Как найти вах нелинейного элемента

2.7.1
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И АППРОКСИМАЦИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Все
цепи,
рассматриваемые до сих пор,
относились к классу линейных систем.
Элементы таких цепей R,
L и С
являются постоянными и не зависят от
воздействия. Линейные
цепи описываются линейными дифференциальными
уравнениями
с постоянными коэффициентами.

Если
элементы электрической цепи
R, L
и С
зависят
от воздействия,
то цепь
описывается нелинейным дифференциальным
уравнением и является
нелинейной. Например,
для колебательного RLC-контура,
сопротивление которого зависит от
напряжения u_c,
получим:

.
(1)

Такой
колебательный контур является
нелинейным.
Элемент
электрической цепи, параметры которого
зависят
от воздействия, называется нелинейным.
Различают резистивные и реактивные
нелинейные элементы.

Для нелинейного
резистивного
элемента характерна нелинейная
связь
между током i
и напряжением u,
т. е, нелинейная
характеристика
i = F(u).
Наиболее распространенными резистивными
нелинейными элементами являются ламповые
и полупроводниковые приборы, используемые
для усиления и преобразования сигналов.
На рисунке
12.1
приведена ВАХ
типового нелинейного элемента
(полупроводникового диода).

Для резистивных
нелинейных элементов важным
параметром
является их
сопротивление,
которое в
отличие от линейных
резисторов не
является постоянным, а зависит от того,
в какой точке ВАХ оно определяется.

Рисунок
12.1 – ВАХ нелинейного элемента

По
ВАХ
нелинейного элемента можно
определить сопротивление как

(2)

где U₀
– приложенное
к нелинейному элементу постоянное
напряжение;

I₀
=
F(U₀)
—
протекающий по цепи постоянный
ток.
Это
сопротивление
постоянному току
(или статическое).
Оно зависит от приложенного напряжения.

Пусть
на нелинейный элемент действует
напряжение u
= U₀
+
U_mcoswt,
причем амплитуда
U_m,
переменной составляющей достаточно
мала
(рисунок
12.2), так
что тот небольшой
участок ВАХ в пределах которого действует
переменное напряжение, можно считать
линейным.
Тогда ток.
протекающий через нелинейный элемент,
повторит
по форме напряжение:
i = I₀
+
I_mcoswt.

Определим
сопротивление
R_диф
как отношение
амплитуды переменного напряжения U_m
к
амплитуде переменного тока
I_m
(на графике это отношение приращения
напряжения Du
к приращению тока Di):

(3)

Рисунок
12.2 – Воздействие малого гармонического
сигнала на нелинейный элемент

Это сопротивление
называется дифференциальным (динамическим)
и представляет собой сопротивление
нелинейного элемента переменному току
малой амплитуды. Обычно
переходят
к пределу
этих приращений и определяют
дифференциальное
сопротивление в виде
R_диф=du/di.

Приборы, имеющие
падающие участки на
ВАХ, называются
приборами с отрицательным
сопротивлением,
так как на этих участках производные
di/du < 0
и du/di < 0.

К нелинейным
реактивным элементам относятся нелинейная
емкость и нелинейная индуктивность.
Примером нелинейной емкости может
служить любое устройство обладающее
нелинейной вольт-кулонной характеристикой
q = F(u)
(например, вариконд и варикап). Нелинейной
индуктивностью является катушка с
ферромагнитным сердечником, обтекаемая
сильным током, доводящим сердечник до
магнитного насыщения.

Одной из важнейших
особенностей
нелинейных цепей
является то, что в
них не выполняется принцип
наложения.
Поэтому невозможно
предсказать результат воздействия
суммы сигналов, если известны реакции
цепи на каждое слагаемое воздействия.
Из
сказанного вытекает непригодность
для анализа нелинейных цепей временного
и спектрального методов,
которые применялись в теории линейных
цепей.

Действительно,
пусть
вольт-амперная
характеристика
(ВАХ) нелинейного элемента описывается
выражением i
= au².
Если на
такой элемент
действует сложный сигнал
u = u₁
+
u₂,
то отклик
i = a
(u₁ +
u₂)²
= au₁²
+ au₂²
+ 2au₁u₂
отличается
от суммы откликов на действие каждой
составляющей в отдельности
(au₁²
+
au₂²)
наличием
компоненты
2au₁u₂,
которая появляется только в случае
одновременного воздействия обеих
составляющих.

Рассмотрим вторую
отличительную
особенность нелинейных цепей.
Пусть
u
= u₁
+
u₂
=
U_m1cosw₀t
+ U_m2cosWt
,

где U_m1
и U_m2
– амплитуды напряжений u₁
и u₂.

Тогда ток
в нелинейном элементе
с ВАХ i = au²
будет иметь вид:

(4)

На рисунке
12.3
построены спектры
напряжения и тока.
Все
спектральные
компоненты тока оказались новыми,
не
содержащимися
в напряжении. Таким образом, в
нелинейных цепях возникают новые
спектральные компоненты.
В этом смысле нелинейные цепи обладают
гораздо большими возможностями, чем
линейные, и широко используются для
преобразований сигналов, связанных с
изменением их спектров.

При
изучении
же теории нелинейных цепей можно
не учитывать устройство нелинейного
элемента
и опираться только на его внешние
характеристики подобно тому, как при
изучении теории линейных цепей не
рассматривают устройство резисторов
конденсаторов и катушек и пользуются
только их параметрами R,
L и С.

Рисунок
12.3 – Спектры напряжения и тока квадратичного
нелинейного элемента

Иллюстрация
указанного воздействия на реальный
полупроводниковый диод

2.7.2
Аппроксимация характеристик нелинейных
элементов

Как правило,
ВАХ
нелинейных элементов
i = F(u)
получают
экспериментально,
поэтому чаще всего они
заданы в виде таблиц или графиков.
Чтобы иметь
дело с аналитическими выражениями,
приходится прибегать
к аппроксимации.

Обозначим
заданную
таблично
или графически
ВАХ
нелинейного элемента
i = F_V(u),
а аналитическую
функцию,
аппроксимирующую
заданную
характеристику,
i
= F(u, a₀,
a₁,
a₂,
… , a_N).
где a₀,
a₁,
… , a_N
— коэффициенты
этой функции, которые
нужно найти
в результате аппроксимации.

А)
В
методе
Чебышева
коэффициенты
a₀,
a₁,
… , a_N
функции
F(u)
находятся из
условия:

,
(5)

т. е. они определяются
в процессе минимизации максимального
уклонения аналитической функции от
заданной. Здесь
u_k,
k = 1, 2, …, G
— выбранные значения напряжения u.

При
среднеквадратичном
приближении
коэффициенты a₀,
a₁,
…, a_N
должны
быть такими, чтобы
минимизировать величину

(6)

Б)
Приближение
функции по Тейлору
основано
на представлении
функции i
= F(u) рядом
Тейлора в окрестности точки
u = U₀:

(7)

и
определении коэффициентов
этого разложения.
Если ограничиться
первыми двумя членами разложения
в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене
сложной нелинейной зависимости F(u)
более простой линейной
зависимостью.
Такая замена
называемся линеаризацией
характеристик.

Первый
член разложения F(U₀)
= I₀
представляет собой постоянный
ток в рабочей точке при
u = U₀,
а второй
член

–
(8)

дифференциальную
крутизну вольт-амперной характеристики
в рабочей точке,
т. е. при u
= U₀.

В)
Наиболее распространенным
способом приближения
заданной функции является
интерполяция
(метод выбранных
точек), при
которой
коэффициенты
a₀,
a₁,
…, a_N
аппроксимирующей функции F(u)
находятся
из равенства этой функции и заданной
F_x(u)
в
выбранных точках
(узлах интерполяции) u_k
=
1, 2, …, N+1.

Д)
Степенная
(полиномиальная)
аппроксимация.
Такое название получила аппроксимация
ВАХ степенными полиномами:

(9)

Иногда бывает
удобно решать задачу аппроксимации
заданной характеристики в
окрестности точки
U₀,
называемой рабочей.
Тогда используют
степенной полином

(10)

Степенная
аппроксимация
широко используется
при анализе
работы нелинейных устройств,
на которые подаются относительно малые
внешние воздействия,
поэтому требуется
достаточно точное воспроизведение
нелинейности характеристики
в окрестности рабочей точки.

Е)
Кусочно-линейная аппроксимация.
В тех случаях,
когда на
нелинейный элемент воздействуют
напряжения с большими
амплитудами, можно
допустить более приближенную
замену характеристики нелинейного
элемента
и использовать
более простые
аппроксимирующие функции.
Наиболее часто
при анализе работы нелинейного элемента
в
таком режиме
реальная характеристика
заменяется отрезками
прямых линий с различными наклонами.

С математической
точки зрения это означает, что на каждом
заменяемом участке характеристики
используются степенные полиномы первой
степени (N
= 1) с
различными значениями коэффициентов
a₀,
a₁,
…, a_N.

Таким образом,
задача
аппроксимации
ВАХ
нелинейных элементов заключается в
выборе вида аппроксимирующей функции
и определении ее коэффициентов
одним из указанных выше методов.

Воздействие
гармонического сигнала на цепь с
нелинейным элементом

Соседние файлы в папке Лекции по ТОЭ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

10.1. Нелинейные элементы. Их характеристики и свойства

10.2. Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными двухполюсниками

10.3. Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными четырехполюсниками

10.4. Эквивалентные преобразования схем с нелинейными элементами

10.5. Аналитическое представление вольт-амперных характеристик

10.6. Аналитические методы расчета нелинейных резистивных цепей

10.7. Стабилизация постоянного напряжения нелинейными резистивными цепями

10.8. Вопросы и задания для самопроверки

10.1. Нелинейные элементы. Их характеристики и свойства

Нелинейные резистивные элементы

Напомним, что нелинейными называются электрические цепи, у которых реакции и воздействие связаны нелинейными зависимостями. Подобные цепи содержат один или несколько приборов, замена которых линейными моделями приводит к недопустимому нарушению количественной и качественной картины колебаний в цепи.

Резистивными нелинейными цепями будем называть цепи, которые допустимо считать нелинейными безынерционными цепями. В соответствии с этим модель нелинейной резистивной цепи не содержит реактивных элементов. В нее входят хотя бы один нелинейный безынерционный резистивный двухполюсник или многополюсник, хотя бы один источник напряжения или тока и то или иное число резистивных сопротивлений.

Для построения многих функциональных узлов аппаратуры связи используется большой класс нелинейных двухполюсных полупроводниковых и электронных приборов, называемых диодами. Единственной электрической характеристикой диода является его вольт-амперная характеристика (ВАХ) – зависимость постоянного тока в диоде от постоянного напряжения на его зажимах i = F(u) при согласном выборе положительных направлений напряжения и тока. Отличительные особенности вольт-амперных характеристик некоторых типов диодов различного назначения и их условные (схемные) обозначения приведены на рис. 10.1. Это характеристики полупроводниковых приборов: выпрямительного диода (рис. 10.1, а), стабилитрона (рис. 10.1, б), туннельного диода (рис. 10.1, в) и динистора (рис. 10.1, г). Характеристики рис. 10.1, а, б получили наименование однозначных, а рис. 10.1, в, г – многозначных, так как у них одному и тому же значению тока (рис. 10.1, в) или напряжения (рис. 10.1, г) соответствуют разные напряжения и токи.

Существуют и электронные приборы с подобными характеристиками.

В последующем, простоты ради, нелинейные резистивные двухполюсники будем называть нелинейными резисторами. Схемное изображение нелинейного резистора приведено на рис. 10.2.

Некоторые из нелинейных резисторов относятся к числу управляемых нелинейных элементов. Управляющей величиной может быть, например, внешняя температура, давление или освещенность. Свойства таких резисторов определяются не одной, а семейством ВАХ, каждая из которых соответствует различным значениям управляющей величины.

Транзисторы, электронные лампы, тиристоры и некоторые другие полупроводниковые и электронные приборы могут рассматриваться как нелинейные резистивные четырехполюсники. Например, при включении транзистора рис. 10.3, а, являющегося трехполюсником, в электрическую цепь один из зажимов оказывается общим для пары входных и пары выходных зажимов транзистора. Поэтому транзистор принято рассматривать как четырехполюсник с двумя парами зажимов. На рис. 10.3, б показано такое включение транзистора по схеме с общим эмиттером.

Нелинейный четырехполюсник, как и линейный, описывается двумя уравнениями, которые связывают напряжения и токи на его входе и выходе. При анализе транзисторов часто используется следующая система уравнений:

Для включения транзистора по схеме с общим эмиттером (рис. 10.3, б) u₁ = u_БЭ – напряжение между базой и эмиттером, i₂ = i_К – ток коллектора, i₁ = i_Б – ток базы и u₂ = u_КЭ – напряжение между коллектором и эмиттером.

Уравнения (10.1) и (10.2) изображаются в виде графиков. Так u₁ зависит от двух переменных i₁ и u₂ и, вообще говоря, его графическое изображение представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Так как начертить такую поверхность трудно, то функцию двух переменных изображают на плоскости в виде семейства характеристик: фиксируется одна переменная и непрерывно изменяется другая.

Графическое изображение уравнений (10.1) и (10.2) для транзистора в схеме с общим эмиттером показано на рис. 10.3, в и г. Это так называемые входная и выходная вольт-амперные характеристики. Принято говорить, что ВАХ транзистора управляются током или напряжением. Так, выходная ВАХ транзистора в схеме с общим эмиттером управляется током базы.

ВАХ нелинейных полупроводниковых и электронных приборов находятся, как правило, в результате измерений и приводятся в соответствующих справочниках в виде усредненных графических зависимостей. Необходимость усреднения связана с большим (до 30—50%) технологическим разбросом характеристик различных образцов прибора одного и того же типа. Эти характеристики являются статическими, т. е. характеристиками режима постоянного тока.

Для резистивных нелинейных элементов (НЭ) важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений: статическое и дифференциальное (динамическое). Статическое сопротивление R_ст определяется как (рис. 10.4)

где U₀ – приложенное к НЭ постоянное напряжение; I₀ – протекающий через НЭ постоянный ток. Это сопротивление постоянному току; оно характеризуется тангенсом угла наклона прямой, проходящей через начало координат и рабочую току (U₀, I₀) на ВАХ НЭ.

В силу предположения о резистивном характере цепи статические характеристики определяют одновременно и соотношения между мгновенными значениями напряжений и токов на внешних зажимах соответствующего нелинейного прибора.

Определим дифференциальное сопротивление R_д как отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di при небольшом смещении рабочей точки на ВАХ под воздействием переменного напряжения малой амплитуды (рис. 10.4):

Это сопротивление представляет собой сопротивление НЭ переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде

Оно характеризуется тангенсом угла наклона касательной к ВАХ в рабочей точке.

Иногда удобно пользоваться понятием дифференциальной крутизны (имеющей смысл проводимости)

Нелинейные индуктивные элементы

Типичными динамическими нелинейными элементами электрической цепи являются катушки с сердечниками из ферромагнитных материалов – сплавов на основе металлов группы железа или их оксидов – ферритов. Нелинейность таких элементов обусловлена характеристикой намагничивания материала сердечника B(H). Поскольку в приближении теории магнитных цепей для замкнутого неразветвленного сердечника с постоянным сечением s и длиной l средней магнитной линии магнитный поток Ф пропорционален индукции B: Ф = Bs, а напряженность H связана с током i в обмотке, имеющей w витков, соотношением H = iw/l, то вид зависимости B(H) предопределяет характер вебер-амперной характеристики катушки Y(i) (Y = Фw – потокосцепление обмотки). Типичная вебер-амперная характеристика индуктивного элемента приведена на рис. 10.5, а. В общем случае вид ВАХ индуктивного элемента определяется многими факторами, и она часто является неоднозначной. Например, при циклическом намагничивании сердечника зависимость Y(i) имеет гистерезисный характер (рис. 10.5, б). В этом случае процесс перемагничивания сопровождается необратимыми потерями в сердечнике.

Нелинейный элемент индуктивности характеризуется согласно (1.8) статической индуктивностью L_ст = Y/i и дифференциальной индуктивностью L_д = dY/di, которые зависят от намагничивающего тока i.

Нелинейные емкостные элементы

Нелинейные емкостные элементы могут служить моделями конденсаторов, диэлектрическая проницаемость e которых является функцией от напряженности электрического поля E в диэлектрике. Такие емкостные элементы описываются нелинейной вольт-кулоновой характеристикой – зависимостью заряда q от приложенного напряжения u. Подобными свойствами обладают, в частности, сегнетоэлектрики, вольт-амперные характеристики которых, аналогичны характеристикам ферромагнетиков (рис. 10.6, а); обратно смещенные p–n–переходы (рис. 10.6, б) и др.

Нелинейный элемент емкости характеризуется согласно (1.11) статической емкостью С_ст = q/u_с и дифференциальной емкостью С_д = dq/du_с, которые зависят от приложенного напряжения u_с.

На рис. 10.6, в, г, показан характер изменения дифференциальной емкости для вольт-кулонных характеристик, изображенных на рис. 10.6, а и б, соответственно.

10.2. Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными двухполюсниками

Задача нахождения начальных постоянных напряжений и токов на внешних зажимах нелинейных полупроводниковых или электронных приборов, входящих в электрическую цепь, сводится к задаче анализа режима постоянного тока в исследуемой цепи, т. е., к анализу нелинейной резистивной цепи с источниками постоянного напряжения или (и) тока. Решаются подобные задачи обычно с использованием графических построений.

Ниже рассматривается задача анализа режима постоянного тока в электрической цепи с одним нелинейным двухполюсником, – нелинейным резистивным элементом (НЭ). Его ВАХ считается известной и заданной графически.

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, изображенную на рис. 10.7. В нее входят источник постоянного напряжения с задающим напряжением U_г, линейный резистивный элемент R и нелинейный резистивный элемент, в котором подлежат определению постоянные напряжение U =U₀ и ток I = I₀. Рассмотрим два случая НЭ: с однозначной и многозначной ВАХ.

Нелинейный резистивный элемент с однозначной характеристикой

Пусть однозначная ВАХ нелинейного резистивного элемента имеет вид, показанный на рис. 10.8, а.

Согласно ЗНК (рис. 10.7) напряжение U = U_г—RI, и ток в элементе R связан с напряжением U на зажимах НЭ зависимостью I = (U_г—U)/R, представляющей собой прямую, проходящую через точки U_г на оси абсцисс и U_г/R – на оси ординат. Поскольку нелинейный и линейный элементы соединены последовательно, то ВАХ НЭ и прямая I = (U_г—U)/R, определяющие один и тот же ток, удовлетворяются одновременно, чему на графиках рис. 10.8, в соответствует точка их пересечения. Она и определяет искомые значения постоянных напряжения U₀ и тока I₀ в нелинейном резисторе, или, как принято говорить, его рабочую точку.

Графические построения, связанные с решением задачи, всегда выполнимы, а найденное ее решение – единственное.

Рабочая точка нелинейного резистора изменяется как с изменением сопротивления R, так и с изменением задающего напряжения источника U_г. Изменение сопротивления R приводит к изменению наклона зависимости I = (U_г—U)/R и смещению рабочей точки на вольт-амперной характеристике нелинейного резистора (см. рис. 10.9, а). Изменение задающего напряжения на величину DU_г вызывает перемещение той же зависимости параллельно самой себе и изменение тока и напряжения в нелинейном резисторе соответственно на величины DI и DU (см. рис. 10.9, б).

Напомним, что отношение бесконечно малого приращения тока к бесконечно малому приращению напряжения на нелинейном элементе, обусловленных смещением рабочей точки, называется дифференциальной проводимостью (крутизной), а обратное отношение – дифференциальным сопротивлением нелинейного резистора в его рабочей точке.

Отношение постоянных тока и напряжения в рабочей точке нелинейного резистора определяет его статистическую проводимость, а обратное отношение – статическое сопротивление резистора в его рабочей точке.

Статическая проводимость пассивного нелинейного резистора всегда положительна. Положительна и дифференциальная проводимость нелинейного резистора с однозначной вольт-амперной характеристикой в силу возрастающего характера последней. Заметим также, что статическая и дифференциальная проводимости линейного резистора не отличаются одна от другой.

