Как найти вектор относительной скорости

Вектор скорости и ускорения материальной точки и их модули. Пример решения задач.

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Сложное движение точки. Пример решения задачи

Теория, применяемая для решения приведенной ниже задачи, излагается на странице “Сложное движение точки, теорема Кориолиса”.

Условие задачи

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 6 t 2 – 3 t 3 . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO 1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = 40( t – 2 t 3 ) – 40 ( s – в сантиметрах, t – в секундах). Расстояние b = 20 см . На рисунке точка M показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s 0 точка M находится по другую сторону от точки A ).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t 1 = 1 с .

Указания. Эта задача – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка M на пластине в момент времени t 1 = 1 с , и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунке к задаче).

Решение задачи

Дано: b = 20 см , φ = 6 t 2 – 3 t 3 , s = |AM| = 40( t – 2 t 3 ) – 40 , t 1 = 1 c .

Определение положения точки

Определяем положение точки в момент времени t = t 1 = 1 c .
s = 40( t 1 – 2 t 1 3 ) – 40 = 40(1 – 2·1 3 ) – 40 = –80 см.
Поскольку s 0 , то точка M ближе к точке B, чем к D.
|AM| = |–80| = 80 см.
Делаем рисунок.

Определение абсолютной скорости точки

Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Определение относительной скорости точки

Определяем относительную скорость . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дифференцируя s по времени t , находим проекцию скорости на направление BD :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
см/с.
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительной скорости
vот = 200 см/с .
Изображаем вектор на рисунке.

Определение переносной скорости точки

Определяем переносную скорость . Для этого считаем, что точка M жестко связана с пластиной, а пластина совершает заданное движение. То есть пластина вращается вокруг оси OO1. Дифференцируя φ по времени t , находим угловую скорость вращения пластины:
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
.
Поскольку 0″ style=”width:48px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position:-583px -267px”> , то вектор угловой скорости направлен в сторону положительного угла поворота φ , то есть от точки O к точке O1. Модуль угловой скорости:
ω = 3 с -1 .
Изображаем вектор угловой скорости пластины на рисунке.

Из точки M опустим перпендикуляр HM на ось OO1.
При переносном движении точка M движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H .
|HM| = |HK| + |KM| = 3 b + |AM| sin 30° = 60 + 80·0,5 = 100 см ;
Переносная скорость:
vпер = ω|HM| = 3·100 = 300 см/с .

Вектор направлен по касательной к окружности в сторону вращения.

Определение абсолютной скорости точки

Определяем абсолютную скорость . Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Проводим оси неподвижной системы координат Oxyz . Ось z направим вдоль оси вращения пластины. Пусть в рассматриваемый момент времени ось x перпендикулярна пластине, ось y лежит в плоскости пластины. Тогда вектор относительной скорости лежит в плоскости yz . Вектор переносной скорости направлен противоположно оси x . Поскольку вектор перпендикулярен вектору , то по теореме Пифагора, модуль абсолютной скорости:
.

Определение абсолютного ускорения точки

Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса), абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
– кориолисово ускорение.

Определение относительного ускорения

Определяем относительное ускорение . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дважды дифференцируя s по времени t , находим проекцию ускорения на направление BD :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
см/с 2 .
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительного ускорения
aот = 480 см/с 2 .
Изображаем вектор на рисунке.

Определение переносного ускорения

Определяем переносное ускорение . При переносном движении точка M жестко связана с пластиной, то есть движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H . Разложим переносное ускорение на касательное к окружности и нормальное ускорения:
.
Дважды дифференцируя φ по времени t , находим проекцию углового ускорения пластины на ось OO 1 :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
с –2 .
Поскольку , то вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то есть от точки O1 к точке O. Модуль углового ускорения:
ε = 6 с -2 .
Изображаем вектор углового ускорения пластины на рисунке.

Переносное касательное ускорение:
a τ пер = ε |HM| = 6·100 = 600 см/с 2 .
Вектор направлен по касательной к окружности. Поскольку вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то направлен в сторону, противоположную положительному направлению поворота φ . То есть направлен в сторону оси x .

Переносное нормальное ускорение:
a n пер = ω 2 |HM| = 3 2 ·100 = 900 см/с 2 .
Вектор направлен к центру окружности. То есть в сторону, противоположную оси y .

Определение кориолисова ускорения

Кориолисово (поворотное) ускорение:
.
Вектор угловой скорости направлен вдоль оси z . Вектор относительной скорости направлен вдоль прямой |DB| . Угол между этими векторами равен 150° . По свойству векторного произведения,
.
Направление вектора определяется по правилу буравчика. Если ручку буравчика повернуть из положения в положение , то винт буравчика переместится в направлении, противоположном оси x .

Определение абсолютного ускорения

Абсолютное ускорение:
.
Спроектируем это векторное уравнение на оси xyz системы координат.

;

;

.
Модуль абсолютного ускорения:

.

Абсолютная скорость ;
абсолютное ускорение .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-01-2016

Основные понятия кинематики. Скорость. Средняя скорость. Относительная скорость. Сложение перемещений и скоростей

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Этот урок посвящён разделу физики, который называется кинематика. Мы узнаем, что изучает кинематика, основные понятия этого раздела. Также на этом уроке будут подробно показаны решения трёх типовых задач различной сложности, которые взяты из сборника задач для подготовки к единому государственному экзамену. Задачи на нахождение средней и относительной скорости.

[spoiler title=”источники:”]

http://1cov-edu.ru/mehanika/kinematika/slozhnoe-dvizhenie-tochki-reshenie-zadachi/

http://interneturok.ru/lesson/physics/11-klass/podgotovka-k-ege/osnovnye-ponyatiya-kinematiki-skorost-srednyaya-skorost-otnositelnaya-skorost-slozhenie-peremescheniy-i-skorostey

[/spoiler]

Чтобы получить точное представление о движении двух объектов относительно друг друга относительная скорость является важным. Поэтому в этой статье мы подробно поговорим об относительной скорости между двумя объектами.

Относительная скорость — это, по сути, скорость одного объекта по отношению к другому. Рассмотрим следующие два объекта, А и В, которые движутся с разными скоростями. Скорость объекта А по отношению к объекту В или наоборот называется относительной скоростью. Он также известен как скорость изменения относительного положения одного объекта по отношению к другому с течением времени.

Как найти относительную скорость двух тел?

🠊 Техника определения скорости объекта требует определения скорости изменения положения объекта по отношению к неподвижному окружающему объекту.

Когда объекты A и B находятся в относительном движении, их соответствующие скорости также будут в относительном движении. Чтобы получить относительную скорость объекта A по отношению к B, нужно математически придать равную и противоположную скорость B как объекту A, так и объекту B, чтобы привести объект B в состояние покоя.

В результате равнодействующая обеих скоростей (скорости объекта А и Б) дает нам относительную скорость объекта А относительно объекта Б.

Уравнения относительной скорости следующие:

Скорость объекта А относительно объекта В можно рассчитать следующим образом:

Vab V =a – Vb

Скорость объекта B относительно объекта A можно рассчитать следующим образом:

Vba V =b – Va

Из двух выражений мы можем вывести следующее:

Vab  = – Vba

Однако обе величины равны математически и могут быть представлены как:

|Vab |= |Вba|

Какова относительная скорость между двумя телами, когда они движутся с одинаковой скоростью в одном направлении?

🠊 Когда два тела А и В движутся в одном направлении с одинаковой скоростью, угол между ними равен 0°.

относительная скорость между двумя объектами

Предположим, что два транспортных средства A и B движутся в одном направлении, т. е. параллельно друг другу, с одинаковой скоростью или скоростью (поскольку они движутся в одном направлении), т. е. Va V =b.

В результате скорость автомобиля А относительно автомобиля В равна:

Vab V =a – Vb = 0

Аналогичным образом, скорость транспортного средства B относительная к транспортному средству А:

Vba V =b – Va = 0

Это означает, что если два объекта двигаться в одном направлении с одинаковой скоростью или скорость, их относительная скорость становится равной нулю. Это демонстрирует, что другой может казаться покоящимся для одного объекта.

Построение графика положение-время для двух объектов, движущихся в одном направлении с одинаковой скоростью, приводит к прямым параллельным линиям, как показано на графике ниже.

Какова относительная скорость между двумя телами, когда они движутся с разными скоростями в одном направлении?

🠊 Если два транспортных средства, A и B, движутся в одном направлении с разными скоростями, в первую очередь следует рассмотреть два сценария:

(1) Начальные точки одинаковы (Va > Vb):

Если два транспортных средства движутся с разными скоростями в одном направлении с одной и той же начальной точкой и Va > Vb, человек в транспортном средстве B воспринимает транспортное средство A как удаляющееся от него со скоростью:

Vab V =a – Vb

Транспортное средство B движется назад к пассажиру в транспортном средстве A со скоростью:

Vba V =b – Va = -( Вa – Vb) = -Vab 

В результате обе скорости имеют одинаковую величину, но противоположные знаки.

(2) Различные отправные точки:

Мы можем думать о двух сценариях здесь:

(i) Предположим, что транспортное средство A имеет более высокую скорость, чем транспортное средство B, т. е. Va > Vb, и следует за автомобилем B. 

В этой ситуации транспортное средство A в конечном итоге догонит транспортное средство B, как показано на их графике положение-время.

Vab V =a – Vb ≠ 0

(ii) Рассмотрим ситуацию, когда Va > Vb и автомобиль А движется впереди автомобиля В.

В этом случае транспортное средство B никогда не сможет обогнать транспортное средство A.. Графики положения и времени обоих транспортных средств не будут пересекаться по мере их удаления друг от друга.

Vab V =a – Vb ≠ 0

Какова будет относительная скорость двух тел, когда они движутся в противоположных направлениях?

🠊 Угол, образованный двумя телами, движущимися в противоположных направлениях по прямой, называется 180°.

Рассмотрим два автомобиля А и В, движущихся в противоположных направлениях по прямой. 

В результате скорость автомобиля А относительно автомобиля В равна:

Vab V =a -(- Вb) = Вa +V

Скорость транспортного средства B по отношению к A аналогична:

Vba V =b-(- Вa) = Вa +V

В результате можем написать:

Vab V =ba

Это указывает на то, что если два объекта движутся в противоположных направлениях по прямой линии, кажется, что каждый объект движется очень быстро по сравнению с другим.

Какова относительная скорость, когда два тела движутся под углом?

🠊 Рассмотрим пример относительной скорости, который возникает, когда два объекта, A и B, движутся под углом со скоростями Va и Vb.

&

Диагональ даст нам относительную скорость, если мы построим параллелограмм, как показано на рисунке. В результате величина диагонального вектора параллелограмма или относительная скорость с использованием закона косинусов составляет:

Но Cos(180°-𝛳) = -Cos𝛳

Когда два объекта движутся под углом, приведенное выше уравнение дает нам их относительную скорость. Мы также можем вывести случай того же направления и случай противоположного направления из этого уравнения, изменив значение угла на 0° и 180° соответственно.

Однако, как показано на изображении, если вектор относительной скорости Vab образует угол ꞵ со скоростью объекта A, то

Но Sin(180°-𝛳) = Sin𝛳

Или,

Важность относительной скорости:

Важность относительной скорости резюмируется ниже:

  • Рассчитать скорость звезд и астероидов относительно Земли.
  • Для измерения расстояния между любыми двумя объектами в пространстве.
  • Чтобы запустить ракету.
  • Для определения скорости любого объекта.
  • Это помогает нам, когда объект движется через жидкость.

Проблемы, связанные с относительной скоростью:

1. Автомобиль, едущий по шоссе со скоростью 110 км/ч, проезжает мимо автобуса, идущего со скоростью 85 км/ч. Какова скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса?

Данный:

Скорость автомобиля Vc = 110 км/ч

Скорость автобуса Vb = 85 км/ч

Найти:

Относительная скорость автомобиля относительно автобуса Vcb знак равно

Решение:

Поскольку автомобиль и автобус едут в одном направлении, относительная скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса равна:

Vcb V =c – Vb = (110 -85)км/ч = 25 км/ч

Таким образом, скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса составляет 25 км/ч.

2. Две машины, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 150 м/с и 200 м/с по прямой дороге. С какой скоростью они приближаются друг к другу?

Данный:

Скорость автомобиля 1 В1 = 150 м / с

Скорость автомобиля 2 В2 = 200 м / с

Найти:

Относительная скорость вагона 1 относительно вагона 2 V12 знак равно

Относительная скорость вагона 2 относительно вагона 1 V21 знак равно

Решение:

Так как оба автомобиля едут в противоположном направлении, относительная скорость:

V12 V =1 + V2 = (150 + 200) м/с = 350 м/с

Кроме того,

V21 V =1 + V2 = (150 + 200) м/с = 350 м/с

В результате два автомобиля движутся навстречу друг другу с относительной скоростью 350 м/с.

Резюме:

  • Скорость одного объекта по отношению к другому объекту просто называется относительной скоростью этих двух объектов.
  • Рассмотрим два объекта, которые движутся в одном направлении. В этой ситуации величина относительной скорости одного объекта по отношению к другому будет равна разнице в величине их скоростей.
  • Если два объекта движутся в одном направлении и с одинаковыми скоростями, их относительная скорость будет ноль.
  • Предположим, что любые два объекта движутся в противоположном направлении. В этом случае величина относительной скорости одного объекта по отношению к другому окажется суммой величины их скоростей.

Содержание:

  1. Сложное движение точки
  2. Абсолютный, относительный и переносной движения точки
  3. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки
  4. Теорема о сложении ускоренного в сложном движении точки (Теорема Кориолиса *)
  5. Кориолисово ускорения
  6. Правило Жуковского
  7. Примеры решения задач на сложное движение точки
  8. Сложное движение точки и решение задач
  9. Порядок решения задач на сложное движение точки
  10. Примеры решения задач
  11. Задание темы К4 (сложное движение точки)
  12. Пример решения задания темы К4
  13. Сложное движение точки образцы и примеры
  14. Относительное, переносное и абсолютное движение точки
  15. Относительные, переносные и абсолютные скорости и ускорение
  16. Сложение скоростей и ускорений при сложном движении точки
  17. Примеры решения задач
  18. Абсолютное, относительное и переносное движение точки
  19. Центральная операция кинематики и динамики. Абсолютная и относительная производные по времени от вектора функции
  20. Теорема о сложении скоростей
  21. Теорема о сложении ускорений
  22. Вращательное и осевое ускорение в случае вращения тела вокруг неподвижной оси
  23. Ускорение Кориолиса
  24. Случаи превращения в ноль ускорения Кориолиса
  25. Физические причины возникновения ускорения Кориолиса
  26. Сложное движение материальной точки. Относительное, переносное и абсолютное движение материальной точки
  27. Теорема о сложении скоростей в сложном движении материальной точки
  28. Теорема Кориолиса
  29. Модуль, направление и физические причины возникновения  ускорения Кориолиса
  30. Методика решения задач на сложное движение материальной точки

Сложное движение точки – это такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в двух или нескольких движениях. Примером сложного движения могут служить: движение пассажира. перемещающегося в вагоне движущегося поезда; движение человека, перемещающегося по лестнице движущегося эскалатора.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Сложное движение точки

Сложное движение точки – это такое движение, при котором точка участвует одновременно в двух или нескольких движениях. Примеры сложного движения точки (тела): лодка, переплывающая реку; человек, идущий по движущемуся эскалатору; камень подвижной кулисы, поршень качающегося цилиндра; шары центробежного регулятора Уатта. Для описания сложного движения точки или для представления движения в виде сложного используются неподвижная система отсчета, связанная с каким-либо условно неподвижным телом, например, с Землей, и подвижная система отсчета, связанная с каким-либо движущимся телом.

Абсолютный, относительный и переносной движения точки

В разделе 2 изучалось движение точки по отношению к системе координат (системы отсчета), которую считали условно неподвижной. В то же время, рассматривая многие задачи механики, целесообразнее, а в некоторых случаях просто необходимо, проводить исследования движения точки одновременно по отношению в двух (или более) систем отсчета, из которых одна считается неподвижной, а другая (другие) движется определенным образом по отношению к ней.

Движение точки по отношению к нескольким системам отсчета называется сложным.

Например, в сложном движении находятся поршень двигателя движущегося автомобиля; груз, который поднимается краном, одновременно перемещается вдоль направляющих и поворачивается вокруг своей вертикальной оси; движение человека по вагону подвижного состава.
В этом разделе будем рассматривать движение точки относительно двух систем отсчета.
Рассмотрим движущееся тело А, которое в отдельных случаях будем называть переносной средой, в отношении которого движется точка М, которая не принадлежит телу (рис. 7.1). С телом А неизменно свяжем систему координат Сложное движение точки которая движется относительно другой системы Сложное движение точки которую условно считаем неподвижной.

Сложное движение точки

Система координат Сложное движение точкиназывается подвижной системой отсчета, а система Сложное движение точкинеподвижной системе отсчета. Заметим, что неподвижную систему отсчета очень часто связывают с поверхностью Земли или неподвижными объектами на ней.
Поскольку точка М движется относительно двух систем отсчета, то ее движение, по определению, будет сложным. Введем основные понятия и обозначения в случае сложного движения точки.
Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютным движением. Уравнения абсолютного движения точки можно записать в виде:

Сложное движение точки

Траектория, скорость и ускорение точки в абсолютном движении называются абсолютной траекторией, скоростью и ускорением точки. Абсолютные скорость и ускорение будем обозначать Сложное движение точкииСложное движение точки
Движение точки М относительно подвижной системы отсчета Сложное движение точки называется
относительным движением точки, а траектория, скорость и ускорение – относительной траекторией, скоростью и ускорением. Относительные скорость и ускорение обозначают Сложное движение точки и Сложное движение точки(от латинского relativus – относительный). Уравнения относительного движения точки имеют вид:

Сложное движение точки

Движение подвижной системы отсчета (а значит и тела А) относительно неподвижной
является для точки М переносным движением. Скорость и ускорение той точки тела А, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется соответственно переносной скоростью и переносным ускорением точки в этот момент. Переносная скорость и ускорение обозначаются Сложное движение точки и Сложное движение точки (от латинского emporter – переносить).

В приведенном выше примере о человеке, что перемещается в вагоне подвижного состава, с вагоном можно связать подвижную систему координат, а с поверхностью Земли – неподвижную. Тогда движение вагона будет переносным, движение человека относительно вагона – относительным, а движение человека относительно поверхности
Земли – абсолютным. Переносной скоростью и переносным ускорением человека будет скорость и ускорение той точки вагона, в которой в заданный момент находится человек.
Основная задача кинематики сложного движения точки заключается в том, чтобы, зная кинематические характеристики относительного и переносного движений, найти соответствующие им характеристики абсолютного движения.

Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки

Теорема. В сложном движении точки ее абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим движение точки М (рис. 7.1) относительно подвижной системы отсчета Сложное движение точки связанной с телом А. Для общего случая, движение тела А рассмотрим как движение свободного твердого тела. Следовательно, точка М находится одновременно в двух движениях: относительном – относительно тела А и переносном – вместе с телом. Абсолютным движением точки М будет ее движение относительно неподвижной системы отсчета Сложное движение точки Напомним, что поскольку переносным движением является свободное движение твердого тела, то его можно рассматривать, согласно § 6.1 раздела 6, как совокупность поступательного движения вместе с полюсом (Точка Сложное движение точки ) и сферического вокруг полюса. Сферическую составляющую в каждый момент времени можно заменить (§ 5.1) вращением тела, а значит и подвижной системы координат Сложное движение точки вокруг мгновенной оси Сложное движение точкипроходящей через
точку Сложное движение точкис угловой скоростью переносного движения Сложное движение точки
Положение точки М в подвижной системе координат Сложное движение точки определяется радиусом-вектором Сложное движение точки в неподвижной – радиусом-вектором Сложное движение точкиа положение начала подвижной системы координат (точка Сложное движение точки) относительно начала О неподвижной – радиусом-вектором Сложное движение точкиВо время движения точки М между радиусами-векторами Сложное движение точкии Сложное движение точкисогласно рис. 7.1 справедлива зависимость

Сложное движение точки

Если координаты точки М в подвижной системе отсчета обозначить через Сложное движение точки а орты осей этой системы – Сложное движение точки то

Сложное движение точки

и тогда 

Сложное движение точки

Абсолютная скорость точки М равна производной по времени от радиусавектораСложное движение точкичто определяет ее положение в абсолютном движении. дифференцируя зависимость (7.5) и учитывая, что ортыСложное движение точкименяют свое направление в пространстве, получим

Сложное движение точки

Изменение направлений ортов Сложное движение точки происходит от вращения осей подвижной системы отсчета вокруг мгновенной оси Сложное движение точки с угловой скоростью Сложное движение точкиПоэтому производные по времени от единичных ортов можно рассматривать как скорости концов этих ортов от этого вращения. Согласно формуле (3.17) раздела 3 запишем

Сложное движение точки

После подстановки (7,7) в (7.6) и преобразований с учетом зависимости (7.7), получимСложное движение точки

гдеСложное движение точкискорость точки Сложное движение точки начала подвижной системы координат.

Зависимость (7.8) определяет вектор абсолютной скорости точки М. Проведем ее анализ.
Поскольку в последних трех слагаемых зависимости (7.8) являются производные по времени от соответствующих уравнений относительного движения точки М (7.2), то согласно с (2.18) они являются проекциями вектора относительной скорости точки на оси
подвижной системы координат

Сложное движение точкиа сумма трех слагаемых выражает вектор относительной скорости точки М

Сложное движение точки

Покажем, что первые две слагаемых зависимости (7.8) определяют вектор переносной скорости точки М. Действительно, переносная скорость точки, по определению, это скорость точки, неизменно связанной с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Такой точкой в нашем случае является точка М тела А, находящегося в свободном движении. А по формуле (6.3) скорость этой точки равна сумме скорости полюса Сложное движение точкии вращательной скорости вокруг мгновенной
оси Сложное движение точкито есть

Сложное движение точки

Учитывая (7.9) и (7.10), зависимость (7.8) перепишем в виде

Сложное движение точки

то есть абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей. Теорема доказана.
Следует заметить, что в случае, когда переносным движением является движение свободного твердого тела, то переносная скорость сама определяется диагональю
параллелограмма, построенного на векторах скорости полюсаСложное движение точки и скорости точки от вращения вокруг него Сложное движение точки Если же переносное движение поступательное, то зависимость (7.10) принимает вид

Сложное движение точки

В случае вращательного переносного движения Сложное движение точкигде Сложное движение точки– вектор, проведенный из любой точки на оси вращения к точке М.
Исходя из того, что в общем случае абсолютная скорость точки М определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах Сложное движение точкии Сложное движение точкимодуль абсолютной скорости точки можно получить по формуле

Сложное движение точки

Замечания. Если точка М находится в n движениях, то абсолютная скорость точки М равна векторной сумме векторов скоростей составляющих движенийСложное движение точки

Теорема о сложении ускоренного в сложном движении точки (Теорема Кориолиса *)

Теорема. В сложном движении точки ее абсолютное ускорение равно векторной сумме переносного, относительного и кориолисового ускоренний.

Доказательство. Вектор абсолютного ускорения точки М равна

Сложное движение точки

и для его определения продифференцируем зависимость (7.6) по времени.
После возведения соответствующих членов, получимСложное движение точки

Учитывая формулы (7.7),Сложное движение точки

Превратим зависимость (7.14), используя зависимости (7.5), (7.7), (7.9) и (7.15). Получим формулу, выражающую вектор абсолютного ускорения точки МСложное движение точки

где Сложное движение точкиускорения начала подвижной системы координат.

Проведем анализ зависимости (7.16).
Учитывая, что переносным движением в нашем случае является движение свободного твердого тела, то соответственно формуле (6.10) первые три слагаемых формулы (7.16) является вектором переносного ускорения точки

Сложное движение точки

Поскольку в выраженииСложное движение точкиесть вторые производные по времени от соответствующих уравнений относительного движения (7.2), то согласно (2.34) это выражение является вектором относительного ускорения точкиСложное движение точки

Итак, мы установили механический смысл первых шести слагаемых зависимостях (7.16). Но, как видим, в формулу для вектора абсолютного ускорения точки М входит еще одно слагаемое.

Выражение Сложное движение точки

называется вектором кориолисового или поворотного ускорения точки М.
Подставляя формулы (7.17), (7.18) и (7.19) в (7.16), получим

Сложное движение точки

Теорема доказана.
В случае поступательного переносного движенияСложное движение точки а потому переносное ускорение точки М равна ускорению начала подвижной системы отсчета, то есть Сложное движение точки
И одинаковое для всех точек переносного среды. Кроме этого, кориолисово ускорения в этом
случае также равна нулюСложное движение точки и зависимость (7.20) принимает вид

Сложное движение точки

Замечания. Относительные скорость и ускорение определяются в относительной системе отсчета по правилам кинематики точки: по координатного способа – через проекции на оси декартовой системы координат, как вторые производные от уравнений относительного движения точки (7.2) при натуральном способа – через проекции на оси натурального трехгранника относительной траектории.
Переносная скорость и ускорение определяются методами кинематики твердого тела. Если система Сложное движение точки движется поступательно или вращается вокруг неподвижной оси, то используются методы раздела 3. В случае плоского движения переносного среды следует применить правила раздела 4, а для более сложных движений (сферический движение, движение свободного твердого тела) необходимо использовать методы, изложенные в
разделах 5 и 6. Методы определения кориолисового ускорения рассмотрены ниже.

Кориолисово ускорения

Кориолисовым ускорением называется составляющая абсолютного ускорения точки в ее сложном движении, равна удвоенному векторном произведения вектора переносной угловой скорости на вектор относительной скорости этой точки.
В начале выясним физические причины появления кориолисового ускорения. Как известно, вектор ускорения характеризует изменение вектора скорости как по величине, так и по направлению. Так, переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости, а относительное -относительной скорости в соответствующих движениях точки М. Какие же изменения и которых кинематических характеристик движения точки, при ее сложном движении, характеризует кориолисово ускорения? Для ответа на этот вопрос рассмотрим движение точки М, равномерно перемещается вдоль радиуса платформы, которая равномерно вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости платформы (рис. 7.2).

В этом случае переносным движением будет вращения платформы с Сложное движение точкиСложное движение точки
относительным движением – прямолинейное движение точки вдоль радиуса
с Сложное движение точки

Сложное движение точки

Пусть в момент времени Сложное движение точки точка занимала положение М, для которого векторы
переносной и относительной скоростей Сложное движение точкии Сложное движение точкиЗа промежуток времени Сложное движение точки платформа вернулась на некоторый уголСложное движение точки а точка переместилась из положенияСложное движение точкии в
момент времениСложное движение точки векторы переносной и относительной скоростей будут соответственно Сложное движение точки

Поскольку относительное движение равномерное прямолинейный, то относительное ускорение Сложное движение точки то есть за промежуток времени Сложное движение точкивектор Сложное движение точки должен не измениться, а быть постоянным. Однако, как видно из рисунка, за время Сложное движение точки вектор относительной
скорости Сложное движение точки изменил свое направление от Сложное движение точкиЭто изменение вектора относительной
скорости состоялась за счет переносного движения.
Учитывая, что переносное движение – равномерное вращениеСложное движение точкии Сложное движение точкито за промежуток времени Сложное движение точки не должна состояться изменение величины переносной скорости (это изменение характеризует вращательное ускорение, которое в нашем случае равна нулю 0). Сложное движение точки Но, как видно из рис. 7.2, величина переносной скорости меняется от Сложное движение точкиСложное движение точкиОчевидно, что изменение вызвано перемещением точки с положения Сложное движение точки которое произошло за счет относительного движения точки.
Итак, появление кориолисового ускорения обусловлена ​​взаимным влиянием переносного и относительных движений.

Ускорение Кориолиса характеризует изменение направления относительной скорости, обусловленной переносным движением, и величины переносной скорости за счет относительного движения.
Модуль кориолисового ускорения, исходя из (7.19), равна

Сложное движение точки

Рассмотрим случаи отсутствия кориолисового ускорения точки.
Из формулы (7.22) следует, что Сложное движение точкиесли:
1) Сложное движение точки то есть, когда переносное движение поступательное или угловая скорость переносного вращения равна нулю (в моменты, когда направление вращательного движения меняется на противоположный)
2) Сложное движение точкито есть в те моменты времени, когда относительная скорость равна нулю (например, в моменты времени, когда вектор Сложное движение точкименяет свое направление на противоположный).

3)Сложное движение точкиесть, когда векторы Сложное движение точкии Сложное движение точкиколлинеарны (параллельные).
Направление вектора кориолисового ускорения определяется согласно правилу векторного произведения двух векторов Сложное движение точкиВо время практического решения задач целесообразно применять правило Жуковского.
 

Правило Жуковского

Чтобы найти направление кориолисового ускорения, необходимо спроектировать вектор относительной скорости Сложное движение точки на плоскость П, перпендикулярную оси переносного вращения, и вернуть эту проекцию Сложное движение точки на угол Сложное движение точки в сторону переносного вращения (рис. 7.3).
Наличием кориолисового ускорения объясняются различные явления, которые происходят на поверхности Земли вследствие ее вращения. так замечено, что для рек, текущих в
северном полушарии, даже на прямолинейных участках, подмываются больше правы, чем левые берега; при аналогичных условиях на железнодорожных дорогах происходит интенсивнее износ правых рельсов колеи по сравнению с левыми. Все эти явления объясняются появлением кориолисова силы инерции, направленной в сторону, противоположную кориолисового ускорению, о чем пойдет речь в части «Динамика».

Сложное движение точки

Примеры решения задач на сложное движение точки

Задача 1. Тележка А мостового крана, перемещает груз С в горизонтальной плоскости, движется по закону Сложное движение точки в метрах, Сложное движение точки -в секундах). Груз С при этом колеблется на подвесе Сложное движение точкидлиной Сложное движение точкипо закону Сложное движение точки Сложное движение точки – в радианах, Сложное движение точки – в секундах). Найти абсолютные скорость и ускорение груза С в момент времени
Сложное движение точки

Сложное движение точки

Решение. Рассмотрим движение груза С, как материальной точки, находится в сложном движении. выберем неподвижную Сложное движение точкии подвижную Сложное движение точкисистемы координат, причем последнюю свяжем с подвижным тележкой (рис. 7.5). Тогда абсолютным движением груза С будет его движение относительно системы Сложное движение точкипереносным – движение подвижной системы Сложное движение точкиотносительно неподвижной Сложное движение точкиили, что одно и тоже, поступательное движение тележки, а относительным движением – колебания груза на подвесе (криволинейное движение
точки С по кругу).

Сложное движение точки

Для определения абсолютной скорости груза используем зависимость (7.11)

Сложное движение точки

Чтобы определить переносную скорость, условно остановим относительное движение груза.
Тогда движение системы тележка-груз на подвесе рассматриваем как поступательное движение одного тела, происходит по закону Сложное движение точки
Переносная скорость определится

Сложное движение точки

Если Сложное движение точки ВекторСложное движение точкинаправленный параллельно оси Сложное движение точки

Чтобы найти относительную скорость груза, условно остановим переносное движение и тогда относительную скорость подсчитаем как скорость точки С при вращении вокруг точки Сложное движение точки (криволинейное движение точки по окружности).

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – относительная угловая скорость, в нашем случае

Сложное движение точки

При Сложное движение точки

Знак минус показывает, что вращение в данный момент времени происходит против положительного направления отсчета угла φ, то есть по часовой стрелки.

Итак,Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точки напрямлений перпендикулярно до Сложное движение точки в сторону напрямку кутової швидкості.

Модуль абсолютной скорости груза С определим по зависимости (7.12)Сложное движение точки

где α – угол между векторамиСложное движение точки и Сложное движение точки

При Сложное движение точки

Сложное движение точки

Тогда Сложное движение точки

Для определения абсолютного ускорения груза С используем зависимость (7.20)

Сложное движение точки

Определим составляющие абсолютного ускорения груза. Методика определение переносного и относительного ускоренного аналогична определения переносной и относительной скоростей. переносное ускорение

Сложное движение точки

Знаки Сложное движение точки и Сложное движение точки одинаковые, поэтому вектор Сложное движение точки совпадает по направлению с Сложное движение точки
Относительное ускорение точки, при ее движении по кругу, равна

Сложное движение точки

Касательное ускорение

Сложное движение точки

где Сложное движение точкиотносительное угловое ускорение.

При Сложное движение точки

Поскольку знаки Сложное движение точкииСложное движение точки одинаковые, то вращение ускоренное, иСложное движение точки
совпадает по направлению с Сложное движение точки
Тогда

Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точкисовпадает по направлению с вектором Сложное движение точки
Нормальное ускорение точки в относительном движении определится зависимостью

Сложное движение точки

и при Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точкинаправленный по Сложное движение точки от точки С до точки Сложное движение точки
В этой задаче переносное движение является поступательным, так кориолисово ускорения равна нулю Сложное движение точкиВеличину абсолютного ускорения груза найдем по его проекциями на оси неподвижной системы координат, учитывая, что при

Сложное движение точки

Проекции абсолютного ускорения груза будут такими

Сложное движение точки

Тогда модуль абсолютного ускорения груза С будет равняться

Сложное движение точки

Задача 2. Прямоугольный треугольник АВС вращается вокруг своего катета АС ривносповильнено с угловым ускорением Сложное движение точки при начальной угловой скорости Сложное движение точкиПо гипотенузе АВ движется точка М по закону Сложное движение точки в сантиметрах, t – в секундах). Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени Сложное движение точки (рис. 7.6).

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Решение. Поскольку точка М одновременно находится в двух движениях, то
ее движение рассматриваем как сложный.
Выберем неподвижную Сложное движение точкии подвижнуюСложное движение точкисистемы координат (рис. 7.7).
Подвижная система связана с треугольником, вращающийся (на рис. 7.7 показана только ось Сложное движение точкитогда переносним рухом буде обертання трикутника навколо катета АС, відносним — прямолінійний рух точки вздовж катета АВ за законом

Сложное движение точки

Абсолютная скорость точки М определится согласно (7.11)

Сложное движение точки

Переносную скорость точки М определим как скорость той точки гипотенузы АВ треугольника, вращающийся с которой в данный момент времени совпадает подвижная точка М. Определим положение точки М на гипотенузе АВ при Сложное движение точки

Сложное движение точки

Переносная скорость равна

Сложное движение точки

где DM – короткая расстояние от точки М до оси вращения АС; Сложное движение точкиугловая скорость вращения треугольника АВС.

Сложное движение точки

Тогда Сложное движение точки

Поскольку траектории переносного движения точки М в данный момент времени
является окружность радиуса DM, то вектор Сложное движение точки будет направлен по касательной к
круга в сторону вращения. Если плоскость треугольника АВС приСложное движение точки совместить с плоскостьюСложное движение точки то вектор Сложное движение точкиОтносительная скорость точки М определится методами кинематики точки и будет равняться

Сложное движение точки

и при Сложное движение точки

ВекторСложное движение точки направлен по гипотенузе АВ в сторону увеличения S.
Поскольку угол между векторами Сложное движение точкии Сложное движение точки равна Сложное движение точки То модуль абсолютной
скорости будет равняться

Сложное движение точки

В случае непоступального переносного движения абсолютное ускорение точки М в сложном движении по формуле (7.20) будет равняться

Сложное движение точки

Переносное движение является вращательным, так переносное ускорение точки М в соответствии с (3.15) определится по формулеСложное движение точки

Вектор Сложное движение точкинаправлен к оси вращения треугольника вдоль радиуса MD, а вектор Сложное движение точки – перпендикулярно к Сложное движение точкив сторону дуговой стрелки углового ускорения Сложное движение точки которое противоположное Сложное движение точки поскольку вращение замедлено.
При прямолинейном относительном движении относительно ускорения точки М имеет только касательную составляющую, равную

Сложное движение точки

Сложное движение точки

векторыСложное движение точки и Сложное движение точки приСложное движение точкисовпадают по направлению.
Модуль кориолисового ускорения определится по зависимости (7.23)

Сложное движение точки

Согласно принятому направлением вращения вектор Сложное движение точкибудет направлен по оси вращения в сторону положительного направления оси Сложное движение точки Поэтому угол между Сложное движение точкии Сложное движение точки равнаСложное движение точки и при Сложное движение точкикориолисово ускорения будет равняться

Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точкисогласно правилу Жуковского, совпадает по направлению с вектором Сложное движение точки
Для нахождения модуля абсолютного ускорения точки М воспользуемся методом проекций. Для этого введем вспомогательную систему координат Сложное движение точки оси которой направлены соответственно по касательной к переносной траектории, по радиусу MD и параллельно оси вращения (Рис. 7.7).

тогда:

Сложное движение точки

Модуль абсолютного ускорения точки М

Сложное движение точки

Сложное движение точки и решение задач

Краткие сведения по теории:

Характер движения существенно зависит от того, в какой системе отсчета (подвижной или неподвижной) рассматривается это движение.

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным.
 

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным.

Движение, которое имеет подвижная система отсчета со всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к условно неподвижной системы отсчета,
называется переносным.

Каждое из этих движений характеризуется своими скоростями и ускорениями.
В соответствии с законами сложения скоростей:

Сложное движение точки

и ускорений:
Сложное движение точки
где Сложное движение точкиабсолютные скорость и ускорение подвижной точки;
Сложное движение точки переносные скорость и ускорение подвижной точки;
Сложное движение точки относительные скорость и ускорение подвижной точки;
Сложное движение точки Кориолисовое ускорение.

Величина Корриолисового ускорения определяется по формуле:
Сложное движение точки
где Сложное движение точки угловая скорость переносного движения;
Сложное движение точки угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки

Вектор Корриолисового ускорения Сложное движение точки направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы угловой скорости Сложное движение точки и относительной скорости Сложное движение точки в ту сторону, откуда наблюдатель видит наименьший поворот вектора Сложное движение точки к вектору Сложное движение точкипротив движения часовой стрелки.

