Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Спрятать решение
Решение.
Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 29° = 58°.
Ответ: 58.
Приведем другое решение.
Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 122°. Тогда x = 58°.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
04
Ноя 2021
Категория: 01 Геометрия
2021-11-04
2022-09-11
Задача 1. Найдите хорду, на которую опирается угол 
вписанный в окружность радиуса 
Решение: + показать
Задача 2. Найдите хорду, на которую опирается угол 
вписанный в окружность радиуса 
Решение: + показать
Задача 3. Хорда 
делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 
Под каким углом видна эта хорда из точки 
, принадлежащей большей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 4. Хорда стягивает дугу окружности в 
Найдите угол 
между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку 
Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 5. Через концы 
и 
дуги окружности с центром 
проведены касательные 
и 
Угол 
равен 
Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 6. Касательные 
и 
к окружности образуют угол 
равный 
Найдите величину меньшей дуги 
стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 7. Через концы 
дуги окружности в 
проведены касательные и Найдите угол 
Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 8. Найдите угол 
если его сторона касается окружности, — центр окружности, а меньшая дуга окружности заключенная внутри этого угла, равна 
Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 9. Угол 
равен 
где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 10. Угол равен 
. Его сторона касается окружности. Найдите градусную величину дуги 
окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Вы может пройти тест
Автор: egeMax |
Нет комментариев
По свойству касательной к окружности
Правило
Свойство касательной к окружности
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
получаем:
(displaystyle angle CAO=angle CBO=90^{circ}{small .} )
Рассмотрим четырехугольник (displaystyle CAOB {small .})
Так как сумма углов четырехугольника равна (displaystyle 360^{circ}{small ,}) то
(displaystyle angle AOB=360^{circ}-angle CAO-angle CBO-angle ACO=360^{circ}-90^{circ}-90^{circ}-122^{circ}=58^{circ} {small .})
По определению градусной меры дуги окружности
Правило
Градусная мера дуги окружности
Градусная мера полуокружности равна (displaystyle 180^{circ}{small .})
Если дуга (displaystyle AB) окружности меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла (displaystyle AOB{small .})
Если дуга (displaystyle AB) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна (displaystyle 360^{circ}-angle AOB{small .})
получаем:
(displaystyle {{overset{smile}{AB}}=angle AOB}=58^{circ}{small .} )
Ответ: (displaystyle 58 {small .})
Дата: 2015-12-15
1210
Категория: Вписанный угол
Метка: ЕГЭ-№1ОкружностьУглы
27880. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 1220. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Необходимо найти угол АОВ. Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:
Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна 3600.
В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:
Ответ: 58
Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.
Ok
Касательная к окружности. Дорогие друзья! В состав базы заданий ЕГЭ по математике входит группа задач, где в условии речь идёт о касательной и ставится вопрос о вычислении угла. Задачи эти чрезвычайно просты. Немного теории:
Что такое касательная к окружности?
Важно помнить одно основное свойство касательной:
В представленных задачах используются ещё два свойства связанные с углами:
1. Сумма углов четырёхугольника равна 3600, подробнее здесь.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.
Рассмотрим задачи:
27879. Через концы A и B дуги окружности в 620 проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Сказано, что градусная мера дуги АВ соответствует 62 градусам, то есть угол АОВ равен 620.
Первый способ.
Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:
Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна 3600.
В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:
Второй способ.
В треугольнике АВС мы можем найти углы АВС и ВАС. Воспользуемся свойством касательной.
Так как ВС это касательная, то угол ОВС равен 900, значит:
Аналогично
В равнобедренном треугольнике АОВ:
Значит
По теореме о сумме углов треугольника:
Ответ: 1180
27880. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 1220. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Задача обратная предыдущей. Необходимо найти угол АОВ.
Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:
Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна 3600.
В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:
Ответ: 58
27882. Угол ACO равен 280, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Градусная величина дуги соответствует углу АОС. То есть задача сводится к нахождению угла АОС в прямоугольном треугольнике ОСА. Треугольник является прямоугольны, так как АС касательная, а угол между касательной и радиусом проведённым к точке касания равен 90 градусам.
По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 900, значит:
Ответ: 62
27883. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 1160. Ответ дайте в градусах.
Сказано, что дуга AD окружности, заключенная внутри угла АСО, равна 1160, то есть угол DOA равен 1160. Треугольник ОСА прямоугольный.
Углы АОС и DOA смежные, то есть их сумма равна 1800, значит:
Искомый угол равен:
Ответ: 26
27884. Угол ACO равен 240. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 114
27878. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 320. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 58
27877. Хорда AB стягивает дугу окружности в 920. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
27881. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а угловая мера дуги AB, заключенной внутри этого угла, составляет 64о. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких
Отец смотрит дневник сына.
— Ну, что это у тебя за оценки, одни тройки, ни одной пятерки и четверки!
— Папа, так ведь и школа у нас средняя!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.
