Как найти вектор обратной решетки

Обратная решетка и ее свойства

Обратная решетка. Понятия «обратная решетка» и «обратное пространство» занимают особое место в физике дифракции, в кристаллографин и вообще в физике конденсированного состояния. Эти понятия в физике были введены американским физиком и математиком Джо- зайей Уиллардом Гиббсом*. Рассмотрим вначале определение обратной решетки.

Выберем три базисных вектора а, Ь, с, определяющие элементарную ячейку решетки в обычном пространстве кристалла (в прямом пространстве). Тогда вектор трансляции будет иметь вид (1.2)

Здесь т, п, р — целые числа.

Введем новое пространство, в котором определим также три базисных вектора а*, Ь*, с* и вектор трансляции, размножающий решетку:

Здесь h, к, I пока просто целые числа.

Если введенные в (1.4) векторы удовлетворяют тождествам

то векторы а, Ь, с называются векторами прямой решетки, а векторы а*, Ь*, с* — векторами обратной решетки в обратном пространстве. Тогда целые числа h, k, I являются индексами Миллера плоскостей в прямой решетке.

Свойства обратной решетки. Векторы обратной решетки имеют два важных свойства (рис. 1.8).

1. Вектор обратной решетки Н_швсегда перпендикулярен плоскости прямой решетки с индексами (hkl).
2. Модуль вектора обратной решетки Н_ш всегда равен обратной величине межплоскостного расстояния для плоскостей в прямой решетке с индексами (hkl), т. е.

Первое свойство обратной решетки доказывается так. Если две любые прямые линии, лежащие в плоскости, перпендикулярны какому- либо вектору, не лежащему в этой плоскости, то этот вектор обязательно перпендикулярен выбранной плоскости.

Выберем три вектора АВ, СВ, СА, лежащих в плоскости АВС, и определим их величины:

Рис. 1.8. Два свойства обратной решетки:

а — вектор обратной решетки с индексами hkl перпендикулярен плоскостям прямой решетки с индексами Миллера (hkl); б — расстояния между плоскостями прямой решетки с индексами Миллера (.hkl) равны модулю вектора обратной

Из векторной алгебры известно, что два вектора перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Воспользовавшись определением векторов обратной решетки, можно записать

Отсюда следует, что вектор Н перпендикулярен плоскости прямой решетки с индексами (hkl). Рассмотренные свойства векторов обратной решетки делают понятным построение стереографической проекции, когда плоскости заменяются нормалями к плоскостям, т. е. векторами обратной решетки.

Второе свойство обратной решетки также легко доказывается. Выберем в пространстве кристалла любую плоскость АВС с индексами Миллера (hkl) (см. рис. 1.9) Пусть вектор п — единичный вектор нормали к этой плоскости, а вектор R — текущий радиус-вектор точки, лежащей на плоскости АВС. Пусть также а — кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости ЛВС.

Тогда уравнение такой плоскости можно записать в виде

Здесь n — единичный вектор нормали к плоскости;

о — кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости;

где 5 — целое число (например, для плоскости, проходящей через начало координат, 5 = 0); d — межплоскостное расстояние для этой системы плоскостей.

Рис. 1.9. К выводу второго свойства вектора обратной решетки Н:

А, В, С — точки пересечения плоскости с осями координат; R — текущий радиус-вектор любой точки на плоскости; а — расстояние от начала координат

С учетом сделанных пояснений уравнение плоскости (1.6) представимо как

Запишем текущий радиус-вектор любой точки плоскости АВС:

Тогда уравнение плоскости (1.7) можно переписать в виде

В уравнении плоскости (1.8) выражение есть уравнение плоскости АВС. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Для кубической сингонии величина межплоскостного расстояния определяется соотношением

где а — параметр решетки.

Для других сингоний формулы для межплоскостных расстояний приведены в прил. 9 (табл. П.9.10).

Обратное пространство является более общим понятием (в физике конденсированного состояния используются эквивалентные термины: «векторное пространство», «/с-пространство», «пространство дисперсии»). В обратном пространстве разыгрываются все дифракционные явления. Математическим аппаратом, описывающим связь прямого и обратного пространства, является преобразование Фурье (рис. 1.10) — гармонический ряд или интегралы Фурье (более подробно об этом см. в главе 3):

Puc. 1.10. Схематическое изображение связи прямого и обратного пространства

Понятие обратной решетки, введенное выше, — это частный случай обратного пространства. При первом знакомстве эта модель кажется очень абстрактной и сильно усложненным понятием. Однако это не просто удобный способ описания дифракционных явлений: именно в узлах обратной решетки располагаются дифракционные максимумы. Без такого понятия многие дифракционные явления довольно сложно описать. Понятия «обратная решетка», «обратное пространство» проходят красной нитью через всю физику твердого тела (зонная структура вещества, зоны Бриллюэна, Фурье-образ, ^-пространство, дисперсионные зависимости и др.).

Обратная решетка

В физике твердого тела при анализе многих явлений (дифракция, движение электронов в потенциальном поле, рассеяние фотонов), связанных с периодическим расположением частиц, важную и полезную роль играет обратная решетка.

Обратная решетка представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто описать условия протекания того или иного явления в твердом кристаллическом теле.

Между векторами элементарных трансляций и периодами обратной решетки существует вполне определенная связь.

Пусть в кристаллической решетке элементарная ячейка определяется тремя элементарными трансляциями

с (рис. 1.14) [75]. Простейшими плоскими сетками являются сами координатные плоскости. Семейство плоскостей, параллельных векторам Ъ и

с (или, другими словами, плоскости семейства (100)), можно изобразить точкой на конце некоторого вектора а*, перпендикулярного к этим плоскостям. За длину этого вектора примем величину, обратную соответствующему межплоскостному расстоянию d _0Q = |Оа 11. Здесь Оп — проекция вектора а на нормаль к плоскости (100). Длину вектора а* можно определить из условия

Рис. 1.14. К выводу связи между параметрами прямой и обратной решеток

Кроме того, вектор а* откладывается вдоль нормали к плоскости так, чтобы для наблюдателя, смотрящего вдоль направления а*, вращение от b к

F совершалось по часовой стрелке. В векторном виде эти условия записываются тремя скалярными произведениями:

Два других вектора Ь* и с* определяют, исходя из сеток на других координатных плоскостях:

Проведем три вектора а*, Ь* и с* из какой-либо произвольной точки, кото рую назовем началом координат обратного пространства. Точечная решетка, построенная на этих векторах, является обратной решеткой для исходной (прямой) решетки кристалла.

Пусть объем элементарной ячейки прямой решетки У_яч, тогда

откуда в соответствии с соотношениями (1.1)—(1.3)

Углы между каждой парой векторов а*, 6*, с* обозначим о*, /3*, 7*. Они равны по величине двугранным углам триэдра, построенного на векторах 7Г, 6 , с, и могут быть вычислены из углов Q, /3, 7 между векторами прямой решетки по формулам:

Если в кристаллической решетке все углы прямые, то векторы элементарных трансляций а*, Ь*, с* обратной решетки параллельны векторам а , b ,

с прямой решетки и обратны им по величине. К этому результату можно прийти из формулы (1.5). Действительно, в этом случае объем элементарной ячейки У_яч = аЬс, а векторное произведение [6 с ] = be. Поэтому а* = 1/а.

Объем элементарной ячейки обратной решетки равен:

откуда

Таким образом, объем элементарной ячейки обратной решетки V* есть величина, обратная объему элементарной ячейки кристалла. Это соотношение является общим и применимо ко всем кристаллическим решеткам, в том числе и к непрямоугольным.

Любой вектор обратной решетки г* hkl = На* + Kb* + Lc* перпендикулярен плоскости (HKL) прямой кристаллической решетки, а длина его является величиной, обратной межплоскостному расстоянию:

Итак, прямая и обратная ячейки взаимно сопряжены. Если для описания кристаллической решетки вместо принятой вначале выбрать другую элементарную ячейку, то для элементарной ячейки обратной решетки получится также другая группа из трех векторов, но в целом решетка, построенная таким образом, будет идентична первой. Это следует из прямой связи между любым вектором одной решетки с одним только семейством плоскостей другой вне зависимости от координатных осей. Соответствие между двумя решетками, их взаимосвязь не зависят от выбора элементарной ячейки.

