Как найти условный экстремум функции онлайн

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $varphi (x,y)=0$.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=psi(x)$, то подставив $y=psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=fleft(x,psi(x)right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$ (параметр $lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

$$
left { begin{aligned}
& frac{partial F}{partial x}=0;\
& frac{partial F}{partial y}=0;\
& varphi (x,y)=0.
end{aligned} right.
$$

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F < 0$, то условный максимум.

Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: $varphi_{x}^{‘}dx+varphi_{y}^{‘}dy=0$, $dy=-frac{varphi_{x}^{‘}}{varphi_{y}^{‘}}dx$, поэтому в любой стационарной точке имеем:

$$d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxleft( -frac{varphi_{x}^{‘}}{varphi_{y}^{‘}}dxright)+F_{yy}^{”}left( -frac{varphi_{x}^{‘}}{varphi_{y}^{‘}}dxright)^2=\
=-frac{dx^2}{left(varphi_{y}^{‘} right)^2}cdotleft( -(varphi_{y}^{‘})^2 F_{xx}^{”}+2varphi_{x}^{‘}varphi_{y}^{‘}F_{xy}^{”}-(varphi_{x}^{‘})^2 F_{yy}^{”} right)$$

Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме:

$$
H=left| begin{array} {ccc}
0 & varphi_{x}^{‘} & varphi_{y}^{‘}\
varphi_{x}^{‘} & normred{F_{xx}^{”}} & normred{F_{xy}^{”}} \
varphi_{y}^{‘} & normred{F_{xy}^{”}} & normred{F_{yy}^{”}} end{array} right|
$$

Красным цветом выделены элементы определителя $left| begin{array} {cc} F_{xx}^{”} & F_{xy}^{”} \ F_{xy}^{”} & F_{yy}^{”} end{array} right|$, который является гессианом функции Лагранжа. Если $H > 0$, то $d^2F < 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F > 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показатьскрыть

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум

1. Составить функцию Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$
2. Решить систему $
   left { begin{aligned}
   & frac{partial F}{partial x}=0;\
   & frac{partial F}{partial y}=0;\
   & varphi (x,y)=0.
   end{aligned} right.$
3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
   • Составить определитель $H$ и выяснить его знак
   • С учетом уравнения связи вычислить знак $d^2F$

Метод множителей Лагранжа для функций n переменных

Допустим, мы имеем функцию $n$ переменных $z=f(x_1,x_2,ldots,x_n)$ и $m$ уравнений связи ($n > m$):

$$varphi_1(x_1,x_2,ldots,x_n)=0; ; varphi_2(x_1,x_2,ldots,x_n)=0,ldots,varphi_m(x_1,x_2,ldots,x_n)=0.$$

Обозначив множители Лагранжа как $lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

$$F(x_1,x_2,ldots,x_n,lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_m)=f+lambda_1varphi_1+lambda_2varphi_2+ldots+lambda_mvarphi_m$$

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

$$left{begin{aligned}
& frac{partial F}{partial x_i}=0; (i=overline{1,n})\
& varphi_j=0; (j=overline{1,m})
end{aligned} right.$$

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F < 0$, – то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Определитель матрицы

$$left| begin{array} {ccccc} frac{partial^2F}{partial x_{1}^{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{1}partial x_{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{1}partial x_{3}} &ldots & frac{partial^2F}{partial x_{1}partial x_{n}}\
frac{partial^2F}{partial x_{2}partial x_1} & frac{partial^2F}{partial x_{2}^{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{2}partial x_{3}} &ldots & frac{partial^2F}{partial x_{2}partial x_{n}}\
frac{partial^2F}{partial x_{3} partial x_{1}} & frac{partial^2F}{partial x_{3}partial x_{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{3}^{2}} &ldots & frac{partial^2F}{partial x_{3}partial x_{n}}\
ldots & ldots & ldots &ldots & ldots\
frac{partial^2F}{partial x_{n}partial x_{1}} & frac{partial^2F}{partial x_{n}partial x_{2}} & frac{partial^2F}{partial x_{n}partial x_{3}} &ldots & frac{partial^2F}{partial x_{n}^{2}}\
end{array} right|,$$

выделенной в матрице $L$ красным цветом, есть гессиан функции Лагранжа. Используем следующее правило:

• Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},; H_{2m+2},ldots,H_{m+n}$ матрицы $L$ совпадают с знаком $(-1)^m$, то исследуемая стационарная точка является точкой условного минимума функции $z=f(x_1,x_2,x_3,ldots,x_n)$.
• Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},; H_{2m+2},ldots,H_{m+n}$ чередуются, причём знак минора $H_{2m+1}$ совпадает с знаком числа $(-1)^{m+1}$, то исследуемая стационарная точка является точкой условного максимума функции $z=f(x_1,x_2,x_3,ldots,x_n)$.

