Как найти величину доверительного интервала

Была ли эта статья полезной?

Способы расчета доверительного интервала

21 апреля 2016

Часто оценщику приходится анализировать рынок недвижимости того сегмента, в котором располагается объект оценки. Если рынок развит, проанализировать всю совокупность представленных объектов бывает сложно, поэтому для анализа используется выборка объектов. Не всегда эта выборка получается однородной, иногда требуется очистить ее от экстремумов – слишком высоких или слишком низких предложений рынка. Для этой цели применяется доверительный интервал. Цель данного исследования – провести сравнительный анализ двух способов расчета доверительного интервала и выбрать оптимальный вариант расчета при работе с разными выборками в системе estimatica.pro.

Способы расчета доверительного интервала

Доверительный интервал – вычисленный на основе выборки интервал значений признака, который с известной вероятностью содержит оцениваемый параметр генеральной совокупности.

Смысл вычисления доверительного интервала заключается в построении по данным выборки такого интервала, чтобы можно было утверждать с заданной вероятностью, что значение оцениваемого параметра находится в этом интервале. Другими словами, доверительный интервал с определенной вероятностью содержит неизвестное значение оцениваемой величины. Чем шире интервал, тем выше неточность.

Существуют разные методы определения доверительного интервала. В этой статье рассмотрим 2 способа:

• через медиану и среднеквадратическое отклонение;
• через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента).

Этапы сравнительного анализа разных способов расчета ДИ:

1. формируем выборку данных;

2. обрабатываем ее статистическими методами: рассчитываем среднее значение, медиану, дисперсию и т.д.;

3. рассчитываем доверительный интервал двумя способами;

4. анализируем очищенные выборки и полученные доверительные интервалы.

Этап 1. Выборка данных

Выборка сформирована с помощью системы estimatica.pro. В выборку вошло 91 предложение о продаже 1 комнатных квартир в 3-ем ценовом поясе с типом планировки «Хрущевка».

Таблица 1. Исходная выборка

№	Цена 1 кв.м., д.е.
1	50943
2	35000
3	51613
4	50645
5	49841
…	…
86	58772
87	70714
88	53393
89	54876
90	52542
91	56140

Рис.1. Исходная выборка

Этап 2. Обработка исходной выборки

Обработка выборки методами статистики требует вычисления следующих значений:

1. Среднее арифметическое значение

2. Медиана – число, характеризующее выборку: ровно половина элементов выборки больше медианы, другая половина меньше медианы

(для выборки, имеющей нечетное число значений)

3. Размах – разница между максимальным и минимальным значениями в выборке

4. Дисперсия – используется для более точного оценивания вариации данных

5. Среднеквадратическое отклонение по выборке (далее – СКО) – наиболее распространённый показатель рассеивания значений корректировок вокруг среднего арифметического значения.

6. Коэффициент вариации – отражает степень разбросанности значений корректировок

7. коэффициент осцилляции – отражает относительное колебание крайних значений цен в выборке вокруг средней

Таблица 2. Статистические показатели исходной выборки

Показатель	Значение
Ср. значение	54970
Медиана	53934
Размах	39194
Дисперсия	45126821
СКО	6755
Коэф. вариации	12,29%
Коэф. осциляции	71,30%

Коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, составляет 12,29%, однако коэффициент осцилляции слишком велик. Таким образом, мы можем утверждать, что исходная выборка не является однородной, поэтому перейдем к расчету доверительного интервала.

Этап 3. Расчёт доверительного интервала

Способ 1. Расчёт через медиану и среднеквадратическое отклонение.

Доверительный интервал определяется следующим образом: минимальное значение – из медианы вычитается СКО; максимальное значение – к медиане прибавляется СКО.

Формула доверительного интервала:

Таким образом, доверительный интервал (47179 д.е.; 60689 д.е.)

Значения, содержащиеся в исходной выборке и не попадающие в доверительный интервал, удаляем. Удалено 20 объектов, что составило 22% выборки.

Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 1.

