Как найти величину треугольника геометрии 7 класс - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

Остроугольный треугольник

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

— все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

если α > β , тогда a > b
если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c · cos α
b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c · cos β
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 2 3 2 m b 2 + m c 2 – m a 2

b = 2 3 2 m a 2 + m c 2 – m b 2

c = 2 3 2 m a 2 + m b 2 – m c 2

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AO OD = BO OE = CO OF = 2 1

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m a = 1 2 2 b 2 + 2 c 2 – a 2

m b = 1 2 2 a 2 + 2 c 2 – b 2

m c = 1 2 2 a 2 + 2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, – центре вписанной окружности.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
AE AB = EC BC

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°

Угол между l c и l c ‘ = 90°

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны

l a = 2 b c p p – a b + c

l b = 2 a c p p – b a + c

l c = 2 a b p p – c a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

l a = 2 b c cos α 2 b + c

l b = 2 a c cos β 2 a + c

l c = 2 a b cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

h a : h b : h c = 1 a : 1 b : 1 c = BC : AC : AB

1 h a : 1 h b : 1 h c = 1 r

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол

h a = b sin γ = c sin β

h b = c sin α = a sin γ

h c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность описанная вокруг треугольника

Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

d 2 = R 2 – 2 R r

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Любой треугольник имеет три средних линии.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
MN = 1 2 AC ; KN = 1 2 AB ; KM = 1 2 BC

MN || AC ; KN || AB ; KM || BC

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
S ∆MBN = 1 4 S ∆ABC ; S ∆MAK = 1 4 S ∆ABC ; S ∆NCK = 1 4 S ∆ABC

При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
∆MBN

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

S = 1 2 a · h a ,
S = 1 2 b · h b ,
S = 1 2 c · h c ,

где a, b, c — стороны треугольника,
h_a, h_b, h_c — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p – a p – b p – c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,
S = 1 2 b · c · sin α ,
S = 1 2 a · c · sin β ,

где a, b, c — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b ,
α — угол между сторонами b и c ,
β — угол между сторонами a и c .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Равенство треугольников

Определение

Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

∆MNK => α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S ∆АВС S ∆MNK = k 2

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Свойства прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

Докажем, что BC=2AC.
Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Три стороны треугольника.
Две стороны треугольника и угол между ними.
Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

http://matworld.ru/geometry/reshenie-treugolnikov.php

[/spoiler]

Источник

Геометрия

7 класс

Урок №9

Треугольник

Перечень рассматриваемых вопросов:

Геометрическая фигура – треугольник, его элементы.
Классификация треугольников по сторонам и углам.
Периметр треугольника.
Теорема о внешнем угле треугольника.

Тезаурус:

Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, которые соединены между собой отрезками.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Стороны треугольника– отрезки, соединяющие вершины треугольника.

Равные треугольники –треугольники, которые можно совместить наложением.

Список литературы

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б.Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т.М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т.М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы.// Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже познакомились с основными геометрическими фигурами:

прямая;
точка;
отрезок.

Рассмотрим геометрическую фигуру, которая также является одной из основополагающих– треугольник.

Точки, с которых начиналось построение, называются вершинами треугольника.

Отрезки, соединяющие вершины треугольника, называются сторонами треугольника.

А, В, С – вершины треугольника АВС.

АВ, ВС, СА – стороны треугольника АВС.

∠А,∠В,∠С – углы треугольника АВС.

Обозначение:

∆АВС

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Р = АВ + ВС + СА.

Рассмотрим виды треугольников.

Их можно разделить по виду и соотношению углов, а также по соотношению сторон.

По углам треугольник может быть:

– остроугольным, если все его углы являются острыми, (т.е. меньше 90°).

– тупоугольным, если один из его углов тупой(т.е. больше 90°).

– прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).

По сторонам треугольник бывает:

– разносторонний, если все его стороны имеют различную длину;

– равнобедренный, если две его стороны равны между собой;

– равносторонний,если у него все три стороны равны между собой.

Напомним, что две фигуры, в том числе и треугольник, можно сравнить. ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁

∠А =∠А₁

∠В =∠В₁

∠С =∠С₁

АВ = А₁В₁

АС = А₁С₁

ВС = В₁С₁

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. При этом попарно совмещаются вершины, углы и стороны треугольников.

Следует помнить, что если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам (сторонам и углам) другого треугольника.

Свойство равных треугольников.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Обратное утверждение тоже верно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

∆АВС=∆А₁В₁С₁

АС=А₁С₁<=>∠В =∠В₁

Равенство треугольников также можно установить, не производя наложения фигур друг на друга, а сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур. Это станет возможным при изучении признаков равенства треугольников.

Внешний угол треугольника.

Введём определение внешнего угла треугольника.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

У каждого угла треугольника есть два угла, смежных с ним, т.е. у треугольника шесть внешних углов.

Отметим, что при одной вершине внешние углы равны, как вертикальные.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Найдите градусную меру внешнего ∠В, треугольника АВС, если ∠АВС = 60°.

Решение:

По рисунку видно, что угол В внешний угол треугольника и он является смежным к углу АВС, следовательно, их сумма равна 180°.

∠В = 180° – ∠АВС = 180° – 60° = 120°

Ответ: ∠В = 120°.

Задача 2.

Периметр ∆АВС равен 58 см, сторона АВ = 20 см, сторона ВС >АС на 5 см. Найдите стороны ВС и АС.

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой периметра треугольника Р_∆АВС = АВ + ВС + АС. Обозначим сторону АС за х, тогда сторона ВС равна х + 5, составим уравнение.

1. х + х + 5 + 20 = 58,

2. 2х + 25 = 58,

3. 2х = 58 – 25,

4. 2х = 33,

5. х = 16,5 см – сторона АС.

6. 16,5 + 5 = 21,5 см – сторона ВС.

Ответ: 16,5 см, 21,5 см.

Источник

Как найти величину угла треугольника

Плоский треугольник в евклидовой геометрии составляют три угла, образованные его сторонами. Величины этих углов можно рассчитать несколькими способами. В силу того, что треугольник – одна из простейших фигур, существуют несложные формулы расчета, которые еще более упрощаются, если их применять к правильным и симметричным многоугольникам этого рода.

Инструкция

Если известны величины двух углов произвольного треугольника (β и γ), то величину третьего (α) можно определить исходя из теоремы о сумме углов в треугольнике. Она гласит, что эта сумма в евклидовой геометрии всегда равна 180°. То есть для нахождения единственного неизвестного угла в вершинах треугольника отнимайте от 180° величины двух известных углов: α=180°-β-γ.

Если речь идет о прямоугольном треугольнике, то для нахождения величины неизвестного острого угла (α) достаточно знать величину другого острого угла (β). Так как в таком треугольнике угол, лежащий напротив гипотенузы, всегда равен 90°, то для нахождения величины неизвестного угла отнимайте от 90° величину известного угла: α=90°-β.

В равнобедренном треугольнике тоже достаточно знать величину одного из углов, чтобы вычислить два других. Если известен угол (γ) между сторонами равной длины, то для вычисления обоих остальных углов найдите половину от разницы между 180° и величиной известного угла – эти углы в равнобедренном треугольнике будут равны: α=β=(180°-γ)/2. Из этого вытекает, что если известна величина одного из равных углов, то угол между равными сторонами можно определить как разницу между 180° и удвоенной величиной известного угла: γ=180°-2*α.

Если известны длины трех сторон (A, B, C) в произвольном треугольнике, то величину угла можно найти по теореме косинусов. Например, косинус угла (β), лежащего напротив стороны B, можно выразить как сумму возведенных в квадрат длин сторон A и C, уменьшенную на возведенную в квадрат длину стороны B и поделенную на удвоенное произведение длин сторон A и C: cos(β)=(A²+C²-B²)/(2*A*C). А чтобы найти величину угла, зная чему равен его косинус, надо найти его арк-функцию, то есть арккосинус. Значит β=arccos((A²+C²-B²)/(2*A*C)). Аналогичным способом можно найти величины углов, лежащих напротив остальных сторон в этом треугольнике.

Источники:

величины углов

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Определение. Треугольник – фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

Остроугольный треугольник – все углы треугольника острые.
Тупоугольный треугольник – один из углов треугольника тупой (больше 90°).
Прямоугольный треугольник – один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник – все три стороны не равны.
Равнобедренный треугольник – две стороны равны.
Равносторонним треугольник или правильный треугольник – все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

a² = b² + c² – 2bc·cos α

b² = a² + c² – 2ac·cos β

c² = a² + b² – 2ab·cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 23√2(m_b² + m_c²) – m_a²

b = 23√2(m_a² + m_c²) – m_b²

c = 23√2(m_a² + m_b²) – m_c²

Медианы треугольника

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

S_∆ABD = S_∆ACD

S_∆BEA = S_∆BEC

S_∆CBF = S_∆CAF
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 12√2b²+2c²–a²

m_b = 12√2a²+2c²–b²

m_c = 12√2a²+2b²–c²

Биссектрисы треугольника

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, – центре вписанной окружности.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Угол между l_c и l_c‘ = 90°
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√bcp(p – a)b + c

l_b = 2√acp(p – b)a + c

l_c = 2√abp(p – c)a + b

где p = a + b + c2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2bc cos α2b + c

l_b = 2ac cos β2a + c

l_c = 2ab cos γ2a + b

Высоты треугольника

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

внутри треугольника – для остроугольного треугольника;
совпадать с его стороной – для катета прямоугольного треугольника;
проходить вне треугольника – для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

h_a:h_b:h_c =

= (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

h_a = 2Sa

h_b = 2Sb

h_c = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

h_a = bc2R

h_b = ac2R

h_c = ab2R

Окружность вписанная в треугольник

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

r = Sp

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

1r = 1h_a + 1h_b + 1h_c

Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:

R = abc4S

Радиус описанной окружности через площадь и три угла:

R = S2 sin α sin β sin γ

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

d² = R² – 2Rr

= 4 sin

α2

sin

β2

sin

γ2

= cos α + cos β + cos γ – 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC KN = 12AB KM = 12BC

MN || AC KN || AB KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

S_∆MBN = 14 S_∆ABC

S_∆MAK = 14 S_∆ABC

S_∆NCK = 14 S_∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок – средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон

P = a + b + c

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

S =

12

a · h_a
S =

12

b · h_b
S =

12

c · h_c
Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √p(p – a)(p – b)(p – c)

где p =

a + b + c2

– полупериметр треугльника.
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S =

12

a · b · sin γ
S =

12

b · c · sin α
S =

12

a · c · sin β
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Определение. Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их
соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Теорема 1.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Определение. Подобные треугольники – треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α₁, β = β₁, γ = γ₁ и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S_∆АВСS_∆MNK = k²

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Треугольники
Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки. Указанные точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами.

Пример: Отметим точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой.

Соединим данные точки отрезками

Получившаяся фигура называется треугольником, обозначается ABC (читается: “треугольник ABC“). Данный треугольник также можно обозначить BCA, CBA и т.д.

Вершины треугольника: A, B, C.

Углы треугольника: BAC, CBA, ACB (или их можно обозначать одной буквой A, B, C – соответственно)

Стороны треугольника: AB, BC, CA.

Периметр треугольника

Периметр треугольника – это сумма длин трех его сторон.

В нашем примере: .

Если AB = 14 см, BC = 13 см, CA = 23 см, тогда периметр будет равен: .

Советуем посмотреть:

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 297,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 360,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 604,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 692,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 769,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 850,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 863,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1022,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1079,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник