Как найти вектор конечной продукции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Межотраслевой баланс

С помощью сервиса в онлайн режиме можно:

найти коэффициенты полных материальных затрат, определить вектор валовой продукции;
составить межотраслевой баланс, составить схему межотраслевого баланса труда;
проверить продуктивность матрицы.

Шаг №1
Шаг №2
Видеоинструкция
Оформление Word

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Система уравнений X = AX + Y называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (МОБ) или моделью «затраты – выпуск». C помощью нее можно выполнить следующие расчеты:

подставив в модель объемы валовой продукции каждой отрасли X_i, можно определить объем конечной продукции отрасли Y_j: Y = (E – A)X
задав величины конечной продукции всех отраслей Y_j, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X_i: X = (E – A) -1 Y
установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти объемы конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Здесь A – матрица прямых затрат, коэффициенты которой, a_ij показывают затраты i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли. Введем обозначение B = (E – A) -1 . Матрица B называется матрицей полных материальных затрат, коэффициенты которой, b_ij показывают полный объем продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы продукции j-й отрасли. С учетом линейности соотношений эффект распространения спроса ΔX, вызванный изменением конечного спроса на величину ΔY рассчитывается как: ΔX = B·ΔY
Через C=A-B обозначают матрицу косвенных затрат.

Пример №1 . Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат A и вектор конечной продукции Y .

Пример №2 . Дан межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства:

№ отрасли потребления	1	2	3	Конечный продукт	Валовый продукт	Y’
№ отрасли	1	20	20	60	100	200	150
отрасли	2	20	40	60	80	200	100
производства	3	20	0	10	70	100	100

Определить:
1) технологическую матрицу;
2) матрицу коэффициентов полных затрат;
3) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;
4) определить валовый выпуск X’ на новый ассортимент конечной продукции Y’;

Решение.
Находим валовой объем продукции x_i;
x₁ = 20 + 20 + 60 + 100 = 200
x₂ = 20 + 40 + 60 + 80 = 200
x₃ = 20 + 0 + 10 + 70 = 100

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Производство	20	20	60	100	200
20	40	60	80	200
20	0	10	70	100

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:
a₁₁ = 20/200 = 0.1; a₁₂ = 20/200 = 0.1; a₁₃ = 60/100 = 0.6; a₂₁ = 20/200 = 0.1; a₂₂ = 40/200 = 0.2; a₂₃ = 60/100 = 0.6; a₃₁ = 20/200 = 0.1; a₃₂ = 0/200 = 0; a₃₃ = 10/100 = 0.1;

0.1	0.1	0.6
0.1	0.2	0.6
0.1	0	0.1

Определим матрицу коэффициентов полных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.
а) Находим матрицу (E-A):

(E-A) =

0,9	-0,1	-0,6
-0,1	0,8	-0,6
-0,1	0	0,9

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A) -1 :

0,9	-0,1	-0,6
-0,1	0,8	-0,6
-0,1	0	0,9

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

X’ = (B -1 *Y’) =

1,23	0,15	0,92
0,26	1,28	1,03
0,14	0,0171	1,21

Пример №3 . В модели межотраслевого баланса

Производство	Потребление	Конечная продукция	Валовая продукция
1	2	3
1	10	5	15	70	100
2	20	…	…	…	…
3	30	…	…	…	…
Оплата труда	30	…	…	…	…
Прибыль D	D	…	…	…	…

прибыль D равна:
D = Валовая продукция – Затраты на производство – Оплата труда = 100 – (10+20+30) – 30 = 10.

16.3.2. Продуктивные модели Леонтьева

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (16.6) — вектор , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (16.6) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

ТЕОРЕМА 16.1. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами уравнение (16.6) имеет решение с неотрицательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (16.6) хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрица А была продуктивной. Перепишем систему (16.6) с использованием единичной матрицы Е в виде

Если существует обратная матрица (E – А)-1 , то существует и единственное решение уравнения (16.7):

Матрица (Е — А)-1 называется Матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)-1 существует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

Причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложных примерах.

