Как найти величину диагонали параллелограмма равны

Диагонали параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого по определению противоположные стороны параллельны и равны. Как следствие, противоположные углы параллелограмма также будут между собой равны, а так как сумма всех углов в четырехугольнике равна 360 градусам, то можно сделать вывод, что сумма двух последовательных углов будет равна 180 градусам. Данное свойство будет играть существенную роль для нахождения диагоналей параллелограмма, с учетом того, что они разной длины.

Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.

В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ – напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы – это стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла – то длинной.

Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.

Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма, калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.

Все формулы диагонали параллелограмма

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

a , b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α , β – углы параллелограмма

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), ( D , d ):

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), ( D , d ):

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α , β – углы между диагоналями

S – площадь параллелограмма

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, ( D , d ):

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/parallelogram-diagonal

http://skysmart.ru/articles/mathematic/svoystva-i-priznaki-parallelogramma

[/spoiler]

Если в задаче требуется по сторонам параллелограмма найти его диагонали, следует воспользоваться свойством диагоналей параллелограмма.

Задача 1.

Диагонали параллелограмма равны 7 см и 11 см, а его стороны относятся как 6:7. Найти стороны параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=11 см, BD=7 см,

AB:AD=6:7

 Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AB=6k см, AD=7k см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

   

Составим уравнение и решим его:

   

   

   

   

   

Следовательно, AB=6∙1=6 см, AD=7∙1=7 см.

Ответ: 6 см, 7 см.

Задача 2.

Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см. Найти стороны параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=19 см, BD=17 см,

AD на 5 см больше  AB.

 Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AD=(x+5) см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

   

Составим уравнение и решим его:

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Значит, AB=10 см, AD= 10+5=15 см.

Ответ: 10 см, 15 см.

Содержание

• – Как искать диагональ в параллелограмме?
• – Как найти 2 диагональ в параллелограмме?
• – Где пересекаются диагонали параллелограмма?
• – Как провести высоту параллелограмма?
• – Как найти боковые стороны параллелограмма?
• – Как найти диагональ в параллелограмме через стороны?
• – Как найти длину диагонали параллелепипеда?
• – Как найти диагональ в трапеции?
• – Как найти большую высоту параллелограмма?
• – Что известно про диагонали параллелограмма?
• – В каком параллелепипеде все диагонали равны?
• – Как доказать что диагонали параллелограмма равны?
• – Что такое большая высота в параллелограмме?
• – Как найти высоту в прямоугольном треугольнике?
• – Как найти S параллелограмма?

Как искать диагональ в параллелограмме?

Как найти диагонали параллелограмма

1. Диагональ параллелограмма можно найти через длины его сторон и косинус угла между ними (Формулы 1-4)
2. Также диагональ может быть найдена через длины сторон и размер второй диагонали (Формулы 5-6)

Как найти 2 диагональ в параллелограмме?

В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Где пересекаются диагонали параллелограмма?

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Как провести высоту параллелограмма?

В параллелограмме могут быть проведены две высоты. Одна из них опускается из верхнего угла на противоположную, длинную сторону, разделяя параллелограмм на прямоугольный треугольник и прямоугольную трапецию. Вторая высота опускается на короткую сторону параллелограмма.

Как найти боковые стороны параллелограмма?

Зная диагонали параллелограмма и одну его сторону, можно найти вторую сторону. Для этого нужно извлечь квадратный корень из половины суммы квадратов диагоналей без удвоенного квадрата известной стороны.

Как найти диагональ в параллелограмме через стороны?

В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла.

Как найти длину диагонали параллелепипеда?

Четыре диагонали параллелепипеда, пересекаясь в одной точке, одновременно делятся пополам. Формула нахождения длины диагонали: квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений параллелограмма.

Как найти диагональ в трапеции?

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. …
2. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы.

Как найти большую высоту параллелограмма?

е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей стороны и отсекаемой высотой части основания. Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 3 см, то длина высоты будет: h=?(5^2-3^2)=4 (см).

Что известно про диагонали параллелограмма?

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Диагональю параллелограмма называется отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелограмма.

В каком параллелепипеде все диагонали равны?

В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Как доказать что диагонали параллелограмма равны?

Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

1. AC=BD (по условию).
2. Сторона AD — общая.
3. AB=CD (как противолежащие стороны параллелограмма).

Что такое большая высота в параллелограмме?

Большая высота высота параллелограмма — это высота, проведенная к ее меньшей стороне. На рисунке 3 BK и BM — высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины тупого угла B. Из них BM — большая высота параллелограмма ABCD, BK — его меньшая высота.

Как найти высоту в прямоугольном треугольнике?

Примеры решения задач

Задание	В прямоугольном треугольнике катеты равны см и см. Найти высоту , опущенную на гипотенузу .
Решение	Пусть катет см, а см (рис. 2). Тогда по теореме Пифагора гипотенуза см Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. Высоту найдем по формуле
Ответ	см

Как найти S параллелограмма?

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. 2. Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними.

Интересные материалы:

Как стереть чернила с бумаги без следов?
Как стереть картинку с чехла?
Как стереть корректор с бумаги?
Как стереть краску с линолеума?
Как стереть краску со штанов?
Как стереть маркер с кожаной обуви?
Как стереть маркер с меловой доски?
Как стереть маркер с пластика?
Как стереть масляную краску?
Как стереть надпись ручкой с бумаги?

Как найти диагональ параллелограмма

Четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны, является параллелограммом. Диагонали – это прямые, соединяющие противоположные вершины. Точка их пересечения является центром симметрии. В общем случае у параллелограмма есть две диагонали, D – длинная и d – короткая.

1

Найти диагональ параллелограмма по теореме косинусов

Для применения этого метода необходимо знать:

• Длины сторон параллелограмма a и b.
• Значение косинусов углов параллелограмма α и β.

D = √a^2 + b^2 – 2ab·cosβ

d = √a^2 + b^2 + 2ab·cosβ

D = √a^2 + b^2 + 2ab·cosα

d = √a^2 + b^2 – 2ab·cosα

2

Найти диагональ параллелограмма через одну известную диагональ и стороны

Для применения этого метода необходимо знать:

• Длины сторон параллелограмма a и b.
• Длину одной из диагоналей D или d.

D = √2a^2 + 2b^2 – d^2

d = √2a^2 + 2b^2 – D^2

Найти диагональ параллелограмма через площадь, одну известную диагональ и угол между диагоналями

Для применения этого метода необходимо знать:

• Площадь параллелограмма.
• Длину одной из диагоналей D или d.
• Угол между диагоналями γ или δ.

D = 2S/d·sinγ = 2S/d·sinδ

d = 2S/D·sinγ = 2S/D·sinδ

4

Частный случай определения длины диагонали параллелограмма – квадрат

Квадрат – это параллелограмм, в котором все стороны равны и углы составляют 90°. Длины диагоналей в таком случае будут равны D=d и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора.
D=d=a*√2

5

Частный случай определения длины диагонали параллелограмма – прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, в котором углы равны и составляют 90°. Длины диагоналей в таком случае будут равны D=d и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора.
D=d=√(а^2+b^2)