Как найти вектор компланарный плоскости - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Напомним, что три или более векторов называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам.

Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы:

а) точка $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ ;

Направляющие векторы плоскости

б) два неколлинеарных вектора $vec{p}_{1}=a_{1}vec{i}+b_{1}vec{j}+c_{1}vec{k},~vec{p}_{2}=a_{2}vec{i}+b_{2}vec{j}+c_{2}vec{k}$ (рис.4.15).

Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам $vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ и проходящей через точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Выберем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) . Обозначим vec{r}=overrightarrow{OM}, $vec{r}_{0}=overrightarrow{OM_{0}},$ — радиус-векторы точек и $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ (рис.4.16).

Условие компланарности векторов $overrightarrow{M_{0}M},,vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения $langleoverrightarrow{M_{0}M},vec{p}_{1},vec{p}_{2}rangle=0.$ Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:

$begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{vmatrix}=0,.$

(4.18)

Параметрическое уравнение плоскости

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы:

а) точка $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ ;

б) два неколлинеарных вектора $vec{p}_{1}=a_{1}vec{i}+b_{1}vec{j}+c_{1}vec{k},~vec{p}_{2}=a_{2}vec{i}+b_{2}vec{j}+c_{2}vec{k}$ (рис.4.15).

Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам $vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ и проходящей через точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Выберем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) . Обозначим vec{r}=overrightarrow{OM}, $vec{r}_{0}=overrightarrow{OM_{0}}$ -радиус-векторы точек и $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ (рис.4.16).

Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $overrightarrow{M_{0}M},$ $vec{p}_{1}$ и $vec{p}_{2}$ компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: $overrightarrow{M_{0}M}=t_{1}vec{p}_{1}+t_{2}vec{p}_{2},$ где $t_{1},,t_{2}$ — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что $overrightarrow{M_{0}M}=vec{r}-vec{r}_{0},$ получим векторное параметрическое уравнение плоскости:

$vec{r}=vec{r}_{0}+t_{1}cdotvec{p}_{1}+t_{2}vec{p}_{2}, quad t_{1},t_{2}inmathbb{R},,$

(4.19)

где $vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ — направляющие векторы плоскости, а $vec{r}_{0}$ — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.

Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:

$begin{cases} x= x_{0}+a_{1}cdot t_{1}+a_{2}cdot t_{2},\ y= y_{0}+b_{1}cdot t_{1}+b_{2}cdot t_{2},\ z= z_{0}+c_{1}cdot t_{1}+c_{2}cdot t_{2}, end{cases}t_{1},t_{2}inmathbb{R},,$

(4.20)

где $a_{1},b_{1},c_{1}$ и $a_{2},b_{2},c_{2}$ — координаты направляющих векторов $vec{p}_{1}$ и $vec{p}_{2}$ соответственно. Параметры $t_{1},,t_{2}$ в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины $t_{1},,t_{2}$ пропорциональны расстоянию от заданной точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ до точки M(x,y,z), принадлежащей плоскости. При $t_{1}=t_{2}=0$ точка совпадает с заданной точкой $M_{0}$ . При возрастании $t_{1}$ (или $t_{2}$ ) точка перемещается в направлении вектора $vec{p}_{1}$ (или $vec{p}_{2}$ ), а при убывании $t_{1}$ (или $t_{2}$ ) — в противоположном направлении.

Замечания 4.4.

1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.

2. Любой вектор vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} , коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору vec{n}=Avec{i}+Bvec{j}+Cvec{k} для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:

langlevec{p},vec{n}rangle=acdot A+bcdot B+ccdot C=0.

Следовательно, координаты $a_{1},b_{1},c_{1}$ и $a_{2},b_{2},c_{2}$ направляющих векторов $vec{p}_{1}$ и $vec{p}_{2}$ плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:

$a_{1}cdot A+b_{1}cdot B+c_{1}cdot C=0, quad a_{2}cdot A+b_{2}cdot B+c_{2}cdot C=0.$

3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.

4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) Acdot x+Bcdot y+Ccdot z+D=0 к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение $(x_{0},y_{0},z_{0})$ уравнения Ax+By+Cz+D=0, определяя тем самым координаты точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}),$ принадлежащей плоскости;

2) найти любые два линейно независимых решения $(a_{1},b_{1},c_{1}),$ $(a_{2},b_{2},c_{2})$ однородного уравнения Acdot a+Bcdot b+Ccdot c=0 определяя тем самым координаты решения $(a_{1},b_{1},c_{1})$ и $(a_{2},b_{2},c_{2})$ направляющих векторов $vec{p}_{1}$ и $vec{p}_{2}$ плоскости;

3) записать параметрическое уравнение (4.20).

5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему, достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:

$vec{n}= Bigl[vec{p}_{1},vec{p}_{2}Bigr]= begin{vmatrix} vec{i}&vec{j}&vec{k}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2} end{vmatrix}= underbrace{begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\b_{2}&c_{2}end{vmatrix}}_{A}cdot vec{i}- underbrace{begin{vmatrix}a_{1}&c_{1}\a_{2}&c_{2}end{vmatrix}}_{B}cdot vec{j}+ underbrace{begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\a_{2}&b_{2}end{vmatrix}}_{C}cdot vec{k},,$

и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):

$Acdot(x-x_{0})+Bcdot(y-y_{0})+Ccdot(z-z_{0})=0,.$

6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.

Пример 4.8. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2;3) и L(5;0;1) (см. рис.4.11). Требуется:

а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;

б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и компланарной радиус-векторам overrightarrow{OK} и overrightarrow{OL}.

Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: 2x-y-z-3=0. Составим параметрическое уравнение:

1) находим любое решение уравнения 2x-y-z-3=0 , например, $x_{0}=y_{0}=0,$ $z_{0}=-3,$ следовательно, точка $M_{0}(0;0;-3)$ принадлежит плоскости;

2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения 2x-y-z=0 например (1;1;1) и (0;1;-1), следовательно, векторы $vec{p}_{1}=vec{i}+vec{j}+vec{k},$ $vec{p}_{2}=vec{j}-vec{k},$ являются направляющими для плоскости;

3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):

$begin{cases}x=0+1cdot t_{1}+0cdot t_{2},\ y=0+1cdot t_{1}+1cdot t_{2},\ z=-3+1cdot t_{1}+(-1)cdot t_{2}, end{cases}Leftrightarrow quad! begin{cases}x=t_{1},\ y=t_{1}+t_{2},\ z=-3+t_{1}-t_{2},end{cases} t_{1},t_{2}inmathbb{R},.$

б) Координаты середины M(3;1;2) отрезка были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов overrightarrow{OK}=vec{i}+2vec{j}+3vec{k}, и overrightarrow{OL}=5vec{i}+vec{k},:

$vec{n}= begin{bmatrix}overrightarrow{OK},overrightarrow{OL}end{bmatrix}= begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\ 1&2&3\ 5&0&1end{vmatrix} = 2cdotvec{i}+14cdotvec{j}-10cdotvec{k},.$

Составляем уравнение (4.14):

2cdot(x-3)+14cdot(y-1)-10cdot(z-2)=0 quad Leftrightarrow quad 2cdot x+14cdot y-10cdot z=0.

Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):

$begin{vmatrix}x-3&y-1&z-2\ 1&2&3\ 5&0&1end{vmatrix}=0 quad Leftrightarrow quad 2cdot x+14cdot y-10cdot z=0.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.

рис. 1

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

Примеры задач на компланарность векторов

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [ b × с ] =	1	2	3	=
1	1	1
1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 – 1·1·3 – 1·1·2 – 1·1·2 = 1 + 2 + 6 – 3 – 2 – 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [ b × с ] =	1	1	1	=
1	3	1
2	2	2

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 – 1·2·3 – 1·1·2 – 1·1·2 = 6 + 2 + 2 – 6 – 2 – 2 = 0

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

	1	1	1
1	2	0
0	-1	1
3	3	3

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

1
1
1

1
1
1

1 – 1
2 – 1
0 – 1
0
1
-1

0
-1
1
0
-1
1

3 – 3
3 – 3
3 – 3
0
0
0

к 3-тей строке добавим 2-рую

1
1
1

0
1
-1
0
1
-1

0 + 0
-1 + 1
1 + (-1)
0
0
0

3 – 3
3 – 3
3 – 3
0
0
0

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Компланарные векторы и условие компланарности

В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:

определение компланарных векторов;
условия компланарности векторов;
примеры задач на компланарность векторов.

