Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости
Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.
Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.
Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.
Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.
Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.
Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.
Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .
Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.
Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x – 3 y + 7 z – 11 = 0 .
По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , – 3 , 7 ) – это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , – 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.
Ответ: n → = ( 2 , – 3 , 7 ) .
Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z – 7 = 0 .
По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z – 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z – 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .
Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .
При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .
Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.
Как найти нормаль к плоскости по 3 точкам?
Простой 1 комментарий
В вашем случае, если у вас есть 3 точки, принадлежащие плоскости
ну а дальше просто подставляете эти значения в формулу выше)))
ЗЫ: остается лишь определится с направлением нормали, которое зависит от соглашения по выбору и предоставлению точек A,B,C, которое к слову вы тут не озвучили.
Уравнения плоскости: общее, через три точки, нормальное
Плоскость, общее уравнение плоскости
Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.
Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат – Ox, Oy и Oz. Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.
Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.
Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:
Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости, имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x, y, z. Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть
.
Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :
.
Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:
. (1)
Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P. Для точки N, не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.
Перед решением задач может пригодиться урок о декартовой системе координат. Также хорошо бы владеть материалом о скалярном произведении векторов.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .
Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:
.
В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 – координаты точки .
Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем
.
Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:
.
Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.
Итак, уравнение вида
(2)
называется общим уравнением плоскости.
Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .
Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.
Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A(0; 0; 6) .
Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B(0; −3; 0) .
И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C(2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) и C(2; 0; 0) строим заданную плоскость.
Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости. Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.
1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0(0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.
2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy, а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz.
3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox (A = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy, а плоскость через ось Oz.
4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy, поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz, а плоскость – плоскости xOz.
5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy, так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz, а уравнение x = 0 – координатную плоскость yOz.
Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку .
Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .
Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:
Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:
Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем
Подставив найденное значение A в уравнение , получим
или .
Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.
Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.
Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.
Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости
(3)
После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:
, ,
и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.
Решение. По формуле (3) имеем:
Получили общее уравнение плоскости
или после деления на -2:
.
Это уравнение, в котором A = 0, т.е. оно определяет плоскость, параллельную оси Ox.
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде
,
где – направляющие косинусы нормали плоскости, – расстояние от начала координат до плоскости.
Нормалью к плоскости называется вектор, направление которого совпадает с направлением прямой, проведённой через начало координат перпендикулярно данной плоскости. (Есть полная аналогия с нормалью к прямой на плоскости, с той лишь разницей, что нормальное уравнение прямой существует в двух измерениях, а нормальное уравнение плоскости – в трёх).
Пусть M – какая угодно точка пространства. Для нахождения отклонения точки M от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить на место x, y и z подставить координаты этой точки.
Это правило позволяет найти и расстояние от точки M до плоскости: расстояние равно модулю отклонения, т.е.
,
так как расстояние не может быть отрицательным числом.
Общее уравнение плоскости
приводится к нормальному виду почленным умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой
.
Знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.
Пример 6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.
Решение. Вычислим нормирующий множитель:
.
Знак нормирующего множителя положительный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим требуемое в условии примера нормальное уравнение плоскости:
.
Пример 7. Вычислить величину отклонения и расстояния от точки до прямой, если точка задана координатами (-2; -4; 3) , а плоскость задана общим уравнением .
Решение. Сначала приведём уравнение плоскости к нормальному виду. Вычислим нормирующий множитель:
.
Знак нормирующего множителя отрицательный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим нормальное уравнение плоскости:
.
Вычислим отклонение точки от плоскости:
Найдём теперь расстояние от точки до плоскости как модуль отклонения:
[spoiler title=”источники:”]
http://qna.habr.com/q/1043348
http://function-x.ru/equations_of_plane.html
[/spoiler]
есть 3 точки нужно найти нормаль плоскости в которой они лежат
-
Вопрос заданболее года назад
-
1527 просмотров
1
комментарий
Решения вопроса 1
@Rsa97
Для правильного вопроса надо знать половину ответа
Нормаль к плоскости вычисляется как векторное произведение двух векторов, задающих плоскость. Для точек A, B, C можно взять векторы AB и AC.
Комментировать
Пригласить эксперта
Ответы на вопрос 1
@samodum
Какой вопрос – такой и ответ
Похожие вопросы
-
Показать ещё
Загружается…
15 мая 2023, в 00:55
15000 руб./за проект
15 мая 2023, в 00:46
1200 руб./за проект
15 мая 2023, в 00:10
2000 руб./за проект
Минуточку внимания
В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.
Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:
Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.
Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.
Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее Oxyz. В ней лежат три точки M с координатами M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.
1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку M1(x1, y1, z1). У нас получается, что нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A, B, C.
Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.
Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.
Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его n→.
Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что n→ будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек M1M2→ и M1M3→. Тогда мы можем обозначить n→ как векторное произведение видаM1M2→·M1M3→.
Поскольку M1M2→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) а M1M3→=x3-x1, y3-y1, z3-z1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:
n→=M1M2→×M1M3→=i→j→k→x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1
Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора n→. Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), основан на таком понятии, как компланарность векторов.
Если у нас есть множество точек M (x, y, z), то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) только в том случае, когда векторы M1M →=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2 →=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 →=(x3-x1, y3-y1, z3-z1) будут компланарными.
На схеме это будет выглядеть так:
Это будет означать, что смешанное произведение векторов M1M→, M1M2→, M1M3→ будет равно нулю: M1M→·M1M2→· M1M3→=0, поскольку это является основным условием компланарности: M1M →=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2 →=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 →=(x3-x1, y3-y1, z3-z1).
Запишем полученное уравнение в координатной форме:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3).
От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.
В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.
Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки
Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.
Есть три точки, не лежащие на одной прямой, с координатами M1(-3, 2, -1), M2(-1, 2, 4), M3 (3, 3, -1). Составьте уравнение плоскости, проходящей через них.
Решение
Используем поочередно оба способа.
1. Найдем координаты двух нужных нам векторов M1M2→, M1M3→:
M1M2→=-1–3, 2-2, 4–1⇔M1M2→=(2, 0, 5)M1M3→=3–3,3-2, -1–1⇔M1M3→=6, 1, 0
Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:
n→=M1M2→×M1M3→=i→j→k→205610=-5·i→+30·j→+2·k→
У нас получился нормальный вектор плоскости, которая проходит через три искомые точки: n→=(-5, 30, 2). Далее нам нужно взять одну из точек, например, M1(-3, 2, -1), и записать уравнение для плоскости с вектором n→=(-5, 30, 2). Мы получим, что: -5·(x-(-3))+30·(y-2)+2·(z-(-1))=0 ⇔-5x+30y+2z-73=0
Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.
2. Используем другой подход. Запишем уравнение для плоскости с тремя точками M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в следующем виде:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Сюда можно подставить данные из условия задачи. Поскольку x1=-3, y1=2, z1=-1, x2=-1, y2=2, z2=4, x3=3, y3=3, z3=-1, в итоге мы получим:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=x-(-3)y-2z-(-1)-1-(-3)2-24-(-1)3-(-3)3-2-1-(-1)==x+3y-2z+1205610=-5x+30y+2z-73
Мы получили нужное нам уравнение.
Ответ: -5x+30y+2z-73.
А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.
У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой размещены три точки с координатами M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1). Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через нее.
Решение
Используем первый способ и начнем с вычисления координат двух векторов M1M2→ и M1M3→. Подсчитаем их координаты: M1M2→=(-4, 6, 2), M1M3→=-6, 9, 3.
Векторное произведение будет равно:
M1M2→×M1M3→=i→j→k→-462-693=0·i⇀+0·j→+0·k→=0→
Поскольку M1M2→×M1M3→=0→, то наши векторы будут коллинеарными (перечитайте статью о них, если забыли определение этого понятия). Таким образом, исходные точки M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1) находятся на одной прямой, и наша задача имеет бесконечно много вариантов ответа.
Если мы используем второй способ, у нас получится:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0⇔x-5y-(-8)z-(-2)1-5-2-(-8)0-(-2)-1-51-(-8)1-(-2)=0⇔⇔x-5y+8z+2-462-693=0⇔0≡0
Из получившегося равенства также следует, что заданные точки M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1)находятся на одной прямой.
Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:
1. Записать уравнение прямой М1М2, М1М3 или М2М3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).
2. Взять точку M4(x4, y4, z4), которая не лежит на прямой М1М2.
3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М1, М2 и M4, не лежащих на одной прямой.
Для того, чтобы однозначно построить плоскость, необходимы три точки, которые не лежат на одной прямой.
