Как найти величины отрезков отсекаемых плоскостью

1. Общее уравнение
   плоскости

Всякое уравнение
первой степени определяет в заданной
прямоугольной системе координат
плоскость.

Уравнение вида:

(27)

называется общим
уравнением плоскости. Вектор
,
перпендикулярный плоскости, называется
нормальным вектором плоскости.

1. Уравнение
   плоскости, проходящей через точку
   перпендикулярную вектору

Если плоскость
проходит через точку
перпендикулярно вектору,
то её уравнение имеет вид:

(28)

1. Уравнение
   плоскости, проходящей через три точки
   в отрезках

Пусть плоскость
проходит через точки
,,.

Имеет вид:

(29)

Если плоскость
отсекает по осям координат соответственно
отрезку
,,
и,
то её уравнение имеет вид:

(30)

1. Угол между
   плоскостями. Условия параллельности
   и перпендикулярности плоскостей

Угол
между плоскостямииопределяется по формуле:

(31)

Условие параллельности
плоскостей:

(32)

Условие
перпендикулярности плоскостей:

(33)

1. Расстояние
   от точки до плоскости

Расстояние от
точки
до плоскостинаходится по формуле:

(34)

Пример 1. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно вектору.

Решение. Воспользуемся
уравнением (28). Здесь
;;;;;.

Получим:
или.

Пример 2. Найти
отрезки, отсекаемые плоскостью
на осях координат.

Решение. Преобразуем
данноё уравнение плоскости к уравнению
в отрезках (30) следующим образом:

;

Следовательно,
величины отрезков, отсекаемых на осях,
равны:

;
;

Пример 3. Найти
расстояние между параллельными
плоскостями
и

Решение. Возьмём
на одной из плоскостей произвольную
точку и определим её расстояние от
другой плоскости. Например, на первой
плоскости выберем точку
и найдём её расстояние до плоскости,
пользуясь формулой (33):

Пример 4. Определить
угол, образованный плоскостями
и.

Решение. Воспользуемся
формулой (31)

1. Вопросы для
   самопроверки

Как определяется
общее уравнение плоскости?

Какой вектор
называется нормальным к плоскости и
как определяются его координаты из
общего уравнения плоскости?

Как записывается
уравнение плоскости, проходящей через
точку перпендикулярно вектору?

Запишите уравнения
плоскости через три точки; в отрезках.

Как определяется
угол между плоскостями? Сформулируйте
условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.

Как определяется
расстояние от точки до плоскости?

1. Примеры для
   самостоятельного решения

   1. Составить
      уравнение плоскости, проходящей через
      точку
      м перпендикулярной вектору.

   2. Составить
      уравнение плоскости, проходящей через
      точку
      и отсекающей равны отрезки на осях
      координат.

   3. Составить
      уравнение плоскости, проходящей через
      точки
      .
      Через точкупровести плоскость, параллельно
      плоскости.

   4. Составить
      уравнение плоскости, проходящей через
      точку
      перпендикулярно плоскостями.

   5. Найти угол между
      плоскостями
      и.

   6. При каких
      значениях
      иуравненияиопределяют параллельные плоскости?

   7. При каком значении
      уравнениеиопределяют взаимно перпендикулярные
      плоскости?

   8. Найти высоту
      пирамиды
      ,
      опущенную из вершинына грань АВС, если,,,.
      Указание. Данную высоту можно найти
      как расстояние от точкидо плоскости АВС.

   9. Найти длину
      перпендикуляра, опущенного из точки
      на плоскость.

   10. Составить
       уравнение плоскостей, параллельных
       плоскости
       и отстоящих от неё на расстоянии

1. Ответы к
   примерам

4.7.1.
. 4.7.2..

4.7.3.
. 4.7.4..

4.7.5.
. 4.7.6..

4.7.7.
;. 4.7.8..

