Как найти векторы в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Длина вектора

Длина вектора (или модуль вектора или абсолютная величина вектора) — это длина отрезка, изображающего вектор.

с началом в точке A(x₁; y₁) и концом в точке B(x₂; y₂) длину находим по формуле расстояния между точками:

Соответственно, для вектора

(то есть длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат).

Найти длину вектора:

где A(5; -2), B(3; 4).
Решение:

2) Если нужно найти длину вектора, зная координаты его начала и конца, удобнее сначала найти координаты вектора:

Теперь найдём его длину:

Длина (модуль) нулевого вектора равна нулю.

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и основанием b найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне?

Математика | 5 – 9 классы

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и основанием b найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне.

Так как вектор совпадает с медианой, то можно воспользоваться готовой формулой длины медианы$|vec m|=m_a=dfrac 12sqrt<2b^2+2c^2-a^2>=dfrac 12sqrt<2b^2+2a^2-a^2>\\boxed<boldsymbol>2>>$Либо можно решить задачу, используя теорему косинусовΔABC : b² = a² + a² – 2a·a·cos α 2a²cos α = 2a² – b² $cosalpha =dfrac<2a^2-b^2><2a^2>$$Delta ABM:

m^2=a^2+bigg(dfrac a2bigg)^2-2cdot acdot dfrac a2cdot cos alpha \\

В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 18 см?

В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 18 см.

Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.

Основание равнобедренного треугольника на 3 больше боковой стороны и на 4 меньше удвоенной боковой стороны?

Основание равнобедренного треугольника на 3 больше боковой стороны и на 4 меньше удвоенной боковой стороны.

Найдите стороны треугольника.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4см?

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4см.

, медиана, проведенная к боковой стороне равна 3см.

Найти основание треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см?

Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см.

Боковая сторона в 3 раза больше основания.

Найдите длину боковых сторон треугольника.

Как построить равнобедренный треугольник по основанию и высоте проведенной к боковой стороне?

Как построить равнобедренный треугольник по основанию и высоте проведенной к боковой стороне.

Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиана, проведенной к боковой стороне?

Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиана, проведенной к боковой стороне.

Боковая сторона равнобедренного треугольника на 4 см длиннее основания, а периметр треугольника равен 44 см?

Боковая сторона равнобедренного треугольника на 4 см длиннее основания, а периметр треугольника равен 44 см.

Найди основание и боковую сторону.

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной a и высотой h, проведенной к основанию, найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне?

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной a и высотой h, проведенной к основанию, найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 74, а основание 48?

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 74, а основание 48.

Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике высота проведенная к боковой стороне делит ее на отрезки 4 см и 1 см считая от вершины угла между боковыми сторонами?

В равнобедренном треугольнике высота проведенная к боковой стороне делит ее на отрезки 4 см и 1 см считая от вершины угла между боковыми сторонами.

Найдите основание равнобедренного треугольника.

Вы зашли на страницу вопроса В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и основанием b найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 – 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

[spoiler title=”источники:”]

http://matematika.my-dict.ru/q/4997889_v-ravnobedrennom-treugolnike-s-bokovoj-storonoj/

[/spoiler]

Вы находитесь на странице вопроса В равнобедренном треугольнике с боковой стороной a, и высотой h, проведенной к основанию, найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне? из категории Геометрия.
Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 5 – 9 классов. На странице
можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить
возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи.
Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки
найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте
новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку,
нажав кнопку в верхней части страницы.

Лидеры категории

М.И.

Искусственный Интеллект

Y.Nine

Искусственный Интеллект

•••