Как найти валовой продукт каждой отрасли

          

Номер задачи: Mme-21

Решение: бесплатно

Рассмотрим три отрасли промышленности: I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс производства рассматривается за определенный период времени. Взаимодействие отраслей определяется матрицей А прямых затрат.

Число а_ij, стоящее на пересечении i-й строки и j-го столбца, равно x_ij/x_j,

где

x_ij – поток средств производства из i-й отрасли в j-ю,

x_j – валовой объем продукции j-й отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).

Задан вектор  объемов продуктов конечного потребления.

• определить, является ли матрица А продуктивной;

• составить уравнение межотраслевого баланса;

• найти объемы валовой продукции каждой отрасли .

• составить матрицу потоков средств производства (x_ij);

• найти объемы валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличится на 60, 70, 30 соответственно. 

Постановка
задачи. Пусть
имеется n
отраслей промышленности, каждая из
которых производит продукцию, которая
идет как для внутреннего потребления
данной отраслью и другими отраслями,
так и для конечного личного или
общественного потребления. Обозначим
х_i
– общий
(валовый) объем продукции i-отрасли,
х_ij
– объем
продукции i-отрасли,
потребляемой j-отраслью,
y_i
– объем
конечного продукта i-отрасли.
Имеем соотношение
баланса:

Введем
коэффициенты прямых затрат
.
Если считать, что эти коэффициенты
постоянны в течение некоторого периода
времени, тоx_ij
= a_ij
x_j
, и соотношение баланса примет вид:

или
в матричном виде Х = А٠Х
+ У.

Задача
состоит в
нахождении такого вектора Х, который
при известной матрице прямых затрат А
обеспечивает конечный
продукт
У.

Решая
полученное матричное уравнение, находим
Х = (Е–А)^–1
У.

Матрица
(Е – А)^–1
называется матрицей
полных затрат.

Чтобы
матричное уравнение было разрешимо,
необходимо, чтобы матрица А была
продуктивной.
Есть несколько критериев продуктивности
матрицы. Например, если
максимум сумм элементов столбцов не
более 1 и хоть одна сумма строго меньше
1, то матрица продуктивна.

Пример
1.9. Решение
задачи поиска межотраслевого баланса
[3,
c.
99 – 104].

Имеется
две отрасли производства, в
таблице 1.9
указаны объёмы производства и потребления.

Таблица
1.9

Производство	Потребление	Конечный продукт	Валовый продукт
Энергетика	Машиностроение
Энергетика	100	160	240	500
Машиностроение	275	40	85	400

Необходимо
вычислить объем валового выпуска
продукции каждой отрасли, если конечный
продукт 1-й отрасли должен увеличиться
в 2 раза, 2-й
на
20 %.

Из
таблицы 1.9
имеем:

х₁
= 500, х₂
= 400, у₁
= 240, у₂
= 85, х₁₁
= 100, х₂₁
= 275, х₁₂
=160, х₂₂
= 40.

Построим
матрицу прямых затрат:

а₁₁
=
== 0,2; а₁₂ =
== 0,4;

а₂₁
=
== 0,55; а₂₂
=
== 0,1.

А
=
,
Е–
А =
–
=.

Проверим
матрицу А на продуктивность:

0,2
+ 0,55 = 0,75 < 1, 0,4 + 0,1 = 0,5 < 1, т. е. матрица
А продуктивна.

Найдем
обратную к ней. Вычислим определитель:

0,8٠0,9
– 0,55٠
0,4
= 0,5.

Тогда,

Вычислим
по данным условия задачи новый вектор
конечного продукта
У = (У₁,
У₂):

У₁
= 240٠2
= 480, У₂
= 85 ٠(1+
0,2) = 102. Имеем У_нов
=

Тогда
Х =
=.

1.15.
В таблице
1.10 приведены
данные об исполнении баланса за отчетный
период в усл. ден. ед.

Таблица
1.10

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовый продукт
Сфера обслуживания	Лёгкая промышленность
Произ-водство	Сфера обслуживания	7	21	72	100
Лёгкая пром-ть	12	15	63	100

Вычислить
необходимый объем валового выпуска
каждой отрасли, если конечное потребление
сферы обслуживания увеличится вдвое,
а лёгкой промышленности сохранится на
прежнем уровне.

1.16.
Продуктивна ли матрица А:

1)
2).

1.17.
Экономика разделена на три отрасли. В
таблице 1.11
заданы коэффициенты прямых затрат и
конечная продукция отраслей.

Таблица
1.11

Отрасль	Потребление	Конечный продукт
Сфера обслуживания	Лёгкая промышленность	Сельское хозяйство
Произ-водство	Сфера обслуживания	0,3	0,25	0,2	56
Лёгкая промышленность	0,15	0,12	0,03	20
Сельское хозяйство	0,1	0,05	0,08	12

Найти
объем валовой продукции каждой отрасли,
межотраслевые поставки, чистую продукцию
отраслей.

1.18.
Дана матрица полных затрат

Найти
приращение валового выпуска ∆Х,
обеспечивающее приращение конечной
продукции ∆У = (10, 30, 20).

1.19.
Отрасль состоит из 4-х предприятий;
вектор выпуска продукции и матрица
внутреннего потребления имеют вид:

Х
=
А =

Пользуясь
моделью Леонтьева, найти вектор объемов
конечного продукта, предназначенного
для реализации вне отрасли.

1.20.
Данные баланса трех отраслей промышленности
за некоторый промежуток времени даны
в таблице
1.12.
Требуется найти объем валового выпуска
каждого вида продукции, если конечное
потребление увеличить соответственно:

1)
до 60, 70 и 30 единиц;

2)
на 30, 10 и 50 %.

Решить
задачу методом обратной матрицы.

Таблица
1.12

№ п/п	Отрасль	Потребление отрасли	Конечный продукт	Валовый выпуск
1	2	3
1	Добыча и переработка углеводородов	5	35	20	40	100
2	Энергетика	10	10	20	60	100
3	Машиностроение	20	10	10	10	50

Соседние файлы в папке ПОСОБИЯ

• #
• #

  20.03.201612.93 Mб33Уч. пособие по математике (Кремер).pdf

Межотраслевой баланс

С помощью сервиса в онлайн режиме можно:

• найти коэффициенты полных материальных затрат, определить вектор валовой продукции;
• составить межотраслевой баланс, составить схему межотраслевого баланса труда;
• проверить продуктивность матрицы.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Система уравнений X = AX + Y называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (МОБ) или моделью «затраты – выпуск». C помощью нее можно выполнить следующие расчеты:

1. подставив в модель объемы валовой продукции каждой отрасли X_i, можно определить объем конечной продукции отрасли Y_j: Y = (E – A)X
2. задав величины конечной продукции всех отраслей Y_j, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X_i: X = (E – A) -1 Y
3. установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти объемы конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Здесь A – матрица прямых затрат, коэффициенты которой, a_ij показывают затраты i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли. Введем обозначение B = (E – A) -1 . Матрица B называется матрицей полных материальных затрат, коэффициенты которой, b_ij показывают полный объем продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы продукции j-й отрасли. С учетом линейности соотношений эффект распространения спроса ΔX, вызванный изменением конечного спроса на величину ΔY рассчитывается как: ΔX = B·ΔY
Через C=A-B обозначают матрицу косвенных затрат.

Пример №1 . Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат A и вектор конечной продукции Y .

Пример №2 . Дан межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства:

№ отрасли потребления	1	2	3	Конечный продукт	Валовый продукт	Y’
№ отрасли	1	20	20	60	100	200	150
отрасли	2	20	40	60	80	200	100
производства	3	20	0	10	70	100	100

Определить:
1) технологическую матрицу;
2) матрицу коэффициентов полных затрат;
3) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;
4) определить валовый выпуск X’ на новый ассортимент конечной продукции Y’;

Решение.
Находим валовой объем продукции x_i;
x₁ = 20 + 20 + 60 + 100 = 200
x₂ = 20 + 40 + 60 + 80 = 200
x₃ = 20 + 0 + 10 + 70 = 100

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Производство	20	20	60	100	200
20	40	60	80	200
20	0	10	70	100

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:
a₁₁ = 20/200 = 0.1; a₁₂ = 20/200 = 0.1; a₁₃ = 60/100 = 0.6; a₂₁ = 20/200 = 0.1; a₂₂ = 40/200 = 0.2; a₂₃ = 60/100 = 0.6; a₃₁ = 20/200 = 0.1; a₃₂ = 0/200 = 0; a₃₃ = 10/100 = 0.1;

0.1	0.1	0.6
0.1	0.2	0.6
0.1	0	0.1

Определим матрицу коэффициентов полных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.
а) Находим матрицу (E-A):

(E-A) =

0,9 -0,1 -0,6 -0,1 0,8 -0,6 -0,1 0 0,9

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A) -1 :

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

X’ = (B -1 *Y’) =

1,23 0,15 0,92 0,26 1,28 1,03 0,14 0,0171 1,21

*

=

Пример №3 . В модели межотраслевого баланса

Производство	Потребление	Конечная продукция	Валовая продукция
1	2	3
1	10	5	15	70	100
2	20	…	…	…	…
3	30	…	…	…	…
Оплата труда	30	…	…	…	…
Прибыль D	D	…	…	…	…

прибыль D равна:
D = Валовая продукция – Затраты на производство – Оплата труда = 100 – (10+20+30) – 30 = 10.

16.3.2. Продуктивные модели Леонтьева

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора с неот­рицательными компонентами существует решение уравнения (16.6) — вектор , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (16.6) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особеннос­тей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

ТЕОРЕМА 16.1. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами уравнение (16.6) имеет решение с неотри­цательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положи­тельного решения системы (16.6) хотя бы для одного положи­тельного вектора , чтобы матрица А была продуктивной. Пе­репишем систему (16.6) с использованием единичной матрицы Е в виде

Если существует обратная матрица (E – А)-1 , то существует и единственное решение уравнения (16.7):

Матрица (Е — А)-1 называется Матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матри­цы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продукти­вна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)-1 сущест­вует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотри­цательными элементами продуктивна, если сумма элемен­тов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

Причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложных примерах.

Пример 1. В табл. 16.4 приведены данные по балансу за не­который период времени между пятью отраслями промышлен­ности. Найти векторы конечного потребления и валового вы­пуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и опре­делить, является ли она продуктивной в соответствии с при­веденными выше критериями.

Решение. В данной таблице приведены составляющие ба­ланса в соответствии с соотношениями (16.2): Xij — первые пять столбцов, Уi — шестой столбец, Xi — последний столбец (I,J = 1, 2, 3, 4, 5). Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах боль­ше единицы. Следовательно, условия второго критерия продук­тивности не соблюдены и матрица А не является продуктив­ной. Экономическая причина этой непродуктивности заключа­ется в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слиш­ком велико в соотношении с их валовыми выпусками.

Пример 2. Табл. 16.5 содержит данные баланса трех отрас­лей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конеч­ного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

Требуется найти новый вектор валового выпуска *, удов­летворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты X1, X2, х3 неизвестного вектора * находятся из системы уравнений, которая согласно (16.4) имеет в данном случае вид

В матричной форме эта система выглядит следующим об­разом:

Где матрица (Е — А) имеет вид

Решение системы линейных уравнений (16.11) при заданном векторе правой части (16.9) (например, методом Гаусса) да­ет новый вектор * как решение системы уравнений баланса (16.10):

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное уве­личение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и пе­реработку углеводородов на 52,2%, уровень энергетики — на 35,8% и выпуск продукции машиностроения — на 85% по срав­нению с исходными величинами, указанными в табл. 16.5.

Как найти векторы конечного потребления и валового выпуска

Каждая отрасль многоотраслевого хозяйства с одной стороны является производите-лем определенной продукции, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует, чтобы соблюдался баланс по производству и потреблению между отдельными отраслями. Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления. В простейшей форме балансовые соотношения имеют вид x_i=x_i1 + x_i2 + … + x_in + y_i , i=1, 2, …, n. где x_i – общий объем выпускаемой продукции i–й отрасли; x_ij – объем продукции i–й отрасли, потребляемый j –й отраслью при производстве объема продукции x_j; y_i – объем продукции i–й отрасли конечного потребления (для реализации а непро-изводственной сфере). Для производства продукции j –й отрасли объемом xi нужно использовать продукцию i –й отрасли объемом a_ijx_i , где а_ij – постоянное число, характеризующее прямые затраты. Это допущение позволяет представить модель многоотраслевой экономики в виде системы линейных уравнений, которая в матричной форме имеет вид ,

где x- вектор валового выпуска;

y- вектор объема продукции конечного потребления;

A – матрица коэффициентов прямых затрат. Приведенная система уравнений может быть представлена в виде , где E – единичная матрица. Если существует обратная матрица (матрица полных затрат), то существует единственное решение системы . Из экономической теории известно несколько критериев продуктивности матрицы А:

1) матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны;

2) матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, при чем хотя бы для одного столбца (строки) строго меньше единицы.

Рассмотрим пример решения задачи на применение модели Леонтьева.

Пример 7. В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями.

[spoiler title=”источники:”]

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/osnovy-matematiki-i-ee-prilozheniia-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprynov-b-p/16-3-2-produktivnye-modeli-leonteva

http://piter-melnikov.narod.ru/part2/1.12.htm

[/spoiler]