Решетка, обратная обратной решетке, является исходной (прямой) решеткой.

Каждый узел [[HKL]]* обратной решетки соответствуют семейству параллельных плоскостей (HKL) прямой решетки.

Обратная решетка сама является (по отношению к конкретной решетке Бравэ) решеткой Бравэ. Так, для примитивной кубической ячейки Бравэ со стороной а обратной является примитивная кубическая ячейка Бравэ со стороной 1 /а. Обратная к гранецентрированной есть объемноцентрированная решетка, а прямой объемноцентрированной соответствуют обратная гранецентрированная. Это утверждение будет доказано в одной из задач, приведенных в конце этой главы.

Зонные структуры Si и Ge, изображенные на рис. 31, вычерчены в обратном пространстве кристалла. Кое-что о k-пространстве было сказано, но этого явно недостаточно для отчетливого понимания закона дисперсии E(k). Существует несколько десятков пространственных конфигураций атомов: как выглядят их решетки, как найти обратные им, как применить теорию групп для их расчета, как учесть структурный фактор в гамильтониане? Ведь мы не касались вопросов составления ЛКАО-матрицы и не знаем, почему, собственно, ряд матричных элементов в ней равны нулю; есть параметры E_xx и E_xy, но почему-то отсутствуют E_zz, E_yy, E_xz и E_yz. Видимо, это как-то связано с симметрией электронных оболочек и устройством кристаллической решетки, но как?

Не все мы сможем рассказать, поскольку наша цель состоит не в том, чтобы всесторонне осветить задачи физики полупроводников, а в том, чтобы в выгодном свете представить теорию групп, обслуживающую эту самую физику полупроводников. Конечно, мы постараемся приложить максимум усилий для того, чтобы физическая сторона рассматриваемых явлений была понятна читателю, однако главная задача состоит в том, чтобы убедительно продемонстрировать эффективность конструктивной математики, к которой, в частности, принадлежит и теория групп. Будущие специалисты по материалам полупроводниковой техники для уяснения каких-то непонятных им вопросов материаловедения должны будут, очевидно, обратиться все же к литературе, ограниченный список которой приведен и в конце нашего учебника. Итак, обратное пространство кристалла, что это такое и как его найти.

Если узлы прямой решетки определить равенством

то узлы обратной решетки определятся равенством

причем базисные векторы обоих пространств ортогональны и нормированы. Последнее означает, что выполняется условие:

Из последних равенств немедленно вытекает связь между базисными векторами прямого и обратного пространства:

, , .

На рис. 32 показаны 14 пространственных решеток Браве; кубические — простая (P), объемоцентрированная (I) и гранецентрированная (F) для специалистов по материалам полупроводниковой техники являются особенно важными. Прямыми вычислениями можно убедиться, что обратная решетка для простой кубической (ПК) есть также ПК решетка; объемоцентрированной кубической решетке (ОЦК) отвечает гранецентрированная решетка (ГЦК), и наоборот; наконец, для гексагональной плотноупакованной решетки (ГПУ) обратной является опять же ГПУ.

К примеру, ГЦК — решетка определяется следующими тремя векторами:

Найдем по предыдущим формулам вектора обратной решетки, для чего сначала определим произведения векторов, стоящие в числителе и знаменателе дробей:

;

, ,

— три вектора определяют узлы ОЦК ячейки.

Процедуру вычисления векторов обратной решетки можно упростить, если прибегнуть к матрицам. Пусть координаты прямой ГЦК решетки a_i будут записаны элементами матрицы A, тогда обратная матрица A –1 = B укажет на координаты обратной ОЦК решетки b_i:

, .

К понятию обратной решетки можно прийти и другим путем. Если рассмотреть разложение какой-либо одномерной периодической функции f (r) = f (r + R), где R — пространственный период прямого пространства, в ряд Фурье:

то здесь появляется структурный фактор S(K), для которого K есть радиус-вектор, пробегающий узлы обратной решетки. Так как exp (iKR) = 1, структурный фактор найдется через интеграл:

где Ω — объем элементарной ячейки прямой решетки, по которой и производится интегрирование. Поскольку обратная решетка определяется через коэффициенты преобразования Фурье, то k-пространство часто называют Фурье-пространством. Если в элементарной ячейке содержится N атомов с координатами ai, то распределение атомов в ней можно описать через δ-функцию:

В пределах элементарной ячейки R = 0, следовательно, суммирование производится только по атомам с координатами a_i, а структурный фактор сводится не к интегралу, а к простой сумме:

Для ГЦК с координатами

структурный фактор приобретает следующий конкретный вид:

Наиболее важные полупроводники, кремний и германий, имеют решетку алмаза, в которой присутствуют еще четыре атома с координатами:

Если начало координат выбрано не на атоме, а посередине между двумя атомами, то можно показать, что структурный фактор алмаза связан со структурным фактором ГЦК решетки по формуле:

Большая группа полупроводников, составленных из атомов III и V группы, II и VI группы Периодической таблицы Менделеева, например: GaAs, GaP, GaSb, InAs, InP и т.д., имеют решетку цинковой обманки (ZnS). Пространственная решетка ZnS, куда входят уже два рода атомов, теряет центр симметрии и структурный фактор становится антисимметричным:

На рис. 33 показаны элементарные ячейки: а) Cu, б) W, в) Mg, г) алмаза, д) NaCl, е) CsCl, ж) ZnS, з) ZnO, и) NiAs, к) CaF, л) CuAu, м) Cu3Au. Для каждой из них, в соответствии со структурным фактором, можно построить элементарные ячейки обратной решетки. Важно уметь строить одну-единственную элементарную ячейку, поскольку закон дисперсии E_n(k) приводится только для нее одной, и здесь на первый план выдвигается понятие зоны Бриллюэна (ЗБ). Первую ЗБ определяют как область в обратном пространстве, окружающую один из узлов обратной решетки и ограниченную набором плоскостей, проходящих через середины векторов, соединяющих в обратной решетке данную точку с ее ближайшими соседями.

На рис. 34 показана первая ЗБ для двумерной косоугольной решетки; на рис. 35 вычерчены уже десять ЗБ для двумерной квадратной решетки. Точно таким же половинным делением расстояния между двумя узлами определяется ЗБ в трехмерном пространстве. На рис. 36а приведены базисные векторы ОЦК решетки, а на рис. 36б — первая ЗБ, имеющая форму правильного ромбододекаэдра. На рис. 37 приведены первых четыре ЗБ для ГЦК решетки. На рис. 38 указаны симметричные точки (Г, L, Λ, Δ, …) первой ЗБ для ГЦК решетки, представляющая собой полуправильный многогранник Архимеда — усеченный октаэдр. Симметричные точки можно видеть на энергетических зонах, рассчитанных ЛКАО-методом (рис. 31а).

На рис. 39 вычерчены ЗБ для всех 14 решеток Браве, показанные в прямом пространстве на рис. 32. Соответствия между ЗБ и решетками Браве следующие: а) триклинная, б) моноклинная Р, в) моноклинная С, г) ромбическая Р, д) ромбическая С, е) ромбическая I, ж) ромбическая F, з) тетрагональная Р’, и) тетрагональная I, к) тригональная R, л) гексагональная Р, м) кубическая Р, н) кубическая F, о) кубическая I. Поскольку выбор ячеек может быть осуществлен несколькими способами, то существует и несколько вариантов ЗБ; поэтому для 14 решеток Браве вычерчено 22 ЗБ.

[spoiler title=”источники:”]

http://ozlib.com/884468/tehnika/obratnaya_reshetka

http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/km27.htm

[/spoiler]

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 22 октября 2013 года; проверки требуют 13 правок.

У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка.

Обратная решётка — точечная трёхмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие обратной решётки удобно для описания дифракции рентгеновских лучей, нейтронов и электронов на кристалле. Обратная решётка (обратное пространство, импульсное пространство^[en]) является Фурье-образом прямой кристаллической решётки (прямого пространства).

Определение[править | править код]

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки: кристаллическая решётка и обратная решётка. Можно определить векторы прямой ${displaystyle mathbf {a_{1}} ,mathbf {a_{2}} ,mathbf {a_{3}} }$ и обратной ${displaystyle mathbf {b_{1}} ,mathbf {b_{2}} ,mathbf {b_{3}} }$ решёток. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решётки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решётки [длина]⁻¹. Кристаллическая решётка — это решётка в обычном, реальном пространстве; обратная решётка — решётка в пространстве Фурье.

В кристаллографии обратная решётка состоит из множества векторов K, таких, что

${displaystyle e^{imathbf {K} cdot mathbf {R} }=1}$

для всех векторов R, указывающих на положение узлов кристаллической решётки.

Для бесконечной трёхмерной решётки, характеризующейся базисными векторами ${displaystyle (mathbf {a_{1}} ,mathbf {a_{2}} ,mathbf {a_{3}} )}$ , её обратная решётка задаётся тройкой базисных векторов обратной решётки ${displaystyle (mathbf {b_{1}} ,mathbf {b_{2}} ,mathbf {b_{3}} )}$ , связанных с базисными векторами прямой решётки соотношением ${displaystyle mathbf {a_{j}} cdot mathbf {b_{k}} =mathbf {b_{k}} cdot mathbf {a_{j}} =2pi delta _{jk}=left{{begin{matrix}2pi ,&j=k\0,&jneq kend{matrix}}right.}$ и вычисленных по формулам

${mathbf {b_{{1}}}}=2pi {frac {{mathbf {a_{{2}}}}times {mathbf {a_{{3}}}}}{{mathbf {a_{{1}}}}cdot ({mathbf {a_{{2}}}}times {mathbf {a_{{3}}}})}}$

${mathbf {b_{{2}}}}=2pi {frac {{mathbf {a_{{3}}}}times {mathbf {a_{{1}}}}}{{mathbf {a_{{2}}}}cdot ({mathbf {a_{{3}}}}times {mathbf {a_{{1}}}})}}$

${mathbf {b_{{3}}}}=2pi {frac {{mathbf {a_{{1}}}}times {mathbf {a_{{2}}}}}{{mathbf {a_{{3}}}}cdot ({mathbf {a_{{1}}}}times {mathbf {a_{{2}}}})}}$

Вышеупомянутое определение называют физическим определением, так как множитель 2π возникает естественно из исследования периодических структур. Эквивалентное кристаллографическое определение возникает, если вектора обратной решётки подчиняются следующему соотношению
${displaystyle e^{2pi imathbf {K} cdot mathbf {R} }=1}$ ,
которое изменяет формулы для нахождения векторов обратной решётки:

${displaystyle mathbf {b_{1}} ={frac {mathbf {a_{2}} times mathbf {a_{3}} }{mathbf {a_{1}} cdot (mathbf {a_{2}} times mathbf {a_{3}} )}}}$

и аналогично для других векторов.
Кристаллографическое определение выгодно тем, что определяет ${displaystyle mathbf {b_{1}} }$ как обратную величину ${displaystyle mathbf {a_{1}} }$ в направлении ${displaystyle mathbf {a_{2}} times mathbf {a_{3}} }$ , без множителя 2π. Это может упростить определённые математические манипуляции и выражает взаимные измерения решётки в единицах пространственной частоты. Это вопрос удобства, какое определение векторов обратной решётки использовать, конечно не смешивая их.

Другими словами, каждую систему плоскостей можно полностью задать вектором обратной решётки b, который перпендикулярен плоскостям и равен по величине b = 2π/d, где d — межплоскостное расстояние. Это можно считать определением векторов обратной решётки.

Кристаллографическое определение базиса в векторной алгебре называется взаимным базисом и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных с углами между векторами и смешанным произведением^[1]^:212-214.

Обратная решётка используется для определения индексов плоскости. Любой кристаллографической плоскости отвечает набор векторов обратной решётки, при этом коэффициенты разложения кратчайшего вектора по единичным векторам обратной решётки являются индексами плоскости.

Примечания[править | править код]

↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Источники[править | править код]

Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. — М.: Наука, 1979. — 640 с.

Источник

Каждой кристаллической
структуре соответствуют две решетки ‑
прямая кристаллическая решетка и
обратная
решетка, которая
строится следующим образом:

1) если обычная
прямая решетка построена на векторах
трансляций

,
,
,
то оси обратной к ней решетки

,
,

определяются как векторные произведения:

; (4.1)

2)
осевые
параметры обратной решетки

,
,

равны обратным величинам межплоскостных
расстояний плоских сеток прямой решетки,
нормальных к этой оси.

Каждой плоскости
(hkl)
прямой
решетки отвечает в обратной решетке
узел [[hkl]]*.
Бесконечному семейству параллельных
плоскостей {hkl}
в пространстве
прямой решетки соответствует в
пространстве обратной решетки бесконечное
семейство точек [[hkl]]*
вдоль направления, нормального к этим
плоскостям. Расстояния этих точек от
точки, принятой за начало координат в
обратном пространстве, равны 1/d,
2/d,
3/d,…,
где d
= d_hkl
‑ расстояние
между плоскостями {hkl}
в прямой
решетке (рис. 11).

Рис. 11. Прямая
(а) и
обратная (б)
решетки

Зоне плоскостей
прямой решетки отвечает сетка из точек
(узлов) обратной решетки, причем ось
зоны прямой решетки нормальна к плоскости
сетки обратной решетки. Наконец, прямой
пространственной решетке из плоскостей
{hkl}
отвечает обратная трехмерная решетка
из точек [[hkl]]*.
Основные векторы

,
,

обратной решетки определяются векторными
произведениями (4.1) или скалярными
произведениями:

а*а =b*b
= с*с = 1, а*b
= а*с = b*с
= b*а
= с*b
= с*а = 0. (4.2)

Из равенств (4.1)
видно, что вектор

нормален к плоскости векторов

и
т.д. Тройка векторов

,
,

выбирается так, чтобы они, как и векторы

,
,
,
составляли правую тройку.

Векторы

,
,

представляют собой площадки элементарных
параллелограммов в координатных
плоскостях прямой решетки, а по абсолютному
значению они обратно пропорциональны
межплоскостным расстояниям прямой
решетки:

(4.3)

(в знаменателе ‑
смешанное произведение векторов).

Прямая и обратная
решетки сопряжены взаимно, т.е.
решетка,
построенная
на осях

,
,
,
является обратной по отношению к решетке

,
,
,
а решетка, построенная на векторах

,
,
,
‑ обратной по отношению к решетке

,
,
.

Основные
свойства обратной решетки

1. Вектор

обратной решетки перпендикулярен
плоскости (hkl)
прямой
решетки, а длина этого вектора равна
обратной величине расстояния d
между
плоскостями {hк1}
прямой
решетки, т.е.

. (4.4)

2. Объем V*
элементарной
ячейки обратной решетки равен обратной
величине объема V
элементарной
ячейки прямой решетки (и обратно):

;
. (4.5)

Можно
показать, что кубической
объемно-центрированной решетке
соответствует обратная кубическая
гранецентрированная.

Миллеровские
индексы системы параллельных
плоскостей прямой решетки
являются координатами ряда обратной
решетки.

Физический
смысл обратной решетки

Понятие об обратной
решетке вводится
в основном для описания периодического
распределения отражающей
способности кристалла по отношению
к рентгеновским лучам.

Отражение
рентгеновских лучей от плоскостей
структуры кристалла описывается формулой
Вульфа — Брэгга (см. вывод формулы
Вульфа-Брэгга, стр. 9)

где
λ
‑ длина волны рентгеновского излучения,
θ
‑ угол, дополнительный до
90° к углу падения (или к углу отражения),
d
‑
межплоскостное расстояние для семейства
параллельных отражающих
плоскостей, п
‑ порядок
дифракционного спектра.

Из условия Вульфа
‑ Брэгга следует, что при постоянной
λ,
большому d
отвечает
малый угол θ,
т. е. чем больше межплоскостное расстояние,
тем ближе направления отраженных лучей
к направлению падающего пучка. Отражения
рентгеновских лучей от бесконечно
протяженных идеальных кристаллов должны
быть точечными.

Каждый узел обратной
решетки соответствует возможному
отражению от плоскостей прямой решетки
кристалла. Направление вектора обратной
решетки H^*_hkl совпадает
с направлением отражения от плоскостей
{hkl},
а n-й
узел обратной
решетки в этом ряду отвечает отражению
n-го
порядка от этих плоскостей.

На основании
представления об обратной решетке
Эвальдом дано построение, позволяющее
наглядно геометрически истолковать
пространственное распределение отражений
рентгеновских лучей от кристалла.
Построение Эвальда дает возможность
решать основную задачу рентгеноструктурного
анализа: определять, возникнут ли
дифрагированные лучи и в каких
направлениях, если на кристалл падает
пучок рентгеновских лучей с длиной
волны λ.

Рис. 12. Построение
Эвальда

усть рентгеновский пучок
падает на кристалл в направлении CO
(рис. 12), CN ‑ направление
r^*_hkl,
т. е. нормаль к плоскостям
{hkl}.

Примем точку О
за начало
координат обратной решетки и проведем
из точки С
сферу радиусом
1/λ
‑ так
называемую сферу отражения, или сферу
Эвальда. Если сфера Эвальда пройдет
через другой узел А
обратной
решетки, то направление СА
есть возможное
направление дифрагированного луча
данной падающей волны. В самом деле,

ОС = АС= 1/λ, ОN
= АО/2 =
п/(2d),
,

отсюда получаем
уже известную нам формулу

Таким образом,
закон Вульфа ‑ Брэгга удовлетворяется
для любого узла обратной решетки,
находящегося на сфере Эвальда.

Вывод формулы
Вульфа-Брегга

Рис. 13. К выводу
условия Вульфа – Брэгга

Грани кристаллического
многогранника соответствуют определенным
сеткам структуры, поэтому углы между
гранями отвечают углам между плоскими
сетками в структуре кристалла. Теперь
эти углы измеряют с помощью рентгенограмм,
для чего не обязательно иметь большой
кристалл с правильной внешней огранкой,
а достаточно крупинки кристаллического
вещества. Поскольку длины волны
рентгеновского излучения соизмеримы
с межатомными расстояниями в кристаллических
структурах, кристаллы являются природными
дифракционными решетками. Именно с
помощью дифракции рентгеновских лучей
было доказано решетчатое строение
кристаллов (М. Лауэ, 1912). Схема, поясняющая
дифракцию, дана на рис. 3: S₀
‑ пучок монохроматических рентгеновских
лучей, падающих под углом θ
на семейство параллельных атомных
плоскостей, S ‑ пучок
дифрагированных лучей. Дифрагированные
лучи усиливают друг друга, если согласно
условию интерференции разность хода Δ
между ними равна целому числу длин волн,
т.е.

Δ=nλ (n = 1,2,3,
…)

Из чертежа видно,
что разность хода между падающим и
дифрагированным лучами равна

Δ=
РО +
OQ
= 2РО
= 2dsinθ.

Чтобы волны,
рассеянные двумя соседними плоскими
сетками (а значит, и всем семейством
параллельных плоских сеток), дали
максимум интенсивности, необходимо
выполнение основного закона дифракции
рентгеновских лучей в кристаллах:

2dsinθ
= пλ (n = 1, 2, 3,
…) (*)

Это равенство
выражает условие
Вульфа —
Брэгга.

Иначе говоря, если
луч с длиной волны λ,
падает на совокупность параллельных
атомных плоскостей, отстоящих друг от
друга на расстояний d,
то он порождает
дифрагированный луч, идущий так, как
шел бы луч, отраженный под углом θ.
Таким образом, при определенных углах
падения плоские сетки в структуре
кристалла могут «отражать» рентгеновские
лучи. Эти отражения (точнее, максимумы
интенсивности дифрагированных лучей)
можно зарегистрировать на фотографической
пластинке с помощью ионизационного
спектрометра. Симметричный, закономерный
узор на рентгенограмме, например рис.
4, отображает симметрию и закономерность
структуры кристалла и дает возможность
измерять расстояния между атомными
плоскостями и углы между ними, которые
на многогранных формах кристаллов
являются углами между гранями. По
рентгенограммам на основании условия
(*) можно изучать структуры кристаллов,
находить межплоскостные расстояния d,
диагностировать
кристаллические вещества.

Рис.14. Рентгенограмма
кристалла.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Обратная решетка и ее свойства

Обратная решетка