Поскольку в случае плоского движения тела угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точкиравняется Сложное движение точки то:
Сложное движение точки
При плоском движении направление Сложное движение точки можно определить по правилу Жуковского Н.Е.: на направление Кориолисового ускорения укажет вектор относительной скорости Сложное движение точкиесли его повернуть в плоскости расположения на Сложное движение точки в сторону переносной угловой скорости Сложное движение точки
 

В случае, если переносное движение является поступательным Сложное движение точки

Если переносные и относительные движения являются криволинейными, переносными и относительными ускорениями можно изобразить в виде геометрических сумм соответствующих нормальных и касательных ускорений:
Сложное движение точки

Порядок решения задач на сложное движение точки

При решении задач на сложное движение точки рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1. Разложить движение точки на составляющие, определить абсолютное, относительное и переносное движения.

2. Выбрать две системы координат: абсолютную (неподвижную) и относительную (подвижную).

3. Мысленно остановить переносное движение, определить скорость и ускорение точки в относительном движении.

4. Мысленно остановить относительное движение, определить угловую скорость переносного движения, скорость и ускорение точки в переносном движении.

5. По известным угловым скоростям переносного движения и скоростью точки в относительном движении найти величину и направление кориолисового ускорения точки.

6. Используя метод проекций, определить проекции абсолютного ускорения и абсолютной скорости на оси неподвижной системы координат.

7. По определенным проекциям, найти модули и направления абсолютной скорости и абсолютного ускорения.

Примеры решения задач

Задача 1

Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости, против хода часовой стрелки с угловой скоростью Сложное движение точки в/c. По хорде диска от точки K к L движется точка M.
Определить модуль и направление корриолисового ускорения точки M в изображенном на рис. 1 положении, если относительная скорость Сложное движение точки

Сложное движение точки

Решение. Точка M движется в плоскости диска которая перпендикулярна к оси вращения, то есть угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки составляет Сложное движение точки

Учитывая Сложное движение точки модуль ускорения Кориолиса равняется:
Сложное движение точки

Поскольку вектор относительной скорости находится в плоскости перпендикулярной к оси вращения, то для определения направления ускорения Кориолиса согласно правилу
Жуковского надо повернуть вектор Сложное движение точки по направлению  угловой скорости Сложное движение точки переносного движения на угол Сложное движение точки (Рисс.1).

Задача 2

Определить модуль и направление корриолисового ускорения точки M, которая движется по производной ВN кругового конуса от вершины В к точке N. Конус вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Сложное движение точки в/с.  в направлении. показанном на рисунке, угол наклона производной к оси конуса Сложное движение точки относительная скорость точки Сложное движение точки

Сложное движение точки

Решение. Отложим вектор угловой скорости Сложное движение точки переносного вращательного движения по оси вращения в сторону, с которой вращение видно против хода часовой стрелки. Относительную скорость Сложное движение точкинаправим от точки M до точки N. Тогда угол между
векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки(Рис.1) составит:
Сложное движение точки

Модуль ускорения Кориолиса точки M равен:
Сложное движение точки

Сложное движение точки

Чтобы найти направление ускорения Кориолиса (рис.1), спроектируем вектор относительной скорости Сложное движение точки на плоскость S, перпендикулярную оси вращения конуса.

Проекция относительной скорости Сложное движение точки направленная по прямой МК, которая является продолжением радиуса СМ.
Повернув проекцию Сложное движение точки в направлении вращения конуса на угол Сложное движение точки устанавливаем, что вектор Сложное движение точки кориолисового ускорения направлен по касательной к кругу радиусом СМ в сторону вращения конуса.

Задача 3

По хорде АВ диска, что вращается от точки А до точки В (рис.1) движется точка М, согласно уравнению Сложное движение точкиугол поворота диска изменяется по закону Сложное движение точки

Определить абсолютные скорости и ускорение точки М в момент времени, когда она находится на расстоянии Сложное движение точки от оси вращения диска (рис.1).

Сложное движение точки

Решение. В данной задачи переносным движением будет вращение диска по закону
Сложное движение точки и относительным – движение точки по хорде АВ по закону Сложное движение точки

Запишем уравнение для определения абсолютной скорости точки М:
Сложное движение точки

Для определения относительной скорости остановим переносное вращение диска и будем рассматривать движение точки по отношению к неподвижному диску.

Поскольку закон относительного движения Сложное движение точки величина относительной скорости определяется как первая производная от пути по времени:
Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точки относительной скорости направлен по хорде АВ (рис. 1) от точки А до точки В.

Переносной скоростью Сложное движение точки точки М будет скорость той точки диска, с которой в данный момент совпадает точка М.

Из условия задачи следует, что точка М в данный момент времени находится посередине хорды АВ на расстоянии Сложное движение точки от оси вращения диска.

Переносная скорость вращающегося движения определяется по формуле:
Сложное движение точки
где Сложное движение точки– угловая скорость переносного вращательного движения.

Угловую скорость переносного вращательного движения найдем как первую производную от угла поворота Сложное движение точки по времени:
Сложное движение точки в/с.
Таким образом, переносная скорость вращательного движения равна:
Сложное движение точки

Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно радиусу OM в сторону вращения диска.

Поскольку векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки направленны вдоль одной прямой в разные стороны (рис. 1), то для определения абсолютной скорости от операции векторного сложения скоростей можно перейти к их алгебраическому сложению.

Тогда:
Сложное движение точки

В зависимости от абсолютных значений скоростей Сложное движение точки и Сложное движение точкивектор Сложное движение точки будет направлен или в сторону Сложное движение точки или в сторона Сложное движение точки

Определить абсолютное ускорение точки M. Поскольку переносное движение является вращательным, то абсолютное ускорение точки равно:
Сложное движение точки

Модуль относительного ускорения определим как производную от относительной скорости по времени:
Сложное движение точки
Направленный вектор Сложное движение точки вдоль хорды AB от точки A до точки B (рис.2).
Переносное ускорение Сложное движение точки точки диска, которая совпадает с точкой M, учитывая, что она движется по кругу радиусом h, состоит из переносного тангенциального (касательного) ускорения Сложное движение точки и переносного нормального ускорения Сложное движение точки

Сложное движение точки

Вычислим модули нормального Сложное движение точкии тангенциального Сложное движение точки ускорений:
Сложное движение точки
где Сложное движение точки угловое ускорение переносного вращательного движения.

Переносное нормальное ускорение направлено вдоль радиуса к центру вращения O (рис.2).

Сложное движение точки

Поскольку движение точки M происходит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то ускорение Кориолиса определяется из формулы:
Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса (рис.2) необходимо вектор относительной скорости Сложное движение точки повернуть на Сложное движение точки в сторону угловой скорости Сложное движение точки
переносного вращательного движения, то есть против хода часовой стрелки.

Для определения величины и направления абсолютного ускорения Сложное движение точки сначала добавим векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки которые направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Найдена векторная сумма Сложное движение точкинаправлена перпендикулярно к вектору Сложное движение точки и по модулю равняется
Сложное движение точки
Таким образом, абсолютное ускорение точки M равняется сумме векторов:
Сложное движение точки
Поскольку вектор Сложное движение точки перпендикулярный к вектору Сложное движение точки вектор Сложное движение точки будет изображаться диагональю прямоугольника со сторонами Сложное движение точкии Сложное движение точки (рис.2).

Модуль абсолютного ускорения равняется:
Сложное движение точки

Ответ:  Сложное движение точки

Задание темы К4 (сложное движение точки)

Вдоль стороны AB (см. задачу К3 и рис. К4.1) движется ползун 2, шарнирно
соединённый со стержнем EK, который движется в неподвижных направляющих параллельно оси Сложное движение точки Точка E разделяет сторону AB в пропорции, которую указано в таблице К5 коэффициентом пропорциональности Сложное движение точки

Определить путем построения планов скоростей и ускорений по известным из задачи К3 кинематическим характеристикам движения фигуры АВС абсолютные скорости и
ускорение точек Е и К.

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Пример решения задания темы К4

Изобразим на стороне AB тела 1 (рис.К4.2, а) ползун 2, который соединен шарниром Е со стержнем 3. Ползун 2 может двигаться поступательно по стороне AB, а стержень
3 – поступательно в вертикальных направляющих. Положение шарнира Е на стороне AB определяем по заданному коэффициенту пропорциональности Сложное движение точки
Сложное движение точки
 

1. Анализ движения стержня ЕК

Рассмотрим точку Сложное движение точки принадлежащую одновременно ползуну 2 и стержню 3. Эта точка осуществляет сложное движение, двигаясь как по направляющей AB, так и вместе с фигурой ABC .

Очевидно, скорость и ускорение точки Сложное движение точки в ее поступательном движении вместе со стержнем ЕК относительно неподвижной опоры (которое видит неподвижный наблюдатель) следует считать абсолютным. Обозначим их соответственно Сложное движение точкии Сложное движение точки

Тогда движение точки Сложное движение точки ползуна 2 вдоль направляющей AB будет относительным. Скорость Сложное движение точки и ускорение Сложное движение точки точки Сложное движение точки в относительном движении направлены вдоль стороны AB, поскольку ползун движется относительно стержня поступательно.

Одновременно ползун 2 движется вместе с фигурой ABC . Это движение для точки Сложное движение точки
является переносным. Переносные скорость и ускорение Сложное движение точки следует определить как скорость и ускорение той точки Сложное движение точки фигуры ABC, с которой в данный момент времени совпадает точка Сложное движение точки ползуна 2.

2. Определение переносной, абсолютной и относительной скорости точки Е2

Приняв точку A тела 1, осуществляющую плоское движение, за полюс (рис. К4.2, б), определим скорость точки Сложное движение точки стороны AB используя свойство сходства фигур
ABС тела 1 и abc плана скоростей, в соответствии с какой:

Сложное движение точки

Из этой пропорции определим отрезок Сложное движение точки
Сложное движение точки
Отрезок откладываем на стороне ab фигуры abc плана скоростей (рис.К4.2, б) в направлении от точки “a” до точки “b”. Величине переносной скорости ползуна 2 на
плане будет соответствовать отрезок Сложное движение точки
Сложное движение точки
Запишем уравнение для абсолютной скорости точки Сложное движение точки ползуна 2:
Сложное движение точки
В этом уравнении нам известны:

  • величина и направление переносной скорости Сложное движение точки (из плана скоростей);
  • направление относительной скорости Сложное движение точки (вдоль AB), поскольку ползун 2 движется относительно стержня AB поступательно;
  • направление абсолютной скорости Сложное движение точки (вдоль EК), поскольку ползун 3 движется поступательно в вертикальных направляющих.

Для решения уравнения (2) воспользуемся планом скоростей (рис.К4.2, б). Поскольку согласно уравнению до вектора Сложное движение точки необходимо добавить вектор Сложное движение точкито с точки Сложное движение точки
проведем прямую Сложное движение точки параллельную к AB, а с полюса Сложное движение точки проведем направление абсолютной скорости Сложное движение точки вертикальную прямую. Точка пересечения этих прямых “к” и будет решением уравнения (2), а отрезок Сложное движение точки будет изображать
в масштабе Сложное движение точки абсолютную скорость точек Сложное движение точки и К:
Сложное движение точки

3. Определение переносного и абсолютного ускорения точки Е2

Определить переносное ускорение точки Сложное движение точки ползуна 2.

Из условия сходства фигур ABС тела 1 и abc плана ускорений (рис.К4.2,в) следует, что точка Сложное движение точки(конец вектора ускорения Сложное движение точки) на плане ускорений будет лежать на отрезке ab. При этом расстояние Сложное движение точки может быть найдено из пропорции (1). Поскольку на плане
ускорений Сложное движение точки то:
Сложное движение точки

Сложное движение точки

Тогда отрезок Сложное движение точки будет изображать переносное ускорение точки Сложное движение точки
в масштабе плана ускорений Сложное движение точки
Сложное движение точки
Запишем векторное уравнение для абсолютного ускорения для точки Сложное движение точки ползуна 2:
Сложное движение точки
Определим сначала величину и направление Кориолисового ускорения.

Поскольку движение происходит в плоскости Сложное движение точки то есть угол между векторами относительной скорости Сложное движение точки и угол переносной скорости Сложное движение точки равняется Сложное движение точки то для определения величины Сложное движение точки воспользуемся формулой (4.4): 

Сложное движение точки

Угловая переносная скорость Сложное движение точки равняется угловой скорости тела 1, то есть Сложное движение точки
Величину относительной скорости Сложное движение точки определим из плана скоростей. (рис. К4.2, б). Измерение отрезка Сложное движение точки который на плане скоростей в масштабе Сложное движение точки
изображает Сложное движение точки находим:
Сложное движение точки
Тогда:
Сложное движение точки

Направление Кориолисового ускорения определим по правилу Жуковского Н.Е., для этого вектор относительной скорости  Сложное движение точки что на плане скоростей (рис. К4.2, б) изображается вектором Сложное движение точкиповернем в сторону угловой переносной скорости Сложное движение точки направление которой показано на рис. К4.2,а, на Сложное движение точки (рис. К4.2, г).

Таким образом, в уравнении (3) нам известны:

  • величина и направление переносного ускорения Сложное движение точки
  • величина и направление Корриолисового ускорения Сложное движение точки
  • направление относительного ускорения Сложное движение точки (вдоль AB), поскольку ползун 2 движется относительно стержня AB поступательно;
  • направление абсолютного ускорения Сложное движение точки (вдоль EК), поскольку ползун 3 движется поступательно в вертикальных направляющих.

Все это позволяет нам построить многоугольник ускорений в соответствии с уравнением (3) на плане ускорений, или отдельным чертежом. Учитывая, что величины отрезков, которые будут изображать некоторые ускорения, слишком большие и выходят за пределы чертежа, для нахождения абсолютного ускорения точки Сложное движение точки построим отдельный план ускорений с масштабным коэффициентом:

Сложное движение точки

Сначала из произвольной точки Сложное движение точки (рис. К4.2, д) за направлением  Сложное движение точки(рис. К4.2, в) отложим вектор Сложное движение точки который в масштабе Сложное движение точки будет изображать Сложное движение точки

Сложное движение точки
До этого вектора в направлении Кориолисового ускорения (рис. К4.2, г) добавим вектор Сложное движение точки который в масштабе Сложное движение точки будет изображать Сложное движение точки

Сложное движение точки
Через конец вектора Сложное движение точки параллельно AB проведем направление относительного ускорения Сложное движение точки (перпендикулярно Сложное движение точки или параллельно AB), а через полюс Сложное движение точки направление абсолютного ускорения Сложное движение точки (параллельно ЕК). Точка пересечения “к” этих двух направлений и будет решением уравнения (3), а вектор Сложное движение точкив масштабе Сложное движение точки
будет изображать абсолютное ускорение точек К и Сложное движение точки

Замерив отрезок Сложное движение точки получим:
Сложное движение точки
 

Примечание. Поскольку все построения расчетные графических работ по кинематике К1, К3 и К4 рекомендуется выполнять на бумаге форматом А3, то после выполнения данной курсовой работы ее графическая часть будет иметь вид подобный изображенному на с. 188.

Сложное движение точки

Сложное движение точки образцы и примеры

Сложное или составное движение точки – это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Относительное, переносное и абсолютное движение точки

При исследовании движения точки выбирают некоторую систему отсчета (темы 1 и 2), относительно которой рассматривают движение точки.

В некоторых случаях приходится рассматривать движение точки относительно двух различных систем отсчета. Например, движение пассажира в поезде можно рассматривать как по отношению к поезду, так и по отношению к Земле.

При этом движение одной и той же точки относительно двух различных систем отсчета будет разным. Например, точка обода колеса движущегося железнодорожного вагона относительно Земли пишет циклоиду, а относительно вагона – окружение.

При рассмотрении движения точки по отношению к двум системам отсчета и система, которая в данной задаче условно принята за неподвижную, называется основной системой отсчета (неподвижной), а система, которая движется относительно основной, называется подвижной системой отсчета.

Движение точки относительно основной системы отсчета называется абсолютным движением, а ее движение относительно подвижной системы отсчета – относительным движением.

Пусть есть две системы координат Сложное движение точки и Сложное движение точки и некоторая подвижная точка Сложное движение точки (рис.3.1).

Сложное движение точки

Выберем систему координат Сложное движение точки за основную. Тогда движение системы Сложное движение точки  относительно системы Сложное движение точки будет переносным. Движение точки Сложное движение точки относительно системы Сложное движение точки будет относительным, а движение точки Сложное движение точки относительно системы Сложное движение точки будет абсолютным.

Надо заметить, что переносным движением является движение не самой точки Сложное движение точки, а того тела, с которым связана подвижная система координат Сложное движение точки, тогда как относительное и абсолютное движение является движением самой точки Сложное движение точки, которое рассматривается соответственно относительно подвижной и основной систем отсчета. В переносном движении подвижная система координат может иметь любой вид движения.

Основная задача этого раздела состоит в том, чтобы по известным относительным и переносным движениям определить абсолютное движение точки (движение точки Сложное движение точки относительно системы отсчета Сложное движение точки).

Выбор основной и подвижной систем отсчета, а соответственно, и разделение движения точки на абсолютное и относительное зависит от постановки конкретной задачи. В большинстве случаев за основную систему отсчета принимают систему, которую связано с Землей.

Относительные, переносные и абсолютные скорости и ускорение

Относительной скоростью Сложное движение точки точки называется ее скорость в относительном движении, то есть по отношению к подвижной системе отсчета.

Абсолютной скоростью Сложное движение точки точки называется ее скорость в абсолютном движении, то есть по отношению к основной системе отсчета.

Переносной скоростью Сложное движение точки называется скорость относительно основной системы отсчета той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Аналогично введем понятие относительного, абсолютного и переносного ускорения точки.

Относительным ускорением Сложное движение точкиточки называется ее ускорение в относительном движении, то есть по отношению к подвижной системе отсчета.

Абсолютным ускорением Сложное движение точки точки называется ее ускорение в абсолютном движении, то есть по отношению к основной системе отсчета.

Переносным ускорением Сложное движение точки называется ускорение относительно основной системы отсчета той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Обратим внимание на то, что переносное движение – это движение всей подвижной системы отсчета, то есть некоторого тела, с которым связана подвижная система координат, а переносная скорость и переносное ускорение – это скорость и ускорение конкретной точки этого тела.

Сложение скоростей и ускорений при сложном движении точки

Зависимость между абсолютной, переносной и относительной скоростями точки определяется теоремой сложения скоростей, согласно которой абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей:

Сложное движение точки                          (3.1)

где Сложное движение точки – абсолютная скорость точки;

Сложное движение точки – относительная скорость точки;

Сложное движение точки – переносная скорость.

Для определения относительной скорости точки достаточно мысленно остановить переносное движение и найти по правилам кинематики скорость точки относительно системы отсчета, которая была подвижной.

