Как найти величину дуги стягиваемой точками касания

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Спрятать решение

Решение.

Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°)  =  29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 29°  =  58°.

Ответ: 58.

Приведем другое решение.

Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x)  =  122°. Тогда x  =  58°.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

04
Ноя 2021

Категория: 01 Геометрия

2021-11-04
2022-09-11

Задача 1. Найдите хорду, на которую опирается угол 30^{circ}, вписанный в окружность радиуса 8.

Решение: + показать



Задача 2. Найдите хорду, на которую опирается угол 120^{circ}, вписанный в окружность радиуса 39sqrt3.

Решение: + показать



Задача 3. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 29:43. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей большей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать



Задача 4. Хорда AB стягивает дугу окружности в 94^{circ}. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать



Задача 5. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Угол CAB равен 59^{circ}. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать



Задача 6. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 82^{circ}. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать



Задача 7. Через концы A, B дуги окружности в 66^{circ} проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать



Задача 8. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 46^{circ}. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать



Задача 9. Угол ACO равен 31^{circ}, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать



Задача 10. Угол ACO равен 34^{circ}. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать



тест

Вы может пройти тест

Автор: egeMax |

Нет комментариев

По свойству касательной к окружности

Правило

Свойство касательной к окружности

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

получаем:

(displaystyle angle CAO=angle CBO=90^{circ}{small .} )

Рассмотрим четырехугольник (displaystyle CAOB {small .})

Так как сумма углов четырехугольника равна (displaystyle 360^{circ}{small ,}) то

(displaystyle angle AOB=360^{circ}-angle CAO-angle CBO-angle ACO=360^{circ}-90^{circ}-90^{circ}-122^{circ}=58^{circ} {small .})

По определению градусной меры дуги окружности

Правило

Градусная мера дуги окружности

Градусная мера полуокружности равна (displaystyle 180^{circ}{small .})

Если дуга (displaystyle AB) окружности меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла (displaystyle AOB{small .})

Если дуга (displaystyle AB) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна (displaystyle 360^{circ}-angle AOB{small .})

получаем:

(displaystyle {{overset{smile}{AB}}=angle AOB}=58^{circ}{small .} )

Ответ: (displaystyle 58 {small .})

Дата: 2015-12-15

1210

Категория: Вписанный угол

Метка: ЕГЭ-№1ОкружностьУглы

27880. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 1220. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

1

Необходимо найти угол АОВ. Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:

2

Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна 3600.

В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:

3

Ответ: 58

Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.

Ok

   Касательная к окружности. Дорогие друзья!  В состав базы заданий ЕГЭ по математике входит группа задач, где в условии речь идёт о касательной и ставится вопрос о вычислении угла. Задачи эти чрезвычайно просты. Немного теории:

Что такое касательная к окружности?

Касательная к окружности. Вычисление углов!

Важно помнить одно основное свойство касательной:

В представленных задачах используются ещё два свойства связанные с углами:

1. Сумма углов четырёхугольника равна 3600, подробнее здесь.

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

Рассмотрим задачи:

27879. Через концы A и B дуги окружности в 620 проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Сказано, что градусная мера дуги АВ соответствует 62 градусам, то есть угол АОВ равен 620.

Первый способ.

Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:

Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна  3600.

В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:

Второй способ.

В треугольнике АВС мы можем найти углы АВС и ВАС. Воспользуемся свойством касательной.

Так как ВС это касательная, то угол ОВС равен 900, значит:

Аналогично

В равнобедренном треугольнике АОВ:

Значит

По теореме о сумме углов треугольника:

Ответ: 1180

27880. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 1220. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Задача обратная предыдущей. Необходимо найти угол АОВ.

Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:

Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна  3600.

В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:

Ответ: 58

27882. Угол ACO равен 280, где O  — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Градусная величина дуги соответствует углу  АОС. То есть задача сводится к нахождению угла АОС в прямоугольном треугольнике ОСА. Треугольник является прямоугольны, так как АС касательная, а угол между касательной и радиусом проведённым к точке касания равен 90 градусам.

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 900, значит:

Ответ: 62

27883. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 1160. Ответ дайте в градусах. 

Сказано, что дуга AD окружности, заключенная внутри угла АСО, равна 1160, то есть угол DOA равен 1160. Треугольник ОСА прямоугольный.

Углы АОС и DOA  смежные, то есть их сумма равна 1800, значит:

Искомый угол равен:

Ответ: 26

27884. Угол ACO равен 240. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 114 

27878. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 320. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 58

27877. Хорда AB стягивает дугу окружности в 920. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27881. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а угловая мера дуги  AB, заключенной внутри этого угла, составляет 64о. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких 

Отец смотрит дневник сына.
— Ну, что это у тебя за оценки, одни тройки, ни одной пятерки и четверки!
— Папа, так ведь и школа у нас средняя!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.

Добавить комментарий