Пример №1

Найти условный экстремум функции $z(x,y)=x+3y$ при условии $x^2+y^2=10$.

Решение

Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости $z=x+3y$ для точек ее пересечения с цилиндром $x^2+y^2=10$.

Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию $z(x,y)=x+3y$ несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа.

Обозначив $varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, составим функцию Лагранжа:

$$
F(x,y)=z(x,y)+lambda varphi(x,y)=x+3y+lambda(x^2+y^2-10);\
frac{partial F}{partial x}=1+2lambda x; frac{partial F}{partial y}=3+2lambda y.
$$

Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:

$$
left { begin{aligned}
& 1+2lambda x=0;\
& 3+2lambda y=0;\
& x^2+y^2-10=0.
end{aligned} right.
$$

Если предположить $lambda=0$, то первое уравнение станет таким: $1=0$. Полученное противоречие говорит о том, что $lambdaneq 0$. При условии $lambdaneq 0$ из первого и второго уравнений имеем: $x=-frac{1}{2lambda}$, $y=-frac{3}{2lambda}$. Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:

$$

left( -frac{1}{2lambda} right)^2+left( -frac{3}{2lambda} right)^2-10=0;\
frac{1}{4lambda^2}+frac{9}{4lambda^2}=10; lambda^2=frac{1}{4}; left[ begin{aligned} & lambda_1=-frac{1}{2};\ & lambda_2=frac{1}{2}. end{aligned} right.\
begin{aligned}
& lambda_1=-frac{1}{2}; ; x_1=-frac{1}{2lambda_1}=1; ; y_1=-frac{3}{2lambda_1}=3;\
& lambda_2=frac{1}{2}; ; x_2=-frac{1}{2lambda_2}=-1; ; y_2=-frac{3}{2lambda_2}=-3.end{aligned}
$$

Итак, система имеет два решения: $x_1=1;; y_1=3;; lambda_1=-frac{1}{2}$ и $x_2=-1;; y_2=-3;; lambda_2=frac{1}{2}$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. Для этого вычислим определитель $H$ в каждой из точек.

$$
varphi_{x}^{‘}=2x;; varphi_{y}^{‘}=2y;; F_{xx}^{”}=2lambda;; F_{xy}^{”}=0;; F_{yy}^{”}=2lambda.\

H=left| begin{array} {ccc} 0 & varphi_{x}^{‘} & varphi_{y}^{‘}\ varphi_{x}^{‘} & F_{xx}^{”} & F_{xy}^{”} \ varphi_{y}^{‘} & F_{xy}^{”} & F_{yy}^{”} end{array} right|=
left| begin{array} {ccc} 0 & 2x & 2y\ 2x & 2lambda & 0 \ 2y & 0 & 2lambda end{array} right|=
8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & x & y\ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda end{array} right|
$$

В точке $M_1(1;3)$ получим:

$$H=8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & x & y\ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda end{array} right|=
8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & 1 & 3\ 1 & -1/2 & 0 \ 3 & 0 & -1/2 end{array} right|=40 > 0.$$

Следовательно, в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_{max}=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем:

$$H=8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & x & y\ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda end{array} right|=
8cdotleft| begin{array} {ccc} 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \ -3 & 0 & 1/2 end{array} right|=-40$$

Так как $H < 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{min}=z(-1;-3)=-10$.

Отмечу, что вместо вычисления значения определителя $H$ в каждой точке, гораздо удобнее раскрыть его в общем виде. Дабы не загромождать текст подробностями, этот способ скрою под примечание.

Запись определителя $H$ в общем виде. показатьскрыть

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

$$
d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=2lambda left( dx^2+dy^2right)
$$

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $left( dx right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $lambda_1=-frac{1}{2}$ получим $d^2F < 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Ответ: в точке $(-1;-3)$ функция имеет условный минимум, $z_{min}=-10$. В точке $(1;3)$ функция имеет условный максимум, $z_{max}=10$.

