Как найти величину пути

Содержание:

  • Определение и формула пути
  • Виды движения и формулы длины пути
  • Единицы измерения пути
  • Примеры решения задач

Определение и формула пути

Линия, которую описывает материальная точка при своем движении, называется траекторией.

Определение

Длиной пути называют сумму длин всех участков траектории, которые прошла точка за рассматриваемый промежуток времени
от t1 до t2.

В том случае, если уравнения движения представлены в прямоугольной декартовой системе координат, то длина пути (s) определяется как:

$$s=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{left(frac{d x}{d t}right)^{2}+left(frac{d y}{d t}right)^{2}+left(frac{d z}{d t}right)^{2}} d t=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{(dot{x})^{2}+(dot{y})^{2}+(dot{z})^{2}} d t(1)$$

В цилиндрических координатах длина пути может быть выражена как:

$$s=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{left(frac{d rho}{d t}right)^{2}+left(rho frac{d varphi}{d t}right)^{2}+left(frac{d z}{d t}right)^{2}} d t=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{(dot{rho})^{2}+(rho dot{varphi})^{2}+(dot{z})^{2}} d t(2)$$

В сферических координатах формулу длины пути запишем:

$$s=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{left(frac{d r}{d t}right)^{2}+left(r frac{d theta}{d t}right)^{2}+left(r sin theta frac{d varphi}{d t}right)^{2}} d t=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{(dot{r})^{2}+(r dot{theta})^{2}+(r varphi sin theta)^{2}} d t(3)$$

Местоположение перемещающейся материальной точки в фиксированный момент времени, например t=t1 называют начальным положением.
Очень часто полагают t1=0. Длин пути, который прошла материальная точка из начального положения – скалярная функция времени: s=s(t).

Считают, что за промежуток времени $d t rightarrow 0$ материальная точка проходит путь ds,
который называют элементарным. При этом:

$$d s=|d bar{r}|=v d t$$

где $bar{r}$ – вектор элементарного перемещения материальной точки, v – модуль скорости ее движения.

Виды движения и формулы длины пути

Длина пути при равномерном движении (v=const) точки равна:

$$s=vleft(t_{2}-t_{1}right)(5)$$

где t1 – начало отсчета движения, t2 – окончание отсчета. Формула (5) показывает то, что длина пути, который проходит равномерно движущаяся материальная точка – это линейная функция времени.

Если движение не является равномерным, то можно длину пути
$Delta s$ на отрезке времени от
$t$ до
$t + Delta t$ находят как:

$$Delta s=langle vrangle Delta t(6)$$

где $langle vrangle$ – средняя путевая скорость. При равномерном движении
$langle vrangle = v$ .

Путь, который проходит материальная тоска при равнопеременном движении (a=const)вычисляют как:

$$s=v_{0} t+frac{a t^{2}}{2}(7)$$

где a – постоянное ускорение, v0 – начальная скорость движения.

Единицы измерения пути

Основной единицей измерения пути в системе СИ является: [s]=м

В СГС: [s]=см

Примеры решения задач

Пример

Задание. Траектория движения материальной точки изображена на рис. 1. Каков путь, пройденный точкой,
чему равно перемещение, если точка двигалась 1-2-3-4.

Решение. Перемещение – кратчайшее расстояние между точками 1 и 4. Следовательно, перемещение точки равно:

$$6 – 2 = 4 (m)$$

Путь – длина траектории. Рассматривая график на рис.1 получаем, что путь материальной точки равен:

$$8 + 4 + 8 = 20 (m)$$

Ответ. Путь равен 20 м, перемещение равно 4 м.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Уравнение движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат представлено функцией:
x=-0,2t2 (м) . Какой путь пройдет материальная точка за 5 с?

Решение. Так как уравнение движения задано только одной координатой, то в качестве основы для решения
задачи примем формулу пути в виде:

$$s=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{(dot{x})^{2}} d t(2.1)$$

Подставим в (2.1) функцию x=-0,2t2, учтем, что $0 c leq t leq 5 c$ имеем:

$$s=int_{0}^{5} sqrt{left(-0,2 frac{dleft(t^{2}right)}{d t}right)^{2}} d t=0,left.4 cdot frac{t^{2}}{2}right|_{0} ^{5}=5(m)$$

Ответ. s=5м.

Читать дальше: Формула равноускоренного движения.

Содержание:

Путь и перемещение:

Вы знаете, что любой вид движения совершается по определенной траектории.

Траектория – это линия, которую описывает материальная точка при своем движении в данной системе отсчета. Эта линия может быть и невидима, например, траектория движения рыбы в воде, самолета в небе, пчелы в воздухе и др., которые можно только вообразить. По форме траектории механическое движение делится на прямолинейное и криволинейное.

Движение, траектория которого представляет собой прямую линию относительно данной системы отсчета, называется прямолинейным движением (b), а движение, траектория которого кривая линия, – криволинейным (с).

Длина траектории движения материальной точки, называется пройденным путем. Пройденный путь является положительной скалярной величиной, обозначается буквой Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Для полного описания движения материальной точки необходимо определить изменение его положения в пространстве с течением времени, т.е. определить изменение координат материальной точки, или же изменение его радиус-вектора.

Изменение любой физической величины равно разности его конечного и начального значений и обозначается знаком Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами (буква греч. алфавита) перед этой величиной.

Изменение координат материальной точки во время движения

Изменение координат материальной точки во время движения может быть, как положительным, так и отрицательным. Например, предположим, что муравей, двигаясь по показанной на рисунке траектории, попадает из точки М в точку N (d). Так как координата муравья по оси X увеличивается Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами то изменение координаты по этой оси будет положительным: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами Координата же муравья по оси У уменьшается Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами поэтому изменение его координаты по этой оси будет отрицательным: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Изменение радиус-вектора материальной точки во время движения

На следующем рисунке представлены радиус-векторы Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами и Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами начального и конечного положения, материальной точки (муравья) соответственно (е). Вектор Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами соединяющий концы этих радиус-векторов Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами называют перемещением данной материальной точки за промежуток времени Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами Согласно правилу сложения векторов: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами Из последнего выражения получается, Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами или Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами где Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами — перемещение материальной точки.

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Перемещение – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущейся материальной точки с ее конечным положением. Перемещение — векторная величина.

Векторная величина – это величина, определяемая, кроме числового значения (модуля), также и направлением.

К вектору перемещения, как векторной величине, можно применить известные действия над векторами – сложение и вычитание векторов, определение результирующего вектора методом треугольника и параллелограмма.

Единицей измерения перемещения, как и пути, в СИ является метр, однако, перемещение имеет отличающийся физический смысл: перемещение показывает, на какое расстояние и в каком направлении изменилось начальное положение материальной точки за данный промежуток времени.

Внимание! Только при прямолинейном движении без изменения направлении, модуль перемещения равен пройденному пути, во всех остальных случаях (при изменении направления прямолинейного движения, криволинейном движении) пройденный путь больше модуля перемещения (е).

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Материальная точка прошла расстояние Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами от точки М до точки N по прямой линии. В этом случае пройденный путь равен модулю перемещения: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Материальная точка прошла расстояние Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами от точки М до точки N по прямой линии, а затем по этой же линии вернулась назад в точку Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами В этом случае материальная точка прошла путь, равный Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами а модуль перемещения равен нулю:

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Если при движении материальной точки на плоскости известны его начальные координаты и вектор перемещения, то можно определить координаты конечного положения точки. Например, предположим, что материальная точка совершила перемещение Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами Опуская перпендикуляры на оси ОХ и OY из начала и конца этого вектора, получаем проекции перемещения Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами и Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами (h). Как видно из рисунка, эти проекции равны разности начальных и конечных координат материальной точки: 

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Одинаковы ли путь и перемещение

Задача:

Велосипедист движется по круговому велотреку радиусом 80 м. Он стартует из точки А. Определите путь и перемещение велосипедиста при первом прохождении точки В (i).

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Дано:

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Решение:

Пройденный путь Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами равен длине дуги: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Модуль перемещения же равен диаметру окружности: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Вычисление:

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Что такое путь и перемещение

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Автобус отправился из Москвы в 9 часов утра. Можно ли определить, где находился автобус в 11 часов, если известно, что он проделал путьПуть и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Конечно, нет. Ясно лишь, что в 11 часов он находился в месте, удаленном от Минска не более чем на 100 км (т. е. внутри окружности, изображенной на рисунке 37). Не исключено, что к 11 часам автобус вернулся в Москву.

Значит, для определения конечного положения тела недостаточно знать его начальное положение и пройденный им путь.

Мы нашли бы местонахождение автобуса в 11 часов, если бы знали траекторию его движения (зеленая линия на рисунке 38). Отсчитав 100 км от начальной точки маршрута вдоль траектории, найдем, что в 11 часов автобус прибыл в Борисов.

А можно поступить иначе. Конечное положение автобуса можно определить, зная его начальное положение и всего одну векторную величину, называемую перемещением.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (для данного промежутка времени).

Обозначим перемещение символом Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами На рисунке 38 вектор Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами — это перемещение автобуса из Минска в Мытищи, вектор Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами — из Мытищь в Балашиху, а вектор Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами — из Минска в Борисов.

Теперь, даже не зная траектории, по начальной точке и перемещению мы можем найти конечную точку для каждого из участков движения автобуса и для всего маршрута в целом.

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Можно ли сравнивать путь S, пройденный телом, с его перемещением Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами Нельзя, поскольку путь S — скаляр, а перемещение Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами — вектор.

Сравнивать путь S можно с модулем перемещения Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами который является скалярной величиной. Равен ли путь модулю перемещения?

В рассматриваемом примере путь, пройденный автобусом за два часа, Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами Он равен длине траектории движения автобуса от Москвы через Мытищи до Балашихи (см. рис. 38). А модуль перемещения автобуса за это время равен расстоянию от Минска до Борисова: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами Путь автобуса больше модуля его перемещения: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы автобус все время двигался по прямой, не изменяя направления движения.

Следовательно, путь всегда не меньше модуля перемещения:

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Как складывают между собой пути и как — перемещения? Из рисунка 38 находим:

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Пройденные пути складывают арифметически, а перемещения — по правилам сложения векторов.

Равен ли при этом модуль Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами сумме модулей Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами Ответьте самостоятельно.

Мы выяснили, что путь и траектория относительны. Покажите на примерах, что перемещение тоже относительно, т. е. зависит от выбора системы отсчета.

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

При решении задач важно уметь находить проекции перемещения. Построим вектор перемещения куска мела по школьной доске из точки А в точку С (рис. 39). Из рисунка видно, что проекции вектора Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами на координатные оси Ох и Оу равны разности координат конца и начала этого вектора:

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Главные выводы:

  1. Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за данный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина.
  2. Перемещение тела — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (для данного промежутка времени).
  3. Путь не меньше модуля перемещения тела за то же время.
  4. Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по правилам сложения векторов.

Пример:

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерамиПуть и перемещение в физике - формулы и определения с примерами
Конькобежец пересек прямоугольную ледовую площадку по диагонали АВ, а пешеход прошел из точки А в точку В по краю площадки (рис. 40). Размеры площадки 60 х 80 м. Определите модули перемещения конькобежца и пешехода и пути, пройденные ими.

Решение

Из рисунка 40 видно, что перемещения пешехода и конькобежца одинаковы. Модуль перемещения:

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь конькобежца: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь пешехода: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Ответ: Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

  • Заказать решение задач по физике

Траектория движения

Возьмите лист бумаги и карандаш. Поставьте на листе точки А и В и соедините их кривой линией (рис. 7.1). Эта линия совпадает с траекторией движения кончика карандаша, то есть линией, в каждой точке которой последовательно побывал кончик карандаша во время своего движения.

Траектория движения — это воображаемая линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка. Обычно мы не видим траектории движения тел, но иногда бывают исключения.

Так, в без­облачную погоду высоко в небе можно увидеть белый след, который во время своего движения оставляет самолет*. По этому следу можно определить траекторию движения самолета. Траектории движения каких тел можно восстановить по следам, изображенным на рис. 7.2? В каких случаях траекторию движения «заготавливают» заранее? Форма траектории может быть разной: прямая, окружность, дуга, ломаная и т. д. В зависимости от формы траектории разли­чают прямолинейное и криволинейное движе­ния тел (рис. 7.3).

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Форма траектории движения тела зависит от того, относительно какой системы отсчета рассматривают движение. Приведем пример. У мальчика, едущего в автобусе, упало из рук яблоко (рис. 7.4). Для девочки, сидящей напротив, траектория движения яблока — короткий отрезок прямой. В этом случае система отсчета, относительно которой рассматривается движение яблока, связана с салоном автобуса. Но все время, пока яблоко падало, оно «ехало» вместе с автобусом, поэтому для человека, стоящего на обочине дороги, траектория движения яблока абсолютно другая. Система отсчета в таком случае связана с дорогой.

Чем путь отличается от перемещения

Вернемся к началу (см. рис. 7.1). Чтобы найти путь, который прошел конец карандаша, рисуя кривую линию, необходимо измерить длину этой линии, то есть найти длину траектории (рис. 7.5). Путь — это физическая величина, равная длине траектории. Путь обозначают символом l. Единица пути в СИ — метр: [l]= м. Используют также дольные и кратные единицы пути, например миллиметр (мм), сантиметр (см), километр (км):

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь, пройденный телом, будет разным относительно разных систем отсчета. Вспомним яблоко в автобусе (см. рис. 7.4): для пассажиров яблоко прошло путь около полуметра, а для человека на обочине дороги — несколько метров. Вернемся к рис. 7.1. Соединив точки А и В отрезком прямой со стрелкой, получим направленный отрезок, который покажет, в каком направлении и на какое расстояние переместился конец карандаша (рис. 7.6).

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами

Направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением. Перемещение обозначают символом Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами . Стрелка над символом показывает, что перемещение — это векторная физическая величина*. Чтобы правильно задать перемещение, необходимо указать не только его значение (модуль), но и направление.

Модуль перемещения, то есть расстояние, на которое переместилось тело в определенном направлении, также обозначают символом s, но без стрелки. Единица перемещения в СИ такая же, как и единица пути, — метр: [s]= м. В общем случае перемещение не совпадает с траекторией движения тела (рис. 7.7, а, б), поэтому путь, пройденный телом, обычно больше модуля перемещения. Путь и модуль перемещения равны только в том случае, когда тело движется вдоль прямой в неизменном направлении (рис. 7.7, в).

Итоги:

Воображаемая линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения тел. Путь l — это физическая величина, равная длине траектории. Перемещение Путь и перемещение в физике - формулы и определения с примерами — это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела. Единица пути и перемещения в СИ — метр (м).

Физические величины, имеющие значение и направление, называется векторными а имеющие только значение — скалярными.

  • Равномерное прямолинейное движение
  • Прямолинейное неравномерное движение 
  • Прямолинейное равноускоренное движение
  • Сложение скоростей
  • Физический и математический маятники
  • Пружинные и математические маятники
  • Скалярные и векторные величины и действия над ними
  • Проекция вектора на ось
Автор статьи

Андрей Геннадьевич Блохин

Эксперт по предмету «Физика»

Задать вопрос автору статьи

В физике следует различать траекторию, путь и перемещение.

Определение 1

Траектория – форма линии, описываемая телом. Ее длина представляет собой путь и является скалярной величиной. Перемещением же называется вектор, соединяющий точки начала и конца пути, и направленный от начала к концу.

Длина пути измеряется в системе СИ в метрах, в СГС (сантиметр, грамм, секунда) – в сантиметрах. Применяются и другие единицы измерения длины, в том числе внесистемные (дюйм, фут, ярд, миля и т.д.).

При движении без ускорения путь равен произведению скорости на расстояние:

$S = v cdot (t_2 – t_1) = v cdot Delta t$,

где $v_0$ – скорость тела, $t_2$ — момент времени окончания движения, $t_1$ — момент времени начала движения, $Delta t$ – время движения. График зависимости пути от времени на координатной плоскости в случае такого, называемого равномерным, движения является прямой линией.

Замечание 1

Поскольку скорость – векторная величина, равномерным можно считать только движение по прямой, т.к. при изменении направления движения вектор не остается неизменным даже при сохранении его длины.

Если равноускоренное движение начато с нулевой скорости и известно ускорение, то формула пути имеет вид

$S = frac{a cdot t^{2}}{2}$

где $a$ – ускорение тела.

Объединив два условия, получим общую формулу нахождения пути при равноускоренном движении с произвольной начальной скоростью:

$S = frac{a cdot t^2}{2} + v_0 cdot Delta t$.

Если движение не равномерное и известна средняя скорость движения, то путь можно выразить и другим способом:

$S = v_{ср.} cdot Delta t$,

где $v_{ср.}$ – средняя скорость движения.

На практике движение бывает равномерным или равноускоренным лишь на небольших фрагментах пути, поэтому для вычисления его длины траекторию разбивают на участки, где тело движется по простым закономерностям, вычисляют длину каждого из них и суммируют. Если известна траектория, то ее разбивают на фрагменты, каждый из которых имеет простую геометрическую форму. Сложив их длины, можно найти путь.

Пример 1

Найти путь, пройденный при движении с ускорением 2 $м/с^2$ в течение 20 с, если скорость на момент начала измерения была равна 10 м/с.

Подставим в формулу численные значения:

$S = frac{a cdot t^2}{2} + v_0 cdot Delta t$

$S = frac{2 cdot 20^2}{2} + 10 cdot 20 = 600 м$.

Ответ: длина пути составила 600 метров.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Расчёт
пути и времени движения

«Движение
– это жизнь»

Аристотель

В
данной теме будем применять приобретённые знания о механическом движении на
практике. Прежде чем начать решать задачи, вспомним, необходимые определения. Путь
– это физическая величина, равная длине траектории, по которой двигалось тело,
в течение данного промежутка времени.
Путь является скалярной величиной,
то есть, не имеет направления.
Скорость при равномерном движении – это
величина, равная отношению пройденного пути к промежутку времени, за который
этот путь пройден.

                                                              

Скорость
является векторной величиной, то есть, характеризуется как числовым значением,
так и направлением.

Средняя
скорость при неравномерном движении – это величина, равная отношению всего
пройденного пути к общему времени в пути.

                                                  

Задача
1
.
Какой путь пройдет автомобиль, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч за 20 минут?

В
первую очередь, необходимо научиться правильно оформлять задачи по физике.
При решении любой задачи нужно писать «дано». То есть, в левой части
листа необходимо записать слово «дано», после которого ставится двоеточие, а
дальше в столбик перечисляете все исходные данные, которые указаны в условии
задачи. В нашем случае – это скорость и время в пути. После этого, нужно
очеркнуть данные и ниже (уже под линией) записать, что необходимо найти.
В задаче спрашивается, какой путь пройдет автомобиль. Дальше приступаем
непосредственно к решению задачи.

А
теперь обратите внимание вот на что: скорость в условии задачи дана в км/ч, то есть,
сколько километров автомобиль проходит за час. А время в условии дано в
минутах. Поэтому, прежде чем делать вычисления, необходимо перевести минут в
часы.

В
общем и целом, этот способ правильный. Но, чтобы не запутаться с единицами
измерения, можно (и даже нужно) переводить данные в систему СИ сразу после
того, как записано «дано»
. Напомним, что для перевода км/ч в м/с или м/с в
км/ч необходимо

                                                      1 м/с = 3,6 км/ч

                                                    1 км/ч = 1/3,6 м/с

Время
в системе СИ измеряется в секундах. В одной минуте шестьдесят секунд, поэтому,
чтобы перевести минуты в секунды, нужно минуты умножить на 60. После того, как
перевели все данные в систему СИ, необходимо очеркнуть и эту колонку, а правее
пишитсяе само решение. Решение и ответ будут одинаковыми. Однако рекомендуется
переводить данные в систему СИ.

Задача
2
.
Мотоциклист проехал 5 км вдвое быстрее, чем следующие 7 км. Найдите его среднюю скорость, если общее время в пути составило 10 минут.

Получившееся
выражение, в котором остались, только те величины, которые были даны
изначально, называется расчетной формулой. Только в расчетную формулу необходимо
подставлять числовые значения, а до этого, все делается в буквенном виде.

Задача
3
.
Самолет взлетел, после чего пролетел 120 км на определенной высоте, а потом приземлился. Известно, что пути, пройденные в процессе взлета и посадки равны 120 км каждый. Во время взлета и посадки, скорость самолета была равна 200 м/с, а во время остального
пути – 250 м/с. Какое время самолет затратил на весь путь? Какова средняя
скорость?

Сразу
хочется обратить ваше внимание на распространенную ошибку. Среднюю
скорость нельзя находить как среднее арифметическое разных скоростей на разных
участках движения.
В этом можно убедиться с помощью простых расчетов:
если подсчитать среднюю скорость, как среднее арифметическое скоростей, то
получим 216,7 м/с. Этот результат неправильный. Теперь подсчитаем среднюю
скорость как отношение всего пройденного пути к общему времени в пути. В
результате получим 214,3 м/с. Получается вроде небольшая разница. В
результате неверных расчётов за каждую секунду, пройденное расстояние
увеличивается на 2,4 м/с. Поэтому, при неверном расчете за час пройденное
расстоянии будет больше на 8,6 км, а это существенно.

Задача
4
.
Средняя скорость движения велосипедиста равна 8 м/с. Известно, что первую часть
своего пути велосипедист проехал за 3 минуты. За какое время велосипедист
проехал вторую часть, если общий путь составил 2 км?

Задача
5
.
Определите по графику скорость равномерного движения тела.

Здесь,
конечно, никаких данных, кроме самого графика нет, поэтому, «дано» писать не
нужно. В таких заданиях, в первую очередь нужно посмотреть на оси графика:
какие величины они обозначают и в каких единицах измеряются. Вертикальная ось –
обозначает пройденный путь в метрах, а горизонтальная ось – время в минутах.
Значит, это график зависимости пройденного пути от времени. При равномерном
движении скорость постоянна, значит, можно путь, пройденный за определенный
промежуток времени, разделить на это время и, таким образом, найти скорость.
Для наибольшей точности желательно найти точку, на графике, наиболее близкую к
пересечению клеточек. Когда нашли такую точку, смотрим на соответствующие
координаты, то есть, на значения пути и времени. Для этого из точки опускаем
перпендикуляры на обе оси. Теперь, когда получили значение координат, можно определить скорость.

Основные
выводы:

В
качестве итогов урока, рассмотрим общий алгоритм решения задач на движение.

Вычисление пройденного пути

Если
известен график зависимости проекции
скорости от времени, то можно найти
путь, пройденный точкой за время движения.
Выделим на графике (рис. 1.6) бесконечно
малый интервал времени
,
такой, чтобы проекцию скоростина этом интервале можно было считать
постоянной.

Рис.
1.6

–мгновенная
скорость.

Тогда
путь, пройденный точкой за время
,
равен

.

Путь,
пройденный точкой за время движения
,
равен сумме

,

или путь
равен интегралу от скорости по времени

.

Физический
смысл интеграла
– бесконечно большая
сумма бесконечно малых слагаемых.

Геометрический
смысл интеграла
– площадь под кривой,
ограниченная двумя перпендикулярами
и осью абсцисс.

1.5. Ускорение

В
случае неравномерного движения для
описания изменения скорости с течением
времени вводят физическую величину –
ускорение.

Ускорение
характеризует быстроту изменения
скорости по величине и направлению.

Рассмотрим
общий случай, когда скорость меняется
по величине и направлению.

Пусть
материальная точка в положении Аимела скорость(рис. 1.7). Через промежуток
времениточка перешла в положениеВ, где ее
скорость оказалась равной:

или
.

Рис. 1.7

Средним
ускорением
в интервале от
доназывается векторная величина, равная
отношению вектора изменения скоростик интервалу времени:

. (1.15)

Мгновенным
ускорением
называется величина

. (1.16)

Таким
образом, ускорение
есть векторная величина, равная первой
производной скорости по времени.

Ускорениематериальной точки – это первая
производная от вектора скорости по
времени или вторая производная от
радиус-вектора по времени.

(1.17)

где
– проекции вектора ускорения на
координатные оси.

(1.18)

1.6. Понятие о кривизне траектории

Если
материальная точка движется по
криволинейной траектории, то отличие
этой траектории от прямолинейной
траектории характеризуется радиусом
кривизны или кривизной траектории.

Рис. 1.8

Δφ– угол между касательными в точках,
отстоящих друг от друга на расстоянии
ΔS.

Кривизна
траектории

(1.19)

Кривизна
траектории
характеризует скорость
поворота касательной при движении или
степень искривленности кривой.

Радиус
кривизны траектории в данной точке есть
величина обратная кривизне:

(1.20)

Радиус
кривизны траектории в данной точке –
это радиус окружности, которая сливается
на бесконечно малом участке в данном
месте с кривой (рис. 1.8).

1.7. Нормальное и тангенциальное ускорение при криволинейном движении

Пусть
материальная точка движется по
криволинейной траектории. Рассмотрим
общий случай, когда скорость движения
меняется по величине и направлению.

Пусть
материальная точка в положении А
имела скорость
(рис. 1.9).Через промежуток времениточка перешла в положениеВ, где ее
скорость оказалась равной.

П

Рис. 1.9

еренесем векторпараллельно самому себе в точкуА(вектор)
и найдемравный.

Так
как в общем случае скорость может
меняться по величине и направлению,
то удобно разложить ускорение на две
составляющие. Для этого разложим на две
составляющие вектор
.

Из
точки Апо направлению скорости
отложим вектор,
по модулю равный вектору.
Очевидно, что вектор,
равный,
характеризует изменение скорости по
величине. Векторхарактеризует изменение скорости по
направлению

. (1.19)

Полное
ускорение

(1.21)

Составляющая
ускорение
называетсятангенциальным ускорением.Оно характеризует быстроту изменения
скорости по величине.
Его численное
значение равно первой производной по
времени от модуля скорости:

. (1.22)

Определим
направление вектора
.
Принаправление векторастремится к направлению векторав точкеА траектории. Значит, векторнаправлен по касательной к траектории
(рис. 1.10).

Рис.
1.10

;

;
(1.23)

↑↑;

↑↑.

Составляющая
ускорения
называетсянормальным ускорением.Оно характеризует быстроту изменения
скорости по направлению.
Нормальное
ускорение направлено по радиусу к центру
кривизны траектории.

Найдем
выражение для
.
Восстановим в точкахАиВперпендикуляры к касательным. Они
пересекутся в точкеО. ПридугуАВ можно рассматривать как
дугу окружности радиусаR.
Из подобия треугольниковCAEиAOB

; (1.24)

. (1.25)

Итак,
нормальное ускорение

, (1.26)

где
R
– радиус кривизны траектории.

Радиус
кривизны
представляет собой радиус
окружности, которая сливается в данном
месте с кривой на бесконечно малом ее
участке. Если траектория – окружность,
тоR– радиус этой
окружности.

Определим
направление вектора
.
При,
уголив пределе перпендикулярен,
следовательно,.
Полное ускорение равно по модулю:


Рис.
1.11

. (1.27)

Пусть
и– векторы единичной длины, один направлен
вдоль скорости, а другой – перпендикулярно
ему (рис. 1.11), при этом

.

Тогда
в векторном виде

;
;. (1.28)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Добавить комментарий