Как найти вектор перпендикулярный уравнению прямой

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a → и b → равном нулю для выполнения равенства a → , b → = 0 достаточно для их перпендикулярности.

Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 .

Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a → и b → перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90 ° . Тогда имеем a → , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Вторая часть доказательства

При условии, когда a ⇀ , b → = 0 доказать перпендикулярность a → и b → .

По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a → и b → ненулевые, значит, из равенства a ⇀ , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ) ^ найдем косинус. Тогда получим cos ( a → , b → ) ^ = ( a → , b → ) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a → , b → ^ векторов a → и b → равен 90 ° . По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) , на плоскости и ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = ( 2 , — 3 ) , b → = ( — 6 , — 4 ) .

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = 2 · ( — 6 ) + ( — 3 ) · ( — 4 ) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Даны координатные векторы i → , j → , k → . Проверить, могут ли векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → быть перпендикулярными.

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты ( 1 , — 1 , 0 ) и ( 1 , 2 , 2 ) . Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 2 = — 1 .

Выражение не равно нулю, ( i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → ) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.

Даны векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( λ , 5 , 1 ) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.

Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + ( — 2 ) · 1 = 0 ⇔ λ = 2

Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Дан треугольник А В С со сторонами А В = 8 , А С = 6 , В С = 10 см. проверить на перпендикулярность векторы A B → и A C → .

При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С , следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → . Если вектору i → перпендикулярен вектор j → или любой из векторов λ · j → при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b → , перпендикулярному a → = ( a x , a y ) , сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = ( a x , a y ) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = — a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = — a x · b x a y .

Дан вектор с координатами a → = ( — 2 , 2 ) . Найти перпендикулярный данному вектор.

Обозначим искомый вектор как b → ( b x , b y ) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → . Тогда получим: ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = — 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: — 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ — 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = — 2 — 2 = 1 2 . Значит, вектор b → = ( 1 2 , 1 ) является вектором, перпендикулярным a → .

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = ( a x , a y , a z ) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α . В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .

Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = ( a x , a y , a z ) .

Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , ( a y ≠ 0 или a z ≠ 0 ). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = — a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = — a y · b y + a z · b z a x . Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = ( a x , a y , a z ) .

Рассмотрим доказательство на примере.

Дан вектор с координатами a → = ( 1 , 2 , 3 ) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Обозначим искомый вектор за b → = ( b x , b y , b z ) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — ( 2 · b y + 3 · b z )

Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = — 2 · b y — 3 · b z = — ( 2 · 1 + 3 · 1 ) = — 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → ( — 5 , 1 , 1 ) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b → = ( — 5 , 1 , 1 ) .

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a → и b → называют вектор, одновременно перпендикулярный и a → и b → . Для решения данной задачи применяется векторное произведение a → × b → . Для трехмерного пространства имеет вид a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Заданы векторы b → = ( 0 , 2 , 3 ) и a → = ( 2 , 1 , 0 ) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 — k → · 1 · 0 — j → · 2 · 3 — i → · 0 · 2 = 3 · i → + ( — 6 ) · j → + 4 · k →

Ответ: ( 3 , — 6 , 4 ) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть дана некоторая точка М₀ и вектор n. Проведем через точку М₀ прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).

Пусть M — произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор (overrightarrowM>) перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n и (overrightarrowM>) равнялось нулю:

Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки M₀ и M имеют координаты (x₀ ; у₀ ) и (x; у).

Тогда (overrightarrowM>) = (x — x₀; у — у₀). Обозначим координаты нормального вектора n через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М₀ (x₀; у₀) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).

Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5) (рис.83).

Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:

— 1 • (x-2) + 5 • (у + 3) = 0

или, окончательно, x — 5у — 17 = 0.

Задача 2. Даны точки M₁(2; -1) и M₂(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору (overrightarrowM_<2>>).

Нормальный вектор искомой прямой n = (overrightarrowM_<2>>) имеет координаты (2; 6) (рис. 84).

Следовательно, по формуле (2) получим уравнение

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках M₁(-5; 2), M₂(5; 6) и M₃(1; -2) проведена медиана M₁А₁. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А₁ перпендикулярно медиане M₁A₁ (рис. 85).

За нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор n = (overrightarrowA_<1>>). Определим его координаты. Точка A₁ — середина отрезка M₂M₃, поэтому, если (x₁; y₁) — ее координаты, то ( x_1 = frac<5+1><2>=3, ;;а ;; y_1=frac<6-2><2>=2 ).

Тогда нормальный вектор n = (overrightarrowA_<1>>) имеет координаты (8; 0). Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид

Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(-3; -1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне AB (рис. 86).

За нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор n = (overrightarrow).

Так как n = (2-(-3); 7 — (-1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора n в формулу (2), получим

или, окончательно, 5х + 8у — 57 = 0.

2.2.5. Нормальный вектор прямой

Или вектор нормали.

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), но нам хватит одного:

Если прямая задана общим уравнением в декартовой системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Обратите внимание, что это утверждение справедливо лишь для «школьной» системы координат; все предыдущие выкладки п. 2.2 работают и в общем аффинном случае.

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:

И тут всё ещё проще: если координаты направляющего вектора приходилось аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Ведь вектор нормали ортогонален направляющему вектору и образует с ним «жесткую конструкцию».

Определение.
Любой ненулевой вектор, перпендикулярный
прямой называется её нормальным
вектором,
и обозначается
.

Теорема.
Алгебраическое уравнение 1-й степени

,

где
коэффициенты
– произвольные действительные числа,
одновременно не равные нулю, являетсяуравнением
прямой на плоскости
,
а вектор
является её нормальным вектором.

Верно
обратное:
на координатной плоскости
уравнение
любой прямой с нормальным вектором,
может быть записано в виде алгебраического
уравнения.

Определение.
Уравнение прямой вида

,

где
коэффициенты
– произвольные действительные числа,
одновременно не равные нулю, называетсяобщим
уравнением прямой.

Известно,
что прямая определяется двумя точками.
Пусть

и

–
точки, лежащие на прямой
,
–
произвольная точка этой прямой. Тогда
векторы
и– коллинеарны, а их координаты
пропорциональны. Получаемуравнение
прямой, проходящей через две точки:

.

Определение.
Вектор,
параллельный прямой, называется
направляющим
вектором прямой.

Определение.
Пусть
– направляющий вектор прямой. Тогда из
предыдущего уравнения получаемканоническое
уравнение прямой:

.

Определение.
В
тех же обозначениях, параметрическое
уравнение прямой
имеет вид:
.

Определение.
Уравнение прямой вида
,
гдеи– произвольные, не равные нулю
действительные числа, называетсяуравнением
прямой в отрезках.

Теорема.
Пусть
– уравнение прямой в отрезках. Тогда,– координаты точек пересечения дан­ной
прямой с осями координат.

Определение.
Уравнение прямой вида
,
гдеи– произвольные действительные числа,
называетсяуравнением
прямой с угловым коэффициентом,
коэффициент
называетсяугловым
коэффициентом дан­ной
прямой.

Теорема.
Пусть
– уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Тогда,
где угол
α
равен углу наклона данной прямой к оси
,– ордината точки пересечения с осью.

Если
известны угловые коэффициенты
идвух прямых, то один из угловмежду этими прямыми определяется по
формуле:

.

Признаком
параллельности двух прямых является
равенство их угловых коэффициентов:
.

Признаком
перпендикулярности двух прямых является
соотношение:
или.

Теорема.
(Связь нормального вектора прямой с её
направляющим вектором и её угловым
коэффициентом.)

1)
Если
– нормальный вектор прямой, то– её направляющий вектор, и, если,
то– её угловой коэффициент.

2)
Если
– направляющий вектор прямой, то– её нормальный вектор, и, если, то– её угловой коэффициент.

3)
Если
угловой коэффициент прямой, то– её нормальный вектор,
–
направляющий вектор.

Взаимное
расположение двух прямых на плоскости.

Две
прямые на плоскости могут пересекаться,
совпадать или быть параллельными.

Теорема.
Пусть прямые заданы общими уравнениями:

L₁:,L₂:.
Тогда:

1)
если
,
то прямые совпадают, и система уравнений

имеет
бесконечное множество решений;

2)
если
, то прямые параллельные, и система
уравненийне имеет решений;

3)
если
, то прямые пересекаются и координаты
точки их пересечения являются единственным
решением системы уравнений

.

Определение.
Уравнение вида
,
где– расстояние от прямой до начала
координат, называетсянормальным
уравнением прямой,
– координаты орта вектора.

Чтобы
привести прямую к указанному виду,
разделим общее уравнение прямой на
, причем со знаком «+» в случае, когда, и со знаком «-» в случае, когда, получим:

.

Теорема.
Орт нормального вектора
имеет координаты:

,

где

.

Теорема.
Расстояние от прямой до произвольной
точки

находится
по формуле:

Чтобы
найти расстояние
между двумя параллельными прямыми,
нужно взять произвольную точку на одной
из прямых и найти расстояние от нее до
другой прямой.

Чтобы
найти множество
точек, равноудаленных от двух прямых
и, составим уравнение:

.

Раскрывая
модули в случае параллельных прямых,
получаем параллельную им прямую, лежащую
между данными прямыми, а в случае
пересекающихся прямых – биссектрисы
углов,
образованных пересечением прямых.

Определение.
Совокупность прямых, проходящих через
некоторую точку S,
называется пучком
прямых с центром S.

Теорема.
Если
и– уравнения двух прямых, пересекающихся
в точкеS,
то уравнение:

,

где
– какие угодно числа, не равные
одновременно нулю, определяют прямую,
также проходящую через точкуS.

Более
того, в указанном уравнении числа всегда
возможно подобрать так, чтобы оно
определяло любую (заранее назначенную)
прямую, проходящую через точку S,
иначе говоря, любую прямую пучка с
центром S.
Поэтому уравнение вида называется
уравнением пучка с центром S.

Решение
типовых задач

Задача
№1:

Даны
уравнения двух сторон параллелограмма
,и уравнение одной из его диагоналей.
Определить координаты вершин этого
параллелограмма.

Решение:

Найдём
координаты т.
как точки пересечения прямыхи:;;
т.Выясним, какая из диагоналей задана.

Подставим
координаты т.
в уравнение диагонали:;
т.не принадлежит заданной диагонали,
следовательно– уравнение диагонали.

Найдём
координаты т.
,
как точки пересеченияи:

;

;
т..

Найдём
координаты т.,
как точки пересеченияи:

;

;
т..

Найдём
координаты т.B:
в параллелограмме диагонали делят друг
друга пополам:
.
Найдём координаты т.:
т.– середина,
следовательно, т.;
т.,
но т.– середина,
следовательно,и, поэтомуи,
т..

Ответ:

Задача
№2:

Дана
прямая
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку:

1. параллельно
   данной прямой.

2. перпендикулярно
   к данной прямой.

Решение:

1. Искомая
   прямая параллельна прямой
   ,
   поэтому её уравнение имеет вид:.

Найдём
т.:
точкапринадлежит этой прямой, поэтому её
координаты удовлетворяют записанному
уравнению:,.
Итак, прямая принимает вид:.

1. Т.к.
   заданная и искомые прямые перпендикулярны,
   то их угловые коэффициенты удовлетворяют
   условию:
   .

Найдём
угловой коэффициент прямой
;;
итак,тогда.
Запишем уравнение искомой прямой:.

Точка
принадлежит этой прямой, поэтому;

Уравнение
прямой принимает вид:

.

Ответ:
;.

Задача
№3:

Определить,
при каких значениях a
и b
две прямые
,
:

1. имеют
   одну общую точку;

2. параллельны;

3. совпадают.

Решение:

1. Прямые
   имеют одну общую точку, когда они не
   параллельны (их коэффициенты при x
   и y
   не пропорциональны):
   ;

2. Прямые
   параллельны, когда коэффициенты при x
   и y
   пропорциональны:
   ;.

3. Прямые
   совпадают, когда все их коэффициенты
   пропорциональны:
   ;.

Задача
№4:

Найти
проекцию точки
на прямую.

Решение:

Проведём
через т.прямую,
перпендикулярную прямой.
Точкапересечения прямых и является искомой
проекцией.

Прямая
перпендикулярна заданной прямой, поэтому
её направляющим вектором служит
нормальный вектор прямой,
т.е..

Запишем
уравнение прямой
в каноническом виде:

;

– уравнение.

Найдём
координаты т.:

;

;
т.

Ответ:

Задача
№5:

Найти
точку
,
симметричную точкеотносительно прямой, проходящей через
точкии.

Решение:

Составим
уравнение
,
как прямой проходящей через 2 точки:

;

– уравнение.

Найдём
уравнение прямой
перпендикулярной.

Нормальный
вектор
прямойявляется направляющим вектором прямой,
поэтому используем каноническое
уравнение прямой:;– уравнение прямой.

Найдём
координат т.,
как точки пересечения прямыхи:

;

;
т..

Так
как точка
симметрична точкеотносительно,
следовательно,
то есть т.– середина отрезка.
Найдём координаты точки,
зная начало и середину отрезка:

,

, тогда

,

,
т..

Ответ:
.

Задача
№6:

Даны
вершины треугольника
,и.
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из вершинына медиану, проведенную из вершины.

Решение:

Найдём
координаты т.,
как середины отрезка:

т.
, т..

Запишем
уравнение медианы
,
как прямой, проходящей через две известные
точки:

;

– уравнение.

Нормальный
вектор для
является направляющим для прямойперпендикулярной,
тогда уравнение примет вид:

;

– уравнение.

Ответ:
.

Задача
№7:

Даны
вершины треугольника
,,.
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из вершинына биссектрису внутреннего угла при
вершине.

Решение:

Пусть
– биссектриса.

Найдём
координаты т.воспользовавшись свойством биссектрисы:

Тогда:
;

;
т.;

Уравнение
биссектрисы
примет вид:
=

⇒
,

,перпендикулярен⇒

.

Точка
принадлежит искомому перпендикуляру,
поэтому уравнениепримет вид:.

Ответ:

Задача
№8:

Две
стороны квадрата лежат на прямых
,.
Вычислить его площадь.

Решение:

1. Выберем
   на прямой
   некоторую точку:

пусть
,
тогда⇒
,
т.е.
.

1. Найдём
   расстояние от точки
   до прямой:

⇒,
где
и есть длина стороны квадрата.

1. т.е.

   .

Ответ:
.

Задача
№9:

Даны
две противоположные вершины квадрата
и.
Составить уравнения его сторон.

Решение:

Зная
вершины
исоставим уравнение диагонали,
как прямой проходящей через две точки:⇒

– уравнение прямой
.

Т.к.
– квадрат, его диагонали являются
биссектрисами, поэтому;
найдём угловой коэффициент

.

Зная
и,
найдём угловой коэффициент:;⇒
.
Уравнение
примет вид:.

Найдём
;
Тогда уравнение.

Т.к.
перпендикулярно⇒
угловой коэффициент
.
Уравнениеимеет вид:,
тогда– уравнение.

Т.к.
– квадрат, то,
то уравнениепримет вид:.

Зная,
что точка
принадлежит прямой,
найдём свободный членискомого уравнения, итак– уравнение стороны.

Аналогично
найдём уравнение стороны
.

Ответ:

Задача
№10:

Вычислить
площадь треугольника, отсекаемого
прямой
от координатного угла.

Решение:

Запишем
уравнение прямой
в отрезках:+1.

Из
этого уравнения следует, что длины
отрезков
исоответственно равныи,
поэтомукв. ед.

Ответ:
кв.ед.

Задача
№11:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения двух его медиан.

Решение:

Выясним,
что точка
не принадлежит известным медианами.

Найдём
координаты точки
– пересечения медиан:⇒
т.

Продолжим
медиану
,
и на её продолжении отложим отрезок.
Соединим точкус вершинамии.
Полученный четырёхугольник– параллелограмм (его диагонали
пересекаясь в точке,
делятся пополам).

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известным началоми серединой

Найдём
уравнение прямой
,
зная, чтои точкалежит на этой прямой:

Найдём
координаты вершины
,
как точки пересечения прямыхи:⇒
т.

Точка
– середина отрезка,
поэтому.

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известными началоми серединой:.

Зная
координаты всех вершин треугольника
,
найдём уравнения его сторон, как прямых
проходящих через две точки.

Ответ:

Задача
№12:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения биссектрис двух его углов:

Решение:

Очевидно,
что точка
не принадлежит заданным биссектрисами.
Найдём точку,
симметричную точкеотносительно биссектрисы.
Можно доказать, что точкапринадлежит прямой.
Опустим из т.перпендикуляр на биссектрисудо пересечения в точкеи отложим.

Т.к.
перпендикулярно,
то;
точкапринадлежит прямой,
поэтому её уравнение примет вид:

Координаты
точки
найдём как точки пересечения прямыхи:⇒

т.(;).

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известными началоми серединой:().

Аналогично
найдём точку
,
симметричную т.относительно биссектрисы.
Точкапринадлежит прямой,.

Тогда
уравнение стороны
примет вид:или.

Найдём
координаты точек
и,
как точек пересечения прямойи заданных биссектрис:();

Зная
координаты вершин треугольника
,
найдём уравнения его сторон.

Ответ:

Задача
№13:

Составить
уравнения биссектрис углов, образованных
двумя пересекающимися прямыми:
и.

Решение:

Известно
свойство: биссектриса есть геометрическое
место точек, равноудалённых от сторон
угла.

Пусть
– произвольная точка искомой биссектрисы,
тогда;

;

;

;.

Тогда
уравнения биссектрис примут вид:
.

Ответ:

.

Задача
№14:

Составить
уравнение биссектрисы угла между прямыми
,
в котором лежит точка

Решение:

Найдём
отклонение точки
отзаданных
прямых, для этого приведём их уравнения
к нормальному виду:;
нормирующий множитель+;+0.

Найдём
отклонение
₁
т.от прямой, для этого в левую часть
нормального уравнения подставим
координаты т.:₁
––0.

Аналогично
найдём отклонение
₂
т.от второй прямой:₂0.
Отклонения имеют разные знаки, поэтому
при раскрытии модулей (см. решение
предыдущей задачи) справа ставим знак
«минус».

⇒

Уравнение
биссектрисы принимает вид:

Ответ:
.

Задача
№15:

На
прямой
найти точки, равноудалённые от прямыхи

Решение:

Точки
равноудалённые от прямых
и,
лежат на биссектрисах углов, образованных
этими прямыми. Аналогично решению
предыдущих задач найдём их:.

Тогда
искомые точки являются точками пересечения
этих биссектрис и прямой
,
поэтому найдём их, решая системы:и.

Ответ:

Задача
№16:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения медианыи высоты,
проведённых из различных вершин.

Решение:

Убедимся,
что точка
не принадлежит заданным медиане и
высоте.

Найдём
уравнение стороны
,
зная, что.⇒

тогда уравнение примет вид:
,
зная координаты т.,
принадлежащей,
найдём,
тогда уравнение примет вид:.

Найдём
координаты т.,
как точки пересеченияи
медианы:⇒
.

Пусть
точка
имеет координатыи,
найдём их. Точка– середина,
поэтому

Точка
принадлежит медиане,
точкапринадлежит высоте,
поэтомуинайдём, решая систему:

Откуда
Зная координаты вершин треугольника,
найдём уравнения всех его сторон.

Ответ:
.

Задача
№17:

Через
точку
провести прямую так, чтобы её отрезок,
заключённый между прямыми,
делился бы в точкепополам.

Решение:

Обозначим
через
иточки пересечения заданных прямых и
искомой прямой и пустьтогдат.к.– середина отрезка.
Координатынайдём, составив систему уравнений:⇒
⇒.

Составим
уравнение искомой прямой, которая
проходит через две точки, например,
и:

Ответ:

Задача
№18:

Составить
уравнения сторон треугольника
,
зная одну из его вершина также уравнение высотыи биссектрисы,
проведённых из одной вершины. Решить
задачу, не вычисляя координат вершини.

Решение:

Можно
проверить, что т.не принадлежит ни высоте,
ни биссектрисе.
Найдём уравнение стороны,
поэтому;,
зная координаты т.,
найдём.

Итак,
уравнение
имеет вид:.

Рассмотрим
пучок с центром в т.:.

Пусть
,
тогда уравнение пучка примет вид:

.
(1)

–прямая
пучка, причём координаты т.известны, поэтому найдёмдля прямой:,
поэтому уравнениепримет вид:,
т.е..

Найдём
угол между прямыми
и:tg
1⇒
.

Тогда
угол
равен 90°, т.е.;
–.
С другой стороны найдёмиз уравнения (1):

Итак,
⇒
.

Найдём
уравнение стороны
зная, что она принадлежит пучку. Подставимв уравнение (1) и получим уравнение
стороны.

Ответ:

Образовательным
результатом после изучения данной темы
является сформированность компонент,
заявленных во введении, совокупности
компетенций (знать, уметь, владеть) на
двух уровнях: пороговый и продвинутый.
Пороговый уровень соответствует оценке
«удовлетворительно», продвинутый
уровень соответствует оценкам «хорошо»
или «отлично» в зависимости от результатов
защиты кейс-заданий.

Для
самостоятельной диагностики данных
компонент вам предлагаются следующие
задания.

В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

$y = kx + b$.

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ – в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

$x cdot cos{alpha} + y cdot sin{alpha} – p = 0$

где $alpha$ – угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

1. когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
2. когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
3. когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
4. для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.

«Нормальный вектор прямой» 👇

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:

$y – y_0 = k cdot (x – x_0)$

Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой – самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.

Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.

Обозначив нормальный вектор прямой как $vec{n}(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как

$n_1 cdot (x – x_n) + n_2 cdot (y – y_0) = 0$

Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат

$Ax + By + C = 0$,

то нормальный вектор описывается формулой:

$bar{n}(A; B)$.

При этом говорят, что координаты нормального вектора “снимаются” с уравнения прямой.

Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $bar{p}(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $bar{p}(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:

$frac{x – x_0}{p_1} = frac{y – y_0}{p_2}$

В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:

$bar{p} cdot bar{n} = -B cdot A + A cdot B = 0 implies bar{p} perp bar{n}$

Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $bar{n}(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:

$A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0$



2.2.5. Нормальный вектор прямой

Или вектор нормали.

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), но нам хватит одного:

Если прямая задана общим уравнением  в декартовой системе координат, то вектор  является вектором нормали данной прямой.

Обратите внимание, что это утверждение справедливо лишь для «школьной» системы координат; все предыдущие выкладки п. 2.2  работают и в общем аффинном случае.

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:

И тут всё ещё проще: если координаты направляющего вектора  приходилось аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали  достаточно просто «снять».

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Ведь вектор нормали ортогонален направляющему вектору и образует с ним «жесткую конструкцию».

2.2.6. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Общее уравнение прямой

Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной прямой, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой прямой.

Пусть на координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы точка и ненулевой вектор (рис. 3.5, а). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и . Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны (рис. 3.5, б). Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения . Учитывая, что , получаем векторное уравнение прямой:

Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть , используя свойства скалярного произведения. Обозначая , получаем уравнение

выражающее постоянство проекций на нормаль радиус-векторов точек, принадлежащих прямой.

Получим координатную форму записи векторного уравнения прямой (3.5). Так как и , по формуле (1.9) находим или

Полученное соотношение (3.7) позволяет по координатам точки и координатам нормали записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.

Обозначив , получим общее уравнение прямой на плоскости

Поскольку коэффициенты и не равны нулю одновременно (это координаты ненулевого вектора ), уравнение (3.8) является алгебраическим уравнением первой степени, т.е. линейным уравнением с двумя неизвестными. Следовательно, прямая является алгебраической линией первого порядка.

Проводя рассуждения в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (3.8) задает на координатной плоскости прямую. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 3.1, они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат.

Теорема (3.2) об алгебраической линии первого порядка. Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными задает в аффинной системе координат прямую, и наоборот, всякая прямая в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением первой степени с двумя неизвестными. Другими словами, алгебраическая линия первого порядка есть прямая.

---

Замечания 3.2

1. При составлении общего уравнения прямой нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали , а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор () также является нормалью). Например, вместо нормали можно взять нормаль , что соответствует умножению обеих частей уравнения (3.8) на число .

2. Если один из коэффициентов уравнения прямой (3.8) равен нулю, общее уравнение прямой (3.8) принимает один из следующих частных видов:

а) если , уравнение (3.8) имеет вид или уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (рис.3.6.a); при прямая совпадает с осью ;

б) если , уравнение (3.8) имеет вид или уравнение прямой, параллельной оси ординат (рис.3.6,б); при прямая совпадает с осью ;

в) если , уравнение (3.8) имеет вид – уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.3.6,в).

3. Нормаль к прямой совпадает с градиентом функции :

В курсе математического анализа доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (рис.3.7,а): положительную, координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству , и отрицательную, для точек которой . Нормаль , приложенная к любой точке прямой, принадлежит положительной полуплоскости. Другими словами, нормаль, приложенная к произвольной точке прямой, указывает на положительную полуплоскость (рис.3.7,а).

Действительно, обозначим через — многочлен первой степени от двух переменных и . Тогда для любой точки , принадлежащей прямой (3.8), справедливо равенство . Представим значение многочлена в произвольной точке плоскости в виде скалярного произведения:

где — нормаль к прямой ; — точка, принадлежащая этой прямой. Знак выражения определяется величиной угла между нормалью и вектором . Например, для точки угол острый (рис.3.7,б), поэтому , а для точки угол тупой (рис.3.7,б), поэтому . Следовательно, координаты любой точки , принадлежащей полуплоскости, на которую указывает нормаль, удовлетворяют неравенству , а координаты точек другой полуплоскости- неравенству .

5. Абсолютное значение пропорционально расстоянию от точки до прямой , т.е. отношение расстояний от точек и до прямой равно отношению .

Действительно, в пункте 3 получено представление значений линейного трехчлена в виде скалярного произведения, которое можно выразить через алгебраическое значение длины ортогональной проекции:

Запишем отношение значений линейного трехчлена для двух точек и :

Учитывая, что абсолютная величина равна расстоянию от точки до прямой, получаем искомое отношение

6. В аффинной системе координат линейное уравнение ах задает, согласно теореме 3.2, прямую. Выводы, полученные в пунктах 2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь исключением, что вектор не является нормалью.

---

Пример 3.5. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы точки и . Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку (рис.3.8).

Решение. Серединный перпендикуляр, по определению, проходит перпендикулярно отрезку через его середину. Находим координаты середины отрезка :

то есть .

Вектор можно взять в качестве нормали для серединного перпендикуляра. Находим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала:

Следовательно, уравнение (3.8) искомой прямой имеет вид . Осталось найти величину свободного члена . Поскольку точка принадлежит прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой, следовательно, . Отсюда . Таким образом, серединный перпендикуляр задается уравнением

Уравнение этой прямой можно было получить в виде (3.7), подставляя координаты нормали и точки .

Решение задачи получено аналитически без использования графического изображения (рис.3.8). Чертеж в аналитической геометрии служит, как правило, лишь иллюстрацией к решению.

---

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы на плоскости прямая, описываемая общим уравнением (3.8) , и точка . Требуется найти расстояние от точки до прямой.

Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора на направление нормали (рис.3.9):

, где — любая точка на заданной прямой.

Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов , :

Поскольку координаты точки удовлетворяют уравнению (3.8), то . Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки до прямой

---

Пример 3.6. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы точки и . Требуется найти, в каком отношении прямая делит отрезок .

Решение. Найдем значения линейного трехчлена в точках и : ; . Получили значения разных знаков. Следовательно, точки и лежат по разные стороны от прямой (согласно пункту 4 замечаний 3.2, эти точки лежат в разных полуплоскостях), т.е. прямая действительно пересекает отрезок (в точке на рис.3.10). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек и до прямой , то

Этот же результат можно получить по формуле (3.9). Находим расстояния и от точек и до прямой :

Следовательно, .

---

Нормированное уравнение прямой

Преобразуем общее уравнение прямой следующим образом. Если свободный член , то разделим обе части на длину нормали , а если , то разделим на . Получим уравнение

в котором свободный член , в силу описанного выбора знака, неположительный. Обозначим его через . Коэффициенты при неизвестных являются координатами единичного вектора или , и равны направляющим косинусам:

Тогда уравнение принимает вид (3.10) и называется нормированное уравнение прямой

---

Замечания 3.3

1. Свободный член нормированного уравнения (3.10) равен расстоянию от начала координат до прямой.

Действительно, по формуле (3.9) находим расстояние от начала координат до прямой, описываемой уравнением (3.10):

2. Нормированное уравнение прямой (3.10) можно записать в виде (3.7): , если в качестве нормали л выбрать единичный вектор , так как . Из двух возможных единичных нормалей условию отвечает нормаль , направленная к прямой (рис.3.11), если вектор приложить к началу координат. При выборе противоположного вектора получилось бы отрицательное значение , которое не допускается в уравнении (3.10).

3. Коэффициенты общего уравнения прямой (3.8) определяются неоднозначно в силу неоднозначного выбора нормали. При составлении нормированного уравнения (3.10) прямой такого произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при ) или с точностью до знака (при ).

4. Нормированное уравнение прямой имеет смысл только в прямоугольной системе координат.

---

Пример 3.7. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.3.12). Требуется:

а) составить общее и нормированное уравнения прямой, содержащей высоту ;

б) найти расстояние от начала координат до прямой ;

в) найти расстояние от точки до прямой .

Решение. а) Вектор , перпендикулярный прямой , является нормалью для этой прямой. Находим координаты вектора , вычитая из координат конца координаты его начала:

Коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой равны координатам нормали, поэтому и , т.е. уравнение имеет вид . Подберем свободный член так, чтобы прямая проходила через точку . Для этого подставим координаты и точки в уравнение: . Отсюда . Таким образом, искомое общее уравнение имеет вид: .

Преобразуем общее уравнение . Поскольку в этом уравнении , разделим его на . Получим нормированное уравнение прямой . Сравнивая с (3.10), находим направляющие косинусы и параметр .

б) Из пункта 1 замечаний 3.3 следует, что искомое расстояние от начала координат до прямой равно .

в) Расстояние от точки до прямой находим по формуле (3.9):

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.