Как найти вектор средней скорости

Как найти вектор средней скорости

Содержание:

  • Определение и формула средней скорости
  • Вектор средней скорости
  • Единицы измерения
  • Примеры решения задач

Определение и формула средней скорости

Определение

Средней путевой скоростью материальной точки на отрезке времени
$Delta t$называется скалярная физическая величина, равная отношению
длины пути, пройденного точкой к промежутку времени, в течение которого данный путь пройден. Среднюю скорость обозначают:

$$langle vrangle, bar{v}, v_{s r}$$

Математически определение средней скорости можно записать в следующем виде:

$$langle vrangle(t+Delta t)=frac{Delta s}{Delta t}=frac{s(t+Delta t)-s(t)}{Delta t}(1)$$

где $Delta s=s(t+Delta t)-s(t)$ – длина пути, которую прошла точка за время
$Delta t$.

Если перейти к пределу при $Delta t rightarrow 0$ , получим:

$$lim _{Delta t rightarrow 0}langle vrangle=lim _{Delta t rightarrow 0} frac{Delta s}{Delta t}=frac{d s}{d t}=v(t)(2)$$

средняя путевая скорость в пределе совпадает с величиной (модулем) мгновенной скорости точки в момент времени t.

При равномерном движении:

$$langle vrangle=v(3)$$

Вектор средней скорости

Определение

Вектором средней скорости $langlevec{v}rangle$ материальной точки на
отрезке времени $Delta t$называют величину, равную приращению радиус-вектора,
который определяет положение данной точки к промежутку времени $Delta t$:

$$langlebar{v}rangle(t+Delta t)=frac{Delta bar{r}}{Delta t}=frac{bar{r}(t+Delta t)-bar{r}(t)}{Delta t}(4)$$

где $Delta bar{r}$ – приращение радиус-вектора материальной точки.

Вектор средней скорости в пределе при $Delta t rightarrow 0$ совпадает с вектором скорости в момент времени t:

$$lim _{Delta t rightarrow 0}langlebar{v}rangle=lim _{Delta t rightarrow 0} frac{Delta bar{r}}{Delta t}=frac{d bar{r}}{d t}=bar{v}(t)(5)$$

где $bar{v}(t)$ – вектор мгновенной скорости токи.

Если точка совершает равномерное и прямолинейное движение, то выполняется равенство:

$$langlebar{v}rangle=bar{v}(6)$$

Средняя путевая скорость и модуль вектора средней скорости равны
$(langle vrangle=|langlebar{v}rangle|)$ только при прямолинейном движении.
При всех остальных видах движения выполняется неравенство:

$$langle vrangle>|langlebar{v}rangle|(7)$$

Единицы измерения

Основной единицей измерения средней скорости в системе СИ является: м/с

В СГС: см/с

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какова средняя скорость материальной точки за время ее движения, если точка прошла первую половину
пути имея скорость v1, остальную часть пути данная точка 1/2 времени двигалась со скоростью v2, последний
участок пути точка двигалась со скоростью v3.

Решение. В качестве основы для решения задачи формулу:

$$langle vrangle=frac{s}{Delta t}(1.1)$$

где время потраченное на путь ($Delta t$) делится на три части:

$$Delta t=t_{1}+t_{2}+t_{3}(1.2)$$

При этом имеют место следующие соотношения между отрезками пути, скоростью их преодоления и временем:

$$left{begin{array}{c}frac{1}{2} s=v_{1} t_{1} rightarrow t_{1}=frac{s}{2 v_{1}} \ frac{1}{2} s=v_{2} t_{2}+v_{3} t_{3} rightarrow t_{3}=frac{s}{2left(v_{2}+v_{3}right)}(1.3) \ t_{2}=t_{3}=frac{1}{2} tend{array}right.$$
$$langle vrangle=frac{2 v_{1}left(v_{2}+v_{3}right)}{v_{2}+v_{3}+2 v_{1}}$$

Ответ. $langle vrangle=frac{2 v_{1}left(v_{2}+v_{3}right)}{v_{2}+v_{3}+2 v_{1}}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Какова средняя скорость частицы, движущейся по оси Xза время в течение которого, она пройдет первые
s метров пути, если функция скорости задана уравнением: $v=A sqrt{x}$,
где A=const>0. Считать, что x=0 при t=0.

Решение. Сделаем рисунок.

В качестве основы для решения задачи используем формулу для средней путевой скорости, так как движение прямолинейное,
то средняя путевая скорость равна модулю вектора средней скорости. По условию задачи точка движется по оси X, тогда:

$$langle vrangle(t+Delta t)=frac{Delta x}{Delta t}(2.1)$$

По условиям x(t=0)=0, среднюю скорость ищем, когда тело находится в точкеx=sследовательно, выражение (2.1) преобразуем к виду:

$$langle vrangle=frac{s}{t}(2.2)$$

Найдем зависимость скорости от времени, исходя из определения мгновенной скоростидля движения точки по оси X:

$$v=frac{d x}{d t}=A sqrt{x}(2.3)$$

Выразим из (2.2) x:

$$frac{d x}{sqrt{x}}=A d t rightarrow x=frac{A^{2} t^{2}}{4}(2.4)$$

Так как движение происходит по оси X, то $x=s=frac{A^{2} t^{2}}{4}$ . Выразим время, которое точка затратила на путьs :

$$t=frac{2 sqrt{s}}{A}(2.5)$$

Подставим время из (2.4) в формулу (2.2):

$$langle vrangle=frac{A}{2} sqrt{s}$$

Ответ. $langle vrangle=frac{A}{2} sqrt{s}$

Читать дальше: Формула угловой скорости.

Источник

Мгновенная и средняя скорость

Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью.

Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения ” open=” υ = ∆ r ∆ t ; ” open=” υ ↑ ↑ ∆ r .

Рисунок 1 . Средняя скорость сонаправлена перемещению

Модуль средней скорости по пути равняется ” open=” υ = S ∆ t .

Мгновенная скорость точки. Формулы

Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость ” open=” υ при стремлении промежутка времени ∆ t к 0 :

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение d r совпадает с бесконечно малым элементом траектории d s .

Рисунок 2 . Вектор мгновенной скорости υ

Имеющееся выражение υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

Перемещение и мгновенная скорость

Запись модуля вектора υ примет вид:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r = r q 1 , q 2 , q 3 , тогда значение скорости запишется как:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

Рисунок 3 . Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

При сферических координатах предположим, что q 1 = r ; q 2 = φ ; q 3 = θ , то получим υ , представленную в такой форме:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ , где υ r = r ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .

Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением d r = υ ( t ) d t

Дан закон прямолинейного движения точки x ( t ) = 0 , 15 t 2 – 2 t + 8 . Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.

Решение

Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:

υ ( t ) = x ˙ ( t ) = 0 . 3 t – 2 ; υ ( 10 ) = 0 . 3 × 10 – 2 = 1 м / с .

Ответ: 1 м / с .

Движение материальной точки задается уравнением x = 4 t – 0 , 05 t 2 . Вычислить момент времени t о с т , когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость ” open=” υ .

Решение

Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:

υ ( t ) = x ˙ ( t ) = 4 – 0 , 1 t .

4 – 0 , 1 t = 0 ; t о с т = 40 с ; υ 0 = υ ( 0 ) = 4 ; ” open=” υ = ∆ υ ∆ t = 0 – 4 40 – 0 = 0 , 1 м / с .

Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0 , 1 м / с .

Формула средней скорости

Определение и формула средней скорости

Средней путевой скоростью материальной точки на отрезке времени $Delta t$называется скалярная физическая величина, равная отношению длины пути, пройденного точкой к промежутку времени, в течение которого данный путь пройден. Среднюю скорость обозначают:

$$langle vrangle, bar, v_$$

Математически определение средней скорости можно записать в следующем виде:

где $Delta s=s(t+Delta t)-s(t)$ – длина пути, которую прошла точка за время $Delta t$.

Если перейти к пределу при $Delta t rightarrow 0$ , получим:

средняя путевая скорость в пределе совпадает с величиной (модулем) мгновенной скорости точки в момент времени t.

При равномерном движении:

Вектор средней скорости

Вектором средней скорости $langlevecrangle$ материальной точки на отрезке времени $Delta t$называют величину, равную приращению радиус-вектора, который определяет положение данной точки к промежутку времени $Delta t$:

где $Delta bar$ – приращение радиус-вектора материальной точки.

Вектор средней скорости в пределе при $Delta t rightarrow 0$ совпадает с вектором скорости в момент времени t:

где $bar(t)$ – вектор мгновенной скорости токи.

Если точка совершает равномерное и прямолинейное движение, то выполняется равенство:

Средняя путевая скорость и модуль вектора средней скорости равны $(langle vrangle=|langlebarrangle|)$ только при прямолинейном движении. При всех остальных видах движения выполняется неравенство:

Единицы измерения

Основной единицей измерения средней скорости в системе СИ является: м/с

Примеры решения задач

Задание. Какова средняя скорость материальной точки за время ее движения, если точка прошла первую половину пути имея скорость v1, остальную часть пути данная точка 1/2 времени двигалась со скоростью v2, последний участок пути точка двигалась со скоростью v3.

Решение. В качестве основы для решения задачи формулу:

где время потраченное на путь ($Delta t$) делится на три части:

При этом имеют место следующие соотношения между отрезками пути, скоростью их преодоления и временем:

Ответ. $langle vrangle=frac<2 v_<1>left(v_<2>+v_<3>right)>+v_<3>+2 v_<1>>$

Задание. Какова средняя скорость частицы, движущейся по оси Xза время в течение которого, она пройдет первые s метров пути, если функция скорости задана уравнением: $v=A sqrt$, где A=const>0. Считать, что x=0 при t=0.

Решение. Сделаем рисунок.

В качестве основы для решения задачи используем формулу для средней путевой скорости, так как движение прямолинейное, то средняя путевая скорость равна модулю вектора средней скорости. По условию задачи точка движется по оси X, тогда:

По условиям x(t=0)=0, среднюю скорость ищем, когда тело находится в точкеx=sследовательно, выражение (2.1) преобразуем к виду:

Найдем зависимость скорости от времени, исходя из определения мгновенной скоростидля движения точки по оси X:

Выразим из (2.2) x:

Так как движение происходит по оси X, то $x=s=frac t^<2>><4>$ . Выразим время, которое точка затратила на путьs :

Подставим время из (2.4) в формулу (2.2):

Ответ. $langle vrangle=frac <2>sqrt$

Вектор скорости и ускорения материальной точки и их модули. Пример решения задач.

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_21_34_srednjaja_skorost.php

Вектор скорости и ускорения материальной точки и их модули. Пример решения задач.

[/spoiler]

Источник

Неравномерное движение — движение с переменной скоростью, которая может менять как направление, так и модуль.

Неравномерное движение можно охарактеризовать средней скоростью. Различают среднюю векторную и среднюю скалярную скорости.

Средняя векторная скорость

Определение и формулы

Средняя векторная скорость — это скорость, равная отношению перемещения тела ко времени, в течение которого это перемещение было совершено.

vср — средняя векторная скорость, s — перемещение тела, совершенное за время t

Направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением вектора перемещения.

Чтобы вычислить среднюю векторную скорость, нужно поделить сумму всех перемещений на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти перемещения были совершены:

Пример №1. Миша пробежал стометровку за 16 секунд. Через 1 минуту он вернулся на старт. Найти среднюю векторную скорость мальчика.

Миша совершил одинаковые по модулю, но разные по направлению перемещения. При сложении этих векторов получается 0. Поэтому средняя векторная скорость также равна нулю:

Средняя скалярная скорость

Определение и формулы

Средняя скалярная (путевая) скорость — это скорость, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, в течение которого этот путь был пройден.

vср — средняя путевая скорость, s — путь, пройденный телом за время t

Чтобы вычислить среднюю путевую скорость, нужно поделить сумму всех путей на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти пути были преодолены:

Пример №2. Мальчик пробежал по периметру квадратного поля сто стороной 100 м. На первые две стороны мальчик потратил по 15 секунд, а на последние две — по 20 секунд. Найти среднюю путевую скорость мальчика.

У квадрата 4 стороны, поэтому путь мальчика составляют 4 дистанции по 100 м каждая. Поэтому средняя путевая скорость равна:

Средняя скалярная скорость всегда больше или равна модулю средней векторной скорости:

  • vср=vср, если путь равен модулю перемещения. Так бывает в случае равномерного прямолинейного движения.
  • vср>vср, если путь больше модуля перемещения. Так бывает в случае неравномерного прямолинейного или любого криволинейного движения.

Пример №3. Рыболов остановился на берегу круглого пруда и увидел на противоположном берегу удобное для рыбалки место. Он к нему шел в течение 2 минут. Вычислите среднюю путевую и среднюю векторную скорости рыболова после того, как он придет на новое место, если радиус пруда равен 50 м.

Две противоположные точки окружности соединяются отрезком, проходящим через его центр — диаметром. Поэтому модуль вектора перемещения равен двум радиусам пруда:

Чтобы дойти до диаметрально противоположной точки окружности, нужно пройти путь, равный половине окружности:

Переведя 2 минуты в СИ, получим 120 с. Модуль средней векторно скорости равен:

Полезные советы и формулы

  • Если известны значения отдельных участков пути и скорости на этих участках, средняя скорость равна:

  • Если известны скорости на первой и второй половине пути (s1=s2), средняя скорость равна:

  • Если известно время прохождения отдельных участков пути и скорости движения на этих участках, средняя скорость равна:

  • Если тело движется прямолинейно и равноускорено, его средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скорости:

  • Если известны скорости тела за равные промежутки времени, его средняя скорость равна:

Пример №4. Первые полчаса автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч, а потом 1 час он двигался со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.

Нам известны скорости на каждом из участков пути и время, в течение которого каждый из этих участков был преодолен. Поэтому:

Алиса Никитина | Просмотров: 5.6k

Источник

Для
характеристики движения материаль­ной
точки вводится векторная величина —
скорость, которой определяется как
быстрота
движения,
так и его направление
в
данный момент времени.

Пусть
материальная точка движется по какой-либо
криволинейной траектории так, что в
момент времени t
ей
соответ­ствует радиус-вектор r0
(рис. 3). В течение малого промежутка
времени t
точка прой­дет путь As
и
получит элементарное (бес­конечно
малое) перемещение r.

Вектором
средней скорости <v>
назы­вается
отношение приращения r
радиуса-вектора точки к промежутку
времени t:

Направление
вектора средней скоро­сти совпадает
с направлением r.
При неограниченном уменьшении t
средняя скорость стремится к предельному
значе­нию, которое называется мгновенной
ско­ростью v:

Мгновенная
скорость v,
таким
образом, есть векторная величина, равная
первой производной радиуса-вектора
движущей­ся точки по времени. Так как
секущая в пределе совпадает с касательной,
то вектор скорости v
направлен
по касатель­ной к траектории в сторону
движения (рис. 3). По мере уменьшения t
путь s
все
больше будет приближаться к |r|,
поэтому модуль мгновенной скорости

10

Таким образом,
модуль мгновенной скоро­сти равен
первой производной пути по времени:

При
неравномерном движении модуль
мгновенной скорости с течением времени
изменяется. В данном случае пользуются
скалярной величиной (v)
—средней
ско­ростью неравномерного
движения:

Если
выражение ds
= vdt
(см.
форму­лу (2.2)) проинтегрировать по
времени в пределах от t
до
t+t,
то
найдем длину пути, пройденного точкой
за время t:

В
случае равномерного
движения число­вое
значение мгновенной скорости посто­янно;
тогда выражение (2.3) примет вид

Длина
пути, пройденного точкой за промежуток
времени от t1
до
t2,
дается
интегралом

§ 3. Ускорение и его составляющие

В
случае неравномерного движения важно
знать, как быстро изменяется скорость
с течением времени. Физической величи­ной,
характеризующей быстроту измене­ния
скорости по модулю и направлению,
является ускорение.

Рассмотрим
плоское
движение, т.
е. такое, при котором все участки
тра­ектории точки лежат в одной
плоскости. Пусть вектор v
задает
скорость точки

А в
момент времени t.
За
время t
движу­щаяся
точка перешла в положение В
и
приобрела скорость, отличную от v
как
по модулю, так и направлению и равную
v1=v
+ v.
Перенесем
вектор v1
в
точку А
и
найдем v
(рис.4).

Средним
ускорением неравномерного
движения в интервале от t
до t+t
на­зывается
векторная величина, равная от­ношению
изменения скорости v
к
интер­валу времени t:

Мгновенным
ускорением а (ускорени­ем)
материальной точки в момент време­ни
t
будет
предел среднего ускорения:

Таким образом,
ускорение а есть вектор­ная величина,
равная первой производной скорости по
времени.

Разложим
вектор v
на
две составля­ющие. Для этого из точки
А
(рис.
4) по направлению скорости v
отложим
вектор

AD,
по
модулю равный v1.
Очевидно,
что вектор CD,
равный
v,
определяет
изме­нение скорости по
модулю за
время t:
v=v1–
v.
Вторая
же составляющая вектора v-vn
характеризует
изменение скорости за время t
по
направлению.

Тангенциальная
составляющая уско­рения

11

т.е.
равна первой производной по времени от
модуля скорости, определяя тем самым
быстроту изменения скорости по модулю.
Найдем вторую составляющую ускоре­ния.
Допустим, что точка В
достаточно
близка к точке А,
поэтому
As
можно
счи­тать дугой окружности некоторого
радиу­са r,
мало отличающейся от хорды АВ.
Тогда
из подобия треугольников АОВ
и
EAD
следует
vn/AB
= v1/r,
но
так как AB
= vt,
то

В
пределе при t0
получим v1v.

Поскольку
v1v,
угол
EAD
стремится
к нулю, а так как треугольник EAD
равно­бедренный,
то угол ADE
между
v
и
vn
стремится
к прямому. Следовательно, при t0
векторы vn
и
v
оказываются
взаим­но перпендикулярными. Так как
вектор скорости направлен по касательной
к тра­ектории, то вектор vn,
перпендикулярный
вектору скорости, направлен к центру
ее кривизны. Вторая составляющая
ускоре­ния, равная

называется
нормальной
составляющей ус­корения и
направлена по нормали к тра­ектории
к центру ее кривизны (поэтому ее называют
также центростремительным
ускорением).

Полное
ускорение тела
есть геометри­ческая сумма тангенциальной
и нормаль­ной составляющих (рис.5):

Итак,
тангенциальная
составляющая
ускорения характеризует быстроту
изменения скорости по модулю (направлена
по касательной к траектории), а нормальная
составляющая
ускорения — быстроту из­менения
скорости по направлению (на­правлена
к центру кривизны траекто­рии).

В зависимости от
тангенциальной и нормальной составляющих
ускорения дви­жение можно классифицировать
следую­щим образом:

1) а=0,
аn
= 0 — прямолинейное рав­номерное
движение;

2)
a=a=const,
an=0
—
прямолиней­ное равнопеременное
движение. При та­ком виде движения

Если
начальный момент времени t1=0,
а
начальная скорость v1=v0,
то,
обозна­чив t2
= t и
v2
= v, получим
a
= (v-v0)/t,
откуда

v
=v0+at.

Проинтегрировав
эту формулу в пре­делах от нуля до
произвольного момента времени t,
найдем,
что длина пути, прой­денного точкой,
в случае равнопеременно­го движения

3)
а=f(t),
аn=0
— прямолинейное движение с переменным
ускорением;

4) а=0,
аn=const.
При
а=0
ско­рость по модулю не изменяется, а
изменя­ется по направлению. Из формулы
аn=
v2/r
следует, что радиус кривизны до­лжен
быть постоянным. Следовательно, движение
по окружности является равно­мерным;

5) а=0,
аn0
— равномерное кри­волинейное движение;

6)
a=const,
an0—криволинейное
равнопеременное движение;

7)
a=
f(t), an0
—
криволинейное движение с переменным
ускорением.

12

Соседние файлы в папке Трофимова

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Сре́дняя ско́рость {displaystyle langle Vrangle } — группа величин, вычисляемых как

{displaystyle langle Vrangle ={frac {1}{t_{2}-t_{1}}},int _{t_{1}}^{t_{2}}V(t),dt},

где {displaystyle t_{1}ldots t_{2}} — промежуток времени для усреднения скорости V, в качестве которой могут выступать физическая векторная величина скорости тела vec{v}, проекция скорости на какую-либо ось (скажем, v_{x}), скорость движения (модуль скорости) {displaystyle |{vec {v}}|} или путевая скорость {displaystyle ds/dt} (s — координата вдоль траектории).

Результат вычисления зависит от того, какая именно скорость усредняется. Так, если усредняется vec{v}, то

{displaystyle langle {vec {v}}rangle ={frac {{vec {r}}_{2}-{vec {r}}_{1}}{t_{2}-t_{1}}}},

где {displaystyle {vec {r}}_{2}} и {displaystyle {vec {r}}_{1}} — радиус-векторы движущейся точки в конечный и начальный моменты времени, а если усредняется модуль скорости {displaystyle |{vec {v}}|}, то

{displaystyle langle |{vec {v}}|rangle ={frac {l}{t_{2}-t_{1}}}},

где l — расстояние, пройденное за рассматриваемый промежуток времени. В первом случае средняя скорость будет вектором, во втором — скаляром. Есть и численное различие: например, когда тело совершает полный оборот по окружности радиуса R, то {displaystyle langle {vec {v}}rangle =0}, а {displaystyle langle |{vec {v}}|rangle =2pi R/(t_{2}-t_{1}).}

При отсутствии дополнительных уточнений, в повседневных ситуациях (езда на автомобиле и т. п.) под средней скоростью обычно понимают среднюю скорость движения {displaystyle langle |{vec {v}}|rangle }.

Если в течение времени T_{1} тело двигалось равномерно и прошло расстояние L_{1}, затем в течение времени T_{2} — расстояние L_{2} и так далее, то на каждом из таких участков модуль скорости составлял {displaystyle v_{i}=L_{i}/T_{i}}, а для всего времени движения будет

{displaystyle langle vrangle ={frac {sum L_{i}}{sum T_{i}}}}.

При одинаковости длительностей {displaystyle T_{1}=T_{2}=ldots } cредняя скорость движения равна среднему арифметическому от скоростей тела v_{i}. Если же если тело двигалось с разными скоростями неодинаковые промежутки времени, среднюю скорость можно вычислить как взвешенное среднее арифметическое этих скоростей с весами, равными соответствующим относительным промежуткам времени {displaystyle T_{i}/sum T_{i}}.

При одинаковости расстояний {displaystyle L_{1}=L_{2}=ldots }, а не длительностей, ситуация меняется. Скажем, если половину пути автомобиль двигался со скоростью 180 км/ч, а вторую половину со скоростью 20 км/ч, то средняя скорость будет 36 км/ч (а не 100 км/ч). В примерах, подобных этому, средняя скорость равна среднему гармоническому всех скоростей на отдельных, равных между собой, участках. Если участки не равны между собой, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому всех скоростей с весами — относительными длинами соответствующих этим скоростям участков.

Примечания[править | править код]

Источник

Добавить комментарий