Как найти векторную сумму напряженностей - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Добавил:

Upload

Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Предмет:

Файл:

Физика.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

4.48 Mб

Скачать

Томский политехнический университет

Доцент кафедры Общей Физики ЕНМФ Кузнецов С. И.

«Курс лекций по электромагнетизму»

2003 г.

Тема 1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ.

1.1. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. 1.2. Взаимодействие электрических зарядов в вакууме. Закон Кулона. 1.3. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля.

1.4. Сложение электростатических полей. Принцип суперпозиции. 1.5. Электростатическое поле диполя.

1.6. Взаимодействие диполей.

1.1. Электрический заряд, закон сохранения электрического заряда.

Электростатика – раздел, изучающий статические (неподвижные) заряды и связанные с ними электрические поля.

Перемещение зарядов либо отсутствует, либо происходит так медленно, что возникающие при движении зарядов магнитные поля ничтожны. Сила взаимодействия между зарядами определяется только их взаимным расположением. Следовательно, энергия электростатического взаимодействия – потенциальная энергия.

Несмотря на обилие различных веществ в природе, существуют только два вида электрических зарядов: заряды подобные тем, которые возникают на стекле, потертом о шелк и заряды, подобные тем, которые появляются на янтаре, потертом о мех. Первые были названы положительными, вторые отрицательными зарядами. Назвал их так Бенджамин Франклин в 1746 году – видный американский политический деятель, ученый физик доказал, что атмосферное электричество и электричество образованное трением имеют одну природу, объяснил Лейденскую банку, изобрел первый плоский конденсатор, молниеотвод, доказал электрическую природу молнии (Член Петербургской АН).

Ну и, как вы знаете, одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Далее, если поднести заряженное тело (с любым зарядом) к легкому – незаряженному, то всегда будет притяжение – явление электризации легкого тела через влияние. На ближайшем к заряженному телу конце появляются заряды противоположного знака (индукционный заряд) или явление электростатической индукции.

Опыт показывает, что возникновение заряда на любом теле сопровождается появлением заряда такой же величины, но противоположного знака на другом теле. Например, при трении палочки о шелк заряжаются оба тела: «–» палочка «+» шелк.

Т.е. всякий процесс заряжения есть процесс разделения зарядов. Сумма зарядов не изменяется, заряды только перераспределяются. Отсюда следует закон сохранения заряда: – один из фундаментальных законов природы, подтвержденный в 1843г. английским физиком М. Фарадеем.

Алгебраическая сумма зарядов, возникающих при любом электрическом процессе на всех телах, участвующих в процессе всегда равна нулю. Или короче: суммарный электрический заряд замкнутой системы не изменяется.

Электрические заряды не существуют сами по себе, а являются внутренними свойствами элементарных частиц – электронов, протонов и др.

Понятие заряда сходно с понятием массы, подобно массе.

Заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда равного заряду электрона или протона е = 1,6·10–19 Кл. Этот факт проверялся

неоднократно (наша земля имеет отрицательный заряд 6·105Кл, это установлено по измерению напряженности электрического поля в атмосфере земли).

Теперь перейдем к закону Кулона.

КУЛОН Шарль Огюстен (14.6.1736 – 23.8.1806) – французский физик и военный инженер. Работы относятся к электричеству, магнетизму, прикладной механике. Сформулировал законы трения, качения и скольжения. Установил законы упругого кручения. Исходя из этого в 1725 г., построил прибор для измерения силы – крутильные весы. В 1725 году Кулон открыл закон, названный в последствии его именем. Раньше ожидали, этот закон должен быть похож на закон всемирного тяготения. Так оно и оказалось, только величина сил разная: если передать 1% электронов от одного человека к другому,

то сила взаимодействия между ними на расстоянии вытянутой руки будет больше веса земного шара. (Раньше крутильные весы изобрел Кавендиш на 10 лет раньше Кулона он установил этот закон).

1.2. Взаимодействие электрических зарядов в вакууме. Закон Кулона.

Точечным зарядом (q) называется заряженное тело, размеры которого пренебрежительно малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которым оно взаимодействует.

В результате опытов Кулон нашел, что сила взаимодействия малыми точечными зарядами в вакууме пропорциональна величине зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, причем одноименные заряды притягиваются, а разноименные – отталкиваются. В этом принцип отличия от гравитационных сил, которые всегда притягиваются.

= k

q1q2

r 2

где k – коэффициент пропорциональности.

Или в векторной форме:

= k

здесь l – единичный вектор.

В электростатике (Рис. 1.1) взаимодействие зарядов подчиняется третьему закону Ньютона: силы взаимодействия между зарядами равны по величине и направлены противоположно друг другу вдоль прямой, связывающей эти заряды.

Рис. 1.1

Если заряды не точечные, то в такой форме закон кулона не годится – нужно интегрировать по объему.

Вся совокупность фактов говорит, что закон Кулона справедлив при 10-15м < r <105 м. Внутри ядра действуют уже другие законы, не кулоновские силы.

В системе СГС единица заряда выводится именно из закона Кулона: 1 ед.СГС – такой заряд, который действует на равный ему по величине другой заряд на расстоянии 1 см с силой в 1 дн (дину) поэтому здесь k = 1 т.е.

	F =		q1q2


		0			r 2

В системе СИ единицы заряда 1 Кл = 1А·1с, поэтому здесь k ≠ 1. Здесь его ввели в
таком виде
k =	1		= 9 10	9 Н м2
4πε0			Кл2

где ε0 – электрическая постоянная; 4π здесь выражают сферическую симметрию закона Кулона.

ε0 =8,85 10−12 Кл2 =8,85 10−12 Ф – электрическая постоянная.

Нм2 м

Элементарный заряд в СИ: е = 1,6·10-19Кл.

Отсюда следует, что 1Кл = 6,25·1018е. Поскольку элементарные заряды малы, мы как бы не замечаем его дискретности (заряду 1 мкКл соответствует ~ 1013 электронов)

1.3. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля.

Почему заряды взаимодействуют? Долгое время бились над этим ученые, имела место борьба двух теорий: теория дальнодействия – Ньютон, Ампер и теория близкодействия – Фарадей, Максвелл и т.д. Для электростатического поля справедливы обе эти теории.

Для понимания происхождения и передачи сил действующих между зарядами необходимо допустить наличие между зарядами какого-либо физического агента, обуславливающего это взаимодействие. Этим агентом является электрическое поле.

Вокруг заряда всегда есть электрическое поле, основное свойство которого заключается в том, что на всякий другой заряд, помещенный в это поле, действует сила.

Электрические и магнитные поля – частный случай более общего – ЭМП. Они могут превращаться в друг друга. Если заряды не движутся, то магнитное поле не возникает.

ЭМП – не есть абстракция, а объективная реальность – форма существования материи, обладающая определенными физическими свойствами, которые мы можем измерить.

Не существует статических электрических полей, не связанных с зарядами, как не существует «голых» не окруженных полем зарядов. Итак, сила взаимодействия между

зарядами F0 = q1q2 . 4πε0r2

Силовой характеристикой поля создаваемого зарядом q1 является отношение силы действующей на заряд к величине этого заряда называемое напряженностью электрического поля, т.е.

E =	F0	=	q1
q	4πε0r2
Или в векторной форме
	q
r		r

здесь r – расстояние от заряда до точки, где мы изучаем это поле. Тогда

F = q E и при q =1, F = E .

Вектор напряженности электростатического поля численно равен силе, действующей в данной точке на помещенный в нее пробный единичный положительный заряд.

