Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения координат вектора по точкам
Формула
Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_{1} ; y_{1}right)$ и конца $Bleft(x_{2} ; y_{2}right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть
$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)$$
Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)$ и $Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:
$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)$$
Примеры нахождения координат вектора по точкам
Пример
Задание. Даны точки
$A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline{A B}$ и
$overline{B A}$
Решение. Для вектора $overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом. Тогда координаты вектора $overline{A B}$ равны
$$overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)$$
Для вектора 
точка
$B$ является началом, а точка
$A$ – концом. Тогда координаты вектора $overline{B A}$ равны
$$overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)$$
Ответ. $overline{A B}=(-2 ; 2), overline{B A}=(2 ;-2)$
Пример
Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов
$overline{A B}$,
$overline{A C}$,
$overline{B C}$
Решение. Для искомого вектора
$overline{A B}$ точка
$A$ является началом, а точка
$B$ – концом. Тогда координаты вектора
$overline{A B}$ соответственно равны:
$$overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$
Для вектора $overline{A C}$ точка
$A$ является началом, а точка
$C$ – концом. Тогда его координаты соответственно равны
$$overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)$$
Для вектора $overline{B C}$ точка
$B$ является началом, а точка
$C$ – концом. Его координаты равны
$$overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)$$
Ответ. $overline{A B}=(2 ; 4 ; 1), overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5), overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)$
Читать дальше: как найти сумму векторов.
- Как найти сумму векторов
- Как найти скалярное произведение векторов
- Как найти векторное произведение векторов
- Как найти смешанное произведение векторов
- Как найти вектор коллинеарный вектору
- Как найти вектор перпендикулярный вектору
- Как найти орт вектора
- Как найти разность векторов
- Как найти проекцию вектора
- Как найти длину вектора
- Как найти модуль вектора
- Как найти координаты вектора
- Как найти направляющие косинусы вектора
- Как найти угол между векторами
- Как найти косинус угла между векторами
Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i→ должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j→ с осью Oy.
Векторы i→ и j→ называют координатными векторами.
Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p→ можно разложить по векторам p→=xi→+yj→. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p→ по координатным векторам называются координатами вектора p→ в данной системе координат.
Координаты вектора записываются в фигурных скобках p→x; y. На рисунке вектор OA→ имеет координаты 2; 1, а вектор b→ имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 0→0; 0.
Если векторы a→ и b→ равны, то и y1=y2. Запишем это так: a→=x1i→+y1j→=b→=x2i→+y2j→, значит x1=x2, y1=y2 .
Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.
Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB→: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.
Изобразим координатную ось.
Из формулы сложения векторов имеем OA→+AB→=OB→, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB→=OB→-OA→.
OA→ и OB→ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA→=xa, ya, OB→=xb, yb.
По правилу операций над векторами найдем AB→=OB→-OA→=xb-xa, yb-ya.
Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.
Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.
Найти координаты OA→ и AB→ при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).
Решение
Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA→=(2,-3). Чтобы найти AB→, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.
Получаем: AB→=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).
Ответ: OA→=(2,-3), AB→=(-6,-2).
Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB→=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB→.
Решение
Подставляем координаты точки A: AB→=(xb-3, yb-5, zb-7).
По условию известно, что AB→=(2, 0,-2).
Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2
Отсюда следует, что координаты точки B AB→равны: xb=5yb=5zb=5
Ответ: B(5, 5, 5).
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Нахождение координат вектора
- Примеры задач
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
| Для плоских задач | AB = {Bx – Ax; By – Ay} |
| Для трехмерных задач | AB = {Bx – Ax; By – Ay; Bz – Az} |
| Для n-мерных векторов | AB = {B1 – A1; B2 – A2; … Bn – An} |
Примеры задач
Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).
Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.
Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).
Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = ABx + Ax = 6 + 2 = 8.
By = ABy + Ay = 14 + 5 = 19.
Таким образом, B = (8; 19).
Нахождение координат вектора через координаты точек
Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .
Векторы i → и j → называют координатными векторами.
Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.
Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; – 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .
Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .
Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.
Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.
Изобразим координатную ось.
Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → – O A → .
O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .
По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → – O A → = x b – x a , y b – y a .
Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.
Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.
Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , – 3 ) , B ( – 4 , – 1 ) .
Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , – 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.
Получаем: A B → = ( – 4 – 2 , – 1 – ( – 3 ) ) = ( – 6 , 2 ) .
Ответ: O A → = ( 2 , – 3 ) , A B → = ( – 6 , – 2 ) .
Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) . Найти координаты конца A B → .
Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b – 3 , y b – 5 , z b – 7 ) .
По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) .
Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b – 3 = 2 y b – 5 = 0 z b – 7 = – 2
Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5
Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .
Нахождение координат вектора
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
” data-lang=”default” data-override=”<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>
| Для плоских задач | AB = x – Ax; By – Ay> |
| Для трехмерных задач | AB = x – Ax; By – Ay; Bz – Az> |
| Для n-мерных векторов | AB = 1 – A1; B2 – A2; . Bn – An> |
Примеры задач
Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .
Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .
Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = AB x + Ax = 6 + 2 = 8.
By = AB y + Ay = 14 + 5 = 19.
[spoiler title=”источники:”]
Как найти вектор по точкам
ФОРМУЛА
Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
)на плоскости, если он задан координатами его начала (
Aleft(x_{1} ; y_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2}right)
) конца, необходимо вычесть соответствующие координаты начала из координат конца, то есть
(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)
)
Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
), заданного в пространстве по координатам (
Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)
), необходимо, по аналогии с плоским случаем, вычесть координаты начала из координат конца:
(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)
)
ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПО ТОЧКАМ
ПРИМЕР
A(4 ;-1)
) и (
B(2 ; 1)
). Найти координаты векторов (
overline{A B}
) и (
overline{B A}
)
overline{A B}
) точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
B
) – концом. Тогда координаты вектора (
overline{B A}
)равны
(
overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)
)
Для вектора (
overline{B A}
) точка (
B
) является началом, а точка (
mathrm{A}
) – концом. Тогда координаты вектора (
overline{B A}
)равны
(
overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)
)
overline{A B}=(-2 ; 2)
)
(
overline{B A}=(2 ;-2)
)
ПРИМЕР
A(1 ;-2 ; 0,5)
) , (
B(3 ; 2 ; 1,5)
) и (
C(0 ;-1 ; 1)
). Найти координаты векторов (
overline{A B}, overline{A C}, overline{B C}
)
overline{A B}
) точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
B
) – концом. Тогда координаты вектора (
overline{A B}
)соответственно равны:
(
overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)
)
Для вектора (
overline{A C}
)точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
mathrm{C}
) – концом. Тогда его координаты соответственно равны
(
overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)
)
Для вектора (
overline{B C}
) точка (
B
) является началом, а точка (
mathrm{C}
) – концом. Его координаты равны
(
overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)
)
overline{A B}=(2 ; 4 ; 1)
)
(
overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5)
)
(
overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)
)