Определение компланарных векторов

Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.

Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.

Условия компланарности векторов

Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.

Примеры решения задач на компланарность векторов

Исследуем на компланарность векторы

a ¯ = ( 1 ; 2 ; 3 ) , b = ( 1 ; 1 ; 1 ) и c ¯ = ( 1 ; 2 ; 1 )

Как решить?

Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:

( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 2 3 1 1 1 1 2 1 = = 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 3 + 2 × 1 × 1 – 1 × 1 × 3 – 2 × 1 × 1 – 1 × 2 × 1 = 2 ≠ 0

Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.

Ответ: векторы не являются компланарными.

Докажем, что три вектора

a ¯ = ( 1 ; – 1 ; 2 ) , b = ( 0 ; 1 ; – 1 ) и c ¯ = ( 2 ; – 2 ; 4 ) компланарны.

Как решить?

Находим смешанное произведение данных векторов:

( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 – 1 2 0 1 – 1 2 – 2 4 = = 1 × 1 × 4 + 0 × ( – 2 ) × 2 + ( – 1 ) × ( – 1 ) × × 2 – 2 × 1 × 2 – ( – 2 ) × ( – 1 ) × 1 – 0 × ( – 1 )

Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.

Ответ: векторы являются компланарными.

Проверим, компланарны ли векторы

Как решить?

Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:

1 1 1 1 2 0 0 – 1 1 3 3 3

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:

1 1 1 1 – 1 2 – 1 0 – 1 0 – 1 1 3 – 3 3 – 3 3 – 3

1 1 1 0 1 – 1 0 – 1 1 0 0 0

К 3-ей строке прибавляем 2-ю:

1 1 1 0 1 – 1 0 + 0 – 1 + 1 1 + ( – 1 ) 3 – 3 3 – 3 3 – 3

1 1 1 0 1 – 1 0 0 0 0 0 0

Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.

Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.

Какие векторы называют компланарными

Компланарные векторы – это векторы, которые лежат в одной плоскости, или параллельны какой-либо плоскости.

Рассмотрим три вектора в трехмерном пространстве. Любые два из них будут компланарными всегда. Поэтому, компланарность проверяют минимум для трех векторов.

Почему любые два вектора всегда компланарны

Поясним факт, что любые два вектора будут компланарными.

Для начала вспомним, какие векторы называют равными. Равны векторы, у которых совпадают три характеристики: длина, направление, соответственные координаты.

При параллельном переносе вектор не поворачивается. Этот новый вектор ( vec> ) будет иметь те же длину, направление и координаты, что и начальный вектор до сдвига. Другими словами, с помощью параллельного переноса можно получить вектор, равный данному вектору.
[ vec = vec> ]

Если два вектора равны, то вместо одного из них мы сможем использовать второй, когда это будет удобным для нас.

Проделаем теперь те же операции с каким-либо другим вектором ( vec ). В результате получим вектор ( vec> ), равный вектору ( vec ).

Любые два вектора можно параллельным переносом сдвинуть так, чтобы совместить их начальные, или конечные точки. Значит, через эти векторы можно провести пересекающиеся прямые. А такие прямые будут лежать в одной плоскости.

Таким образом, любые два вектора всегда компланарны.

Например, любые два орта Декартовой прямоугольной системы координат компланарны, а тройка ортов – некомпланарные векторы. Подробнее об ортах тут (откроется в новой вкладке).

Условие компланарности

Найдем смешанное произведение трех векторов.

Смешанное произведение обозначают так:
[ left( vec , vec , vec <с>right) ]

Если такое произведение будет равно нулю, то три вектора компланарные.

Условие компланарности векторов:
[large boxed < left( vec, vec , vec right) = 0 >]

Как вычислить смешанное произведение

Нужно любые два вектора перемножить векторным способом, в результате получим новый вектор.

Этот новый вектор умножаем скалярным способом на оставшийся третий вектор.

Смешанное произведение можно обозначить еще одним способом:

Результат смешанного произведения – это число. Если число равно нулю, то векторы компланарны.

Как применять смешанное произведение

Если три вектора не компланарны, то на них, как на сторонах, можно построить параллелепипед, или пирамиду.

С помощью смешанного произведения можно рассчитывать объемы параллелепипедов или треугольных пирамид, построенных на трех некомпланарных векторах.

Примечание:
Определитель может быть равен отрицательному числу. А объем может быть либо нулевым, либо положительным. Поэтому, если при вычислении объема определитель будет равен отрицательному числу, знак минус не учитываем.

Рисунок 2 поясняет, как с помощью векторов на ребрах параллелепипеда можно рассчитать его объем

Рисунок 3 поясняет, как с помощью векторов на ребрах пирамиды можно рассчитать ее объем

Смешанное произведение векторов в физике — работа вращающей силы

Пусть цилиндрическое тело вращается под действием силы. Ось вращения проходит через ось симметрии тела.

Работа вращающей силы – это смешанное произведение векторов ( vec <omega>), (vec < r>) и (vec < F>)

[ large boxed < dA = left( vecleft[ vec <omega>, vec right] right)cdot dt >]

Пояснения:

Линейная скорость – это векторное произведение радиуса окружности на угловую скорость:

Расстояние, ( vec) которое проходит точка при повороте на небольшой угол — – это произведение вектора линейной скорости на скалярную величину – время:
[ vec = v cdot dt ]

Небольшая работа dA – это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения
[ dA = left( vec cdot vec right)]

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/komplanarnye-vektory-i-uslovie-komplanarnosti/

Какие векторы называют компланарными

[/spoiler]

Источник

Одно из определений компланарных векторов гласит:

векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости, называются компланарными векторами.

Тот же смысл имеет и другое определение:

три вектора называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Обрати внимание!

Всегда возможно найти плоскость, параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.

Eсли из трёх векторов два коллинеарны, то очевидно, что эти три вектора компланарны.

Все вышеупомянутые случаи легко рассмотреть, если разместить векторы на рёбрах параллелепипеда.

1. Любые два вектора находятся в одной плоскости, но в одной плоскости можно разместить и векторы

AA1→

CC1→

AD→

, то есть, эти векторы компланарны. Также компланарны векторы

AA1→

AB→

CC1→

, так как два из этих векторов параллельны. Легко представить, что если привести их к общему началу, то вектор

CC1→

совпадёт с вектором

AA1→

2. Например, векторы

AB→

AD→

AA1→

не компланарны, так как их нельзя разместить в одной и той же плоскости.

Признак компланарности трёх векторов:

пусть векторы

a→

b→

не коллинеарны. Если для вектора

c→

существует единственная пара реальных чисел (x) и (y), такая, что

c→=x⋅a→+y⋅b→

, то векторы

a→

b→

c→

компланарны.

Справедливо и обратное утверждение:

если три вектора

a→

b→

c→

компланарны и векторы

a→

b→

не коллинеарны, то вектор

c→

можно разложить по векторам

a→

b→

одним-единственным образом.

Если разложить вектор

AC→

по векторам

AA1→

AA2→

, то это можно сделать одним-единственным образом:

AC→=AB→+AD→=x⋅AA1→+y⋅AA2→

Если три вектора некомпланарны, то для их сложения в пространстве применяется закон параллелепипеда.

1. Векторы приводят к общему началу (A).

2. На этих трёх рёбрах строится параллелепипед.

3. Диагональ параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, изображает суммы векторов

AB→

AD→

AA1→

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

Теорема о разложении по базису в пространстве
Любой вектор

d→

можно разложить по трём данным некомпланарным векторам

a→

b→

c→

, причём реальные коэффициенты разложения (x), (y) и (z) определяются единственным образом:

AC1→=AD→+AB→+AA1→=x⋅AA2→+y⋅AA3→+z⋅AA4→

Источник

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 1).

Условия компланарности векторов

Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Примеры задач на компланарность векторов

Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3},
b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =	1	2	3	=
1	1	1
1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 – 1·1·3 – 1·1·2 – 1·1·2 = 1 + 2 + 6 – 3 – 2 – 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Пример 2. Доказать что три вектора a = {1; 1; 1},
b = {1; 3; 1} и c = {2; 2; 2} компланарны.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =	1	1	1	=
1	3	1
2	2	2

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 – 1·2·3 – 1·1·2 – 1·1·2 = 6 + 2 + 2 – 6 – 2 – 2 = 0

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Пример 3. Проверить коллинеарны ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.

	1	1	1	~
1	2	0
0	-1	1
3	3	3

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

~		1	1	1		~	1	1	1	~
1 – 1	2 – 1	0 – 1	0	1	-1
0	-1	1	0	-1	1
3 – 3	3 – 3	3 – 3	0	0	0

к 3-тей строке добавим 2-рую

~		1	1	1		~	1	1	1
0	1	-1	0	1	-1
0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0	0	0
3 – 3	3 – 3	3 – 3	0	0	0

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Источник

Содержание

Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Коллинеарность

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора $mathbf a(x_1,y_1)$ и $mathbf b(x_2,y_2)$ коллинеарны, если существует число $n$ такое, что

$$ mathbf {a} = n · mathbf {b}$$

или покоординатная детализация:

$$ x_1 = k cdot x_2 \
y_1 = k cdot y_2 \
z_1 = k cdot z_2 $$

Для коллинеарности векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

$$ k = frac {x_1} {y_1} =frac {x_2} {y_2} = ldots $$

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. [или модуль векторного произведения = 0]

$$ x_1y_2 – x_2y_1 = 0$$

Пример 1. Какие из векторов a = (1; 2), b = (4; 8), c = (5; 9) коллинеарны? Ответ – a и b.

Пример 2. Доказать что вектора a = (0; 3) и b = (0; 6) коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n. $na = (2 · 0; 2 · 3) = (0; 6)$

Пример 3. Образуют ли базис векторы k(3,7), -6,14)?

Ответ: да. Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы).

В общем случае нужно составить систему уравнений (по условию 1) и исследовать ее на совместность. Если несовместна (решений нет) – значит, вектора ЛН. В данном случаи можно действовать упрощенно по условию 2, так как нет нулей и деления на них.

Пример 4. Даны вершины четырёхугольника A(-4,2), B(2,6), C(5,4), D(-1,0). Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Нужно доказать:

параллельность противоположных сторон AB и CD;
параллельность противоположных сторон BC и AD.

Найти вектора и проверить на коллинеарность.

Систематизируем: Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:

векторы линейно независимы;
векторы образуют базис;
векторы не коллинеарны;
векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Ортогональность

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.

Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

$$ x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$

или в трехмерном случае:

$$ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$$

Пример 1. Доказать что вектора a = (1; 2) и b = (2; -1) ортогональны.

Пример 2. Найти значение числа n при котором вектора a = (2; 4) и b = (n; 1) будут ортогональны.

Ответ -2

Пример 4. Проверить являются ли вектора a = {2; 3; 1} и b = {3; 1; -9} ортогональными.
Ответ : да

Компланарность

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.

Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга.

Условия компланарности векторов

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =
1  	  2  	  3  	 =
1  	  1  	  1  
1  	  2  	  1  
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Признаки параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть даны две прямые a и b, заданные уравнениями:
$$ a: y = k_1 x + c_1 \
b: y = k_2 x + c_2
$$

Возьмем два произвольных вектора, по одному на каждой прямой. Например, при x=0 и x=1 прямая a проходит через точки $(0, c_1)$ и $(1, k_1 + c_1)$. Значит, вектор, лежащий на прямой a можно задать координатами $(1, k_1)$

Аналогично, вектор, лежащий на прямой b можно задать координатами $(1, k_2)$

Векторы коллинеарны, если $k_1 = k_2$ – совпадают угловые коэффициенты прямых, значит, прямые параллельны

Векторы ортогональны, если скалярное произведение $k_1 cdot k_2 + 1 = 0$ или $k_1 k_2 = -1$, прямые перпендикулярны

Источник

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Параметрическое уравнение плоскости

Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.

Условия компланарности векторов

Примеры задач на компланарность векторов

Компланарные векторы и условие компланарности

Определение компланарных векторов

Условия компланарности векторов

Какие векторы называют компланарными

Почему любые два вектора всегда компланарны

Условие компланарности

Как вычислить смешанное произведение

Как применять смешанное произведение

Смешанное произведение векторов в физике — работа вращающей силы

Условия компланарности векторов

Примеры задач на компланарность векторов

Содержание

Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности

Коллинеарность

Ортогональность

Компланарность

Признаки параллельности и перпендикулярности прямых

Вам также может понравиться

Minecraft как найти деревню с алмазами

Как найти объем восстановителя

Как найти сторону основания параллелепипеда формула

Добавить комментарий Отменить ответ