Как найти величину двугранного угла задачи

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})

Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)

( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

План урока:

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Перпендикулярность плоскостей

Прямоугольный параллелепипед

Трехгранный угол

Многогранный угол

Типичные задачи на углы между плоскостями

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.

По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.

Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:

Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.

Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.

Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.

Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:

Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.

Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).

Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

Прямоугольный параллелепипед

Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.

Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:

Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А₁, B₁, C₁ и D₁. При этом одноименные вершины (например, А и А₁) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.

Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ₁А₁ и CDD₁C₁. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD₁, ведь и ADD₁A₁ – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD₁C₁ (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.

Эти грани пересекаются по ребру А₁D₁. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА₁ и А₁В₁, лежащие в гранях ADD₁A₁ и A₁D₁C₁B₁. Значит, ∠АА₁В₁ и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.

Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:

Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:

Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ₁ – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В₁D:

Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:

Теперь перейдем к ∆В₁ВD. Так как ребро BB₁ перпендикулярно грани ABCD, то ∠В₁ВD – прямой. Тогда и ∆В₁ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:

Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть

Именно это неравенство и необходимо было доказать.

Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:

Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:

Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и

Многогранный угол

Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.

Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:

Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА₁, КА₂, КА₃…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅ – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅ – это сечение многогранного угла. Углы ∠А₁КА₂, ∠А₂КА₃, ∠А₃КА₄… – это плоские углы многогранного угла.

Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:

Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.

Докажем важное утверждение:

Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А₁А₂А₃…А_n, которое будет являться выпуклым многоугольником:

В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А₁А₂А₃…А_n. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть

В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А₁А₂А₃…А_n. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть

Последнее неравенство и необходимо было доказать.

Типичные задачи на углы между плоскостями

В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.

Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.

Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:

Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).

Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:

Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?

Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:

По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:

Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?

Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:

Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.

Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.

Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:

Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.

Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:

Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.

Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?

Решение.

Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.

Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.

По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:

Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:

Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?

Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:

Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.

Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:

Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:

Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:

Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.

Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:

Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:

Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.

Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому

Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:

Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.

Ответ: ≈ 54,74°.

Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?

Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):

Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.

Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что

Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.

Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:

Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:

Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:

Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:

Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов

Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Ответ: 90°.

Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:

Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.

Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:

Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.

Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:

KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.

Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:

Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.

Ответ: 60°.

Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.

Слайд 1

система задач на тему двугранный угол

Слайд 2

Угол между плоскостями: ∠ ( α , β )

Слайд 3

А В С D М К грани ребро Р

Слайд 4

А В С К М ∠ ( α , β ) = D ∠ АВСМ= ∠ Р Р

Слайд 5

За д ачи на д оказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным .

Слайд 6

а) РАВС – пирами д а; ∟ АСВ=90º; (РВ) ┴ (АВС) Д оказать: ∠ РСВ – линейный угол д вугранного угла с ребром АС. В А С Р ВС ┴ АС РВ ┴ ( АВС) РС ┴ АС = > ∠ РАСВ= ∠РСВ

Слайд 7

в) РАВС – пирамиDа; АВ=ВС; D- сереDина АС; (РВ) ┴ (АВС); Dоказать: ∟ РDВ – линейный угол Dвугранного угла с ребром АС. В Р А С D Δ АВС – равнобед- ренный, D – середина АС, значит: ВD ┴АС. ВD ┴ АС РВ ┴ ( АВС) РD ┴ АС = > ∠ РАСВ= ∠РDВ

Слайд 8

с) РАВСD – пирами д а; (РВ) ┴ (АВС); (ВК) ┴(DС); Д оказать: ∠ РКВ – линейный угол д вугранного угла с ребром СD. А В D С Р К ВК ┴ РС РВ ┴ ( АВС) РК ┴ DС = > ∠ РСDВ= ∠РКВ

Слайд 9

2. За д ачи на вы д еление линейного угла сре д и нескольких обозначенных на рисунке углов.

Слайд 10

а) РАВС – пирами д а; основание – правильный треугольник; Какой из отмеченных углов является линейным уголом д вугранного угла с ребром АС, если: D – сере д ина АС, (РВ) ┴ (АВС) . Р D С В А

Слайд 11

в ) РАВС – пирами д а; основание – правильный треугольник; Какой из отмеченных углов является линейным уголом д вугранного угла с ребром АС, если: М – сере д ина АС, О N ║ВМ, (РО) ┴ (АВС) . Р А С В О М N

Слайд 12

с ) РАВС – пирами д а; D- сере д ина АС; (РВ) ┴ (АВС); Каким д олжен быть треугольник АВС, чтобы линейным углом д вугранного угла с ребром АС являлся угол РDВ ? угол РАВ ? угол Р С В? В Р А С D

Слайд 13

3. За д ачи на построение линейного угла д ля д анного д вугранного .

Слайд 14

а) Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АС, если в пирами д е РАВС: АВ=ВС, (РВ) ┴ (АВС); ∠ РАСВ – ?

Слайд 15

Р А В С АВ=ВС Н = > ВН ┴ АС РВ ┴ АВС = > РН ┴ АС ∠ РАСВ = ∠ РНВ

Слайд 16

в ) Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АС, если в пирами д е РАВС: грань АВС – правильный треугольник, О – точка пересечения ме д иан треугольника АВС, (РО) ┴ (АВС); ∠ РАСВ – ?

Слайд 17

Р А С В О К ВК-медиана, = > ВО ┴ АС РО ┴ АВС = > РК ┴ АС Δ АВС-правильный ВК – высота ∠ РАСВ = ∠ РКВ

Слайд 18

с ) Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АС, если в пирами д е РАВС: грань АВС – правильный треугольник, О – сере д ина АВ, (РО) ┴ (АВС); ∠ РАСО – ?

Слайд 19

А С Р В О Н К А В = В С = > КО ┴ АС РО ┴ АВС = > КР ┴ АС ВН ┴ АС КО║ВН ∠ РАСВ = ∠ РКО

Слайд 20

D ) Д ан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол д вугранного угла с ребром DС, если: (РВ) ┴ (АВС); ∠ ВСDР – ?

Слайд 21

А Р D С В ВС ┴ СD РВ ┴ АВС = > РС ┴ СD Значит: ∠ ВСDР= ∠ ВСР АВСD- прямоугольник

Слайд 22

О ͼ АВ; (РО) ┴ (АВС) . е)Д ан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол д вугранного угла с ребром DС, если: ∠ ОСDР – ?

Слайд 23

А Р D С В О Н Значит: ∠ ОСDР= ∠ РНО РО ┴ АВС = > РН ┴ СD АD ┴ СD ОН║АD ОН ┴ СD = >

Слайд 24

О – точка пересечения диагоналей АВСD, (РО) ┴ (АВС). f )Д ан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол д вугранного угла с ребром DС, если: ∠ ОСDР – ?

Слайд 25

А Р D С В О Н АD ┴ СD ОН║АD ОН ┴ СD = > Значит: ∠ ОСDР= ∠ РНО РО ┴ АВС = > РН ┴ СD

Слайд 26

g ) Дан ромб АВСD; (РС) ┴ (АВС). Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD. С В А D

Слайд 27

Р С В D А АВСD – ромб = > СА ┴ВD, СА∩ВD=О = > ОС ┴ ВD Значит: ∠ РВDС= ∠ РОС РС ┴ АВС = > РО ┴ ВD О

Слайд 28

i ) Дана трапеция АВСD; ∠ ВАD=90º; Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если: (РВ) ┴ (АВС). С D А В АD║ВС ∠ ВАDР – ?

Слайд 29

Р D В С А ВА ┴ АD РВ ┴ АВС = > РА ┴ АD Значит: ∠ ВАDР= ∠ ВАР

Слайд 30

k) Dана трапеция АВСD ; ∠ ВАD=90º; Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АD , если: О ВС; (РО) ┴ (АВС). ∠ ВАDР – ?

Слайд 31

Р D В С А Значит: ∠ ВАDР= ∠ ОКР О К АВ ┴ АD ОК║АВ ОК ┴ АD = > РО ┴ АВС = > РК ┴ АD

Слайд 32

l ) Dана трапеция АВСD . Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АD , если: АВ=СD, (РВ) ┴ (АВС). А D С В Н

Слайд 33

В D С А Н Р ВН ┴ АD РВ ┴ АВС = > РН ┴ АD Значит: ∠ ВАDР= ∠ ВНР

Слайд 34

АВСD — равнобокая трапеция; АВ=СD, (РС) ┴ (АВС); m) Dана трапеция АВСD . Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АD , если:

Слайд 35

С А В D Н Р СН ┴ АD РС ┴ АВС = > РН ┴ АD Значит: ∠ САDР= ∠ СНР

Слайд 36

Вычислительные задачи .

Слайд 37

а) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: (РВ) ┴ (АВС); ∠ АСВ = 90º; ВС = РВ = 4

Слайд 38

А С Р В АС ┴ ВС РВ ┴ АВС = > РС ┴ АС Значит: ∠ ВАСР= ∠ ВСР 1)

Слайд 39

С В Р 4 4 2) ВР=ВС = > Δ СВР – равнобедренный, ∠ С = ∠ Р = 45 ° Ответ: ∠ ВСР = 45 °

Слайд 40

в) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: (РВ) ┴ (АВС); АВ = ВС = 5 ; ВР = АС = 6 ; Р А В С 5 5 6 6 ∠ РАСВ-?

Слайд 41

Р А В С Н АС ┴ ВН РВ ┴ АВС = > РН ┴ АС Значит: ∠ ВАСР= ∠ ВНР 1) 5 5 6 6 6

Слайд 42

А В С Н 5 5 6 3 3 2) Δ АВС -равнобедренный, ВН – высота, значит: ВН- медиана, АН=НС=3, Δ ВНС – прямоугольный, ВН 2 =ВС 2 -НС 2 , ВН=4

Слайд 43

Р А В С Н Значит: ∠ ВАСР= ∠ ВНР 1) 5 5 6 6 6 4

Слайд 44

Р Н В 4 6 3) Δ РВН – прямоугольный, tg ∠ Н = РВ / ВН, tg ∠ Н = 6/4=1 ,5 Ответ: ∠ РАСВ = arctg 1 ,5

Слайд 45

с) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: Δ АВС — правильный треугольник; АВ = 6; О — точка пересечения медиан АВС; (РО) ┴ (АВС); А О Р В С РО = √ 3 ∠ РАСВ-?

Слайд 46

Р А С В О К ВК – медиана, = > ВО ┴ АС РО ┴ АВС = > РК ┴ АС Δ АВС -правильный ВК – высота ∠ РАСВ = ∠ РКВ 1) РО = √ 3 КО – ?

Слайд 47

С В К О А 2) Δ АВС – правильный, О – точка пересечения медиан, значит: ОВ=2ОК. Найдем ВК. Δ ВКС: ВК 2 = ВС 2 -КС 2 ; ВК 2 = 27; ВК =3 √ 3 6 3 ВК = 3ОК, ОК = √ 3

Слайд 48

Р А С В О К ВК – медиана, = > ВО ┴ АС РО ┴ АВС = > РК ┴ АС Δ АВС -правильный ВК – высота ∠ РАСВ = ∠ РКВ 1) РО = √ 3 КО = √ 3

Слайд 49

3) Δ РОК – прямоугольный, ∠ О = 90 ° , РО = ОК, значит ∠ Р = ∠ К = 45 ° . Р К О Ответ: ∠ РАСВ = 45 °

Слайд 50

D) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: АВС — правильный треугольник; О — середина АВ; АВ = 6; (РО) ┴ (АВС); РО = 4 ; В А С Р О ∠ РАСВ-?

Слайд 51

А С В О Н К 1) ВН – высота правильного Δ АВС, ВН ┴АС ОК║ВН = > ОК ┴АС

Слайд 52

В А С Р О К ОК ┴ АС РО ┴ АВС = > РК ┴ АС ∠ РАСВ = ∠ РКО 2)

Слайд 53

А С В О Н К 3) ВН – высота правильного Δ АВС, 6 Найдем ВН. Δ ВНС: ВН 2 = ВС 2 -НС 2 ; ВН 2 = 27; ВН =3 √ 3 3

Слайд 54

А С В О Н К 6 ВН =3 √ 3 Δ АВН, О – середина АВ, ОК║ВН = > ОК -средняя линия, ОК=ВН/2 ОК=

Слайд 55

О К Р 6 4) Δ РОК; ∠ С = 90 ° , tg ∠ К = РО/ОК, tg ∠ К = 4/ √3 ∠ РАСВ = arctg 4/√3 Ответ:

Слайд 56

е) АВСD — прямоугольник; ВD = 4√3 ; (РВ) ┴ (АВС); РВ = 6 ; Двугранный угол с ребром DС равен 60º ; Найти стороны прямоугольника. В Р А С D

Слайд 57

В Р А С D 1) ∠ РDСВ=60 ° ВС ┴ СD РВ ┴ АВС = > РС ┴ СD Значит: ∠ РDСВ = ∠ РСВ = 60 ° ВD = 4√3 ; РВ = 6 ; ∠ РСВ = 60 ° 6 60 ° 4 √ 3

Слайд 58

В Р С 6 60 ° 2) Δ РВС, ∠ В = 90 ° , tg ∠ С = РВ/ВС, √ 3 = 6/ВС, ВС = 6/ √ 3 = 2 √ 3

Слайд 59

В Р А С D ВD = 4√3 ; РВ = 6 ; ∠ РСВ = 60 ° 6 60 ° 4√3 2 √ 3

Слайд 60

В С D 4 √ 3 2 √ 3 3) Δ ВСD; ∠ С = 90 ° , СD 2 = ВD 2 – СD 2 ; СD 2 = 16•3-4•3; СD 2 = 36; СD = 6 Ответ: АВ = СD =6; ВС = АD = 2 √ 3.

Слайд 61

f) АВСD — прямоугольник; площадь АВСD равна 48 ; (РВ) ┴ (АВС); РВ = 6 ; DС = 4 ; Найти величину двугранного угла с ребром DС. В Р А С D 6 4 ∠ РDСВ – ?

Слайд 62

В Р А С D 6 4 ∠ РDСВ – ? 1) ВС ┴ СD РВ ┴ АВС = > РС ┴ СD Значит: ∠ РDСВ = ∠ РСВ S (АВС D )=48, РВ = 6, С D = 4.

Слайд 63

2) АВС D – прямоугольник S (АВС D ) = АВ•ВС = 48, АВ = С D = 4, 4•ВС = 48, ВС = 12.

Слайд 64

В Р А С D 6 12 3) Δ РВС; ∠ В = 90 ° , tg ∠ С = РВ/ВС, tg ∠ С = 0,5 Ответ: ∠ РDСВ = arctg 0 ,5

Слайд 65

g) АВСD — ромб; ВD = 4 ; (РС) ┴ (АВС); РС = 8 ; Двугранный угол с ребром ВD равен 45º ; Найти площадь ромба . А В С D h a S ромба = a • h , S ромба = d 1 • d 2 : 2 d 1 d 2 4

Слайд 66

(РС) ┴ (АВС); РС = 8 ; Двугранный угол с ребром ВD равен 45º ; 2 ) D А В С Р АО ┴ ВD РС ┴ АВС = > РО ┴ СD Значит: ∠ РВ D С = ∠ РОС = 45º О 45º

Слайд 67

45 ° Р О С 8 3) Δ РСО; ∠ С = 90 ° , ∠ О = 45 ° = > ∠ Р = 45 ° , ОС = РС = 8.

Слайд 68

А В С D S ромба = d 1 • d 2 : 2 d 1 d 2 4 4) d 1 = 2ОС = 16, d 2 = 4, S ромба = d 1 • d 2 : 2 S = 32 Ответ: 32 О

Слайд 69

К ) АВСD- параллелограмм; ∠ АDС = 120º; АD = 8 ; DС =6 ; (РС) ┴ (АВС); РС = 9 ; Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь АВСD . А В С D 8 120 ° 6 Н S парал-ма = a • h a h S парал-ма = a • b • sin ∠ ( a , b ) b

Слайд 70

1) А В С 8 120 ° 6 h S парал-ма = a • b • sin ∠ ( a , b ) S (АВС D ) = 8 • 6 • sin 120 ° =24 √3. D Н S парал-ма = a • h h = S парал-ма / a h =24 √3 / 8 h =3 √3

Слайд 71

2) A B C D P H (РС) ┴ (АВС); РС = 9 ; Найти величину двугранного угла с ребром АD CH ┴ A D РС ┴ АВС = > Р H ┴ СD Значит: ∠ Р AD С = ∠ Р H С 9 3 √3

Слайд 72

9 3 √3 P C H 3) Δ Р CH ; ∠ C = 90 ° , tg ∠ H = Р C / H С, tg ∠ H = 3/ √3 = √3 ∠ H = 6 0 ° Ответ: ∠ Р ADC = 6 0 °, S (АВС D )= 24 √3 .