Как найти величину двугранного угла куба

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})

Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)

( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

План урока:

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Перпендикулярность плоскостей

Прямоугольный параллелепипед

Трехгранный угол

Многогранный угол

Типичные задачи на углы между плоскостями

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.

По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.

Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:

Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.

Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.

Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.

Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:

Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.

Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).

Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

Прямоугольный параллелепипед

Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.

Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:

Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А₁, B₁, C₁ и D₁. При этом одноименные вершины (например, А и А₁) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.

Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ₁А₁ и CDD₁C₁. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD₁, ведь и ADD₁A₁ – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD₁C₁ (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.

Эти грани пересекаются по ребру А₁D₁. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА₁ и А₁В₁, лежащие в гранях ADD₁A₁ и A₁D₁C₁B₁. Значит, ∠АА₁В₁ и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.

Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:

Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:

Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ₁ – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В₁D:

Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:

Теперь перейдем к ∆В₁ВD. Так как ребро BB₁ перпендикулярно грани ABCD, то ∠В₁ВD – прямой. Тогда и ∆В₁ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:

Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть

Именно это неравенство и необходимо было доказать.

Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:

Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:

Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и

Многогранный угол

Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.

Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:

Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА₁, КА₂, КА₃…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅ – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅ – это сечение многогранного угла. Углы ∠А₁КА₂, ∠А₂КА₃, ∠А₃КА₄… – это плоские углы многогранного угла.

Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:

Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.

Докажем важное утверждение:

Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А₁А₂А₃…А_n, которое будет являться выпуклым многоугольником:

В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А₁А₂А₃…А_n. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть

В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А₁А₂А₃…А_n. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть

Последнее неравенство и необходимо было доказать.

Типичные задачи на углы между плоскостями

В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.

Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.

Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:

Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).

Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:

Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?

Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:

По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:

Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?

Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:

Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.

Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.

Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:

Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.

Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:

Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.

Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?

Решение.

Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.

Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.

По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:

Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:

Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?

Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:

Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.

Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:

Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:

Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:

Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.

Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:

Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:

Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.

Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому

Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:

Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.

Ответ: ≈ 54,74°.

Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?

Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):

Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.

Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что

Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.

Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:

Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:

Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:

Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:

Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов

Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Ответ: 90°.

Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:

Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.

Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:

Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.

Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:

KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.

Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:

Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.

Ответ: 60°.

Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.

§ 14.Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями

14.1. Двугранный угол и его измерение

Рассмотрим два полупространства, образованные непараллельными плоскостями. Пересечение этих полупространств назовём двугранным углом.

Прямую, по которой пересекаются плоскости — границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, — гранями двугранного угла.

Двугранный угол с гранями α, β и ребром a обозначают αaβ. Можно использовать и такие обозначения двугранного угла, как K(AB)T; α(AB)β (рис. 94, 95).

Замечание. Иногда говорят, что двугранный угол αaβ образован двумя полуплоскостями α и β, имеющими общую граничную прямую a.

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла αaβ отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB, перпендикулярные ребру a (рис. 96, а). Угол AOB, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла αaβ.

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a, то плоскость AOB перпендикулярна прямой a. Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру.

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A1O1B1 двугранного угла αaβ (рис. 96, б). Лучи OA и O1A1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O1B1. Тогда ∠ AOB = ∠ A1O1B1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0°; 180°).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30°. В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а), прямым (рис. 98, б) или тупым (рис. 98, в), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а) и вертикальные (рис. 99, б) двугранные углы. При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B; A1 и B1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA1= a; BB1 = b; A1B1 = h. Тогда

AB = .

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ, то величины трёх остальных равны соответственно 180° – ϕ, ϕ, 180° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ, то пишут: (α; β) = ϕ.

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0°; 90°].

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD (∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

а) ABC и MBC; б) AMD и CMD.

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC. Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ (ABC), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD, то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC, катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC =  =  = 10.

Учитывая, что S = •AC•BD = •12•16 = 96, находим: DE =  = 9,6. Тогда tg ϕ =  =  = , откуда ϕ = arctg .

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, то AD ⊥ DM, CD ⊥ DM, значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM. Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ =  =  = – ,

откуда ψ = arccos .

Ответ: а) arctg ; б) arccos .

ИЗМЕРЕНИЕ
ДВУГРАННЫХ И МНОГОГРАННЫХ УГЛОВ

         Двугранные и многогранные углы входят в новые стандарты по
математике как базового, так и профильного уровня обучения в старших классов.
Однако задачам на вычисление этих углов обычно не уделяется должного внимание.
В то же время решение таких задач способствует выработке необходимых
вычислительных навыков, повторяет различные планиметрические формулы и
соотношения, развивает пространственные представления учащихся.

Здесь мы
рассмотрим вопрос об измерении двугранных и многогранных углов. Предлагаемый
материал и задачи могут быть использованы на профильном уровне при изучении
темы «Правильные многогранники», при проведении элективных курсов, подготовке
учащихся к решению олимпиадных задач и задач вступительных экзаменов по
математике в вузы.

Начнем с
двугранных углов. Двугранный угол является пространственным аналогом угла на
плоскости. Напомним, что углом на плоскости называется фигура, образованная
двумя лучами этой плоскости с общей вершиной и частью плоскости, ограниченной
этими лучами. Будем считать аналогом точки на плоскости прямую в пространстве и
аналогом луча на плоскости полуплоскость в пространстве. Тогда, по этой
аналогии, двугранным углом в пространстве называют фигуру (рис. 1),
образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью
пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются
гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного
угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол,
полученный в результате пересечения данного двугранного угла и какой-нибудь
плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2).

         Величиной двугранного угла
называется величина его линейного уг­ла.

         В школьном курсе геометрии
доказывается, что величина линейного угла не зависит от выбора плоскости,
перпендикулярной его ребру.

         Найдем двугранные углы правильных
многогранников.

         Ясно, что двугранные углы j_куб куба
(рис. 3) равны 90°_. Рассмотрим правильный
тетраэдр ABCD с ребром 1 (рис. 4). Из вершин A и  D опустим перпендикуляры AE и
DE на ребро BC. Для нахождения двугранного
угла j_тет = ÐAED воспользуемся теоремой
косинусов, примененной к треугольнику ADE, в котором AD
= 1, AE
= DE = .
Имеем равенство 1 = +– 2cosj_тет. Откуда cosj_тет = ,
j_тет »70°30′.

         Вычислим косинус двугранного угла октаэдра с ребром 1. Для
этого из вершин E и F (рис. 5) опустим
перпендикуляры EG и FG на ребро BC. EG = FG =. Четырехугольник
AECF – квадрат со стороной 1 и, следовательно, EF = . По теореме косинусов имеем 2
=  +  – 2cosj_окт. Откуда cos j_окт = – ,
 j_окт »109°30′.

         Заметим, что двугранные углы тетраэдра и октаэдра в сумме
составляют 180°. Этот факт можно вывести и
не вычисляя двугранных углов, а используя то, что середины ребер правильного
тетраэдра являются вершинами октаэдра (рис. 6).

         Вычислим косинус двугранного
угла икосаэдра с ребром 1. Для этого из A и C
опустим перпендикуляры AG и CG на
ребро BF (рис. 7). AG = CG =.
AC
является диагональю правильного пятиугольника ABCDE с ребром 1 и,
следовательно, AC = . По теореме косинусов, имеем =  +  – 2cosj_ико. Откуда cosj_ико = –,
j_ико »138°11′.

         Вычислим косинус двугранного угла додекаэдра с ребром 1. Для
этого из вершин A и C опустим перпендикуляры AG  и CG на ребро BF (рис. 8). AG = CG
=  AC является диагональю
правильного пятиугольника ABCDE с ребром . Поэтому, AC = =. По теореме косинусов, имеем =+-2cosj_дод. Откуда cosj_дод = –,
j_дод »116°34′.

         Из приведенных вычислений, в частности следует, что из равных
правильных многогранников, отличных от куба, нельзя составить пространственный
паркет (заполнить все пространство). Действительно, если бы, такое заполнение
пространства существовало, то сумма двугранных углов правильных многогранников
с общим ребром должна была быть равна 360°. Следовательно, величина двугранного угла правильного
многогранника могла бы быть получена делением 360° на натуральное число. Непосредственно
видно, что из правильных многогранников этим свойством обладает только куб.

         Пространственный паркет можно составить используя тетраэдр и
октаэдр. Для этого сначала нужно к двум противоположным граням октаэдра
приставить тетраэдры (рис. 9). В результате получим параллелепипед, гранями
которого являются ромбы. А уже затем из этих параллелепипедов составить пространственный
паркет.