Общее уравнение плоскости принимает вид:
Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,
где A,B,C,DA, B, C, D — коэффициенты, задающие плоскость. Они не могут быть одновременно равны нулю.
Здесь будет калькулятор
Составление уравнения плоскости по трем точкам
Текст цитаты
Заголовок Текст цитаты
В случае, когда известны координаты всех трех точек, уравнение плоскости, проходящей через эти точки составляется с помощью определителя:
∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0,
где (x1;y1;z1),(x2;y2;z2),(x3;y3;z3)(x_1;y_1;z_1), (x_2;y_2;z_2), (x_3;y_3;z_3) — координаты точек, через которые проходит данная плоскость, а (x;y;z)(x; y; z) — всевозможные координаты точек этой плоскости.
Составить уравнения плоскости проходящей через три точки с координатами (1;3;0),(5;6;4),(−1;−4;0)(1;3;0), (5;6;4), (-1;-4;0).
Решение
Пусть:
x1=1x_1=1
y1=3y_1=3
z1=0z_1=0
x2=5x_2=5
y2=6y_2=6
z2=4z_2=4
x3=−1x_3=-1
y3=−4y_3=-4
z3=0z_3=0
Составляем определитель:
∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0
∣x−15−1−1−1y−36−3−4−3z−04−00−0∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 5-1 & -1-1 \
y-3 & 6-3 & -4-3 \
z-0 & 4-0 & 0-0 \
end{vmatrix}=0
∣x−14−2y−33−7z40∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 4 & -2 \
y-3 & 3 & -7 \
z & 4 & 0 \
end{vmatrix}=0
28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0 — уравнение искомой плоскости.
Ответ
28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Если дана точка, лежащая на плоскости и вектор нормали к этой плоскости, то сама плоскость задается уравнением:
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0,
где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, принадлежащей плоскости, а (n1;n2;n3)(n_1;n_2;n_3) — координаты вектора нормали к этой плоскости.
Выпишите уравнение плоскости, если даны: координата точки плоскости (8;−2;9)(8;-2;9) и вектор нормали (1;3;5)(1;3;5).
Решение
x0=8x_0=8
y0=−2y_0=-2
z0=9z_0=9
n1=1n_1=1
n2=3n_2=3
n3=5n_3=5
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0
(x−8)⋅1+(y−(−2))⋅3+(z−9)⋅5=0(x-8)cdot 1+(y-(-2))cdot 3+(z-9)cdot 5=0
x−8+3y+6+5z−45=0x-8+3y+6+5z-45=0
x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0 — уравнение плоскости.
Проверка
Чтобы убедиться в том, что задача решена правильно, без ошибок, необходимо в полученное уравнение подставить координаты точки, которые даны в условии задачи:
8+3⋅(−2)+5⋅9−47=08+3cdot(-2)+5cdot9-47=0
0=00=0 — верно, значит ответ правильный.
Ответ
x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0
Уравнение плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через три точки, и уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий заданный нормаль плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости выберите вариант задания исходных данных, введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Рассмотрим цель − вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Так как эти точки не лежат на одной прямой, векторы 
и 
не коллинеарны. Следовательно точка M(x, y, z) лежит в одной плоскости с точками M1, M2, M3 тогда и тольно тогда, когда векторы M1M2, M1M3 и 
компланарны. Но векторы M1M2, M1M3, M1M компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Используя смешанное произведение векторов M1M2, M1M3, M1M в координатах, получим необходимое и достаточное условие принадлежности точки M(x, y, z) к указанной плоскости:
Разложив определитель в левой части выражения, например, по первому столбцу и упростив, получим уравнение плоскости в общей форме, проходящий по точкам M1, M2, M3:
Пример 1. Построить уравнение плоскости, проходящую через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2).
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3) имеет следующий вид:
Подставляя координаты точек A, B, C в (1), получим:
Упростим:
Разложим определитель по первому столбцу:
Упростим выражение:
или
Ответ:
Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2) имеет вид:
Уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий нормаль n
Пример 2. Построить плоскость, проходящую через точку M0(-1, 2, 1) и имеюший нормаль n(1, 4/5, 1).
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормаль n(A, B, C) имеет следующий вид:
Подставляя координаты векторов M0 и n в (2), получим:
или