Пример 1. В табл. 16.4 приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями промышленности. Найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить, является ли она продуктивной в соответствии с приведенными выше критериями.

Решение. В данной таблице приведены составляющие баланса в соответствии с соотношениями (16.2): Xij — первые пять столбцов, Уi — шестой столбец, Xi — последний столбец (I,J = 1, 2, 3, 4, 5). Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах больше единицы. Следовательно, условия второго критерия продуктивности не соблюдены и матрица А не является продуктивной. Экономическая причина этой непродуктивности заключается в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слишком велико в соотношении с их валовыми выпусками.

Пример 2. Табл. 16.5 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

Требуется найти новый вектор валового выпуска *, удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты X1, X2, х3 неизвестного вектора * находятся из системы уравнений, которая согласно (16.4) имеет в данном случае вид

В матричной форме эта система выглядит следующим образом:

Где матрица (Е — А) имеет вид

Решение системы линейных уравнений (16.11) при заданном векторе правой части (16.9) (например, методом Гаусса) дает новый вектор * как решение системы уравнений баланса (16.10):

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,2%, уровень энергетики — на 35,8% и выпуск продукции машиностроения — на 85% по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 16.5.

Как найти векторы конечного потребления и валового выпуска

Каждая отрасль многоотраслевого хозяйства с одной стороны является производите-лем определенной продукции, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует, чтобы соблюдался баланс по производству и потреблению между отдельными отраслями. Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления. В простейшей форме балансовые соотношения имеют вид x_i=x_i1 + x_i2 + … + x_in + y_i , i=1, 2, …, n. где x_i – общий объем выпускаемой продукции i–й отрасли; x_ij – объем продукции i–й отрасли, потребляемый j –й отраслью при производстве объема продукции x_j; y_i – объем продукции i–й отрасли конечного потребления (для реализации а непро-изводственной сфере). Для производства продукции j –й отрасли объемом xi нужно использовать продукцию i –й отрасли объемом a_ijx_i , где а_ij – постоянное число, характеризующее прямые затраты. Это допущение позволяет представить модель многоотраслевой экономики в виде системы линейных уравнений, которая в матричной форме имеет вид ,

где x- вектор валового выпуска;

y- вектор объема продукции конечного потребления;

A – матрица коэффициентов прямых затрат. Приведенная система уравнений может быть представлена в виде , где E – единичная матрица. Если существует обратная матрица (матрица полных затрат), то существует единственное решение системы . Из экономической теории известно несколько критериев продуктивности матрицы А:

1) матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны;

2) матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, при чем хотя бы для одного столбца (строки) строго меньше единицы.

Рассмотрим пример решения задачи на применение модели Леонтьева.

Пример 7. В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями.

[spoiler title=”источники:”]

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/osnovy-matematiki-i-ee-prilozheniia-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprynov-b-p/16-3-2-produktivnye-modeli-leonteva

http://piter-melnikov.narod.ru/part2/1.12.htm

[/spoiler]

Источник

Отыскание вектора конечной продукции

Для
решения второй задачи межотраслевого
баланса запишем модель Леонтьева в
матричном виде

АХ
+ Y
= Х,

откуда
получим выражение (3.9)

Y
= (Е – А) 
Х.

Пример.
Три отрасли выпускают продукцию, причем
нормы затрат ресурсов заданы матрицей
А, вектор валовой продукции – Х:

А
=

,
Х =

Определить
вектор конечной продукции Y
(рис. 67).

При
определении венктора Y
используется функция Excel
=МУМНОЖ из категории Математические,
позволяющая получить результат
перемножения матрицы Е-А и вектора Х.

Рис.
67. Расчёт вектора конечной продукции

Пример
оптимизационной модели отыскания
вектора конечной продукции (рис. 68 –
70).

