Как найти величину пересекающихся углов

Данный материал посвящен такому понятию, как угол между двумя пересекающимися прямыми. В первом пункте мы поясним, что он из себя представляет, и покажем его на иллюстрациях. Потом разберем, какими способами можно найти синус, косинус этого угла и сам угол (отдельно рассмотрим случаи с плоскостью и трехмерным пространством), приведем нужные формулы и покажем на примерах, как именно они применяются на практике.

Что такое угол между пересекающимися прямыми

Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.

Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.

Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 4 угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.

Допустим, нам известно, что один из углов равен α. В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен α. Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность 180°-α. Если α будет равно 90 градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).

Взгляните на рисунок:

Перейдем к формулированию основного определения.

Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из 4-х углов, которые образуют две эти прямые.

Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале (0, 90]. Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 90 градусам.

Как найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости

Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.

Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур. Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов. Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.

Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.

У нас есть прямоугольная (декартова) система координат Oxy, в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами a и b. Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения M. Как определить искомый угол (обозначим его α) между этими прямыми?

Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.

Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.

Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:

• угла между направляющими векторами;
• ­угла между нормальными векторами;
• угла между нормальным вектором одной прямой и направляющим вектором другой.

Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.

1. Допустим, что у нас есть прямая a с направляющим вектором a→=(ax, ay) и прямая b с направляющим вектором b→(bx, by). Теперь отложим два вектора a→ и b→ от точки пересечения. После этого мы увидим, что они будут располагаться каждый на своей прямой. Тогда у нас есть четыре варианта их взаимного расположения. См. иллюстрацию:

Если угол между двумя векторами не является тупым, то он и будет нужным нам углом между пересекающимися прямыми a и b. Если же он тупой, то искомый угол будет равен углу, смежному с углом a→, b→^. Таким образом, α=a→, b→^ в том случае, если a→, b→^≤90° , и α=180°-a→, b→^, если a→, b→^>90°.

Исходя из того, что косинусы равных углов равны, мы можем переписать получившиеся равенства так: cos α=cos a→, b→^, если a→, b→^≤90°; cos α=cos180°-a→, b→^=-cosa→, b→^, если a→, b→^>90°.

Во втором случае были использованы формулы приведения. Таким образом,

cos αcosa→, b→^, cosa→, b→^≥0-cosa→, b→^, cosa→, b→^<0⇔cos α=cosa→, b→^

Запишем последнюю формулу словами:

Косинус угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, будет равен модулю косинуса угла между его направляющими векторами.

Общий вид формулы косинуса угла между двумя векторами a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) выглядит так:

cosa→, b→^=a→, b→^a→·b→=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2

Из нее мы можем вывести формулу косинуса угла между двумя заданными прямыми:

cos α=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2

Тогда сам угол можно найти по следующей формуле:

α=arccosax·bx+ay+byax2+ay2·bx2+by2

Здесь a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) – это направляющие векторы заданных прямых.

Приведем пример решения задачи.

Мы можем решить подобную задачу с помощью нахождения угла между нормальными векторами. Если у нас есть прямая a с нормальным вектором na→=(nax, nay) и прямая b с нормальным вектором nb→=(nbx, nby), то угол между ними будет равен углу между na→ и nb→ либо углу, который будет смежным с na→, nb→^. Этот способ показан на картинке:

Формулы для вычисления косинуса угла между пересекающимися прямыми и самого этого угла с помощью координат нормальных векторов выглядят так:

cos α=cosna→, nb→^=nax·nbx+nay+nbynax2+nay2·nbx2+nby2α=arccosnax·nbx+nay+nbynax2+nay2·nbx2+nby2

Здесь na→ и nb→ обозначают нормальные векторы двух заданных прямых.

Разберем последний случай – нахождение угла между прямыми, если нам известны координаты направляющего вектора одной прямой и нормального вектора другой.