Для определения переносной скорости – достаточно мысленно остановить относительное движение и найти переносную скорость как скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Зависимость между абсолютным, относительным и переносным ускорением точки при поступательном движении подвижной системы отсчета выражается векторным уравнением:

Сложное движение точки                     (3.2)

где Сложное движение точки – абсолютное ускорение точки;

Сложное движение точки – относительное ускорение точки;

Сложное движение точки – переносное ускорение точки.

Если переносным движением является вращательный, или сложный, то теорема о сложении ускорений приобретает вид:

Сложное движение точки,      (3.3)

где Сложное движение точки – ускорение Кориолиса (поворотное ускорение точки).

3.4. Ускорение Кориолиса

Сложное движение точки.

Модуль ускорения Кориолиса равен:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки.

Ускорение Кориолиса характеризует:

  • изменение модуля и направления переносной скорости точки вследствие ее относительного движения;
  • изменение направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения.

Ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях:

Направление ускорения Кориолиса определяется как направление вектора векторного произведения Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки.

Пусть точка Сложное движение точки (рис.3.2) движется со скоростью Сложное движение точки относительно тела, которое вращается вокруг оси Сложное движение точки с угловой скоростью Сложное движение точки. Если построить в точке Сложное движение точки кроме Сложное движение точки вектор Сложное движение точки, то вектор векторного произведения Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки, то есть вектор ускорения Кориолиса Сложное движение точки, будет направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки в ту сторону, откуда поворот вектора Сложное движение точки к вектору относительной скорости Сложное движение точки на наименьший угол виден против хода часовой стрелки.

Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса удобно пользоваться правилом Жуковского: чтобы найти направление ускорения Кориолиса надо спроектировать относительную скорость точки Сложное движение точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и вернуть в этой плоскости полученную проекцию на Сложное движение точки в сторону переносного вращения (рис.3.3).

Сложное движение точки

Действительно, полученное направление Сложное движение точки (рис.3.3) перпендикулярное плоскости треугольника, который образован относительной скоростью Сложное движение точки и ее проекцией Сложное движение точки‘отн, а эта плоскость совпадает с плоскостью векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки, которой должен быть перпендикулярным вектор ускорения Кориолиса.

Если вектор Сложное движение точки перпендикулярен Сложное движение точки, то есть Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки и соответственно
Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки, то величина ускорения Кориолиса будет равна:

Сложное движение точкиСложное движение точки.               (3.5)

Такой случай возможен, если относительное движение точки происходит в плоскости перпендикулярной оси переносного вращения. В этом случае векторы Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки  взаимно перпендикулярны (рис. 3.4).

Сложное движение точки

Рассмотрим два примера определения модуля и направления ускорения Кориолиса .

Пример 1. Диск вращается вокруг оси, которая перпендикулярна его плоскости, против хода часовой стрелки с угловой скоростью Сложное движение точки. По хорде диска от точки Сложное движение точки к Сложное движение точки движется точка Сложное движение точки.

Определить модуль и направление ускорения Кориолиса точки Сложное движение точки в изображенном на рис. 3.5 положении, если относительная скорость Сложное движение точкиСложное движение точки.

Точка Сложное движение точки движется в плоскости диска которая перпендикулярна оси вращения, то есть угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки составляет Сложное движение точки. Учитывая, что Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки, модуль ускорения Кориолиса равен:

Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки

Поскольку вектор относительной скорости лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения, то для определения направления ускорение Кориолиса согласно правилу Жуковского надо повернуть вектор Сложное движение точки по направлению угловой скорости Сложное движение точки переносного движения на угол Сложное движение точки(рис.3.5).

Сложное движение точки

Пример 2. Определить модуль и направление ускорение Кориолиса точки Сложное движение точки, которая движется по образующей Сложное движение точки кругового конуса от вершины Сложное движение точки к точке Сложное движение точки. Конус вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Сложное движение точки в направлении, показанном на рис.3.6, угол наклона образующей к оси конуса Сложное движение точки, относительная скорость точки Сложное движение точкиСложное движение точки.

Отложим вектор угловой скорости Сложное движение точки переносного вращательного движения по оси вращения в сторону, из которой вращения видно против хода часовой стрелки. Относительную скорость Сложное движение точки направим от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки. Тогда угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки (рис 3.6) составит:

Сложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки

Модуль ускорения Кориолиса точки Сложное движение точки равен:

Сложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки  Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки

Чтобы найти направление ускорения Кориолиса (рис.3.6), спроектируем вектор относительной скорости Сложное движение точки на плоскость Сложное движение точки, которая перпендикулярна оси вращения конуса.

Сложное движение точки

Проекция относительной скорости Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки направлена по прямой Сложное движение точки, которая является продолжением радиуса Сложное движение точки.

Если повернуть проекцию Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки в направлении вращения конуса на угол Сложное движение точки, устанавливаем, что вектор Сложное движение точки ускорения Кориолиса направлен по касательной к окружности радиусом Сложное движение точки в сторону вращения конуса.

Примеры решения задач

Задача №1

Клин Сложное движение точки (рис.3.7) с углом наклона рабочей поверхности Сложное движение точки, который движется поступательно по горизонтальной поверхности со скоростью Сложное движение точки, поднимает стержень Сложное движение точки, который движется в вертикальном направлении.

Сложное движение точки

Найти абсолютную скорость стержня Сложное движение точки.

Решение. Учитывая, что стержень Сложное движение точки в вертикальном направлении будет двигаться прямолинейно поступательно, то достаточно определить скорость любой его точки.

Рассмотрим движение точки Сложное движение точки стержня.

Поскольку точка Сложное движение точки стержня должна все время касаться клина Сложное движение точки, то рассмотрим ее движение как сложное – относительным будет движение точки Сложное движение точки по отношению к клину, а переносным – движение точки Сложное движение точки вместе с клином.

По отношению к клину точка Сложное движение точки стержня может двигаться только вдоль рабочей поверхности Сложное движение точки. Таким образом, относительная скорость Сложное движение точки будет направлена вдоль Сложное движение точки.

Клин Сложное движение точки движется поступательно горизонтальной поверхностью, то есть скорости всех его точек одинаковы. Таким образом, переносная скорость Сложное движение точки точки Сложное движение точки стержня, которая совпадает с точкой Сложное движение точки клина будет равна Сложное движение точки.

Абсолютную скорость точки Сложное движение точки стержня определим из векторного уравнения:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки                 (1)

Для решения векторного уравнения (1) построим параллелограмм на векторах Сложное движение точки и Сложное движение точки (рис.3.7). При построении надо учесть, что Сложное движение точки, как диагональ параллелограмма, должна быть направлена вертикально.

Поскольку угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки прямой, то получим:

Сложное движение точки

Ответ: Сложное движение точки

Задача № 2

Круг радиусом Сложное движение точки (рис.3.8) равномерно вращается в своей плоскости вокруг центра Сложное движение точки по ходу часовой стрелки и делает Сложное движение точки оборотов в минуту. По кругу равномерно в противоположном направлении движется точка Сложное движение точки и делает Сложное движение точки оборотов в минуту.

Сложное движение точки

Найти абсолютное ускорение точки Сложное движение точки.

Решение. Движение точки Сложное движение точки рассмотрим как сложное. Переносным движением будет вращение круга вместе с точкой Сложное движение точки вокруг центра Сложное движение точки, а относительным – движение точки Сложное движение точки по кругу.

Абсолютное ускорение точки Сложное движение точки, учитывая, что переносным будет вращательное движение, равно:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

Поскольку переносное движение вращательное, то переносное ускорение точки круга с которой совпадает точка Сложное движение точки, будет иметь нормальную Сложное движение точки и тангенциальную Сложное движение точки  составляющую.

Учитывая, что при равномерном вращении угловое ускорение Сложное движение точки, тангенциальная составляющая переносного ускорения

Сложное движение точки

Величина переносного нормального ускорения Сложное движение точки определим из формулы:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – угловая скорость круга.

Направлено это ускорение вдоль радиуса от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки (рис.3.8).

Учитывая то, что точка Сложное движение точки по кругу радиуса Сложное движение точки движется равномерно, модуль относительного ускорения будет иметь тоже только одну нормальную составляющую Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки:

Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки

где Сложное движение точки – угловая скорость вращения точки Сложное движение точки по кругу.

Направлено это ускорение от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки (рис.3.8).

Поскольку точка Сложное движение точки движется в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то ускорение Кориолиса определяется по формуле:

Сложное движение точки Сложное движение точки.

Учитывая, что Сложное движение точки Сложное движение точки, достанем:

Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса повернем вектор относительной скорости Сложное движение точки, который направлен по касательной к кругу, в направлении переносной угловой Сложное движение точки на Сложное движение точки (рис.3.8). Таким образом, это ускорение направлено вдоль радиуса от центра вращения Сложное движение точки.

Поскольку все ускорения направлены вдоль одной прямой, то их можно сложить алгебраически:

Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки,

или с учетом выражений для Сложное движение точки, Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки и Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Подставив зависимости для угловых скоростей Сложное движение точки и Сложное движение точки, получим:

Сложное движение точки

Ответ: Сложное движение точки

Задача №3

По хорде Сложное движение точки вращающегося диска от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки движется точка Сложное движение точки согласно уравнению Сложное движение точки, угол поворота диска изменяется по закону Сложное движение точки.

Определить абсолютные скорости и ускорения точки Сложное движение точки в момент времени, когда она находится на расстоянии Сложное движение точки от оси вращения диска (рис.3.9).

Решение. В данной задаче переносным движением будет вращение диска по закону Сложное движение точки, а относительным – движение точки по хорде Сложное движение точки по закону Сложное движение точки.

Запишем уравнение для определения абсолютной скорости точки Сложное движение точки:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

Для определения относительной скорости остановим переносное вращение диска и будем рассматривать движение точки по отношению к неподвижному диску. Поскольку закон относительного движения Сложное движение точки, то величина относительной скорости определяется как первая производная от пути по времени:

Сложное движение точки Сложное движение точки

Вектор относительной скорости направлен по хорде Сложное движение точки (рис. 3.9) от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки.

Сложное движение точки

Переносной скоростью Сложное движение точки точки Сложное движение точки будет скорость той точки диска, с которой в данный момент совпадает точка Сложное движение точки.

Из условия задачи вытекает, что точка Сложное движение точки в данный момент времени находится посередине хорды Сложное движение точки на расстоянии Сложное движение точки от оси вращения диска.

Переносная скорость вращательного движения определяется по формулой:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – угловая скорость переносного вращательного движения.

Угловую скорость переносного вращательного движения найдем как первую производную от угла поворота Сложное движение точки по времени:

Сложное движение точки

Таким образом, переносная скорость вращательного движения равна: 

Сложное движение точки

Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно радиусу Сложное движение точки в сторону вращения диска.

Поскольку векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки направлены вдоль одной прямой в разные стороны (рис. 3.9), то для определения абсолютной скорости от операции векторного сложения скоростей можно перейти к их алгебраическому сложению.

Тогда:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

В зависимости от абсолютных значений скоростей Сложное движение точки и Сложное движение точки, вектор Сложное движение точки будет направлен либо в сторону Сложное движение точки, либо в сторону Сложное движение точки.

Определим абсолютное ускорение точки Сложное движение точки. Поскольку переносное движение является вращательным, то абсолютное ускорение точки равно:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

Модуль относительного ускорения определим как производную от относительной скорости по времени:

Сложное движение точки Сложное движение точки

Направлен вектор Сложное движение точки вдоль хорды Сложное движение точки от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки (рис.3.10).

Сложное движение точки

Переносное ускорение Сложное движение точки точки диска, которая совпадает с точкой Сложное движение точки, учитывая, что она движется по окружности радиусом Сложное движение точки, состоит из переносного тангенциального (касательного) ускорения Сложное движение точки и переносного нормального ускорения Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Вычислим модули нормального Сложное движение точки и тангенциального Сложное движение точки ускорений:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – угловое ускорение переносного вращательного движения.

Переносное нормальное ускорение направлено вдоль радиуса к центру вращения Сложное движение точки (рис.3.10).

Поскольку движение точки Сложное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то ускорение Кориолиса определяется из формулы:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса (рис.3.10) необходимо вектор относительной скорости Сложное движение точки повернуть на Сложное движение точки в бок угловой скорости Сложное движение точки переносного вращательного движения, то есть против хода часовой стрелки.

Для определения величины и направления абсолютного ускорения Сложное движение точки сначала сложим векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки, которые направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Найденная векторная сумма Сложное движение точки направлена перпендикулярно вектору Сложное движение точки и по модулю равнa Сложное движение точки

Таким образом, абсолютное ускорение точки Сложное движение точки равно сумме векторов:

Сложное движение точки Сложное движение точки.

Поскольку вектор от Сложное движение точки перпендикулярен вектору Сложное движение точки, то вектор Сложное движение точки будет изображаться диагональю прямоугольника со сторонами Сложное движение точки и Сложное движение точки (рис.3.10).

Модуль абсолютного ускорения будет равен:

Сложное движение точки

Ответ: Сложное движение точки

Задача №4

В состав механизма Витворта (рис.3.11) входит: кривошип 1, ползун 2 и кулиса 3. Кривошип Сложное движение точки механизма вращается с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки

Сложное движение точки

Определить скорость и ускорение точки Сложное движение точки и угловую скорость и угловое ускорение кулисы 3 механизма в положении,

когда: Сложное движение точки

Решение. Особенность этого механизма заключается в том, что в точке Сложное движение точки между собой соединяются кривошип 1, ползун 2 и кулиса 3 (рис.3.12).

Пересечение Сложное движение точки

Сложное движение точки 

Кривошип 1 и ползун 2 между собой соединены цилиндрическим шарниром, что позволяет ползуну относительно кривошипа возвращаться, а на кулисе 3 параллельно ее оси сделаны направляющие, по которым ползун 2 может двигаться поступательно.

При повороте кривошипа 1 ползун 2 скользит по кулисе 3 и заставляет ее поворачиваться вокруг точки Сложное движение точки. Расстояние от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки на кулисе 3 с поворотом кривошипа 1 меняется.

Такой механизм позволяет преобразовать вращательное движение кривошипа в колебательное движение кулисы, если Сложное движение точки, или в вращательное, с другим законом изменения угловой скорости чем у кривошипа, движение кулисы, если Сложное движение точки.

Таким образом, в точке Сложное движение точки механизма (рис.3.12) будем рассматривать три разные точки: Сложное движение точки, принадлежащая кривошипу 1; Сложное движение точки – ползуну 2 и Сложное движение точки – кулисе 3. Все эти точки лежат одна под второй на рис.3.11.

Перед решением задачи в произвольном масштабе построим схему механизма (рис.3.13,а) для заданного положения кривошипа.

Первой определим скорость точки Сложное движение точки, принадлежащей кривошипу 1, который вращается вокруг точки Сложное движение точки с угловой скоростью Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Направлена скорость Сложное движение точки перпендикулярно Сложное движение точки в сторону вращения кривошипа 1 (рис.3.13, а).

Скорость точки Сложное движение точки, принадлежащей ползуну 2, который соединен с кривошипом 1 шарниром, равна скорости точки Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Для определения скорости точки Сложное движение точки кулисы 3, примем движение ползуна 2 за переносное. Тогда кулиса 3 относительно ползуна 2 может двигаться поступательно и скорость точки Сложное движение точки кулисы 3 относительно точки Сложное движение точки ползуна 2 будет направлена вдоль направляющих, то есть вдоль Сложное движение точки.

Сложное движение точки

Запишем уравнение для скоростей при сложном движении точки Сложное движение точки относительно Сложное движение точки:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – переносная скорость точки Сложное движение точки ползуна, которая в настоящий момент времени совпадает с точкой Сложное движение точки кулисы. Эта скорость уже определена;

Сложное движение точки – относительная скорость точки Сложное движение точки относительно Сложное движение точки. Направлена эта скорость вдоль Сложное движение точки;

Сложное движение точки – абсолютная скорость точки Сложное движение точки кулисы 3. Учитывая, что кулиса 3 вращается вокруг неподвижной точки Сложное движение точки, то эта скорость будет направлена перпендикулярно Сложное движение точки.

Векторное уравнение (1) решим путем построения плана скоростей.

Поскольку направления скорости в правой и в левой части уравнения (1) известны, то из полюса плана скоростей сначала построим правую часть уравнения, а затем левую.

Согласно правой части уравнения (1) с полюса Сложное движение точки (рис.3.13,б) откладываем вектор Сложное движение точки по направлению Сложное движение точки (рис.3.13, а), который в масштабе будет изображать эту скорость. (Поскольку Сложное движение точки, то скорости этих точек на плане будут изображаться одним вектором, то есть на плане скоростей точки Сложное движение точки и Сложное движение точки совпадают). Через точку Сложное движение точки проведем линию Сложное движение точки параллельно Сложное движение точки, вдоль которой от точки Сложное движение точки будет направлен вектор, что будет изображать относительную скорость Сложное движение точки (величина и направление этой скорости неизвестны).

Теперь построим левую часть уравнения (1). Поскольку абсолютная скорость Сложное движение точки направлена перпендикулярно Сложное движение точки, то с полюса Сложное движение точки по этому направлению проводим линию к пересечению в точке Сложное движение точки  с линией Сложное движение точки. Точка пересечения Сложное движение точки будет решением векторного уравнения (1).

Вектор Сложное движение точки на плане скоростей в масштабе изображает абсолютную скорость Сложное движение точки, а вектор Сложное движение точки – относительную скорость Сложное движение точки.

Поскольку на плане скоростей вектор Сложное движение точки перпендикулярен Сложное движение точки, а Сложное движение точки перпендикулярен Сложное движение точки, то угол между этими векторами равен углу между Сложное движение точки и Сложное движение точки на схеме механизма, то есть Сложное движение точки.

Угол при вершине Сложное движение точки плана скоростей будет прямым, поскольку линия Сложное движение точки перпендикулярна Сложное движение точки, а линия Сложное движение точки параллельна Сложное движение точки.

Таким образом треугольник Сложное движение точки на плане скоростей прямоугольный, с углами при вершинах: Сложное движение точки и Сложное движение точки.

Из плана скоростей определяем:

Сложное движение точки или Сложное движение точки

Сложное движение точки или Сложное движение точки

Учитывая, что кулиса 3 вращается вокруг точки Сложное движение точки, то для угловой скорости кулисы Сложное движение точки получим:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – длина кулисы для этого положения механизма. С Сложное движение точки (рис.13.3,а): Сложное движение точки

Поскольку ползун 2 относительно кулисы 3 движется поступательно, то Сложное движение точки.

Для определения направления угловой скорости Сложное движение точки предварительно перенесем вектор Сложное движение точки в точку Сложное движение точки механизма (рис.3.13, а). Угловая скорость Сложное движение точки направлена против хода часовой стрелки.

Определим ускорение точек механизма.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг центра Сложное движение точки с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки, то ускорение точки Сложное движение точки имеет только нормальную составляющую:

Сложное движение точки

Направлено ускорение точки Сложное движение точки вдоль кривошипа к центру вращения Сложное движение точки (рис.3.14, а).

Ускорение точки Сложное движение точки ползуна 2, учитывая, что кривошип и ползун соединены шарниром, равно ускорению точки Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Для ускорения точки Сложное движение точки кулисы 3 запишем векторное уравнение для сложного движения точки, учтя при этом, что движение ползуна 2 принято за переносное

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – абсолютное ускорение точки Сложное движение точки;

Сложное движение точки – переносное ускорение точки Сложное движение точки ползуна, которая в настоящий момент времени совпадает с точкой Сложное движение точки кулисы;

Сложное движение точки – ускорение точки Сложное движение точки относительно Сложное движение точки, направлено по оси кулисы Сложное движение точки;

Сложное движение точки – ускорение Кориолиса точки Сложное движение точки.

Поскольку относительное движение происходит в плоскости, перпендикулярной оси вращения ползуна 2, то ускорения Кориолиса определим из формулы:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – угловая скорость вращательного переносного движения ползуна 2, Сложное движение точки

Сложное движение точки – относительная скорость точки Сложное движение точки относительно Сложное движение точки,

Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса необходимо вектор относительной скорости Сложное движение точки вернуть на Сложное движение точки в сторону переносного вращательного движения, то есть в направлении угловой скорости Сложное движение точки. Направление повернутого вектора (рис.3.13,в), который будет перпендикулярен оси кулисы Сложное движение точки, соответствует направлению ускорения Кориолиса.

С другой стороны, точка Сложное движение точки принадлежит кулисе 3, которая вращается вокруг центра Сложное движение точки. Таким образом, ускорение Сложное движение точки будет иметь две составляющие:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – нормальное ускорение точки Сложное движение точки при ее вращении вокруг точки Сложное движение точки направлено по оси кулисы от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки (рис.3.14,а) и по модулю равно: Сложное движение точки

Сложное движение точки – тангенциальное ускорение точки Сложное движение точки при ее вращении вокруг точки Сложное движение точки, направлено перпендикулярно оси кулисы Сложное движение точки и по модулю равно: Сложное движение точки.

Решим систему векторных уравнений (2, 3) графически, путем построения плана ускорений.

Первым построим векторное уравнение (2). Из произвольного полюса Сложное движение точки (рис.3.14,б) отложим направленный отрезок Сложное движение точки, изображающий ускорение Сложное движение точки и направлен параллельно линии Сложное движение точки от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки.

Длину отрезка Сложное движение точки выберем Сложное движение точки. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равен:

Сложное движение точки

От точки Сложное движение точки отложим вектор Сложное движение точки, который изображает ускорение Кориолиса Сложное движение точки. Направлен этот вектор перпендикулярно оси кулисы Сложное движение точки по определенному ранее направлению (рис.3.13, в).

Длина вектора Сложное движение точки равна:

Сложное движение точки

Через конец вектора Сложное движение точки проводим линию Сложное движение точки, вдоль которой будет направлен вектор Сложное движение точки, который будет изображать относительное ускорение Сложное движение точки. Направление и длина этого вектора неизвестны.

Следующим построим векторное уравнение (3). С полюса Сложное движение точки отложим вектор Сложное движение точки, изображающий нормальное ускорение Сложное движение точки. Направлен этот вектор параллельно оси кулисы Сложное движение точки от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки и имеет длину:

Сложное движение точки

Через конец вектора Сложное движение точки проводим линию Сложное движение точки, вдоль которой будет направлен вектор Сложное движение точки, который будет изображать тангенциальное ускорение Сложное движение точки.

Решением системы (2, 3) будет точка пересечения линий Сложное движение точки и Сложное движение точки, а вектор Сложное движение точки будет изображать ускорение Сложное движение точки.

Из плана ускорений определяем:

Сложное движение точки

Угловое ускорение кулисы 3 и ползуна 2 определим через известное тангенциальное ускорение Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Для определения направления углового ускорения Сложное движение точки надо перенести в точку Сложное движение точки механизма тангенциальное ускорение Сложное движение точки (рис.3.14, а). Угловое ускорение Сложное движение точки направлено против хода часовой стрелки.

Ответ: Сложное движение точки Сложное движение точки

Абсолютное, относительное и переносное движение точки

В кинематике точки, рассматривается движение точки относительно неподвижной системы координат (прямоугольной декартовой или относительно осей натурального трехгранника). Однако часто приходится исследовать движение точки в отношении двух и более систем координат (тел отсчета), из которых одна система координат осуществляет движение относительно другой, условно берется за неподвижную. Например, при изучении роботов-манипуляторов следует вводить несколько систем координат.  Итак, предположим, что система координат Сложное движение точки, неизменно связана с некоторым телом, движется относительно другой системы координат Сложное движение точки, которая условно взята за неподвижную (рис. 9.1).

Движение точки М относительно неподвижной системы координат называется абсолютным, а относительно подвижной системы координат – относительным. Скорости и ускорения точки, рассматриваемые в отношении данных систем, соответственно называются абсолютными и относительными.

Движение подвижной системы координат Сложное движение точки (или неизменно связанного с ней тела G) относительно неподвижной системы отсчета Сложное движение точки, является для подвижной точки переносным движением, то есть это движение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент времени совпадает подвижная точка М. Соответственно скорости и ускорения точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, в которой в данный момент времени находится подвижная точка, называются переносными.

Основной задачей сложного движения точки является установление зависимости между кинематическими характеристиками абсолютного, переносного и относительного движений. Уравнениями абсолютного движения точки есть, например, зависимости координат точки М, заданных в неподвижной системе координат, как функции времени:

Сложное движение точки                                                                                                           (9.1)

Аналогично для уравнения относительного движения:
Сложное движение точки                                                                                                                (9.2)

Уравнения (9.1) и (9.2) определяют в параметрической форме в соответствии абсолютную и
относительную траектории. Если уравнение (9.1) и (9.2) известны, то проекции абсолютной и относительной скоростей определяются соответственно как первые производные по времени приведенных функций; тогда вторые производные по времени от этих функций
определяют проекции абсолютного и относительного ускорений. В дальнейшем введем такие обозначения: Сложное движение точки – абсолютная, относительная и переносная скорости, Сложное движение точки – абсолютное, относительное и переносное ускорение.

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Пример 1. Пусть стержень ОА вращается вокруг неподвижной оси Сложное движение точки, (рис. 9.2). Вдоль
стержня движется гладкое кольцо, рассматриваемое как материальная точка М. Выясните характер относительного и переносного движений.

Решение. Выберем в точке О начало неподвижной системы координат Сложное движение точки. Движение точки М в этой системе координат называется абсолютным. Подвижная система координат Oxyz, связана со стержнем, приведена на рис. 9.2. Абсолютное движение точки М происходит в плоскости Сложное движение точки а относительное  вдоль подвижной оси Сложное движение точки. Для установления характера переносного движения выясним, какое движение, подвижная система координат Oxyz осуществляет по отношению к неподвижной. Согласно условию задачи, ось Сложное движение точки вращается вокруг оси Сложное движение точки. Итак, переносным движением здесь является  вращательное движение стержня вокруг оси Сложное движение точки.

Итак, сложное движение точки М (кольца) можно рассматривать как совокупность прямолинейного относительного (вдоль стержня ОА) и вращательного переносного вокруг неподвижной оси Oz вместе со стержнем. Установив характер абсолютного, относительного и переносного движений, можно решать, например, такие задачи:
 а) по заданным относительным и переносным движениями определять сложное (абсолютное) движение точки;
 б) по заданным сложным движениям точки определить составляющие простых движений.

Центральная операция кинематики и динамики. Абсолютная и относительная
производные по времени от вектора функции

Пусть Сложное движение точки – система координат, взятая
за неподвижную, a Сложное движение точки – подвижная система координат, орты которой Сложное движение точки (рис. 9.3, а).
 Рассмотрим произвольную точку М, которая движется относительно как подвижной, так и неподвижной систем координат. Пусть положение этой точки в подвижной системе координат определяется радиусом-вектором Сложное движение точки в виде:

Сложное движение точки                                                                                                          (9.3)

Установим связь между производными от функции, вычисленными в подвижной и неподвижной системах координат. Для этого сначала найдем производную по времени от вектора Сложное движение точки в неподвижной системе, которая называется абсолютной производной от вектора Сложное движение точки. по времени и:

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                 (9.4)

Первые три члена этого выражения представляют собой производную от вектора Сложное движение точки,  вычисленную по предположениям, что орты подвижной системы координат по направлению не меняются, что соответствует вычислению производной в подвижной системе координат. Это выражение называется локальной (относительной) производной и обозначается Сложное движение точки

Сложное движение точки                                                                                                    (9.5)

Рассмотрим теперь последние три слагаемых в (9.4), которые обозначим через: 

Сложное движение точки                                                                                                           (9.6)

Сложное движение точки

Умножив обе части  (9.6) скалярно на  Сложное движение точки получим:

Сложное движение точки                                                                                              (9.7)

Правые части этих выражений являются проекциями вектора Сложное движение точки на оси подвижной системы координат. Обозначим их через Сложное движение точкиВоспользуемся очевидными соотношениями (рис. 9.3, б):

Сложное движение точки                                                                                                      (9.8)

Продифференцировав их по времени, получим:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.9)

Введем обозначения:

Сложное движение точки                                                                                                    (9.10)

Тогда выражения (9.7) с учетом соотношений (9.8)-(9.10) можно записать в форме:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.11)

Если ввести на рассмотрение вектор:

Сложное движение точки                                                                                                            (9.12)

то выражение (9.6) можно подать в виде:

Сложное движение точки                                                                                                           (9.13)

Подставив (9.13) и (9.5) в выражение (9.4) получим формулу, которая устанавливает связь между производной не только вектора Сложное движение точки но и произвольного вектора Сложное движение точки по времени, вычисленного в неподвижной и подвижной системах координат:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.14)

Отметим, что во второй формуле (9.14) указана система координат, в которой  вычисляется соответствующая производная.

Здесь вектор to можно рассматривать как угловую скорость вращения подвижной системы координат Oxyz относительно неподвижной Сложное движение точкиФормулу (9.14) называют формулой
Бура. Она имеет следующее содержание: абсолютная производная произвольного вектора Сложное движение точки по времени:

Сложное движение точки равна сумме локальной производной иСложное движение точки векторному произведению вектора Сложное движение точкивращения подвижной системы координат на дифференцируемый вектор Сложное движение точки 

Поскольку формула (9.14) может быть распространена на любой вектор, то в дальнейшем будем широко пользоваться ею не только в кинематике, но и в динамике.
 Рассмотрим теперь частные случаи.
 1. Если система Oxyz неподвижная, то 
Сложное движение точки следовательно, Сложное движение точки то есть 

Сложное движение точки                                                                                                                (9.15)

2.  Если вектор Сложное движение точкинеподвижный относительно неподвижных осей координат Сложное движение точки то

Сложное движение точки                                                                                                           (9.16)

3. Если вектор Сложное движение точки неизменно связанный с  системой координат Сложное движение точки то 

Сложное движение точки                                                                                                        (9.17)

Отметим, что в формуле (9.14) не раскрыто пока физического смысла вектора Сложное движение точки
Полностью он будет установлен в кинематике в разделе “Движение свободного твердого тела”. Сейчас ограничимся рассмотрением некоторых случаев, которые частично отвечают на этот вопрос.
4. Рассмотрим движение подвижной системы координат, считая, что последняя неизменно связана с телом, которое вращается вокруг неподвижной оси, например Сложное движение точки Тогда Сложное движение точки и Сложное движение точки
являются скоростями точек, которые совпадают с концами векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки и вычисленные относительно неподвижной системы координат, то есть являются скоростями точек неизменной системы, которой является система координат Oxyz. Причем эти скорости имеют направления в соответствии ортовСложное движение точки и Сложное движение точки (рис. 9.3, б). Итак, выражение для скоростей
точек, которые совпадают с концами единичных векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки, можно записать в виде:

Сложное движение точки                                                                                                        (9.18)

Сравнив эти выражения полученной ранее формуле Эйлера, делаем вывод, что вектор Сложное движение точки имеет реальный физический смысл.
А именно – это вектор угловой скорости тела, которое вращается вокруг неподвижной оси.
Этот вывод легко обобщается на случай произвольной точки М, положение которой
в подвижной системе координат определяется радиусом-вектором Сложное движение точки Тогда вектор Сложное движение точкив выражении (9.14) имеет смысл скорости точки, неизменно связанной с телом, которое вращается в неподвижной системе координат, то есть:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.19)

что соответствует формуле (8.23)

5. Если скалярно умножить обе части выражения (9.18) соответственно на Сложное движение точкии Сложное движение точки, то
получим:

Сложное движение точки                                                                                                               (9.20)

Левые части этих выражений являются соответственно проекциями вектора Сложное движение точки на ортСложное движение точки и Сложное движение точки на орт Сложное движение точки, а правые части имеют значения соответственно Сложное движение точки и Сложное движение точки, поскольку Сложное движение точки
Сложное движение точки. Итак, проекциями скоростей единичных векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки являются  Сложное движение точки и Сложное движение точки
(рис. 9.3, б).
 6. Рассмотрим подвижную систему координат и предположим, что она совершает вращательное движение как твердое тело вокруг неподвижной оси Сложное движение точки, которое  определяется углом поворота Сложное движение точки, который задается относительно положения Сложное движение точки
(Рис. 9.4). тогда:

Сложное движение точки                                                                                                    (9.21)

где Сложное движение точки – орты осей Сложное движение точки

Отсюда получим соотношение, с которыми уже встречались в полярной системе
координат:

Сложное движение точки                                                                                                         (9.22)

Умножив теперь скалярно обе части полученных выражений соответственно на j и
и, будем иметь:

Сложное движение точки                                                                                                               (9.23)

Как видим, производная от угла поворота является ничем иным, как угловой скоростью вращения подвижной системы координат. Таким образом, для одной из компонентов в (9.10) также установлено физический смысл.
 7. Пусть подвижная система отсчета осуществляет поступательное движение. Тогда:Сложное движение точки

Сложное движение точки

Следовательно, Сложное движение точки и формула (9.14)  имеет такую ​​физическую интерпретацию: все точки тела движутся с равными по величине и направлением скоростями, что было установлено нами ранее при изучении поступательного движения тела.  Таким образом, для отдельных случаев движения подвижной системы координат Oxyz установлен физический смысл вектора Сложное движение точки – это вектор угловой скорости тела, или подвижной системы координат Oxyz. Далее будут приведены соответствующее обоснования и для общего случая движений подвижной системы отсчета, неизменно связанной с движением твердого тела.

Теорема о сложении скоростей

Теорема. Абсолютная скоростьСложное движение точки точки при сложном движении равна векторной сумме относительной Сложное движение точки и переносной Сложное движение точки скоростей.
 Доказательство. Рассмотрим движение точки М относительно некоторого тела G (рис. 9.1), с которым неизменно связана подвижная система координат Oxyz, которая, в свою очередь, движется относительно условно неподвижной системы координат.  Пусть положение точки М в подвижной системе координат определяется радиусом-вектором Сложное движение точки, в неподвижной – радиусом-вектором Сложное движение точки, а положение начала О подвижной системы координат относительно неподвижной Сложное движение точки, – радиусом-вектором Сложное движение точки. Тогда:

Сложное движение точки                                                                                                             (9.24)

Продифференцировав это выражение в соответствии формуле (9.14):

Сложное движение точки                                                                                                               (9.25)

Здесь индекс Сложное движение точки отражает то, что вектор Сложное движение точки характеризует переносное движение. На основании определения абсолютной, относительной и переносной скоростей получим:

Сложное движение точки                                                                                                   (9.26)

С учетом этих обозначений, выражение (9.25) будет иметь следующий вид:

Сложное движение точки                                                                                                                  (9.27)

который отражает теорему о распределении скоростей точек при сложном движении. Очевидно, что формула (9.27) отражает правило параллелограмма для сложения скоростей.
 Модуль абсолютной скорости Сложное движение точкина основании теоремы косинусов определяется в виде:

Сложное движение точки                                                                                                   (9.28)

Пример 2. Вдоль хорды АВ (рис. 95) вращающегося диска движется точка М от точки
А к точке В  в соответствии с уравнением Сложное движение точки. Закон вращения диска Сложное движение точки. Определить абсолютную скорость точки в момент, когда она находится от оси вращения диска на расстоянии Сложное движение точки

Сложное движение точки
 Решение. Движение точки М вдоль хорды подвижного диска относительно. Поэтому относительная скорость и направлена ​​по хорде АВ

Сложное движение точки

Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости. Итак, переносное движение диска будет вращательным, поэтому переносная скорость точки М направлена ​​перпендикулярно к ОМ в сторону вращения диска. По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость Сложное движение точки Поскольку Сложное движение точкиСложное движение точки

В некоторых задачах кинематики сложного движения точки нужно определить относительную скорость Сложное движение точки. С формулы (9.27) видно, что:

Сложное движение точки

Итак, чтобы построить вектор относительной скорости, следует добавить вектор абсолютная скорости к вектору, направленному противоположно переносной скорости.

Теорема о сложении ускорений

Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки при сложном движении равно
векторной сумме относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса.

 Доказательство. По определению ускорения точки, с учетом (9.27), имеем:

Сложное движение точки                                                                                                    (9.29)

где

Сложное движение точки                                                                                                                    (9.30)

С помощью формулы (9.14) для абсолютной производной, определим каждое слагаемое ускорения отдельно, учитывая, что векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки заданные в подвижной системе
координат Oxyz и поэтому именно на них распространяются формулы (9.14):

Сложное движение точки                                                                                                                      (9.31)

Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки                         )9.32)

Введем обозначения:

Сложное движение точки                                                                                                                   (9.33)

Тогда (9.32) перепишем в виде:

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                 (9.34)

где Сложное движение точки

Введем обозначения в соответствии с определениями абсолютного, относительного и переносного ускорений:

Сложное движение точки                                                                                                       (9.35)

Подставив (9.31) и (9.34) в выражение  (9.29), с учетом (9.35), получим:

Сложное движение точки                                                                                                         (9.36)

Последнее слагаемое в этой формуле, который не входит ни в относительное, ни в переносное ускорения, называется поворотным или кориолисовым ускорением Сложное движение точки:

Сложное движение точки                                                                                                           (9.37)

Окончательно получим:

Сложное движение точки                                                                                                                 (9.38)

Теорема доказана.
 Заметим, что в ряде случаев может стать полезной формула для определения ускорения, которая  непосредственно следует из (9.14):

Сложное движение точки                                                                                                         (9.39)

Отметим, что когда переносное движение подвижной системы координат Oxyz является поступательным Сложное движение точки, ускорение Кориолиса обращается в ноль. Тогда формула (9.38)
принимает вид:

Сложное движение точки                                                                                                                  (9.40)

то есть при поступательном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической
сумме относительного и переносного ускорений.
Следовательно, эта формула отражает правило параллелограмма для сложения ускорений в данном случае. В следующих разделах проанализируем выражения для каждой составляющей ускорения более детально.

Вращательное и осевое ускорение в случае вращения тела вокруг неподвижной оси

Проанализируем две составляющие переносного ускорение точки в выражении (9.35) Сложное движение точки и  Сложное движение точки, обусловленные движением тела относительно полюса О.

Сложное движение точки

Поскольку кинематическое содержание векторов  Сложное движение точки и Сложное движение точки в общем случае движения тела, а следовательно, подвижной системы координат еще до конца не раскрыто , пока ограничимся рассмотрением только частного случая вращения тела вокруг неподвижной оси Сложное движение точки (рис. 9.6), для которого физический смысл векторов Сложное движение точки и Сложное движение точкиполностью определен.
Введем следующие обозначения:

Сложное движение точки                                                                                                       (9.41)

и будем называть ускорение Сложное движение точки вращательным, а  Сложное движение точки осевым.

Рассмотрим ускорения произвольной точки М, неизменно связанной с телом, вращения вокруг неподвижной оси (рис. 9.6).
В этом случае Сложное движение точкиСложное движение точки поэтому ускорения точки М согласно
 (9.38), запишем в виде, опустив индекс Сложное движение точкипри Сложное движение точки и Сложное движение точки:

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                 (9.42)

Кроме того, ускорение этой же точки, согласно п. 8.3, можно представить в виде векторной суммы нормального и тангенциально ускорений:

Сложное движение точки                                                                                                                 (9.43)

Установим связь между составляющими ускорения точки М которые есть в выражениях (9.42) и (9.43). Прежде всего покажем, что составляющая ускорения точки Сложное движение точки направлена ​​вдоль перпендикуляра MN, который опущен с точки М на ось вращения Сложное движение точки. Для того чтоб
подчеркнуть это обстоятельство, его называют осевым ускорением. Действительно, если Сложное движение точки (рис. 9.6) – это радиус-вектор точки М то вектор ее скорости Сложное движение точки направленный по касательной к траектории (круга) точки, перпендикулярно к плоскости треугольника OMN. Тогда вектор осевого ускорения

Сложное движение точки                                                                                                               (9.44)

будет направлен перпендикулярно к плоскости KLM, которая содержит прямую МК, параллельную оси вращения Сложное движение точки(рис. 9.6). Итак, вектор Сложное движение точки направленный вдоль MN. Учитывая, что

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                            (9.45)

получим:

Сложное движение точки                                                                                                         (9.46)

Сравнив последнее выражение с соответствующим выражением (8.27) для нормального ускорения точки, которое всегда направлено по главной нормали к абсолютной траектории с центром кривизны в точке N,  которая лежит на оси вращения, получим:

Сложное движение точки                                                                                                                 (9.47)

Рассмотрим теперь вторую составляющую ускорения Сложное движение точки, которую называют вращательным ускорением.  Поскольку выполняется равенство (9.47), то  с учетом (9.42) и (9.43), получим:

Сложное движение точки                                                                                                                            (9.48)

Далее будет показано, что в общем случае движение твердого тела  Сложное движение точкиСложное движение точки Если учесть, что при вращении тела вокруг неподвижной оси направления векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки всегда совпадают (и совпадают с осью вращения), то в каждой точке вектора скорости и касательного ускорения направлены вдоль одной прямой – касательной к траектории. Модуль вращательного ускорения запишем в виде:

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                        (9.49)

Ускорение Кориолиса

По формуле (9.37) ускорение Кориолиса появляется тогда, когда переносное движение является вращательным:

Сложное движение точки                                                                                                                   (9.50)

Как видно из приведенной формулы, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора Сложное движение точки на относительную скорость точки Сложное движение точки Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения. Оно направлено вдоль
нормали к плоскости, в которой расположены векторы Сложное движение точкии Сложное движение точки, в той части пространства, с
которой, если смотреть с конца вектора Сложное движение точки, видно поворот на наименьший угол от вектора Сложное движение точки к вектору Сложное движение точки против хода часовой стрелки (в правой системе координат).
 Модуль ускорения Кориолиса находим по формуле:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.51)

Спроектировав обе части равенства  (9.50) на подвижные оси координат, получим такие выражения для проекций ускорения Кориолиса :

Сложное движение точки                                                                                                        (9.52)

где Сложное движение точки– проекции угловой скорости на оси подвижной системы координат Сложное движение точкиСложное движение точки – проекции относительной скорости на эти самые оси.

Тогда модуль  ускорения Кориолиса :

Сложное движение точки                                                                                                             (9.53)

Направление Сложное движение точки определяется направляющими косинусами углов, которые вектор Сложное движение точки образует соответственно с ортами Сложное движение точкиподвижных осей:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.54)

Случаи превращения в ноль ускорения Кориолиса

Как следует из (9.51),  ускорение Кориолиса  равно нулю в те моменты (или на тех промежутках времени), когда:
 1) вектор Сложное движение точки равен нулю, то есть переносное движение является поступательным; 

2) относительная скорость Сложное движение точки равна нулю, то есть нет относительного движения;

3) Сложное движение точкито есть вектор Сложное движение точки и Сложное движение точки – коллинеарные.

Следует отметить, что в те моменты времени, когда ускорения Кориолиса превращается в ноль, абсолютное ускорение точки определяется по правилу параллелограмма.
тогда:

Сложное движение точки                                                                                                          (9.55)

а модуль этого ускорения определяется по теореме косинусов:

Сложное движение точки                                                                                                 (9.56)

Физические причины возникновения ускорения Кориолиса

Покажем, что ускорение Кориолиса возникает вследствие таких двух причин:
 1. Представим себе два прямолинейных отрезка Сложное движение точки, и Сложное движение точки, по которым движутся
точки Сложное движение точки и Сложное движение точки (рис. 9.7). Отрезок Сложное движение точки движется поступательно, а отрезок Сложное движение точки вращается вокруг точки Сложное движение точки Обозначим через Сложное движение точки и Сложное движение точки соответственно относительную и переносную скорости точки М. Переносным движением точки (рис. 9.7, а) является поступательное движение, обусловленное движением отрезка Сложное движение точки. Через элементарный промежуток времени отрезок Сложное движение точки

Сложное движение точки

займет положение Сложное движение точки Поскольку переносное движение – поступательное, то переносные
скорости точки Сложное движение точки и Сложное движение точки одинаковы.
 Переносным движением точки Сложное движение точки (рис. 9.7, б) является вращательное движение, вызванное вращением отрезка Сложное движение точки вокруг точки Сложное движение точки. Поэтому переносные скорости точки М2 на отрезке Сложное движение точки и Сложное движение точки разные: Сложное движение точкиСложное движение точки

Итак, переносная скорость точки Сложное движение точки меняется в зависимости от ее относительного движения вдоль отрезка Сложное движение точки. При этом скорость изменения переносной скорости Сложное движение точки точки Сложное движение точки  во времени, которая создает дополнительное ускорение, пропорциональна относительной скорости Сложное движение точки и  угловой скорости переносного движения Сложное движение точки В этом суть первой физической причины возникновения ускорения Кориолиса.
 2. Вторая физическая причина возникновения  ускорения Кориолиса такова:
относительная скорость точки Сложное движение точки, то есть Сложное движение точки, зависит от переносного вращательного движения, поскольку при вращении отрезка Сложное движение точки меняется направление относительной скорости Сложное движение точки (Рис. 9.7, б).

Следовательно, скорость изменение во времени относительной скорости точки (т.е. ускорение точки, которое зависит от приведенной выше причины) также будет пропорционально относительной скорости Сложное движение точки и угловой скорости Сложное движение точки переносного движения.
 А. И. Сомов обратил внимание на то, что ускорения Кориолиса как будто вращает вектор относительной скорости в направлении переносного вращательного движения, из-за чего назвал ускорение Кориолиса поворотным.
 Подводя итог изложенного и обращаясь к формуле (9.34), видим, что  изменение во времени переносной скорости при условии, что переносное движение является непоступательным, вызывается не только переносным, но и относительным движением точки. Дополнительное ускорение равно векторному произведению Сложное движение точки. Так же из формулы (9.31) следует, что изменение относительной скорости во времени вызвано не только относительным, но и переносным движением точки. Дополнительное ускорение и в этом случае равна Сложное движение точки

Ускорение Кориолиса  Сложное движение точки, таким образом, равно удвоенному векторному произведению
векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки, то есть Сложное движение точки и характеризует изменение во времени относительной скорости через переносное непоступательное движение и переносной скорости – через относительное движение точки.

Пример 3. Определить абсолютное ускорение точки в примере 2, приведенном в п. 9.3.
 Решение. Поскольку переносное движение является  вращательным, то абсолютное ускорение точки М (Рис. 9.5) определим по теореме Кориолиса:

Сложное движение точки

Поскольку Сложное движение точки и переносная угловая скорость- постоянная Сложное движение точкито Сложное движение точки и Сложное движение точки Следовательно, 

Сложное движение точки

Сложное движение точкиСложное движение точки

Относительное движение точки М происходит вдоль прямой АВ, поэтому относительное ускорение Сложное движение точки направлено вдоль АВ, ускорение Сложное движение точки– вдоль ОМ к центру вращения. Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу векторного произведения Сложное движение точки . Вектор Сложное движение точки направленный перпендикулярно к диску , а Сложное движение точки -вдоль хорды. Итак,  ускорения Кориолиса  Сложное движение точки также направлено по ОМ от центра О вращения диска. Вектор абсолютного ускорения направлен по диагонали прямоугольника со сторонами Сложное движение точки  (рис. 9.8), и 

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Пример 4. На подвижных объектах (самолетах, кораблях и т.д.) используются гироскопические приборы маятникового типа для определения отклонения объектов от горизонтали. При движении относительно Земли в этих приборах возникают так называемые скоростные и баллистические девиации (погрешности), обусловленные тем, что эти объекты, двигаясь горизонтально по поверхности Земли (или по сфере радиусом Сложное движение точки , где h – высота полета), на самом деле вращаются в инерциальном пространстве и поэтому они движутся с ускорением в инерциальной системе координат, если даже их скорость относительно Земли является постоянной. Поэтому необходимо найти
угловую скорость вращения подвижного объекта и его ускорение в географической системе координат, если составляющая относительной скорости объекта к северу Сложное движение точки, на восток – Сложное движение точки (рис. 9.9), а угловая скорость суточного вращения Земли – Сложное движение точки.

Решение. Движение объекта (точку О) задано в сферической системе координат: Сложное движение точки – географическая долгота, что отсчитывается от меридиана Гринвича; Сложное движение точки – географическая широта, что отсчитывается от экватора; Сложное движение точки – радиус сферы, по которой движется объект: Сложное движение точки где Сложное движение точки – средний радиус Земли. Отметим, что линейная скорость точки на земной поверхности, расположенной на экваторе равна 1852 км/ч относительно неподвижной системы координат.

Ось  Сложное движение точки направлена ​​на север (N) по касательной к меридиану, Сложное движение точки – на восток ) по касательной к параллели, а Сложное движение точки – по вертикали вверх.

Очевидно, что движение объекта с составляющей скорости Сложное движение точки вызванной изменением угла Сложное движение точки– географической широты, а движение по составляющей скорости на восток Сложное движение точки – географической долготы Сложное движение точки.  Итак, угловая скорость Сложное движение точки направлена ​​перпендикулярно к плоскости параллели и параллельная угловой скорости вращения Земли Сложное движение точки, а угловая скорость Сложное движение точки направлена ​​в сторону, противоположную направлению оси Сложное движение точки.

С учетом этого, очевидно, что:

Сложное движение точки                                                                                                              (1)

Если теперь учесть и угловую скорость вращения Земли Сложное движение точки, то проекции угловой скорости на оси географической системы координат будут:

Сложное движение точкиСложное движение точки

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                             (2)

Сложное движение точки

В данном случае вращательное движение Земли является переносным, а движение объекта по поверхности относительным. С учетом этого и формул (2) приведем формулы для абсолютной скорости объекта в проекциях на оси географической системы координат:

Сложное движение точки                                                                                                           (3)

Используя уравнение (3) выражение (2) можно переписать в форме:

Сложное движение точки

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                 (4)

Сложное движение точки

Найдем теперь абсолютное ускорение подвижного объекта, воспользовавшись формулой
 (9.39):

Сложное движение точки                                                                                                               (5)

тут Сложное движение точки– угловая скорость вращения системы координат Сложное движение точки относительно неподвижной системы координат, которая определяется выражениями (2) или (4)

Сложное движение точки

Проектируя  (5) на оси Сложное движение точки будем иметь:

Сложное движение точки                                                                                                     (6)

Подставив  в (6) выражения (3) и (4), получим:

Сложное движение точки                                                                                       (7)

При горизонтальном движении объекта Сложное движение точки то есть Сложное движение точки поэтому формулы (7) немного упрощаются:

Сложное движение точки

Сложное движение точки                                                                                                                         (8)

Сложное движение точкиСложное движение точки

В выражениях (8) не видно явно ускорения Кориолиса, хотя понятно, что оно должно было иметь место, потому что переносное движение Земли является вращательным.

Для того, чтобы выделить явно ускорение Кориолиса, осевое ускорение, вращательное и относительное, нужно формулы (8) записать в развернутом виде:

Сложное движение точкиСложное движение точки

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                (9)

Сложное движение точкиСложное движение точки

Перепишем в конечном итоге формулы (9) так, чтобы на первом месте было переносное, дальше относительное и в конце  ускорения  Кориолиса (таблица).
 Таким образом, задача решена.

Пример 5. Точка М неравномерно движется по ободу колеса радиусом R с относительной
скоростью  вращается с переменной угловой скоростью Сложное движение точки Найти двумя методами ускорения точки:
 1) задавая движение точки в натуральной системе координат;
 2) используя понятие сложного движения точки.
 Решение. 1.  При заданном движения точки в натуральной системе координат нужно учесть, что ускорение в данном случае имеет две составляющие  – тангенциальноеСложное движение точки и нормальное  Сложное движение точкиускорения:

Сложное движение точки                                                                                                             (1)

Следовательно, для определения ускорений по формулам (1) нужно найти Сложное движение точки.
 Очевидно, что Сложное движение точки – это по сути абсолютная скорость точки, поэтому:

Сложное движение точки                                                                                                       (2)

Подставив (2) в (1), получим:

Сложное движение точки                                                                                               (3)

Если спроектировать эти ускорения на оси ортогональной системы координат Сложное движение точки то получим:

Сложное движение точки                                                                                                  (4)

При Сложное движение точкии Сложное движение точки соответственно получим:

Сложное движение точки                                                                                                                           (5)

Сложное движение точки

2. Использование понятия сложного движения точки. В этом случае (рис. 9.10,б)

Сложное движение точки                                                                                                                 (6)

Переносное ускорение имеет две составляющие Сложное движение точки и Сложное движение точкиВращающаяся составляющая ускорения Сложное движение точки направленная в данном случае по оси Сложное движение точки и равна: 

             Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                                                          (7)

Осевое ускорения будет направлено к оси вращения, проходящей через точку О (рис. 9.10, б) и равно:

Сложное движение точки                                                                                                                                           (8)

Ускорение Кориолиса в этом случае направлено по оси Оу и равно:

Сложное движение точки                                                                                                                    (9)

Относительное ускорение в этом случае определяется по формуле (9.31), в которой нужно учесть только ту составляющую угловой скорости Сложное движение точки, которая обусловлена ​​только относительным движением, потому что взаимодействие вращательного переносного движения и относительной скорости учтено в ускорении Кориолиса:

Сложное движение точки                                                                                                             (10)

Очевидно, что 

Сложное движение точки                                                                                                                           (11)

Спроектировав выражение (10) на оси Сложное движение точки и Сложное движение точки и учитывая (11), получим:

Сложное движение точки                                                                                                                     (12)

Найдем теперь проекции абсолютных ускорений на осях  Сложное движение точкии Сложное движение точки

Сложное движение точки                                                                                                        (13)

Сравнивая выражения (3), (4) и (13), видим, что проекции ускорения на оси Сложное движение точки и Сложное движение точки совпадают. Причем в этом случае при любой Сложное движение точки

Сложное движение точки                                                                                                            (14)

Для сравнения найдем ускорение по формуле (9.39)

Сложное движение точки                                                                                                          (15)

Отметим, что в данном случае в формуле (15) нужно задать полную угловую скорость
вращения подвижной системы координат:

Сложное движение точки                                                                                                            (16)

В нашем случае Сложное движение точки определяется по формуле (6), Сложное движение точки Из формулы (15) с учетом (6) и (16), получим:

Сложное движение точки                                                                                                              (17)

или

Сложное движение точки                                                                                                       (18)

Нетрудно заметить, что выражения (3), (13) и (18) одинаковые, то есть приведенный способ решения задачи оказался достаточно эффективным.  Задача решена.

Сложное движение материальной точки. Относительное, переносное и абсолютное движение материальной точки

Сложное движение материальной точки — это такое движение, при котором точка может одновременно участвовать в двух и более движениях.

Для представления о сложном движение приведем такой пример. Если человека принять за материальную точку, то ее движение по палубе корабля будет сложным, когда это движение рассматривать относительно палубы и относительно берега (поверхности Земли). Движение человека относительно палубы является относительным, вместе с кораблем — переносным, а относительно поверхности Земли — абсолютным.

При сложном движении можно рассматривать точку, тело переноса или подвижное переносное пространство, с которым связана подвижная система координат, и неподвижную систему координат, которая скреплена с поверхностью Земли.

Движение точки относительно тела переноса или подвижной системы отсчета называется относительным, а скорость и ускорение точки в этом движении — относительными скоростью и ускорением, они обозначаются Сложное движение точки, Сложное движение точки (relative — относительный).

Движение точки вместе с подвижным пространством, а точнее вместе с той точкой подвижного пространства, с которой в данный момент совпадает заданная точка, называется переносным движением, а скорость и ускорение точки в этом движении — переносными скоростью и ускорением, они обозначаются Сложное движение точки, Сложное движение точки (exporter — захватить).

Движение материальной точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным, а скорость и ускорение — абсолютными, они   обозначаются Сложное движение точки, Сложное движение точки.

Теорема о сложении скоростей в сложном движении материальной точки

Сформулируем эту теорему.  

Абсолютная скорость материальной точки при сложном ее движении равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей:

Сложное движение точки .

Докажем это. Выберем материальную точку М (рис. 2.45), что движется независимо по своему закону относительно подвижной системы отсчета Oxyz, которая жестко связана с телом S, и вместе с ним перемещается относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки. Начало подвижной системы координат Oxyz (центр O) выбрано в теле S произвольно, на соответствующих осях координат показаны единичные векторы (орты) Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки.

Определим положение материальной точки М относительно выбранных осей координат. Так, относительно подвижной системы координат Oxyz ее положение определяется радиус-вектором Сложное движение точки. Положение точки М относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки определяется радиус-вектором Сложное движение точки.

Положение начала (центр O) подвижной системы координат Oxyz относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки будет определяться радиус-вектором Сложное движение точки.

Как видно из образованного на рис. 2.46 векторного треугольника Сложное движение точки, всегда сохраняется векторное соотношение:

Сложное движение точки  ,

или, если представить радиус-вектор Сложное движение точки в проекциях на оси координат Oxyz с учетом единичных векторов Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки :

Сложное движение точки  .

Сложное движение точки

Используя выражение определим абсолютную скорость Сложное движение точки  материальной точки М.

При произвольном переносном движении тела орты Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки меняют свое направление и поэтому являются переменными векторами. Тогда все члены, входящие в выражение выше, считаются переменными величинами. На основании формулы искомая скорость будет равна:

Сложное движение точки.  

Перегруппируем правую часть выражения и перепишем его:

Сложное движение точки 

Рассмотрим подробно выражение. Так, в последней скобке в этом выражении можно сделать следующие обозначения:

Сложное движение точки ,

Сложное движение точки ,

Сложное движение точки .

Тогда она представляет собой

Сложное движение точки — относительную скорость точки.

Рассмотрим далее первую скобку в выражении, где

Сложное движение точки — скорость начала подвижной системы координат Oxyz или скорость полюса O.

По формулам Пуассона другие составляющие первой скобки выражения можно представить так:

Сложное движение точки ,

 Сложное движение точки,

Сложное движение точки ,

где Сложное движение точки— угловая скорость переносного движения, или скорость вращения подвижных осей координат и неизменно связанных с ними ортов Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки.

Подставим в первую скобку выражения:

Сложное движение точки

                                    Сложное движение точки .

Тогда выражение окончательно будет иметь следующий вид:

Сложное движение точки .

Сумма Сложное движение точки является скоростью переносного движения, где Сложное движение точки0 — скорость полюса или начала отсчета подвижной системы координат.

Поскольку переносное движение в общем случае является сложным, то он разделяется на поступательное вместе с полюсом (точкой О) и вращательное вокруг полюса

Окончательно имеем:

Сложное движение точки .

Что и необходимо было доказать.

Выражение называют параллелограммом скоростей.

Когда угол Сложное движение точки , тогда модуль абсолютной скорости равен:

Сложное движение точки,

Если  Сложное движение точки, так модуль абсолютной скорости Сложное движение точки движения материальной точки определяется по теореме косинусов:

Сложное движение точки.

Теорема Кориолиса

Сформулируем эту теорему.

Абсолютное ускорение материальной точки при произвольном переносном движении равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и дополнительного ускорения, которое называется поворотным ускорением или ускорением Кориолиса.

Итак:

Сложное движение точки ,

где Сложное движение точки — абсолютное ускорение материальной точки; Сложное движение точки — переносное ускорение; Сложное движение точки — относительное ускорение; Сложное движение точки  — ускорение Кориолиса.

Предположим, что материальная точка М имеет сложное движение. Считаем, что она движется относительно подвижной системы координат Oxyz, которая сама произвольным образом перемещается относительно другой — неподвижной системы Сложное движение точки(рис. 2.46). Покажем Сложное движение точки, Сложное движение точкиСложное движение точки — орты подвижной системы координат Oxyz. Координаты точки M в подвижной системе отсчета — x, y, z.

Как и в предыдущем случае, определим положение материальной точки М. Так, положение точки М в подвижной системе координат Oxyz определяется радиус-вектором Сложное движение точки. Ее положения относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки определяется радиус-вектором Сложное движение точки. Положение точки О (начала отсчета подвижной системы координат Oxyz) в неподвижной системе координат Сложное движение точки определяется радиус-вектором Сложное движение точки.

Абсолютное ускорение материальной точки М равна производной по времени от абсолютной скорости:

Сложное движение точкиСложное движение точки.

Проведем преобразование и анализ выражения. В первой скобке составляющая

Сложное движение точки — ускорение полюса O.

Превратим дальше выражение первой скобки, пользуясь формулами Пуассона:

Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки

Сложное движение точки — ускорение точки в переносном сферическом движении тела вокруг полюса.

Во второй скобке

  Сложное движение точки — относительное ускорение точки.

В уравнении есть еще такие два выражения, которые также надо превратить:

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Сложное движение точки — ускорение Кориолиса или поворотное ускорение.

Учитывая сделанные преобразования, окончательно запишем:

Сложное движение точки . 

Что и требовалось доказать.

Сложное движение точки ,

где Сложное движение точки — ускорение начала подвижной системы координат (полюса О) и независимого сферического движения тела вокруг полюса, что выражается составляющей ускорения  Сложное движение точки.

Модуль, направление и физические причины возникновения  ускорения Кориолиса

Рассмотрим подробно ускорения Кориолиса и его свойства. Оно, согласно формуле, имеет следующий вид:

Сложное движение точки .

Ускорение Кориолиса равна двойному векторном произведения векторов переносной угловой скорости и относительной скорости точки.

Как известно, модуль векторного произведения равен:

Сложное движение точки

Из выражения видно, что модуль ускорения Кориолиса равен нулю Сложное движение точки в следующих случаях:

1. Сложное движение точки переносное движение не является вращательным, поэтому ускорение Кориолиса называют также поворотным ускорением;

2. Сложное движение точки движение точки в данный момент времени не является сложным;

3. Сложное движение точки ,или  Сложное движение точки — векторы переносной угловой скорости и относительной скорости параллельны.

Модуль ускорения Кориолиса будет максимальным, если угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точкисоставляет 90º или 270º, в этом случае:

Сложное движение точки              

Направление ускорения Кориолиса можно найти по двум методами: математическим — по определению векторного произведения двух векторов и физическим — по способу Жуковского.

Рассмотрим первый способ.

Предположим, что тело S вращается вокруг оси z против направления хода часовой стрелки.

Это тело переноса и вектор Сложное движение точки направлен вверх вдоль оси z (рис. 2.47). Независимо по телу S по своей траектории движется точка М со скоростью Сложное движение точки (вектор АМ). Перенесем условно вектор Сложное движение точки в точку М. Вектор ускорения Кориолиса Сложное движение точки, как итоговый вектор векторного произведения, перпендикулярный плоскости, которую образуют эти векторы (параллелограмм МАВС). Остается определить, к нам этот вектор направлен, или от нас. В данном случае (рис. 2.47) вектор Сложное движение точки направлен к нам, потому что кратчайший переход от вектора Сложное движение точки к вектору Сложное движение точки  происходит против направления хода часовой стрелки.

Сложное движение точки

Таким образом, вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен плоскости, которую образуют векторы переносной угловой скорости и относительной скорости, и направлен в ту сторону, откуда видим, что кратчайший переход от вектора угловой скорости к вектору относительной скорости происходит против часовой стрелки.

Переходим к рассмотрению определения направления вектора ускорения Кориолиса по методу Жуковского.

Для определения направления вектора ускорения Кориолиса этим методом необходимо вектор относительной скорости Сложное движение точки спроецировать на плоскость π, перпендикулярной оси переносного вращения Сложное движение точки, затем вернуть проекцию Сложное движение точки в плоскости π на угол 90º в направлении переносного вращения (рис. 2.48).

Нетрудно понять, что в плоских механизмах, которые являются объектом курсового проекта по теории механизмов и машин, вектор Сложное движение точки всегда будет расположен в плоскости движения механизма. Поэтому для определения направления ускорения Кориолиса достаточно повернуть вектор  Сложное движение точки на 90º в направлении переносного поворота ωе.

Сложное движение точки

Рассмотрим далее физические причины возникновения поворотного ускорения или ускорение Кориолиса.

Пусть по пластине, расположенной в плоскости рисунка и равномерно вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки (направление вращения показано стрелкой), движется прямолинейно вдоль ее радиуса материальная точка М с постоянной относительной скоростью Сложное движение точки (рис. 2.49). Через некоторое время пластина повернется на угол 𝞿 и точка М окажется в положении M1 на большем расстоянии от оси вращения А. В результате этого вернется вектор  Сложное движение точки результате переносного вращения, увеличится по модулю и вернется вектор переносной скорости  Сложное движение точки.

Сложное движение точки

Из выше приведенного можно сформулировать две физические причины возникновения ускорения Кориолиса:

— изменение направления вектора относительной скорости материальной точки в результате переносного вращения;

— изменение модуля и направления вектора переносной скорости точки в результате ее относительного движения; это видно из следующих выражений переносной скорости движения для различных ее положений M и M1 (расстояние Сложное движение точки):

Сложное движение точки,

Сложное движение точки .

Следовательно, ускорение Кориолиса — это новый кинематический эффект, который возникает в результате взаимодействия, взаимовлияния векторов относительной и переносной скоростей при вращательном переносном движении.

Влияние ускорения Кориолиса наблюдается в природе и технике.

Так, за счет сил инерции масс воды, которые формируются этим ускорением, размываются правые берега рек, текущих вдоль меридиана. Поэтому правые берега в северном полушарии всегда являются крутыми. В южном полушарии – наоборот, левые берега являются крутыми.

В технике ускорения Кориолиса возникает в так называемых кулисных механизмах (кулиса — это подвижная направляющая). Относительно кулисы движется кулисный камень, а переносным движением является поворот кулисы относительно недвижимого центра.

Методика решения задач на сложное движение материальной точки

1. Выяснить, движение точки является относительным, какое является переносным, проанализировать законы движения и условие задачи.

2. Для определения характеристик относительного движения необходимо условно остановить переносное движение. Найти положение точки в заданный момент времени на траектории относительного движения.

3. Для определения характеристик переносного движения необходимо условно остановить относительное движение и рассмотреть движение точки, принадлежащей телу переноса, которая совпадает в данный момент с этой точкой.

4. Для определения параметров абсолютного движения точки необходимо выбрать систему координат с началом в самой точке, затем методом проекций определить проекции абсолютных скорости и ускорения и, наконец, полные скорости и ускорения

Пример.

Кольцевая трубка (рис. 2.50) радиуса 16 см вращается вокруг горизонтальной диаметра ОА по закону Сложное движение точки  рад. Внутри трубки движется жидкость согласно уравнению Сложное движение точкисм. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение частицы М жидкости в момент времениСложное движение точки , если в начальный момент частица была в точке А.

Решение

Определяем положение точки М в момент времени t1. Положение точки M удобно определить углом α. Определим его с помощью такого выражения:

Сложное движение точки   рад,

Сложное движение точки .

Сложное движение точки

 Точка М в заданный момент времени изображена на рис. 2.50. Выберем подвижную систему координат, жестко связанную с кольцевой трубкой.

Выделяем переносное движение точки M. Для этого скрепляем точку М с подвижной системой координат. В этом случае точка M будет описывать круг в плоскости, перпендикулярной к диаметру ОА, радиус которого будет равен:

Сложное движение точки ,

Вычислим переносную скорость точки М как скорость вращения данной точки вокруг оси ОА. Она равна:

Сложное движение точки

Определим угловую скорость вращения трубки.

Сложное движение точки Сложное движение точки . 

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Переносная скорость Сложное движение точки точки M равна:

Сложное движение точки.

Для момента времени Сложное движение точки имеем такое значение переносной скорости точки M:

Сложное движение точки .

Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно к плоскости чертежа в направлении вращения.

Относительное движение точки М — это движение жидкости относительно трубки. В этом случае точка М будет двигаться по кругу диаметром ОА.

Вычисляем относительную скорость точки М. Она равна:

Сложное движение точки.

Для момента времени Сложное движение точки находим значение относительной скорости движения Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Направляем вектор относительной скорости Сложное движение точки по касательной к упомянутой окружности в точке M.

Векторы переносной Сложное движение точки и относительно Сложное движение точки скоростей изображены на рис. 2.50.

Учитывая, что векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки взаимно перпендикулярны, находим абсолютную скорость точки M. Она равна:

Сложное движение точки.

Абсолютное ускорение точки M будет равно:

Сложное движение точки .

Находим переносное нормальное ускорение точки M:

Сложное движение точки.

При Сложное движение точки значение переносного нормального ускорения равно:

Сложное движение точки.

Направленный вектор переносного нормального ускорения  Сложное движение точки по перпендикуляру к оси вращения OA.

Переносное касательное ускорение Сложное движение точки точки М равно:

Сложное движение точки .

Определим угловое ускорение трубки. Оно будет равно:

Сложное движение точки.

Угловое ускорение Сложное движение точки положительное, следовательно, вращения трубки являются ускоренными.

Вычисляем переносное касательное ускорение Сложное движение точки точки M. Оно будет равно:

Сложное движение точки.

Для Сложное движение точки  имеем значение этого ускорения:

Сложное движение точки.

Направленное переносное касательное ускорение Сложное движение точки точки M так же, как и переносная скорость Сложное движение точки, перпендикулярна к плоскости трубки.

Находим относительное касательное ускорение Сложное движение точки  точки М. Оно равно:

Сложное движение точки .

Вектор относительного касательного ускорения  Сложное движение точки  совпадает с направлением вектора относительной скорости Сложное движение точки , потому что относительное движение ускоренно, о чем говорит положительный знак в касательном ускорении Сложное движение точки .

Вычислим относительное нормальное ускорение Сложное движение точки :

Сложное движение точки .

Для момента времени Сложное движение точки  имеем такое значение этого ускорения:

Сложное движение точки .

Направленный вектор нормального относительного ускорения  Сложное движение точки  по радиусу к центру кольца трубки.

Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки . Оно будет равно:

Сложное движение точки .

Направлено ускорение Кориолиса перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы

Сложное движение точки и Сложное движение точки, таким образом, что если посмотреть с положительного конца этого вектора, то поворот от Сложное движение точки к Сложное движение точки  на наименьший угол происходит против направления хода часовой стрелки. Таким образом, вектор ускорения Кориолиса Сложное движение точки  направлен по одной прямой с вектором переносного касательного ускорения Сложное движение точки , но имеет направление в противоположную сторону.

Находим относительное касательное ускорение Сложное движение точки  точки М. Оно равно:

Сложное движение точки .

Вектор относительного касательного ускорения  Сложное движение точки  совпадает с направлением вектора относительной скорости Сложное движение точки, потому что относительное движение ускоренно, о чем говорит положительный знак в касательном ускорении Сложное движение точки .

Вычислим относительное нормальное ускорение Сложное движение точки :

Сложное движение точки .

Для момента времени Сложное движение точки  имеем такое значение этого ускорения:

Сложное движение точки .

Направленный вектор нормального относительного ускорения  Сложное движение точки по радиусу к центру кольца трубки.

Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки . Оно будет равно:

Сложное движение точки .

     Направлено ускорение Кориолиса перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки, таким образом, что если посмотреть с положительного конца этого вектора, то поворот о т Сложное движение точки к Сложное движение точки на наименьший угол происходит против направления хода часовой стрелки. Таким образом, вектор ускорения Кориолиса Сложное движение точки направлен по одной прямой с вектором переносного касательного ускорения Сложное движение точки , но имеет направление в противоположную сторону.

Векторы относительного, переносного и ускорение Кориолиса изображены на рис. 2.51.

Сложное движение точки

Для нахождения абсолютного ускорения Сложное движение точки выберем систему координат, как показано на рис. 2.51, и спроектируем векторное равенство, которое определяет абсолютное ускорение точки М, на оси данной системы координат:

Сложное движение точки/Сложное движение точки

Сложное движение точки/Сложное движение точки

Сложное движение точки .

Модуль абсолютного ускорения Сложное движение точки равен:

Сложное движение точки .

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Момент силы
  4. Пара сил
  5. Произвольная система сил
  6. Плоская произвольная система сил
  7. Трение
  8. Расчет ферм
  9. Расчет усилий в стержнях фермы
  10. Пространственная система сил
  11. Произвольная пространственная система сил
  12. Плоская система сходящихся сил
  13. Пространственная система сходящихся сил
  14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  15. Естественный способ задания движения точки
  16. Центр параллельных сил
  17. Параллельные силы
  18. Система произвольно расположенных сил
  19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  20. Кинематика
  21. Кинематика твердого тела
  22. Движения твердого тела
  23. Динамика материальной точки
  24. Динамика механической системы
  25. Динамика плоского движения твердого тела
  26. Динамика относительного движения материальной точки
  27. Динамика твердого тела
  28. Кинематика простейших движений твердого тела
  29. Общее уравнение динамики
  30. Работа и мощность силы
  31. Обратная задача динамики
  32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  34. Сферическое движение твёрдого тела
  35. Движение свободного твердого тела
  36. Сложное движение твердого тела
  37. Плоское движение тела
  38. Статика твердого тела
  39. Равновесие составной конструкции
  40. Равновесие с учетом сил трения
  41. Центр масс
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Под относительностью понимают зависимость чего-либо от выбора системы отсчета. Так, покой и движение тела, его положение в пространстве всегда относительны. Человек, сидящий внутри движущегося автомобиля, покоится относительно этого автомобиля. Но относительно предметов снаружи он движется с некоторой скоростью.

Относительность перемещения

Пусть движение материальной точки (МТ) описывается относительно двух систем отсчета: подвижной (ПСО) и неподвижной (НСО). Зная, как эта точка движется относительно ПСО, и, как ПСО движется относительно НСО, можно вычислить перемещение точки относительно НСО. В этом заключается правило сложения перемещений:

s′ = s1 + s2

s′ — перемещение МТ относительно НСО, s1— перемещение МТ относительно ПСО, s2 — перемещение ПСО относительно НСО.

Чтобы применять правило сложения перемещений, нужно уметь складывать вектора.

Полезные факты

  • Если тело движется в направлении движения ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен сумме модулей перемещения этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:

s′ = s1 + s2

  • Если тело движется противоположно движению ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен разности модулей перемещения этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:

s′ = s1 – s2

  • Если тело движется под прямым углом по отношению к направлению движения ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен корню из суммы квадратов перемещений этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:

s′ = √(s12 + s22)

  • Если относительно ПСО тело покоится, то его перемещение относительно НСО равно перемещению ПСО относительно НСО: при s1=0, перемещение s′ = s2
  • Если тело движется относительно двух НСО, то его перемещение относительно НСО1 равно перемещению движения относительно НСО2. В этом случае одну из систем можно принять за ПСО с нулевой скоростью. Тогда ее перемещение относительно НСО будет равно 0. При s2=0, перемещение s′ = s1

Пример №1. Человек прошел в автобусе 2 метра в направлении заднего выхода. За это же время автобус успел переместиться относительно остановки на 10 м. Найти перемещение человека относительно автобусной остановки.

Так как человек двигался в сторону конца автобуса, он двигался противоположно его движению. В этом случае его перемещение будет равно модулю разности перемещений, совершенных человеком относительно автобуса и автобусом относительно остановки:

s′=|s1 – s2|=|10 – 2|=8 (м).

Относительность скорости в ПСО и НСО

Тела и системы отсчета могут двигаться с различной скоростью. Но, зная скорость движения МТ относительно ПСО и скорость движения ПСО относительно НСО, можно вычислить скорость движения МТ относительно НСО. В этом заключается правило сложения скоростей:

v′ = v + u

v′ — скорость МТ относительно НСО, v — скорость МТ относительно ПСО, u — скорость движения ПСО относительно НСО.

Складывая векторы скоростей, нужно пользоваться правилами сложения векторов.

Полезные факты

  • Если тело движется в направлении движения ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен сумме модулей скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:

v′ = v + u

  • Если тело движется противоположно движению ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен разности модуля скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:

v′ = v – u

  • Если тело движется под прямым углом по отношению к направлению движения ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен корню из суммы квадратов скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:

v′ = √(v2 + u2)

  • Если относительно ПСО тело покоится, то его скорость относительно НСО равна скорости ПСО относительно НСО: при v=0, скорость v′ = u
  • Если тело движется относительно двух НСО, то его скорость относительно НСО1 равна скорости движения относительно НСО2. В этом случае одну из неподвижных систем можно принять за ПСО с нулевой скоростью. При u=0, скорость v′ = u

Пример №2. Моторная лодка должна пересечь реку, скорость течения которой равна 5 км/ч, по кратчайшему пути. Собственная скорость лодки равна 10 км/ч. Определить, под каким углом к берегу должна быть направлена лодка, чтобы она не отклонялась от кратчайшего пути.

Кратчайшим путем между двумя параллельными линиями является отрезок, заключенный между этими линиями при условии, что он лежит на прямой, пересекающей эти линии под прямым углом. На рисунке этот путь отметим отрезком АВ.

Лодка движется прямолинейно. Поэтому направление ее скорости относительно берега совпадает с направлением перемещения:

Векторы скоростей образуют прямоугольный треугольник, и собственная скорость лодки направлена к берегу под некоторым углом α. Косинус этого угла равен отношению прилегающего катета (скорости лодки относительно реки) к гипотенузе (скорости течения реки):

Косинусу 0,5 соответствует угол, равный 60 градусам.

Относительная скорость двух тел

Понятие относительной скорости вводится, когда рассматривается движение двух тел относительно друг друга внутри одной и той же системы отсчета (СО). Примером служат два движущихся автомобиля, в то время как их движение рассматривается относительно неподвижного объекта.

Относительная скорость равна векторной разности скоростей первого и второго тела относительно СО:

vотн = v1v2

vотн — относительная скорость, или скорость первого тела относительно второго, v1 и v2 — скорость первого и второго тела относительно СО.

Варианты обозначения относительной скорости и их проекций:

  • v12 — скорость первого тела относительно второго. Ее проекция равна:

v12x = v1x – v2x

  • v21 — скорость второго тела относительно первого. Ее проекция равна v21x = v2x – v1x

Для вычисления относительной скорости движения тела важно уметь применять правила вычитания векторов.

Полезные факты

  • Если тела движутся в одном направлении, то относительная скорость равна модулю разности скоростей первого и второго тела:

vотн = |v1 – v2|

  • Если тела движутся в противоположных направлениях, то относительная скорость равна сумме скоростей первого и второго тела:

vотн = |v1 + v2|

  • Если тела движутся взаимно перпендикулярно, то относительная скорость равна корню из суммы квадратов скоростей первого и второго тела:

vотн = √(v12 + v22)

Пример №3. Два автомобиля движутся противоположно друг другу. Скорость первого автомобиля относительно дороги равна 100 км/ч. Скорость второго автомобиля относительно первого равна 180 км/ч. Найти модуль скорости второго автомобиля относительно дороги.

Так как автомобили движутся в противоположном направлении, относительная скорость равна сумме скоростей первого и второго автомобиля. Поэтому скорость второго равна разности относительной скорости и скорости движения второго тела, которым в данном случае является первый автомобиль:

Скорость второго автомобиля относительно дороги равна 80 км/час.

Правила сложения векторов

Эта таблица иллюстрирует правила сложения векторов на примере векторов a и b. Результатом их сложения является вектор c .

Сложение двух сонаправленных векторов
Суммой двух сонаправленных векторов является вектор, направленный в ту же сторону.

Его длина равна сумме длин слагаемых векторов: c = a + b.

Сложение двух противоположно направленных векторов
Суммой двух противоположно направленных векторов является вектор, направленный в сторону большего по модулю вектора. Его длина равна модулю разности длин слагаемых векторов: c = |a – b|.
Сложение двух векторов, расположенных друг к другу под углом
Суммой двух векторов, расположенных друг к другу под углом является вектор, направление которого определяется графически методом треугольника или параллелограмма. Его длина зависит от величины угла, под которым расположены два слагаемых векторов.
Если слагаемые векторы перпендикулярны, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема Пифагора:

.

Если слагаемые векторы расположены под тупым углом α, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема косинусов:

.

Если слагаемые векторы расположены под острым углом α, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема косинусов:

.

Правила вычитания векторов

Эта таблица иллюстрирует правила вычитания векторов на примере векторов Результатом их вычитания является вектор .

Вычитание двух сонаправленных векторов
Разностью двух сонаправленных векторов является вектор, направленный в сторону большего по модулю вектора.

Его длина равна модулю разности длин вычитаемых векторов: c = |a – b|.

Вычитание двух противоположно направленных векторов
Разность двух противоположно направленных векторов есть вектор, направленный в сторону уменьшаемого вектора. Его длина равна сумме длин вычитаемых векторов: c = a + b.
Вычитание двух векторов, расположенных друг к другу под углом
Разностью двух векторов, расположенных друг к другу под углом является вектор, являющийся обратным вектору, образующемуся при сложении этих векторов. Его направление определяется графически. Его длина зависит от величины угла, под которым расположены два слагаемых векторов.
Если вычитаемые векторы перпендикулярны, для вычисления длины вектора их разности используется теорема Пифагора:

.

Если вычитаемые векторы расположены под углом α, для вычисления длины вектора их разности используется теорема косинусов:

.

Задание EF17727

Два автомобиля движутся по прямому шоссе, первый — со скоростью v, второй — со скоростью –4v. Найти скорость второго автомобиля относительно первого.


Алгоритм решения

  1. Записать данные в определенной системе отсчета.
  2. Изобразить графическую модель ситуации задачи.
  3. Записать классический закон сложения скоростей в векторном виде.
  4. Записать классический закон сложения скоростей в векторном виде применительно к условиям задачи.
  5. Найти искомую величину.

Решение

Записываем данные относительно Земли:

  • Скорость первого автомобиля относительно оси ОХ: v1 = v.
  • Скорость второго автомобиля относительно оси ОХ: v2 = –4v.

Изображаем графическую модель ситуации. Так как у второго автомобиля перед вектором скорости стоит знак «–», первый и второй автомобили движутся во взаимно противоположных направлениях.

Записываем закон сложения скоростей в векторном виде:

v′ = v + u

v — скорость второго автомобиля относительно оси ОХ (v2), v — скорость второго автомобиля относительно системы отсчета, связанной с первым автомобилем, u — скорость движения первого автомобиля относительно оси ОХ (v1).

Закон сложения скоростей в векторном виде применительно к условиям задачи будет выглядеть так:

v2 = v + v1

Отсюда:

v = v2v1 = –4vv = –5v

Ответ: -5v

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17518

Два автомобиля движутся в одном направлении. Относительно Земли скорость первого автомобиля 110 км/ч, второго 60 км/ч. Чему равен модуль скорости первого автомобиля в системе отсчёта, связанной со вторым автомобилем?


Алгоритм решения

  1. Записать данные в определенной системе отсчета.
  2. Изобразить графическую модель ситуации задачи.
  3. Записать классический закон сложения скоростей в векторном виде.
  4. Выбрать систему отсчета.
  5. Записать классический закон сложения скоростей в скалярном виде.
  6. Найти искомую величину.

Решение

Записываем данные относительно Земли:

  • Скорость первого автомобиля относительно неподвижной системы отсчета: v1 = 110 км/ч;
  • Скорость второго автомобиля относительно Земли: v2 = 60 км/ч.

Изображаем графическую модель ситуации:

Записываем закон сложения скоростей в векторном виде:

v′ = v + u

v — скорость автомобиля относительно земли (v1), v — скорость второго автомобиля относительно системы отсчета, связанной со вторым автомобилем, u — скорость движения второго автомобиля относительно земли (v2).

По условию задачи в качестве системы отсчета нужно выбрать второй автомобиль. Так как система отсчета, связанная со вторым автомобилем, и первый автомобиль движутся в одном направлении, классический закон сложения скоростей в скалярном виде будет выглядеть так:

v’ = v + u

Отсюда скорость первого автомобиля в системе отсчёта, связанной со вторым автомобилем:

v = v’ – u = v1 – v2 = 110 – 60 = 50 (км/ч).

По условию задачи ответом должен быть модуль этой скорости. Модуль числа 50 есть 50.Ответ: 50

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 7.4k

From Wikipedia, the free encyclopedia

The relative velocity {displaystyle {vec {v}}_{Bmid A}} (also {displaystyle {vec {v}}_{BA}} or {displaystyle {vec {v}}_{Boperatorname {rel} A}}) is the velocity of an object or observer B in the rest frame of another object or observer A.

Classical mechanics[edit]

In one dimension (non-relativistic)[edit]

Relative motion man on train

We begin with relative motion in the classical, (or non-relativistic, or the Newtonian approximation) that all speeds are much less than the speed of light. This limit is associated with the Galilean transformation. The figure shows a man on top of a train, at the back edge. At 1:00 pm he begins to walk forward at a walking speed of 10 km/h (kilometers per hour). The train is moving at 40 km/h. The figure depicts the man and train at two different times: first, when the journey began, and also one hour later at 2:00 pm. The figure suggests that the man is 50 km from the starting point after having traveled (by walking and by train) for one hour. This, by definition, is 50 km/h, which suggests that the prescription for calculating relative velocity in this fashion is to add the two velocities.

The diagram displays clocks and rulers to remind the reader that while the logic behind this calculation seem flawless, it makes false assumptions about how clocks and rulers behave. (See The train-and-platform thought experiment.) To recognize that this classical model of relative motion violates special relativity, we generalize the example into an equation:

{displaystyle underbrace {{vec {v}}_{Mmid E}} _{text{50 km/h}}=underbrace {{vec {v}}_{Mmid T}} _{text{10 km/h}}+underbrace {{vec {v}}_{Tmid E}} _{text{40 km/h}},}

where:

{displaystyle {vec {v}}_{Mmid E}} is the velocity of the Man relative to Earth,
{displaystyle {vec {v}}_{Mmid T}} is the velocity of the Man relative to the Train,
{displaystyle {vec {v}}_{Tmid E}} is the velocity of the Train relative to Earth.

Fully legitimate expressions for “the velocity of A relative to B” include “the velocity of A with respect to B” and “the velocity of A in the coordinate system where B is always at rest”. The violation of special relativity occurs because this equation for relative velocity falsely predicts that different observers will measure different speeds when observing the motion of light. [note 1]

In two dimensions (non-relativistic)[edit]

Relative velocities between two particles in classical mechanics

The figure shows two objects A and B moving at constant velocity. The equations of motion are:

{displaystyle {vec {r}}_{A}={vec {r}}_{Ai}+{vec {v}}_{A}t,}
{displaystyle {vec {r}}_{B}={vec {r}}_{Bi}+{vec {v}}_{B}t,}

where the subscript i refers to the initial displacement (at time t equal to zero). The difference between the two displacement vectors, {vec  r}_{B}-{vec  r}_{A}, represents the location of B as seen from A.

{displaystyle {vec {r}}_{B}-{vec {r}}_{A}=underbrace {{vec {r}}_{Bi}-{vec {r}}_{Ai}} _{text{initial separation}}+underbrace {({vec {v}}_{B}-{vec {v}}_{A})t} _{text{relative velocity}}.}

Hence:

{displaystyle {vec {v}}_{Bmid A}={vec {v}}_{B}-{vec {v}}_{A}.}

After making the substitutions {vec  v}_{{A|C}}={vec  v}_{A} and {vec  v}_{{B|C}}={vec  v}_{B}, we have:

{displaystyle {vec {v}}_{Bmid A}={vec {v}}_{Bmid C}-{vec {v}}_{Amid C}Rightarrow }   {displaystyle {vec {v}}_{Bmid C}={vec {v}}_{Bmid A}+{vec {v}}_{Amid C}.}

Galilean transformation (non-relativistic)[edit]

To construct a theory of relative motion consistent with the theory of special relativity, we must adopt a different convention. Continuing to work in the (non-relativistic) Newtonian limit we begin with a Galilean transformation in one dimension:[note 2]

x'=x-vt
t'=t

where x’ is the position as seen by a reference frame that is moving at speed, v, in the “unprimed” (x) reference frame.[note 3] Taking the differential of the first of the two equations above, we have, {displaystyle dx'=dx-v,dt}, and what may seem like the obvious[note 4] statement that dt'=dt, we have:

{frac  {dx'}{dt'}}={frac  {dx}{dt}}-v

To recover the previous expressions for relative velocity, we assume that particle A is following the path defined by dx/dt in the unprimed reference (and hence dx′/dt′ in the primed frame). Thus {displaystyle dx/dt=v_{Amid O}} and {displaystyle dx'/dt=v_{Amid O'}}, where O and O' refer to motion of A as seen by an observer in the unprimed and primed frame, respectively. Recall that v is the motion of a stationary object in the primed frame, as seen from the unprimed frame. Thus we have {displaystyle v=v_{O'mid O}}, and:

{displaystyle v_{Amid O'}=v_{Amid O}-v_{O'mid O}Rightarrow v_{Amid O}=v_{Amid O'}+v_{O'mid O},}

where the latter form has the desired (easily learned) symmetry.

Special relativity[edit]

As in classical mechanics, in Special Relativity the relative velocity {vec  {v}}_{{mathrm  {B|A}}} is the velocity of an object or observer B in the rest frame of another object or observer A. However, unlike the case of classical mechanics, in Special Relativity, it is generally not the case that

{vec  {v}}_{{mathrm  {B|A}}}=-{vec  {v}}_{{mathrm  {A|B}}}

This peculiar lack of symmetry is related to Thomas precession and the fact that two successive Lorentz transformations rotate the coordinate system. This rotation has no effect on the magnitude of a vector, and hence relative speed is symmetrical.

|{vec  {v}}_{{mathrm  {B|A}}}|=|{vec  {v}}_{{mathrm  {A|B}}}|=v_{{mathrm  {B|A}}}=v_{{mathrm  {A|B}}}

Parallel velocities[edit]

In the case where two objects are traveling in parallel directions, the relativistic formula for relative velocity is similar in form to the formula for addition of relativistic velocities.

{vec  {v}}_{{mathrm  {B|A}}}={frac  {{vec  {v}}_{{mathrm  {B}}}-{vec  {v}}_{{mathrm  {A}}}}{1-{frac  {{vec  {v}}_{{mathrm  {A}}}{vec  {v}}_{{mathrm  {B}}}}{c^{2}}}}}

The relative speed is given by the formula:

{displaystyle v_{mathrm {B|A} }={frac {left|{vec {v}}_{mathrm {B} }-{vec {v}}_{mathrm {A} }right|}{1-{frac {{vec {v}}_{mathrm {A} }{vec {v}}_{mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}

Perpendicular velocities[edit]

In the case where two objects are traveling in perpendicular directions, the relativistic relative velocity {vec  {v}}_{{mathrm  {B|A}}} is given by the formula:

{vec  {v}}_{{mathrm  {B|A}}}={{frac  {{vec  {v}}_{{mathrm  {B}}}}{gamma _{{mathrm  {A}}}}}}-{vec  {v}}_{{mathrm  {A}}}

where

{displaystyle gamma _{mathrm {A} }={frac {1}{sqrt {1-left({frac {v_{mathrm {A} }}{c}}right)^{2}}}}}

The relative speed is given by the formula

{displaystyle v_{mathrm {B|A} }={frac {sqrt {c^{4}-left(c^{2}-v_{mathrm {A} }^{2}right)left(c^{2}-v_{mathrm {B} }^{2}right)}}{c}}}

General case[edit]

The general formula for the relative velocity {vec  {v}}_{{mathrm  {B|A}}} of an object or observer B in the rest frame of another object or observer A is given by the formula:[1]

{displaystyle {vec {v}}_{mathrm {B|A} }={frac {1}{gamma _{mathrm {A} }left(1-{frac {{vec {v}}_{mathrm {A} }{vec {v}}_{mathrm {B} }}{c^{2}}}right)}}left[{vec {v}}_{mathrm {B} }-{vec {v}}_{mathrm {A} }+{vec {v}}_{mathrm {A} }(gamma _{mathrm {A} }-1)left({frac {{vec {v}}_{mathrm {A} }cdot {vec {v}}_{mathrm {B} }}{v_{mathrm {A} }^{2}}}-1right)right]}

where

{displaystyle gamma _{mathrm {A} }={frac {1}{sqrt {1-left({frac {v_{mathrm {A} }}{c}}right)^{2}}}}}

The relative speed is given by the formula

{displaystyle v_{mathrm {B|A} }={sqrt {1-{frac {left(c^{2}-v_{mathrm {A} }^{2}right)left(c^{2}-v_{mathrm {B} }^{2}right)}{left(c^{2}-{vec {v}}_{mathrm {A} }cdot {vec {v}}_{mathrm {B} }right)^{2}}}}}cdot c}

See also[edit]

  • Doppler effect
  • Non-Euclidean geometry § Kinematic geometries
  • Peculiar velocity
  • Proper motion
  • Range rate
  • Radial velocity
  • Rapidity
  • Relativistic speed
  • Space velocity (astronomy)

Notes[edit]

  1. ^ For example, replace the “Man” by a photon traveling at the speed of light.
  2. ^ This result is valid if all motion is restricted to the x-axis, but can be easily generalized by replacing the first equation by {vec  {r}},'={vec  {r}}-{vec  {v}}t
  3. ^ It is easy to be confused about the minus sign before v, or whether v is defined in the prime or unprimed reference frame. It might help to visualize the fact that if x = vt, then x′ = 0, meaning that a particle that is following the path x = vt is at rest in the primed reference frame.
  4. ^ Keep in mind that, due to time dilation, dt = dt′ is valid only in the approximation that the speed is much less than that of light.

References[edit]

  1. ^ Fock 1964 The theory of Space Time and Gravitation, retrieved from https://archive.org/details/TheTheoryOfSpaceTimeGravitation

Further reading[edit]

  • Alonso & Finn, Fundamental University Physics ISBN 0-201-56518-8
  • Greenwood, Donald T, Principles of Dynamics.
  • Goodman and Warner, Dynamics.
  • Beer and Johnston, Statics and Dynamics.
  • McGraw Hill Dictionary of Physics and Mathematics.
  • Rindler, W., Essential Relativity.
  • KHURMI R.S., Mechanics, Engineering Mechanics, Statics, Dynamics

External links[edit]

  • Relative Motion at HyperPhysics
  • A Java applet illustrating Relative Velocity, by Andrew Duffy
  • Relatív mozgás (1)…(3) Relative motion of two train (1)…(3). Videos on the portal FizKapu. (in Hungarian)
  • Sebességek összegzése Relative tranquility of trout in creek. Video on the portal FizKapu. (in Hungarian)

Добавить комментарий