Как найти величину угла вписанного многоугольника

Углы многоугольника

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n – 2):

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

• Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

• Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

• Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

• Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

• Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

• Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Правильный многоугольник

Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

a 1 = a 2 = a 3 = … = a n-1 = a n ,

α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n

где a₁ … a_n — длины сторон правильного многоугольника,
α ₁ … α _n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны: a 1 = a 2 = a 3 = … = a n-1 = a n
2. Все углы равны: α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n
3. Центр вписанной окружности O_в совпадает с центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольникаO.
4. Сумма всех углов n-угольника равна: 180° · n – 2
5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β 1 + β 2 + β 3 + … + β n-1 + β n = 360°
6. Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: D n = n · n – 3 2
7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π 4 · a 2
8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O .

Формулы правильного n-угольника

Формулы длины стороны правильного n-угольника

Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

a = 2 · r · tg 180° n (через градусы),

a = 2 · r · tg π n (через радианы)

Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

a = 2 · R · sin 180° n (через градусы),

a = 2 · R · sin π n (через радианы)

Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

r = a : 2 · tg 180° n (через градусы),

r = a : 2 · tg π n (через радианы)

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

R = a : 2 · sin 180° n (через градусы),

R = a : 2 · sin π n (через радианы)

Формулы площади правильного n-угольника

Формула площади n-угольника через длину стороны

Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

Формула периметра правильного многоугольника

Формула периметра правильного n-угольника

Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

Формула угла между сторонами правильного n-угольника

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

Формулы правильного треугольника

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

Формула площади правильного треугольника через длину стороны

Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

Углы между сторонами правильного треугольника

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат.

Формулы правильного четырехугольника

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

Углы между сторонами правильного четырехугольника

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

Формулы правильного шестиугольник

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Углы между сторонами правильного шестиугольника

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly

http://urokmatematiki.ru/reference-information/formuly-po-geometrii/pravilny-mnogougolnik.php

[/spoiler]

План урока:

Понятие правильного многоугольника

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Формулы для правильного многоугольника

Построение правильных многоугольников

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу 

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Ответ: не может.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Ответ: не могут.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой a_n, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a₄– это сторона квадрата, a₆– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

Теперь можно найти и ∠А₁ОН₁, рассмотрев ∆А₁ОН₁:

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Решение.

Найдем периметр шестиугольника:

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

AC = 17 мм

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Ответ: 20 мм.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

a₆ = R

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

Skip to content

Правильные вписанные и описанные многоугольники

Правильный многоугольник. Правильным называется такой многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Правильный треугольник есть равносторонний треугольник, каждый угол которого равен (2/3)d или 60°.

Правильный четырехугольник есть квадрат, каждый угол которого равен прямому углу или 90°.

Правильный многоугольник, имеющий n сторон, есть многоугольник, каждый угол которого равен .

Таким образом, полагая n = 3, 4, 5, 6, мы имеем для каждого угла величину (2/3)d, d, (6/5)d, (4/3)d и т. д.

Угол правильного пятиугольника равен (6/5)d = 108°, угол правильного шестиугольника равен (4/3)d = 120° и т. д.

Одноименные многоугольники. Все многоугольники, имеющие одинаковое число углов, называются одноименными многоугольниками.

Все правильные одноименные многоугольники имеют одинаковые углы и различаются только величиной сторон.

Подобие правильных многоугольников. Одноименные правильные многоугольники подобны, ибо у них углы равны и стороны пропорциональны.

Из подобия их вытекает, что периметры одноименных правильных многоугольников относятся как стороны.

Теорема 117. Около правильного многоугольника всегда можно описать окружность.

Дан правильный многоугольник ABCDEF (черт. 192). Стороны его и углы равны между собой:

AB = BC = CD = DE = EF = AF и
A = B = C = D = E = F

Требуется доказать, что существует точка, равноотстоящая от всех его вершин.

Доказательство. Проведем через три точки A, B, C окружность. Для этого из середины линий AB и BC восставляем перпендикуляры до взаимного их пересечения в точке O. Точка O есть центр круга, проходящего через три точки A, B, C. Докажем, что эта окружность пройдет и через точки D, E, F. Для этого соединим точку O с вершинами многоугольника отрезками AO, BO, CO, DO, EO, FO.

1. Все эти отрезки разделяют углы многоугольника пополам.

Из равнобедренных треугольников AOB и BOC видно, что

∠α = ∠β, ∠γ = ∠δ

Так как ΔABO = ΔBCO, то

∠β = ∠γ = ½B,

т. е. угол B делится пополам.

Из равенств

∠δ = ½B = ½C

следует, что угол C тоже делится пополам.

Точно также легко доказать, что угол D тоже делится пополам.

Треугольники BOC и COD равны, ибо OC сторона общая, BC = CD как стороны правильного многоугольника, ∠δ = ∠ε, следовательно, ∠γ = ∠η.

Так как ∠γ = ½B = ½C = ½D, то и угол η = ½D, т. е. угол D делится тоже пополам.

Подобным образом легко доказать, что все углы многоугольника делятся пополам отрезками, соединяющими точку O с вершинами многоугольника.

2. Все отрезки OA, OB, OC, OD, OE, OF равны.

Действительно, по построению следует, что

OA = OB = OC

Из равенства треугольников BOC и COD следует, что

OC = OD

Из равенства треугольников COD и DOE следует, что

OD = OE и т. д.

Таким образом точка O находится на равном расстоянии от всех вершин многоугольника, т. е. окружность, описанная радиусом OA, пройдет через все вершины многоугольника, и точка O будет центром описанного многоугольника (ЧТД).

Теорема 118. Центр описанного круга будет также центром круга, вписанного в правильный многоугольник.

Доказательство. Из точки O центра описанного многоугольника (черт. 192) опустим перпендикуляры Oa, Ob, Oc, Od, Oe, Of на стороны многоугольника. Так как треугольники ABO, BCO равнобедренные и многоугольники правильные, то

Aa = aB = Bb = bC = Cc = cD = …

Два прямоугольных треугольника aBO и BbO равны, ибо BO сторона общая

aB = Bb

следовательно, Oa = Ob.

Точно также легко доказать, что Ob = Oc и т. д.

Следовательно, вообще Oa = Ob = Oc = Od = Oe = Of.

Если мы радиусом Oa опишем окружность, то она коснется сторон правильного многоугольника в точках a, b, c, … т. е. она будет вписана в многоугольник.

Точки a, b, c, … делят стороны многоугольника пополам.

Таким образом точка O, будучи центром описанного, есть в то же время и центр круга, вписанного в правильный многоугольник (ЧТД).

Апофема. Перпендикуляр, опущенный из центра на сторону правильного многоугольника, называется апофемой.

Теорема 119. Периметры одноименных правильных многоугольников относятся как радиусы описанных и вписанных кругов.

Даны два правильных одноименных многоугольника (черт. 193). Из центров O и O’ проведем радиусы кругов описанных и вписанных.

Требуется доказать, что

(AB + BC + CD + DE + EA) / (ab + bc + cd + de + ea) = OA/O’a = OG/O’g

Доказательство. Два треугольника GOB и gOb подобны, ибо они прямоугольны и ∠GBO = ∠gbO’, следовательно,

GB/gb = OB/O’b = GO/gO’

Так как GB = ½AB, gb = ½ab, то

AB/ab = OB/O’b = GO/gO’ (a)

Кроме того имеют место следующие равенства отношений:

AB/ab = BC/bc = CD/cd = DE/de = EA/ea

откуда по свойству пропорций имеем:

(AB + BC + CD + DE + EA) / (ab + bc + cd + de + ea) = AB/ab

Обозначим периметры этих многоугольников через P и p, имеем:

P/p = AB/ab (b)

Сравнивая пропорции (a) и (b), получаем равные отношения:

P/p = AB/ab = OB/O’b = GO/gO’ (ЧТД).

Теорема 120. Если углы описанного многоугольника равны, то и стороны равны, т. е. равноугольный описанный есть многоугольник правильный.

Дано. В описанном многоугольнике ABCDE углы равны (черт. 194):

A = B = C = D = E.

Требуется доказать, что AB = BC = CD = DE = EA.

Доказательство. Соединим вершины описанного многоугольника и точки прикосновения с центром круга O.