Пример №2

Найти условный экстремум функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условии $x+y=0$.

Решение

Первый способ (метод множителей Лагранжа)

Обозначив $varphi(x,y)=x+y$ составим функцию Лагранжа:

$$F(x,y)=z(x,y)+lambda varphi(x,y)=3y^3+4x^2-xy+lambda(x+y).$$

$$
frac{partial F}{partial x}=8x-y+lambda; ; frac{partial F}{partial y}=9y^2-x+lambda.\

left { begin{aligned} & 8x-y+lambda=0;\ & 9y^2-x+lambda=0; \ & x+y=0. end{aligned} right.

$$

Решив систему, получим: $x_1=0$, $y_1=0$, $lambda_1=0$ и $x_2=frac{10}{9}$, $y_2=-frac{10}{9}$, $lambda_2=-10$. Имеем две стационарные точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 left(frac{10}{9};-frac{10}{9} right)$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием определителя $H$.

$$
H=left| begin{array} {ccc} 0 & varphi_{x}^{‘} & varphi_{y}^{‘}\ varphi_{x}^{‘} & F_{xx}^{”} & F_{xy}^{”} \ varphi_{y}^{‘} & F_{xy}^{”} & F_{yy}^{”} end{array} right|=
left| begin{array} {ccc} 0 & 1 & 1\ 1 & 8 & -1 \ 1 & -1 & 18y end{array} right|=-10-18y
$$

В точке $M_1(0;0)$ $H=-10-18cdot 0=-10 < 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{min}=0$. В точке $M_2left(frac{10}{9};-frac{10}{9}right)$ $H=10 > 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_{max}=frac{500}{243}$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

$$
d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=8dx^2-2dxdy+18ydy^2
$$

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$
d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2
$$

Так как $ d^2F Bigr|_{M_1}=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F Bigr|_{M_2}=-10 dx^2 < 0$, т.е. $M_2left(frac{10}{9}; -frac{10}{9} right)$ – точка условного максимума.

Второй способ

Из уравнения связи $x+y=0$ получим: $y=-x$. Подставив $y=-x$ в функцию $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получим некоторую функцию переменной $x$. Обозначим эту функцию как $u(x)$:

$$
u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2.
$$

Таким образом задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.

$$
u_{x}^{‘}=-9x^2+10x;\
-9x^2+10x=0; ; xcdot(-9x+10)=0;\
x_1=0; ; y_1=-x_1=0;\
x_2=frac{10}{9}; ; y_2=-x_2=-frac{10}{9}.
$$

Получили точки $M_1(0;0)$ и $M_2left(frac{10}{9}; -frac{10}{9}right)$. Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Исследуя знак $u_{xx}^{”}$ в каждой стационарной точке или проверяя смену знака $u_{x}^{‘}$ в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом. Например, проверим знак $u_{xx}^{”}$:

$$u_{xx}^{”}=-18x+10;\
u_{xx}^{”}(M_1)=10;;u_{xx}^{”}(M_2)=-10.$$

Так как $u_{xx}^{”}(M_1)>0$, то $M_1$ – точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_{min}=u(0)=0$. Так как $u_{xx}^{”}(M_2)<0$, то $M_2$ – точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{max}=uleft(frac{10}{9}right)=frac{500}{243}$.

Значения функции $u(x)$ при заданном условии связи совпадают с значениями функции $z(x,y)$, т.е. найденные экстремумы функции $u(x)$ и есть искомые условные экстремумы функции $z(x,y)$.

Ответ: в точке $(0;0)$ функция имеет условный минимум, $z_{min}=0$. В точке $left(frac{10}{9}; -frac{10}{9} right)$ функция имеет условный максимум, $z_{max}=frac{500}{243}$.

Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака $d^2F$.

Пример №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5xy-4$, если переменные $x$ и $y$ положительны и удовлетворяют уравнению связи $frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1=0$.

Решение

Составим функцию Лагранжа: $F=5xy-4+lambda left( frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1 right)$. Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

$$
F_{x}^{‘}=5y+frac{lambda x}{4}; ; F_{y}^{‘}=5x+lambda y.\

left { begin{aligned}
& 5y+frac{lambda x}{4}=0;\
& 5x+lambda y=0;\
& frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1=0;\
& x > 0; ; y > 0.
end{aligned} right.
$$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; ; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $lambda=-frac{5x}{y}$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-frac{5x}{y}cdot frac{x}{4}=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $frac{4y^2}{8}+frac{y^2}{2}-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

$$
F_{xx}^{”}=frac{lambda}{4}; ; F_{xy}^{”}=5; ; F_{yy}^{”}=lambda.
$$

Так как $frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1=0$, то:

$$
dleft( frac{x^2}{8}+frac{y^2}{2}-1right)=0; ; dleft( frac{x^2}{8} right)+dleft( frac{y^2}{2} right)=0; ; frac{x}{4}dx+ydy=0; ; dy=-frac{xdx}{4y}.
$$

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $lambda=-10$, получив при этом:

$$
F_{xx}^{”}=frac{-5}{2}; ; F_{xy}^{”}=-10; ; dy=-frac{dx}{2}.\

d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=-frac{5}{2}dx^2+10dxcdot left(-frac{dx}{2} right)-10cdot left(-frac{dx}{2} right)^2=\
=-frac{5}{2}dx^2-5dx^2-frac{5}{2}dx^2=-10dx^2.

$$

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

$$
d^2 F=F_{xx}^{”}dx^2+2F_{xy}^{”}dxdy+F_{yy}^{”}dy^2=frac{lambda}{4}dx^2+10cdot dxcdot frac{-xdx}{4y} +lambdacdot left(-frac{xdx}{4y} right)^2=\
=frac{lambda}{4}dx^2-frac{5x}{2y}dx^2+lambda cdot frac{x^2dx^2}{16y^2}=left( frac{lambda}{4}-frac{5x}{2y}+frac{lambda cdot x^2}{16y^2} right)cdot dx^2
$$

Подставляя $x=2$, $y=1$, $lambda=-10$, получим:

$$
d^2 F=left( frac{-10}{4}-frac{10}{2}-frac{10 cdot 4}{16} right)cdot dx^2=-10dx^2.
$$

Так как $d^2F=-10cdot dx^2 < 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{max}=10-4=6$.

Ответ: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_{max}=6$.

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.

Найти экстремумы функции

The calculator will try to find the maxima and minima of the two- or three-variable function, subject to the given constraints, using the method of Lagrange multipliers, with steps shown.

Related calculator:

Critical Points, Extrema, and Saddle Points Calculator

Условный экстремум

Лекция
№ 11

Условный экстремум

Пусть на открытом
множестве

заданы функции
,
,
,
.
Обозначим

– множество точек, координаты которых
удовлетворяют уравнениям:

, ,. (*)

Уравнения (*)
называют ограничениями или уравнениями
связи.

Определение.
Точка

называется точкой условного
строгого максимума,
если

выполняется неравенство
.

Если

выполняется неравенство
,
то точку

называют точкой условного
строгого минимума.

Методы нахождения
точек условного экстремума.

1. Метод исключения.
   Рассмотрим уравнения связи
   ,
   .
   Если уравнения связи удается разрешить
   относительно каких-то
   
   переменных:
   ,
   ,,,
   то исследование функции на условный
   экстремум сводится к исследованию на
   обычный экстремум функции
   
   переменных.

Пример 1. Найти
экстремум функции

при условии, что

и

удовлетворяют уравнению связи
.

Решение. Разрешим
уравнение связи относительно переменной
:
.
Подставив выражение для

в функцию, получим
.
Исследуем на экстремум функцию одной
переменной.

, .

Следовательно,

точка минимума функции. Исходная функция
в точке

имеет условный минимум.

Пример 2. Найти
условные экстремумы функции

относительно уравнений связи
,
.

Решение. Разрешим
уравнения связи относительно переменных

и
:
,
.

Подставив найденные
значения

и

в выражения для
,
сведем задачу к исследованию на обычный
(безусловный) экстремум функции
. .
Стационарные точки

и
.

, , .
Следовательно, в точке

функция имеет максимум
,
а в точке

– минимум
.

Исходная функция
при заданных ограничениях имеет один
условный максимум

и один условный минимум
.

1. Метод неопределенных
   множителей Лагранжа.

Пусть

и


непрерывно дифференцируемы в окрестности
точки

и ранг матрицы Якоби

в этой точке равен
.

Функцию

называют функцией Лагранжа. Коэффициенты

– неопределенные множители Лагранжа.

Необходимые
условия существования условного
экстремума.

