Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.
SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.
cos(λ1) | = |
|
. |
---|
Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:
cos(λ1) | = |
|
= |
|
. |
---|
д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.
cos(λ2) | = |
|
= |
|
. |
---|
Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.
Как найти векторы в параллелепипеде
Правило параллелепипеда. Разложение вектора
Вы будете перенаправлены на Автор24
Правило параллелепипеда
Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$
Доказательство.
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow =overrightarrow$, получим:
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.
Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.
Произвольный вектор $overrightarrow
Математически это можно записать следующим образом
Доказательство.
Рассмотрим следующий рисунок:
Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow $. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow $. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow =overrightarrow$, получим:
Так как векторы $overrightarrow $ и $overrightarrow $ коллинеарны, то
Так как векторы $overrightarrow
$ и $overrightarrow $ коллинеарны, то
Так как векторы $overrightarrow
$ и $overrightarrow $ коллинеарны, то
Тогда, получаем, что
Существование разложения доказано.
Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow
Вычтем эти разложения друг из друга
Из этого получаем
Теорема доказана.
Сумма нескольких векторов
Сумма нескольких векторов а 1, а 2, а 3, … , а n, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а 1 прибавляется вектор а 2, к полученному вектору прибавляется вектор а 3 и т.д.
Из определения вытекает такое построение
Правило многоугольника или правило цепи
Из произвольного начала О строим вектор ОА 1 = а 1, из точки А 1, как из начала, строим вектор А 1 А 2 = а 2, из точки А 2 строим вектор А 2 А 3 = а 3 и т.д. Вектор ОА n (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а 1, а 2, … , а n.
Свойство сочетательности
Слагаемые векторы можно группировать как угодно.
Так, если найти сначала сумму векторов
и к ней прибавить вектор а 1 ( ОА 1), то получим то же вектор:
Правило параллелепипеда
Если три вектора а , b , с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а + b + c можно найти таким построением:
Из любого начала О строим векторы ОА = а , ОВ = b , ОС = с , на отрезках ОА , ОВ , ОС , как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали OD есть сумма векторов a , b , и c (так как ОА = а , АК = ОВ = b , KD = OC = c и OD = OA + AK + KD ).
К векторам, которые (после приведения к общему началу) лежат в одной плоскости, это построение неприменимо.
Как найти векторы в параллелепипеде
4.6. Задачи с решениями
1. В параллелепипеде обозначим . Выразить через векторы a, b, с диагонали параллелепипеда и диагонали граней.
Решение. Сделаем чертёж. Пользуясь правилом сложения векторов, получаем:
AC = AB + AD = b + с, AC1 = AA1 + AC = a + b + с .
Из того же треугольника AA1C получаем: A1C = AC — AA1 = b + с — a.
Чтобы найти B1C, заметим, что B1C = A1D, так как у этих векторов совпадают и длины, и направления. Поэтому B1C = A1D = AD — AA1 = с — a.
Аналогично: DC1 = AB1 = AA1 + AB = a + b .
2. Найти длину и направляющие косинусы вектора AB, если его начало и конец находятся в точках A(7, 6), B(2 — 6).
Решение. Так как каждая точка задана двумя координатами, то рассматривается вектор на плоскости. Находим его координаты, вычитая из координат точки B (конца вектора) координаты точки A (начала вектора): AB = (2 — 7, —6 — 6) = (—5, —12). Находим длину: |AB | = 13, направляющие косинусы: .
3. Найти координату z вектора a = (1, —3, z), если известно, что она отрицательна, а модуль |a| = . Где окажется конец вектора a, если его отложить из точки M(5, —2, 1)?
Решение. По условию, . поэтому ZN = —8.
4. Найти расстояние между точками A(5, —2, 4) и B( —1, 0, 6).
Решение. Расстояние равно длине вектора AB. Найдём:
5. При каких p, q векторы a = (2,p, — 1), b = qi + 9j + 3k будут коллинеарными?
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
То есть A + C + D = 0.
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
[spoiler title=”источники:”]
http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-vektory-v-parallelepipede
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/
[/spoiler]
Параллелепипед – это частный случай призмы, у которой основание и грани представляют собой параллелограмм.
Различают несколько разновидностей этой геометрической фигуры – прямой / прямоугольный параллелепипед, наклонный параллелепипед.
Высота параллелепипеда – это отрезок, который соединяет плоскости верхнего основания и нижнего основания параллелепипеда.
Высота перпендикулярна плоскости нижнего основания.
Для того, чтобы найти высоту параллелепипеда, можно воспользоваться традиционной формулой:
H = V / S.
H – высота параллелепипеда, V – объём параллелепипеда, S – площадь основания.
При этом объём параллелепипеда вычисляется по формуле: S = a * b * c, где a,b и c – это длины 3 измерений.
Что касается площади основания, то здесь может быть несколько случаев.
Если основание представляет собой параллелограмм, то S = a * b * sin(ab) – произведение 2 сторон на синус угла между ними.
Если мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом, то S = a * b – произведение 2 сторон.
Пример:
Боковое ребро наклонного параллелепипеда равно 10 см. Стороны основания равны 4 и 6 см, а угол между ними равен 30 градусов. Нужно найти высоту параллелепипеда.
1) V = 4 * 6 * 10 = 240 см3.
2) S = 4 * 6 * sin30° = 24 * 0,5 = 12 см.
3) H = V / S = 240 / 12 = 20 см.
Значит, высота параллелепипеда будет равна 20 см.
_
В случае с прямоугольным параллелепипедом всё немного проще.
Здесь высота будет совпадать с длиной грани (ребром) данной фигуры. Поэтому для нахождения высоты достаточно вычислить, чему равно боковое ребро.
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Сумма векторов:
Разность векторов:
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и :
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
То есть A + C + D = 0.
Для точки N:
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
.
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
;
.
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
.
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Упростим систему:
.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA1 = √3
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Заголовок сообщения: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 02:14 |
|||
|
Найти высоту параллелепипеда, в основании которого лежит параллелограмм, построенный на векторах a=i-k и b=2i+j-k . Объем параллелепипеда равен 22 .
|
||
Вернуться к началу |
|
||
ATLAHTUDA |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 03:36 |
|a ⃗ × (b ) ⃗ |=√(1^2+〖(-3)^2+1〗^2 )=√(1+9+1)=√11=~3.316624
|
|
Вернуться к началу |
|
Andy |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 12:09 |
ATLAHTUDA В Вашем случае основание образовано векторами [math]vec{a}=vec{i}-vec{k}=(1,~0,~-1),~vec{b}=2 vec{i}+vec{j}-vec{k}=(2,~1,~-1).[/math] Площадь основания равна абсолютной величине вектора [math]vec{a} times vec{b}=begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 1 & 0 & -1 \ 2 & 1 & -1 end{vmatrix}=vec{i}-vec{j}+vec{k},[/math] то есть равна [math]S=sqrt{3}.[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
За это сообщение пользователю Andy “Спасибо” сказали: ATLAHTUDA |
|
ATLAHTUDA |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 14:27 |
Значит я где то допустила ошибку. У меня vec{a} times vec{b} = sqrt{11}
|
|
Вернуться к началу |
|
Andy |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 14:32 |
ATLAHTUDA ATLAHTUDA писал(а): Значит я где то допустила ошибку. У меня vec{a} times vec{b} = sqrt{11} При вычислении определителей с отрицательными элементами ошибиться легче, чем не ошибиться. Поэтому проверьте расчёт ещё раз (заодно проверите и мой). Не путайте, кстати, псевдовектор (векторное произведение) с его модулем. ATLAHTUDA писал(а): А S=равна абсолютной величине вектора, без синуса. Разумеется. А какой синус Вы имели в виду? Если ответ правильный, то считается, что его лучше записать так: [math]h=frac{V}{S}=frac{22 sqrt{3}}{3}.[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
ATLAHTUDA |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 15:05 |
[math]left{1,-3,1 right}[/math]=[math]sqrt{}[/math]1[math]^{2}[/math]+(-3)[math]^{2}[/math]+1[math]^{2}[/math]=[math]sqrt{1+9+1}[/math]=[math]sqrt{11}[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
Andy |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 16:04 |
ATLAHTUDA [math]vec{a} times vec{b}=begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 1 & 0 & -1 \ 2 & 1 & -1 end{vmatrix}=vec{i}(0 cdot (-1)-(-1) cdot 1)-vec{j}(1 cdot (-1)-(-1) cdot 2)+vec{k}(1 cdot 1-0 cdot 2)=[/math] [math]=vec{i}(0-(-1))-vec{j}(-1-(-2))+vec{k}(1-0)=[/math] [math]=vec{i}(0+1)-vec{j}(-1+2)+vec{k}(1-0)=vec{i}-vec{j}+vec{k},[/math] [math]left| vec{a} times vec{b} right|=sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=sqrt{1+1+1}=sqrt{3}.[/math] Не выходит у меня [math]sqrt{11}.[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
ATLAHTUDA |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 17:44 |
=i (0·1- (-1)·1)- j (1·1-(-1)·2)+k (1·1-0·2) = i (0 + 1) – j (1 + 2) + k (1 – 0) = {1; -3; 1}
|
|
Вернуться к началу |
|
Andy |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 17:52 |
ATLAHTUDA ATLAHTUDA писал(а): a=i-k и b=2i+j-k , а дожно a=i-k и b=2i+j+k Тогда [math]left| vec{a} times vec{b} right|=sqrt{11}.[/math] У Вас остались вопросы?
|
|
Вернуться к началу |
|
ATLAHTUDA |
Заголовок сообщения: Re: Решить средством векторной алгебры Высота параллелепипеда Добавлено: 09 июн 2018, 18:21 |
Нет. Все спасибо, большое. Пойду переделы функции мучить.
|
|
Вернуться к началу |
|
Примеры решения задач
1.
Найти скалярное произведение векторов
и.
Решение:
По формуле (5.3) находим:
.
2.
Векторы
образуют угол.
Зная, что,
вычислить.
Решение:
Используя свойства скалярного
произведения и формулу (5.1), получаем:
.
3.
Даны вершины треугольника
.
Найти: а) внутренний угол при вершинеC;
б)
.
Решение:
а) Угол
при вершинеC
есть угол между векторами
и
.
Определим координаты этих векторов:
,
.
Найдем
их модули:
;.
Согласно формуле (5.4)
;
.
б)
Из первого свойства скалярного
произведения получаем .Поэтому
=.
4.
Найти векторное произведение векторов
и.
Решение:
Имеем по формулам (5.6) и (5.7)
.
5.
Вычислить площадь параллелограмма,
построенного на векторах:
и.
Решение:
Находим векторное произведение
напо формулам (5.6) и (5.7):
.
Так
как модуль векторного произведения
двух векторов равен площади построенного
на них параллелограмма, то
(кв. ед.).
6.
Вычислите площадь треугольника с
вершинами
и.
Решение:
Площадь треугольника ABC
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
Найдем
координаты
этих векторов ,.
Далее находим векторное произведение
этих векторов по формулам (5.6) и (5.7):
.
Тогда
(кв.ед.).
7.
Вычислите площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
если
,
.
Решение:
Используя свойства векторного
произведения, имеем
(поскольку
,
).
Итак,
(кв.ед.).
8.
Показать, что векторы
,,компланарны.
Решение:
Воспользуемся условием компаланарности
векторов (5.9). Находим смешанное
произведение векторов:
.
Так
как , то заданные векторы компланарны.
9.
Доказать, что четыре точки
лежат
в одной плоскости.
Решение:
Достаточно показать, что три вектора
,
имеющие начало в одной из данных точек,
лежат в одной плоскости (т.е. компланарны).
Находим координаты векторов
,,.
Проверяем условие компланарности
векторов (5.9):
.
Итак,
векторы
компланарны, следовательно, точкилежат в одной плоскости.
10.
Найти объем треугольной пирамиды с
вершинами
.
Решение:
Найдем векторы
,
совпадающие с ребрами пирамиды,
сходящимися в вершине A:
.
Смешанное
произведение этих векторов равно по
модулю объему параллелепипеда,
построенного на них. Находим смешанное
произведение этих векторов:
.
Так
как объем пирамиды равен
объема параллелепипеда, построенного
на векторах
,
то
(куб.ед.).
11.
Даны вершины пирамиды
.
Найти
длину высоты, опущенной из вершины S
на грань ABC.
Решение:
Так как объем пирамиды есть
,
то,
где– высота пирамиды,– площадь основания пирамиды. Находим
,
.
Находим
:
.
Следовательно,
.
Задачи для самостоятельного решения
1.
Даны векторы
и.
При каком значении
эти
векторы перпендикулярны?
2.
Определите угол между векторами
и.
3.
Найти
,
если,.
4.
Даны векторы:
,,.
Найти.
5.
Показать, что четырехугольник с вершинами
есть квадрат.
6.
Найти векторное произведение векторов
и.
7.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и.
8.
Найдите площадь треугольника с вершинами
.
9.
Векторы
составляют угол.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
где.
10.
Дано:
,,.
Найти.
11.
Показать, что точки
лежат
в одной плоскости.
12.
Найти объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,и.
13.
Найти высоту параллелепипеда, построенного
на векторах
,и.
Высота опущена на грань, образованную
векторами.
14.
Даны векторы
,и.
Найти:.
15.
При каком значении
векторыи
перпендикулярны?
16.
Определите угол между векторами
и.
17.
Даны векторы
,и.
Найти.
18.
Даны три последовательные вершины
параллелограмма:
.
Найти
его
четвертую вершину и угол между векторами
.
19.
Найти координаты вектора
,
если;.
20.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и.
21.
Найти площадь треугольника с вершинами
,
и
.
22.
Векторы
составляют угол 45o.
Найти площадь треугольника, построенного
на векторах
и
,
если
.
23.
Показать, что векторы
,икомпланарны.
24.
Найти объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,и.
25.
Даны вершины пирамиды
.
Найти
длину высоты, опущенной на грань BCD.
Ответы:
1)
m
= 4;
2)
;3)
13; 4)
5; 6)
;
7)
;
8) ;9)
;10)
;12)
12; 13)
;14)
(3;3;0); 15)
m
= 1;
16) 135о17)
−4;
18)
;19)
;20)
60; 21)
;22) ;24)
;25)
11.
ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ 6