Как найти координаты вектора в базисе
Решение:
Записываем матрицу перехода А:
и находим ее определитель
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:
Обратная матрица А -1
Находим координаты вектора х относительно нового базиса.
Пример №1 . Даны векторы a<1;2;1>, b<2;-2;1>, c <1;-2;0>и d <0;3;1>. Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 – β*2 – γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b – 3/2c
Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:
Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х”1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х”2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х”3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х”1, x”2, x”3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х”1 = – x’1 + 3x’2 – 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х”2 = – 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х”3 = 3x’1 – 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 – 1*1) – 6*(3*8 – 1*5) + 9*(3*1 – 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .
A -1 = -1/182 |
|
Матрицу Х ищем по формуле:
X = A -1 ·B = -1/182 |
|
* | = |
|
Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)
Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.
Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.
Ортогональные векторы и условие ортогональности
В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.
Ортогональные векторы: определение и условие
Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .
Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.
Примеры решения задач на ортогональность векторов
Плоские задачи на ортогональность векторов
Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:
a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0
Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; – 1 >ортогональны.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( – 1 ) = 2 – 2 = 0
Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.
Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; – 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( – 1 ) × 5 = 21 – 5 = 16
Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.
Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.
Как решить?
Найдем скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = – 4 n = – 2
Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; – 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .
Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; – 1 ; 10 >являются ортогональными.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( – 1 ) + 0 × 10 = 2 – 2 = 0
Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.
Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; – 8 >будут являться ортогональными.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( – 8 ) = 2 n + 4 – 8 = 2 n – 4 2 n – 4 = 0 2 n = 4 n = 2
Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .
Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства
Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.
Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.
Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:
Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.
В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.
Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей
Пусть [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.
Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:
Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:
y=begin y_1&cdots& y_n end^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] , a [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений
которая называется матрицей Грама системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] .
Преимущества ортонормированного базиса
Для ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] ортонормированной системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)=E[/math] .
1. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] находится по формуле: [math]langle mathbf,mathbfrangle= x_1y_1+x_2y_2+ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] , а [math]y_1,ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .
2. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] длина вектора [math]mathbf[/math] вычисляется по формуле [math]|mathbf|= sqrt[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .
3. Координаты [math]x_1,ldots,x_n[/math] вектора [math]mathbf[/math] относительно ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=langle mathbf,mathbf_1rangle,ldots, x_n=langle mathbf,mathbf_nrangle[/math] .
В самом деле, умножая обе части равенства [math]mathbf= x_1 mathbf_1+ldots+x_n mathbf_n[/math] на [math]mathbf_1[/math] , получаем
Аналогично доказываются остальные формулы.
Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому
Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]
По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:
где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество
Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :
Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^<-1>=S^T[/math] .
Свойства определителя Грама
Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.
1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.
Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что
Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.
Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.
Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
2. Определитель Грама [math]det_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то
Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы
После первого шага определитель Грама не изменяется
Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_<21>)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_<21>)[/math] . Получим определитель
Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то
Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:
Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству
Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:
Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда
Следовательно, по свойству 2 имеем
1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.
2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.
3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :
Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]langle a_i,a_jrangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]mathbb^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:
4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).
Изоморфизм евклидовых пространств
Два евклидовых пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] называются изоморфными [math](mathbbleftrightarrow mathbb’)[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:
где [math](cdot,cdot)[/math] и [math](cdot,cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] соответственно.
Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]mathbb[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]mathbb[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]mathbfin mathbb[/math] его координатный столбец [math]xin mathbb^n
(mathbfleftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]mathbbleftrightarrow mathbb^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] пространства [math]mathbb[/math] находится по формуле
(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны
Следовательно, евклидовы пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb^n[/math] изоморфны.
Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/ortogonalnye-vektory-i-uslovie-ortogonalnosti/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ortogonalnyi-i-ortonormirovannyi-bazisy-evklidova-prostranstva
[/spoiler]
Пусть система
векторов
является базисом,
а вектор
— их
линейной комбинацией. Имеет место
следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.
Разложение
любого вектора в базисе, если оно
существует, является единственным.
Доказательство.
Предположим, что вектор
может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов (12.9) двумя способами:
где наборы чисел
αi
и βi,
среди которых обязательно есть ненулевые
значения, не совпадают. Вычитая одно
равенство из другого, имеем
Мы получили, что
линейная комбинация векторов системы
(12.9), в которой не все коэффициенты равны
нулю (в силу несовпадения αi
и βi),
равна нулю, т.е. данная система оказалась
линейно зависимой, что противоречит
условию теоремы. Полученное противоречие
доказывает теорему.
Стало быть, в
произвольном базисе пространства Rn
любой вектор этого
пространства обязательно представим
в виде разложения по базисным векторам:
причем это разложение
является единственным
для данного базиса. Коэффициенты
разложения
называются
координатами
вектора
в базисе (12.10), и, как следует из сказанного,
этот набор единственный для любого
вектора из Rn
в данном
базисе.
Задача нахождения
коэффициентов разложения в случае
произвольного базиса (12.10) является,
вообще говоря, непростой. Нужно
приравнять соответствующие координаты
линейной комбинации векторов слева
и координаты вектора
в (12.11). Пусть базисные векторы и вектор
заданы в следующей координатной форме:
Выполнение
процедуры, описанной выше, приводит к
системе п
линейных уравнений
относительно п
неизвестных координат разложения
вектора
в базисе (12.10):
Такие системы
уравнений и методы их решения представляют
отдельные разделы линейной алгебры;
они будут рассмотрены в следующих
главах.
Разложение вектора в ортогональном базисе
Рассмотрим базис
пространства
Rn,
в котором каждый вектор ортогонален
остальным векторам базиса:
Ортогональные
базисы хорошо известны и широко
используются на плоскости и в
пространстве (рис. 12.2). Базисы такого
вида удобны прежде всего тем, что
координаты разложения произвольного
вектора определяются по весьма простой
процедуре, не требующей трудоемких
вычислений.
Действительно,
пусть требуется найти разложение
произвольного вектора
в ортогональном базисе (12.13). Составим
разложение
этого вектора с неизвестными пока
координатами разложения в данном базисе:
Умножим обе части
этого равенства, представляющие собой
векторы, на вектор
1.
В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения
векторов имеем
Однако в силу
взаимной ортогональности векторов
базиса (12.13) все скалярные произведения
векторов базиса, за исключением
первого, равны нулю, т.е. коэффициент α1
определяется по формуле
Умножая поочередно
равенство (12.14) на другие базисные
векторы, мы получаем простую формулу
для вычисления коэффициентов
разложения вектора
:
Нетрудно видеть,
что соотношения (12.15) имеют смысл,
поскольку |i|
≠
0.
Отметим особо
частный случай ортогонального базиса,
когда все векторы в (12.13) имеют единичную
длину (|i|
= 1),
или
нормированы по своей длине. В таком
случае базис называют ортонормированным
и координаты разложения (12.15) имеют
наиболее простой вид:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Оглавление — Линейная алгебра
Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства
Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.
Базис [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.
[math]langle mathbf{e}_i,mathbf{e}_jrangle=0[/math] при [math]ine j,~~ i=1,2,ldots,n,~~ j=1,2,ldots,n.[/math]
Базис [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:
[math]langle mathbf{e}_i,mathbf{e}_jrangle= begin{cases}1,&i=j,\ 0,&ine j end{cases}i=1,2,ldots,n,~~ j=1,2,ldots,n.[/math]
(8.31)
Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.
В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.
Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей
Пусть [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.
[math]mathbf{x}= x_1 mathbf{e}_1+x_2 mathbf{e}_2+ldots+ x_n mathbf{e}_n,qquad mathbf{y}= y_1 mathbf{e}_1+y_2 mathbf{e}_2+ldots+ y_n mathbf{e}_n.[/math]
Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:
[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= langle x_1 mathbf{e}_1+x_2 mathbf{e}_2+ldots+ x_n mathbf{e}_n,, y_1 mathbf{e}_1+y_2 mathbf{e}_2+ldots+ y_n mathbf{e}_n rangle= sum_{i=1}^{n}sum_{i=1}^{n}x_iy_jlangle mathbf{e}_i,mathbf{e}_jrangle.[/math]
Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:
[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= x^Tcdot G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)cdot y,[/math]
(8.32)
где [math]x=begin{pmatrix}x_1&cdots x_nend{pmatrix}^T,~ y=begin{pmatrix} y_1&cdots& y_n end{pmatrix}^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math], a [math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений
[math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)= begin{pmatrix} langle mathbf{e}_1,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_1,mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_1, mathbf{e}_nrangle\ langle mathbf{e}_2,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_2, mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_2,mathbf{e}_nrangle\ vdots&vdots&ddots&vdots\ langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_nrangle end{pmatrix}!.[/math]
(8.33)
которая называется матрицей Грама системы векторов [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math].
Преимущества ортонормированного базиса
Для ортонормированного базиса [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)[/math] ортонормированной системы [math]mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(mathbf{e}_1, mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n)=E[/math].
1. В ортонормированном базисе [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n[/math] скалярное произведение векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] находится по формуле: [math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= x_1y_1+x_2y_2+ldots+x_ny_n[/math], где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf{x}[/math], а [math]y_1,ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf{y}[/math].
2. В ортонормированном базисе [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n[/math] длина вектора [math]mathbf{x}[/math] вычисляется по формуле [math]|mathbf{x}|= sqrt{x_1^2+x_2^2+ldots+x_n^2}[/math], где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf{x}[/math].
3. Координаты [math]x_1,ldots,x_n[/math] вектора [math]mathbf{x}[/math] относительно ортонормированного базиса [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots,mathbf{e}_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=langle mathbf{x},mathbf{e}_1rangle,ldots, x_n=langle mathbf{x},mathbf{e}_nrangle[/math].
В самом деле, умножая обе части равенства [math]mathbf{x}= x_1 mathbf{e}_1+ldots+x_n mathbf{e}_n[/math] на [math]mathbf{e}_1[/math], получаем
[math]langle mathbf{x},mathbf{e}_1rangle= x_1underbrace{langlemathbf{e}_1, mathbf{e}_1 rangle}_{1}+ x_2underbrace{langle mathbf{e}_1,mathbf{e}_2 rangle}_{0}+ldots+ x_nunderbrace{langle mathbf{e}_n, mathbf{e}_n rangle}_{0}quad Leftrightarrowquad x_1=langle mathbf{x},mathbf{e}_1rangle.[/math]
Аналогично доказываются остальные формулы.
Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому
Пусть [math](mathbf{e})=(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)[/math] и [math](mathbf{f})= (mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math], a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf{e})[/math] к базису [math](mathbf{f})colon, (mathbf{f})=(mathbf{e})S[/math]. Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf{e})[/math] и [math](mathbf{f})[/math]
По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] в разных базисах:
[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= {mathop{x}limits_{(mathbf{e})}}^Tcdot, G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{e})}= {mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot, G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})},[/math]
где [math]mathop{x}limits_{(mathbf{e})},, mathop{x}limits_{(mathbf{f})}[/math] и [math]mathop{y}limits_{(mathbf{e})},, mathop{y}limits_{(mathbf{f})}[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathop{x}limits_{(mathbf{e})}= S mathop{x}limits_{(mathbf{f})},[/math] [math]mathop{y}limits_{(mathbf{e})}= S mathop{y}limits_{(mathbf{f})}[/math], получаем тождество
[math]{mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot S^Tcdot, G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot Scdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})}= {mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot, G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})}.[/math]
Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:
[math]G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)= S^Tcdot G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot S.[/math]
Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf{e})[/math] и [math](mathbf{f})[/math], получаем [math]E=S^TES[/math], так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)= G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)=E[/math]. Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^{-1}=S^T[/math].
Свойства определителя Грама
Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.
1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.
Действительно, если система [math]mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math], не равные нулю одновременно, что
[math]x_1cdot mathbf{v}_1+x_2cdot mathbf{v}_2+ldots+ x_kcdot mathbf{v}_k= mathbf{o}.[/math]
Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf{v}_1[/math], затем на [math]mathbf{v}_2[/math] и т.д. на [math]mathbf{v}_k[/math], получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)x=o[/math], которая имеет нетривиальное решение [math]x=begin{pmatrix}x_1&cdots&x_k end{pmatrix}^T[/math]. Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.
Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.
Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf{v}_1, mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
2. Определитель Грама [math]det{G (mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k)}[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math]. Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math] получены векторы [math]mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k[/math], то
[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots,mathbf{w}_k)= langle mathbf{w}_1,mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldotscdot langle mathbf{w}_k,mathbf{w}_krangle.[/math]
Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] последовательно строятся векторы
[math]mathbf{w}_1=mathbf{v}_1,quad mathbf{w}_2= mathbf{v}_2- alpha_{21} mathbf{w}_1,quad ldots,quad mathbf{w}_k= mathbf{v}_k- sum_{j=1}^{k-1}alpha_{kj} mathbf{w}_j.[/math]
После первого шага определитель Грама не изменяется
[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k).[/math]
Выполним с определителем [math]det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_{21})[/math], а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_{21})[/math]. Получим определитель
[math]det G(mathbf{w}_1,mathbf{v}_2-alpha_{21}mathbf{w}_1,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2, mathbf{v}_3, ldots,mathbf{v}_k).[/math]
Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то
[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2,mathbf{v}_3, ldots,mathbf{v}_k).[/math]
Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:
[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots,mathbf{w}_k).[/math]
Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots, mathbf{w}_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf{w}_i,mathbf{w}_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math]. Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
[math]det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k)= langle mathbf{w}_1, mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldots langle mathbf{w}_k, mathbf{w}_krangle.[/math]
3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству
[math]0leqslant det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k) leqslant langle mathbf{v}_1, mathbf{v}_1ranglecdot langle mathbf{v}_2,mathbf{v}_2ranglecdot ldots langle mathbf{v}_k, mathbf{v}_krangle.[/math]
Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf{w}_1,mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_k[/math], для которых по свойству 2:
[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_k)= |mathbf{w}_1|^2cdot |mathbf{w}_2|^2cdot ldotscdot |mathbf{w}_k|^2>0.[/math]
Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf{v}_j,mathbf{w}_jrangle[/math]. Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf{v}_j= mathbf{w}_j+ alpha_{j,1}mathbf{w}_1+ ldots+ alpha_{j,j-1}mathbf{w}_{j-1}[/math]. Отсюда
[math]langle mathbf{v}_j,mathbf{w}_jrangle= langle mathbf{w}_j,mathbf{w}_jrangle+ sum_{i=1}^{j-1}alpha_{i,i}^2 langle mathbf{w}_j,mathbf{w}_jrangle geqslant langle mathbf{w}_j, mathbf{w}_jrangle.[/math]
Следовательно, по свойству 2 имеем
[math]langle mathbf{v}_1,mathbf{v}_1ranglecdot langle mathbf{v}_2,mathbf{v}_2 ranglecdot ldotscdot langle mathbf{v}_k,mathbf{v}_kranglegeqslant langle mathbf{w}_1, mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldotscdot langle mathbf{w}_k, mathbf{w}_krangle= det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k).[/math]
Замечания 8.12
1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.
2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.
3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара:
[math](det{A})^2leqslant prod_{i=1}^{n}Bigl(a_{i,1}^2+ a_{i,2}^2+ldots+ a_{i,n}^2Bigr).[/math]
Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math], элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]langle a_i,a_jrangle= (a_i)^Ta_j[/math]. Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]mathbb{R}^n[/math]. По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:
[math]begin{aligned} (det{A})^2&= det{A}cdotdet{A}= det{A^T}cdotdet{A}= det(A^TA)= det G(a_1,a_2,ldots,a_n)leqslant\[2pt] &leqslant |a_1|^2cdot |a_2|^2cdot ldotscdot |a_n|^2= prod_{i=1}^{n}Bigl(a_{i,1}^2+ a_{i,2}^2+ldots+ a_{i,n}^2Bigr). end{aligned}[/math]
4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).
Изоморфизм евклидовых пространств
Два евклидовых пространства [math]mathbb{E}[/math] и [math]mathbb{E}'[/math] называются изоморфными [math](mathbb{E}leftrightarrow mathbb{E}’)[/math], если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:
[math]left.{begin{matrix}mathbf{u}leftrightarrow mathbf{u}’\ mathbf{v}leftrightarrow mathbf{v}’end{matrix}}right}quad Rightarrowquad langle mathbf{u},mathbf{v}rangle= langle mathbf{u}’,mathbf{v}’rangle’.[/math]
‘
где [math](cdot,cdot)[/math] и [math](cdot,cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]mathbb{E}[/math] и [math]mathbb{E}'[/math] соответственно.
Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]mathbb{R}^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]mathbb{E}[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](mathbf{e})=(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)[/math], поставим в соответствие каждому вектору [math]mathbf{x}in mathbb{E}[/math] его координатный столбец [math]xin mathbb{R}^n~ (mathbf{x}leftrightarrow x)[/math]. Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]mathbb{E}leftrightarrow mathbb{R}^n[/math]. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] пространства [math]mathbb{E}[/math] находится по формуле
[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= x_1cdot y_1+x_2cdot y_2+ldots+x_ncdot y_n[/math]
(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math], т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны
[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= x_1cdot y_1+x_2cdot y_2+ldots+x_ncdot y_n=x^Tcdot y.[/math]
Следовательно, евклидовы пространства [math]mathbb{E}[/math] и [math]mathbb{R}^n[/math] изоморфны.
Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]mathbb{R}^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:
Ортогональные базисы хорошо известны и широко используются на плоскости и в пространстве (рис. 12.2). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой процедуре, не требующей трудоемких вычислений.
Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора в ортогональном базисе (12.13). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:
Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор 1. В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем
Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т. е. коэффициент α1 определяется по формуле
Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные векторы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора :
Нетрудно видеть, что соотношения (12.15) имеют смысл, поскольку |I| ≠ 0.
Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (12.13) имеют единичную длину (|I| = 1), или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют Ортонормированным и координаты разложения (12.15) имеют наиболее простой вид:
< Предыдущая | Следующая > |
---|