициента продуктивности скважины. Под относительным коэффициентом продуктивности понимается отношение текущего значения коэффициента продуктивности к его максимальному значению при больших: перепадах давления.
 [22]

Величина условного коэффициента трения во второй или третьей клети приблизительно равна нулю, так как разность в осевых усилиях при большом обжатии по диаметру и при значительном усилии натяжения очень мала. Это, однако, требует дополнительных объяснений.
 [24]

Кпх – условный коэффициент пластичности; рш – твердость породы по штампу в кГ / мм 2; m – коэффициент, зависящий от скорости вращения долота и вида разрушения горных пород; mv – коэффициент, зависящий от пластичности породы; пг2 – коэффициент, зависящий от твердости породы; С0 – постоянная величина, учитывающая прочие факторы, влияющие на ум.
 [25]

Среднее значение условного коэффициента а составляет ( по результатам обработки данных, относящихся к различным режимам работы ряда испытанных детандеров) величину порядка 50 ккал.
 [26]

Зная величину условного коэффициента теплообмена ау [ в ккал / ( м2 – ч-ерад) ], по уравнению ( П-48) вычисляют поверхность нагрева трубчатой или тарельчатой сушилки.
 [27]

Абсолютные значения условного коэффициента смещения давления dS сформулированы посредством экспертной оценки и требуют дальнейшего уточнения по результатам промысловой апробации.
 [29]

В [8] введены условные коэффициенты теплоотдачи: массовый ам 2 / ( ЛШ) и объемный a06Q / ( VAO – По мнению авторов, эти коэффициенты необходимы в тех случаях, когда коэффициент теплоотдачи, отнесенный к поверхности нагрева, не может служить критерием оценки поверхностей, например пучков труб с различным оребрением. Для двухстороннего обтекания аналогично введены массовые и объемные коэффициенты теплопередачи.
 [30]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Источник

Добавить комментарий