вектор – это направленный отрезок, то есть для него указано, какая из двух точек A и B является началом, а какая – концом. На рисунке ниже слева изображен отрезок AB, а справа – вектор AB с началом в точке A и концом в точке B. Координаты вектора AB вычисляются следующим образом: из соответствующих координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала вектора. Например, для нашего вектора AB это будет выглядеть так: AB(x2 – x1; y2 – y1).
Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам
Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4} = {2; -3}.
Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).Решение:
ABx = Bx — Ax => Bx = ABx + Ax => Bx = 5 + 3 = 8
ABy = By — Ay => By = ABy + Ay => By = 1 + (-4) = -3
Ответ: B(8; -3).
Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).Решение:
ABx = Bx — Ax => Ax = Bx — ABx => Ax = 3 — 5 = -2
ABy = By — Ay => Ay = By — ABy => Ay = -4 — 1 = -5
Ответ: A(-2; -5).
Пример.
В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости Oxy даны две точки 
. Найдите координаты векторов 
и 
в этой системе координат.
Решение.
Вектор является радиус-вектором точки А, следовательно, его координаты совпадают с координатами точки А, то есть, 
.
Координаты вектора находим как разность соответствующих координат точек В и А:
.
Содержание:
- § 1 Понятие вектора
- § 2 Равенство векторов
- § 3 Краткие итоги урока
§ 1 Понятие вектора
В геометрии очень часто мы пользуемся отрезками различной длины.
Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.
Можно ли назвать эти точки началом и концом отрезка?
Ответом на этот вопрос будет определение, что такое вектор.
Однако для того, что бы дать это определение, рассмотрим отрезок более подробно.
Произвольный отрезок имеет два конца.
Концы отрезка также называют граничными точками.
На отрезке можно указать два направления: от одной граничной точки к другой и наоборот.
Чтобы выбрать одно из этих направлений, одну граничную точку отрезка назовём началом отрезка, а другую – концом отрезка и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.
Таким образом, отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.
На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой над ними.
Первая буква – начало вектора, вторая – конец. Также вектор может обозначаться и одной строчной латинской буквой.
Кроме отрезка, вектором может быть любая точка плоскости.
В этом случае вектор называется нулевым.
Начало нулевого вектора совпадает с его концом.
Например, на плоскости выбрана точка М, тогда нулевой вектор в этой точке будет обозначен как:
Нулевой вектор также обозначается символом, отображающим цифру ноль со стрелочкой над ним:
§ 2 Равенство векторов
Теперь рассмотрим понятие длины вектора.
Рассмотрим два вектора АВ и СD, расположенные на одной прямой.
Эти векторы могут быть направлены либо в одну и ту же сторону, либо их направление противоположно. Данные ненулевые векторы, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Коллинеарные векторы обладают рядом свойств.
Рассмотрим три ненулевых коллинеарных вектора а, в, и с.
Первое свойство:
Если вектор а сонаправлен с вектором с и вектор в сонаправлен с вектором с, то векторы а и в также имеют одно направление – данное утверждение является первым свойством коллинеарных векторов.
Второе свойство:
Если вектор а противоположно направлен вектору с и вектор в противоположно направлен вектору с, то векторы а и в сонаправленные.
Третье свойство:
Коллинеарных векторов говорит о том, что если векторы а и с сонаправлены, а вектор в противоположно направлен с вектором с, то векторы а и в противоположно направленные.
§ 3 Краткие итоги урока
Итак, подведем итоги урока:
Вектор – это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом. Векторы обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой над ними. Любую точку плоскости можно считать нулевым вектором. Длиной вектора называется длина соответствующего отрезка; ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. Если два вектора сонаправлены и их длины равны, то такие векторы называются равными.
Список использованной литературы:
- Атанасян Л.С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. –383 с.
- Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие / И.Б. Барский, Г.Н. Тимофеев. – Йошкар-Ола: Изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. – 636с.
Главная > Геометрия 9 класс > Вектор – модуль вектора
Вектор – модуль вектора – видеоурок
На этом видео уроке по геометрии для 9 класса объясняется:
– что такое вектор
– как найти модуль вектора
– что такое коллинеарные, сонаправленные и противоположно направленные векторы
Решаются задачи 746 и 747 из учебника Атанасян на нахождение модуля векторов.
В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.
Длина этого отрезка называется длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора.
Координатами вектора с началом в точке и концом в точке
называются числа
.