Для того, чтобы
точка

являлась точкой условного экстремума
функции

при связях

необходимо, чтобы её координаты при
некоторых значениях

удовлетворяли системе уравнений

,

т.е.

– стационарная точка функции Лагранжа
и её координаты удовлетворяют уравнениям
связи.

Достаточные
условия существования условного
экстремума.

Пусть

и


дважды непрерывно дифференцируемы в
окрестности точки
,
в которой выполняются необходимые
условия существования условного
экстремума функции

при ограничениях

.

Если при выполнении
условий

,

(1)

второй дифференциал

является положительно (отрицательно)
определенной квадратичной формой, то
функция

в точке

имеет условный минимум (максимум).

Если при условиях
(1)

является неопределенной квадратичной
формой, то в точке

условного экстремума нет.

Пример
3. Найти
экстремум функции

при условии, что переменные

и

удовлетворяют уравнению
.

Пример 4.
Найти условный экстремум функции

относительно
уравнения связи
.

Решение. Функции

и

дважды непрерывно дифференцируемы.
Матрица Якоби
,
.

Строим функцию
Лагранжа
.

Необходимые
условия:

В точках

и

может быть условный экстремум.

Достаточные
условия:

, , .
,
.

В точках

и

и

связаны соотношением
,
поэтому

и
.

Точке

соответствует

поэтому

и в точке

условный максимум.

Точке

соответствует

поэтому

и в точке

условный минимум.

Наибольшее и
наименьшее значение функции.

Hаибольшим
значением функции

в области

называется число
,
если

и для всех точек

этой области выполняется неравенство
.

Наименьшим
значением функции

в области

называется число
,
если

и для всех точек

этой области выполняется неравенство
.

Теорема
Вейерштрасса.
Для функции, непрерывной на ограниченном
замкнутом множестве, существует на этом
множестве точка, в которой функция
принимает наибольшее значение и точка,
в которой функция принимает наименьшее
значение.

Функция,
дифференцируемая в ограниченной области
и непрерывная на её границе, достигает
своего наибольшего и наименьшего
значений либо в стационарных точках,
либо в граничных точках области.

Пример 4.
Определить
наибольшее и наименьшее значения функции

в области D:
,
,
.

Решение.
Указанная область есть треугольник
(рис. 1). Стационарных точек функция не
имеет, так как
,
.

Исследуем функцию
на границах области. Граница состоит
из трех отрезков [ОА],
[АВ],
[ОВ].
На отрезке


,
значит, для точек этого отрезка
,
.

Таким образом,
задача свелась к нахождению наименьшего
и наибольшего значений функции

на отрезке
.
Так как
,
то функция принимает эти значения на
концах отрезка, т. е. в точках

и
.
Находим
,
.

Аналогично, для
отрезка


задача
сводится к отысканию наибольшего и
наименьшего значений функции

на отрезке
.
Они реализуются на концах отрезка, т.
е. в точках

и
,
так как
.
Находим
.

Отрезок

определяется уравнением

или

при
.
Для этого отрезка имеем

или

и
,
т. е. наибольшее и наименьшее значения
функция принимает на концах отрезка
,
в точках

и
.
Сравнивая все полученные значения,
заключаем, что

, .

Пример 5.
Положительное число

требуется разбить на три неотрицательных
слагаемых так, чтобы их произведение
было наибольшим.

Решение. Обозначим
слагаемые
,

и
.
Ищем максимум функции
.
По смыслу задачи функция рассматривается
внутри замкнутого треугольника
,
,
.

.
Внутренняя стационарная точка
.

, , .

Матрица Гессе в
стационарной точке
.
Так как
,
а
,
то в точке

функция достигает максимума
.

Поскольку на
контуре треугольника
,
то этот максимум будет наибольшим
значением.

Пример 6. (КИМ
ЕГЭ 2006) Три числа, принадлежащих
соответственно отрезкам
,

и
,
являются первыми членами арифметической
прогрессии. Найдите, какие значения
может принимать величина
,
где

– первый член, а

– разность прогрессии.

Решение.
Из условия
задачи имеем:
.
Рассмотрим функцию
,
определенную на шестиугольнике
.
,
Стационарная точка

не принадлежит шестиугольнику
.

Найдем координаты
вершин шестиугольника:
,
,
,
,
,
.
Вычислим значения функции в вершинах:
,
,
,
,
.

Значит, функция
может принимать значения из отрезка
.

5

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #