Векторное произведение векторов представляет собой вектор, который удовлетворяет следующим условиям:
Величина этого вектора равна произведению модулей (длин) исходных векторов на синус угла между ними:
Этот вектор перпендикулярен каждому из исходных векторов:
Вектор направлен таким образом, что если смотреть с конца этого вектора, то кратчайший поворот от вектора
к вектору
осуществляется против часовой стрелки (т.е. тройка векторов
является правой).
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
Антикоммутативность:
Ассоциативность, относительно числового множителя
():
Дистрибутивность:
Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:
Наш онлайн калькулятор находит векторное произведение векторов с описанием подробного хода решения на русском языке.
Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] (или c=[a,b], или c=a×b) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:
Длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними: |c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;
Вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
Вектор c направлен так, что тройка abc является правой.
Решили сегодня: раз, всего раз
Другие онлайн калькуляторы
- Вычитание векторов
- Проекция вектора
- Сложение векторов
- Длина вектора
Вы поняли, как решать? Нет?
- Правила
- Комментарии
- Ответы на вопросы
Рассчитайте цену решения ваших задач
Калькулятор
стоимости
Решение контрольной
от 300 рублей
*
* Точная стоимость будет определена после загрузки задания для исполнителя
+Загрузить файл
Файлы doc, pdf, xls, jpg, png не более 5 МБ.
Векторное произведение векторов онлайн
Данный онлайн калькулятор вычисляет векторное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления векторного произведения векторов введите координаты векторов в ячейки и нажимайте на кнопку “Вычислить.”
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Векторное произведение векторов
Прежде, чем перейти к определению векторного произведения векторов, рассмотрим понятия упорядоченная тройка векторов, левая тройка векторов, правая тройка векторов.
Определение 1. Три вектора называются упорядоченой тройкой (или тройкой), если указано, какой из этих векторов первый, какой второй и какой третьий.
Запись cba – означает – первым является вектор c, вторым является вектор b и третьим является вектор a.
Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если при приведении к общему началу, эти векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой(левой) руки.
Определение 2 можно формулировать и по другому.
Определение 2′. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если при приведении к общему началу, вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке).
Тройка векторов abc, изображенная на рис. 1, является правой, а тройка abc изображенная на рис. 2, является левой.
Если две тройки векторов являются правыми либо левыми, то говорят, что они одной ориентации. В противном случае говорят, что они противоположной ориентации.
Определение 3. Декартовая или афинная система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.
Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.
Определение 4. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] (или c=[a,b], или c=a×b) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:
- длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
- вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
- вектор c направлен так, что тройка abc является правой.
| |c|=|[ab]|=|a||b|sinφ; | (1) |
Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:
- [ab]=−[ba] (антиперестановочность сомножителей);
- [(λa)b]=λ[ab] (сочетательность относительно числового множителя);
- [(a+b)c]=[ac]+[bc] (распределительность относительно суммы векторов);
- [aa]=0 для любого вектора a.
Геометрические свойства векторного произведения векторов
Теорема 1. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно равенство нулю их векторного произведения.
Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда угол между ними 0 или 180° и sinφ=sin180=sin 0=0. Следовательно, учитывая выражение (1), длина вектора c равна нулю. Тогда c нулевой вектор.
Достаточность. Пусть векторное произведение векторов a и b навно нулю: [ab]=0. Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то эти векторы коллинеарны (т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать коллинеарным любому вектору).
Если же оба вектора a и b ненулевые, то |a|>0, |b|>0. Тогда из [ab]=0 и из (1) вытекает, что sinφ=0. Следовательно векторы a и b коллинеарны.
Теорема доказана.
Теорема 2. Длина (модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.
Доказательство. Как известно, площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними. Следовательно:
Векторное произведение векторов в декартовых координатах
Теорема 3. Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами
Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:
Для запоминания формулы (3) удобно представить векторное произведение векторов в виде определителя:
Раскрывая определитель по элементам первой строки мы получим разложение вектора a×b по базису i, j, k, которое эквивалентно формуле (3).
Доказательство теоремы 3. Составим все возможные пары из базисных векторов i, j, k и посчитаем их векторное произведение. Надо учитывать, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину (иными словами можно предполагать, что i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k={0, 0, 1}). Тогда имеем:
Далее, учитывая, что a=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+z2k, и опираясь на свойства векторного произведения векторов, получим:
Из последнего равенства и соотношений (4), получим:
которая эквивалентна равенству (3).
Теорема доказана.
Векторное произведение векторов на примерах
Пример 1. Найти векторное произведение векторов [ab], где
Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:
Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:
Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:
Пример 2. Найти векторное произведение векторов [ab], где вектор a представлен двумя точками. Начальная точка вектора a: 
, конечная точка вектора a: 
, вектор b имеет вид 
.
Р е ш е н и е. Переместим первый вектор на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки координаты начальной точки:
Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:
Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:
Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:
Калькулятор онлайн.
Векторное произведение векторов.
Этот калькулятор онлайн вычисляет векторное произведение 2-х векторов.
Онлайн калькулятор для вычисления векторного произведения векторов не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac{5}{7} )
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Определение векторного произведения векторов
Определение
Векторы ( vec{a}, ; vec{b} ) и ( vec{c} ) называются компланарными, если они лежат в одной плоскости
или параллельных плоскостях.
Определение
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, вторым и третьим.
Например, в записи ( ( vec{a} ; vec{b} ; vec{c} ) ) вектор ( vec{a} ) считается первым, ( vec{b} )
– вторым, ( vec{c} ) – третьим.
Определение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего
вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов
называется левой.
Определение
Векторным произведением вектора ( vec{a} ) на вектор ( vec{b} ) называется вектор
( vec{a} times vec{b} ), который определяется тремя условиями:
1) длина вектора ( vec{a} times vec{b} ) равна ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi ), где ( varphi )
– угол между векторами ( vec{a} ) и ( vec{b} )
2) вектор ( vec{a} times vec{b} ) перпендикулярен каждому из векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} )
3) векторы ( vec{a}, ;; vec{b}, ;; vec{a} times vec{b} ) образуют правую тройку векторов
Заметим, что условия 2 и 3 относятся к случаю, когда ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi neq 0 ), т.е. вектор
( vec{a} times vec{b} neq vec{0} ). Если же ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi = 0 ), то векторное произведение
определяется только условием 1: в этом случае ( vec{a} times vec{b} = 0 )
Основные свойства векторного произведения векторов
1. Если ( vec{a} ) и ( vec{b} ) – коллинеарные векторы, то ( vec{a} times vec{b} = 0 )
2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.
3. ( vec{a} times vec{b} = – vec{b} times vec{a} ) свойство антиперестановочности сомножителей
4. ( ( alpha vec{a} ) times vec{b} = alpha ( vec{b} times vec{a} ) ) свойство сочетательности по отношению к
скалярному произведению
5. ( ( vec{a}+vec{b} ) times vec{c} = vec{a} times vec{c} + vec{b} times vec{c} ) свойство распределительности
относительно суммы векторов.
Выражение векторного произведения через координаты векторов
Теорема
Если векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) заданы своими координатами:
( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right), ;; vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ), то векторное произведение
векторов вычисляется по формуле:
( vec{a} times vec{b} = left( a_y b_z – b_y a_z ; ; ; a_z b_x – b_z a_x ; ; ; a_x b_y – b_x a_y right) )
Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
( vec{a} times vec{b} = left( begin{vmatrix} a_y & a_z \ b_y & b_z end{vmatrix} ; ; ;
begin{vmatrix} a_z & a_x \ b_z & b_x end{vmatrix} ; ; ; begin{vmatrix} a_x & a_y \ b_x & b_y end{vmatrix} right) )
Онлайн калькулятор для решения задач и работы с векторами. Зная точки вектора или координаты начала и конца вектора, векторный калькулятор использует данные по всем разделам векторов и находит не только координаты самого вектора, его направляющие косинусы и результаты сложения, вычитания и умножения, но и доказывает ортогональность или коллинеарность двух векторов, а также
угол между векторами, длину или модуль векторов, проекцию векторов, векторное произведение векторов, площадь параллелограмма и площадь треугольника построенного на векторах. Для отображение деталей расчетов активируйте формулы на панели калькулятора.
| AC | 7 | 8 | 9 | ← |
| C | 4 | 5 | 6 | ÷ |
| % | 1 | 2 | 3 | × |
| xy | . | 0 | = | – |
| x2 | √ | ( | ) | + |
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