Допустим, что прямая a имеет направляющий вектор a→=(ax, ay), а прямая b – нормальный вектор nb→=(nbx, nby). Нам надо отложить эти векторы от точки пересечения и рассмотреть все варианты их взаимного расположения. См. на картинке:

Если величина угла между заданными векторами не более 90 градусов, получается, что он будет дополнять угол между a и b до прямого угла.

a→, nb→^=90°-α в том случае, если a→, nb→^≤90°.

Если он менее 90 градусов, то мы получим следующее:

a→, nb→^>90° , тогда a→, nb→^=90°+α

Используя правило равенства косинусов равных углов, запишем:

cosa→, nb→^=cos(90°-α)=sin α при a→, nb→^≤90°.

cosa→, nb→^=cos90°+α=-sin α при a→, nb→^>90°.

Таким образом,

sin α=cosa→, nb→^, a→, nb→^≤90°-cosa→, nb→^, a→, nb→^>90°⇔sin α=cosa→, nb→^, a→, nb→^>0-cosa→, nb→^, a→, nb→^<0⇔⇔sin α=cosa→, nb→^

Сформулируем вывод.

Чтобы найти синус угла между двумя прямыми, пересекающимися на плоскости, нужно вычислить модуль косинуса угла между направляющим вектором первой прямой и нормальным вектором второй.

Запишем необходимые формулы. Нахождение синуса угла:

sin α=cosa→, nb→^=ax·nbx+ay·nbyax2+ay2·nbx2+nby2

Нахождение самого угла:

 α=arcsin=ax·nbx+ay·nbyax2+ay2·nbx2+nby2

Здесь a→ является направляющим вектором первой прямой, а nb→ – нормальным вектором второй.

Приведем еще один способ нахождения нужного угла с помощью угловых коэффициентов заданных прямых.

У нас есть прямая a, которая задана в прямоугольной системе координат с помощью уравнения y=k1·x+b1, и прямая b, заданная как y=k2·x+b2. Это уравнения прямых с угловым коэффициентом. Чтобы найти угол пересечения, используем формулу:

α=arccosk1·k2+1k12+1·k22+1, гдеk1 и k2 являются угловыми коэффициентами заданных прямых. Для получения этой записи были использованы формулы определения угла через координаты нормальных векторов.

В выводах этого пункта следует отметить, что приведенные здесь формулы нахождения угла не обязательно учить наизусть. Для этого достаточно знать координаты направляющих и/или нормальных векторов заданных прямых и уметь определять их по разным типам уравнений. А вот формулы для вычисления косинуса угла лучше запомнить или записать.

Как вычислить угол между пересекающимися прямыми в пространстве

Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.

Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые a и b с точкой пересечения M. Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz). Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:

cos α=cosa→, b→^=a→, b→a→·b→=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:

α=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

3.1. Определение величины угла между пересекающимися прямыми

Угол
между пересекающимися прямыми можно
определить следующими способами:

1)
заключением угла в треугольник: нужно
пересечь стороны угла произвольной
прямой и определить натуральную величину
полученного треугольника, откуда можно
определить натуральную величину
заданного угла;

2)
вращением: поставить плоскость угла в
положение, параллельное какой-либо
плоскости проекций;

3)
совмещением: найти один из следов
плоскости угла – горизонтальный или
вертикальный – и вращением около этого
следа совместить угол с соответствующей
плоскостью проекций;

4)
вращением около горизонтали или фронтали:
совместить заданный угол с плоскостью,
параллельной горизонтальной (вертикальной)
плоскости проекций, проходящей через
произвольную горизонталь (фронталь)
плос-

кости угла;

5)
заменой плоскостей проекций: изменить
плоскости проекций так, чтобы одна из
них стала параллельной плоскости
заданного угла.

Из
всех перечисленных способов решения
наиболее просто и быстро приводит к
цели четвертый.

Задача
19. Определить
величину угла между двумя пересекающимися
прямыми.

Решение.
Истинная величина углов между двумя
пересекающимися прямыми с и d (рис. 17)
определена следующим образом: плоскость
угла повернута вокруг своей фронтали
f (1, 2) до совмещения ее с фронтальной
плоскостью уровня Ф (Ф1), проходящей
через проекцию фронтали f₁.

Проекция
M₁
совмещения вершины угла между прямыми
с и d находится на проекции фронтально
проецирующей плоскости Σ, в которой
вращается

точка М. Определив с помощью
прямоугольного треугольника МО₂М₂
натуральную величину радиуса вращения
R = [МО₂]
и отложив ее на проекции Σ₂
от О₂,
получаем изображение точки М´₂
на плоскости П₂.
Соединяя фронтальные проекции неподвижных
точек 1₂
и 2₂
с построенной точкой М´₂,
получаем проекции с₂
и d₂,
совмещенных с плоскостью Ф прямых с и
d. Угол между прямыми с´₂
и d´₂
определяет натуральную величину искомого
угла между пересекающимися прямыми с
и d.

Для
прямых, не лежащих в одной плоскости,
мерой угла между ними служит угол между
двумя пересекающимися прямыми,
параллельными

данным.

Рис. 17. Определение
величины угла между

двумя пересекающимися
прямыми

3.2. Определение величины угла между прямой общего положения и плоскостью общего положения

Задача
20. Определить
угол между прямой общего положения и
плоскостью общего положения.

Решение.
Мерой такого угла является линейный
угол между прямой и ее ортогональной
проекцией на заданную плоскость. Угол
спроецируется без искажения, если прямая
будет параллельной плоскости проекций,
а заданная плоскость окажется проецирующей
на ту же плоскость проекций.

Задачу
решают тройным преобразованием чертежа
(рис. 18): придают плоскости проецирующее
положение, преобразуют заданную плоскость
в плоскость уровня, превращают заданную
прямую в прямую уровня.

Рис.
18. Определение величины угла между
прямой общего положения и

плоскостью
общего положения. Тройное преобразование
чертежа

3.3.
Определение величины угла

между
двумя скрещивающимися прямыми

Известно
(из геометрии), что этот угол измеряется
углом между пересекающимися прямыми,
параллельными заданным скрещивающимся
прямым, следовательно, после проведения
вспомогательных прямых получаем задачу
19.

3.4.
Определение величины угла между прямой
и поверхностью

Угол
между прямой и поверхностью
измеряется
углом между прямой и плоскостью,
касательной к поверхности в точке
пересечения этой прямой с поверхностью;
решение таких задач рассматривается в
специальной литературе.

3.5.
Определение величины угла между двумя
пересекающимися

плоскостями

Задача
21. Определить
угол между двумя плоскостями.

Решение.
Линию пересечения двух плоскостей
(общее ребро двугранного угла) преобразуют
в проецирующее положение. Тогда каждая
из двух плоскостей превращается в прямую
линию. Угол между этим двумя пересекающимися
прямыми и есть искомый угол между двумя
плоскостями (рис. 19).

Рис. 19. Определение
величины угла между двумя

пересекающимися
плоскостями

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Угол между пересекающимися прямыми – определение, примеры нахождения.

Начнем с краткого обзора материала статьи.

Сначала дано определение угла между пересекающимися прямыми с поясняющим рисунком. Далее показаны методы, позволяющие найти синус угла, косинус угла и сам угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости и в пространстве по известным уравнениям этих прямых в фиксированной прямоугольной системе координат, получены соответствующие формулы и приведены подробные решения примеров и задач.

Навигация по странице.

Чтобы определить угол между двумя пересекающимися прямыми нам потребуются определения, данные в статье геометрическая фигура угол и некоторые вспомогательные определения.

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка двух прямых называется точкой пересечения прямых. Точка пересечения разбивает каждую из пересекающихся прямых на два луча. Очевидно, эти лучи образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Таким образом, если нам известна мера одного из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, то мы можем определить меры трех остальных углов. Действительно, пусть один из углов равен углу . Тогда вертикальный с ним угол также равен , а смежные с ним углы равны . Если , то все четыре угла являются прямыми. В этом случае пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (им посвящена статья перпендикулярные прямые).

Теперь можно переходить к определению угла между пересекающимися прямыми.

Угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми.

Из приведенного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися прямыми выражается действительным числом из интервала . Угол между перпендикулярными прямыми по определению равен девяноста градусам.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми на плоскости.

Существует множество разнообразных задач, в которых приходится находить угол между пересекающимися прямыми. В зависимости от условий этих задач подбирается подходящий метод решения.

Можно использовать методы геометрии. К примеру, если известны какие-либо дополнительные углы, то можно пробовать связать их с искомым углом между пересекающимися прямыми, отталкиваясь от равенства или подобия фигур. Если известны стороны треугольника и требуется найти угол между пересекающимися прямыми, на которых лежат стороны треугольника, то можно использовать теорему косинусов. При наличии прямоугольных треугольников отыскать угол между пересекающимися прямыми помогают определения синуса, косинуса и тангенса угла. Много подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.

Для нахождения углов между пересекающимися прямыми также прекрасно подходит метод координат. Давайте детально разберем его.

Решим поставленную задачу.

Мы знаем, что от прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат неотделим направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой, и мы можем по заданному уравнению прямой на плоскости определить координаты ее направляющего и нормального вектора. Таким образом, у нас есть возможность получить координаты направляющих и нормальных векторов заданных пересекающихся прямых.

Угол между заданными пересекающимися прямыми может быть найден через

Разберем каждый случай.

Разберем решение примера.

угол между указанными пересекающимися прямыми равен 45 градусам.

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла при известном косинусе этого угла. Так как угол между двумя пересекающимися прямыми не тупой, то .

Тогда .

Осталось разобраться, как найти угол между пересекающимися прямыми, если известен направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор другой прямой.

Если угол между векторами и не превосходит 90 градусов, то он дополняет угол между пересекающимися прямыми a и b до прямого угла, то есть, , если . Если же , то .
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде , если , и , если . Следовательно,

(Обратите внимание: заданные прямые совпадают с прямыми из предыдущего примера).

Очевидно, получили такой же угол между пересекающимися прямыми, как и в предыдущем примере.

Дадим еще формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми a и b через угловые коэффициенты этих прямых.

Определите угол между пересекающимися прямыми и .

(В условии даны все те же пересекающиеся прямые из предыдущих примеров).

Заданные прямые имеют угловые коэффициенты и . Подставляем эти значения в формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми по угловым коэффициентам:

В заключении этого пункта отметим, что совсем не обязательно запоминать все выведенные формулы для нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости. Достаточно понимать, что угол между пересекающимися прямыми может быть найден с помощью угла между направляющими или нормальными векторами прямых, уметь определять координаты этих векторов по известным уравнениям прямых, а также помнить формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве методом координат сводится к нахождению координат направляющих векторов этих прямых и последующему определению угла между ними. При этом все рассуждения из предыдущего пункта, касающиеся определения угла между пересекающимися прямыми через угол между их направляющими векторами, остаются справедливыми.

Пусть искомый угол между пересекающимися прямыми равен . Направляющим вектором прямой является вектор , а в качестве направляющего вектора оси аппликат можно принять координатный вектор . Теперь у нас есть все данные, чтобы применить формулу для нахождения косинуса угла между пересекающимися прямыми:

Тогда искомый угол между пересекающимися прямыми равен .

Источник

Угол между прямыми

Определение угла между прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

то угол между ними можно найти, используя формулу:

Если знаменатель равен нулю (1 + k ₁· k ₂ = 0), то прямые перпендикулярны.

Соответственно легко найти угол между прямыми

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b

то вектор направляющей имеет вид

Если уравнение прямой задано как

Если дано каноническое уравнение прямой

то вектор направляющей имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано как

то вектор нормали имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то вектор нормали имеет вид

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

sin φ = | a · b | | a | · | b |

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор <1; 2>, для второй прямой направляющий вектор

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

Угол между прямыми в пространстве

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если дано каноническое уравнение прямой

то направляющий вектор имеет вид

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b z = n t + c

то направляющий вектор имеет вид

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор <3; 4; 5>.

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

Источник

Угол между прямыми

Урок 9. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Угол между прямыми»

· рассмотрим углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми в пространстве.

Напомню, что два луча ОА и O₁A₁ в пространстве, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОO₁. Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны.

Как вы уже знаете, любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла.

Определение. Если пересекающиеся прямые образуют тупые и острые углы, то углом между этими прямыми называется тот, который не превосходит любой из трех остальных углов, т.е. наименьший из углов.

Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен девяносто градусов.

Пусть α – тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен α. Очевидно, что угол альфа между двумя пересекающимися прямыми удовлетворяет условию: .

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые а и b. Возьмем произвольную точку М₁ в пространстве и проведем через нее прямые A₁B₁, параллельные прямым а и b соответственно.

Тогда углом между скрещивающимися прямыми а и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми A₁B₁. Т. е. если угол между прямыми A₁B₁ равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми а и b равен φ.

Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М₁.

Возьмем любую другую точку М₂ и проведем через нее прямые a₂ и b₂, параллельные прямым а и b соответственно. Пусть угол между прямыми a₁ и b₁ равен α₁, а угол между прямыми a₂ и b₂ равен α₂.

Если прямые a₁, b₁, a₂, b₂ лежат в одной плоскости, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых угол α₁ равен углу φ и равен углу α₂.

Пусть теперь прямые a₁ и b₁, пересекающиеся в точке М₁, лежат в одной плоскости. А прямые a₂ и b₂, пересекающиеся в точке М₂ лежат в другой плоскости.

Так как прямая a₁ параллельна прямой а и прямая a₂ параллельна прямой а, то по признаку параллельности прямых в пространстве прямые a₁ и a₂ также параллельны. Так как прямая b₁ параллельна прямой b и прямая b₂ параллельна прямой b, то по признаку параллельности прямых в пространстве прямые b₁ и b₂ параллельны.

Отметим на прямых a₁ и a₂ точки A₁ и A₂ так, чтобы отрезки М₁А₁ и М₂А₂ были равны. На прямых b₁ и b₂ отметим точки B₁ и B₂ так, чтобы отрезки M₁B₁и M₂B₂ были равны.

Тогда стороны угла A₁M₁B₁ и угла A₂M₂B₂ попарно сонаправлены. По теореме о равенстве углов с сонаправленными сторонами получаем, что угол A₁M₁B₁ равен углу A₂M₂B₂. Т. е. имеем, что угол α₁ равен углу α₂.

Таким образом, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки M₁.

Замечание. Угол между параллельными прямыми в пространстве считается равным 0º.

Рассмотрим пример. Пусть у нас есть треугольная пирамида DABC. На ее ребре DB взята точка Т.

Тогда угол между скрещивающимися прямыми BC и АТ равен углу между прямой АТ и прямой TF, которая проходит через точку Т параллельно прямой BC в плоскости BDC.

Рассмотрим еще пример. Пусть есть параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. И пусть точка О – точка пересечения диагоналей грани A₁B₁C₁D₁, а точка F – точка пересечения диагоналей грани AA₁B₁B.

Тогда угол между скрещивающимися прямыми C₁D и OF равен углу между прямыми OF и прямой OK, проходящей через точку О и параллельной прямой C₁D в плоскости C₁DA₁.

Задача. Дана правильная пирамида . – средняя линия грани . Найдите угол между прямыми и .

Задача. Дан куб . Найдите угол между прямыми и .

Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми. А также решили несколько задач на нахождение скрещивающихся углов.

Источник

Урок «Угол между прямыми»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Угол между прямыми

Нами уже было рассмотрено три случая взаимного расположения прямых:

— прямые, которые имеют только одну общую точку, т.е. прямые пересекаются

— прямые не пересекаются, но лежат в одной плоскости, т.е. прямые параллельны

— прямые не лежат в одной плоскости, т.е. прямые скрещиваются

Углом между пересекающимися прямыми называют тот угол, который не превосходит любой из трех остальных углов (т.е. наименьший из четырех образованных углов).

Если прямые перпендикулярны, то величина угла между пересекающимися прямыми будет равна 90˚.

Значит, угол между пересекающимися прямыми может быть острым или прямым, а величина его больше 0, но меньше или равна 90˚

Мы рассматривали углы между пересекающимися прямыми в одной плоскости. Попробуем определить угол между скрещивающимися прямыми.

Для этого мы построим прямые, параллельные данным так, чтобы они лежали в одной плоскости. (картинка)

Так для скрещивающихся прямых АВ и СD углом, является угол А₁K₁D₁, образованный пересекающимися прямыми А₁В₁ и С₁D₁ параллельные соответственно АВ и СD.

Определим, зависит ли величина А1K1D1 от выбора точки K₁.

Отметим произвольную точку K₂ и проведём через неё прямые A₂B₂ и C₂D₂ параллельные AB и CD соответственно.

На одной из прямых, например, CD возьмём некоторую точку K’ и построим A´B´, содержащую данную точку.

По теореме о трёх параллельных прямых, A₁B₁ ||A₂B₂ || A’B’, так как каждая из них параллельна AB.

По теореме о трёх параллельных прямых C₁D₁ || C₂D₂.

Следовательно стороны углов A’K’D, A₁K₁D₁ и A₂K₂D₂ соответственно сонаправлены.

Значит, A’K’D = A₁K₁D₁ = A₂K₂D₂ по теореме об углах с сонаправленными сторонами.

Таким образом, рассмотрев несколько построений относительно различных точек К₁, К₂, К’ мы пришли к выводу, что: «Величина угла между скрещивающимися прямыми от выбора точки не зависит».

Найдем величину угла между скрещивающимися прямыми.

Перед нами АВ и CD – скрещивающиеся прямые, AB и OF – пересекающиеся, а OF и CD – параллельные.

Чему равна величина угла между прямыми СD и АВ, если:

Так как AOF = 49˚ ; OF || CD, то угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD равен 49˚.

По определению угла между прямыми он не должен превышать 90º, тогда величина угла между пересекающимися прямыми OF и АВ равна 180˚ – 151˚ = 29˚, следовательно угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD равен 29˚.

Прямоугольный треугольник ACD с прямым углом С и равнобедренный треугольник ABC с основанием AC лежат в разных плоскостях. Точки F, K, N и M являются серединами сторон AB, BC, CD и DA соответственно. ABC = 28˚, MN = ND = 3см.

Определить угол между прямыми BC и NM, AD и FK.

Вспомним что если отрезок соединяет средины двух сторон треугольника то он является средней линией,

И то теореме о средней линии треугольника он равен половине третьей стороны и параллелен ей.

Прямые АС и MN параллельны, т.к. MN средняя линия треугольника АСD.

Тогда получаем угол между прямыми BC и NM равен углу между АС и NM и равен углу ВСА.

Рассмотрим треугольник АВС по условию он равнобедренный и АС его основание, отсюда имеем углы ВСА и ВАС равны как углы при основании равнобедренного треугольника,

Из теоремы о сумме углов треугольника выразим угол ВСА он равен половине разности 180 градусов и угла АВС.

Подставив значение угла АВС, находим угол ВСА равен 76 градусов

Угол между прямыми BC и MN равен 76 градусов.

Источник