Систему
уравнений межотраслевого баланса можно
представить в виде Х = В Y
или

тогда,
в качестве целевой функции задачи
оптимизации можно выбрать максимизацию
объёма конечной продукции

при
ограничениях

и
условии неотрицательности получаемого
решения

y_j

0

.

Рис.
68. Ввод исходных данных в модель
оптимизации

Выделим
ячейки B17:D17
для размещения искомых переменных y₁,
y₂
и y₃.
Математические выражения левых частей
ограничений введём в ячейки Е13:Е15
с помощью функции =СУММПРОИЗВ из категории
Математические.
Целевую функцию, как сумму искомых
переменных введём в ячейку Е17. Заполним
диалоговое окно программы Поиск
решения из
меню Сервис
(рис. 69).

Рис.
69. Заполнение диалогового окна Поиска
решения

Нажав
на кнопку Параметры
в диалоговом окне надстройки Поиск
решения,
укажем с помощью “галочек”: Линейная
модель
и Неотрицательные
значения.
Результаты отыскания вектора конечной
продукции Y
представлены на рис. 70.

Рис.
70. Результата решения задачи межотраслевого
баланса

Смешанная задача межотраслевого баланса

Для
решения третьей задачи баланса все
отрасли разделим на две группы. К первой
группе отнесем отрасли, для которых
задан конечный продукт. Множество
номеров этих отраслей обозначим индексами
i,
j
=

.
Ко второй группе отнесем отрасли, для
которых задан валовой выпуск. Множество
номеров этих отраслей обозначим индексами
i,
j
=

.
Тогда вектор валовых выпусков можно
разделить на два подвектора

Х
=

, (5.11)

где
Х₁
– искомый подвектор с элементами Х_i(i
=

);

–
заданный подвектор с элементами Х_i(i
=

).

Аналогично
вектор конечного продукта можно разделить
на два подвектора

Y
=

, (5.12)

где

– подвектор с известными значениями
Y_i(i
=

);

Y₂– подвектор
с неизвестными значениями

Y_i(i
=

Матрица
А разбивается на четыре подматрицы

А
=

,
(5.13)

где
А₁₁
– подматрица с элементами а_ij
(i,
j
=

);

А₁₂
– подматрица с элементами а_ij
(i
=

;
j
=

);

А₂₁
– подматрица с элементами а_ij
(i
=

;
j
=

);

А₂₂
– подматрица с элементами а_ij
(i,
j
=

Для
нахождения неизвестных подвекторов Х₁
и Y₂,
зная А,

,

,
представим модель Леонтьева в следующем
виде:



. (5.14)

Раскроем
это выражение

А
₁₁Х₁+А₁₂
+
=
Х₁
(5.15)

А₂₁Х₁+А₂₂
+Y₂=

Из
первого уравнения этой системы найдем

Х₁= (Е
– А₁₁)^-1

(А₁₂
+
).
(5.16)

Из
второго уравнения найдем

Y₂= (Е
– А₂₂)


– А₂₁
Х₁.
(5.17)

Найдя
из выражения (3.16) Х₁и подставив
в выражение (3.17), получим Y₂.

Пример.
Три отрасли выпускают продукцию, причем
нормы затрат ресурсов заданы матрицей
А:

А
=

.

Конечный
продукт первой отрасли равен 8 ед., объем
производства второй отрасли равен 10
ед., а третьей – 15 ед. Определить объем
производства первой отрасли и конечный
продукт второй и третьей.

Решение.
Согласно изложенному ранее первая
отрасль входит в первую группу, а вторая
и третья – во вторую группу, тогда

Х
=

,
, Y
=

,

А₁₁
= (0) А₁₂
= (0,1 0,2)

А₂₁
=

А₂₂
=

.

Из
формулы (16) найдем

Х₁= (1 – 0)^-1

[(0,1 0,2) 

+ 8] = 12

Из
формулы (3.17) найдем

Y₂=



–


12 =

.