         Перейдем
теперь к многогранным углам. Многогранный угол является пространственным аналогом многоугольника.
Напомним, что многоугольником на плоскости называется фигура, образованная
простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней областью. Будем считать
аналогом точки на плоскости луч в пространстве и аналогом отрезка на плоскости
плоский угол в пространстве. Тогда аналогом простой замкнутой ломаной на
плоскости является поверхность, образованная конечным набором плоских углов A₁SA₂, A₂SA₃, …, A_n-1SA_n, A_nSA₁
с общей вершиной S (рис. 10), в которых
соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а несоседние углы
не имеют общих точек, кроме общей вершины. Фигура, образованная указанной
поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется
многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной
многогранного угла. Лучи SA₁, …, SA_n называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A₁SA₂, A₂SA₃, …, A_n-1SA_n, A_nSA₁
– гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA₁…A_n, указывающими вершину и
точки на его ребрах. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают
трехгранными, четырехгранными, пятигранными (рис. 11) и т. д.

Рассмотрим
вопрос об измерении многогранных углов. Поскольку градусная величина
развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего
линейного угла и равна 180°, то будем считать, что
градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых
двугранных углов, равна 360°. Величина многогранного угла,
выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный
многогранный угол.
Например,
трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его
градусная величина равна 360°= 45°. Трехгранный
угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при
боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен  , получаем, что трехгранный угол призмы равен 

В школьном
курсе геометрии доказывается, что для выпуклого n-угольника имеет место
следующая формула для суммы его углов

Здесь мы
получим пространственный аналог этой формулы для выпуклых многогранных углов.

Начнем с
трехгранного угла. Опишем около его вершины S единичную сферу и
обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой  A, B, C (рис. 12).

Плоскости
граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных
сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного
угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический
треугольник A’B’C’ являются пересечением трех двуугольников. Поэтому
удвоенная сумма двугранных углов равна 360°  плюс учетверенная величина
трехгранного угла, или

(1)    ÐSAB +ÐSB + ÐSC =
180° + 2ÐSABC.

Пусть теперь SA₁…A_n – выпуклый n-гранный
угол (рис. 13).
Разбивая его на
трехгранные углы, проведением диагоналей A₁A₃, …, A₁A_n-1 и применяя к ним полученную
формулу, будем иметь

(2)    ÐSA₁ + … +ÐSA_n= 180° (n
– 2) + 2ÐSA₁…A_n,

Используя эти формулы, вычислим многогранные углы y_куб, y_тет, y_окт, y_ико, y_дод, правильных многогранников.
Имеем

y_куб = 45°; y_тет = j_тет – 90°»15°45′; y_окт = 2j_окт – 180° » 38°56′;

y_ико = j_ико – 270°»75°28′; y_дод = j_дод – 90°»84°51′.

         Найдем двугранные и многогранные углы ромбододекаэдра –
многогранника, гранями которого являются двенадцать ромбов (рис. 14).

         Воспользуемся тем, что ромбододекаэдр может быть получен из
двух равных кубов. А именно, разобьем один из двух кубов на правильные
четырехугольные пирамиды, основаниями которых служат грани куба, а вершинами –
центр куба. Поставим эти пирамиды основаниями на грани другого куба (рис. 15).
Получим ромбододекаэдр.

         Из этого построения, в частности следует, что равными
ромбододекаэдрами можно заполнить все пространство (составить пространственный
паркет). Для этого сначала заполним пространство равными кубами, закрашенными в
черный и белый цвета в шахматном порядке. Затем белые кубы разобьем на
правильные четырехугольные пирамиды и присоединим их к черным кубам. Получим
искомое заполнение пространства ромбододекаэдрами. При этом в каждой вершине
сходится или шесть равных четырехгранных углов, или четыре равных трехгранных
углов ромбододекаэдров.

         Таким образом, величина четырехгранного угла ромбододекаэдра
равна 60°, а величина трехгранного угла ромбододекаэдра равна 90°.

         Двугранные углы
ромбододекаэдра находятся из приведенной выше формулы (3) и равны 120°.

Используя теорему Эйлера о
числе вершин ребер и граней выпуклого многогранника (В–Р+Г=2), выведем формулу,
связывающую суммы двугранных и многогранных углов выпуклого многогранника.