Направление вектора напряженности определяет направление силы, действующей на положительный заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля.

Единицы напряженности электрического поля.

В		q			1		−1	−1

Е =		[E]=1г2 см 2 с
СГС
r 2	q			B
В СИ	Е =			[E]=	Н	или
4πε0 r	2	Кл	м

[1ед.вСГС]= 3·104 B/м.

Одной из основных задач электростатики является оценка параметров поля при заданном стационарном распределении зарядов в пространстве. Один из способов решения подобных задач основан на принципе суперпозиции. Суть его в следующем.

Если поле создается несколькими точечными зарядами, то на пробный заряд q0 действует такая сила, как если бы других зарядов не было. Результирующая сила определится выражением

r	N	r	N	r	r
F = ∑Fi = ∑q0Ei = q0E	– это принцип независимости действия сил.
	i =1		i =1

Здесь E – результирующая напряженность поля в точке, где расположен пробный заряд. Следовательно,

rN r

Е= Е1 + Е2 +… или Е = ∑Еi .

i=1

Это соотношение выражает принцип наложения или суперпозиции электрических полей и представляет важное свойство электрического поля.

Рис. 1.2

Поскольку	r

	E = ∑Ek то и F = ∑Fk	(1.4.1)

Напряженность результирующего поля, системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в данной точке каждым из них в отдельности.

Рассмотрим применение принципа суперпозиции в случае поля, созданного электрической системой из двух зарядов с расстоянием между зарядами, равными l.

Поля, создаваемые различными зарядами не влияют друг на друга, поэтому вектор Е результирующего поля нескольких зарядов q1, q2, q3, … может быть найден по правилу сложения векторов (правило параллелограмма)

Е = Е1 + Е2 + Е3 +…= ∑Ек , т.е. Е = ∑Ек

(1.4.2)

Е = Е+ + Е− ,

и Е = 2Е+сosα ,

Е+

Е−

так как задача симметрична. Здесь

E+ =

и cos α =

4πε0

)

Следовательно,

Е =

4πε0

Рассмотрим другой пример. Найдем напряженность электростатического поля Е, создаваемую двумя положительными зарядами q1 и q2 в точке А, находящейся на расстоянии r1 от первого и r2 от второго зарядов (Рис. 1.3).

Е = ∫dE ,

Рис. 1.3

E =	q1	; E	2	=	q2
4πε r2	4πε	r 2
1
	0 1				0

Воспользуемся теоремой косинусов:

E =	E12 + E22 −2E1E2	cosα =	1		q2	+	q2	−	2q q	cosα ,	(1.4.3)
4πε		1	2	1		2
			0	r 4		r 4		r r
				1		2		1	2

cosα = r12 + r22 − r2 .

2r1r2

Если поле создается не точечными зарядами, то используют обычный в таких случаях прием. Тело разбивают на бесконечно малые элементы и определяют

(1.4.4)

где dE – напряженность поля, обусловленная заряженным элементом. Интеграл может быть линейным, по площади или по объему в зависимости от формы тела. Для решения подобных задач пользуются соответствующими значениями плотности заряда:

τ = dq/dl – линейная плотность заряда;

σ = dq/ds – поверхностная плотность заряда; ρ = dq/dv – объемная плотность заряда.

Если же поле создано сложными по форме зарядами, телами и неравномерно заряжено, то используя принцип суперпозиции трудно найти результирующее поле.

В формуле Е = ∫dE мы видим, что dE – векторная величина:

r	1	dq r
dE =		r2 r	,	(1.4.5)
4πε0

так что интегрирование может оказаться непростым. Поэтому для вычисления Е часто пользуются другими методами, которые мы обсудим в следующих лекциях. Однако в некоторых, относительно простых случаях эти формулы позволяют аналитически

рассчитать Е.

В качестве примеров можно рассмотреть линейное распределение зарядов или распределение заряда по окружности.

Определим напряженность электрического поля в точке А (Рис. 1.4) на расстоянии х очень длинного, линейного, равномерно распределенного заряда. Пусть τ – заряд, приходящийся на единицу длины [Кл/ м].

Рис. 1.4

Считаем, что х – мало по сравнению с длиной проводника. Выберем систему координат так, чтобы ось y совпадала с проводником. Элемент длины dy, несет заряд dq = τdy. Создаваемая этим элементом напряженность электрического поля в точке А:

	dE =	1		τdy
			(x2 + y2 )	(1.4.6)
r	4πε0
имеет dEx и dEy, причем dEx	= dEcosθ; dEy = dE sinθ.
Вектор dE

Т.rк. проводник бесконечно длинный, а задача симметричная, то у – компонента вектора dE обратится в ноль (скомпенсируется), т.е. Ey = ∫dE sin θ = 0 .

Тогда E =Ex =

dEcosθ =

cosθdy

. Теперь выразим y через θ. Т.к.

∫

4 πε0

∫x2 + y2

y = x tgθ, то dy = xdθ/cos2θ и (x2+y2) = x2/cos2θ, тогда

E =

1 2

cosθdθ =

(1.4.7)

4πε0

4πε0 x

x ∫π

−

Таким образом, напряженность электрического поля линейно распределенных зарядов изменяется обратно пропорционально расстоянию до заряда.

Этот результат, полученный для бесконечно длинного линейного заряда, с хорошей точностью справедлив и для линейного заряда конечной длины при условии, что х – мал по сравнению с расстоянием от точки А до концов проводника.

Задание: по тонкому кольцу радиуса а равномерно распределен заряд q. Определить Е в точке А (Рис. 1.5).

Рис. 1.5

1.5. Электростатическое поле диполя.

Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине, но разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми l значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы (r >> l), где l плече диполя – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и численно равный расстоянию между зарядами.

1) Найдем Е в точке А на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к оси (Рис. 1.6)

r2 + l2 24

					q			Рис. 1.6
Е+=Е– =	1						≈	q	т.к. l << r.
4πε0		r	2	l	2	4πε0r2

				+
			2

Из подобия заштрихованных треугольников можно записать:

≈

отсюда E = E+

4πε0r3

E+

Обозначим вектор: Р = ql – электрический момент диполя – произведение положительного заряда диполя на плече l . Тогда:

		P				r		− P
	E =			,	E =	.	(1.5.3)
	4πε0r3	4πε0r3

2)	На оси диполя, в точке В (Рис. 1.6):
		r				2P
		E	\|\|	=	.			(1.5.4)
		4πε0r3

3)	В произвольной точке С (Рис. 1.7):

Рис. 1.7

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Законом Кулона описывается взаимодействие заряженных частиц. Однако большинство сил, с которыми мы работали, возникает при взаимодействии тел посредством контакта (т.е. тела касаются друг друга). В случае электромагнитного взаимодействия контакта нет, тогда взаимодействие происходит посредством неких невидимых элементов. Тогда взаимодействия между частицами вещества и удалёнными друг от друга макроскопическими телами осуществляются через посредство физических полей, которые создаются этими частицами или телами в окружающем пространстве. В случае с заряженными частицами, эти поля назовём электромагнитными.

Тогда логика электромагнитного взаимодействия такова: заряд создаёт вокруг себя электромагнитное поле, которое, в свою очередь, действует на любой другой заряд displaystyle q , находящийся на любом расстоянии от источника.

Закон Кулона описывает взаимодействие между двумя зарядами:

$displaystyle left| {{F}_{k}} right|=kfrac{left| Q right|left| q right|}{{{r}^{2}}}$ (1)

где

Рис. 1. Закон Кулона. Пробный заряд

Сила (1) зависит от обоих зарядов, что не позволяет толком описать электрическое поле, создаваемое каждым из взаимодействующих частиц. Тогда придумаем немного другую систему: возьмём пробный заряд — некий малый заряд, который не будет искажать поле исследуемого нами заряда displaystyle left| Q right| . Поместим пробный заряд в различные точки пространства рядом с исследуемым нами зарядом и проиллюстрируем силы Кулона (рис. 1).

В принципе, значение силы Кулона можно найти в любой точке пространства, однако данные силы зависят как от заряда источника, так и от значения пробного заряда. Введём новую переменную, поделив значение силы Кулона на значение пробного заряда:

$displaystyle vec{E}=frac{{{{vec{F}}}_{k}}}{q}$ (2)

где
- — вектор напряжённости электрического поля.

Подставим силу Кулона в (1):

$displaystyle vec{E}=kfrac{Qq}{q{{r}^{3}}}vec{r}=kfrac{Q}{{{r}^{3}}}vec{r}$ (3)

Исходя из (3), можно заключить, что напряжённость электрического поля зависит от заряда источника поля и точки наблюдения, описываемой расстоянием от заряда (рис. 2).

Рис. 2. Напряжённость электрического поля

Т.е. напряжённость электрического поля — параметр, описывающий поле, создаваемое зарядом-источником. Значение напряжённости электрического поля позволяет оценить сильно или слабо будет действовать поле на заряд, помещённый в него. Размерность displaystyle vec{E} — В/м.

Исходя из (3), можно найти напряжённость поля точечного заряда. Напряжённость электрического поля — величина векторная, поэтому для её нахождения необходимо знать как модуль, так и направление вектора. Начнём с модуля:

$displaystyle left| {vec{E}} right|=kfrac{left| Q right|}{{{r}^{3}}}left| {vec{r}} right|=kfrac{left| Q right|}{{{r}^{2}}}$ (4)

Рис. 3. Напряжённость электрического поля (направление)

Чтобы выяснить направление вектора, воспользуемся уравнением (2). Исходя из (2), можно заключить, что направление напряжённости электрического поля совпадает с направлением силы Кулона, а направление силы Кулона зависит от знака взаимодействующих зарядов. Чтобы не заморачиваться с рассмотрением этих зарядов в каждой задаче, просто договоримся. Если источник поля (заряд) положителен, тогда напряжённость поля направлена от заряда, если источник поля (заряд) отрицателен, тогда напряжённость поля направлена к заряду (рис. 3).

Напряжённость системы зарядов. Принцип суперпозиции напряжённости.

В случае, если в задаче источниками поля являются несколько зарядов, тогда напряжённость в интересующей точке можно найти как векторную сумму напряжённостей от каждого из зарядов:

$displaystyle {{vec{E}}_{o}}=sumlimits_{i}{{{{vec{E}}}_{i}}}$ (5)

Важно: поиск векторной суммы чаще всего сопряжён с реализацией теоремы Пифагора, теоремы косинусов или синусов, иногда с проецированиием векторов напряжённости на оси с последующим суммированием.

Рис. 4. Принцип суперпозиции напряжённости

Проиллюстрируем: пусть в системе присутствует 3 заряда ( $displaystyle {{q}_{2}}$ , $displaystyle {{q}_{3}}$ , $displaystyle {{vec{r}}_{1}}$ ), найти напряжённость в точке А, находящейся на заданном расстоянии от каждого из них ( $displaystyle {{vec{r}}_{2}}$ , $displaystyle {{vec{r}}_{3}}$ , $displaystyle {{vec{r}}_{3}}$ ) (рис. 4).

Пользуясь знаниями о зарядах, расставляем направления напряжённостей от каждого из зарядов, значение модуля каждой из них можем найти из (4). А далее геометрически складываем, получая искомый $displaystyle {{vec{E}}_{o}}$ .

Напряжённость поля бесконечной заряженной плоскости.

Отдельно в школьной физике рассматривается бесконечная (осень большая) заряженная равномерно плоскость (рис. 5).

Рис. 5. Напряжённость бесконечной плоскости

Напряжённость такой плоскости вблизи её:

$displaystyle E=frac{sigma }{2varepsilon {{varepsilon }_{0}}}$ (6)

В (6) использовалось определение поверхностной плотности заряда:

$displaystyle sigma =frac{Q}{S}$ (7)

Важно: напряжённость бесконечной плоскости не зависит от расстояния от плоскости.

Напряжённость поля двух бесконечных заряженных плоскостей (конденсатор).

Рис. 6. Напряжённость двух бесконечных плоскостей

Если составить систему из двух бесконечных плоскостей, заряженных одинаковым по модулю и различным по знаку зарядом (при этом площади плоскостей одинаковы), то общая напряжённость между ними:

$displaystyle {{E}_{0}}=frac{sigma }{2varepsilon {{varepsilon }_{0}}}+frac{sigma }{2varepsilon {{varepsilon }_{0}}}=frac{sigma }{varepsilon {{varepsilon }_{0}}}=frac{q}{varepsilon {{varepsilon }_{0}}S}$ (8)

Уравнение (8) характеризует напряжённость внутри конденсатора (рис. 6).

Вывод: в случае, если в задаче требуется найти напряжённость, она дана, достаточно рассмотреть систему. Различных систем, а соответственно, и формул, немного: точечный заряд, шар, система точечных зарядов и бесконечные плоскости. Для каждой системы — своё решение.

Источник

Электростатика: элементы учебной физики
Лекция 5. Напряжённость электрического поля

Продолжение. См. № 17,
18, 19, 20/07

В.В.МАЙЕР,
ГОУ ВПО ГГПИ им. В.Г.Короленко, г. Глазов,
Республика Удмуртия

varaksina_ei@list.ru

Электростатика: элементы учебной
физики

Понятие электрического поля оказалось
плодотворным потому, что удалось ввести
количественные характеристики, которые
позволяют решать конкретные физические задачи. К
ним в первую очередь относятся напряжённость и
потенциал электрического поля.

Экспериментальные исследования
учащихся должны показать, что напряжённость
реально может быть измерена и что эта величина
действительно характеризует электрическое поле.
Относительно новое для школьников – один и тот
же прибор, электростатический динамометр, при
соответствующей градуировке может быть
использован в качестве измерителя и силы, и
напряжённости. Однако это вовсе не значит, что
этим прибором можно измерить любую
электростатическую величину: ни при какой
градуировке электростатического динамометра не
удастся получить прибор, измеряющий, скажем,
потенциал электрического поля.

Принципиально важно
экспериментальное обоснование принципа
суперпозиции электрических полей. Такое
обоснование можно было бы осуществить уже при
введении понятия электрического поля, но
предпочтительнее сделать это, когда учащиеся
будут ознакомлены с понятием напряжённости.

5.1. Напряжённость электрического
поля. Силовой характеристикой
электрического поля является вектор
напряжённости электрического поля E,
равный отношению вектора силы, действующей в
данной точке поля на пробный положительный
заряд, к величине этого заряда:

( 5.1)

Напряжённость в системе единиц СИ
выражается в ньютонах на кулон (Н/Кл).

5.2. Напряжённость электрического
поля точечного заряда. Во многих задачах
электростатики размерами заряженных тел по
сравнению с расстояниями до точек наблюдения
можно пренебречь. В таких случаях говорят о
точечных зарядах. Понятно, что на самом деле
никаких точечных зарядов или заряженных точек в
природе не существует, — это просто удобная
абстракция.

