Как найти вектор по данным 2 точками

Координаты вектора по двум точкам

Чтобы найти координаты вектора по двум точкам нужно найти разность между координатами конца и начала вектора. Пусть даны две точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $Вектор $ overline{AB} $ для плоской задачи можно найти по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) $$

В случае, если точки расположены в пространстве $ A(x_1;y_1;z_1) $ и $ B(x_2;y_2;z_2) $, то координаты вектора $ overline{AB}  $ расчитываются по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1) $$

Следует обратить внимание, что координаты вычисляются именно с помощью вычитания начальной точки из конечной, но не наоборот. То есть векторы $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $ имеют разные координаты: $$ overline{AB} neq overline{BA} $$

Пример 1
Даны точки $ A(2;1;-3) $ и $ B(1;0;2) $. Найти координаты векторов $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $
Решение

Как найти координаты вектора по двум точкам? Согласну правилу нужно из конечной точки вычесть начальную. Так как вектор $ overline{AB} $ имеет начало в точке $ A $, а конец в $ B $, то получаем:

$$ overline{AB} = (1-2;0-1;2-(-3)) = (-1; -1; 5) $$

Теперь посмотрим на вектор $ overline{BA} $, в котором начало в точке $ B $, а конец в $ A $. Поэтому имеем:

$$ overline{BA} = (2-1;1-0;-3-2)=(1;1;-5) $$

Как видим, векторые разные, и координаты их тоже отличаются.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ overline{AB} = (-1;-1;5) $$ $$ overline{BA} = (1;1;-5) $$

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i→ должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j→ с осью Oy.

Определение 1

Векторы i→ и j→ называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p→ можно разложить по векторам p→=xi→+yj→. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p→ по координатным векторам называются координатами вектора p→ в данной системе координат.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p→x; y. На рисунке вектор OA→ имеет координаты 2; 1, а вектор b→ имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 0→0; 0.

Если векторы a→ и b→ равны, то и y1=y2. Запишем это так: a→=x1i→+y1j→=b→=x2i→+y2j→, значит x1=x2, y1=y2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB→: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Из формулы сложения векторов имеем OA→+AB→=OB→, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB→=OB→-OA→.

OA→ и OB→ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA→=xa, ya, OB→=xb, yb.

По правилу операций над векторами найдем AB→=OB→-OA→=xb-xa, yb-ya.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Пример 1

Найти координаты OA→ и AB→ при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).

Решение

Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA→=(2,-3). Чтобы найти AB→, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: AB→=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).

Ответ: OA→=(2,-3), AB→=(-6,-2).

Пример 2

Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB→=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB→.

Решение

Подставляем координаты точки A: AB→=(xb-3, yb-5, zb-7).

По условию известно, что AB→=(2, 0,-2).

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2

Отсюда следует, что координаты точки B AB→равны: xb=5yb=5zb=5 

Ответ:  B(5, 5, 5).

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Онлайн калькулятор для нахождения координат вектора на плоскости по двум или по трём точкам в пространстве.

Чтобы узнать координаты вектора в плоскости (i,j) или найти координаты вектора в пространстве (i,j,k), необходимо произвести ряд однотипных вычислений на основе координат точек его начала и конца.

Предположим, нам дана точка начала вектора A с координатами (1;2) и точка конца вектора с координатами B(3;5). Для того чтобы рассчитать координаты самого вектора необходимо отнять координату начала от координаты конца вдоль каждой оси.
[ bar{i}=x_{2}-x_{1}=3-1=2 ]
[ bar{j}=y_{2}-y_{1}=5-2=3 ]

Таким образом, координатами вектора становятся (2;3), причем порядок расположения координат строго соблюдается. Аналогично происходит, если отталкиваться от координат в пространстве (x,y,z).
[ A(0;3;1) ]
[ B(2;2;1) ]
[ bar{i}=x_{2}-x_{1}=2-0=2 ]
[ bar{j}=y_{2}-y_{1}=2-3=-1 ]
[ bar{k}=z_{2}-z_{1}=1-1=0 ]
Координаты вектора: [ = (2,-1,0) ]

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»



1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?

Задача 1

Даны две точки плоскости  и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения

важного момента, не поленюсь:

И момент здесь таков:
в чём различие между координатами точек и координатами векторов?

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат (единичные векторы тут

вообще ни при чём). Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает

строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании мы легко можем переобозначить

его через  и отложить от какой-нибудь другой точки

плоскости. Следует отметить, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис,

в данном случае ортонормированный базис плоскости .
Записи координат точек  и координат

вектора  формально одинаковы, но смысл

координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и

для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

Задача 2

а) Даны точки  и . Найти векторы  и .
б) Даны точки  и . Найти векторы  и .
в) Даны точки  и . Найти векторы  и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно…. Не пропускаем! Решаем письменно и «от руки»! Чертежи делать не нужно (коль скоро, не требовалось).

Решения и ответы в конце книги.

Для проверки вычислений удобно использовать Геометрический калькулятор, приложенные к данному

курсу. Дабы избежать нелепых ошибок а-ля «2 + 2 = 5». А подобные «затмения» бывают. Даже у профессоров. Отвлёкся – и

студентка сбежала 🙂

1.5.2. Как найти длину отрезка?

1.4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Содержание:

  • Формула
  • Примеры нахождения координат вектора по точкам

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_{1} ; y_{1}right)$ и конца $Bleft(x_{2} ; y_{2}right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть

$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)$$

Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)$ и $Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:

$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)$$

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Пример

Задание. Даны точки
$A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline{A B}$ и
$overline{B A}$

Решение. Для вектора $overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом. Тогда координаты вектора $overline{A B}$ равны

$$overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)$$

Для вектора точка
$B$ является началом, а точка
$A$ – концом. Тогда координаты вектора $overline{B A}$ равны

$$overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)$$

Ответ. $overline{A B}=(-2 ; 2), overline{B A}=(2 ;-2)$

Пример

Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов
$overline{A B}$,
$overline{A C}$,
$overline{B C}$

Решение. Для искомого вектора
$overline{A B}$ точка
$A$ является началом, а точка
$B$ – концом. Тогда координаты вектора
$overline{A B}$ соответственно равны:

$$overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$

Для вектора $overline{A C}$ точка
$A$ является началом, а точка
$C$ – концом. Тогда его координаты соответственно равны

$$overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)$$

Для вектора $overline{B C}$ точка
$B$ является началом, а точка
$C$ – концом. Его координаты равны

$$overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)$$

Ответ. $overline{A B}=(2 ; 4 ; 1), overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5), overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)$

Читать дальше: как найти сумму векторов.

  • Как найти сумму векторов
  • Как найти скалярное произведение векторов
  • Как найти векторное произведение векторов
  • Как найти смешанное произведение векторов
  • Как найти вектор коллинеарный вектору
  • Как найти вектор перпендикулярный вектору
  • Как найти орт вектора
  • Как найти разность векторов
  • Как найти проекцию вектора
  • Как найти длину вектора
  • Как найти модуль вектора
  • Как найти координаты вектора
  • Как найти направляющие косинусы вектора
  • Как найти угол между векторами
  • Как найти косинус угла между векторами

Добавить комментарий