Пусть  n₁, …, n_в – количества ребер, сходящихся
в вершинах данного многогранника. Тогда, суммируя соответствующие равенства по
всем вершинам многогранника, и учитывая, что при этом каждый двугранный угол
считается дважды, получим равенство

2S₂ = 180°(n₁ – 2) + … + 180°(n_в – 2) + 2S,

где S₂, S – суммы двугранных и многогранных углов
данного многогранника.

Заметим, что n₁ + … + n_в = 2Р. Следовательно, будем
иметь равенство

S₂ = 180°(Р – В) + S,

или, окончательно, используя
соотношение Эйлера, В – Р + Г = 2, получаем

S₂ = 180°(Г – 2) + S.

Многогранные
углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам
всего пространства соответствует число 2p, равное половине площади
единичной сферы. Поэтому численной величиной многогранного угла считают
половину площади сферического многоугольника, высекаемого многогранным углом из
единичной сферы с центром в вершине данного многогранного угла.

Например,
численная величина трехгранного угла куба будет равна .

         Переходя от градусов к
числам  в формулах 1 и 2, связывающих
двугранные углы трехгранного и многогранного углов, будем иметь

(3)       ÐSAB +ÐSB + ÐSC
= p + 2ÐSABC.

(4)         ÐSA₁ + … +ÐSA_n=p(n – 2) + 2ÐSA₁…A_n.

Заменяя в этих формулах величины трехгранного и многогранного углов на
площади сферических треугольника и многоугольника, соответственно, получим
формулы для площадей сферического треугольника ABC и многоугольника A₁…A_n.

(5)       S(ABC) = ÐSA +ÐSB + ÐSC –  p.

(6)       
S(A₁…A_n) = ÐSA₁ + … +ÐSA_n – p(n – 2).

Задачи для самостоятельного решения

1. Чему равен
трехгранный угол, образованный диагоналями граней куба, выходящими из одной
вершины?

2. В
правильном тетраэдре ABCD точка O –
центр описанной сферы. Найдите трехгранный угол OABC и двугранные углы OA, OB, OC.

3. В
правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 1, сторона основания . Найдите трехгранный угол при вершине и двугранные углы при
боковых ребрах этой пирамиды.

4. В
правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 1, высота . Найдите трехгранный угол при вершине и двугранные углы при
боковых ребрах этой пирамиды.

5. В
правильной четырехугольной пирамиде сторона основания и боковое ребро равно 1.
Чему равны двугранные и трехгранные углы при основании?

6. В
правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 2 см, высота 1 см.
Чему равен многогранный угол при вершине этой пирамиды?

7. В
правильной пятиугольной пирамиде сторона основания и боковое ребро равны 1. Чему
равен пятигранный угол при вершине этой пирамиды?

8. Найдите
двугранные и многогранные углы: а) правильной пятиугольной призмы (рис. 16, а);
б) правильной треугольной антипризмы (рис. 16, б).

9. Найдите
двугранные и многогранные углы: а) усеченного тетраэдра (рис. 17, а); б)
усеченного куба (рис. 17, б); в) усеченного октаэдра (рис. 17, в); г)
усеченного икосаэдра (рис. 17, г); д) усеченного додекаэдра (рис. 17, д).

10. Докажите,
что из равных усеченных октаэдров можно составить пространственный паркет.

11. Найдите
двугранные и многогранные углы: а) кубооктаэдра (рис. 18, а); б) икосододекаэдра
(рис. 18, б).

12. Найдите
величины невыпуклых многогранных углов многогранников, изображенных на рисунке
19, а-в.

13. Найдите
двугранные и многогранные углы малого звездчатого додекаэдра (рис. 20),
получающегося из додекаэдра продолжением его ребер.

14. Верна ли
формула (2) для невыпуклых многогранных углов? Почему?

15. Найдите
площадь части сферы с центром в вершине единичного куба и радиусом 1,
заключенной внутри этого куба.

16. В
правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 2 см, высота 1 см.
Найдите площадь части сферы с центром в вершине пирамиды и радиусом 1 см,
заключенной внутри пирамиды.

17. Чему равна
площадь сферического треугольника на единичной сфере, все углы которого равны: а)
80°; б) 90°; в) 100°?

18. Выведите
формулу площади сферического n-угольника на сфере радиуса R,
все углы которого равны j. В каких пределах может изменяться
j?