Как найти в пирамиде диагональ основания равна

Оставьте свой комментарий:

• на Блоге
• в Вконтакте
• в Фейсбук

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа “квадратный корень” применяется функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак “√”.

Задача.

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань образует с основанием угол 60 градусов. найдите объем пирамиды.

Решение.

Объем пирамиды найдем по формуле:

V=1/3 Sh

Зная диагональ основания пирамиды, найдем сторону основания.

d² = a² + a²

4² = 2a²

16 = 2a²

a= √8 = 2√2

Соответственно, площадь основания

S = 8 см² .

Проведем через вершину правильной четырехугольной пирамиды вертикальное сечение. Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60 градусов, то сечение образует равносторонний треугольник.

Основание равностороннего треугольника равно 2√2. Откуда высота будет равна

h = √3/2 a

h = √3/2 * 2√2 = √6

Откуда объем правильной пирамиды с четырехугольником в основании равен

V=1/3 Sh

V = 1/3 * 8 * √6 = 8√6 / 3

Ответ:  8√6 / 3 см³.

Задача.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Двугранные углы при основании равны

α. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

Поскольку пирамида правильная, то ее высота проецируется в центр основания.

Значит KN = a/2

Соответственно, треугольник OKN – прямоугольный. Значит

ON = KN / cos α = a / 2cos α

Поскольку пирамида правильная, то треугольник DOC – равнобедренный. Значит его площадь равна

Sт = DC * ON / 2

Sт = ( a * a / 2cos

α) / 2 = a² / 4cos α

Откуда площадь боковой поверхности правильной пирамиды будет равна площади всех ее боковых граней

Sб = 4a² / 4cos

α

Sб = a² / cos α

Откуда площадь полной поверхности равна

Sп = a² / cos

α + a² = a² ( 1 + 1 / cos α )

Ответ: площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна a² ( 1 + 1 / cos α )

0
 

 Правильная пирамида с четырехугольником в основании |

Описание курса

| Нахождение боковой поверхности и высоты правильной пирамиды с четырехугольником в основании 

Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.

Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).

Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота

Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.

Отметим, что в правильной пирамиде:

• боковые ребра равны;
• боковые грани равны;
• апофемы, равны;
• двугранные углы при основании равны;
• двугранные углы при боковых ребрах равны;
• каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;
• каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;
• каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

Отметим, что если в пирамиде равны все:

• боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 113);
• двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114).

Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.

Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Теорема 1.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

• а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части;
• б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
• в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.

Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.

Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.

Теорема 2.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

Доказательство:

Пусть есть правильная -угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть и — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и — апофема пирамиды.

Боковая поверхность данной пирамиды состоит из равных трапеций. Пусть и — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна . Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из таких трапеций, получим, что

Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Теорема 3.

Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство:

Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.

Пусть и — объемы первой и второй пирамид, a и — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в -й части первой пирамиды равновелика призме для -й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем больше объема на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна , где — высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. , или , где — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что , a . Поэтому , или . При увеличении значения переменной значение выражения стремится к нулю, а это означает, что , или

Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство

Из неравенств (1) и (2) следует, что .

Теорема 4.

Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Пусть есть треугольная пирамида (рис. 121). Достроим ее до призмы с основанием (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость разделяет ее на две пирамиды и , у которых одна и та же высота, проведенная из вершины , и равные основания и . Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды и равновелики. Сравним пирамиду с данной пирамидой . У них равные основания и и высоты, проведенные из вершин и , поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды , и равновелики. Поскольку объем призмы равен произведению площади основания и высоты призмы , которая равна высоте пирамиды , то объем пирамиды , т. е. третьей части призмы , равен третьей доле этого объема, т. е. .

Пусть теперь есть произвольная пирамида (рис. 124). Через диагонали основания , выходящие из одной вершины , проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды . Поскольку все они имеют общую высоту , то

Пример:

Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади и , а высота равна (рис. 125).

Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна . Искомый объем можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:

Чтобы найти высоту , используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:

Решим это уравнение, учитывая, что и — положительные числа:

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты пирамиды и суммы площадей и оснований пирамиды и их среднего геометрического .

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 сентября 2022 года; проверки требуют 4 правки.

Пирами́да (от др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину^[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
Пирамида является частным случаем конуса^[2].

История развития пирамиды в геометрии[править | править код]

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит
^[3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12^[4]).

Элементы пирамиды[править | править код]

• вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
• основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
• боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
• боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
• высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание;
• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.

Развёртка пирамиды[править | править код]

Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

Свойства[править | править код]

Если все боковые рёбра равны, то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
• также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами[править | править код]

Сфера[править | править код]

• около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие)^[5]. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
• в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус[править | править код]

• Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);^[6]
• Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр[править | править код]

• Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
• Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой[править | править код]

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где  — площадь основания и  — высота;^[7]

где  — объём параллелепипеда;

• Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле^[8]:

где  — скрещивающиеся рёбра ,  — расстояние между и ,  — угол между и ;

• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

• Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

• Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

где  — апофема ,  — периметр основания,  — число сторон основания,  — боковое ребро,  — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды[править | править код]

Правильная пирамида[править | править код]

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Тогда она обладает такими свойствами:

Прямоугольная пирамида[править | править код]

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдр[править | править код]

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

См. также[править | править код]

• Усечённая пирамида
• Бипирамида

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.
• Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9.
• А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
• Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.

Ссылки[править | править код]

• Бумажные модели пирамид Архивная копия от 4 января 2010 на Wayback Machine (англ.)
• «Начала» Евклида.