Нелинейный резистивный элемент с многозначной характеристикой

Пусть многозначная ВАХ нелинейного резистивного элемента в схеме рис. 10.7 имеет вид, показанный на рис. 10.10, а. Это характеристика туннельного диода. Для нахождения рабочей точки на ВАХ резистивного НЭ применим те же, что и выше, графические построения.

На рис. 10.10, б совмещены графики вольт-амперной характеристики нелинейного резистора и зависимостей I = (U_г—U)/R для трех различных значений сопротивления линейного резистора R и одного и того же значения напряжения задающего источника U_г.

Анализ рис. 10.10, б показывает, что рабочими точками могут быть точки 1 и 5, соответствующие единственному решению уравнений I = F(U) и I = (U_г—U)/R. Рабочими точками могут быть также точка 2 или точка 4. Точка 3, расположенная па ниспадающем участке ВАХ, является точкой неустойчивого равновесия. Можно показать, что если зафиксировать сопротивление R, при котором могут существовать три точки пересечения указанных зависимостей, и увеличивать задающее напряжение источника от нуля до величины U_г, то рабочей будет точка 4. Если же задающее напряжение источника от очень большого значения уменьшать до значения U_г, то рабочей будет точка 2.

Итак, в цепи с нелинейным двухполюсником, имеющим многозначную ВАХ задачи нахождения рабочей точки не всегда имеет единственное решение.

Рабочая точка может быть расположена и на ниспадающем участке вольт-амперной характеристики, если выбрать сопротивление R и задающее напряжение U_г так, как показано на рис. 10.11. Заметим, что в рабочей точке, расположенной на ниспадающем участке вольт-амперной характеристики, дифференциальная проводимость и дифференциальное сопротивление нелинейного резистора отрицательны, поскольку малым положительным значениям приращения напряжения (тока) на зажимах нелинейного резистора соответствуют отрицательные значения приращения тока (напряжения).

Метод эквивалентного генератора

Изложенная методика определения рабочей точки в цепи с одним линейным и одним нелинейным резистивными элементами распространяется на резистивные цепи с одним резистивным НЭ и произвольным числом линейных резистивных элементов и источников постоянного напряжения или (и) тока, если воспользоваться теоремой об эквивалентном генераторе. Для этого следует внешнюю по отношению к нелинейному двухполюснику линейную активную цепь (см. рис. 10.12, а) заменить эквивалентным генератором с задающим напряжением U_эг и внутренним линейным резистивным эквивалентным сопротивлением R_э (рис. 10.12, б). Тогда схема анализируемой цепи не будет отличаться от схемы рис. 10.7, и задача нахождения рабочей точки сводится к рассмотренной выше.

Напряжения и токи в элементах цепи, внешней по отношению к НЭ, можно найти, воспользовавшись теоремой замещения. Для этого нелинейный резистивный элемент следует заменить источником напряжения (источником тока), напряжение (ток) которого равно (равен) найденному значению напряжения (тока) в рабочей точке. Напряжения и токи в линейной части электрической цепи находят любым методом анализа режима постоянного тока.

Метод, с использованием эквивалентного генератора, является графоаналитическим, поскольку в нем аналитические методы определения параметров эквивалентного генератора и расчета линейной цепи после замены НЭ источником напряжения или тока сочетаются с графическим методом нахождения рабочей точки.

Пример. Применим метод эквивалентного генератора к схеме рис. 10.13, а, где U₀₁ = 14 В, J₀₂ = 10 мА, R₁ = 1 кОм, I_н = 10^–5U_н². Из рисунка следует, что напряжение U_эг при отключении НЭ равно

а эквивалентное сопротивление R_э = R₁ = 1 кОм. В соответствии с ЗНК (рис. 10.13, б) имеем

Построение графиков прямой линии и ВАХ нелинейного элемента показано на рис. 10.13, в. Пересечение этих кривых дает координаты рабочей точки: I_н = 4 мА и U_н = 20 В.

10.3. Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными четырехполюсниками

Рассмотрим задачу анализа режима постоянного тока в резистивной электрической цепи с нелинейным четырехполюсником (рис. 10.14).

Пусть входная ВАХ и семейство выходных ВАХ будут иметь вид показанный на рис. 10.15, а и б; управляющим параметром для семейства выходных характеристик четырехполюсника является его входной ток I₁.

Задача нахождения входных напряжения U₁ = U₁₀ и тока I₁ = = I₁₀ сводится к задаче нахождения рабочей точки на входной вольт-амперной характеристике i₁ = F₁(u₁). Она решается с помощью графических построений, которые полностью аналогичны рассмотренным в 10.2. Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными двухполюсниками (рис. 10.16, а).

Найденному входному току I₁ = I₁₀ соответствует определенная выходная вольт-амперная характеристика i₂ = F₂(u₂). Она может быть измерена или, как это обычно делается, определена по семейству выходных вольт-амперных характеристик четырехполюсника из справочника. Для этого необходимо провести линейное интерполирование двух характеристик семейства с ближайшими значениями параметров I₁ < I₁₀ и I₁ > I₁₀. На рис. 10.16, б эта характеристика изображена штриховой линией.

Выходной ток I₂ и выходное напряжение U₂ (см. рис. 10.14) связаны между собой линейной зависимостью I₂ = (U_г2—U₂)/R₂, которая на рис. 10.16, б представляет собой прямую, проходящую через точки U₂ =U_г2 на оси абсцисс и I₂ = U_г2/R₂ на оси ординат.

Точка пересечения зависимостей I₂ = (U_г2—U₂)/R₂ и i₂ = F₂(u₂) при I₁ = I₁₀ и определяет рабочую точку (U₂₀, I₂₀) на выходных характеристиках четырехполюсника.

Дальнейший анализ рассматриваемой цепи может быть связан с нахождением напряжений и токов в ветвях входной и выходной цепей, если до анализа эти цепи были заменены эквивалентными генераторами.

10.4. Эквивалентные преобразования схем с нелинейными элементами

Суть эквивалентных преобразований состоит в замене участков цепи с параллельным или последовательным соединением ветвей одной эквивалентной ветвью путем суммирования их токов или напряжений. Речь здесь идет о суммировании ординат или абсцисс заданных характеристик ветвей цепи. Этот метод особенно эффективен в случае цепи с одним источником: цепь представляется источником и одним эквивалентным нелинейным элементом.

Пусть два НЭ с уравнениями (ВАХ) i₁ = F₁(u₁) и i₂ = F₂(u₂) включены параллельно (рис. 10.17).

Необходимо найти уравнение НЭ, эквивалентного данному соединению элементов. Так как элементы соединены параллельно, то u₁ = u₂ = u, а по первому закону Кирхгофа i = i₁ + i₂. Выполним сложение токов графически, как показано на рис. 10.18. Задаемся значением напряжения. При этом значении напряжения находим токи НЭ и суммируем их. Задаемся новым значением напряжения и опять суммируем токи. Таким образом, находим серию точек, соединяя которые, получаем ВАХ эквивалентного НЭ.

Рассмотрим последовательное соединение НЭ (рис. 10.19). В данном случае i₁ = i₂ =i, a u =u₁ + u₂. Процесс определения ВАХ НЭ показан на рис.10.20. Заметим, что рассмотренные преобразования применимы и в случае, когда последовательно или параллельно соединены несколько нелинейных, а также линейных элементов.

Пример. На рис. 10.21, а показана подключенная к источнику напряжения цепь из трех резистивных НЭ (рис. 10.21, б). Суммирование ординат характеристик элементов 2 и 3, соединенных параллельно, дает эквивалентную характеристику 2—3. Суммируя абсциссы последней с абсциссами кривой 1, получаем эквивалентную характеристику нелинейной цепи F_э. Из графиков рис. 10.21, б можно, задаваясь напряжением на входе, получить токи и напряжения ветвей.

Пример. Рассчитаем напряжения и токи в цепи, схема которой изображена на рис. 10.22, где U = 5 В, R = 500 Ом, а ВАХ НЭ заданы графиками на рис. 10.23.

Поскольку ВАХ заданы графиками, то при решении воспользуемся графическими построениями. Найдем ВАХ i = F_э2(u) двухполюсника, эквивалентного параллельному соединению линейного сопротивления R и НЭ₂. Для этого перенесен ВАХ НЭ₂ на новый рисунок и построим ВАХ линейного элемента (рис. 10.24, а). На этом же рисунке показана эквивалентная ВАХ i = F_э2(u). Перенесем эту эквивалентную ВАХ и ВАХ НЭ₁ на рис. 10.24, б и найдем ВАХ эквивалентного двухполюсника i = F_э1(u), который присоединяется к зажимам источника.

По рис. 10.24, б по кривой i = F_э1(u) находим, что напряжению u = 5 В соответствует ток i = 16 мА, по кривой i = F₁(u) – напряжение на НЭ₁ u₁ = = 2,8 B и по кривой i = F_э2(u) – напряжение на параллельном соединении R и НЭ₂ u₂ = 2,2 В. Зная это напряжение, по графикам рис. 10.24, а находим i_R = 11 мА и i₂ = 5 мА.

10.5. Аналитическое представление вольт-амперных характеристик

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в электронных и полупроводниковых приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает, во-первых, выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зависимости и аппроксимирующей ее функция.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные и трансцендентные функции или совокупность отрезков прямых линий.

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U_min u  U_max, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной u. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции x(x) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).

О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой x(x) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а х b, т. е. по величине

Часто критерием близости выбирается среднее квадратическое значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации, т. е. величина

.

Иногда под близостью двух функций f(x) и x(x) понимают совпадение в заданной точке x = X₀ самих функций и n + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x) и x(x) в выбранных точках (узлах интерполяции) х_k, k = 0, 1, 2, …, n.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислений как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F(u) в пределах ее рабочего интервала.

Полиномиальная аппроксимация

В качестве аппроксимирующей функции в задачах аналитического представления вольт-амперных характеристик очень часто используются алгебраические полиномы

той или иной степени.

Постоянные представляют собой варьируемые параметры, значения которых выбираются такими, чтобы в интервале аппроксимации a x b свести к минимуму погрешность аппроксимации в соответствии с выбранным критерием близости.

В простейшем случае критерием близости может служить совпадение значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в возможно большем числе выбранных точек, расположенных в интервале аппроксимации. Соответствующий метод приближенного воспроизведения функций носит, как мы уже упоминали, название интерполирования, а дискретные точки, в которых требуется точное совпадение функций f(x) и x(x), называются узлами интерполирования. Их число на единицу превышает степень интерполирующего полинома. Действительно, записывая равенство функций f(x_k) = x(x_k) в каждом из узлов интерполирования x_k, k = 0, 1, 2, …, n, получим систему из n + 1 линейных уравнений

с таким же числом неизвестных коэффициентов интерполирующего полинома.

В теории интерполирования функций доказывается, что система уравнений (10.6) имеет единственное решение. Единственным, следовательно, будет и решение рассматриваемой задачи интерполирования вольт-амперной характеристики полиномом выбранной степени.

Приведем простейший пример интерполирования в интервале 0  x 1,5 полиномом первой степени функции , заданной аналитически. Расположим узлы интерполирования, а их должно быть n + 1 = 2, при x₀ = 0,1 и x₁ = 1,0. Тогда система уравнений относительно искомых коэффициентов a₀ и a₁ будет такой: и . Из ее решения следует а₀ = 0,036, a₁ = 0,597 и f(x) = 0,036 + 0,597x. Графики функций f(x) и x(х) приведены на рис. 10.25. Они показывают, что точность воспроизведения заданной функции невелика. В заданном интервале 0  x 1,5 наибольшая погрешность |f(x)—x(х)|, т. е. max|f(x)—x(х)| находится на одной из границ интервала при х = = 1,5 и составляет 0,158. Ее можно уменьшить, выбрав другие узлы интерполирования и, тем более, повысив степень интерполирующего полинома. Так, графики той же функции и интерполирующего полинома второй степени с узлами интерполирования x₀ = 0,15, x₁ = 0,6 и x₂ = 1,2 практически совпадают. На рис. 10.26 приведен график разности этих функций, из которого следует, что погрешность в том же заданном интервале не превышает 0,026, т. е. уменьшилась по сравнению с линейной интерполяцией в 6 раз.

Одним из эффективных методов аппроксимации функций, в котором погрешность аппроксимации контролируется во всем интервале приближения а Ô x Ô b, а не в его дискретных точках, является метод наилучшего равномерного приближения (аппроксимации) функций (приближения по П.Л. Чебышеву). В этом методе параметры аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине отклонение функции f(x) от непрерывной функции x(х) было бы минимально возможным, или, используя обозначения (10.3), чтобы в интервале а Ô х Ô b

.

В рассмотренном выше примере этому критерию удовлетворяет полином f(х) = 0,071 + 0,518х. Наибольшие его отклонения от функции в интервале 0 Ô x Ô 1,5 расположены при x = 0, х =x_m = 0,658 и х = 1,5 (см. рис. 10.27), причем, что очень важно, все они равны по абсолютной величине. Легко понять, что любое изменение наклона (а₁) или уровня (а₀) полинома f(x), которое ведет к уменьшению экстремального отклонения в двух из трех указанных точек, увеличивает отклонения в оставшейся точке. Таким образом, полином f(x) = 0,071 + 0,518х из всех полиномов первой степени действительно минимизирует абсолютную величину отклонения от функции 1—e^–x в интервале 0 Ô x Ô 1,5.

В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(х) степени п от непрерывной функции x(x) будет минимально возможным, если в интервале приближения а Ô х Ô b разность f(х)—x(x) не меньше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные наибольшие f(х)—x(x) = = L > 0 и наименьшие f(х)—x(x) = = –L значения (критерий Чебышева).

Характер графика разности f(х)—x(x) для полинома f(х) пятой степени, удовлетворяющего этому критерию, приведен на рис. 10.28. Этому же критерию удовлетворяет полином f(х) в рассмотренном выше примере (см. рис. 10.27).

Во многих прикладных задачах находит применение полиномиальная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близости, когда параметры аппроксимирующей функции f(х) выбираются из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а Ô х Ô b квадрата отклонения функции f(х) от заданной непрерывной функции x(х), т. е., из условия:

.

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции L по каждому из искомых коэффициентов а_k аппроксимирующего полинома f(x), т. е. уравнений

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное решение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае – численно. Так, в рассматриваемом примере система уравнений при аппроксимации в интервале 0 Ô x Ô l,5 функции 1– e^–x полиномом первой степени такова:

или после преобразований:

Поэтому f(х) = 0,108 + 0,500x.

Заметим, что, как правило, средняя квадратическая погрешность наилучшего равномерного приближения функций f(х) и x(х) лишь не намного отличается от минимально возможной. Обратное утверждение обычно ошибочно, т. е. при квадратической аппроксимации в некоторых участках интервала аппроксимации возможны существенные превышения погрешности аппроксимации (выбросы) по сравнению с теми, которые соответствуют критерию (10.7).

Вернемся к вольт-амперным характеристикам. Общий вид записи степенного полинома, аппроксимирующего ВАХ:

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности рабочей точки U₀. Тогда используют степенной полином другого вида:

Пример. Используя метод интерполяции, аппроксимировать ВАХ нелинейного резистивного элемента (рис. 10.29) степенным полиномом. Аппроксимированная ВАХ должна совпадать с заданной в выбранных точках U₀, U₁ и U₂.

Составим систему уравнений:

из которой найдём искомые коэффициенты

Пример. ВАХ нелинейного резистивного элемента i =F(u) задана таблицей:

Используя квадратический критерий, аппроксимировать характеристику выражением .

Сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданной: минимальна при значении коэффициента a₂, удовлетворяющего уравнению

, откуда .

Пример. На рис. 10.30 кружочками показаны полученные экспериментально пять точек характеристики транзистора КТ301. Осуществим степенную аппроксимацию этой характеристики в диапазоне от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в окрестности рабочей точки U₀ = 0,7 В.

Коэффициенты полинома найдем, используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполяции точки, соответствующие напряжениям 0,5; 0,7 и 0,9 В и составим систему уравнений:

Решение этой системы дает a₀ = 0,15 мА, a₁ = 1,125 мА/В, a₂ = = 3,125 мА/В². Кривая тока

проходит через три экспериментальные точки, соответствующие узлам интерполяции (см. рис. 10.30, кривая 1). Из рисунка видно, что некоторые экспериментальные точки (например, при U_БЭ = 0,4 В) плохо «ложатся» на эту кривую. Кроме того, появляется загиб в нижней части характеристики.

Лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином четвертой степени и выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока i_Б пройдет через все пять экспериментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улучшить аппроксимацию, воспользовавшись каким-либо другим методом для определения коэффициентов a_s. Найдем эти коэффициенты, используя среднеквадратическое приближение тока по всем пяти экспериментальным значениям.

Составим уравнения (10.9):

Решение этой системы уравнений дает: a₀ = 0,164 мА, a₁ = l,07 мА/В и a₂ = = 2,069 мА/В².

График тока при этом определяется полиномом

и показан на рис. 10.30, кривая 2. Эта характеристика является более приемлемой для аналитического описания экспериментальных результатов.

Кусочно-линейная аппроксимация

Наряду с полиномиальной аппроксимацией ВАХ в радиотехнике и связи широко используется их аппроксимация линейно-ломаной зависимостью – совокупностью отрезков прямых, образующих в интервале аппроксимации непрерывную функциюf(x). Так, на рис. 10.31 приведена линейно-ломаная зависимость

составленная из двух отрезков прямых и аппроксимирующая в интервале 0 Ô x Ô 1,5 функцию 1—e^–x с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,024.

Параметры аппроксимирующих прямых могут быть выбраны так, чтобы в интервале аппроксимации выполнялся критерий (10.7) или (10.8).

В пределах каждого из линеаризированных участков вольт-амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелинейных резистивных цепях аппроксимируемая вольт-амперная характеристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью представляется двумя или тремя отрезками прямых. Графики типичных аппроксимирующих функций приведены на рис. 10.32, а – в, где U_отс – так называемое напряжение отсечки, U_н и I_н – напряжение и ток насыщения в НЭ.

Подобная аппроксимация вольт-амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нелинейной резистивной цепи при «больших» по величине воздействиях на нелинейный элемент, т. е. когда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I_н (см. рис. 10.32, в).

Пример. На рис. 10.33 (кривая 1) приведен график экспериментальной зависимости транзистора КТ306. Выполним кусочно-линейную аппроксимацию этой зависимости.

Используя полином первой степени

осуществим аппроксимацию заданной зависимости в окрестности точки U₀ = = 0,8 В и определим коэффициенты по методу Тейлора:

Ток в рабочей точке в соответствии с экспериментальными данными I₀ = = 1,2 мА. Крутизну S(U₀) в рабочей точке можно найти приближенно методом приращений:

В результате аппроксимации получим

Видно, что при u_БЭ < 0,5 В ток i_Б принимает отрицательные значения, что не согласуется с экспериментальной зависимостью. Таким образом, полученным полиномом будем аппроксимировать заданную зависимость на участке u_БЭ > 0,5. На участке же 0 < u_БЭ < 0,5 можно выбрать полином первой степени с нулевыми коэффициентами, т. е. i_Б = 0. Итак, аппроксимирующая функция запишется в виде (рис. 10.33, кривая 2)

Представим эту зависимость в более общей форме:

Другие виды аппроксимации вольт-амперных характеристик

Вольт-амперная характеристика идеализированного полупроводникового диода совпадает с характеристикой идеализированного р-п перехода

где I₀ – обратный (тепловой) ток, j_T – тепловой потенциал (j_T @ @ 0,026 В при T = 300К).

Функция (10.12) иногда используется для аппроксимации вольт-амперных характеристик. Ее единственным варьируемым параметром является обратный ток I₀, значение которого можно найти, интерполируя заданную характеристику функцией (10.12) в одной из точек. График функции (10.12) подобен приведенному на рис. 10.1, а.

Заметим, что вольт-амперные характеристики реальных полупроводниковых диодов в силу ряда причин отличаются от идеализированных и чаще всего аппроксимируются отрезками прямых.

В ряде случаев вольт-амперные характеристики, подобные приведенной на рис. 10.32, в, аппроксимируются функцией

с тремя варьируемыми параметрами I₀, g и U₀.

Можно считать, что I = I_н, U₀ – соответствует значению напряжения U, при котором i = 0,5I_max, а постоянная g находится по известной крутизне S = dI/dU аппроксимируемой вольт-амперной характеристики в точке U₀ из условия S(U₀) = 0,5I₀.

10.6. Аналитические методы расчета нелинейных резистивных цепей

Составление уравнений состояния цепи на основании законов Кирхгофа

Из предыдущих разделов известно, что в общем случае, когда цепь содержит n_в ветвей (в том числе n_т источников тока) и n_у-узлов, число неизвестных токов (напряжений) равно n_в – n_у + 1 – n_т. Для отыскания такого числа неизвестных составляется система уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа (ЗТК) записывается n_у – 1 уравнений вида (1.16):

где m – число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа (ЗНК) записывается n_в – n_у + 1 уравнений вида (1.17):

где п—число ветвей, входящих в контур.

Если цепь содержит, кроме линейных, также и НЭ, то в системе уравнений, описывающей состояние цепи, появятся уравнения вида i_k = F_k(u_k). Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как и в случае линейных резистивных цепей.

Составим, например, систему уравнений состояния для цепи, схема которой изображена на рис. 10.13. Пусть ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется выражением

Зададимся положительными направлениями напряжений и токов. Цепь содержит один независимый контур (I) и один независимый узел (1). Уравнения, записанные по ЗТК и ЗНК, имеют следующий вид:

К этим уравнениям дописываем уравнение (10.14). Неизвестными в данной системе уравнений являются напряжение U_н и токи I₁ и I_н. Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три уравнения. Как видим, процесс составления системы уравнений такой же, как и в случае линейной цепи. Однако процесс решения полученной системы, которая содержит нелинейное уравнение, может существенно затрудниться. Для большинства относительно сложных цепей аналитического решения системы уравнений может и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным методам решения.

В рассматриваемом примере достаточно просто получить аналитическое решение. Предположим вначале, что решение системы уравнений существует при U_н > 0. Тогда уравнение НЭ имеет вид

Выразим из уравнения (10.15) ток I₁ = I_н – J₀₂ и подставим его в уравнение (10.16). В результате этой операции получим

Подставив в (10.18) выражение (10.17), получим уравнение относительно неизвестного напряжения на нелинейном двухполюснике

Отсюда имеем

Пусть R₁ = l кОм, U₀₁ = 14 В, J₀₂ = 10 мА, a = 10^–5 А/В. Тогда U_н = 20 В.

Второе решение уравнения (10.19) даст U_н < 0. Это решение не подходит, так как применялось уравнение НЭ, справедливое при U_н > 0.

Допустим теперь существование решения системы уравнений (10.15)— (10.16) при U_н< 0. Согласно уравнению НЭ (10.14) I_н = 0. Тогда из уравнения (10.18) имеем

а это противоречит условию, что U_н< 0.

Таким образом, остается первое решение (10.20). Найдем остальные неизвестные. Из (10.17) имеем , а из (10.15) I₁ = I_н –J₀₂ = —6 мА.

В данном примере получено аналитическое решение системы нелинейных уравнений. Если бы ВАХ нелинейного элемента описывалась более сложной функцией, то этого достичь не удалось бы.

Составление уравнений состояния цепи методом узловых напряжений (потенциалов)

Как известно, переменными в методе узловых напряжений являются напряжения n_у – 1 узлов по отношению к базисному узлу.

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на рис. 10.34. Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются выражениями I = aU³ для элемента НЭ₁ и I = bU² для элемента НЭ₂. В схеме имеется зависимый источник (ИТУТ) с током I₅ = H_iI₁.

Приняв узел 4 за базисный, имеем три независимых узла: 1, 2 и 3. Токи ветвей выражаются через узловые напряжения U₁, U₂ и U₃ следующим образом:

Составим уравнения для узлов 1, 2 и 3 по ЗТК:

Подставив в эти уравнения значения токов из (10.21), получим

Уравнения узловых напряжений получены в виде системы трех нелинейных уравнений с тремя неизвестными узловыми напряжениями. Можно уменьшить число уравнений, если из первого уравнения выразить U₂ через U₁ и U₃ и исключить его из двух остальных уравнений. В результате получим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными напряжениями узлов 1 и 3.

Решить данную систему уравнений можно одним из численных методов (например, известным из математики методом Ньютона— Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи и напряжения ветвей.

Аналитические методы нахождения рабочей точки

Задача о нахождении рабочей точки может решаться и аналитическими методами, если зависимость I(U) нелинейного резистивного элемента задана аналитически. Она сводится к решению нелинейного уравнения

относительно напряжения U =U₀ в рабочей точке резистора. Так например, в цепи с идеализированным выпрямительным диодом, у которого , где I₀ и ^j_T – некоторые постоянные, задача нахождения рабочей точки приводит к решению трансцендентного уравнения относительно неизвестного напряжения U= U₀ с последующим нахождением тока I₀ = (Е—U₀)/R в рабочей точке диода.

Если вольт-амперная характеристика нелинейного резистора аппроксимирована полиномом I= a₁U + a₂U² + … + a_nUⁿ, то уравнение (10.23) будет представлять собой алгебраическое уравнение степени п относительно искомого напряжения в рабочей точке и, как известно, в общем случае может быть решено лишь численно, если n> 4.

В заключение следует подчеркнуть, что нелинейный характер взаимозависимостей между реакциями и воздействием в анализируемых цепях обусловливает неприменимость к ним в общем случае принципа наложения, лежащего в основе высокоэффективных методов анализа и синтеза линейных электрических цепей. По этой же причине только в редких случаях удается найти решение задач анализа колебаний в аналитической форме, даже в таких простейших нелинейных цепях, как нелинейные резистивные цепи.

10.7. Стабилизация постоянного напряжения нелинейными резистивными цепями

Для поддержания постоянства (стабилизации) напряжения питания активных электрических цепей при возможных колебаниях первичного питающего напряжения и изменениях сопротивления нагрузки используются устройства, получившие название стабилизаторов постоянного напряжения.

Схема простейшего стабилизатора приведена на рис. 10.35, а. В него входят генератор первичного питающего напряжения, задающее напряжение U_г которого под воздействием дестабилизирующих факторов может меняться относительно его среднего значения, и стабилитрон, подсоединенный параллельно нагрузке. Его вольт-амперная характеристика была приведена на рис. 10.1, б. Внутреннее сопротивление генератора R_г и сопротивление нагрузки R_н считаются чисто резистивными.

При анализе работы стабилизатора цепь, внешнюю по отношению к стабилитрону, заменим эквивалентным генератором с задающим напряжением U₀ и внутренним сопротивлением R₀. После этой замены схема анализируемой цепи преобразуется в схему рис. 10.35, б. На этой схеме через U_н обозначено напряжение на зажимах нагрузки, которое совпадает с напряжением в рабочей точке стабилитрона (рис. 10.35, а). Зная последнюю, можно найти токи в ветвях исходной цепи: I_г = (U_г—U_н)/R_г, I_н = U_н/R_н, I_д = = I_г—I_н.

Рис. 10.36, а и б показывает, что рабочая точка стабилитрона изменяется вдоль прямой, практически параллельной оси ординат, с изменением как задающего напряжения эквивалентного генератора (рис. 10.36, а), так и его внутреннего сопротивления (рис. 10.36, б). Тем самым решается задача стабилизации напряжения на зажимах нагрузки, поскольку оно незначительно меняется при изменении в широких пределах первичного питающего напряжения U_г и сопротивления нагрузки R_н.

Естественно, что эффект стабилизации достигается ценой рассеяния энергии в стабилитроне и резисторе R_г.

10.8. Вопросы и задания для самопроверки

1. Какими уравнениями описываются нелинейные резистивные цепи, какими – нелинейные цепи, содержащие реактивные элементы? 2. Какие значения может принимать дифференциальное сопротивление нелинейного элемента? 3. Какой элемент цепи обладает одинаковыми статическим и дифференциальным сопротивлением? 4. Что называется рабочей точкой вольт-амперной характеристики нелинейного элемента? 5. Приведите пример многозначной вольт-амперной характеристики нелинейного элемента? 6. Объясните на примерах трехзначных характеристик N-типа и S-типа возможность получения неоднозначного решения задачи нахождения рабочей точки вольт-амперной характеристики резистивных нелинейных элементов? 7. В каком режиме (постоянного или переменного тока) могут быть сняты статические вольт-амперные характеристики резистивных нелинейных элементов? 8. Нарисуйте схему измерительной установки для снятия статической вольт-амперной характеристики резистивного двухполюсника. 9. Применим ли метод эквивалентного генератора к нелинейной цепи? К ее линейной части? Как определяются характеристики этого генератора? 10. Какие из указанных ниже законов справедливы для нелинейной цепи (нелинейного элемента): закон Ома, закон Кирхгофа, закон Джоуля-Ленца? 11. В чем отличие метода эквивалентных преобразований для линейной и нелинейной цепей? 12. Найдите ток i₂ и напряжение u₂ на нелинейном элементе (рис. 10.37), если U₀ = 6 В, I₀ = 3 А, R₁ = 8 Ом, R₂ = 6 Ом, R₃ = 3 Ом, i = 0,1u² А. Ответ: i₂ = 1,6 А, u₂ = 4 В. 13.
Найдите токи и напряжения в ветвях цепи (рис. 10.38), если U₀ = 6 В, I_А = 6 мА, R = 1 кОм, i = 0,001u² А. Найдите алгебраические суммы частичных токов и напряжений, вызванных действием каждого источника в отдельности и убедитесь, что метод наложения дает неверные результаты. Ответ: I = 9 мА, U = 3 В. Ток и напряжение, вызванные генератором тока I^I = 4 мА, U^I = 2 В; ток и напряжение, вызванные генератором напряжения, имеют те же значения I^II = 4 мА, U^II = 2 В. В результате получаем

I = I^I + I^II = 8 мА,

U = U^I + U^II = 4 В. Cледовательно, принцип наложения для нелинейной цепи не справедлив. 14. Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.39), если I₀ = 0,2 А, R₁ = 100 Ом, i = 0,01u² А и определите соответствующие значения статических и дифференциальных сопротивлений нелинейного элемента и параллельного соединения сопротивления R₁ и нелинейного элемента. Ответ: I = 0,16 А, I₁ = 0,04 А, R_ст = 25 Ом, R_{ст экв} = 20 Ом, R_д = 12,5 Ом, R_{д экв} = 11,1 Ом. 15. Найдите ток и напряжение в цепи (рис. 10.40), если u = i² В, U₀ = 11 В, R₁ = 10 Ом. Определите новое значение R₁, при котором дифференциальное сопротивление в новой рабочей точке вольт-амперной характеристики нелинейного элемента будет равно 1 Ом.
Ответ: I = 1 А, U₁ = 10 В, R₁ = 21,5 Ом. 16.
На рис.10.41 изображена вольт-амперная характеристика стабилитрона – нелинейного полупроводникового прибора, используемого для стабилизации постоянного напряжения на входе питаемой цепи. Найдите, в каких пределах может изменяться сопротивление нагрузки R_н при неизменном напряжении U_н = 6 В, если U₀ = 12 В, R = 100 Ом, U = 6 В, I_max = = 50 мА, I_min = 10 мА. Ответ: 120 Ом R_н 600 Ом. 17. Найдите величину сопротивления R₃ (рис. 10.42), при которой I = 3 мА, если U₀ = 16 В, R₁ = R₂ = 2 кОм, I = (2^U – 1)×10^–3 А. Определите в рабочей точке дифференциальное и статическое сопротивление нелинейного элемента. Ответ: R₃ = 1 кОм, R_ст = 666,7 Ом, R_д = 364 Ом. 18. Найдите вольт-амперную характеристику параллельного соединения НЭ (рис. 10.43), если i₁ = 0,02u² А, i₂ = 0,08u² А. Определите величину R, при которой i = 0,4А, если u₀ = 6В. Ответ: R = 10 Ом. 19. Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.44), если U₀ = 30 В, I₀ = 3 А, u₁ = В, i₂ = 0,01u₂² В. Ответ: i₁ = 1 А, u₁ = 10 В, i₂ = 4 А, u₂ = 20 В. 20. Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.45), если U₀₁ = = U₀₂ = 6 В, u₁ = В, u₂ = В, R = 0,8 Ом.

Ответ: I₁ = 1 А, I₂ = 4 А, I₃ = 5 А, U₁ = U₂ = 2В, U_R = 4 В.

21.
Применив интерполяционный метод, аппроксимируйте ВАХ нелинейного резистивного элемента (рис. 10.45) полиномом вида .

Ответ: a₀ = i₀; ;

;

. 22. Заданную в виде таблицы (U_k, I_k) ВАХ нелинейного резистивного элемента аппроксимируйте линейной функцией .  

Uk	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
Ik	0	0.26	0.54	0.72	0.93	1.1	1.18	1.28	1.36

Коэффициент а₁ определить методом наименьших квадратов. Ответ: i = 1,94u. 23. Падающий участок ВАХ нелинейного резистивного элемента i = F(u) задан таблицей:

Uk	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4
Ik	9.0	6.75	4.6	3.0	2.0

Аппроксимируйте характеристику на отрезке [0.2; 0.4] линейной функцией методом наименьших квадратов. Ответ: i = -35,3 + 15,7u.

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
→
1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

Простые нелинейные электрические цепи постоянного тока рассчитывают графическим способом. При этом считаются известными вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейных элементов, входящих в нелинейную цепь постоянного тока.

Нелинейный элемент, ВАХ которого в рабочем диапазоне приближенно можно изобразить прямолинейным участком, заменяют последовательным соединением линейного резистивного элемента с источником ЭДС. При этом сопротивление линейного элемента принимается равным дифференциальному сопротивлению нелинейного элемента в рабочей точке его ВАХ.

Нелинейный элемент в области рабочей точки характеристики можно также заменить параллельным соединением источника тока с линейным элементом, проводимость которого равна дифференциальной проводимости нелинейного элемента в этой точке.

Разветвленная нелинейная электрическая цепь постоянного тока с одним нелинейным элементом может быть рассчитана методом эквивалентного генератора. При этом заменяют линейную часть нелинейной цепи постоянного тока по отношению к нелинейному элементу эквивалентным источником. Полученную цепь последовательного соединения источника, линейного и нелинейного элементов рассчитывают графически.

Решение нелинейных уравнений, описывающих нелинейную электрическую цепь постоянного тока с двумя узлами, также проводят графически. При этом все уравнения необходимо строить в одинаковом масштабе, на одном графике в функции узлового напряжения.

---

Расчет нелинейных цепей постоянного тока

---

Задача 1.6.1 Графический метод расчета (для двух узлов) нелинейной цепи постоянного тока

Определить графическим методом значение токов в нелинейной цепи постоянного тока, показанной на рис. 1.6.1, если E₁ = E₃ = 100 В и R₃ = 500 Ом.

Рис. 1.6.1

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов симметричны относительно начала координат и показаны на рис. 1.6.2 (I₁ (U₁) — кривая 1; I₂ (U₂) — кривая 2).

Рис. 1.6.2

Решение. Для всех трех ветвей цепи напряжение U_cd одинаково (см. рис. 1.6.1).

Построим вольт-амперные характеристики ветвей I₁ (U_cd); I₂ (U_cd); I₃ (U_cd) (рис. 1.6.3).

Рис. 1.6.3

Характеристика второй ветви I₂ (U_cd) построена для нелинейного элемента 2.

Для первой ветви U_cd = U₁ — E₁. Из соответствующих значений U₁ вольт-амперной характеристики 1 вычитаем E₁. Результаты расчета характеристики I₁ (U_cd) приведены в табл. 1.6.1.

Таблица 1.6.1

U1, В	100	80	60	40	30	20	10	5	0
Ucd = U1 — E1	0	-20	-40 Комментарий Смотрите в одиночестве нарезки женских оргазмов русские, про парней, кто любит целочек, или видео, где как ебать негртянки на странице https://porntime.ru только безумная порнуха! Смотрите в одиночестве сперма не тонет видео, и другие на porntime.ru как когда девушка кончает ее дергает только безумная порнуха !.	-60	-70	-80	-90	-95	-100
I1, А	1,1	1,0	0,9	0,8	0,72	0,6	0,45	0,3	0

Продолжение табл. 1.6.1

U1, В	-5	-10	-20	-30	-40	-60	-80	-100
Ucd = U1 — E1	-105	-110	-120	-130	-140	-160	-180	-200
I1, А	-0,3	-0,4	-0,6	-0,72	-0,8	-0,9	-1,0	-1,1

По данным таблицы строим вольт-амперную характеристику первой ветви I₁ (U_cd).

Третья ветвь является линейной, ее вольт-амперная характеристика U_cd (I₃) = E₃ — R₃·I₃. Для построения ВАХ по точкам пересечения прямой и осей координат находим

U cd =0;   I 3 = E 3 R 3 = 100 500 =0,2  А; I 3 =0;      U cd = E 3 =100   В.

По первому закону Кирхгофа I₁ + I₂ = I₃ построим зависимость I₁ + I₂ = f (U_cd), т. е. эквивалентную вольт-амперную характеристику первых двух ветвей. Эту характеристику получаем, складывая ординаты характеристик I₁ (U_cd) и I₂ (U_cd). В точке пересечения зависимостей I₁ + I₂ = f (U_cd) и I₃ (U_cd) выполняется равенство I₁ + I₂ = I₃, т. е. точка пересечения дает значения токов. Таким образом,

U_cd = –72 В; I₁ = 0,68 А; I₂ = –0,32 А; I₃ = 0,36 А.

Задача 1.6.2 Приведение нелинейной цепи постоянного тока к графическому методу расчета для двух узлов

Определить значения токов во всех ветвях нелинейной цепи постоянного тока рис. 1.6.4.

Рис. 1.6.4

Величины сопротивлений и входного напряжения указаны на рис. 1.6.4.

Рис. 1.6.5

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов показаны на рис. 1.6.5 в виде кривых I₁ = f (U₁); I₂ = f (U₂).

Решение. Для определения токов I₁ и I₂ в ветвях с нелинейными элементами разомкнем эти ветви и найдем напряжения U_1х и U_2х из схемы рис. 1.6.6

Рис. 1.6.6

U 1x =U R 3 R 3 + R 4 =12⋅ 6 18 =4  В; U 2x =U R 4 R 3 + R 4 =12⋅ 12 18 =8  В.

2. Включим в соответствующие ветви с нелинейными элементами ЭДС E_1х = U_1х и E_2х = U_2х и замкнем накоротко зажимы a и c, к которым присоединен внешний источник напряжения (рис. 1.6.7).

Рис. 1.6.7

Токи I₁ и I₂ в этой схеме будут равны действительным токам в соответствующих ветвях заданной схемы. После замены двух параллельных ветвей с сопротивлением R₃ и одной эквивалентной ветвью получаем схему с двумя узлами (рис. 1.6.8), где

R 5 =2   Ом;   R 34 = R 3 ⋅ R 4 R 3 + R 4 =4   Ом.

Рис. 1.6.8

Пользуясь схемой рис. 1.6.8, можно токи I₁ и I₂ определить графически, как это было сделано в предыдущей задаче 1.6.1.

Задача 1.6.3 Расчет нелинейной цепи постоянного тока методом линеаризации

Рассчитать ток I и напряжения U₁ и U₂ в цепи рис. 1.6.9, а, применив метод линеаризации. Характеристика нелинейного элемента показана на рис. 1.6.9, б.

Рис. 1.6.9

Решение

1. Выбираем рабочую точку A (U = 86 В; I = 0,7 А) в почти линейной части вольт-амперной характеристики. Проводим в этой точке касательную, которая на оси ординат отсекает точку с напряжением U = 70 В. Для рабочей точки дифференциальное сопротивление

R Д = ΔU ΔI = 86−70 0,7 =22,8  Ом.

2. Исходную схему замещаем эквивалентной линейной (рис. 1.6.9, в). Для этой цепи

I= U−E R+ R Д = 100−70 20+22,8 =0,7  А.

Напряжения на элементах

U 1 =E+I⋅ R Д =70+0,7⋅22,8=86  В; U 2 =I⋅R=0,7⋅20=14  В.

Полученная рабочая точка A лежит в линейной части вольт-амперной характеристики. Если полученные значения токов и напряжений не находятся в «окрестностях» рабочей точки, расчет необходимо повторить, выбрав другую рабочую точку.

Задача 1.6.4 Расчет нелинейной цепи постоянного тока методом итераций

Определить значение токов в нелинейной цепи постоянного тока методом итераций (рис. 1.6.10), если Е₁ = 135 В; E₂ =115 В.

Рис. 1.6.10

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов даны на рис. 1.6.2: I₁ (U₁) — кривая 1; I₂ (U₂) — кривая 2.

Решение

1. Составим уравнения для данной цепи, применив законы Кирхгофа

{ I 1 + I 2 − I 3 =0; I 1 ⋅ R 4 + U 1 + I 3 ⋅ R 3 = E 1 ; I 2 ⋅ R 5 + U 2 + I 3 ⋅ R 3 = E 2 .

Исключив переменную I₃, число уравнений сокращаем до числа нелинейных элементов

{ I 1 ⋅ ( R 3 + R 4 )+ I 2 ⋅ R 3 + U 1 = E 1 ; I 1 ⋅ R 3 + I 2 ⋅ ( R 3 + R 5 )+ U 2 = E 2 .

2. Для обеспечения сходимости из первого уравнения находим U₁, а из второго — I₂

{ U 1 = E 1 − I 2 ⋅ R 3 − I 1 ⋅ ( R 3 + R 4 ); I 2 = E 2 − U 2 R 3 + R 5 − I 1 R 3 R 3 + R 5 .

Текущие значения токов и напряжений обозначаем индексом k, а уточненные значения — индексом (k +1). Окончательно получаем

{ U 1 ( k+1 ) = E 1 − I 2k ⋅ R 3 − I 1k ⋅ ( R 3 + R 4 ); I 2 ( k+1 ) = E 2 − U 2k R 3 + R 5 − I 1k R 3 R 3 + R 5 .

Значения I_1k и U_2k определяем из вольт-амперных характеристик соответствующих нелинейных элементов по известным U_1k и I_2k.

Сначала (k = 0) произвольно выбираем U₁₀ = 40 В; I₂₀ = 0,5 А.

Подставив их в итерационные уравнения, получаем

U₁₁ = 50,2 В; I₂₁ = 0,383 А.

Процедуру повторяем с уточненными значениями U₁₂, I₂₂ и т. д.

После семи шагов значения U₁ и I₂ будут изменяться незначительно. Вычисления прекращаем.

Таблица 1.6.2

Авто аукцион сша на русском по материалам http://www.shturman.club.

k	U1k, В	I2k, А	Из характеристик	Из уравнения
U2k, В	I1k, А	I2 (k+1), А	U1 (k+1), В
0	40	0,5	80	0,8	0,383	50,2
1	50,2	0,383	75	0,85	0,33	55,72
2	55,72	0,33	72	0,88	0,313	58,3
3	58,3	0,313	71	0,89	0,305	59,4
4	59,4	0,305	70,5	0,897	0,301	59,9
5	59,9	0,301	70,1	0,9	0,3	59,96
6	59,96	0,3	70,0	0,9	0,3	60,0
7	60,0	0,3	70,0	0,9	0,3	60,0

Результаты расчета нелинейной цепи постоянного тока методом итераций показаны в табл. 1.6.2. Из нее следует: U₁ = 60 В; I₂ = 0,3 А; из вольт-амперных характеристик (–I₁) = 0,9 А; U₂ = 70 В, а из первого уравнения законов Кирхгофа находим ток I₃ = I₁ + I₂ = 1,2 А.

---

Ссылка на статью по нелинейным электрическим цепям постоянного тока НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи

расчет нелинейных цепей постоянного тока

Это продолжение курса лекций по нелинейным электрическим цепям. Первая часть расположена здесь: https://zen.yandex.ru/media/independent_work/nelineinye-elektricheskie-cepi-chast-1-62463c3e0f6d58403441415c

Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые имеют общий характер. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена графическими, аналитическими либо численными (итерационными) методами.

Графические методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. До проведения расчета нелинейной цепи должны быть известны вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейных резисторов (НР), входящих в схему.

Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями. С линейной частью цепи можно предварительно осуществлять эквивалентные преобразования.

Сущность графических методов расчета нелинейной цепи с последовательными и параллельными элементами сводится к графическим преобразованиям характеристик линейных и нелинейных элементов цепи в соответствии с законами Кирхгофа.

Общий подход к решению задач графическими методами следующий: характеристики всех ветвей цепи записываются как функция одного общего аргумента, а далее система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным.

Преимущества этих методов: простые и наглядные.

Недостатки: повышение трудоемкости и снижение точности при расчете сложной цепи.

Графические методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока для последовательного соединения НР

Рассмотрим графические методы для последовательного соединения НР на примере электрической цепи (ЭЦ) с последовательно соединенными нелинейным и линейным резисторами. Следует напомнить, что задача анализа для ЭЦ сводится к нахождению токов во всех ветвях ЭЦ.

Метод 1 – по результирующей ВАХ пассивной части схемы

Сущность метода заключается в построении результирующей ВАХ для пассивной части цепи с последующим нахождением рабочей точки по известному значению входного напряжения.

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы.

Входное напряжение на основании второго закона Кирхгофа складывается из напряжений на отдельных НЭ. В рассматриваемой цепи E = Uнр +Ur. Поэтому для построения результирующей ВАХ нужно для нескольких фиксированных значений тока суммировать напряжения на нелинейном и линейном элементах. Чем больше точек будет получено, тем точнее результирующая ВАХ (синяя кривая на рис. 2).

По заданному значению входного ЭДС находим рабочую точку на результирующей ВАХ (см. рис. 2) и соответствующее ей значение тока. По полученному значению тока при необходимости можно отыскать напряжения на отдельных элементах Uнр и Ur.

Метод 2 – метод пересечений

Сущность метода заключается в отыскании рабочей точки на пересечении ВАХ одного элемента с зеркальным отображением ВАХ другого элемента. Результирующую ВАХ строить нет необходимости.

Рассмотрим решение этим методом на примере ЭЦ, представленной на рисунке 1. Ток в цепи один, поэтому Iнр = Ir = I . Строим график I (Uнр). На основании второго закона Кирхгофа в рабочей точке напряжение нелинейного резистора Uнр(I) = E − I*R. Построим график I в функции (E − I*R ), который является зеркальным отображением графика I(Uнр), смещенного вправо на величину ЭДС (фактически это уравнение прямой, проходящей через точки I=E/R при U=Uнр=0; и Uнр= U = E при I = 0. Тангенс угла ее наклона к вертикали αравен R). Графики пересекаются в рабочей точке, для которой находим рабочий ток, и при необходимости, напряжения на элементах.

Аналогично метод пересечений применяется для двух нелинейных элементов.

Ток в цепи одинаковый для всех элементов. Строим зависимость I (Uнр1) . В рабочей точке на основании второго закона Кирхгофа напряжение Uнр1 = E − Uнр2 . Построим график I(E − Uнр2), который является зеркальным отображением графика I(Uнр2), смещенного вправо на величину входного ЭДС E . Очевидно, что графики пересекаются в рабочей точке. Находим соответствующие ей значения тока I и напряжений Uнр1 и Uнр2.

Графический метод расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока для параллельного соединения НР

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам.

Так как при параллельном соединении напряжения на элементах одинаковы и равны входному U, то на ВАХ отдельных элементов находим токи I1 и I2 . Входной ток на основании первого закона Кирхгофа равен сумме токов в пассивных ветвях: I = I1 + I2. Для нахождения входного тока необходимо построить результирующую ВАХ для параллельного соединения – для нескольких фиксированных значений напряжений отметить точки для которых I = I1 + I2 и затем их аппроксимировать (красная кривая на рисунке 6).

Определение напряжения и токов в ветвях цепи при заданном значении входного тока производится графически, как изображено на рисунке 6. Заданное значение тока I откладываем на оси ординат и через полученную точку проводим горизонталь до пересечения с результирующей ВАХ. Абсцисса этой точки равна искомому напряжению. Для полученного значения напряжения находим графически токи в ветвях с НР.

Графический метод расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока для параллельного соединения НР

При смешанном соединении решение осуществляется методом эквивалентных преобразований. Рассмотрим на примере ЭЦ, приведённой на рисунке 7.

Например, требуется определить все токи, если задано входное напряжение и ВАХ отдельных элементов: I3(U3), I2 (U23), I1(U23).

Решение заключается в постепенном построении результирующих ВАХ. Очевидно, что сначала нужно построить результирующую ВАХ для параллельного участка (для ряда значений напряжения U23 суммировать токи I1 и I2). После этого схема превратится в последовательное соединение НЭ1 и эквивалентного элемента с ВАХ I3(U23), так как I1 + I3 = I3. Затем нужно построить результирующую ВАХ всей схемы, для чего можно использовать например метод пересечений.

Таким образом, для ЭЦ рис. 7 исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов (кривая 1+2). Далее применяем метод пересечений для двух последовательно соединенных резистивных элементов (на рисунке 2 кривые 3’ и кривая 1+2). На основании графических построений определяются токи в исходных параллельных ветвях.

Метод двух узлов

Метод двух узлов, как и следует из названия, позволяет определять токи в нелинейной ЭЦ с двумя узлами. Суть метода заключается в следующем: Строятся графики зависимостей токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа. Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.

Рассмотрим метод на примере изображенной на рисунке 9 схемы.

1.Выберем положительное направление токов. Для выбранного на рисунке направления I1 + I2 + I3 = 0.

2.Выразим все токи в функции одного переменного: Uab. Для этого выразим напряжения на НР через ЭДС и напряжения между узлами (см. рис. 10).

3. Каждый из токов является нелинейной функцией от напряжения на своем НР → возникает задача, как перестроить кривую Ii=f(Ui) в кривую Ii=f(Uab). Для построения графика I1=f(Uab) исходная кривая смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС в 1-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке (рис. 11). Аналогичные построения делаем для остальных кривых.

4. Строим кривую I1 + I2 + I3 = f(Uab), просуммировав ординаты кривых 1, 2 и 3 (см. рис. 12).

5. Определяем, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа (точка m пересечения кривой 4 с осью абсцисс). Соответствующие данной точке токи являются решением задачи (ординаты точек пересечения перпендикуляра с кривыми 1, 2 и 3 дадут соответственно токи I1, I2 и I3).

Следующая часть лекций по нелинейным цепям будет посвящена использованию метода эквивалентного генератора для нелинейных ЭЦ постоянного тока.

Подписывайтесь на канал!

Содержание:

Расчет нелинейных электрических цепей:

Законы Кирхгофа в первой форме записи (

Приведение нелинейных цепей к линейным

Такое приведение можно сделать, если нелинейные элементы цепи работают в узком диапазоне напряжений и токов, где соответствующие участки вольтамперных характеристик близки к прямым.

Пусть это, например, имеет место для участков ab и cd характеристик 1 и 2 (рис. 4.1) нелинейных резисторов R₁ и R₂ цепи рис. 4.2, а. Так как продолжения этих прямых составляют с осью токов углы и пересекают ось напряжений в точках , уравнения прямых получают следующий вид:

где R₁₁ и R₁₂ — дифференциальные сопротивления этих резисторов, имеющие постоянные значения на участках ab и cd; k — масштабный коэффициент.
Следовательно, каждый такой нелинейный элемент может быть представлен в виде эквивалентной схемы, состоящей из последовательного соединения — резисторов R₁₁ или R₁₂ и источника напряжения U₀₁ или — U₀₂ включенного навстречу внешнему напряжению, так как последнее должно преодолеть напряжение этого источника.

В результате нелинейная цепь рис. 4.2, а заменяется линейной цепью рис. 4.2, б. Так как при принятом положительном направлении напряжение U₀₂ второго источника отрицательно, его направление совпадает с напряжением U всей цепи. Полученная цепь рис. 4.2, б рассчитывается обычными методами. Решение будет правильным только в том случае, если токи I₁ и I₂ не выйдут за пределы участков ab и cd (см. рис. 4.1).

Графические методы расчета нелинейных цепей

Вольтамперная характеристика одиночного нелинейного резистора (см. рис. 1.9—1.11) сразу позволяет определить ток по заданному напряжению или напряжение по заданному току. При последовательном соединении любого числа нелинейных и линейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования ординат характеристик отдельных резисторов в соответствии с зависимостью

На рис. 4.3 показано такое построение для двух последовательно соединенных резисторов. По характеристике всей цепи для заданного значения напряжения U’ определяется соответствующий ему ток I’, а по Рис. 4.3 нему — напряжения участков цепи.

Если нужно определить ток и напряжения на участках цепи из двух приемников только при одном значении напряжения U всей цепи, нет надобности строить вольтамперную характеристику всей цепи, следует лишь отложить горизонталь для заданного значения U, а oт нее вниз — характеристику U₂ (I) (рис. 4.4, а). Её пересечение с характеристикой U₁(I) даст рабочую точку и определит тем самым ток I’ цепи и напряжения U’₁ и U’₂ на участках.

Рис. 4.4, а иллюстрирует также графическое решение задачи определения тока и напряжения цепи при питании нелинейного резистора с вольтамперной характеристикой U_l (I) от источника напряжения с нелинейной внешней характеристикой U₂ (I).

При параллельном соединении нескольких линейных и нелинейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования абсцисс характеристик, т. е. токов отдельных резисторов:

На рис. 4.5 показано такое построение для двух параллельно соединенных резисторов. По характеристике для всей цепи для любого заданного тока I определяется напряжение U’, а по нему — токи I₁‘ и I₂‘ участков цепи.

Для определения токов ветвей только при одном значении тока I всей цепи можно применить упрощенное построение, аналогичное рис. 4.4, а и показанное на рис. 4.4, б для резисторов с теми же вольтамперными характеристиками. Характеристика U (I₂) строится влево от вертикали для заданного значения I. Ее пересечение с характеристикой U (I₁) определяет напряжение U’ цепи и токи I₁‘ и I₂‘ на ее участках.

При смешанном соединении, например при расчете цепи рис. 4.6, а, также строится вольтамперная характеристика всей цепи по характеристикам отдельных резисторов (рис. 4.6, б). С помощью суммирования абсцисс, т. е. токов I2 и I₃, строится характеристика параллельного разветвления U₂₃ (I₁), затем, суммируя ординаты этой характеристики и характеристики U_l (I₁), т. е. напряжения U₂₃ и U₁ строят характеристику U(I₁) всей цепи. По этой характеристике для заданного напряжения U’ определяется ток I’₁ цепи,
после чего по характеристикам U_l (I₁) и U₂₃ (I₁), находят напряжения участков, а для напряжения U’₂₃ по характеристикам U₂ (I₂) и U₃(I₃) — токи

Совершенно аналогичны построения, если цепь со смешанным соединением, помимо линейных и нелинейных резисторов, содержит источники электрической энергии, например источники напряжения, вольтамперные характеристики которых без учета внутренних сопротивлений представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс.

Их ординаты и следует алгебраически просуммировать с ординатами
вольтамперных характеристик участков (в том числе внутренних сопротивлений), соединенных последовательно с этими источниками, чтобы получить полные характеристики ветвей. При этом необходимо соблюдать правило знаков. Так как напряжение всей ветви должно преодолевать э. д. с. включенного в ветвь источника, то при э. д. с., направленной навстречу току (рис. 4.7, а), нужно при суммировании брать ее с положительным знаком (рис. 4.7, б), и наоборот.

После построения аналогичных характеристик для всех ветвей подобно предыдущему постепенно строится характеристика всей цепи и по заданному ее напряжению обратным построением определяются напряжения и токи всех ветвей цепи. Аналогичным образом решаются задачи при заданных источниках тока.

Если любая сложная цепь содержит одну нелинейную ветвь, для расчета может быть применен метод эквивалентного источника энергии: вся цепь, кроме нелинейной ветви, заменяется эквивалентным источником напряжения или тока, после чего задача сводится к только что рассмотренной задаче последовательного или параллельного соединения двух элементов — нелинейной ветви и внутреннего сопротивления (проводимости) эквивалентного источника. Это позволит определить ток или напряжение нелинейной ветви, после чего может быть рассчитана линейная часть цепи.

Метод последовательных приближений

Этот метод, называемый также итерационным, является приближенным аналитическим способом решения нелинейных алгебраических уравнений.
В качестве примера рассматривается расчет простой цепи рис. 4.8, состоящей из резистора с нелинейным сопротивлением R(I) с заданной вольтамперной характеристикой, питаемого от источника напряжения с заданной постоянной э. д. с. и нелинейной внешней характеристикой, из которой может быть получена вольтамперная характеристика его внутреннего сопротивления R_B. Вольтамперные характеристики могут быть заданы не графически, а аналитически.

Расчет этой цепи может быть произведен по уравнению

где n — порядковый номер приближения.

Задавшись произвольно нулевым приближением тока I₀, по вольтамперным характеристикам находят соответствующие ему напряжения: U₀ на внешнем сопротивлении R₀ и U_0B на внутреннем сопротивлении R_0B. Затем определяют эти сопротивления и суммарное сопротивление цепи:

а из исходного уравнения — первое приближение тока

Исходя из этого значения тока, весь ход расчета повторяется для определения второго приближения I₂ и так до тех пор, пока из-за сходимости итерационного процесса результат не начнет практически повторяться.

Как известно из математики, итерация в зависимости от вида характеристик может дать расходящийся процесс. Тогда сходимость можно получить на основе исходного уравнения для другой величины, например для напряжения на приемнике:

В случае сложной цепи, например моста с двумя нелинейными резисторами (рис. 4.9), исходные уравнения могут быть составлены по методу контурных токов. При этом контуры должны быть выбраны так, чтобы контурный ток нелинейных ветвей одновременно был их действительным током. В противном случае действительный ток нельзя находить путем алгебраического суммирования проходящих по нелинейной ветви двух контурных токов, так как принцип наложения для нелинейных сопротивлений неприменим.

Правильный выбор контурных токов показан на рис. 4.9. Здесь токи нелинейных участков цепи
Тогда система уравнений получает вид:

Если нелинейное сопротивление R₂(I₂) с увеличением тока убывает, a R₃(I₃) — возрастает, можно показать, что для обеспечения сходимости итерационного процесса из этой системы уравнений надо найти ток I₃ = I_A и напряжение U₂ = R₂I_B = R₂I₂ выразив их через все постоянные заданные величины и нелинейные сопротивления R₂ и R₃. Результаты расчетов целесообразно вносить в табл. 4.1,
из которой видны последовательность и способ получения отдельных величин.
Таблица 4.1

Закончив вычисления после практической сходимости итерационного процесса и определив тем самым напряжения и токи нелинейных
участков цепи, на основе законов Кирхгофа определяют напряжения
и токи всех линейных участков, например ток I₁ из уравнения

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

В автоматике, электронике и радиотехнике широко применяются элементы электрических цепей, имеющие нелинейную зависимость между током и напряжением U = f(I).

Электрическая цепь, в которую входят нелинейные элементы, называется нелинейной.

Нелинейную вольт-амперную характеристику имеют электровакуумные приборы (см. рис. 2.6), фотоэлементы (см. рис. 2.7), газоразрядные приборы (см. рис. 2.8—2.10), полупроводниковые приборы (см. рис. 2.15).

Большую группу нелинейных элементов представляют нелинейные сопротивления: терморезисторы, варисторы, бареттеры и др.

В данной главе рассмотрены принципы решения некоторых задач расчета электрических цепей с нелинейными элементами на основе их вольт-амперных характеристик.

Эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей

Для нелинейных электрических цепей остаются справедливыми законы Ома и Кирхгофа. Однако рассмотренные ранее методы расчета для нелинейных цепей непосредственно применить нельзя.

Аналитический расчет нелинейной цепи можно выполнить при условии, что вольт-амперные характеристики нелинейных элементов выражаются относительно простыми уравнениями I = f(U). Например, для электронной лампы известна зависимость I = kU^3/2. Кроме того, характеристики некоторых нелинейных элементов в определенном интервале изменения напряжения и тока прямолинейны или близки к прямой. В таких случаях можно составить для нелинейного элемента эквивалентную схему замещения с линейными элементами и ввести ее в аналитический расчет.

В других случаях схемы замещения остаются нелинейными, но с их помощью достигаются упрощения схем нелинейных цепей.

Статическое и динамическое сопротивления нелинейного элемента

У нелинейных элементов различают статическое и динамическое сопротивления (рис. 6.1, а).

Статическим сопротивлением в данной точке a вольт-амперной характеристики называют отношение напряжения к току, соответствующих этой точке:

где m_u и m — масштабы напряжения и тока; m_R = m_u /m_i — масштаб сопротивления.

Динамическое сопротивление в точке a определяется отношением бесконечно малых приращений напряжения dU и тока dI:

Динамическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона касательной к вольт-амперной характеристике в точке a.

Рис. 6.1. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Приведение нелинейных цепей к линейным

Если продолжить линейный участок h-b-a характеристики до пересечения с осью напряжения, то он пересечет ее в точке f.

Отрезок в принятом масштабе напряжений выражает постоянное напряжение U₀. Нетрудно заметить, что в любой точке h прямолинейной части вольт-амперной характеристики напряжение складывается из постоянного напряжения U₀ и изменяющейся части, определяемой произведением тока и динамического сопротивления IR_дин, т. е. прямая выражается уравнением

На основании уравнения (6.3) нелинейный элемент можно представить схемой последовательного соединения э. д. с. Е₀ = U₀ и динамического сопротивления R_дин (рис. 6.1, б). При этом

Аналогичную схему замещения можно получить для нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой, обращенной выпуклостью к оси токов (рис. 6.2, а). Э. д. с. Е₀ в этом случае будет направлена по направлению тока. На примере данной характеристики покажем, что нелинейный элемент можно представить схемой параллельного соединения источника тока и динамической проводимости G_дин.

В линейной части характеристики ток можно представить в виде суммы

Этому равенству соответствует схема замещения рис. 6.2, б.

Рис. 6.2. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Рис. 6.3. Вольт-амперные характеристики и схемы замещения нелинейного двухполюсника

После замены нелинейных элементов эквивалентными схемами замещения с линейными элементами нелинейную цепь можно рассчитать одним из методов, применяемых для расчета линейных цепей.
 

Нелинейный активный двухполюсник

Нелинейный элемент, вольт-амперная характеристика которого не проходит через начало координат (рис. 6.3, а), можно представить схемой последовательного соединения постоянной э. д. с. и нелинейного сопротивления.

Если характеристику нелинейного элемента перенести так, чтобы она проходила через начало координат, то получится зависимость I(U) нелинейного сопротивления эквивалентной схемы, в которую кроме этого нелинейного сопротивления последовательно включен источник э. д. с. Е₀.
Эквивалентная схема рис. 6.3, б представляет собой активный нелинейный двухполюсник, для которого справедливо уравнение по второму закону Кирхгофа. В данном случае

Эту схему вводить в аналитический расчет нельзя, так как она остается нелинейной в отличие от схемы рис. 6.1, б или 6.2, б, но ее можно использовать для упрощения более сложной схемы, в которую она входит как часть.
В некоторых случаях полезно или необходимо обратное построение: по известной вольт-амперной характеристике нелинейного сопротивления и величине э. д. с. Е последовательно с ним включенного источника строят вольт-амперную характеристику активного нелинейного двухполюсника (рис. 6.3, в).

Графический расчет нелинейных электрических цепей

Многие нелинейные элементы, применяемые в практике, имеют вольт-амперные характеристики, у которых нет линейных участков, и уравнения для их аналитического выражения.

Расчет цепей, содержащих такие элементы, осуществляется графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик и дают результаты достаточной точности.
Исходные данные для расчета (вольт-амперные характеристики элементов цепи) задаются в виде графиков или таблиц.

Задачу определения тока одного элемента по напряжению этого элемента или обратную задачу решают просто: заданную величину отмечают на оси координат, находят соответствующую ей точку кривой, а затем на другой оси определяют искомую величину.
Рассмотрим, как решаются такие задачи, когда несколько элементов соединены между собой в нелинейной цепи.
 

Последовательное соединение двух нелинейных элементов

Для расчета такой цепи (рис. 6.4, а) заданные вольт-амперные характеристики элементов и I(U₁) и I(U₂) строят в общей системе координат (рис. 6.4, б).
Далее строят вольт-амперную характеристику I(U) всей цепи, выражающую зависимость тока в цепи от общего напряжения.
Ток I обоих участков цепи одинаков, а общее напряжение U = U₁ + U₂.

Для построения общей вольт-амперной характеристики достаточно сложить абсциссы исходных кривых I(U₁) и I(U₂).

Проведем прямую, параллельную оси абсцисс и соответствующую току I₁. Отрезки 1-2 и 1-3 в выбранном масштабе выражают напряжения U₁, U₂ на участках. Сложив эти отрезки, на той же прямой получим точку 4 общей вольт-амперной характеристики.

Для других значений тока аналогично найден еще ряд точек, через которые проведена общая вольт-амперная характеристика.

Построение вольт-амперных характеристик (рис. 6.4, б) является подготовительным этапом для решения различных задач, относящихся к подобным цепям. Требуется, например, определить ток в цепи и напряжения U₁ и U₂ на участках, если общее напряжение U известно.

На оси абсцисс находим точку 5, определяющую напряжение U (отрезок 0-5 в масштабе напряжений выражает напряжение в цепи). Через нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с общей вольт-амперной характеристикой I(U) в точке 4. Из точки 4 проводим линию, параллельную оси абсцисс. Отрезок 5-4 выражает ток в цепи, а отрезки 1-2 и 1-3 — напряжения на участках (соответственно U₁ и U₂).
 

Параллельное соединение двух нелинейных элементов

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 6.5, а) к ним приложено одно и то же напряжение U, а ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях: I = I₁ + I₂.

Для построения общей вольт-амперной характеристики I(U) нужно для ряда значений U сложить ординаты вольт-амперных характеристик элементов, как показано на рис. 6.5, б. При напряжении U₁ (отрезок 0-1) сумма отрезков 1-2 (ток I₁) и 1-3 (ток I₂) равна отрезку 1-4 (ток I).

Предположим, что по заданному значению U = U₁ нужно определить токи в ветвях и общий ток I. На оси абсцисс откладываем отрезок 0-1, выражающий напряжение U₁, и через точку 1 проводим линию, параллельную оси ординат. Определяем точки 2, 3, 4 пересечения прямой с вольт-амперными характеристиками. Отрезки 1-2, 1-3, 1-4 в масштабе токов выражают токи в цепи I₁, I₂, I.

Аналогично решают задачи при параллельном соединении нелинейного элемента с линейным, а также при большем числе линейных и нелинейных элементов.
 

Смешанное соединение нелинейных элементов

При смешанном соединении нелинейных элементов графический расчет цепи производится методом «свертывания» схемы: в соответствии со схемой соединения элементов складываются их вольт-амперные характеристики.
Рассмотрим решение этой задачи применительно к схеме рис. 6.6, а.

Рис. 6.4. К расчету нелинейной электрической цепи при последовательном соединении элементов

Рис. 6.5. К расчету нелинейной электрической цепи при параллельном соединении элементов    

Рис. 6.6. К расчету нелинейной электрической цепи при смешанном соединении элементов

По заданным характеристикам I₂(U₂), I₃(U₃) параллельно соединенных элементов строится вольт-амперная характеристика участка цепи между точками b, c.
Для примера на рис. 6.6, б при напряжении U₂ (отрезок 0-1) определены токи I₂ (отрезок 1-2) и I₃ (отрезок 1-3), а затем ток I₁ = I₂ + I₃ (отрезок 1-4).

Далее строим вольт-амперную характеристику I₁(U) всей цепи, учитывая, что участок цепи между точками b, c включен последовательно с нелинейным элементом на участке a-b. Для примера при токе I₁ (отрезок 0-7) определены напряжения U₁ (отрезок 7-5) и U₂ (отрезок 7-4), а также общее напряжение U = U₁ + U₂ (отрезок 7-6).

После построения вольт-амперных характеристик порядок решения задачи зависит от ее условия. Пусть задано напряжение в цепи. Требуется определить токи в схеме и напряжения на участках.

Отложив на оси абсцисс отрезок 0-11, выражающий напряжение U, проведем линию 11-6 параллельно оси ординат до пересечения с кривой I₁(U). Отрезком 11-6 определяется ток I₁ в неразветвленной части цепи. Прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная через точку 6, пересекает кривые I₁(U₁) и I₂(U₂) в точках 5 и 4. Отрезками 7-4 и 7-5 определяются напряжения U₂ и U₁ на участках. Напряжение U₂ — общее для параллельно соединенных участков с токами I₂ и I₃. Для определения этих токов через точку 4 проводится прямая, параллельная оси ординат. Пересечение этой прямой с кривыми I₂(U₂) и I₃(U₂) в точках 2 и 3 дает отрезки 1-2 и 1-3, определяющие токи I₂ и I₃.

Рис. 6.7. К задаче 6.6
 

Задача 6.6.

Для поддержания постоянным тока нагрузки при колебаниях входного напряжения U последовательно с нагрузочным резистором R_н = 1 Ом (рис. 6.7, а) включен бареттер Б, вольт-амперная характеристика которого дана в табл. 6.2.

Таблица 6.2

U, В	0	0,5	1	2	4	6	8	10	12	14
I, А	0	1	1,6	2	2,1	2,15	2,2	2,25	2,5	3,2

Построить график изменения тока в цепи при изменении входного напряжения
Решение. Определим ток в цепи и напряжение на участках графически. Для этого на одном чертеже построим вольт-амперные характеристики бареттера и нагрузочного резистора (рис. 6.7, б), выбрав предварительно масштабы по обеим осям.

Для построения на миллиметровой бумаге рекомендуются масштабы:
напряжений m_u = 2 В/см; токов m_i = 1 А/см.
Вольт-амперная характеристика нагрузочного резистора — прямая, проходящая через начало координат под углом α к оси токов (см. пунктир Oa на рис. 6.7,6). Определим угол

Ток в цепи и падение напряжения U₁ связаны между собой двумя зависимостями: вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента I(U₁) и уравнением  которое при постоянной величине R_н изображается на графике прямой. Точка пересечения этой прямой с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента на графике определяет величины I и U₁, удовлетворяющие обеим зависимостям.

Построим указанную прямую при заданной величине R_н = 1 Ом и входном напряжении V = 8 В. Для этого определим положение точек, в которых прямая пересекается с осями координат:
при I = 0

при U₁ = 0

Прямая, построенная по двум точкам, пересекается с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента в точке b.

Спроектируем эту точку на оси координат и найдем величины тока и напряжения на участках: I = 2.2 А; U₁ = 5,8 В; U₂ = 2,2 В. Аналогично находим те же величины для других напряжений U, для чего прямую перемещаем параллельно самой себе (на рис. 6.7, б показаны такие характеристики для U = 6 и 10 В).

График I(U) для заданной цепи построен на рис. 6.7, в. Из графика видно, что при изменении входного напряжения в пределах от 5до 13 В ток в цепи остается практически постоянным.

Примеры упрощения схем нелинейных цепей

Расчеты разветвленных нелинейных электрических цепей при наличии в схеме произвольного количества элементов представляют значительные трудности. В зависимости от вида схемы принимается тот или другой путь расчета, но во всех случаях основой является систематическое упрощение схемы. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.
 

Цепь с двумя узлами

Между двумя узлами 1 и 2 (рис. 6.8) включены три ветви, две из которых представляют собой последовательное соединение нелинейного сопротивления и постоянной э. д. с.

Рис. 6.8. Схема нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Рис. 6.9. К расчету нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Нелинейные сопротивления заданы вольт-амперными характеристиками I₁(U₁); I₂(U₂); I₃(U₃) (рис. 6.9).

Ток каждой ветви можно выразить в зависимости от напряжения между узлами: U_1.2 = Е₁ — U₁(I₁); U_1.2 = E2 — U₂(I₂); U_1.2 = U₃(I₃).

Построение кривых I₁(U_1.2) и I₂(U_1.2) проводится так: для ряда значений тока определяют разность э. д. с. и соответствующих значений напряжения; через полученные точки проводят кривые. Кривая I₃(U_1.2) совпадает с заданной кривой I₃(U₃), так как U_1.2 = U₃.

Далее строится кривая (I₁ + I₂)(U_1.2); для ряда значений U_1.2 определяют сумму токов I₁ + I₂, которая согласно первому закону Кирхгофа равна I₃ : I₁ + I₂ = I₃.
Поэтому точка 3, в которой пересекаются кривые (I₁ + I₂) и I₃(U₃), определяет величину тока I₃ (отрезок 3-4). Опустив перпендикуляр к оси U через точку 3, находят другие величины: ток I₁ — отрезок 1-4; ток I₂ — отрезок 2-4; напряжение U_1.2 — отрезок 0-4.

Заметим, что кривая (I₁ + I₂)(U_1.2) является вольт-амперной характеристикой нелинейного активного двухполюсника, эквивалентного двум ветвям исходной схемы. Построение этой кривой означает замену двух ветвей (1 и 2) одной ветвью, что является упрощением заданной схемы. Нетрудно представить, что такой путь можно применить при наличии в схеме большего числа ветвей и постепенно привести ее к схеме простейшего активного нелинейного двухполюсника.
 

Цепь с одним нелинейным сопротивлением

Предположим, что в разветвленную цепь входит несколько линейных элементов, в том числе источники э. д. с., и одно нелинейное сопротивление (рис. 6.10, а). Ветвь с нелинейным сопротивлением можно выделить, а оставшуюся линейную часть представить в виде активного двухполюсника.
Включим в нелинейную ветвь э.д.с. E’ такой величины, чтобы ток в ней уменьшился до нуля. Для активного линейного двухполюсника такое состояние является режимом холостого хода, поэтому Е’ = U_x, где U_x — напряжение холостого хода.

Для того чтобы получить ток, т. е. возвратиться к первоначальному режиму, можно в нелинейную ветвь включить еще одну э. д. с. Е”, равную по величине Е’, но направленную ей встречно (рис. 6.10., б). Можно сказать, что ток в нелинейной ветви вызывает только э. д. с. Е”, а остальные э. д. с. (Е’ и активного двухполюсника) тока не вызывают и их можно из схемы исключить, накоротко замкнув точки, к которым эти источники присоединены.
В результате получается схема последовательного соединения пассивного линейного двухполюсника с активным нелинейным двухполюсником (рис. 6.10, в).

Отсюда следует порядок расчета первоначально заданной нелинейной цепи: 1) определяют напряжение холостого хода и входное сопротивление линейного двухполюсника (рис. 6.10, г); 2) находят, например графически, ток и напряжение в нелинейной ветви; 3) определяют токи в линейной части цепи, считая сопротивление нелинейной ветви R = U/I постоянным.

Рис. 6.10. К расчету разветвленной электрической цепи с одним нелинейным элементом

Цепь с двумя нелинейными сопротивлениями

В сложную цепь могут входить два нелинейных сопротивления, которые простым преобразованием не приводятся к одному сопротивлению (рис. 6.11, а).
Упрощение и расчет такой цепи можно осуществить в следующем порядке. Выделим нелинейные сопротивления, а оставшуюся часть цепи представим активным линейным четырехполюсником, у которого к первичным и вторичным зажимам присоединено по одному нелинейному сопротивлению.
В каждой нелинейной ветви можно провести преобразования, такие же как на рис. 6.10, и провести аналогичные рассуждения (рис. 6.11, б). В данном случае линейный четырехполюсник можно представить Т-образной схемой замещения и получить схему с двумя узлами, изображенную на рис. 6.11, в.

Рис. 6.11. К расчету разветвленной электрической цепи с двумя нелинейными элементами

Затем надо определить сопротивления Т-схемы четырехполюсника и решить задачу так, как указано в начале этого параграфа. При необходимости от Т-схемы четырехполюсника известными способами можно перейти к исходной схеме, считая при этом сопротивления нелинейных ветвей постоянными, так как токи в них найдены.

Подобный путь применяют для расчета цепей с тремя (и более) нелинейными сопротивлениями.
 

Метод последовательных приближений

Суть этого метода заключается в предварительном выборе ожидаемого результата и последовательной его проверке и уточнении.
Рассмотрим метод на примере относительно простой цепи последовательного соединения двух нелинейных сопротивлений рис. 6.4, а. Даны напряжение на зажимах цепи и вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

Ток в цепи по закону Ома

где n — порядковый номер приближения.
Первое значение тока I₁ в цепи выбирают ориентировочно, если имеются для этого какие-то основания, а если их нет, то произвольно. По вольт-амперным характеристикам определяют напряжения на нелинейных элементах U₁ и U₂ и затем по закону Ома — сопротивления R₁ и R₂:

По формуле (6.6) находят второе приближение тока:

По найденной величине тока I₂ и вольт-амперным характеристикам снова определяют напряжения на нелинейных элементах и их сопротивления, а затем опять находят ток и так до тех пор, пока результат на начнет практически повторяться. Обычно достаточно точный ответ достигается после 4-5 повторений расчета, если процесс приближений обладает сходимостью. В случае расходящегося процесса задачу следует решать на основе уравнения для другой величины [вместо (6.6)], например для напряжения на одном из нелинейных элементов

 

Задача 6.7.

Лампа накаливания включена параллельно с линейным резистором R₂ = 30 Ом (рис. 6.12, а). Построить зависимость эквивалентного сопротивления R_эк цепи от напряжения U на его зажимах.
Методом последовательных приближений определить напряжение U при токе в неразветвленной части цепи I = 5 А. Вольт-амперная характеристика лампы задана в табл. 6.3.

Таблица 6.3

U, В	0	20	40	60	80	100	120
I, А	0	0,6	1,1	1,5	1,85	2,15	2,4

Решение. Построим вольт-амперные характеристики элементов цепи. На рис. 6.12, б: I₁(U) — характеристика лампы и I₂(U) — характеристика резистора R₂. Сложив ординаты этих характеристик при различных значениях напряжения, получим вольт-амперную характеристику всей цепи, т. е. зависимость тока в неразветвленной части цепи от приложенного напряжения I(U). Эквивалентное сопротивление схемы найдем как отношение R_эк = U/I для различных значений приложенного напряжения.
Результаты вычислений приведены на графике рис. 6.12, б.

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Нелинейными называются цепи, в которые включены нелинейные элементы (нэ).

Элемент электрической цепи, сопротивление которого зависит от чины и направления тока в нем или от напряжения, называется нелинейным. Нелинейными такие элементы называются потому, что их вольт-амперная характеристика (т. е. зависимость тока от напряжения, приложенного к элементу) — нелинейная. Виды нелинейной зависимости показаны рис. 5.26, 5.36, 5.46 и др.

Примерами нелинейных элементов могут служить электронные газонаполненные лампы, полупроводниковые приборы, ламп накаливания и пр. нелинейную цепь наряду с нелинейными элементами могут быть включены линейные. Сопротивление линейных элементов практически не зависит от тока или напряжения (резистор). Вольт-амперная характеристика линейного элемента — прямая линия, ходящая через начало координат, точку О (рис. 5.1).

Вторую точку (точку А) для построения вольт-амперной характеристики линейного элемента определяют вычислением тока Г в линейном менте при произвольно выбранном напряжении U’, приложенном к этому элементу, т.е. , где – заданное сопротивление линейного элемента — величина постоянная, аналитический расчет нелинейных цепей весьма сложен, так как противление нелинейного элемента — непостоянная величина, зависящая от величины тока. Таким образом, в уравнении закона Ома две переменные величины. Поэтому при расчете линейных цепей к нелинейным элементам не применим закон а ни для участка, ни для замкнутой нелинейной цепи.

Для расчета нелинейных цепей рационально использовать графо-аналитический метод, который предусматривает построение суммарной вольт-амперной характеристики цепи. По суммарной характеристике и характеристикам элементов определяются искомые величины (обычно токи и напряжения).

Построение суммарной вольт-амперной характеристики нелинейной цепи зависит от схемы соединения элементов нелинейной цепи и производится по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов и построенным характеристикам линейных элементов, если они включены в цепь.

Кроме того, если в нелинейной цепи имеется линейный элемент, то расчет нелинейной цепи можно производить построением так называемой нагрузочной характеристики (рис. 5.36).

Неразветвленная нелинейная цепь

В неразветвленной нелинейной электрической цепи все элементы соединены последовательно и по всем элементам проходит одинаковый ток (рис. 5.2а).

Для расчета цепи с последовательно соединенными нелинейными элементами по заданным вольт-амперными характеристикам этих элементов строится суммарная вольт-амперная характеристика нелинейной цепи (рис. 5.26).

При последовательном соединении элементов для построения суммарной вольт-амперной характеристики суммируются абсциссы (напряжения) вольт-амперных характеристик элементов при различных токах (например, в точках 1, 2, 3, 4 рис. 5.26).

Зная напряжение, приложенное к цепи (), по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) определяем ток в нелинейной цепи (). Этот ток создает падение напряжения на пер-элементе U₁ (точка С) и на втором элементе U₂ (точка В). и же задан ток в рассматриваемой цепи, то по суммарной вольт-амперной характеристике можно найти напряжение цепи (точка А) и напряжение на элементах (точки С и В). нелинейных элементов различают статическое  и динамиков сопротивления.

Статическое сопротивление – это сопротивление нелинейного элемента в режиме работы цепи, т. е. сопротивление нелинейного элемента в определенной точке его вольт-амперной характеристики.

Вычислить статические сопротивления нелинейных элементов в режиме работы рассматриваемой цепи, т. е. сопротивления для С и В вольт-амперных характеристик (при токе  рис 5.26), можно следующим образом:

Динамическое сопротивление нелинейных элементов () в режиме работы цепи определяется как

где бесконечно малое приращение напряжения (определяет-по вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов чек С и В), a dl – бесконечно малое приращение тока у этих чек.

Вели в неразветвленную нелинейную цепь включен линейный элемент с заданным сопротивлением R, то для расчета такой нелинейной цепи можно произвести суммирование абсцисс (напряжений) всех элементов цепи, включая линейный, построив предварительно его вольт-амперную характеристику в той же системе ординат (рис. 5.1).

По суммарной вольт-амперной характеристике нелинейной пи определяется режим работы цепи и ее элементов. Для расчета нелинейной цепи с последовательно включенным линейным элементом с сопротивлением R (рис. 5.3а) можно воспользоваться построением нагрузочной характеристики рис. 5.36).

Нагрузочная характеристика представляет собой прямую линию, проведенную через две точки А и В (рис. 5.36). Точка А расположена на оси ординат (ток). Точка В- на оси абсцисс (напряжение).

Построение нагрузочной характеристики осуществляется с использованием двух уравнений (5.3 и 5.4) для рассматриваемой цепи в системе координат

Откуда 

Точка В соответствует величинам (см. (5.3)). Точка А соответствует величинам (см. (5.4)). При построении в тех же координатных осях заданной вольт-амперной характеристики нелинейного элемента отмечается точка пересечения С этих характеристик, которая является единственно возможной при заданном режиме работы цепи:

• отрезок DC – ток цепи ,
• отрезок OD – напряжение на нелинейном элементе ,
• отрезок DB — напряжение на линейном элементе

Такой метод расчета неразветвленных нелинейных цепей называется методом пересечений.

На рис. 5.36 можно проследить изменения режима работы цепи () при изменениях напряжения сети U’ (пунктирные линии). На том же рисунке показаны изменения режима работы цепи при изменении сопротивления линейного элемента R (перемещение точки С’ на рис. 5.36).

Если точка А, соответствующая измененному значению напряжения сети U’ или сопротивления линейного элемента R (см. (5.4)), выходит за пределы графика (рис. 5.36), то определяют , который нагрузочная характеристика (прямая) составляет вертикалью, проведенной из точки В (на оси U), соответствующей напряжению сети U’, т. е.

– принятый на графике масштаб тока; – принятый на графике масштаб напряжения; U” – произвольно выбранное напряжение (например, U’); I” – ток, соответствующий напряжению U” и сопротивлению R”, т.е.:

Тогда нагрузочную характеристику из точки В доводят только до сечения с вольт-амперной характеристикой нелинейного мента (точка С’ рис. 5.36) и определяют режим работы цепи, соответствующий измененному значению сопротивления линейного элемента R или напряжения сети V.

Разветвленная нелинейная цепь

В разветвленной нелинейной электрической цепи нелинейные менты могут быть соединены параллельно. При параллельном соединении нелинейных элементов напряжение на всех элементах будет одинаковым.

Для расчета цепи с параллельным соединением нелинейных ментов (рис. 5.4а) строится суммарная вольт-амперная характеристика цепи по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов, при этом суммируются ординаты (токи), соответствующие различным значениям напряжений (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 5.46).

При заданном значении тока в неразветвленной части нелинейной цепи Г по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) можно определить напряжение цепи U’. Это напряжение создает ток в первом элементе (точка С) и во втором элементе (точка В).

Если задано напряжение U’, приложенное к элементам, то по суммарной вольт-амперной характеристике определяется ток в неразветвленной части цепи (точка А), а по вольт-амперным характеристикам элементов определяются токи (точки С и В рис. 5.46).

Включение в нелинейную цепь линейного элемента не меняет характера и порядка расчета.

Нелинейная цепь со смешанным соединением элементов

Расчет нелинейной цепи при смешанном соединении элементов (в общем виде) рассмотрен на примере 5.1 (рис. 5.5).

Пример 5.1

По заданному напряжению цепи U’ требуется определить токи , напряжения на участках (рис. 5.5а), а также сопротивления нелинейных элементов в заданном режиме работы цепи. Заданы вольт-амперные характеристики нелинейных элементов (рис. 5.56) и сопротивление линейного элемента .

Решение

По заданному сопротивлению Я линейного элемента строится вольт-амперная характеристика этого элемента (см. рис. 5.1). Линейный элемент с сопротивлением включен параллельно с нелинейным элементом , и суммарная вольт-амперная характеристика для участка АВ цепи (AB) строится так же, как на рис. 5.46 суммируются ординаты (токи) характеристик и R).

Участок АВ соединен последовательно с нелинейным элементом . Суммарная вольт-амперная характеристика цепи (I) строится так же, как на рис. 5.26.

Напряжение цепи U’, по суммарной характеристике цепи К) определяется ток в неразветвленной части цепи рис. 5.56). Этот ток создает падение напряжения (точка С) и на параллельном участке (точка Е).

Напряжение на участке АВ (U_AB) в разветвленной цепи создает А (точка D) и (точка L).

Определив напряжения и токи нелинейных элементов, можно определить статические сопротивления этих элементов в заданном режиме работы цепи

Таким образом, по вольт-амперным характеристикам соединен-смешанно элементов и их суммарным характеристикам можно определить все параметры нелинейной цепи (), если задан хотя бы один из этих параметров (рис. 5.56).

Стабилизаторы тока и напряжения

Есть такие нелинейные элементы, вольт-амперная характеристика которых имеет участки, параллельные оси абсцисс или оси ординат (рис. 5.6). Такие нелинейные элементы применяют в качестве стабилизаторов тока (рис. 5.6а) и стабилизаторов напряжения ис. 5.66).

В качестве стабилизатора тока можно использовать, например бареттер (стальная нить в атмосфере водорода). На участке В’В’ (рис. 5.6а) характеристика бареттера почти параллельна оси абсцисс. Если бареттер включить последовательно с участком (io цепи (рис. 5.8), то ток цепи почти не изменяется при изменении напряжения или сопротивления (рис. 5.6а) — бареттер стабилизирует ток в цепи.

Эффективность стабилизации характеризует коэффициент стабилизации, показывающий, во сколько раз относительное изменение тока меньше относительного изменения напряжения :

Для стабилизации напряжения применяют газоразрядные или полупроводниковые (кремниевые) стабилизаторы. Рабочий участок В’В” вольт-амперной характеристики стабилизатора напряжения почти параллелен оси ординат (рис. 5.66). Стабилизатор напряжения включается параллельно сопротивлению , на котором он стабилизирует напряжение.

Последовательно с разветвленным участком (ab) включается балластное сопротивление (рис. 5.7). Как видно из рис. 5.66, изменение балластного сопротивления в определенных пределах от  почти не вызывает изменения напряжения на стабилизаторе и, следовательно, на нагрузке R (U_aь на рис. 5.7).

Пример 5.2

Для стабилизации напряжения и тока накала электронной лампы (4 В; I А) включен бареттер Б (рис. 5.8а), вольт-амперная характеристика которого приведена на рис. 5.86.

Определить все токи и напряжения на бареттере U₁ и нити накала U₂, если напряжение сети , а сопротивление . Определить пределы изменения напряжений сети, при которых ток цепи остается практически неизменным.

Решение

Масштаб напряжения на графике

Масштаб тока на графике принят

Нагрузочная характеристика строится в координатах:

, где сопротивление нити накала лампы Ом.

Следовательно, точка пересечения вольт-амперной характеристики бареттера и нагрузочной характеристики В (рис. 5.86) сет координаты , а ток цепи . Напряжение R , а токи

Нагрузочная характеристика проведена под углом к оси орди-т. е.

Нагрузочные характеристики, соответствующие пределам изменил напряжений сети, при которых ток цепи остается практики неизменным (), проводятся параллельно основной нагрузочной характеристике под углами к оси ординат.

Таким образом, как следует из графиков рис. 5.86, эти напряжения соответственно равны

Определение нелинейных электрических цепей переменного тока

Нелинейные элементы

Нелинейными электрическими цепями переменного тока называются цепи, в состав которых входят один или несколько нелинейных сопротивлений (нелинейных элементов) переменного тока.

Характерной чертой нелинейных элементов переменного тока являются нелинейная вольт-амперная, кулон-вольтовая, вебер-амперная и другие характеристики.

Переменному току оказывают сопротивление активные сопротивления, индуктивности и емкости. В соответствии с этим нелинейные сопротивления переменного тока могут быть разделены на три группы: 1) группа нелинейных активных сопротивлений; 2) группа нелинейных индуктивных сопротивлений; 3) группа нелинейных емкостных сопротивлений.

Каждая из этих групп сопротивлений подразделяется на управляемые и неуправляемые.

1. В качестве управляемых нелинейных активных сопротивлений широкое распространение получили электронные и полупроводниковые приборы, магнитные усилители и другие устройства. Неуправляемыми нелинейными активными сопротивлениями являются электрическая дуга, полупроводниковые выпрямители, лампы накаливания и др. Нелинейные элементы этой группы способствуют созданию несинусоидальных токов в электрических цепях.
2. Под нелинейными индуктивными сопротивлениями, или иначе нелинейными индуктивностями, понимают катушки с ферромагнитными сердечниками, для которых зависимость магнитного потока в сердечнике от тока в катушке нелинейна. Катушка с ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока искажает форму кривой тока, т. е. является генератором несинусоидального тока. Катушку со стальным сердечником называют дросселем (рис. 19.4).
3. Для нелинейных конденсаторов зависимость заряда Q на обкладках от напряжения, приложенного к конденсатору, нелинейна. Нелинейные конденсаторы называют варикоидами или вари капами. Пространство между обкладками нелинейного конденсатора заполнено сегнетодиэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого зависит от напряженности электрического поля между обкладками конденсатора. Сегнетодиэлектрики обладают гистерезисом, т.е. отставанием изменения электрического смещения в диэлектрике от изменения электрического поля в нем.

Такие явления, как выпрямление переменного тока в постоянный, стабилизация напряжения, умножение и деление частоты, получение сигналов различной формы и т. д., можно получить только в нелинейных цепях переменного тока.

В настоящей главе рассматривается работа двух нелинейных элементов: вентили (1-я группа нелинейных активных сопротивлений) и катушки с ферромагнитным сердечником (2-я группа нелинейных индуктивных сопротивлений).
 

Выпрямители – источники несинусоидального тока

Выпрямителями называют аппараты, преобразующие переменный ток в постоянный.

Основным элементом любого выпрямителя является электрический вентиль. Электрический вентиль обладает малым сопротивлением в прямом направлении и большим в обратном направлении. Вентиль имеет нелинейную вольт-амперную характеристику (рис. 19.1), поскольку обладает практически односторонней проводимостью. Графическое изображение электрического вентиля в электрических схемах и положительное направление прямого напряжения и тока показано на рис. 19.1а.

Вентиль, сопротивление которого в прямом направлении равно нулю, а в обратном – бесконечно большое, считается идеальным вентилем. Характеристика идеального вентиля дана на рис. 19.1б. Вентиль, сопротивлением которого в прямом направлении пренебречь нельзя, а обратным током можно пренебречь, имеет вольт-амперную характеристику, изображенную на рис. 19.1в. Вольт-амперная характеристика реального полупроводникового вентиля изображена на рис. 19.1г.

Как видно, если к реальному вентилю приложено увеличивающееся по величине обратное напряжение  то его ток в обратном направлении увеличивается незначительно. Однако когда это обратное напряжение превышает номинальное обратный ток становится ощутимым и при некотором обратном предельном напряжении вентиль теряет свои вентильные свойства.

Основными параметрами вентилей наряду с вольт-амперной характеристикой являются допустимая температура, плотность тока и допустимое обратное напряжение.

В выпрямителях вентиль включается по различным схемам.

В схеме однополупериодного выпрямителя вентиль включается последовательно с потребителем R, ток которого необходимо выпрямить (рис. 19.2а).

Если к цепи, изображенной на рис. 19.2а, приложено синусоидальное напряжение (и обратным током вентиля можно пренебречь), то ток в положительный полупериод изменяется также по синусоидальному закону:

В течение же отрицательного полупериода напряжения тока в цепи нет, так как предполагается Таким образом, в рассматриваемой цепи создается однополупериодное выпрямление синусоидального тока (рис. 19.2б). При однополупериодном выпрямлении образуется значительная пульсация тока, т.е. большая переменная составляющая (гармоника) выпрямленного тока и незначительная величина среднего значения (постоянная составляющая) этого тока (см. кривую 5 таблицы 18.1).

Таким образом, на сопротивлении R в результате выпрямления синусоидального напряжения и создается несинусоидальный ток и несинусоидальное напряжение

Если вентили включены по мостовой схеме (рис. 19.3а) и к мосту подведено синусоидальное напряжение то по сопротивлению потребителя R проходит несинусоидальный пульсирующий ток, полученный в результате двухполупериодного выпрямления (рис. 19.3б).

В положительный полупериод синусоидального напряжения и ток проходит через вентили 1, 2 и через потребитель слева направо (рис. 19.3а). В отрицательный полупериод напряжения и ток проходит через вентили 3, 4 и через потребитель также слева направо. Таким образом, ток через потребитель изменяется по величине, но не меняется по направлению (рис. 19.3б), т.е. через потребитель проходит пульсирующий ток, который складывается из постоянной составляющей и четных гармоник. Таким же будет и напряжение на потребителе (см. кривую 6 таблицы 18.1). При двухполупериодном выпрямлении постоянная составляющая несинусоидального тока и напряжения больше, чем при однополупериодном выпрямлении, а пульсации, т.е. гармоники, меньше.

При выпрямлении трехфазного тока (см. кривую 7 таблицы 18.1) несинусоидальный ток раскладывается на постоянную составляющую и гармоники, кратные трем, т. е. 3, 6, 9 и т.д. При этом постоянная составляющая тока (напряжения) на потребителе увеличивается, а пульсации уменьшаются (по сравнению с однофазным током). Для уменьшения пульсаций на потребителе в любой схеме соединения вентилей используются электрические фильтры (см. § 18.7).
 

Катушка с ферромагнитным сердечником

Наиболее распространенным нелинейным элементом переменного тока в электрических машинах, трансформаторах и других аппаратах является катушка со стальным сердечником (рис. 19.4).

Если магнитный поток в сердечнике изменяется по синусоидальному закону то при отсутствии рассеяния он индуктирует в катушке, расположенной на сердечнике, ЭДС самоиндукции

Если пренебречь активным сопротивлением катушки, то напряжение, приложенное к ней, равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, определяемой по (11.9):

где , а действующее значение напряжения

или 
Если к катушке со стальным сердечником приложено синусоидальное напряжение, то в сердечнике возникает синусоидальный магнитный поток.

Ток в катушке при этом оказывается несинусоидальным. Это связано с нелинейной зависимостью между магнитим потоком и током На рис. 19.5а показана петля гистере-1иса, изображающая эту зависимость.

Для каждого момента времени по петле гистерезиса находят значение тока и откладывают его на ординате магнитного потока (смотри пунктирные линии на рис. 19.5). При увеличении магнитного потока пользуются участком ab петли гистерезиса, при уменьшении — участком be и т. д.

Как видно (рис. 19.56), кривая тока при синусоидальном магнитном потоке несинусоидальна.

Кривая намагничивания ферромагнитного материала (рис. 8.3) выражает зависимость индукции В в ферромагнитном материале от напряженности Я магнитного поля в катушке. Напряженность Н в катушке пропорциональна току I в катушке. Магнитный поток в ферромагнитном материале связан с напряжением , приложенным к катушке, прямой пропорциональностью (19.1). Следовательно, основную кривую намагничивания ферромагнитного материала магнитопровода можно считать вольт-амперной характеристикой катушки с сердечником из ферромагнитного материала (рис. 8.3), если изобразить ее в координатах и I (рис. 19.5в). Таким образом, катушка с ферромагнитным сердечником является нелинейным элементом переменного тока, т. е. источником несинусоидальности.
 

Мощность потерь. Векторная диаграмма катушки со стальным сердечником

При расчете цепи катушки со стальным сердечником несинусоидальный намагничивающий ток часто заменяют эквивалентным синусоидальным, который имеет то же действующее значение, что и несинусоидальный. При этой замене пользуются поправочным коэффициентом  зависящим от формы кривой тока, которая в свою очередь зависит от максимального значения индукции в сердечнике

Значение коэффициента для электротехнической стали при индукции, не превышающей принимается равным единице. При больших значениях магнитной индукции поправочный коэффициент можно найти по графику (рис. 19.6).

При синусоидальном токе векторная диаграмма для катушки (без активного сопротивления) со стальным сердечником (без рассеяния) может быть построена как для идеальной индуктивности (рис. 11.4б), т. е. ток отстает от напряжения на угол 90°.

Если учесть потери на циклическое перемагничивание в сердечнике и на вихревые токи т.е. потери в стали то ток в катушке со стальным сердечником отстает от напряжения на угол (рис. 19.7а). При этом появляется активная составляющая тока

совпадающая по фазе с напряжением, и реактивная составляющая тока

Реактивная составляющая тока, совпадающая по фазе с магнитным потоком и намагничивающая сердечник, называется намагничивающим током катушки.

Угол  на который ток опережает по фазе магнитный поток Ф (рис. 19.7а), называется углом потерь

Потери в стали (магнитные потери) можно определить выражением

где G — масса ферромагнитного сердечника, кг; — удельная мощность потерь в стали, Вт/кг.

Удельную мощность потерь вычисляют по формуле

где — потери в стали при индукции 1 Тл и частоте – максимальное значение индукции.

Значения для различных марок электротехнической стали даны в Приложении 8.

Если не пренебрегать активным сопротивлением катушки R, то падение напряжения на этом сопротивлении совпадает по фазе с током На активном сопротивлении возникают потери мощности, которые являются электрическими потерями и называются потерями в меди Эти потери складываются с магнитными и создают суммарные потери в катушке со стальным сердечником Суммарные потери Р влияют на угол потерь и на активную составляющую тока катушки так как

Большая часть магнитного потока, т. е. основной поток Ф, замыкается в сердечнике, а незначительная часть потока рассеивается (рис. 19.46). Поток рассеяния индуктирует в катушке ЭДС рассеяния где — индуктивность рассеяния. На преодоление ЭДС рассеяние в напряжении, приложенном к катушке, появляется составляющая которая опережает ток на угол 90°. Поток рассеяния совпадает по фазе с током.

Следовательно, напряжение на зажимах катушки со стальным сердечником складывается из напряжения создается основным магнитным потоком Ф, падения напряжения на активном сопротивлении катушки и напряжения т.е. Это выражение используется при построении векторной диаграммы катушки со стальным сердечником (рис. 19.7б).
 

Схема замещения

Эквивалентная схема катушки со стальным сердечником изображена на рис. 19.4в. На эквивалентной схеме выделены активное сопротивление R и индуктивное сопротивление рассеяния Оставшуюся катушку с сердечником можно считать идеальной.

Напряжение для идеальной катушки можно представить суммой падений напряжений на активном сопротивлении и индуктивном

Эти соображения легли в основу построения схемы замещения катушки со стальным сердечником (рис. 19.8а).

Реальная катушка (рис. 19.4а) и схема ее замещения (рис. 19.8б) при одинаковых напряжениях на зажимах U имеют одинаковые токи и мощности.

Активная составляющая тока определяет активную проводимость идеальной катушки а намагничивающий ток – реактивную проводимость  На рис. 19.86 показана схема замещения катушки со стальным сердечником с учетом этих проводимостей.
 

Пример 19.1

На среднем стержне Ш-образного магнитопровода (рис. 19.9), выполненного из листовой стали Э42 (1512) с воздушным зазором расположена обмотка, к которой подведено напряжение U= 220 В при частоте 10 % объема сердечника заполнено изоляцией. Активным сопротивлением обмотки и рассеянием можно пренебречь. Размеры магнитопровода указаны в мм.

Определить число витков обмотки W, ток в обмотке потери в стали коэффициент мощности цепи coscp и угол потерь для того, чтобы создать максимальную магнитную индукцию в среднем стержне

Решение

По выражению (19.1) определяется число витков обмотки

где 

– площадь сечения среднего стержня сердечника; — коэффициент заполнения сердечника сталью,

Расчет намагничивающего тока произведен по закону полного тока для половины симметричной магнитной цепи. Сечение всех участков половины магнитной цепи одинаковое (рис. 19.9) и определяется по формуле

Длина средней линии половины сердечника

Напряженность магнитного поля в магнитопроводе (Приложение 5) для стали Э42 (1512) так как действующее значение заданной индукции а в Приложении 5 указаны действующие значения магнитной индукции. Напряженность в воздушном зазоре будет равна

Поправочный коэффициент для максимальной индукции определяется из графика (рис. 19.6), Тогда намагничивающий ток определяется по формуле

Масса стали сердечника

где — плотность стали.

Потери в стали

где так как для стали Э42 при толщине листов (Приложение 8).

Активная составляющая тока обмотки обусловлена этими потерями, т. е.

Ток в обмотке (рис. 19.7) будет равен

Коэффициент мощности цепи  угол а угол потерь
 

Феррорезонанс

В цепи с нелинейной индуктивностью (катушка со стальным сердечником) существует нелинейная зависимость напряжения на индуктивности от тока (рис. 19.5в). Следовательно, резонанса напряжений, т. е. равенства напряжений на емкости и индуктивности , можно добиться изменением тока при последовательном соединении конденсатора и нелинейной индуктивности (рис. 19.10а).

Цепи, содержащие нелинейную индуктивность и линейную емкость, называют феррорезонансными, а явление равенства напряжений описанное выше, называют феррорезонансом.

Для объяснения явления феррорезонанса можно воспользоваться вольт-амперной характеристикой нелинейной индуктивности линейной емкости и линейного активного сопротивления

При построении суммарной вольт-амперной характеристики

рассматриваемой цепи исходят из того, что напряжение источника U уравновешивается суммой напряжений:

Из векторной диаграммы для рассматриваемой цепи (рис. 12.46) следует, что индуктивное напряжение U_L опережает по фазе ток на угол 90°, а емкостное напряжение U_c — отстает на 90 (Для упрощения несинусоидальные величины заменены эквивалентными синусоидальными, т. е. вольт-амперная характеристика нелинейной катушки U_L=f(I) аналогична характеристике, показанной на рис. 19.5в.) Следовательно,, реактивные напряжения U_L и U_c находятся в противофазе, т. е. U_p = U_L – U_c.

Величину емкости можно подобрать так, чтобы прямая U_c=f(I) пересекла кривую U_L=f(I). Точка их пересечения и является том кой феррорезонанса напряжений (U_L = U_c), при котором U_p = U_L – U_с =0. Следовательно, (U_p – реактивное напряжение цепи).

Из графика (рис. 19.106) следует, что с увеличением тока I напряжение U сначала растет (участок 0—2), затем уменьшается (участок 2—3), достигая минимального значения при феррорезонансе (точка 3), затем снова растет (участок 3—5).

Из того же графика видно, что при непрерывном увеличении напряжения источника U ток плавно увеличивается до значения и скачком увеличивается до , после чего продолжает плав но расти (участок 4—5).

При плавном уменьшении напряжения U ток уменьшается до и скачком уменьшается до /ь затем плавно падает до нуля (при U= 0).

Характерно, что при каждом скачке тока его фаза по отношению к напряжению Uизменяется на 180°, поэтому это явление называют «опрокидыванием фазы». «Опрокидывание фазы» в феррорезонансной цепи происходит потому, что до значения тока цепь имеет индуктивный характер, т. е. X_L > Х_с, а после значения тока — емкостной, т.е. X_LC (рис. 19.105). Вызвано это тем, что после феррорезонанса происходит магнитное насыщение сердечника катушки, стабилизируется X_L и U_L, а I растет.

Явление «опрокидывания фазы» проиллюстрировано на рис. 19.10в, на котором показаны кривые напряжений U=f(I) и U_L =f(I). Из кривой U_L =f(I) видно, что напряжение на выводах катушки (точки В и С схемы — рис. 19.10а) остается почти неизменным () даже при значительном изменении () напряжения сети U (точки А и D), если незначительным значением напряжения можно пренебречь.

Это явление используется в феррорезонансных стабилизаторах напряжения, в которых значительное изменение входного напряжения () на клеммах AD вызывает незначительное изменение выходного напряжения () на клеммах ВС, к которому подключен потребитель.

При параллельном соединении катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора может возникнуть феррорезонанс токов, если

Элементы нелинейных цепей, их характеристики и параметры

Все ранее выполненные исследования касались анализа режима работы линейных электрических цепей. В их составе присутствовали исключительно линейные элементы, ток и напряжение в которых были связаны линейным уравнением. В подавляющем большинстве реальных цепей зависимость тока от напряжения в большей или меньшей степени отлична от линейной и в этом случае говорят о нелинейных цепях.

Цепь считается нелинейной, если емкость, сопротивление или индуктивность любого участка является функцией напряжения и тока, а также их направления. Особо подчеркнем, что принцип наложения в таких цепях неприменим. В отличие от линейных элементов, характеристики которых задаются аналитическими функциями, нелинейные задаются экспериментальными зависимостями, с помощью таблиц или приближенными эмпирическими формулами. Все это усложняет расчет цепей и требует специальных методов расчета.

Нелинейное сопротивление характеризуется нелинейной вольтамперной характеристикой, нелинейная катушка задаётся вебер-амперной характеристикой, ёмкость характеризуется кулон-вольтной характеристикой. Все перечисленные зависимости весьма разнообразны, но их можно систематизировать по двум основным группам: симметричные и несимметричные. Нелинейный элемент будет иметь симметричную характеристику, если форма кривой не зависит от направления тока или направления приложенного напряжения, в противном случае характеристика становится несимметричной. На рис. 9.1-9.2 изображены симметричные вольтамперные характеристики (В.А.Х.) и, соответственно, на рис. 9.3-9.4 – несимметричные.

Рис. 9.1. В.А.Х. лампы накаливания

Рис. 9.2. В.А.Х. характеристика бареттера

Рис. 9.3. В.А.Х. электрической дуги

Рис. 9.4. В.А.Х. диода

Нелинейные элементы могут быть подразделены на управляемые и неуправляемые. Отличительной особенностью управляемых элементов является наличие семейства характеристик: транзисторы, тиристоры, магнитные усилители и т.д.

Статистические и дифференциальные характеристики нелинейных элементов

Режим работы нелинейного элемента (НЭ) во многом зависит от положения рабочей точки на характеристике (рис. 9.5). Пусть точка  характеризует рабочий режим работы нелинейного элемента. При неизменном напряжении на зажимах НЭ положение точки также неизменно. В этом случае режим работы НЭ можно оценить с помощью статического сопротивления  которое определяется отношением напряжения на НЭ к току, протекающему через него:

Сопротивление численно равно тангенсу угла  между осью ординат и секущей, идущей из начала координат и точку умноженному на отношение масштабов 

Дифференциальное сопротивление равно отношению бесконечно малого приращения напряжения к бесконечно малому приращению тока, т.е.:

Рис. 9.5. В.А.Х. НЭ

Численно дифференциальное сопротивление равно тангенсу угла наклона касательной  проведенной к В.А.Х. в точке и осью ординат, умноженному на отношение масштабов напряжения и тока

Замена нелинейного элемента линейным и источником ЭДС – один из вариантов линеаризации цепи.

Если заранее известен участок  характеристики, по которой будет перемещаться рабочая точка при изменении входного напряжения, и при этом участок рабочей части характеристики достаточно линеен, то его можно заменить линейным элементом и источником ЭДС. На рис. 9.6 показано определение параметров линеаризованного НЭ. Через точки  проведена прямая, причём сопротивление элемента  пропорционально  т.е.:

где  – масштаб сопротивления, а участок слева от начала координат отсекает по оси абсцисс величину 

Рис. 9.6. Линеаризация НЭ

Следовательно, уравнение электрического равновесия на основании рис. 9.6 примет вид:

Таким образом, исходный нелинейный элемент (рис. 9.7) заменяется на линейный, схема замещения которого изображена рис. 9.8.

Рис. 9.7. Исходный НЭ

Рис. 9.8. Эквивалентная схема замещения НЭ

При ином наклоне характеристики НЭ (рис. 9.9) получим:

Рис. 9.9. Вольт-амперная характеристика НЭ

Расчет электрической цепи при смешанном соединении нелинейных элементов

Рассмотрим общий принцип расчета нелинейных цепей с использованием графоаналитического метода.

Пусть дана цепь, содержащая три нелинейных элемента, каждый из которых задан своей вольтамперной характеристикой (рис. 9.10-9.11).

Рис. 9.10. Исследуемая цепь с НЭ

Применительно к цепи по рис. 9.10 запишем уравнения по законам Кирхгофа:

Рис. 9.11. В.А.Х. элементов исходной цепи

Расчет будем вести в следующей последовательности.

Произвольно задаваясь значениями напряжения на параллельном участке цепи, просуммируем ординаты графиков 2 и 3 и построим вспомогательную зависимость заменяющую нелинейные элементы НЭ2 и НЭЗ. Теперь схема состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений и  Задаваясь значением тока суммируем абсциссы графиков 1 и (2 + 3) и получим В.А.Х. для данной схемы соединения нелинейных элементов По заданному напряжению определяем ток 

Из точки ординаты, соответствующей току опустим перпендикуляр до пересечения с кривой 2+3, тем самым найдем напряжение  Точки пересечения с кривыми НЭ2 и НЭЗ дают значения токов и 

Метод двух узлов

Для нелинейной цепи, имеющей два узла, расчет можно вести методом двух узлов. Покажем его применимость на примере цепи следующего вида (рис. 9.12).

Рис. 9.12. Нелинейная электрическая цепь

Каждый из элементов и задан своей В.А.Х. (рис. 9.13).

Напряжение на каждом из элементов может быть определено следующим образом:

Рис. 9.13. В.А.Х. нелинейных элементов

Поскольку напряжение входящее в каждое из уравнений – общее, то для определения токов выполним следующие преобразования.

Трансформируем данные функции относительно общего напряжения  т.е. построим зависимости  При этом В.А.Х. каждого из элементов должны быть сдвинуты с учетом знака ЭДС в формулах (9.3) вправо или влево на величину ЭДС. Через соответствующие значения ЭДС, на которые сдвинуты графики, проводятся перпендикуляры, относительно которых В.А.Х. зеркально отражаются. Объясним такое построение на примере первой В.А.Х.: при и  По мере роста тока в соответствии с В.А.Х. растет и уменьшается  (см. формулу 9.3), при отрицательных значениях тока по модулю увеличивается. Аналогичные рассуждения можно провести и для других В.А.Х. На основании первого закона Кирхгофа:

Задаваясь рядом значений просуммируем ординаты перестроенных кривых и получим зависимость При каком-то значении напряжения суммарный ток равен нулю, следовательно, при этом напряжении выполняется первый закон Кирхгофа, оно и является искомым решением задачи. Восстановив в этой точке перпендикуляр к оси абсцисс, найдем токи ветвей.

Первый и третий токи положительны, а второй ток отрицателен, т.е. его направление на схеме нужно изменить на противоположное.

Стабилизация напряжения и тока с помощью нелинейных элементов

В линейных цепях это явление не может быть реализовано.

В основе стабилизации лежит наличие у В.А.Х. элемента участков практически параллельных осям напряжений или токов.

Основная задача стабилизации состоит в том, что при существенных изменениях входных напряжений выходные напряжения или токи меняются незначительно. Вводится коэффициент стабилизации, например, по напряжению:

Качество стабилизации зависит не только от наличия элемента с требуемой характеристикой, но и поддержания требуемого режима работы этого элемента, т.е. стабильности рабочей точки. Изобразим простейшие схемы стабилизации (рис. 9.14,a,b).

Рис. 9.14. Схемы стабилизации напряжения: а) последовательная, b) параллельная

Рассмотрим процесс стабилизации на примере последовательной цепи (рис. 9.14,а).

При значительном изменении напряжения на входе изменение напряжения на нагрузке незначительно, что очевидно из построений на рис 9.15.

Рис. 9.15. Стабилизация напряжения

Метод эквивалентного генератора

Если в схеме есть один нелинейный элемент, а остальные – линейные и необходимо рассчитать ток через нелинейный элемент, то выделяют ветвь с нелинейным элементом, а оставшуюся линейную схему представляют в виде активного двухполюсника (рис. 9.16).

Рис. 9.16. Активный двухполюсник, нагруженный нелинейным сопротивлением

Активный линейный двухполюсник замещается источником ЭДС и некоторым внутренним линейным сопротивлением  Тогда расчетная схема применит вид (рис. 9.17).

После проведенных преобразований, рассмотренных выше, определение тока в ветви с нелинейным элементом не представляет трудностей.

Нелинейные магнитные цепи при постоянных токах

Самостоятельную группу нелинейных цепей образуют магнитные цепи. Магнитной цепью называется совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, процессы в которых описываются понятиями магнитодвижущей или намагничивающей силы (МДС), магнитного потока и падения магнитного напряжения или разности магнитных потенциалов. Из курса физики известен закон полного тока, который формулируется так: циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охваченных этим контуром, т. е.:

Этот закон связывает магнитное поле с напряженностью и электрическое поле, характеризуемое величиной тока 

Магнитная индукция  – это векторная величина, характеризующая силовое воздействие магнитного поля на ток:

где – намагниченность, характеризующая магнитный момент единицы объема вещества; относительная магнитная проницаемость;  – магнитная постоянная вакуума; – абсолютная магнитная проницаемость вещества.

В системе СИ единица индукции В – тесла единица намагниченности и напряженности  – ампер на метр

Магнитный поток через некоторую поверхность – это поток вектора магнитной индукции через эту поверхность:

Для ферромагнитных материалов связь между  и является нелинейной и характеризуется явлением гистерезиса, т. е. отставанием изменения магнитной индукции от изменения напряженности магнитного поля  При этом магнитная проницаемость ферромагнитной среды может многократно превышать магнитную проницаемость вакуума. При расчетах реальных магнитных цепей всегда можно выделить участки, где его магнитные свойства, а также линейные размеры остаются неизменными. Это позволяет в законе полного тока (9.4) перейти от интеграла к сумме, что упрощает расчет цепей. Кроме того, если катушка, намотанная на магнитопровод, содержит  витков, то вводится понятие МДС – магнитодвижущая или намагничивающая сила Для участка магнитопровода, представленного на рис. 9.18, закон полного тока может быть записан в форме:

Рис. 9.18. Неразветвленный магнитопровод переменного сечения с зазором  

Поскольку магнитопровод неразветвлен и его сечение на разных участках неодинаково, то и магнитная индукция также не одинакова, а магнитный поток  в любом сечении один и тот же. Это позволяет принять:

Используя данное соотношение, подставим его в (9.6) и получим следующее выражение:

откуда:

Выражение (9.7) есть закон Ома для магнитных цепей.

Магнитное сопротивление участка цепи длиной и сечением будет:

Разветвленные магнитные цепи, как и электрические цепи, можно описать законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю:

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений магнитных напряжений в контуре равна алгебраической сумме МДС, действующих в этом контуре:

где  падение магнитного напряжения; — МДС.

Постоянный магнит

Постоянный магнит нашел широкое практическое применение (генераторы тока, магнето, преобразующие элементы приборов магнитоэлектрической системы, динамики, громкоговорители и т.д.). Рассмотрим принцип расчета постоянного магнита. Если на замкнутый магнитопровод, выполненный из магнитотвердого материала (широкая петля гистерезиса) намотать обмотку и пропустить через неё ток, то магнитопровод можно довести до насыщения. Затем ток уменьшить до нуля, при этом напряженность также снижается до нуля, а индукция не обращается в нуль (кривая размагничивания стали, рис. 9.19). После этого катушку снимают и остается рассчитать магнитную индукцию  и напряженность магнитного поля в теле магнитопровода

Рис. 9.19. Кривая размагничивания стали

Для получения реального магнита в магнитопроводе делают тонкий пропил, при этом будем считать, что площадь сечения магнитопровода с пропилом и площадь без пропила стали одинаковы. Будем полагать известными кривую размагничивания магнитопровода, длину воздушного зазора и длину ферромагнитной части магнита В соответствии с законом полного тока запишем:

Нуль в правой части уравнения объясняется отсутствием катушки на магнитопроводе.

Если зазор достаточно мал, то потоком рассеяния в зазоре можно пренебречь:

где — площадь поперечного сечения магнита, — площадь поперечного сечения воздушного зазора.

Так как магнитопровод не разветвленный, то магнитный поток в пропиле и стали, будет одинаков:

После этого магнитопровод перестает быть однородным и из уравнения (9.8) получим:

Тогда:

Таким образом, между и имеется линейная зависимость. Это позволяет провести из начала координат прямую по уравнению (9.9) до пересечения с кривой размагничивания. Точка пересечения этих функций  дает искомые результаты.

Особенности работы нелинейных элементов в цепях переменного тока

Работа нелинейных элементов в цепях переменного тока приводит к возникновению явлений, принципиально невозможных в линейных цепях, причем на этих особенностях базируются принципы действия новых приборов. С помощью нелинейных элементов осуществляется выпрямление переменного тока, умножение и деление частоты, стабилизация напряжения, усиление сигнала и т.д. Работа нелинейных элементов и электрических цепей, в которые входят эти элементы, описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, точных методов решения которых в математике не существует. Поэтому для проведения инженерных расчетов применяют различные приближенные методы расчёта этих дифференциальных уравнений и в соответствии с этим существуют разные методы расчета нелинейных цепей на переменном токе. Назовем некоторые из них.

1. Метод малого параметра и условной линеаризации. Основан на пренебрежении относительно малыми величинами. При этом полученная условно линейная цепь рассчитывается известными методами расчета линейных цепей, но с учетом нелинейной зависимости между действующими значениями токов и напряжений.
2. Метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристики. Основан на замене нелинейной зависимости неким аналитическим выражением так, чтобы оно достаточно точно описывало нелинейную зависимость и полученное дифференциальное уравнение решалось относительно просто.
3. Метод кусочно-линейной аппроксимации и припасовывания линейного решения. Основан на замене нелинейной характеристики ломаной кривой и применении на каждом участке ломаной кривой методов линейной электротехники, а переход от одного участка ломаной кривой к другому участку осуществляется соответствующим выбором постоянных интегрирования.
4. Итерационный метод. Основан на подстановке некоторого приближенного решения в исходное уравнение и последующем уточнении этого решения.

Нелинейные магнитные цепи при периодических процессах

Нелинейные магнитные цепи при периодических процессах также нашли широкое практическое применение, это различного рода электромагнитные аппараты и устройства, основным элементом которых является катушка с ферромагнитным сердечником (рис. 9.20). Исследование ее режимов работы позволит сделать количественную и качественную оценку происходящих в ней явлений.

Рис. 9.20. Катушка с ферромагнитным сердечником

В катушке с ферромагнитным сердечником необходимо выделить два магнитных потока: основной замыкающийся в сердечнике, и поток рассеяния замыкающийся вокруг витков катушки в воздухе, оба магнитных потока создают соответствующие ЭДС самоиндукции:

где — потокосцепление основного магнитного потока.

С учетом того, что сама обмотка, выполненная из медного провода, имеет сопротивление уравнение электрического равновесия катушки имеет вид:

Уравнение (9.10) нелинейно, т.к. и, соответственно, нелинейно зависят от напряженности магнитного поля и, соответственно, тока  С учетом того, что и падение напряжения на активном сопротивлении катушки мало, воспользуемся для расчета методом малого параметра и условной линеаризации. Пренебрегая этими составляющими, получим идеальную катушку.

Идеальная катушка индуктивности

Таким образом, уравнение равновесия идеальной катушки имеет вид:

Будем считать, что напряжение сети изменяется по косинусоидальному закону  Найдем закон изменения магнитного потока  Учитывая, что основной магнитный поток определится по формуле:

Действующее значение напряжения, выраженное через магнитный поток:

Магнитный поток, так же, как и приложенное напряжение, изменяется по синусоидальному закону. ЭДС самоиндукции отстает от магнитного потока на угол 90°, в свою очередь напряжение и ЭДС находятся в противофазе, поэтому напряжение опережает магнитный поток на 90°.

Определим форму тока в катушке, считая, что магнитопровод изготовлен из магнитомягкого материала. Для решения этой задачи воспользуемся графоаналитическим методом (рис. 9.21).

Рис. 9.21. Графическое определение закона изменения тока в катушке

Форма тока получилась несинусоидальная, что указывает на искажение тока в нелинейных цепях и, соответственно, усложняет расчет. Если учесть петлю гистерезиса реального магнитопровода, то форма кривой тока еще более усложнится (рис. 9.22).

Рис. 9.22. Графическое определение закона изменения тока при учете петли гистерезиса

Появление угла  говорит о том, что ток в катушке не совпадает с магнитным потоком по фазе, а именно, опережает его. При расчете методом малого параметра несинусоидальный ток можно заменить эквивалентной синусоидой, который будем считать эквивалентом реального несинусоидального тока. Это верно при условии равенства тепловых потерь при действии реального несинусоидального тока и эквивалентного синусоидального. Введение эквивалентных синусоид позволяет использовать комплексный метод расчета и строить векторные диаграммы.

Уравнение электрического равновесия идеальной катушки запишется в виде:

Анализ поведения тока идеальной катушки позволяет построить векторную диаграмму (рис. 9.23).

Рис. 9.23. Векторная диаграмма идеальной катушки

Из векторной диаграммы следует, что угол сдвига между током и напряжением катушки  не равен 90°, несмотря на пренебрежение тепловыми потерями на нагрев обмотки, т.е. активная мощность следовательно, эта мощность соответствует потерям на нагрев сердечника. Эту мощность принято называть потерями в стали Часть этой мощности затрачивается на перемагничивание стали (зависит от площади петли гистерезиса) и на нагрев, вызванный вихревыми токами (токи Фуко). Учет этого фактора является важным условием расчета любого электротехнического устройства, поскольку он задает тепловой режим и эффективность его работы.

Потери на гистерезис

Мощность этой составляющей потерь зависит от целого ряда факторов. Одной из эмпирических зависимостей, полученных для расчета потерь на перемагничивание, является формула Штейнмеца:

где — коэффициент, зависящий от сорта материала (стали); — частота переменного тока; – масса магнитопровода; — амплитуда магнитной индукции.

Степень  зависит от величины магнитной индукции:

1) при

2) при 

Потери на вихревые токи

Вихревые токи возникают ввиду того, что магнитопровод, изготовленный из стали, является проводящим, и под действием наведенной ЭДС линии тока расположены в контуре, перпендикулярно силовым линиям. Величина наведенной ЭДС зависит от частоты и магнитной индукции и мощность, расходуемая на тепловые потери, вызванные вихревыми токами, рассчитывается по формуле:

где — коэффициент, определяемый электропроводящими свойствами материала.

Для уменьшения этих потерь поступают следующим образом: магнитопровод набирают из листов стали, изолированных друг от друга с помощью лака или добавляют в ферромагнитный материал примеси, увеличивающие удельное сопротивление стали. Так как сильно зависит от частоты, то с ее увеличением частоты толщина листа уменьшается:

1) при

2) при

На очень высоких частотах магнитопровод изготавливают из магнитодиэлектриков – ферритов, которые представляют собой смесь из мелких ферромагнитных частиц и диэлектрика.

Схема замещения идеальной катушки

На векторной диаграмме идеальной катушки (рис. 9.23) показано разложение вектора тока на активную  (совпадающую по фазе с напряжением) и реактивную (намагничивающую)  составляющие тока. На этом основании делаем вывод, что схему замещения катушки можно представить в виде параллельно соединенных индуктивного и активного сопротивлений или проводимостей, что удобнее при параллельном соединении (рис. 9.24).

Рис. 9.24. Схема замещения идеальной катушки

Активная составляющая тока протекает по нелинейной активной проводимости  и ей соответствует мощность потерь в стали:

Реактивная составляющая тока протекает по нелинейной индуктивности и, соответственно, реактивная мощность:

Векторная диаграмма и схема замещения реальной катушки

Возвращаясь к уравнению (9.10) и учитывая, что несинусоидальный ток заменен эквивалентным синусоидальным, перепишем это уравнение в комплексной форме:

где – сопротивление провода; – индуктивность потока рассеивания (является линейной, т.к. силовые линии замыкаются по воздуху, минуя магнитопровод);  – индуктивное сопротивление потока рассеяния.

На основании уравнения (9.12) схема замещения реальной катушки примет вид (рис. 9.25):

Рис. 9.25. Последовательно-параллельная схема замещения реальной катушки

Параметры схемы замещения могут быть получены на основании экспериментальных измерений напряжения, тока и мощности, потребляемой катушкой из цепи. По результатам этих измерений вначале строят более простую – последовательную схему замещения (рис. 9.26).

Параметры последовательной и последовательно-параллельной схем замещения связаны между собой следующими соотношениями:

На основании схемы замещения можно построить и векторную диаграмму (рис. 9.27).

Рис. 9.26. Последовательная схема замещения реальной катушки

Рис. 9.27. Векторная диаграмма реальной катушки

Трансформатор с ферромагнитным сердечником

Основным элементом трансформатора является рассмотренная выше катушка с ферромагнитным сердечником и дополнительно намотанной на него второй катушкой. По сравнению с линейным трансформатором у трансформатора с ферромагнитным сердечником резко увеличивается магнитный поток, что в свою очередь приводит к увеличению мощности, передаваемой из одной обмотки в другую, но трансформатор с ферромагнитным сердечником становится нелинейным и в его магнитопроводе появляются потери. Как и при анализе работы катушки, используют понятия эквивалентных синусоид. Потому напряжения, токи и магнитный поток считают синусоидальными. Подавляющее большинство трансформаторов конструируется с максимальной близостью к линейным. Область использования трансформаторов весьма широка – это силовые, измерительные, согласующие, сварочные и т.д. Так как принцип работы воздушного трансформатора ранее был подробно рассмотрен, то ограничимся лишь составлением и анализом схемы замещения трансформатора с сердечником (рис. 9.28).

Рис. 9.28. Схема замещения трансформатора с ферромагнитным сердечником

Запишем уравнения трансформатора для мгновенных величин токов и напряжений. Первые два – это уравнения электрического равновесия для первичной и вторичной цепи, третье – уравнение намагничивающих сил:

В комплексной форме эта система уравнений примет вид:

Некоторого пояснения требует уравнение магнитного равновесия.

В режиме холостого хода  магнитный поток создается только током первичной обмотки и уравнение магнитного равновесия упростится:

где  — ток холостого хода трансформатора.

При этом МДС первичной обмотки равна  При подключении нагрузки магнитный поток трансформатора создают обе катушки и их суммарная намагничивающая сила равна:

Поскольку подводимое к первичной обмотке напряжение не изменилось, то не изменился и магнитный поток трансформатора:

Следовательно, МДС в режиме холостого хода и в нагрузочном режиме равны:

Тогда:

где:

У приведенной схемы замещения трансформатора (рис. 9.28) все вторичные параметры изменились и поэтому уравнения (9.13), описывающие его работу, видоизменятся:

Для составления схемы замещения трансформатора необходимо определить ее параметры, т. е. сопротивления С этой целью проводят опыты холостого хода и короткого замыкания.

Опыт холостого хода.

Проводится при номинальном первичном напряжении и разомкнутых вторичных зажимах При этом напряжение холостого хода на вторичных зажимах принимают равным номинальному вторичному напряжению  Схема замещения примет вид (рис. 9.29):

Рис. 9.29. Схема замещения трансформатора при опыте XX

Ток холостого хода из-за резко возросшего сопротивления составляет порядка Таким образом, потери на нагрев первичной обмотки малы и ими можно пренебречь, а с учетом того, что то потери холостого хода принимают равными потерям в стали Таким образом, по показаниям трех приборов, включенных в цепь первичной обмотки (вольтметра, амперметра и ваттметра) рассчитывают параметры контура намагничивания

Примечание: сопротивлением можно пренебречь, т.к. основной магнитный поток трансформатора значительно больше потока рассеяния.

Поскольку у трансформаторов малы активные сопротивления обмоток, а также потоки рассеяния, то можно принять поэтому коэффициент трансформации определяют следующим образом:

Опыт короткого замыкания.

Проводится при замкнутой накоротко вторичной обмотке трансформатора и таком пониженном первичном напряжении  чтобы ток первичной обмотки равнялся номинальному току

Так как составляет от то пропорционально ему уменьшился магнитный поток в сердечнике, а пропорционально квадрату магнитного потока уменьшились потери в стали. Таким образом потери при коротком замыкании трансформатора принимают равными потерям в меди. По измеренным в режиме короткого замыкания величинам  рассчитывают сопротивления обмоток 

Примечание. При приведении вторичной обмотки к первичной сопротивления

Для режима короткого замыкания схема замещения представлена на рис. 9.30. Пунктиром показано положение ветви намагничивания.

Рис. 9.30. Схема замещения трансформатора в режиме КЗ

В режиме КЗ намагничивающей составляющей можно пренебречь и уравнение намагничивающих сил примет вид:

Тогда коэффициент трансформации можно определить следующим образом:

Векторная диаграмма трансформатора под нагрузкой

Используя систему уравнений (9.13), а также соотношения, полученные выше, построим векторную диаграмму, приняв для определенности, что трансформатор работает под нагрузкой при

Рис. 9.31. Векторная диаграмма трансформатора, работающего под нагрузкой

Построение диаграммы начнем с вектора  который располагается на комплексной плоскости произвольно. С учетом заданного характера нагрузки вектор напряжения  направлен с опережением относительно тока  на угол  К его концу пристраивается вектор падения напряжения на активном сопротивлении вторичной обмотки а перпендикулярно ему строится вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении Геометрическая сумма этих трех векторов дает вектор Вектор приводится к вектору с учетом соотношения С другой стороны этот же вектор  Далее строим вектор который является частью напряжения Магнитный поток опережает ЭДС индукции на угол 90°. Ток холостого хода опережает магнитный поток на угол  По заданному току строим вектор который определяется по формуле и суммируем его с вектором тока Геометрическая сумма этих токов дает ток первой катушки  Определим напряжения в первом контуре. К концу вектора присоединяем вектор падения напряжения на активном сопротивлении первой катушки который располагается параллельно току Перпендикулярно ему располагается вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении первой катушки  Сумма всех составляющих падений напряжений в первой катушке дает вектор трансформатора.

Феррорезонансные явления

В нелинейных цепях, составленных из нелинейных индуктивностей и линейных емкостей или наоборот, линейных индуктивностей и нелинейных емкостей возможны резонансные явления, как и в линейных цепях, но они характеризуются рядом особенностей. Феррорезонанс – это резонанс в цепи, содержащей катушку с ферромагнитным сердечником, который последовательно или параллельно подсоединен к линейному конденсатору. В линейных цепях резонанс возникал при изменении каких-либо параметров цепи: индуктивности емкости  или частоты шине зависел от величины подводимого напряжения. В нелинейных цепях плавное изменение напряжения может привести к скачкообразному изменению фазы и амплитуды основной гармоники тока и наоборот, плавное изменение тока источника приводит к скачкообразному изменению фазы и амплитуды основной гармоники напряжения. Явление феррорезонанса сопровождается изменением знака угла сдвига фаз между основными гармониками тока и напряжения при плавном изменении напряжения или тока источника, вызванное нелинейностью катушки с ферромагниттным сердечником. Различают феррорезонанс напряжения и тока. Исследование данного явления будем производить в упрощенном варианте, считая, что токи, напряжения и магнитные потоки заменены эквивалентными синусоидами, а нелинейная индуктивность заменена условно нелинейной и зависящей от тока, а потери в стали катушки пренебрежимо малы, то есть активное сопротивление равно нулю.

Феррорезонанс напряжений

Феррорезонанс напряжений возникает в последовательном колебательном контуре (рис. 9.32).

Рис. 9.32. Схема для исследования феррорезонанса напряжения

На рис. 9.33 построены В.А.Х. линейной емкости нелинейной индуктивности и В.А.Х. всей цепи  С учетом соотношений:

Рис. 9.33. Вольтамперные характеристики цепи при феррорезонансе напряжений

График зависимости имеет явно выраженный минимум вблизи резонанса, что требует детального исследования этой функции.

При работе схемы от источника напряжения и плавном росте напряжения до происходит плавный рост тока, а при — скачок тока от до (см. рис. 9.33), сопровождаемый одновременно изменением фазы на 180°. На самом деле в реальных цепях необходимо учитывать активное сопротивление катушки и появление высших гармоник из-за ее нелинейности. Поскольку резонанс возникает на основной (первой) гармонике, то от остальных не скомпенсированных гармоник тока вблизи резонанса дополнительно появляются падения напряжения и поэтому реальная В.А.Х. всей цепи выглядит иначе (рис. 9.34), т.е. при резонансе суммарное напряжение не снижается до нуля из-за перечисленных выше причин.

Модуль напряжения сети подсчитывается по приведенной ниже формуле:

Скачкообразное изменение тока при увеличении напряжения выше (из точки 2 в точку 4) и снижении напряжения ниже (из точки 3 в точку 1) носит название релейного или триггерного эффекта. Участок характеристики между точками 2 и 3 называется неустойчивым, т.к. он характеризуется отрицательным дифференциальным сопротивлением. Получить в явном виде эту часть характеристики представляется невозможным, т.к. при питании цепи от источника напряжения в интервале напряжений от до любому значению напряжения соответствует не одно, а несколько значений тока. Для получения всей характеристики необходимо подключить схему к источнику тока. Тогда каждому значению тока источника соответствует одно значение напряжения на В.А.Х. Это объясняется тем, что внутреннее сопротивление источника тока намного больше сопротивления цепи при всех его изменениях.

Рис. 9.34. Реальная вольт-амперная характеристика цепи при феррорезонансе напряжений

Феррорезонанс токов

Феррорезонанс токов наблюдается при параллельном соединении нелинейной индуктивности и линейного конденсатора (рис. 9.35).

Рис. 9.35. Схема для исследования феррорезонанса токов

Будем полагать, что известны В.А.Х. идеальной нелинейной индуктивности и идеальной емкости, построенные для действующих значений. На рис. 9.36 построены В.А.Х. рассматриваемых элементов и суммарная В.А.Х., полученная на основании уравнения:

Рис. 9.36. Вольтамперные характеристики цепи при феррорезонансе токов

Из построений следует, что одному и тому же значению тока в диапазоне соответствуют три значения напряжения Это объясняется наличием участка, характеризуемого отрицательным дифференциальным сопротивлением. При некоторой резонансной величине напряжения сети ток в неразветвленной части цепи равен нулю.

В реальной цепи при учете потерь и высших гармоник общая В.А.Х. цепи имеет вид, показанный на рис. 9.37.

При плавном изменении напряжения источника можно получить всю кривую Если же схема работает от источника тока, то при плавном изменении тока происходит скачкообразное изменение напряжения, т.е., наблюдается, как и при феррорезонансе напряжений, триггерный эффект.

Рис. 9.37. Реальная вольт-амперная характеристика цепи при феррорезонансе токов

На практике он используется при создании так называемых ферромагнитных стабилизаторов напряжения. Ниже (рис. 9.38,a,b) приведены примеры простейших схем стабилизации.

Рис. 9.38 а,b. Схемы ферромагнитных стабилизаторов напряжения

Ферромагнитный усилитель

Нелинейность свойств магнитопроводов лежит в основе работы многих устройств, среди которых особое место отводится управляемым нелинейным элементам. Примером таких устройств являются магнитные усилители, способные усиливать ток и мощность при сохранении формы выходного напряжения. Результирующий магнитный поток магнитного усилителя является суммой магнитных потоков, создаваемых МДС на различных частотах, источниками которых в магнитном усилителе служат рабочая обмотка и обмотка управления. Общий принцип работы простейшего магнитного усилителя рассмотрим на примере схемы рис. 9.39.

Рис. 9.39. Схема простейшего магнитного усилителя

На ферромагнитный сердечник наматывают две обмотки: – рабочая обмотка.  – обмотка управления. Отличительной особенностью магнитного усилителя является то, что по обмотке управления протекает постоянный ток, который дополнительно создаёт в магнитопроводе постоянный магнитный поток. Последовательно с рабочей обмоткой подключено сопротивление нагрузки Рабочая обмотка питается от источника синусоидального тока. Магнитный усилитель сконструирован так, что в отсутствии тока управления магнитопровод не насыщен и его магнитная проницаемость велика.

Рассмотрим принцип работы магнитного усилителя. Для этого сделаем ряд графических построений (рис. 9.40) и при этом будем считать, что вебер-амперная характеристика магнитопровода известна. Используем магнитопровод из магнитомягкого материала (узкая петля гистерезиса).

При отсутствии тока в обмотке управления и синусоидальном напряжении магнитный поток и пропорциональная ему МДС рабочей обмотки также изменяются по синусоидальному закону. Это объясняется работой магнитного усилителя на линейной части вебер-амперной характеристики. При подаче на обмотку управления некоторого постоянного напряжения дополнительно появляется постоянный магнитный поток который суммируется с синусоидальным магнитным потоком рабочей обмотки Это приводит к росту магнитодвижущей силы и, как следствие, к смещению рабочей области веберамперной характеристики в зону насыщения. Результирующая кривая магнитного потока искажается, то есть амплитуды положительной и отрицательной полуволны имеют разные численные значения, значит и наводимые ими ЭДС самоиндукции существенно отличаются по амплитуде.

Рис. 9.40. Схема усиления сигнала

Напишем уравнение электрического равновесия для рабочей обмотки магнитного усилителя:

Из данного уравнения следует, что уменьшение ЭДС самоиндукции в рабочей обмотке приведет к увеличению тока, протекающего через сопротивление нагрузки при неизменности амплитуды рабочего напряжения Таким образом, изменяя ток в обмотке управления, можно значительно изменять ток в нагрузке. Однако на практике такая схема не используется ввиду целого ряда присущих ей недостатков. Главный недостаток – влияние рабочей обмотки на обмотку управления. Этот недостаток может быть преодолён путём использования двух магнитопроводов (рис. 9.41).

Рис. 9.41. Схема магнитного усилителя мощности

Эффективность работы магнитного усилителя определяется коэффициентами усиления по току и мощности:

Оптимальный режим работы магнитного усилителя можно рассчитать, если известно семейство его вольтамперных характеристик (рис. 9.42).

На основании второго закона Кирхгофа и учитывая, что получим:

Рис. 9.42. Семейство В.А.Х. магнитного усилителя

Данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиусом Проведя дугу окружности в первой четверти, находим точки пересечения с семейством В.А.Х. По величине рабочего напряжения и известному току управления находим рабочую точку и определяем по заданному току управления соответствующие ток и напряжение на рабочей обмотке.

Вентиль в цепи синусоидального тока

Полупроводниковые электронные приборы с практически односторонней проводимостью носят название вентиля (диода). Они относятся к классу активных нелинейных сопротивлений, которые так же задаются нелинейной В.А.Х. Кроме того, они относятся к классу безынерционных нелинейных элементов. На рис. 9.43 приведена В.А.Х. диода.

Рис. 9.43. Вольтамперная характеристика вентиля

Главное назначение вентиля – выпрямление переменного тока. Рассмотрим простейшую схему однополупериодного выпрямителя (рис. 9.44).

Рис. 9.44. Схема однополупериодного выпрямителя

Реализация принципа выпрямления тока в нагрузке иллюстрируется рис. 9.45.

Рис. 9.45. Графическое определение временной зависимости тока  через вентиль

Из построения видно, что при отрицательной полуволне напряжения источника амплитуда тока резко уменьшается, а большей амплитуде входного напряжения соответствует больший выпрямительный эффект. Ток и, соответственно, падение напряжения на нагрузке имеют явно выраженную несинусоидальную форму и поэтому могут быть разложены в ряд, который содержит постоянную составляющую, первую и все четные гармоники. Если на нагрузке необходимо иметь постоянное напряжение, то перед нагрузкой включают фильтры, не пропускающие первую и все гармоники более высокого порядка. Аналогично работают выпрямители, построенные по более сложным схемам.