Способ 2. Построение доверительного интервала через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента)

С.В. Грибовский в книге «Математические методы оценки стоимости имущества» описывает способ вычисления доверительного интервала через коэффициент Стьюдента. При расчете этим методом оценщик должен сам задать уровень значимости ∝, определяющий вероятность, с которой будет построен доверительный интервал. Обычно используются уровни значимости 0,1; 0,05 и 0,01. Им соответствуют доверительные вероятности 0,9; 0,95 и 0,99. При таком методе полагают истинные значения математического ожидания и дисперсии практически неизвестными (что почти всегда верно при решении практических задач оценки).

Формула доверительного интервала:

n – объем выборки;

– критическое значение t- статистики (распределения Стьюдента) с уровнем значимости ∝,числом степеней свободы n-1,которое определяется по специальным статистическим таблицам либо с помощью MS Excel (  →”Статистические”→ СТЬЮДРАСПОБР);

∝ – уровень значимости, принимаем ∝=0,01.

Значения, содержащиеся в исходной выборке и не попадающие в доверительный интервал, удаляем. Удалено 62 объекта, что составило 68% выборки.

Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 2.

Этап 4. Анализ разных способов расчета доверительного интервала

Два способа расчета доверительного интервала – через медиану и коэффициент Стьюдента – привели к разным значениям интервалов. Соответственно, получилось две различные очищенные выборки.

Таблица 3. Статистические показатели по трем выборкам.

Показатель	Исходная выборка	1 вариант	2 вариант
Среднее значение	54970	53593	54750
Медиана	53934	53425	54688
Размах	39194	12888	3677
Дисперсия	45126821	8919645	1228707
СКО	6755	3008	1128
Коэф. вариации	12,29%	5,61%	2,06%
Коэф. осциляции	71,30%	24,05%	6,72%
Количество выбывших объектов, шт.	20	62

На основании выполненных расчетов можно сказать, что полученные разными методами значения доверительных интервалов пересекаются, поэтому можно использовать любой из способов расчета на усмотрение оценщика.

Однако мы считаем, что при работе в системе estimatica.pro целесообразно выбирать метод расчета доверительного интервала в зависимости от степени развитости рынка:

• если рынок неразвит, применять метод расчета через медиану и среднеквадратическое отклонение, так как количество выбывших объектов в этом случае невелико;
• если рынок развит, применять расчет через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента), так как есть возможность сформировать большую исходную выборку.

При подготовке статьи были использованы:

1. Грибовский С.В., Сивец С.А., Левыкина И.А. Математические методы оценки стоимости имущества. Москва, 2014 г.

2. Данные системы estimatica.pro

Читайте также:

Расчет корректировок методом парных продаж

Статью подготовили: Наталья Ничкова и Михаил Филимонов

Когда нам нужно получить одно число в качестве оценки параметра совокупности, мы используем точечную оценку. Тем не менее, из-за ошибки выборки, точечная оценка не будет в точности равняться параметру совокупности при любом размере данной выборки.

Часто, вместо точечной оценки, более полезным подходом будет найти диапазон значений, в рамках которого, как мы ожидаем, может находится значение искомого параметра с заданным уровнем вероятности.

Этот подход называется интервальной оценкой параметра (англ. ‘interval estimate of parameter’), а доверительный интервал выполняет роль этого диапазона значений.

Определение доверительного интервала.

Доверительный интервал (англ. ‘confidence interval’) представляет собой диапазон, для которого можно утверждать, с заданной вероятностью (1 – alpha ), называемой степенью доверия (или степенью уверенности, англ. ‘degree of confidence’), что он будет содержать оцениваемый параметр.

Этот интервал часто упоминается как (100 (1 – alpha)% ) доверительный интервал для параметра.

Конечные значения доверительного интервала называются нижним и верхним доверительными пределами (или доверительными границами или предельной погрешностью, англ. ‘lower/upper confidence limits’).

В этом чтении, мы имеем дело только с двусторонними доверительными интервалами – доверительные интервалами, для которых мы вычисляем и нижние и верхние пределы.

Доверительные интервалы часто дают либо вероятностную интерпретацию, либо практическую интерпретацию.

При вероятностной интерпретации, мы интерпретируем 95%-ный доверительный интервал для среднего значения совокупности следующим образом.

При повторяющейся выборке, 95% таких доверительных интервалов будут, в конечном счете, включать в себя среднее значение совокупности.

Например, предположим, что мы делаем выборку из совокупности 1000 раз, и на основании каждой выборки мы построим 95%-ный доверительный интервал, используя вычисленное выборочное среднее.

Из-за случайного характера выборок, эти доверительные интервалы отличаются друг от друга, но мы ожидаем, что 95% (или 950) этих интервалов включают неизвестное значение среднего по совокупности.

На практике мы обычно не делаем такие повторяющиеся выборки. Поэтому в практической интерпретации, мы утверждаем, что мы 95% уверены в том, что один 95%-ный доверительный интервал содержит среднее по совокупности.

Мы вправе сделать это заявление, потому что мы знаем, что 95% всех возможных доверительных интервалов, построенных аналогичным образом, будут содержать среднее по совокупности.

Доверительные интервалы, которые мы обсудим в этом чтении, имеют структуры, подобные описанной ниже базовой структуре.

Построение доверительных интервалов.

Доверительный интервал (100 (1 – alpha)% ) для параметра имеет следующую структуру.

Величину (Фактор надежности) (times) (Cтандартная ошибка) иногда называют точностью оценки (англ. ‘precision of estimator’). Большие значения этой величины подразумевают более низкую точность оценки параметра совокупности.

Самый базовый доверительный интервал для среднего значения по совокупности появляется тогда, когда мы делаем выборку из нормального распределения с известной дисперсией. Фактор надежности в данном случае на основан стандартном нормальном распределении, которое имеет среднее значение, равное 0 и дисперсию 1.

Стандартная нормальная случайная величина обычно обозначается как (Z). Обозначение (z_alpha ) обозначает такую точку стандартного нормального распределения, в которой (alpha) вероятности остается в правом хвосте.

Например, 0.05 или 5% возможных значений стандартной нормальной случайной величины больше, чем ( z_{0.05} = 1.65 ).

Предположим, что мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего по совокупности, и для этой цели, мы сделали выборку размером 100 из нормально распределенной совокупности с известной дисперсией (sigma^2) = 400 (значит, (sigma) = 20).

Мы рассчитываем выборочное среднее как ( overline X = 25 ). Наша точечная оценка среднего по совокупности, таким образом, 25.

Если мы перемещаем 1.96 стандартных отклонений выше среднего значения нормального распределения, то 0.025 или 2.5% вероятности остается в правом хвосте. В силу симметрии нормального распределения, если мы перемещаем 1.96 стандартных отклонений ниже среднего, то 0.025 или 2.5% вероятности остается в левом хвосте.

В общей сложности, 0.05 или 5% вероятности лежит в двух хвостах и 0.95 или 95% вероятности лежит между ними.

---

Таким образом, ( z_{0.025} = 1.96) является фактором надежности для этого 95%-ного доверительного интервала. Обратите внимание на связь (100 (1 – alpha)% ) для доверительного интервала и (z_{alpha/2}) для фактора надежности.

Стандартная ошибка среднего значения выборки, заданная Формулой 1, равна:

( sigma_{overline X} = 20 Big / sqrt{100} = 2 )

Доверительный интервал, таким образом, имеет нижний предел:

( overline X – 1.96 sigma_{overline X} ) = 25 – 1.96(2) = 25 – 3.92 = 21.08.

Верхний предел доверительного интервала равен:

( overline X + 1.96sigma_{overline X} ) = 25 + 1.96(2) = 25 + 3.92 = 28.92

95%-ный доверительный интервал для среднего по совокупности охватывает значения от 21.08 до 28.92.

Доверительные интервалы для среднего по совокупности (нормально распределенная совокупность с известной дисперсией).

Доверительный интервал (100 (1 – alpha)% ) для среднего по совокупности ( mu ), когда мы делаем выборку из нормального распределения с известной дисперсией ( sigma^2 ) задается формулой:

( Large dst overline X pm z_{alpha /2}{sigma over sqrt n}  ) (Формула 4)

Факторы надежности для наиболее часто используемых доверительных интервалов приведены ниже.

Факторы надежности для доверительных интервалов на основе стандартного нормального распределения.

Мы используем следующие факторы надежности при построении доверительных интервалов на основе стандартного нормального распределения:

Эти факторы надежности подчеркивают важный факт о всех доверительных интервалах. По мере того, как мы повышаем степень доверия, доверительный интервал становится все шире и дает нам менее точную информацию о величине, которую мы хотим оценить.

«Чем уверенней мы хотим быть, тем меньше мы должны быть уверены»

см. Freund и Williams (1977), стр. 266.

На практике, допущение о том, что выборочное распределение выборочного среднего, по меньшей мере, приблизительно нормальное, часто является обоснованным, либо потому, что исходное распределение приблизительно нормальное, либо потому что мы имеем большую выборку и поэтому к ней применима центральная предельная теорема.

Однако, на практике, мы редко знаем дисперсию совокупности. Когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна, но выборочное среднее, по меньшей мере, приблизительно нормально распределено, у нас есть два приемлемых пути чтобы вычислить доверительные интервалы для среднего значения совокупности.

---

Вскоре мы обсудим более консервативный подход, который основан на t-распределении Стьюдента (t-распределение, для краткости).

Распределение статистики (t) называется t-распределением Стьюдента (англ. “Student’s t-distribution”) из-за псевдонима «Студент» (Student), использованного британским математиком Уильямом Сили Госсеттом, который опубликовал свою работу в 1908 году.

В финансовой литературе, это наиболее часто используемый подход для статистической оценки и проверки статистических гипотез, касающихся среднего значения, когда дисперсия генеральной совокупности не известна, как для малого, так и для большого размер выборки.

Второй подход к доверительным интервалам для среднего по совокупности, основанного на стандартном нормальном распределении, – это z-альтернатива (англ. ‘z-alternative’). Он может быть использован только тогда, когда размер выборки является большим (в общем случае, размер выборки 30 или больше, можно считать большим).

В отличии от доверительного интервала, приведенного в Формуле 4, этот доверительный интервал использует стандартное отклонение выборки (s) при вычислении стандартной ошибки выборочного среднего (по Формуле 2).

Доверительные интервалы для среднего по совокупности – z-альтернатива (большая выборка, дисперсия совокупности неизвестна).

Доверительный интервал (100 (1 – alpha)% ) для среднего по совокупности ( mu ) при выборке из любого распределения с неизвестной дисперсией, когда размер выборки большой, задается формулой:

( Large dst overline X pm z_{alpha /2}{s over sqrt n} ) (Формула 5)

Поскольку этот тип доверительного интервала применяется довольно часто, мы проиллюстрируем его вычисление в Примере 4.

Пример (4) расчета доверительного интервала для среднего по совокупности коэффициентов Шарпа с использованием z-статистики.

Предположим, что инвестиционный аналитик делает случайную выборку акций взаимных фондов США и рассчитывает средний коэффициент Шарпа.

[см. также: CFA – Коэффициент Шарпа]

Размер выборки равен 100, а средний коэффициент Шарпа составляет 0.45. Выборка имеет стандартное отклонение 0.30.

Рассчитайте и интерпретируйте 90-процентный доверительный интервал для среднего по совокупности всех акций взаимных фондов США с использованием фактора надежности на основе стандартного нормального распределения.

---

Фактор надежности для 90-процентного доверительного интервала, как указано ранее, составляет ( z_{0.05} = 1.65 ).

Доверительный интервал будет равен:

( begin{aligned} & overline X pm z_{0.05}{s over sqrt n } \ &= 0.45 pm 1.65{0.30 over sqrt {100}} \ &= 0.45 pm 1.65(0.03) = 0.45 pm 0.0495   end{aligned} )

Доверительный интервал охватывает значения 0.4005 до 0.4995, или от 0.40 до 0.50, с округлением до двух знаков после запятой. Аналитик может сказать с 90-процентной уверенностью, что интервал включает среднее по совокупности.

В этом примере аналитик не делает никаких конкретных предположений о распределении вероятностей, характеризующем совокупность. Скорее всего, аналитик опирается на центральную предельную теорему для получения приближенного нормального распределения для выборочного среднего.

Как показывает Пример 4, даже если мы не уверены в характере распределения совокупности, мы все еще можем построить доверительные интервалы для среднего по совокупности, если размер выборки достаточно большой, поскольку можем применить центральную предельную теорему.

Концепция степеней свободы.

Обратимся теперь к консервативной альтернативе и используем t-распределение Стьюдента, чтобы построить доверительные интервалы для среднего по совокупности, когда дисперсия генеральной совокупности не известна.

Для доверительных интервалов на основе выборок из нормально распределенных совокупностей с неизвестной дисперсией, теоретически правильный фактор надежности основан на t-распределении. Использование фактора надежности, основанного на t-распределении, имеет важное значение для выборок небольшого размера.

Применение фактора надежности (t) уместно, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна, даже если у нас есть большая выборка и мы можем использовать центральную предельную теорему для обоснования использования фактора надежности (z). В этом случае большой выборки, t-распределение обеспечивает более консервативные (широкие) доверительные интервалы.

t-распределение является симметричным распределением вероятностей и определяется одним параметром, известным как степени свободы (DF, от англ. ‘degrees of freedom’). Каждое значение для числа степеней свободы определяет одно распределение в этом семействе распределений.

Далее мы сравним t-распределения со стандартным нормальным распределением, но сначала мы должны понять концепцию степеней свободы. Мы можем сделать это путем изучения расчета выборочной дисперсии.

Формула 3 дает несмещенную оценку выборочной дисперсии, которую мы используем. Выражение в знаменателе, ( n – 1 ), означающее размер выборки минус 1, это число степеней свободы при расчете дисперсии совокупности с использованием Формулы 3.

Мы также используем ( n – 1 ) как число степеней свободы для определения факторов надежности на основе распределения Стьюдента. Термин «степени свободы» используются, так как мы предполагаем, что в случайной выборке наблюдения отобраны независимо друг от друга. Числитель выборочной дисперсии, однако, использует выборочное среднее.

---

Каким образом использование выборочного среднего влияет на количество наблюдений, отобранных независимо, для формулы выборочной дисперсии?

При выборке размера 10 и среднем значении в 10%, к примеру, мы можем свободно отобрать только 9 наблюдений. Независимо от отобранных 9 наблюдений, мы всегда можем найти значение для 10-го наблюдения, которое дает среднее значение, равное 10%. С точки зрения формулы выборочной дисперсии, здесь есть 9 степеней свободы.

Учитывая, что мы должны сначала вычислить выборочное среднее от общего числа (n) независимых наблюдений, только (n – 1) наблюдений могут быть отобраны независимо друг от друга для расчета выборочной дисперсии.

Концепция степеней свободы часто применяется в финансовой статистике, и вы встретите ее в последующих чтениях.

t-распределение Стьюдента.

Предположим, что мы делаем выборку из нормального распределения.

Коэффициент (z = (overline X – mu) Big / (sigma big / sqrt n) ) нормально распределен со средним значением 0 и стандартным отклонением 1, однако, коэффициент (t = (overline X – mu) Big / (s big / sqrt n) ) следует t-распределению со средним 0 и (n – 1) степеней свободы.

Коэффициент (t) не является нормальным, поскольку представляет собой отношение двух случайных величин, выборочного среднего и стандартного отклонения выборки.

Определение стандартной нормальной случайной величины включает в себя только одну случайную величину, выборочное среднее. По мере увеличения степеней свободы, однако, t-распределение приближается к стандартному нормальному распределению.

На Рисунке 1 показано стандартное нормальное распределение и два t-распределения, одно с DF = 2 и одно с DF = 8.

Рисунок (1) t-распределение Стьюдента по сравнению со стандартным нормальным распределением.

Из трех распределений, показанных на Рисунке 1, стандартное нормальное распределение имеет хвосты, которые стремятся к нулю быстрее, чем хвосты двух t-распределений. t-распределение симметрично распределено вокруг среднего нулевого значения, так же как и нормальное распределение.

По мере увеличения степеней свободы, t-распределение приближается к стандартному нормальному распределению. t-распределение с DF = 8 ближе к стандартному нормальному, чем t-распределение с DF = 2.

Помимо области плюс и минус четырех стандартных отклонений от среднего значения, остальная область под стандартным нормальным распределением, как представляется, близка к 0. Однако, оба t-распределения содержать некоторую площадь под каждой кривой за пределом четырех стандартных отклонений.

t-распределения имеют более толстые хвосты, но хвосты t-распределения Стьюдента с DF = 8 сильнее напоминают хвосты нормального распределения. По мере увеличения степеней свободы, хвосты распределения Стьюдента становятся менее толстыми.

Для часто используемых значений распределения Стьюдента составлены таблицы. Например, для каждой степени свободы (t_{0.10}), (t_{0.05}), (t_{0.025}), (t_{0.01}) и (t_{0.005}) значения будут такими, что соответственно, 0.10, 0.05, 0.025, 0.01 и 0.005 вероятности останется в правом хвосте для заданного числа степеней свободы.

Значения (t_{0.10}), (t_{0.05}), (t_{0.025}), (t_{0.01}) и (t_{0.005}) также называют односторонними критическими значениями t на значимых уровнях 0.10, 0.05, 0.025, 0.01 и 0.005, для указанного числа степеней свободы.

Например,

Приведем форму доверительных интервалов для среднего по совокупности, используя распределение Стьюдента.

Доверительные интервалы для среднего по совокупности (дисперсия совокупности неизвестна) – t-распределение.

Если мы делаем выборку из генеральной совокупности с неизвестной дисперсией и соблюдается одно из перечисленных ниже условий:

• выборка является большой, или
• выборка небольшая, но совокупность имеет нормальное распределение, или приблизительно нормально распределена,

то доверительный интервал (100 (1 – alpha)% ) для среднего совокупности ( mu ) задается формулой:

Пример 5 использует данные Примера 4, но применяет t-статистику, а не z-статистику, чтобы рассчитать доверительный интервал для среднего значения совокупности коэффициентов Шарпа.

Пример (5) расчета доверительного интервала для среднего по совокупности коэффициентов Шарпа с использованием t-статистики.

Как и в Примере 4, инвестиционный аналитик стремится вычислить 90-процентный доверительный интервал для среднего по совокупности коэффициентов Шарпа, основанных на случайной выборке из 100 взаимных фондов США.

Выборочное среднее коэффициентов Шарпа составляет 0.45, а выборочное стандартное отклонение – 0.30.

Теперь, признав, что дисперсия генеральной совокупности распределения коэффициентов Шарпа неизвестна, аналитик решает вычислить доверительный интервал, используя теоретически правильную t-статистику.

Поскольку размер выборки равен 100, DF = 99. Используя таблицу степеней свободы, мы находим, что (t_{0.05}) = 1.66.

Этот фактор надежности немного больше, чем фактор надежности (z_{0.05}) = 1.65, который был использован в Примере 4.

Доверительный интервал будет:

( begin{aligned} & overline X pm t_{0.05}{s over sqrt n } \  &= 0.45 pm 1.66{0.30 over sqrt {100}} \ &= 0.45 pm 1.66(0.03) = 0.45 pm 0.0498   end{aligned} )

Доверительный интервал охватывает значения 0.4002 до 0.4998, или 0.40 до 0.50, с двумя знаками после запятой. При округлении до двух знаков после запятой, доверительный интервал не изменился по сравнению с Примером 4.

В Таблице 3 приведены различные факторы надежности, которые мы использовали.

Таблица 3. Основы для расчета факторов надежности.

Выборка из:	Статистика для выборки малого размера	Статистика для выборки большого размера
Нормальное распределение с известной дисперсией	(z)	(z)
Нормальное распределение с неизвестной дисперсией	(t)	(t)*
Ненормальное распределение с известной дисперсией	недоступно	(z)
Ненормальное распределение с неизвестной дисперсией	недоступно	(t)*

* Использование (z) также приемлемо.