1. Два прямоугольных треугольника aBO и BbO равны, ибо у них BO сторона общая, aO = bO как радиусы, следовательно, ∠aOB = ∠Bob и ∠aBO = ∠bBO, т. е. отрезки, соединяющие вершины описанного многоугольника с центром, делят углы многоугольника пополам.

2. Треугольники AOB и BOC равны, ибо BO сторона общая, ∠ABO = ∠CBO по доказанному, ∠BAO = ∠BCO по условию, следовательно, AB = BC.

Таким образом можно доказать равенство остальных сторон описанного многоугольника, имеющего равные углы (ЧТД).

Теорема 121. По данному вписанному правильному многоугольнику можно описать правильный многоугольник того же числа сторон.

Дан правильный вписанный многоугольник (черт. 195) ABCDEF, следовательно, стороны и углы его равны.

AB = BC = CD = DE = EF = FA и
◡AB = ◡BC = ◡CD = ◡DE = ◡EF = ◡FA

Для построения правильного описанного многоугольника по данному вписанному применяют два способа.

Первый способ. Нужно центр правильного вписанного многоугольника соединить с вершинами и в вершинах провести к этим отрезкам перпендикуляры, которые, пересекаясь, образуют правильный описанный многоугольник.

Проведем радиусы AO, BO, CO, и т. д. и в вершинах A, B, C, D, E, F проведем перпендикуляры к этим радиусам до взаимного их пересечения в точках a, b, c, d, e, f. Образуется многоугольник abcdef.

Требуется доказать, что многоугольник abcdef будет правильным описанным многоугольником.

Доказательство. Многоугольник abcdef будет описанным многоугольником, потому что ab, bc, … будут касательными к окружности, так как они проведены перпендикулярно к радиусам из их концов.

2. Треугольники AaB, BbC … равнобедренны, ибо

∠aAB = ∠aBA
∠bBC = ∠bCB и т. д.

так как они измеряются половиной одной и той же дуги, следовательно, и соответствующие стороны равны

aA = aB, bB = bC, cC = Dc и т. д.

3. Треугольники AaB и BbC равны, ибо AB = BC как стороны правильного вписанного многоугольника

∠aAB = ∠bCB
∠aBA = ∠bBC

ибо они измеряются половиной равных дуг.

Из равенства треугольников AaB и BbC вытекает, что aB = Bb, т. е.

Каждая сторона таким образом описанного многоугольника делится в точке прикосновения пополам.

4. Кроме того,

aA = aB, или ½af = ½ab = ½bc и т. д.

следовательно,

af = ab = bc = cd и т. д.,

т. е. все стороны многоугольника равны.

5. Наконец, ∠a = ∠b, следовательно и все углы многоугольника abcdef равны. Поэтому этот многоугольник правильный (ЧТД).

Второй способ. Нужно из центра на стороне правильного вписанного многоугольника опустить перпендикуляры, продолжить их до пересечения с окружностью и в точках пересечения провести касательные прямые до взаимного их пересечения. Эти точки пересечения и будут вершинами правильного описанного многоугольника.

Дан правильный вписанный многоугольник ABCDEF (черт. 196).

Из центра O опустим перпендикуляр на стороны вписанного многоугольника и в точках m, n, p, q, r, s их встречи с окружностью проведем касательные до их взаимного пересечения в точках a, b, c, d, e, f.

Требуется доказать, что abcdef есть правильный описанный многоугольник.

Доказательство. 1. Стороны многоугольника abcdef касательны к окружности, следовательно, abcdef есть многоугольник описанный.

2. Его стороны параллельны сторонам правильного вписанного многоугольника, поэтому его углы равны

∠a = ∠b = ∠c = ∠d = ∠e = ∠f.

3. Соединим точки m, n, p, q … прямыми линиями.

Точки m, n, p, q … суть середины дуг AB, BC и т. д., следовательно, для дуг и хорд имеют место равенства:

sm = mn = np = pq = qr = rs.

4. Треугольники sam, mbn, ncp … равнобедренны, ибо

∠asm = ∠ams, ∠bmn = ∠bnm и т. д.

следовательно,

as = am, bm = bn, cn = cp и т. д.

5. Треугольники sam и mbn равны, ибо

∠ams = ∠bmn
∠asm = ∠bnm

следовательно, am = bm, т. е. стороны описанного многоугольника делятся в точках прикосновения пополам.

6. Наконец из равенства as = am следует равенство

½af = ½ab или af = ab, т. е.

стороны описанного многоугольника равны.

Таким образом многоугольник abcdef есть правильный описанный многоугольник (ЧТД).

Теорема 122. По данному правильному описанному можно вписать правильный многоугольник того же числа сторон.

Здесь тоже имеют место два способа.

Первый способ. Чтобы по данному правильному описанному вписать правильный многоугольник, нужно соединить точки прикосновения описанного многоугольника между собой.

Дан описанный правильный многоугольник abcdef, следовательно,

ab = bc = cd = de = ef = fa и
∠a = ∠b = ∠c = ∠d = ∠e = ∠f.

Стороны правильного описанного многоугольника (черт. 195) делятся в точках прикосновения пополам, следовательно,

aB = bB = bC = Cc = …

Соединим точки прикосновения A, B, C, D, E, F между собой.

Требуется доказать, что ABCDEF есть правильный вписанный многоугольник, т. е.

AB = BC = CD = DE = EF = FA и
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F.

Доказательство. 1. Треугольники AaB и BbC равны, ибо они имеют по равному углу, содержащемуся между двумя равными сторонами. Действительно,

aA = bC
aB = bB
∠a = ∠b

следовательно, AB = BC.

Точно также можно доказать, что

BC = CD = DE = EF = FA,

следовательно, и стороны и дуги AB, BC, CD … равны.

Таким образом стороны вписанного многоугольника равны.

2. Сравнивая две дуги BCDEF и CDEFA, мы находим, что
BCDEF = окружности – AB – AF
CDEFA = окружности – AB – BC.

Так как ◡AF = ◡BC, то

◡BCDEF = ◡CDEFA

следовательно,

∠A = ∠B.

Подобным же образом можно доказать равенство других углов, следовательно,

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F

Таким образом углы вписанного многоугольника как и стороны тоже равны, следовательно, ABCDEF правильный вписанный многоугольник (ЧТД).

Второй способ. Чтобы по данному правильному описанному многоугольнику вписать правильный одноименный многоугольник, соединим его вершины с центром круга и точки пересечения этих отрезков с окружностью соединим между собой.

Дан правильный описанный многоугольник ABCDEFA (черт. 197), следовательно,

AB = BC = CD = DE = EF = FA
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F

и стороны его делятся в точках прикосновения пополам, т. е.

As = Bs = Cm = Cn = Dn = и т. д.

Соединим вершины его с центром и означим точки пересечения этих линий с окружностью через a, b, c, d, e, f.

Требуется доказать, что многоугольник abcdef правильный.

Доказательство. 1. Углы при центре AOB, BOC, COD и т. д. равны, а следовательно и дуги ab, bc, de, ef, fa равны.

Отсюда вытекает, что стороны тоже равны

ab = bc = cd = de = ef = fa

2. Углы многоугольника тоже равны, ибо измеряются дугами одинаковой величины.

Теорема 123. По данной стороне правильного вписанного многоугольника можно определить сторону описанного многоугольника того же числа сторон.

Означим длину стороны вписанного правильного многоугольника имеющего n сторон через a_n и одноименного описанного многоугольника через A_n, а радиус круга через r (черт. 195)

AB = BC = CD = DE = … = a_n
ab = bc = cd = de = … A_n

Соединим точку a с O, тогда

aB = ½A_n, BQ = ½a_n

Из треугольника aBO имеем:

формулу, определяющую сторону правильного вписанного многоугольника по стороне одноименного правильного описанного многоугольника.

Удвоение числа сторон правильного вписанного многоугольника

Чтобы удвоить число сторон правильного вписанного многоугольника, опускают из центра перпендикуляры на его стороны, соединяют с вершинами данного многоугольника точки пересечения их с окружностью.

1. Полученный таким образом многоугольник будет правильным (черт. 198).

Доказательство. Стороны его равны, ибо перпендикуляры делят как хорды, так и дуги AB, BC, … пополам, следовательно,

Aa = aB = Bb = bC = Cc = …

Углы тогда равны, ибо измеряются одинаковыми дугами.

2. Периметр многоугольника при удвоении числа сторон увеличивается.

Действительно,

Aa + aB > AB
Bb + bC > BC и т. д.

Складывая эти неравенства, получим

Aa + aB + Bb + bC + … > AB + BC + …

Обозначив периметр правильного многоугольника, имеющего n сторон, через p_n, имеем:

p_2n >p_n

Теорема 124. Можно определить длину стороны вписанного многоугольника с удвоенным числом сторон по радиусу и стороне данного многоугольника.

Из треугольника AaO (черт. 198) длина стороны Aa, как стороны, лежащей против острого угла, выражается равенством:

Aa² = AO² + aO² – 2aO · PO.

Из треугольника APO имеем:

Обозначив через r радиус круга, a_n длину стороны правильного вписанного многоугольника, имеющего n сторон, и через a_2n сторону многоугольника с удвоенным числом сторон, мы имеем по формуле (a)

Удвоение числа сторон правильного описанного многоугольника

Чтобы удвоить число сторон правильного описанного многоугольника нужно разделить дуги ab, bc, cd, … пополам и провести через точки деления отрезки mn, pg, rs, … до пересечения их со сторонами данного многоугольника (черт. 199).

В этом случае образуется многоугольник равноугольный, ибо его углы измеряются одинаковой мерой. В равноугольном же описанном многоугольнике стороны равны (теорема 120).

Периметр описанного многоугольника с удвоенным числом сторон уменьшается.

Действительно,

An > αn
Bp > βp, следовательно,
AB > αn + np + pβ

Такие же равенства имеют место и для сторон BC, CD, … и т. д. Сложив их, находим, что

AB + BC + CD + … > mn + np + pq + …
или P_n > P_2n

где P_n и P_2n означают периметры правильных описанных многоугольников, имеющих n и 2n сторон.

Теорема 125. Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу (a₆ = r).

Дано. Пусть AB сторона правильного шестиугольника (черт. 200), вписанного в круг, радиус которого обозначим через r.

Требуется доказать, что AB = a₆ = r.

Доказательство. Дуга AB равна 60°. Соединив A и B с центром O, имеем треугольник ABO, у которого угол AOB имеет 60° = (2/3)d.

Углы A и B равны, следовательно, из равенства A + B + O = 2d, имеем:

2A + (2/3)d = 2d, откуда A = B = (2/3)d

Таким образом треугольник ABO равносторонний и следовательно AB = AO = r.

Теорема 126. Сторона правильного вписанного треугольника равна радиусу, умноженному на √3 (a₃ = r√3).

Дан правильный вписанный треугольник ABC (черт. 201).

Требуется доказать, что AB = r√3.

Доказательство. Из центра O опустим перпендикуляр OD к стороне AB и соединим D с вершинами A и B. Стороны AD и DB как стороны правильного вписанного шестиугольника равны радиусу. Четырехугольник ADBO есть ромб, ибо у него все стороны равны радиусу. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, следовательно,

AE = EB = DE = EO и AB ⊥ DO.

Из треугольника AEO вытекает равенство

AE² = AO² – EO²

Так как AE = AB/2, EO = DO/2 = r/2, то это равенство дает

AB²/4 = r² – r²/4 = (3/4)r², откуда
AB = a₃ = r√3 (ЧТД).

Теорема 127. Сторона вписанного квадрата равна радиусу, умноженному на √2.

Дан правильный вписанный четырехугольник или квадрат ABCD (черт. 202).

Требуется доказать, что AB = r√2.

Доказательство. Соединим B с D. Отрезок BD есть диаметр, ибо прямой угол B опирается на концы диаметра.

Из прямоугольного треугольника ABD вытекает равенство

AB² + AD² = BD²

Так как AB = AD, BD = 2r, то

2AB² = 4r², откуда AB = a₄ = r√2 (ЧТД).

Теорема 128. Сторона правильного вписанного десятиугольника равна большей части радиуса, разделенного в крайнем и среднем отношении.

Дано. Положим AB есть сторона правильного вписанного десятиугольника (черт. 203), следовательно, дуга AB = 1/10 окружности и

∠AOB = (4d)/10 = (2/5)d.

Требуется доказать, что AB есть большая часть радиуса среднепропорциональная между целым радиусом и меньшей его частью.

Доказательство. Соединим точки A и B с центром и разделим угол BAO пополам.

∠AOB = (2/5)d

В равенстве ∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 2d

∠BAO = ∠ABO, следовательно, ∠BAO = ∠ABO = (4/5)d.

Так как ∠α = ∠β по построению, то из равенства

∠α + ∠β = (4/5)d следует, что ∠α = ∠β = (2/5)d

Треугольник ABC равнобедренный, ибо

∠α = (2/5)d, ∠B = (4/5)d,

следовательно, из равенства

∠α + ∠B + ∠ACB = 2d имеем:
(2/5)d + (4/5)d + ∠ACB = 2d и ∠ACB = (4/5)d.

Таким образом

∠ACB = ∠ABC = (4/5)d

следовательно,

AB = AC

Треугольник ACO тоже равнобедренный, ибо

∠β = (2/5)d и ∠AOB = (2/5)d

следовательно, AC = CO и таким образом AB = AC = CO.

Так как отрезок AC делит угол треугольника пополам, то имеет место пропорция (теорема 98)

AO/AB = OC/CB

Так как AB = OC и AO = OB, то

OB/OC = OC/CB

откуда видно, что OC равно большей части радиуса OB, разделенного в крайнем и среднем отношении. Так как OC = AB, то и сторона десятиугольника обладает тем же свойством.

Обозначив ее через a₁₀, а радиус через r, имеем пропорцию

r/a₁₀ = a₁₀/(r – a₁₀)

откуда положительное решение квадратного уравнения, определяющее сторону правильного вписанного десятиугольника, будет:

a₁₀ = ((√5 – 1)/2)r.

Содержание:

Изучив материал этой лекции, вы узнаете формулу, с помощью которой можно найти сумму углов выпуклого многоугольника.

• Вы расширите свои представления о такой знакомой вам величине, как площадь.
• Вы научитесь находить площадь параллелограмма, треугольника, трапеции.

Определение многоугольников

Рассмотрим фигуру, состоящую из точек

Фигура, образованная этими отрезками, ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 195 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками  называют многоугольником. Точки называют вершинами многоугольника, а указанные выше отрезки — сторонами многоугольника.

Стороны, являющиеся соседними отрезками, называют соседними сторонами многоугольника. Вершины, являющиеся концами одной стороны, называют соседними вершинами многоугольника.

Две соседние стороны многоугольника образуют угол многоугольника. Например, на рисунке 196  — углы многоугольника, а не является углом многоугольника.

Многоугольник называют по количеству его углов: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т. п.

Многоугольник обозначают по его вершинам. Например, на рисунке 197 изображен пятиугольник ABCDE. В обозначении многоугольника буквы, стоящие рядом, соответствуют соседним вершинам. Например, пятиугольник, изображенный на рисунке 197, можно обозначить еще и так: CDEAB, EABCD, EDCBA и т. д.

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон.

Отрезок, соединяющий несоседние вершины многоугольника, называют диагональю. Например, на рисунке 198 отрезок АЕ — диагональ шестиугольника ABCDEF.

На рисунке 199 изображен многоугольник, все углы которого меньше развернутого. Такой многоугольник называют выпуклым. Из сказанного следует, что любой треугольник является выпуклым многоугольником. Заметим, что многоугольники, изображенные на рисунках 196-198, не являются выпуклыми.

Выпуклый многоугольник обладает такими свойствами:

1. выпуклый многоугольник расположен в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 200);
2. выпуклый многоугольник, отличный от треугольника, содержит любую свою диагональ (рис. 201).

Если многоугольник не является выпуклым, то он такими свойствами не обладает (рис. 198, 202).

Теорема 19.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна

Доказательство. Для случая n = 3 теорема была доказана в 7 классе (теорема 16.1).

Пусть  На рисунке 203 изображен выпуклый n-угольник

Докажем, что сумма всех его углов равна 180° (n-2).

Проведем все его диагонали, выходящие из вершины Эти диагонали разбивают данный многоугольник на (n – 2) треугольника. Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов n-угольника. Поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180°, то искомая сумма равна 180° (n – 2). 

Отметим, что эта теорема справедлива и для любого многоугольника, не являющегося выпуклым.

Определение. Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 204 изображена окружность, описанная около многоугольника. В этом случае также говорят, что многоугольник вписан в окружность.

Центр окружности, описанной около многоугольника, равноудален от всех его вершин. Следовательно, этот центр принадлежит серединным перпендикулярам всех сторон многоугольника, вписанного в окружность.

Около многоугольника можно описать окружность, если существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Следовательно, если серединные перпендикуляры всех сторон многоугольника пересекаются в одной точке, то около такого многоугольника можно описать окружность.

Определение. Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

На рисунке 205 изображена окружность, вписанная в многоугольник. В этом случае также говорят, что многоугольник описан около окружности.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, равноудален от всех его сторон. Следовательно, этот центр принадлежит биссектрисам всех углов многоугольника, описанного около окружности.

Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника

С такой величиной, как площадь, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: площадь квартиры, площадь дачного участка, площадь поля и т. п.

Опыт подсказывает вам, что равные земельные участки имеют равные площади, что площадь квартиры равна сумме площадей всех ее помещений (комнат, кухни, коридора и т. д.).

Вы знаете, что площади земельных участков измеряют в сотках (арах) и гектарах; площади регионов и государств — в квадратных километрах; площадь квартиры — в квадратных метрах.

На этих практических знаниях о площади основывается определение площади многоугольника.

Определение. Площадью многоугольника называют положительную величину, которая обладает следующими свойствами:

1. равные многоугольники имеют равные площади;
2. если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
3. за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, то есть квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

Измерить площадь многоугольника — это значит сравнить его площадь с площадью единичного квадрата. В результате получают числовое значение площади данного многоугольника. Это число показывает, во сколько раз площадь данного многоугольника отличается от площади единичного квадрата.

Например, если клетку вашей тетради принять за единичный квадрат, то площадь многоугольника, изображенного на рисунке 207, будет равна 11 квадратным единицам (кратко записывают: 11 ед.²). 

Обычно для нахождения площади используют формулы, то есть вычисляют площадь многоугольника по определенным элементам (сторонам, диагоналям, высотам и т. д.). Некоторые из формул вы уже знаете. Например, вы неоднократно применяли формулу S = ab, где S — площадь прямоугольника, а и b — длины его соседних сторон.

Для доказательства этой формулы потребуется следующая лемма.
Лемма. Площадь квадрата со стороной ед. (n — натуральное число) равна

Доказательство. Рассмотрим единичный квадрат и разделим его на равных квадратов со стороной (рис. 208).
Из определения площади многоугольника (свойство 1) следует, что все эти квадраты имеют равные площади. По свойству 2 сумма площадей этих квадратов равна площади единичного квадрата, то есть 1 ед.². Поэтому площадь каждого маленького квадрата равна

Теорема 20.1. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.

Доказательство. На рисунке 209 изображен прямоугольник ABCD, длины соседних сторон которого равны a и b: АВ = а, ВС = b. Докажем для случая, когда а и b — рациональные числа, что площадь S прямоугольника вычисляют по формуле S = ab.

Числа а и b представим в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями:
 где – натуральные числа.
Разделим сторону АВ на р равных частей, а сторону ВС — на q равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Тогда прямоугольник будет разделен на равных квадратов со стороной 

Согласно лемме площадь каждого квадрата равна Из определения площади (свойство 2) следует, что площадь прямоугольника равна сумме площадей всех квадратов, то есть
Рассмотрение случая, когда хотя бы одно из чисел а или b является иррациональным, выходит за рамки школьного курса геометрии. 

Определение. Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Из определения площади (свойство 1) следует, что все равные фигуры равновелики. Однако не все фигуры, имеющие равные площади, являются равными. Например, на рисунке 210 изображены два многоугольника, каждый из которых составлен из семи единичных квадратов. Эти многоугольники равновелики, но не равны.

Площадь параллелограмма

Теорема 21.1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

Доказательство. На рисунке 214 изображены параллелограмм ABCD, площадь которого равна S, и его высота ВМ. Докажем, что S = ВС • ВМ.

Проведем высоту CN. Легко показать (сделайте это самостоятельно), что четырехугольник MBCN — прямоугольник. Покажем, что он равновелик данному параллелограмму.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольника АВМ и трапеции MBCD. Площадь прямоугольника равна сумме площадей указанной трапеции и треугольника DCN. Однако треугольники АВМ и DCN равны по гипотенузе и острому углу (отрезки АВ и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма, углы 1 и 2 равны как соответственные при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD). Значит, эти треугольники равновелики. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD и прямоугольник MBCN равновелики.

По теореме 20.1 площадь прямоугольника MBCN равна произведению длин сторон ВС и ВМ. Тогда S = ВС • ВМ, где S — площадь параллелограмма ABCD.

Для завершения доказательства надо рассмотреть случаи, когда основание М высоты ВМ не будет принадлежать стороне AD (рис. 215) или совпадет с вершиной D (рис. 216). И в этом случае параллелограмм ABCD и прямоугольник MBCN будут равновеликими. Докажите этот факт самостоятельно. 

Если обозначить длины стороны параллелограмма и проведенной к ней высоты соответственно буквами а и h, то площадь S параллелограмма вычисляют по формуле 

Площадь треугольника

Теорема 22.1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведенной к ней высоты.

Доказательство. На рисунке 220 изображены треугольник АВС, площадь которого равна S, и его высота ВМ. Докажем, что
Через вершины В и С треугольника проведем прямые, параллельные сторонам АС и АВ соответственно (рис. 220). Пусть эти прямые пересекаются в точке N. Четырехугольник ABNC — параллелограмм по определению. Треугольники АВС и NCB равны (докажите это самостоятельно). Следовательно, равны и их площади. Тогда площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABNC. Высота ВМ треугольника АВС является также высотой параллелограмма
ABNC. Отсюда

Если воспользоваться обозначениями для высот и сторон треугольника АВС, то согласно доказанной теореме имеем:

где S — площадь треугольника.   

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.    

Докажите эту теорему самостоятельно.   

Пример №1

Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Решение:

На рисунке 221 изображен ромб ABCD, площадь которого равна S. Его диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Докажем, что
Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, то отрезки АО и СО являются высотами треугольников BAD и BCD соответственно. Тогда можно записать:

Площадь трапеции

Теорема 23.1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.

Доказательство. На рисунке 224 изображена трапеция ABCD (AD||BC), площадь которой равна S. Отрезок CN — высота этой трапеции. Докажем, что

Проведем диагональ АС и высоту AM трапеции. Отрезки AM и CN являются высотами треугольников АВС и ACD соответственно.

Имеем:

Если обозначить длины оснований трапеции и ее высоты соответственно буквами то площадь S трапеции вычисляют по формуле

Следствие. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты.

Равносоставленные и равновеликие многоугольники

Если некоторый многоугольник можно разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие два многоугольника называют равносоставленными.

Например, если прямоугольник разрезать вдоль его диагонали (рис. 228), то получим два равных прямоугольных треугольника, из которых можно составить равнобедренный треугольник (рис. 229). Фигуры на рисунках 228 и 229 — равно составленные.

Очевидно, что равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Этот факт применяют при доказательстве теорем и решении задач. Например, доказывая теорему 21.1, мы фактически разрезали параллелограмм на треугольник АВМ и трапецию MBCD, из которых составили прямоугольник MBCN (см. рис. 215).

Если треугольник разрезать вдоль средней линии, то из полученных треугольника и трапеции можно составить параллелограмм (рис. 230).

Легко установить (сделайте это самостоятельно), что такое разрезание треугольника приводит к еще одному доказательству теоремы о площади треугольника (теорема 22.1). Этой же цели служит разрезание треугольника на части, из которых можно составить прямоугольник (рис. 231).

Евклид в своей знаменитой книге «Начала» формулирует теорему Пифагора так:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах».

Если показать, что можно разрезать квадраты, построенные на катетах, на части и составить из этих частей квадрат со стороной, равной гипотенузе, то тем самым будет доказана теорема Пифагора.

На рисунке 232 показан один из возможных способов такого разрезания. Квадраты, построенные на катетах, разрезаны на части, площади которых равны  Из этих частей сложен квадрат, построенный на гипотенузе.

Из определения площади многоугольника следует, что равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Но совсем неочевидной является такая теорема.

Теорема. Любые два равновеликих многоугольника являются равносоставленными.

Впервые этот факт доказал в 1832 г. венгерский математик Фаркаш Бойяи. Позднее немецкий математик Пауль Гервин нашел другое доказательство. Поэтому эту теорему называют теоремой Бойяи—Гервина.

Теорема Чевы

На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС отметим произвольные точки (рис. 234). Каждый из отрезков АЛ,, BBV СС, называют чевианой треугольника АВС. Такое название связано с именем итальянского инженера и математика Джованни Чевы (1648-1734), открывшего удивительную теорему.

Если точки выбраны так, что чевианы являются биссектрисами, либо медианами, либо высотами остроугольного треугольника, то эти чевианы пересекаются в одной точке.

Если три прямые пересекаются в одной точке, то их называют конкурентными.

Теорема Чевы дает общий критерий конкурентности произвольных трех чевиан.

Теорема. Для того чтобы, чевианы треугольника АВС пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Доказательство. Докажем сначала необходимое условие конкурентности: если чевианы пересекаются в одной точке, то выполняется равенство (*).

Воспользовавшись результатом ключевой задачи 757, можно записать (рис. 235):

Перемножив записанные равенства, получим равенство (*).

Докажем теперь достаточное условие конкурентности: если выполняется равенство (*), то чевианы пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы пересекаются в точке D, а чевиана, проходящая через вершину С и точку D, пересекает сторону АВ в некоторой точке Из доказанного выше можно записать:

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что  то есть точки делят отрезок АВ в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Следовательно, прямая CD пересекает сторону АВ в точке

Напомню:

Сумма углов выпуклого n-угольника
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n – 2).

Окружность, описанная около многоугольника
Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

Окружность, вписанная в многоугольник
Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Площадь многоугольника
Площадью многоугольника называют положительную величину,
которая обладает следующими свойствами:

1. равные многоугольники имеют равные площади;
2. если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
3. за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, то есть квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.

Равновеликие многоугольники
Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведенной к ней высоты.

Площадь прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь трапеции

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.
• Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты.

Ломанная линия и многоугольники

Ломаная линия состоит из таких нескольких последовательно-соединенных отрезков: конец первого является началом второго, конец второго является началом третьего и т.д. Если конечная точка последнего отрезка совпадает с начальной точкой первого отрезка, то ломаная называется замкнутой. Многоугольник – это фигура, образованная замкнутой ломаной линией, в которой смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные – не пересекаются.

• Многоугольник – это плоская фигура.
• Стороны состоят из конечного числа отрезков.
• Многоугольник это замкнутая фигура, делящая плоскость на 2 части: внутреннюю замкнутую область и внешнюю бесконечную область.
• Многоугольник обозначают буквами, указывающими его вершины.

Многоугольники бывают выпуклые и вогнутые. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой содержащей его сторону. Если не лежит в одной полуплоскости – вогнутым.

Многоугольник называется правильным, если у него все стороны все углы конгруэнтны.

В многоугольнике количество вершин, сторон и углов одинаковые. Многоугольник с – сторонами называют еще и – угольным.

Соответственно количеству сторон, многоугольники называются треугольными, четырехугольными, пятиугольными, шестиугольными т.д. Из любой вершины выпуклого – угольника выходят диагонали.

Внутренние и внешние углы многоугольника

Угол, образованный двумя сторонами, исходящими из данной вершины называется внутренним углом при данной’ вершине выпуклого многоугольника. Угол, смежный с внутренним углом многоугольника называется внешним. Сумма внутренних и внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) многоугольника при любой вершине равна .

Теорема 1. Сумма внутренних углов выкуплого – угольника равна .

Следствие: Каждый внутренний угол правильного – угольника равен

Теорема 2. Сумма внешних углов выкуплого многоугольника равен .

Следствие 2. Каждый внешний угол правильного – угольника равен .

Пример №2

Один из внешних углов правильного многоугольника равен .

a) найдите градусную меру внутреннего угла многоугольника;

b) найдите число сторон многоугольника.

Решение: а) ;

Внутренний угол:

b)

Многоугольники вписанные в окружность и описанные около окружности

Определение 1. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности, а окружность называется описанной около многоугольника. На рисунке треугольник вписан в окружность.

Определение 2. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности, а окружность называется вписанной в многоугольник. На рисунке четырехугольник описан около окружности.

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около нее

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Теорема 2. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Теорема 3. Если в окружность вписан прямоугольный треугольник, то гипотенуза является диаметром этой окружности.

Обратная теорема. Если сторона треугольника, вписанного в окружность, является диаметром, то этот треугольник – прямоугольный.

Доказательство 1-ой теоремы (текстовое). Проведем биссектрисы углов и треугольника и точку пересечения обозначим буквой . Произвольная точка, взятая на биссектрисе находится на одинаковом расстоянии от сторон угла. Поэтому Точка находится и на биссектрисе угла (почему?). Нарисуем окружность с центром в точке и радиусом Так как стороны треугольника перпендикулярны радиусам то в точках они касаются окружности. А значит, эта окружность является вписанной в треугольник.

Доказательство 2-ой теоремы. Через середины сторон и треугольника проведем перпендикуляры и точку их пересечения обозначим буквой . По свойству серединного перпендикуляра к отрезку . Так как равнобедренный, то точка находится и на серединном перпендикуляре стороны . Окружность с центром в точке и радиусом , пройдя через все вершины треугольника, будет описанной около нее.

Замечание: Около данного треугольника можно описать только одну окружность. В данную окружность можно вписать бесконечное количество треугольников.

Свойства четырехугольников, вписанных в окружность и описанного около нее

В отличие от треугольников, не во всякий четырехугольник можно вписать или описать окружность.

Теорема 4. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Обратная теорема. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Теорема 5. Сумма двух противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна

Обратная теорема. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна , то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Доказательство теоремы 4: Пусть точки будут точками касания сторон четырехугольника. По свойству касательных, проведенных из данной точки к окружности,

Если сложить почленно эти равенства, получим или же

Отношение стороны треугольника, вписанного в окружность, к синусу противолежащего угла равно диаметру этой окружности:

Исследуйте данное доказательство для случая, когда центр окружности расположен внутри треугольника, обсудите и напишите в тетради.

В любой правильный многоугольник можно вписать и описать окружность. Центры этих окружностей совпадут. Биссектрисы углов правильного многоугольника пересекаются в точке и образуют равнобедренные треугольники конгруэнтные показанному на рисунке (по признаку УСУ). Нарисуем окружность радиусом с центром в точке . Эта окружность, пройдя через все вершины, будет описанной окружностью. окружность с радиусом , касаясь всех сторон многоугольника, будет вписанной окружностью. – радиус окружности, описанной около правильного -угольника, -радиус вписанной окружности, -сторона правильного -угольника, – центральный угол

Задача на построение: Постройте правильный шестиугольник.

1. Нарисуйте отрезок , равный стороне правильного шестиугольника.

2. Циркулем нарисуйте окружность, радиус которой равен длине этого отрезка.

3. Не меняя раствора циркуля, разбейте всю окружность на части одинаковой длины и отметьте их точками.

4. Соедините последовательно отмеченные точки. Получится правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Если соединить попарно некоторые вершины правильного шестиугольника , например, вершины , то получится правильный треугольник. Чтобы построить правильный четырехугольник, нужно провести два взаимно перпендикулярных диаметра и последовательно соединить их концы. Если в окружность вписан правильный – угольник, то отметив точки пересечения серединных перпендикуляров с окружностью, получим точки являющиеся вершинами правильного -угольника.

Площадь правильного многоугольника

Центр правильного многоугольника. Центр окружности, описанного около правильного многоугольника или вписанного в него, является центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника находится на одинаковом расстоянии от всех вершин и всех сторон многоугольника.

Апофема правильного многоугольника. Перпендикуляр, проведенный из центра многоугольника к его стороне, называется апофемой. Апофема правильного многоугольника равна радиусу вписанной окружности.

Выполните следующее упражнение по шагам и выведите формулу зависимости площади правильного многоугольника от апофемы.

1. Нарисуйте правильный пятиугольник .

2. Из центра проведите перпендикуляр, делящий сторону пополам.

3. Соедините точки и с центром .

4. Выразите площадь треугольника переменными и . Обратите внимание какому измерению многоугольника соответствует высота треугольника.

5. Соедините точки с точкой . Сравните площади полученных треугольников.

6. Обратите внимание на то, что площадь пятиугольника равна сумме площадей этих треугольников. Площадь пятиугольника:

7. Какому измерению соответствует выражение ? Выразите площадь пятиугольника через его периметр.

Площадь правильного многоугольника:

Соединив центр правильного -угольника с вершинами, получится количество равнобедренных конгруэнтных треугольников.

-длина стороны многоугольника , -число сторон, -апофема.

Пример №3

В окружность радиусом равным единице, вписан правильный пятиугольник. Найдите площадь пятиугольника. Решение:

Площадь многоугольника:

Нужно найти апофему и периметр .

Центральный угол равен . – равнобедренный треугольник, а значит его высота является и медианой, и биссектрисой.

Тогда . Чтобы найти стороны треугольника , воспользуемся тригонометрическими соотношениями .

– апофема пятиугольника,

Сторона пятиугольника:

Историческое сведение. В 3-ем веке до н.э. Архимед – древнегреческий ученый, для того, чтобы определить численное значение , воспользовался периметрами правильных; многоугольников описанных и вписанных в окружность. Пользуясь данным способом исследуйте значение .

1. Принимая за единицу диаметр окружности, найдите периметр вписанного шестиугольника.

2. Покажите, что длина окружности с единичным диаметром равна .

3. Нарисуйте радиус окружности. Найдите периметр описанного шестиугольника.

4. Напишите неравенство: .

Увеличив число сторон многоугольника в 2 раза и продолжая вычисления для 12-ти, а затем для 96-ти угольного многоугольника Архимед, определил, что значения больше , но меньше .

Паркетирование

Паркетированием называется покрытие площади фигурами до заполнения всей пустоты.

Если сумма углов при общей вершине многоугольника равна , то паркетированием можно покрыть всю пустую часть площади. Паркетирование возможно при помощи правильных треугольников, ромбов (квадратов) и правильных шестиугольников. Однако, при помощи правильных пятиугольников это сделать невозможно, потому что, градусная мера одного угла равна , а сумма углов при общей вершине трех пятиугольников , а четырех пятиугольников .

Справочный материал по многоугольникам

Многоугольник и его элементы.

Сумма углов выпуклого многоугольника. многоугольник, вписанный в окружность, и многоугольник, описанный около окружности.

Рассмотрим фигуру изображенную на рисунке 213. Она состоит из отрезков   и  При этом отрезки размещены так, что соседние отрезки ( и и и ) не лежат на одной прямой, а несоседние отрезки не имеют общих точек. Такую фигуру называют многоугольником. Точки называют вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами многоугольника.

Очевидно, что количество вершин многоугольника равно количеству его сторон.

Сумму длин всех сторон многоугольника называют его периметром.

Наименьшее количество вершин (сторон) у многоугольника – три. В этом случае имеем треугольник. Еще одним отдельным видом многоугольника является четырехугольник.

Многоугольник, у которого вершин, называют угольником. На рисунке 213 изображен шестиугольник 

Две стороны многоугольника называют соседними, если они имеют общую  вершину. Стороны многоугольника, не имеющие общей вершины, называют несоседними. Например, стороны и – соседние, a  и – несоседние (рис. 213).

Две вершины многоугольника называют соседними, если они принадлежат одной стороне, а вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне, называют несоседними.

Например, вершины и – соседние, и – несоседние (рис. 213).

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. На рисунке 214 изображены диагонали многоугольника  выходящие из вершины  

Пример №4

Сколько диагоналей имеет угольник?

Решение:

Из каждой вершины угольника выходит  диагонали. Всего вершин  а каждая диагональ повторяется дважды, например и Поэтому всего диагоналей у угольника будет 

Ответ.

Углы, стороны которых содержат соседние стороны многоугольника, называют углами многоугольника. Пятиугольник имеет углы

Если каждый из углов многоугольника меньше развернутого, то такой многоугольник называют выпуклым. Если хотя бы один угол многоугольника больше развернутого, то такой многоугольник называют невыпуклым.

Многоугольник  – выпуклый (рис. 215), а многоугольник – невыпуклый (рис. 216), так как угол при вершине больше чем 180°.

Теорема (о сумме углов выпуклого угольника). Сумма углов выпуклого угольника равна

Доказательство:

Выберем во внутренней области многоугольника произвольную точку и соединим ее со всеми вершинами угольника (рис. 217). Получим треугольников, сумма всех углов которых равна  Сумма углов с вершиной в точке  равна  Сумма углов данного угольника равна сумме углов всех треугольников, кроме углов с вершиной в точке  то есть:

Углы выпуклого многоугольника называют еще его внутренними углами. Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, называют внешним углом многоугольника. На рисунке 218 угол — внешний угол многоугольника – при вершине

Очевидно, что каждый многоугольник имеет по два внешних угла при каждой вершине. 

Пример №5

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Решение:

Сумма внутреннего и внешнего углов при каждой вершине многоугольника равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов угольника равна  Так как сумма внутренних углов равна то сумма внешних углов равна:

Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Окружность при этом называют описанной около многоугольника (рис. 219). 

Около многоугольника не всегда можно описать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (как и в случае треугольника).

Многоугольник называют описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности. Окружность при этом называют вписанной в многоугольник (рис. 220).

Не в каждый многоугольник можно вписать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника (как и в случае треугольника).

Многоугольник и его свойства

Вы уже знаете, что такое треугольник и четырёхугольник. Более общим является понятие многоугольника. На рисунке 327 вы видите многоугольник ABCDEF. Он состоит из отрезков АВ, ВС, CD, DE, EFy FA, размещённых таким образом, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные -не имеют общих точек. Отрезки, из которых состоит многоугольник, называются его сторонами, углы, образованные смежными сторонами, – углами, а вершины этих углов – вершинами многоугольника.

В зависимости от количества вершин (углов либо сторон) многоугольник называется треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т. д. Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Многоугольник обозначают названиями его вершин, например шестиугольник ABCDEF (рис. 327), пятиугольник (рис. 328). ? | На рисунке 329 вы видите многоугольники . В чём их различие?

Ни одна из прямых, проходящих через стороны многоугольника не пересекает другие его стороны. Он лежит по одну сторону от любой из этих прямых. Такой многоугольник называется выпуклым. Многоугольник не является выпуклым.

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь выпуклые многоугольники.

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. Его обозначают буквой Р.

Посмотрите на рисунок 330. В шестиугольнике ABCDEF отрезки AC, AD, АЕ соединяют вершину А с несоседними вершинами. Это – диагонали шестиугольника.

Диагональю n-угольника называется отрезок, который соединяет две несоседние его вершины.

Теорема (о сумме углов n-угольника).

Сумма углов n-угольника равна 180° • (n – 2).

Дано: — n-угольник (рис. 331), — диагонали. Доказать:

Доказательство. В заданном n-угольнике диагонали выходят из одной вершины Поэтому они разбивают n-угольник на n — 2 треугольников. Сумма всех углов образованных треугольников равна сумме углов данного n-угольника. Поскольку в каждом треугольнике сумма углов равна 180°, то сумма углов данного n-угольника — 180° • (n — 2).

Угол, смежный с углом многоугольника (рис. 332), называется внешним углом многоугольника.

Многоугольники могут быть вписанными в окружность (рис. 333) или описанными около окружности (рис. 334). Попытайтесь дать определения и сравните их с указанными в учебнике.

Многоугольник все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным, в эту окружность, а окружность – описанной около этого многоугольника.

Многоугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность – вписанной в этот многоугольник.

Стороны вписанного многоугольника и его диагонали – это хорды окружности. Каждый его угол является вписанным углом (рис. 335).

Стороны описанного многоугольника являются касательными к окружности, а его диагонали – секущими (рис. 336).

1. Геометрическая фигура называется простой, если её можно разбить на конечное количество треугольников. Многоугольник — это простая фигура (см. рис. 330 и 331), а окружность не является простой фигурой (рис. 337). Даже вписав в окружность многоугольник с очень большим количеством сторон, мы только приблизим его контур к окружности. Поэтому в геометрии длину окружности и площадь круга находят другими методами, чем периметр и площадь многоугольника.

2. У вас может возникнуть вопрос: Всегда ли из равенства сторон многоугольника следует равенство его углов и наоборот? Нет, это свойство лишь треугольника. Вы знаете пример четырёхугольника, в котором все стороны равны, а углы — не равны. Это ромб. В прямоугольнике все углы равны, а вот стороны — нет. Среди многоугольников с большим количеством вершин также можно выделить равносторонние многоугольники, в которых не все углы равны (рис. 338), и равноугольные многоугольники, в которых не все стороны равны

Понятие площади

Многоугольник разбивает плоскость на две области – внутреннюю (рис. 345) и внешнюю (рис. 346).

Многоугольник вместе с его внутренней областью называется плоским многоугольником.

Каждый плоский многоугольник (например, многоугольник F на рис. 347) занимает часть плоскости. Если эту часть плоскости выразить некоторым числом, то получим площадь многоугольника. Далее будем говорить «площадь многоугольника», имея в виду, что многоугольник -плоский. Это относится и к другим плоским фигурам.

Площадь обозначают буквой S. Иногда указывают название фигуры, например , а для нескольких фигур – индексы, например и т. д.

На рисунке 348 фигуры равны, поскольку совмещаются наложением. Понятно, что они имеют равные площади. Можем записать: . Для измерения площади фигуры выбирают единицу измерения. Для этого используют квадрат, со стороной равной единице измерения длины. Площадь квадрата со стороной 1 см – это единица измерения площади в квадратных сантиметрах, со стороной 1 м – в квадратных метрах и т. д.

Единицы измерения площади кратко записываем так: 1 см2, а говорим: «один квадратный сантиметр». Говорить «сантиметр в квадрате» -неправильно!

Некоторые единицы измерения площади имеют специальные названия: ар (квадрат со стороной 10м), гектар (квадрат со стороной 100 м) и т. д.

На рисунке 349 вы видите квадрат ABCD со стороной 2 см. Он состоит из четырёх квадратов площадью 1 см2, поэтому его площадь равна 4 см2.

Можем записать:

Ясно, что площадь любой фигуры выражается положительным числом. Изменится ли площадь квадрата ABCD, если за единицу измерения принять 1 мм2? Нет, площадь квадрата не изменится, но будет выражена иначе:

На рисунке 350 длина стороны квадрата KLMN равна 2,5 см. Он вмещает четыре квадрата площадью 1 см2 и ещё 9 маленьких квадратов площадью 0,25 см2. Поэтому = 4 + 9 • 0,25 = 6,25 (см2).

Ясно, что площадь любой фигуры равна сумме площадей частей, из которых она состоит.

Из предыдущих классов вы знаете, что площадь квадрата со стороной а можно вычислить иначе – по формуле площади квадрата:

Для квадратов ABCD и KLMN получим:

Поскольку 4 см2 < 6,25 см2, то можем записать:

Формулу площади квадрата будем считать основной, поэтому принимаем её без доказательства. Для других фигур формулы площади нужно выводить, исходя из основных свойств площади. Сформулируем их.

Основные свойства площади

1. Площадь каждой фигуры больше нуля.
2. Равные фигуры имеют равные площади.
3. Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.
4. Единицей измерения площади является площадь квадрата со стороной, равной единице длины.

Основные свойства площади подсказывают способ выведения формул площади.

Для того чтобы вывести формулу площади многоугольника, нужно: либо разбить его на части, формулы площадей которых известны, либо дополнить его до такой фигуры, формула площади которой известна.

Теорема (о площади прямоугольника).

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Дано: ABCD— прямоугольник (рис. 351),

AB=a,AD=b.

Доказать:

Доказательство. Достроим данный прямоугольник ABCD до квадрата AMKN со стороной о + b (рис. 352). Тогда S

С другой стороны, квадрат AMKNcociom из двух прямоугольников ABCD и OKLC и двух квадратов ВМОС и DNLC. Поэтому, по третьему свойству площади,

Прямоугольники ABCD и OKLC равны, поскольку равны смежные стороны а и b. Поэтому, по второму свойству площади, Квадраты ВМОС и DNLC имеют соответственно стороны b и а, поэтому

Далее получим:

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b равна половине произведения катетов.

Действительно, диагональ АС разбивает прямоугольник ABCD со сторонами а и b (рис. 353) на два равных прямоугольных треугольника ABC и ADC с катетами а и b. Поэтому

Пример №6

Докажите, что отношение площадей подобных прямоугольных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Решение:

Пусть один из заданных прямоугольных треугольников (рис. 354) имеет катеты и площадь , другой — катеты и площадь , а коэффициент их подобия равен k.

Докажем, что

Поскольку треугольники подобны, то Найдём площади треугольников и их отношение:

У вас может возникнуть вопрос: Как доказать, что площадь квадрата равна квадрату его стороны? Пусть сторона квадрата ABCD равна а. Возможны два случая: сторону АВ можно разбить на целое число п единичных отрезков (рис. 355); на стороне АВ можно разместить л единичных отрезков, но остаётся ещё отрезок, который короче единичного (рис. 356).

Рассмотрим первый случай (рис. 355). Разобьём сторону АВ на п единичных отрезков (на рисунке их три), тогда о — n • 1 — n. Аналогично разобьём сторону AD. Через точки деления проведём прямые, перпендикулярные АВ и AD. Эти прямые разбивают квадрат ABCD на равных квадратов площадью 1.

Поэтому .

Рассмотрим второй случай (рис. 356). Пусть на отрезке АВ помещается n единичных отрезков и остаётся ещё отрезок длиной меньше 1. Это означает, что отрезок АК из п единичных отрезков меньше отрезка АВ, а отрезок AM из n + 1 единичных отрезков — больше этого отрезка. Получаем неравенство: n < а < n + 1.

Чтобы точнее оценить площадь заданного квадрата, разделим единичный отрезок на т равных частей. Тогда длина каждой части будет равна .

Пусть на отрезке АК их помещается , а на отрезке

Число а будет лежать в пределах а квадрат этого числа — в пределах Площадь квадрата со стороной АК будет равна , а квадрата со стороной AM – Поэтому площадь квадрата ABCD будет лежать в пределах

При увеличении количества точек деления число т станет как угодно большим. Площадь квадрата ABCD и квадрат числа а будут лежать в пределах, разность которых как угодно мала:

А это возможно лишь в случае, если

3. Символ S для обозначения площади фигуры происходит от латинского слова superficils, что означает «поверхность».

Параллелограмм и его площадь

Вы уже знаете формулы площадей трёх фигур -квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника. Выведем формулу площади параллелограмма.

Теорема (о площади параллелограмма).

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 367), DH— высота, АВ= a, DH= .

Доказать: .

Доказательство. Проведём из вершины С высоту СМ= DH = (рис. 368). Получили трапецию AMCD. Рассмотрим две пары фигур, из которых она состоит: данный параллелограмм ABCD и ∆ВМС, прямоугольник HMCD и ∆AHD. По третьему свойству площади, ∆ВМС= ∆AHD по катету и гипотенузе: СМ= DH как высоты, проведённые к одной стороне АВ параллелограмма, AD — ВС как противоположные стороны параллелограмма. Поэтому, согласно второму свойству площади , . Следовательно, . Для прямоугольника HMCD имеем: Согласно доказанному, площадь данного параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника HMCD, поэтому

Пример №7

В параллелограмме стороны равны 8 см и 6,4 см, а высота, проведённая к большей стороне, — 6 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к меньшей его стороне.

Решение:

Пусть ABCD— данный параллелограмм (рис. 369), в котором ab =6,4 см, ВС — 8 см, DM= 6 см.

Требуется найти высоту DH.

Площадь параллелограмма ABCD можно выразить двумя способами: либо как произведение стороны ВС на высоту DAf, либо как произведение стороны АВ на высоту DH.

Для того чтобы найти длину неизвестной стороны или высоту параллелограмма, выразите площадь двумя способами: через одну из двух смежных сторон параллелограмма и высоту, проведённую к ней, и через другую смежную сторону и соответствующую ей высоту. Составьте и решите уравнение относительно искомой величины.

Можно ли найти площадь ромба по стороне и высоте, проведённой к ней? Можно, поскольку ромб – частный вид параллелограмма.

Вы знаете, как находить площадь прямоугольного треугольника по его катетам. Воспользуемся этим, чтобы вывести ещё одну формулу площади ромба.

Теорема (о площади ромба по его диагоналям).

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Дано: ABCD – ромб (рис. 370), АС и BD — диагонали,

Доказать:

Доказательство. В ромбе ABCD все стороны равны. Его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника ABO, СВО, CDO и ADO с катетами

Поскольку площадь ромба равна сумме площадей этих треугольников, то

Следствие. Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.

Утверждение следует из того, что квадрат – это частный вид ромба и имеет равные диагонали, пусть d. Следовательно,

1. У вас может возникнуть вопрос: Зависит ли формула площади параллелограмма ABCD от расположения высоты DH (рис. 368)? Нет, не зависит. В расположении точки H возможны три случая. Один из них рассмотрен в учебнике. Ещё два случая: точка Н находится либо в вершине В параллелограмма (рис. 371), либо на продолжении его стороны АВ (рис. 372).

Во втором случае (рис. 371) параллелограмм ABCDсостоит из двух равных прямоугольных треугольников ABD u CDB, поэтому

В третьем случае (рис. 372) доказательство аналогично изложенному в учебнике. Проведите это самостоятельно.

2. Для фигур, имеющих равные площади, используют специальное название — равновеликие. Например, параллелограмм ABCD и прямоугольник HMCD на рисунке 372 являются равновеликими. Понятно, что два равных многоугольника всегда равновелики, но не любые два равновеликих многоугольника равны.

Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разбить на одинаковое количество попарно равных многоугольников, в частности треугольников. Таковы, например, параллелограмм ABCD и прямоугольник

HMCD на рисунке 368, поскольку каждый состоит из общей для них трапеции и равных прямоугольных треугольников ADH и ВСМ.

Между равновеликими и равносоставленными фигурами существует такая связь: равносоставленные многоугольники являются равновеликими (из определения о равносоставленных многоугольниках); равновеликие многоугольники являются равносоставленными. Последнее утверждение известно, как «теорема Больяи — Гервина», доказанная в XIX в. Интересно, что Фаркаш Больяи (1775 — 1856, Венгрия), доказавший теорему, был отцом Яноша Больяи (1802 — 1860) — одного из творцов неевклидовой геометрии. Янош Больяи.

Треугольник и его площадь

Вы уже знаете, как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам. Возникает вопрос: Как найти площадь любого треугольника по его стороне и высоте, проведённой к этой стороне?

Теорема (о площади треугольника).

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Дано: (рис. 380), ‘ АН— высота, ВС= а, АН—

Доказать:

Доказательство. На стороне АВ заданного треугольника ABC построим равный ему треугольник BAD (рис. 381). Образованный четырёхугольник ADBC— параллелограмм, поскольку, по построению, AD = ВС, BD = АС. В нём сторона ВС= а, высота АН=, поэтому . Поскольку параллелограмм состоит из двух равных треугольников ABC и BAD, то площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ADBC.

Следовательно:

Пример №8

Докажите, что площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Решение:

Пусть ABC — данный треугольник (рис. 382), в котором ВС= а, АС— b, АВ= с, — полу периметр, точка О— центр вписанной окружности, г — радиус вписанной окружности.

Докажем, что

Соединим отрезками вершины треугольника ABC с центром О вписанной в него окружности (рис. 383). Получаем три треугольника — ВОС, АОС и АОВ. В каждом из них радиус вписанной окружности r является высотой, проведённой к стороне, равной соответственно a, b или с.

Поэтому Площадь равна сумме площадей этих треугольников. Следовательно, Для того, чтобы найти площадь треугольника (четырехугольника) можно воспользоваться способом сложения площадей его частей. При этом иногда нужны дополнительные построения, чтобы образовались вспомогательные треугольники, площади которых можно найти по условию задачи.

1. Способы вычисления площади треугольника (а также прямоугольника и трапеции) были известны ещё в Древнем Египте. Сведения об этом дошли до нас на папирусах. Среди них наиболее известные — папирус Ринда (около 1800 г. до н. э.), содержащий 84 задачи с решениями (страница из этого папируса на рис. 384), и так называемый московский папирус (около 1600 г. до н. э.), он содержит 25 задач с решениями. Чтобы найти площадь треугольника, древние египтяне основание треугольника делили пополам и умножали на высоту. А для определения площади равнобедренного треугольника использовали полупроизведение его боковых сторон.

2. Геометрические расчёты по точным формулам проводились и в древнем Вавилоне. Сведения сохранились на клинописных табличках (образец вы видите на рис. 385). Дошедшие до нас тексты свидетельствуют, что вавилоняне знали и использовали в практических задачах пропорциональность параллельных отрезков. Например, они умели вычислять длину отрезков AW, СМ и ВМ (рис. 386) в треугольнике ABC по его стороне АС= 30, разности S, — S2 = 42 площадей трапеции и треугольника, на которые разбивается данный треугольник параллельной прямой MN, и разности ВМ — СМ = 20. Сейчас для решения этой задачи нам пришлось бы составлять систему уравнений.

Трапеция и её площадь

Вы знаете, чтобы вывести формулы площадей прямоугольника, параллелограмма или треугольника, надо составить из этих фигур такие, площади которых умеете находить. Воспользуемся этим способом и выведем формулу площади трапеции.

Теорема (о площади трапеции).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Дано: ABCD— трапеция (рис. 397),

AB и CD – основания, СН— высота, АВ=о, CD=b, CH=h. а + b

Доказать:

Доказательство. Проведём в трапеции диагональ АС (рис. 398). Она разбивает трапецию на два треугольника ABC и ADC. Высота h трапеции является высотой треугольника ABC, проведённой к стороне АВ = а, и равна высоте треугольника ADC, проведённой к стороне CD = b. Площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников, поэтому

Пример №9

Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О (рис. 399). Докажите, что треугольники AOD и ВОС имеют равные площади.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и ABC. В них сторона АВ— общая, а высоты, проведённые к этой стороне, равны высоте трапеции. Поэтому Треугольник ABD состоит из треугольников АОВ и AOD, а треугольник АВС-из треугольников AOBw ВОС. Отсюда получим:

Следовательно, площади треугольников AOD и ВОС равны как разности равных площадей.

Для того чтобы установить, что неравные фигуры имеют равные площади, нужно доказать, что площади этих фигур равны либо сумме равных площадей, либо разности равных площадей.

1. У вас может возникнуть вопрос: Существует ли трапеция, средняя линия которой делит её площадь пополам?

Существование фигуры с заданными свойствами можно доказать, если привести пример такой фигуры. Однако не всегда этот путь — самый простой. История свидетельствует о том, что иногда на поиски примера, подтверждающего существование некоторого математического объекта, учёные затрачивали многие годы. Чтобы упростить поиск, проводят предварительные аналитические расчёты. Именно это мы и сделаем, чтобы ответить на поставленный вопрос. Пусть трапеция ABCD (рис. 400) имеет основания а и b и высоту h. Средняя линия MN разбивает её на две трапеции с равными высотами (докажите этo самостоятельно). Обозначим площади этих трапеций и выразим их через основания данной трапеции и её высоту:

Найдём отношение площадей После сокращений получим:

Равенство площадей возможно только в случае, если 3b + а = За + b, то есть при а= b. А такой трапеции не существует.

Интересно, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции (иногда его называют второй средней линией трапеции), делит площадь трапеции пополам. Докажите это самостоятельно, используя рисунок 401.

2. Изучая четырёхугольники, вы узнали о дельтоиде (рис. 402). Этот четырёхугольник, как и ромб, имеет взаимно перпендикулярные диагонали. Существуют трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями (рис. 403), а также произвольные четырёхугольники с аналогичным свойством (рис. 404). И ромб, и дельтоид, и указанная трапеция являются частными видами четырёхугольников со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Докажите самостоятельно, что площадь четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения этих диагоналей. Эта формула справедлива и для ромба, и для дельтоида, и для трапеции.