Таким
образом, валовой выпуск первой отрасли
равен 12 ед., конечный продукт второй и
третьей равен 3,1 ед. и 9,8 ед. соответственно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Задача

Экономика
представлена двумя отраслями производства: промышленностью и сельским
хозяйством. За отчетный период получены следующие данные о межотраслевых
поставках

и векторе объемов конечного использования

Требуется:

Указание:
При вычислениях производить округление с точностью до тысячных.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Матрица прямых затрат

Найдем
валовые выпуски отраслей, просуммировав в каждой строке межотраслевые поставки
и координату вектора

Найдем
матрицу прямых затрат. Ее элементы можно найти по формуле:

Подставляя
числовые значения, получаем:

Матрица «Затраты – выпуск»

Найдем матрицу
«Затраты – выпуск»

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X

Вектор
конечного использования Y для валового объема выпуска X определим на основе
балансового соотношения:

Для этого выполним умножение двух матриц

Матрица полных затрат

Найдем
матрицу коэффициентов полных материальных затрат

-она будет равна обратной матрице

Определитель матрицы

Алгебраические
дополнения:

Обратная матрица:

Вектор валового объема выпуска X для конечного использования Y

Вектор валового объема выпуска

для конечного продукта

определим формуле:

Приросты валовых объемов выпуска

Найдем
приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно изменяться
на

по сравнению с

Матрица полных затрат ресурсов S

Найдем
матрицу полных затрат ресурсов S для заданной матрицы ее прямых затрат M:

Суммарная потребность в ресурсах

Суммарная потребность в ресурсах для вектора Y₀:

Суммарная потребность в ресурсах для вектора Y_n:

Матрицы косвенных затрат и сумма затрат

Найдем
матрицы косвенных затрат первого, второго и третьего порядка

Сумма затрат:

Разность
матриц:

Вектор потребности в продукции

Найдем
вектор потребности в продукции всех отраслей материального производства b_ij
для получения единицы конечного продукта b_j вида. Для этого
просуммируем столбцы матрицы полных затрат:

Это значит, что для производства
единицы конечного продукта в первой отрасли во всех отраслях надо расходовать
продукции на сумму 1,913 ден.ед., для производства единицы конечного продукта
во второй отрасли -на 2,021 ден.ед.

Источник

Перейдем к построению математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:

(1)

Коэффициент aij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффициенты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что

(2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений

следующим образом:

Перенося yi в правую часть, а xi в левую и меняя знаки на противоположные, получаем

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом:

X – AX = Y или (E – A) X = Y,

где Е – единичная матрица n-го порядка;

– матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, которую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа – каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство А – сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

(3)

Для доказательства разделим обе части балансового соотношения

на хj и, выполнив простейшие преобразования, получим

где vj / xj= – доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что >0, так как в процессе производства не может не создаваться новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицательном Y система

X – AX = Y или (E – A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэффициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+…+Аk+… (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k 30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточнения промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести экономическая система, равен Y. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х0 =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X1 =АХ0=АY. Вектор X1 можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х0. Но под обеспечение производства X1 тоже нужна промежуточная продукция: X2 =АХ1 =А2Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х0+Х1+Х2+…+Хk+… = Y+АY+А2Y+…+AkY+… =

= (Е+А+А2+…+Аk+…)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвенную составляющие. Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А2+А3+…+Аk+… относятся к предшествующим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посредство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А2 представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А3 – косвенные затраты второго порядка и т. д.

Пример 1. Рассматривается трехотраслевой МОБ. Известна матрица коэффициентов прямых материальных затрат и задан вектор конечного продукта:

Определить валовое производство X, обеспечивающее заданный конечный продукт.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо составить и решить систему линейных уравнений (Е-А)Х = Y.

Получим соответствующую систему уравнений

Решим систему методом Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где – определитель, который получается из заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Применяя формулы Крамера, получаем решение системы:

Пример 2. Вычислить изменение межотраслевых потоков, если известна матрица коэффициентов полных материальных затрат и задан вектор изменения конечного продукта: