Как найти величину угла в радианах

Углы в математике (а также в тригонометрии и физике) высчитываются и измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать и определять связь между этими единицами измерения, и переводить их из одной в другую. Понимание и определение этой связи позволяет оперировать углами и перевести градусы в радианы, а также осуществить перевод из радиан в градусы с помощью специальной тригонометрической формулы – формулы перевода градусов в радианы. В данной статье мы разберемся, зачем все это нужно конвертировать (и что делать с конвертируемым), выведем формулу для перевода градусов в радианы и обратно – из радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики по конвертации.

Связь между градусами и радианами

Что такое радиан? Радиан вместе с градусом является выражением угловой меры: это величина, которая используется для измерения плоских углов. Поэтому, когда говорят о таблице градусов и радиан, то имеют в виду таблицу, в которой представлены соответствия угловых градусов радианам (что позволяет вам не находить и не считать самостоятельно на калькуляторе, к примеру).

Как перевести радианы в градусы — есть формула? Для нахождения связи между градусами и радианами, необходимо узнать, сколько будет градусная и ридианная (радиальная) мера какого-либо угла (и для этого нам не нужно пользоваться каким-либо переводчиком онлайн). Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла, необходимо рассчитать определенные данные: длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π·r. Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π·rr=π рад.

Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180°. Следовательно, 180°=π рад. 

Формулы перевода из градусов в радианы и наоборот

Как перевести градусы в радианы не более, чем за минуту? Что делать с координатами в градусах, если нужны в радианах? Из содержания формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и обратно из градусов в радианы (взаимно преобразовывать и пересчитывать).

Как онлайн найти градусную меру угла и сделать пересчет? Выразим 1 радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

1 рад=180π° – град. мера угла в 1 радиан равна 180π.

Также можно выразить один градус в радианах. Чему равен 1 радиан и во что он будет переходить? Вот простой расчет.

1°=π180рад

Можно произвести приблизительные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы. 

1 рад=180π°=1803,1416°=57,2956°

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

1°=π180рад=3,1416180рад=0,0175 рад

Один градус содержит 0,0175 радиана.

По какой формуле перевести радианы в градусы?

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Рассмотрим пример, как перевести градусы в радианы по формуле.

Конечно, в интернете это все может считаться за секунду, но у самостоятельного подсчета другие преимущества.

Аналогично можно получить формулу перевода в радианы из градусов.

y°=y·π180рад

Угол может измеряться следующими величинами:

1. Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
2. Радианами.

Градусная мера угла

Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.

Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.

Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.

Радианная мера угла

Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.

Длина окружности равна:

l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r,

где rr — радиус этой окружности.

Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:

lr=2⋅π⋅rr=2⋅π радианfrac{l}{r}=frac{2cdotpicdot r}{r}=2cdotpitext{ радиан}

В градусах этот же угол равен, как известно, 360∘360^{circ}.

Отсюда находим связь между радианами и градусами:

2⋅π радиан=360∘2cdotpitext{ радиан}=360^{circ}

Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.

Один радиан равен:

1 радиан=360∘2⋅π≈57.3∘1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}approx57.3^{circ}

Один радиан в минутах:

1 радиан=360∘2⋅π⋅60≈3438′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60approx3438′

Один радиан в секундах:

1 радиан=360∘2⋅π⋅60⋅60≈206280′′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60cdot60approx206280”

Перевод градусов в радианы

Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на πpi и разделить на 180.

Перевод градусов в радианы

y радиан=π180⋅xytext{ радиан}=frac{pi}{180}cdot x

xx — значение угла в градусах;
yy — значение того же угла в радианах.

Пример 1

Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.

Решение

45∘=π180⋅45 радиан≈0.8 радиан45^{circ}=frac{pi}{180}cdot 45text{ радиан}approx0.8text{ радиан}

Ответ

0.8 радиан0.8text{ радиан}

Задача

Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?

Решение

Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет 360∘360^circ. Половина от полного оборота это 180∘180^{circ}. Нам же нужна треть этого угла, то есть:

180∘3=60∘frac{180^circ}{3}=60^circ

Земля отклонилась на угол 60∘60^circ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:

60∘=π180⋅60 радиан≈1 радиан60^circ=frac{pi}{180}cdot 60text{ радиан}approx1text{ радиан}

Решение

1 радиан1text{ радиан}

Перевод радиан в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на πpi.

Перевод радиан в градусы

y∘=180π⋅xy^{circ}=frac{180}{pi}cdot x

xx — значение угла в радианах;
yy — значение того же угла в градусах.

Пример 2

Переведите 3 радиана в градусную меру угла.

Решение

3 радиана=180π⋅3≈172∘3text{ радиана}=frac{180}{pi}cdot3approx172^circ

Ответ

172∘172^circ

Ищете, где можно заказать задачу по математике недорого? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!

Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»

Перевод градусов в радианы и обратно

Чтобы перевести градусы в радианы и обратно, воспользуйтесь нашим удобным онлайн конвертером:

Перевод градусов в радианы

Просто введите значение угла в градусах и получите результат в радианах с подробным решением.

Перевод радиан в градусы

Просто введите значение угла в радианах и получите результат в градусах с подробным решением.

Теория

Градусы в радианы

Радианы в градусы

Radians to degrees is a type of transformation used in geometry to convert angle measurements. There are two alternative methods for measuring an angle. Radians and degrees are the two units used to measure angles. Radian is the most commonly used unit in trigonometry. Various types of angles are measured in radians and then converted to degrees using a formula. This formula is discussed below.

Radians to Degrees Conversion

Two separate ways are used to measure angles. A right angle is split into 90 equal portions, which are referred to as degrees, in the Sexagesimal System. Each degree is split into 60 equal parts called minutes, which are divided further into 60 equal parts called seconds. Degree to Radian conversion can also be learned here.

• 60” = 1 minute (1’)
• 90° = 1 right angle

Radians

Angle subtended to center of a circle by radius after a complete rotation is called 2π radians. The angle in radians made by radius at the center of the circle is the ratio of length of an arc to length of a radius. If the length of the arc is equal to the length of the radius, the angle subtended at the center is called 1 radian. The unit of a radian is rad. Radian is the SI unit for measuring angles.

Degrees

Angles can also be measured in degrees. One revolution divides the circle into 360 equal parts and each part is equal to a degree. Thus, angle subtended at the center of a circle after one complete rotation is 360°. Symbol used to denote degrees is ‘°’. Degrees is not an SI unit for measuring an angle, but it is the most commonly used unit to measure an angle.

By comparing the measures of an angle for a complete rotation

• 360 Degrees = 2π Radians
• 180 Degrees = π Radians

How to Convert Degrees to Radians?

Value of 180° is equal to π radians. For converting the given angle from degrees to radians, we multiply the value of the angle in degrees by a factor of π/180.

Where the value of π = 22/7 or 3.14

Steps shown below are used for the conversion of angle in degrees to radians.

Step 1: Mark the value of the given angle in degrees

Step 2: Multiply the value obtained from the above step by π/180

Step 3: Solve the expression and rationalize the answer

Step 4: The result obtained is the measure of the angle in radian

Example: Convert 60 degrees to radians.

Solution: 

Given angle is 60 degrees

Angle in radian = Angle in degree x (π/180)

                           = 60 x (π/180)

                           = π/3

Hence, 60 degrees is equal to π/3 in radian.

Radians to Degrees Formula

Radians to Degrees formula converts the value of angle in radians to degrees. To convert the angle in radians to degrees we multiply the value in radians by 180°/π. Angles are used in two units: degrees and radians, 1 degree is expressed as 1° whereas 1 radian is expressed 1^c or 1 i.e. no unit is also used to express angle in radian. The formula for changing the angle in radians to degrees is:

Angle in Radians × 180°/π = Angle in Degrees

2π radians = 360°

π radians = 180°

1 radian = 180/π degrees = 57.296 degrees

Radians to Degrees Conversion Table

The table is given below shows the values angle in radian and their respective value in degree.

Angle in radian	Angle in degree
0	0°
π/6	30°
π/4	45°
π/3	60°
π/2	90°
π	180º
(3π)/2	270º
2π	360º

Solved Examples on Radians to Degrees

Example 1: Convert 9π/5 radians to degrees.

Solution:

Since, π radians = 180° or 1 radian = 1c = (180/π)°

Hence, (9π/5)^c = (9π/5 × 180/π)° = 324°

Thus, (9π/5)^c = 324^o

Example 2: Convert −5π/6 radians into degrees.

Solution:

We know that π radians = 180° or 1 radian = 1c = (180/π)°

Hence, (−5π/6)^c = (−5π/6 × 180/π)° = −150°

Thus, (9π/5)^c = −150°

Example 3: Convert 18π/5 into degrees.

Solution:

We know that π radians = 180° or 1 radian = 1c = (180/π)°

Hence, (18π/5)^c = (18π/5 × 180/π)° = 648°

Thus, (18π/5)^c = 648°

Example 4: Convert −3 radians into degrees.

Solution:

We know that π radians = 180° or 1 radian = 1c = (180/π)°

Hence, (−3)^c = (−3 × 180/π)° = (180 × 7 × −3/22)° = (−1719/11) = −171°(9 × 60/11)’ = −171°49’5”

Thus, (−3)^c = −171^o49’5”

Example 5: Convert 11 radians into degrees.

Solution:

We know that π radians = 180° or 1 radian = 1^c = (180/π)°

Hence, (11)^c = (11 × 180/π)° = (11 × 180 × 7/22) = 630°

Thus, (11)^c = 630°

Example 6: Convert 1 radian to degrees.

Solution:

We know that π radians = 180° or 1 radian = 1^c = (180/π)°

Hence, (1)^c = (1 × 180/π)° = (180 × 7/22) = 57°(3 × 60/11) = 57°16′(4 × 60/11)” = 57°16’21”

Thus, (1)^c = 57^o16’21”

FAQs on Radians to Degrees

Question 1: What is the Difference between Radians and Degrees?

Answer:

Radians and Degrees both are units used to measure angles. Radian is the SI unit for measurement of angle, whereas degree is the general unit used to measure angles. The relationship between them is π rad = 180°

Question 2: What is the Radian of 1 Degree?

Answer:

A complete revolution of a circle is equal to 2π radians that is equivalent to 360°, i.e. 2π rad = 360°
1° = 2π/360 rad
Thus, 1 degree is equal to π/180 radians.

Question 3: What is the value of 1 radian in degrees?

Answer:

We know that π radians are equal to 180 degrees. So, 1 radian = 57^o16’21”

Question 4: Is π radians equal to 180 degrees?

Answer:

Yes, we know that 2π radians are equal to 360 degrees. Thus, π radians equal 180 degrees.

Question 5: Why are 360 degrees equal to 2π?

Answer:

The Right angle is equal to π/2 radians. One complete revolution is considered as the length of an entire circumference of a circle divided by its radius, or 2πr / r. Thus 2π radians equals to 360 degrees,

Related Article

• Types of angles
• Pair of Angles

Градусы в радианы

Краткое описание

Угол — это два луча, выходящие из одной точки. Эта точка называется вершиной. Взяв за единицу измерения некий конкретный угол, можно определить величину любого угла, выяснив, сколько раз в нем укладывается такой единичный угол. При измерении угла исходят из двух его свойств:

1. Величины равных углов равны.
2. Величина суммы двух углов равна сумме их величин.

Если ясно, о чем идет речь, вместо «величина угла» говорят просто «угол».

Равные углы с вершиной в центре окружности будут создавать на ней дуги одинаковой длины. Их сумма будет равняться сумме стягиваемых ими дуг. Поэтому единицы измерения углов можно задавать, указывая, какую часть окружности составляет соответствующая дуга.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В чем можно измерять угол

Наиболее распространены две единицы измерения:

• градус, равный дуге в 1/360 всей окружности;
• радиан — центральный угол, высекающий дугу, равную радиусу окружности.

Существуют еще такие единицы измерения, как град, равный 1/100 прямого угла, оборот, равный полному кругу, тысячная — (frac1{2mathrmpi;times;1000}) и румб — 1/32 полной окружности.

Связь между градусами и радианами

Мера угла

На практике чаще всего используют градусы. Их обозначают знаком (^circ;).

1/60 градуса — минута, обозначаемая знаком ‘. Секунду обозначают знаком ”, она составляет 1/3600 доли.

Математики и астрономы предпочитают пользоваться радианом, безразмерной величиной. Это удобнее при рассмотрении тригонометрических функций. Обозначение «рад» при этом обычно опускают. Радиан равен примерно (57^circ17’45”).

Формула соотношения

Длина дуги, высекаемой углом в a радиан на окружности радиуса R, вычисляется умножением a на R, а для единичной окружности длина дуги и величина угла совпадают.

Так как радиус равен единице, длина единичной окружности будет равна (2mathrmpi).

Таким образом, связь радиан и градусов можно выразить формулой

(1;mathrm{радиан};=;frac1{left(2mathrmpiright)};mathrm{оборотов};=;frac{180}{mathrmpi};mathrm{градусов};=;frac{200}{mathrmpi};mathrm{градов})

Формулы перевода

Градусы в радианы

Осуществить переход от градусов к радианам можно по формуле

(mathrm х^circ;=;frac{pi;times;а;рад}{180^circ})

Радианы в градусы

(а;рад;=;х^circ;times;(;frac{mathrmpi}{180^circ}))

Таблица перевода градусов в радианы

Соотношение двух систем измерения на окружности можно наглядно увидеть на схеме:

Но на практике, чтобы преобразовать одну величину измерения в другую, удобнее пользоваться таблицей:

Примеры расчета градусов и минут в радианы

Пример 1

Перевести 35 градусов в радианы.

Решение

Согласно формуле, нам нужно 35 умножить на число пи и разделить на 180.

(х;рад;=;35^circ;times;(;frac{mathrmpi}{180^circ});approx;35^circ;times;(;frac{3,1416}{180^circ});approx;0,6108\35^circ;=;0,6108;рад)

Чтобы выполнить перевод минут и секунд, нужно сначала перевести их в градусы.

Пример 2

Перевести в радианы угол (87^circ14’21”).

Решение

(1^circ;=;60′;=;3600”)

(87^circ+;frac{14′}{60};+;frac{21”}{3600};=;87^circ;+;0,2333^circ;+;;0,0058^circ;=;87,239^circ)

Воспользуемся формулой, подставив найденное значение:

(х;рад;=;87,239^circ;times;(;frac{mathrmpi}{180^circ});approx;87,239^circ;times;(;frac{3,1416}{180^circ});approx;1,5226\87,239^circ;=1,5226;рад)

Пример 3

Перевести в радианы угол (194^circ19′).

Решение

(1^circ;=;60′;=;3600”)

(194^circ+;frac{19′}{60};=;194^circ;+;0,3166^circ;=;194,3166^circ)

(х;рад;=;194,3166^circ;times;(;frac{mathrmpi}{180^circ});approx;194,3166^circ;times;(;frac{3,1416}{180^circ});approx;3,3915\194,3166^circ;=3,3915;рад)