Закон Кулона, как вы знаете, справедлив
именно для точечных зарядов. Непосредственно из
закона Кулона следует, что модуль вектора
напряжённости электрического поля точечного
заряда Q:

(5.2)

где R – расстояние до точки
наблюдения, q – пробный положительный заряд.

5.3. Силовые линии
электростатического поля. Фарадей, который
ввёл понятие электрического поля, внутренним
взором видел заряды, окружённые полями.
Изображать их он стал линиями, вдоль которых на
пробный заряд со стороны поля действуют силы. Силовые
линии электростатического поля часто
называют линиями напряжённости, т.к. вектор
напряжённости электрического поля в любой точке
такой линии касателен к ней. Вместо пробного
заряда для построения силовых линий удобнее
использовать электрический диполь.

Введя в электрическое поле
положительный пробный заряд на нити, по его
отклонению от положения равновесия определим
направление напряжённости поля. Уберём заряд и
вместо него в ту же точку внесём диполь. При
этом обнаружим, что он повернулся своим
положительным полюсом в направлении вектора
напряжённости электрического поля. Используя
диполь, нетрудно экспериментально доказать, что
электрическое поле можно характеризовать
силовыми линиями, т.е. такими линиями, в каждой
точке которых напряжённость поля является
касательной к ним.

Для этого создадим произвольное
электрическое поле, введём в него диполь и
отметим положение его положительного и
отрицательного полюсов. Переместим диполь так,
чтобы его, например, отрицательный полюс совпал с
точкой, в которой находился положительный.
Многократно повторяя эту операцию, получим
совокупность точек. Соединив эти точки плавной
линией, получим силовую линию исследуемого
электростатического поля.

Опыт показывает, что через каждую
точку поля проходит только одна силовая линия.
Если бы было не так, то в точке пересечения двух
силовых линий одного поля на заряд действовали
бы разные силы.

Повторяя описанные выше действия,
построим семейство силовых линий так, чтобы их
начальные точки находились на поверхности
заряженного тела на равных расстояниях друг от
друга. Обнаружим, что силовые линии
располагаются с различной густотой. Внесём в
поле пробный заряд на нити в области с
максимальной и минимальной густотой силовых
линий и обнаружим, что в этих областях
напряжённость электрического поля
соответственно максимальна и минимальна.

Силовые линии сгущаются возле зарядов,
т.е. там, где модуль вектора напряжённости
электрического поля больше. Значит, густота
силовых линий определяется напряжённостью поля.
Семейство силовых линий в принципе может
полностью охарактеризовать электрическое поле.

Проделанные опыты показывают, что
силовые линии начинаются или заканчиваются на
зарядах, идут в бесконечность или выходят из неё.
В электростатическом поле замкнутых силовых
линий нет.

5.4. Принцип суперпозиции
напряжённостей электростатических полей.
Из принципа суперпозиции полей следует, что сила,
действующая на пробный заряд со стороны других
зарядов, равна геометрической сумме всех
действующих на заряд сил по отдельности. Но если
это так, то напряжённости электрических полей,
равные отношениям сил к величине пробного
заряда, складываются подобно силам.

Таким образом, для электрических полей
справедлив принцип суперпозиции в
следующей формулировке: напряжённость
результирующего электрического поля есть
геометрическая (векторная) сумма напряжённостей
полей, создаваемых отдельными зарядами:

E = E₁ + E₂ + E₃ + …
(5.3)

Применение принципа суперпозиции для
напряжённостей позволяет существенно облегчить
решение многих задач электростатики.

5.5. Поток вектора напряжённости
электрического поля. Представим себе
точечный положительный заряд Q, находящийся
в центре сферической поверхности 1 радиусом r.
В точках этой поверхности напряжённость
электрического поля Так как площадь

поверхности сферы S = 4r², то её
произведение на напряжённость электрического
поля не зависит ни от чего, кроме заряда:

(5.4)

поэтому характеризует электрическое
поле в целом. Эта величина получила название потока
вектора напряжённости электрического поля.

Поток напряжённости через
концентрические сферические поверхности 1 и
2 одинаков. Так как он характеризует поле
заряда в целом, нужно, чтобы он оставался тем же и
для произвольной замкнутой поверхности 3. Но
для неё вектор напряжённости уже не является
нормалью к элементу поверхности. Поэтому для
определения потока вектора E через
элемент поверхности вместо площади этого
элемента следует брать площадь его проекции на
плоскость, перпендикулярную вектору E.
Условимся поток считать положительным, если
вектор напряжённости выходит из замкнутой
поверхности, и отрицательным, если он входит в
неё. Если заряд находится вне замкнутой
поверхности 4, то поток напряжённости через
неё равен нулю. Дело в том, что входящий внутрь
области поток по модулю равен выходящему.

5.6. Теорема Гаусса. Мысленно
переместим заряд из центра сферической
поверхности в любую точку внутри неё. Очевидно,
поток вектора напряжённости электрического поля
от этого не изменится, т.к., по самому определению,
он один и тот же для любой замкнутой поверхности,
окружающей заряд. Разместим внутри этой
поверхности не один, а несколько в общем случае
различных зарядов. По принципу суперпозиции
электрические поля этих зарядов не влияют друг
на друга, значит, потоки, созданные каждым
зарядом по отдельности, остаются неизменными.
Результирующий поток, очевидно, равен сумме
потоков от всех зарядов.

Это и есть теорема Гаусса: поток
вектора напряжённости через произвольную
замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме зарядов, расположенных внутри этой
поверхности, делённой на электрическую
постоянную:

(5.5)

Если алгебраическая сумма зарядов
внутри замкнутой поверхности равна нулю, то
поток напряжённости электрического поля через
эту поверхность также равен нулю. Это понятно,
поскольку положительные заряды внутри
поверхности создают положительный поток, а
отрицательные – равный ему по модулю
отрицательный.

5.7. Поверхностная плотность
заряда. Если проводящему телу сообщить
заряд, то он будет распределён по его
поверхности. В общем случае на участках
поверхности одинаковой площади окажутся разные
заряды. Отношение заряда Q к площади поверхности S, на которой
он распределён, называется поверхностной
плотностью заряда

(5.6)

Поверхностная плотность заряда
выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м²).

5.8. Напряжённость электрического
поля заряженного шара. Используя теорему
Гаусса, нетрудно определить напряжённость
электрического поля, созданного заряженным
проводящим шаром. Действительно, если на
поверхности сферы радиусом r > R, центр
которой совпадает с центром шара, равномерно
распределён заряд Q, то поток вектора E
через сферическую поверхность радиусом r,
согласно теореме Гаусса, равен:

Отсюда напряжённость электрического
поля на расстоянии r от центра заряженной сферы
равна

(5.7)

Сравнивая (5.7) с (5.2), приходим к выводу,
что напряжённость электрического поля
заряженного шара равна напряжённости такого же
точечного заряда, расположенного в центре шара.

5.9. Напряжённость электрического поля
заряженной плоскости. Рассмотрим
бесконечную плоскость, заряженную равномерно с
поверхностной плотностью заряда . Электрическое поле такой
поверхности однородно, причём силовые линии
перпендикулярны поверхности. Чтобы найти
напряжённость поля, воспользуемся теоремой
Гаусса. Для этого построим замкнутую
цилиндрическую поверхность, ось которой
параллельна силовым линиям поля, а основания
площадью S находятся по разные стороны от
поверхности. Поток напряжённости через боковую
поверхность цилиндра равен нулю, т.к. силовые
линии её не пересекают. Поэтому полный поток
напряжённости через выбранную поверхность равен
сумме потоков через основания цилиндра: N = 2 • ЕS.
Полный заряд внутри цилиндра равен Q = S. Согласно
теореме Гаусса,
Отсюда напряжённость электрического поля

(5.8)

Итак, напряжённость электрического
поля заряженной плоскости равна поверхностной
плотности заряда, делённой на удвоенное значение
электрической постоянной.

5.10. Напряжённость электрического
поля разноимённо заряженных параллельных
плоскостей. Пусть некоторая плоскость
заряжена равномерно с плотностью заряда . Параллельно этой
плоскости расположим вторую, с такой же
плотностью заряда противоположного знака.
Найдём напряжённость электрического поля в этом
случае.

Каждая плоскость создаёт поле
напряжённостью E’ = /(2₀).
Согласно принципу суперпозиции, напряжённость
результирующего электрического поля равна сумме
напряжённостей этих полей. Так как между
плоскостями напряжённости полей имеют
одинаковое направление, то результирующая
напряжённость Е = 2E’:

(5.9)

Следовательно, напряжённость
электрического поля между параллельными
плоскостями, несущими равные по модулю
разноимённые заряды, равна поверхностной
плотности заряда одной из плоскостей, делённой
на электрическую постоянную. Вне плоскостей
векторы напряжённостей направлены
противоположно и, поскольку их модули равны, поле
вообще отсутствует. Обратите внимание, что не
важно, проводят плоскости электричество или нет.

Исследование 5.1. Напряжённость
электрического поля

Проблема. Возможна ли в доступном
учебном эксперименте количественная оценка
напряжённости электрического поля, создаваемого
зарядами на наэлектризованных телах?

Задание. Используя
электростатический динамометр, разработайте
методику введения понятия напряжённости
электрического поля и предложите прибор для
измерения напряжённостей.

Вариант выполнения. Проводящему
шару сообщите заряд, для определённости
положительный. На пробный шарик
электростатического динамометра (см.
исследование 3.4) также нанесите некоторый заряд.
Введите динамометр в электрическое поле
заряженного шара и разверните так, чтобы его
показания стали максимальны. Это означает, что
пробный шарик электростатического динамометра
отклоняется в ту же сторону, куда направлена
сила, действующая на него со стороны
электрического поля.

Прикоснитесь к пробному шарику таким
же незаряженным шариком и уберите его: пробный
заряд уменьшится в два раза, показания
динамометра для того же расстояния до точки
наблюдения тоже уменьшаются в два раза.

Повторяя опыт с разными зарядами,
убедитесь, что отношение силы f, действующей
на пробный заряд q, к величине этого заряда в
данной точке поля остаётся постоянным, а при
переходе от одной точки к другой, вообще говоря,
меняется. Значит, это отношение может
характеризовать электрическое поле. Оно и
получило название напряжённости
электрического поля. Шкалу
электростатического динамометра, которым вы
пользовались для измерения силы
электростатического взаимодействия, можно
отградуировать в единицах напряжённости. Тогда
допустимо считать этот прибор измерителем
напряжённости электрического поля.
Градуировку нетрудно осуществить в единицах
Н/Кл, если предварительно измерить величину
пробного заряда (см. исследование 3.6).

Учащиеся должны понять, каким образом
один и тот же прибор превратился из измерителя
силы в измеритель напряжённости.

Исследование 5.2. Зависимость
напряжённости электрического поля от радиуса
заряженного шара

Задание. Разработайте
демонстрационный эксперимент, который может
служить обоснованием справедливости теоремы
Гаусса для электростатических полей.

Вариант выполнения.

Зарядите стоящий на диэлектрической
подставке небольшой проводящий шар. К нему
подведите измеритель напряжённости
электрического поля, пробный шарик которого
несёт такой же по знаку заряд, как заряд,
создающий исследуемое поле. Запомните
отклонение стрелки измерителя.

Первый шар с зарядом опустите в
полость второго проводящего шара значительно
большего диаметра, установленного на
диэлектрической подставке. Приближайте этот
второй шар к пробному шарику измерителя
напряжённости. Оказывается, когда центр второго
шара совпадает с точкой, в которой находился
центр первого шара, стрелка измерителя
отклоняется на первоначальное число делений.

Отсюда следует, что независимо от
радиуса заряженного шара на одном и том же
расстоянии от его центра напряжённость
электрического поля одна и та же. Тем самым
теорема Гаусса получила подтверждение в
демонстрационном эксперименте.

Понятно, что теорема Гаусса носит
общий характер и, строго говоря, не нуждается в
обоснованиях, подобных здесь рассмотренному. Но
в дидактических целях такое обоснование
совершенно необходимо, поскольку оно
способствует укреплению в сознании учащихся
неразрывной связи физической теории с
объективной реальностью.

Исследование 5.3. Суперпозиция
электрических полей

Информация. Чтобы убедиться в
справедливости принципа суперпозиции
электрических полей, нужно уметь определять не
только модули сил, действующих на заряды, но и их
направления. Делать это с помощью
электростатического динамометра неудобно. Кроме
того, он не позволяет графически изображать
векторы сил. Если на нити подвесить лёгкое
заряженное тело, то силу, действующую на него в
электрическом поле, можно оценить по отклонению
тела из положения равновесия. Но для измерения
этого отклонения воспользоваться линейкой не
удастся: приближение её к заряженному телу
вызывает изменение его положения. Чтобы
устранить эту трудность, можно спроецировать
заряженное тело на горизонтальную плоскость.

Задание. Разработайте и выполните
эксперимент, доказывающий справедливость
принципа суперпозиции электрических полей.

Вариант выполнения. К стеклянному
баллону маленькой лампочки приклейте тонкую
нить с лёгким проводящим шариком небольшого
радиуса на конце. Нанесите на шарик пробный
заряд. Лампочку закрепите над листом бумаги и
включите её. На листе бумаги цифрой 0
отметьте положение тени от шарика, находящегося
в положении равновесия. Приблизьте к пробному
заряду заряд Q₁ и цифрой 1 отметьте
на листе положение тени отклонившегося шарика.
Уберите заряд Q₁ и вместо него вблизи
пробного шарика расположите заряд Q₂.
При этом тень от шарика займёт новое положение 2.

Верните заряд Q₁ в
первоначальное положение. Теперь пробный шарик
находится в поле сразу двух зарядов и
отклоняется от положения равновесия так, что его
тень занимает положение 3. Проанализируйте
результат эксперимента. Очевидно, при смещении
шарика из положения равновесия его тень
смещается на величину, пропорциональную силе,
действующей на шарик в новом положении
равновесия (см. исследование 3.5). При малых
отклонениях пробного шарика эту силу
приближённо можно считать равной силе,
действующей на шарик в исходном положении. Длины
отрезков, соединяющих точку 0 с точками 1,
2 и 3, пропорциональны модулям
соответствующих сил. Соединив указанные точки
векторами, вы обнаружите, что вектор
результирующей силы, действующей на пробный
заряд, примерно равен сумме векторов сил,
действующих на него со стороны каждого заряда по
отдельности. Понятно, что точные измерения,
выполненные с более совершенными приборами,
вместо приближённого дадут точное равенство.

Поразительно единство природы: силы,
созданные электрическими полями, складываются
так же, как механические! Но если это так, то
напряжённости электрических полей, равные
отношениям сил к величине пробного заряда,
складываются подобно силам. Оставив шары
неподвижными, изменяйте их заряды в одинаковое
число раз (см. п. 2.6). При этом вы обнаружите, что
направление напряжённости результирующего поля
остаётся неизменным.

Таким образом, принцип суперпозиции
электростатических полей экспериментально
обоснован.

Исследование 5.4. Демонстрация
принципа суперпозиции напряжённостей

Проблема. Индивидуальный опыт,
выполненный в результате предыдущего
исследования, не позволяет убедиться в
справедливости принципа суперпозиции
напряжённостей электростатических полей всему
классу непосредственно на уроке. Как решить эту
проблему?

Задание. Учитывая возможности
кодоскопа, разработайте демонстрационный
вариант эксперимента, обосновывающего
справедливость принципа суперпозиции, и
методику проведения его на уроке.

Вариант выполнения. Из толстой
алюминиевой проволоки в изоляции выгните
специальный штатив высотой примерно 30 см и
поставьте его на конденсор кодоскопа. К верхнему
концу штатива привяжите конец тонкой нейлоновой
нити длиной примерно 20 см. На нижнем конце нити
закрепите шарик диаметром около 3 мм из тонкой
алюминиевой фольги. На конденсор кодоскопа на
стойках высотой 10 см, изготовленных из
полиэтиленовых трубок, поставьте пенопластовые
шары диаметром 15–20 мм, обёрнутые тонкой фольгой.
Основания стоек лучше сделать из прозрачного
оргстекла.

Уберите с конденсора стойки с шарами,
включите осветитель кодоскопа и на классной
доске получите изображение висящего на нити
пробного шарика. Одноимёнными зарядами зарядите
пробный шарик и два шара на стойках. На доске
мелом отметьте положение пробного шарика.
Поставьте на конденсор один из заряженных шаров,
отметьте его положение и положение пробного
шарика. Уберите первый заряженный шар и в
произвольное место поставьте второй, отметив на
доске новое положение пробного шарика. Верните в
первоначальное положение первый шар, обозначьте
результирующее положение пробного шарика, мелом
на доске нарисуйте соответствующие векторы сил и
предложите учащимся сделать вывод из
продемонстрированного опыта.

Исследование 5.5. Плотность заряда
на поверхности проводника

Задание. Докажите, что плотность
заряда на поверхности проводника, вообще говоря,
различна.

Вариант выполнения. Зарядите
расположенный на изолирующей подставке
проводник цилиндрической формы с остриём и
коническим углублением. Пробным шариком на
изолирующей ручке, предварительно заземлённым,
коснитесь цилиндрической поверхности
проводника и поместите его внутрь полого шара,
соединённого с электрометром. Если угол
отклонения стрелки мал, повторите перенос заряда
несколько раз. Запомните показания электрометра,
разрядите его и пробный шарик. Попробуйте снять
заряд из конического углубления в поверхности
проводника, и вы убедитесь, что там он
практически отсутствует. Повторите опыт, касаясь
пробным шариком теперь уже точки поверхности,
расположенной на острие проводника. В этом
случае угол отклонения стрелки электрометра
будет значительно больше, чем в первом опыте. Так
как вблизи острия пробный шарик заряжается до
большей величины, то в этой области плотность
распределения заряда по поверхности проводника
больше.

Зарядите металлический диск,
закреплённый за изолирующую ручку в штативе.
Проведя опыты, аналогичные описанным, покажите,
что плотность заряда во всех точках плоской
поверхности диска вдали от его края одинакова, а
на краю возрастает.

Исследование 5.6. Напряжённость
электрического поля вблизи заряженного
проводника

Задание. Поставьте опыт,
показывающий, что напряжённость электрического
поля вблизи заряженного проводника определяется
поверхностной плотностью заряда.

Вариант выполнения. Вблизи
проводника сложной формы расположите
электростатический динамометр и перемещайте его
так, чтобы расстояние до поверхности проводника
оставалось постоянным, а сила действовала на
шарик динамометра по нормали к поверхности. Опыт
должен показать, что там, где на поверхности
проводника плотность заряда больше, вблизи этой
поверхности больше и напряжённость
электрического поля (см. исследование 5.5).
Проанализируйте полученные результаты и
сделайте соответствующие выводы.

Исследование 5.7. Электрическое
поле вблизи заряженных плоскостей

Задание. Прямым экспериментом
подтвердите, что равномерно заряженная
плоскость даёт электрическое поле по обе стороны
от неё, а две параллельно установленные
плоскости, несущие равные заряды
противоположных знаков, создают электрическое
поле только в области между ними.

Вариант выполнения. На нитях
подвесьте два одинаковых обёрнутых алюминиевой
фольгой пенопластовых шарика так, чтобы они
касались металлического диска с противоположных
сторон. Зарядите диск от пьезоэлектрического или
иного источника. При этом шарики отойдут от диска
на равные расстояния, свидетельствуя о том, что
электрическое поле существует по обе стороны от
заряженного диска.

Точно такой же диск зарядите равным по
модулю и противоположным по знаку зарядом.
Постепенно приближайте второй диск к первому
так, чтобы они оставались параллельными. Вы
заметите, что отклонение шарика, находящегося
вне дисков, уменьшается, а находящегося между
дисками – увеличивается. Наконец, первый шарик
касается диска, показывая, что поле вне дисков
практически исчезло, а второй шарик отклоняется
на угол, примерно в два раза превышающий
первоначальный.

Исследование 5.8. Точное
подтверждение закона Кулона

Информация.

На диэлектрической стойке закрепите
металлический шар и заключите его между двумя
проводящими полусферами, одна из которых имеет
отверстие. Через отверстие проводником на
изолированной нити соедините шар с полусферами.
Зарядите полусферы. За нить удалите проводник.
Разомкнув шар и полусферы, разведите полусферы в
стороны, разрядите их, а к шару подсоедините
чувствительный электрометр: никакого заряда на
шаре вы не обнаружите. Значит, эксперимент ещё
раз показывает, что на проводнике, находящемся
внутри другого проводника, заряда нет.

Это справедливо потому, что справедлив
закон Кулона. Действительно, внутри проводящей
равномерно заряженной сферы выберем
произвольную точку А и вертикальными
конусами вырежем на сфере площадки S₁ и S₂. Из геометрии
известно, что Но
эти площадки имеют заряды, пропорциональные их
величинам:
Небольшие площадки создают в точке А поля
напряжённостями
и отношение
которых

Значит, поскольку напряжённости полей,
созданных любыми подобными парами площадок на
сфере, равны по модулю и противоположно
направлены, результирующая напряжённость поля,
созданного в точке А всей заряженной сферой,
должна быть равна нулю.

Это и показывает эксперимент. Если бы
на опыте был обнаружен хотя бы слабый заряд на
внутреннем шаре, то оказалась бы неверной
формула для напряжённости поля точечного заряда
(5.2) и, следовательно, в законе Кулона (3.1) сила
взаимодействия между зарядами не была бы обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Так как заряд можно измерить с гораздо более
высокой точностью, чем силу взаимодействия между
зарядами, а из закона Кулона следует, что поле
внутри тела отсутствует независимо от его формы,
то рассмотренный эксперимент корректнее
доказывает справедливость закона Кулона, чем
ранее описанные опыты.

Задание. Разработайте и поставьте
доступный вариант рассмотренного эксперимента,
с максимальной убедительностью показывающий,
что внутри заряженного полого проводника
электрическое поле отсутствует.

Вариант выполнения. Чтобы
обнаружить электрическое поле, можно
воспользоваться явлением электростатической
индукции. Внесём в поле два соприкасающихся
проводящих тела на изолированных ручках. В них
произойдёт перераспределение зарядов. Не удаляя
из поля, разъединим эти тела – на них останутся
заряды противоположных знаков. Эти заряды можно
измерить электрометром, находящимся вне
исследуемого поля.

Эксперимент можно поставить так. На
подставке из диэлектрика закрепите полый
металлический шар. Проводником в хорошей
изоляции соедините его с одним из кондукторов
электрофорной машины. К шару приблизьте второй
кондуктор и приведите машину в действие. При этом
возникнут мощные искровые разряды длиной до 10 см.
Аккуратно введите внутрь шара одинаковые
металлические пластинки на ручках из оргстекла.
Приведите пластинки в соприкосновение, затем
разъедините, аккуратно достаньте из полости шара
и по очереди введите в шар электрометра. Вы
обнаружите, что никакого заряда на пластинках
нет! Значит, внутри проводящего шара
электрическое поле отсутствует, несмотря на то,
что шар в целом несёт значительный заряд,
сообщаемый ему работающей электрофорной
машиной. Повторите опыт, прикоснувшись пробным
шариком изнутри к металлу заряженного шара, – вы
вновь не обнаружите никакого заряда. Таким
образом, весь электрический заряд сосредоточен
на поверхности проводящего тела. Объясняется
этот результат тем, что справедлив закон Кулона.
В свою очередь, этот экспериментальный факт с
высокой точностью подтверждает справедливость
закона Кулона.

Вопросы для самоконтроля

1. В чём суть методики введения и
формирования понятия напряжённости
электрического поля?

2. Сравните метод построения силовых
линий посредством диполя с методом визуализации
электростатического поля мелким порошком,
взвешенным в жидком диэлектрике.

3. Изложите методику демонстрации на
уроке принципа суперпозиции электростатических
полей.

4. Каким экспериментом можно
подтвердить справедливость теоремы Гаусса?

5. Как зависят плотность заряда и
напряжённость электрического поля от формы
проводника?

6. Предложите демонстрационный опыт,
прямо показывающий зависимость плотности заряда
от площади проводника.

7. В чём дидактическая ценность
опыта с обнаружением электрического поля вблизи
одной и двух параллельных заряженных проводящих
пластин?

8. Нужно ли в школе рассматривать
метод точного подтверждения закона Кулона?

Литература

Бутиков Е.И., Кондратьев А.С.
Физика: Учеб. пособие: В 3-х кн. Кн. 2.
Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.

Демонстрационный эксперимент по
физике в старших классах средней школы: Т. 2.
Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред.
А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1972.

Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик
Э.Е. Физика: Учеб. для 10 кл. шк. и кл. с углубл.
изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.:
Просвещение, 1997.

Учебное оборудование для кабинетов физики
общеобразовательных учреждений: Под ред.
Г.Г.Никифорова. — М.: Дрофа, 2005. (Cм. также «Физика»
(«ПС») № 10/2005; № 4/2007.)

Продолжение см. в № 22/07

Источник

Видеоурок: Принцип суперпозиции в электричестве

Лекция: Принцип суперпозиции электрических полей

Если взять пробный заряд и разместить его на некотором расстоянии от других зарядов, то на него будут действовать все электрические поля зарядов, находящихся на каком-то расстоянии от него. Так как мы знаем, что напряженность является векторной величиной, поэтому для получения общей напряженности, которая действует на пробный заряд, следует найти векторную сумму.

Для того, чтобы определить общую напряженность, которую создают несколько зарядов, необходимо воспользоваться принципом суперпозиций, который был получен благодаря знаниям из динамики:

Для определения напряженности, создаваемой некоторым количеством зарядов в данной точке, необходимо найти векторную сумму напряженностей каждого заряда:

Е – вектор напряженности результирующего электрического поля.

Е1,Е2,…Еn – векторы напряженностей всех электрических полей.

Так как

потенциал

– это аддитивная скалярная величина, чтобы найти его значение в некотором месте электрических полей, достаточно сложить потенциалы всех полей, действующих на пробный заряд. То есть принцип суперпозиций потенциалов говорит, что общий потенциал в точке равен алгебраической сумме всех потенциалов поля, которое создает в отдельности каждый заряд.

Источник

Принцип суперпозиции сил

Определение

Результирующая, или равнодействующая, сила равна векторной сумме всех сил, действующих на тело:

−R=∑−Fi

F_i — сила, с которой электрическое поле зарядом q действует на пробный заряд q_i, помещенный в это поле на расстоянии r_i от этого заряда. Численно ее можно вычислить по формуле:

Fi=kqiqr2i

Алгоритм решения задач на определение равнодействующей силы (точечный заряд находится в поле, созданном другими точечными зарядами):

Сделать чертеж. Указать расположение всех зарядов и их знаки.
Выделить заряд, для которого определяют равнодействующую.
Пронумеровать остальные заряды.
Определить расстояния от выделенного заряда до всех остальных.
Построить все силы, действующие на интересующий нас заряд. При этом необходимо учитывать знаки зарядов, их модули и расстояния между зарядами.
Найти геометрическую (векторную) сумму всех сил, действующих на выделенный заряд.
Пользуясь формулами геометрии и законом Кулона, определить модуль равнодействующей.

Пример №1. Как направлена (вправо, влево, вверх, вниз) кулоновская сила −FK, действующая на положительный точечный электрический заряд +2q, помещенный в центр квадрата, в вершинах которого находятся заряды +q, +q, –q, –q?

Известно, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются. Из рисунка видно, что заряд +2q, находящийся в центре квадрата, будет отталкиваться от зарядов +q, находящихся справа, и будет притягиваться к зарядам –q, находящимся слева.

Сила Кулона обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами, то есть с увеличением расстояния r убывает по квадратическому закону. Так как заряд +q находится точно в центре квадрата, то расстояния от зарядов +q, +q, -q, -q будут равны, следовательно, равна по модулю и сила Кулона, действующая на заряд +2q. Суперпозиция сил, действующих на заряд +2q:

Из рисунка видно, что кулоновская сила −FK, действующая на положительный точечный электрический заряд +2q, направлена влево.

Принцип суперпозиции полей

Определение

Если в некоторой точке пространства складываются электрические поля от нескольких зарядов, то результирующая напряженность находится как векторная сумма напряженностей отдельных полей:

−E=∑−Ei

−Ei — напряженность, создаваемая зарядом qi в точке, находящейся на расстоянии ri:

−Ei=kqir2i

Векторное сложение напряженностей аналогично нахождению равнодействующей сил Кулона, только в интересующую нас точку пространства помещают положительный пробный заряд. Чтобы найти результирующий потенциал в точке, необходимо алгебраически сложить потенциалы всех полей. Нельзя забывать, что знак потенциала определяется знаком заряда, создающим электрическое поле:

φ=∑φi

φi — потенциал электростатического поля, создаваемого зарядом qi на расстоянии ri от него. Численно он равен:

φi=±kqiri

Для определения полной энергии надо сложить потенциальные энергии всех пар зарядов:

Wp=∑Wip

Wip — потенциальная энергия взаимодействия зарядов qi и qn, находящихся на расстоянии ri друг от друга. Численно она равна:

Wip=±kqiqnri

Примеры определения расстояний

	Два заряда лежат на одной прямой на расстоянии l друг от друга. Изучаемый заряд лежит между ними: r1=x; r2=l−x
	Изучаемый заряд лежит в вершине квадрата со стороной a: r1=r3=a; r2=a√2
	Изучаемый заряд лежит в центре равностороннего треугольника со стороной a: r1=r2=r3=a√3
	Изучаемый заряд лежит в вершине прямоугольника со сторонами a и b: r1=b; r2=√a2+b2; r3=a
	Изучаемый заряд лежит в точке пересечения диагоналей ромба со стороной a. Угол при вершине ромба 120^о: r1=r3=a√32; r2=r4=a2
	Изучаемый заряд лежит в центре правильного шестиугольника со стороной a: r1=r2=r3=r4=r5=r6=a

Пример №2. Маленький заряженный шарик массой m, имеющий заряд q, движется с высоты h по наклонной плоскости с углом наклона α. В вершине прямого угла, образованного высотой и горизонталью, находится неподвижный заряд Q. Какова скорость шарика у основания наклонной плоскости v, если его начальная скорость равна нулю? Трением пренебречь.

Построим чертеж:

Применим закон сохранения энергии, согласно которому полная энергия шарика в точке А равна полной энергии шарика в точке В (трением пренебрегаем):

EA=EB

Полная энергия шарика с зарядом qв точке А равна сумме его механической потенциальной энергии и потенциальной энергии взаимодействия с зарядом Q:

EA=mgh+kqQh

В точке В механическая потенциальная энергия шарика равна нулю, но в этой точке максимальная его кинетическая энергия. Полная энергия шарика в точке В равна:

EB=mv22+kqQb

Расстояние между точкой В и местом, где находится заряд Q:

b=htanα

Приравняем правые части уравнений:

mgh+kqQh=mv22+kqQb

mgh+kqQh=mv22+kqQtanαh

mv22=mgh+kqQh−kqQtanαh=mgh+kqQh(1−tanα)

v=⎷2(mgh+kqQh(1−tanα))m=√2gh+2kQmh(1−tanα)

Задание EF17563

Точка В находится в середине отрезка АС. Неподвижные точечные заряды + q и −2q расположены в точках А и С соответственно (см. рисунок). Какой заряд надо поместить в точку С взамен заряда −2q, чтобы напряжённость электрического поля в точке В увеличилась в 2 раза?

Ответ:

а) − 5q

б) − 4q

в) 4q

г) 5q

Алгоритм решения

1.Определить направление вектора напряженности для зарядов в точках А и С.

2.Определить напряженность поля в точке В, используя принцип суперпозиции.

3.Найти, какой заряд нужно поместить в точку С вместо имеющегося, чтобы напряженность электростатического поля в точке В увеличилась вдвое.

Решение

Вектор напряженности заряда в точке А направлен в направлении от этого заряда, так как он положительный. Это значит, что в точке В вектор напряженности E_A направлен вправо. Вектор напряженности заряда в точке С направлен к этому заряду, так как он отрицательный. Поэтому в точке В вектор напряженности E_C тоже направлен вправо. Следовательно, при векторном сложении модули напряженностей должны складываться:

E=EA+EC=k|q|r2+k|−2q|r2=3kqr2

Найдем, какой нужно поместить заряд в точку С, чтобы напряженность увеличилась вдвое:

k|q|r2+k|x|r2=2·3kqr2=6kqr2

Преобразуем выражение и получим:

|q|+|x|=6q

Отсюда:

|x|=5q

Этот заряд должен быть отрицательным, так как в этом случае линии напряженности поля, создаваемого зарядом в точке С, будут складываться с линиями напряженности поля, создаваемыми положительным зарядом в точке А. Следовательно, x = –5q.

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17967

На рисунке показано направление вектора напряжённости электрического поля E в точке А, равноудалённой от равных по модулю точечных зарядов q₁ и q₂. Какие знаки имеют заряды?

Ответ:

а) q₁ > 0; q₂ < 0

б) q₁ < 0; q₂ > 0

в) q₁ > 0; q₂ > 0

г) q₁ < 0; q₂ < 0

Алгоритм решения

1.Вспомнить, как направлены векторы напряженности полей, созданных положительным и отрицательным зарядами.

2.Построить параллелограмм, сторонами которого являются отрезки, равные длинам векторов напряженности полей, создаваемыми двумя точечными зарядами.

3.Определить, какое направление должны иметь векторы напряженности, чтобы результатом их вычитания/сложения был вектор −E.

4.Определить знаки зарядов с учетом направления векторов напряженности полей.

Решение

Векторы напряженности электростатического поля, создаваемого положительным точечным зарядом, направлены по радиусным линиям от заряда. Векторы напряженности электростатического поля, создаваемого отрицательным точечным зарядом, направлены по радиусным линиям к заряду.

Построим параллелограмм. Чтобы получить вектор −E, нужно вычесть из вектора −E1 вектор −E2. Причем первый должен быть направлен в сторону заряда, а второй — от заряда.

Следовательно, заряд q₁ отрицательный (q₁< 0), а заряд q₂ положительный (q₂ > 0).

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18357

Два точечных отрицательных заряда: q₁=−20 нКл и q₂=−40 нКл находятся в вакууме на расстоянии L=1,5м друг от друга. Определите величину напряжённости электрического поля этих зарядов в точке А, расположенной на прямой, соединяющей заряды, на одинаковом расстоянии от обоих зарядов.

Ответ:

а) 160 Н/Кл

б) 320 Н/Кл

в) 125 Н/Кл

г) 640 Н/Кл

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.

2.Определить направление векторов напряженности в точке А.

3.Выполнить общее решение задачи, применив принцип суперпозиции полей.

4.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Величина первого заряда: q₁ = –20 нКл.

• Величина второго заряда: q₂ = –40 нКл.

• Расстояние между зарядами: L = 1,5 м.

–20 нКл = –20∙10^–9Кл

–40 нКл = –40∙10^–9Кл

Вектор напряженности поля, создаваемого первым зарядом в точке А, направлен влево (в сторону заряда), так как он отрицательный. Второй заряд тоже отрицательный, но он лежит по другую сторону от точки А. Поэтому в ней вектор напряженности поля, создаваемого вторым зарядом, будет направлен вправо. Так как модуль второго заряда больше модуля первого, результирующая напряженность будет направлена вправо. Напряженность в точке А в этом случае будет вычисляться как разность двух напряженности:

EA=E2−E1

Напряженность определяется формулой:

E=k|q|r2

Следовательно:

EA=k|q2|(0,5L)2−k|q1|(0,5L)2=k(0,5L)2(|q2|−|q1|)

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 3.2k

Источник

1.5. Электростатическое поле диполя.

В.В.МАЙЕР, ГОУ ВПО ГГПИ им. В.Г.Короленко, г. Глазов, Республика Удмуртия

Электростатика: элементы учебной физики

Принцип суперпозиции сил

Принцип суперпозиции полей

Примеры определения расстояний

Вам также может понравиться

Как исправить кудир за прошлый год

Как найти панель автомагнитолы

Как найти острый угол равнобедренного треугольника

Добавить комментарий Отменить ответ

В.В.МАЙЕР,
ГОУ ВПО ГГПИ им. В.Г.Короленко, г. Глазов,
Республика Удмуртия

Электростатика: элементы учебной
физики