4.7.9.
.
4.7.10.,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Данный раздел будет полностью посвящен теме «Уравнение плоскости в отрезках». Мы последовательно рассмотрим, какой вид имеет уравнение плоскости в отрезках, применение этого уравнения для построения заданной плоскости в прямоугольной системе координат, переход от общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках. В статье мы рассмотрим большое количество примеров, которые облегчат усвоение информации.

Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид xa+yb+zc=1 , где a, b и c – это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат Oх, Oу и Oz в трехмерной системе координат Oхуz. Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.

Действительно, координаты точек a, 0, 0, 0, b, 0, 0, 0, c  удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

aa+0b+0c=1=1⇔1=10a+bb+0c=1=1⇔1=10a+0b+cc=1=1⇔1=1

Поясним этот момент, расположив заданные точки на графике.

Проиллюстрируем описанное выше примером.

Уравнение плоскости в отрезках удобно использовать для построения чертежей. Проиллюстрируем это утверждение примером.

Плоскость может быть задана уравнением плоскости другого вида. Для того, чтобы изобразить заданную плоскость на чертеже, можно сначала перейти к уравнению плоскости в отрезках. Получив уравнение плоскости в отрезках, нам останется лишь отметить точки a, 0, 0, 0, b, 0, 0, 0, c и соединить их прямыми линиями.

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

Мы имеем общее уравнение плоскости в пространстве вида Ax+By+Cz+D=0 . И мы можем получить уравнение плоскости в отрезках. Сделать это можно в том случае, если плоскость пересекает все координатные оси, причем не в начале координат.

Не получится перевести общее уравнение плоскости в пространстве в уравнение плоскости в отрезках в тех случаях, когда плоскость проходит через одну из координатных осей или располагается параллельно оси. Другими словами, мы можем работать лишь с полным уравнением плоскости вида Ax+By+Cz+D=0, где A≠0, B≠0, C≠0, D≠0 .

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в пространстве производится следующим образом. Переносим слагаемое D в правую часть уравнения с противоположным знаком.

Ax+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz=-D

Так как D≠0 , то обе части полученного уравнения можно разделить на –D:  A-Dx+B-Dy+C-Dz=1 .

Так как A≠0, B≠0, C≠0 , то мы можем отправить в знаменатели коэффициенты перед переменными x, y и z. Последнее уравнение эквивалентно равенству x-DA+y-DB+z-DC=1 . При этом мы использовали очевидное равенство pq=1qp, p, q∈R, p≠0, q≠0 .

В итоге, мы получаем уравнение плоскости в отрезках. Это становится хорошо видно в том случае, если обозначить -DA=a, -DB=b, -DC=c.

Разберем решение примера.

Окружность отсекает отрезки на осях

Какие отрезки на координатных осях отсекает плоскость 2x + 3y – 5 z + 30 = 0?

У точки, лежащей на оси Ox, координаты y и z равны нулю.

Полагая в уравнении плоскости y = z = 0, получим для определения величины отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Oy, полагаем в уравнении плоскости x = 0 и z = 0 и получаем 3y + 30 = 0, или y = -10. Наконец, величину отрезка, отсекаемого на оси Oz, найдем, положив в уравнении плоскости x = 0 и y = 0. Получим -5z + 30 = 0 и z = 6.

Этим заканчивается решение задачи. Можно было бы поступить и проще, преобразовав данное уравнение к виду в отрезках на осях

Для этого перенесем в правую часть равенства свободный член. Данное уравнение запишется в виде 2x + 3y – 5z = -30.

Разделим теперь обе его части на -30 и получим

Величины отрезков, отсекаемых на координатных осях, равны:

Найти длину отрезка, отсекаемого окружностью x ^ 2 + y ^ 2 – 5x – 6y + 4 = 0 от оси ординат?

Математика | 5 – 9 классы

Найти длину отрезка, отсекаемого окружностью x ^ 2 + y ^ 2 – 5x – 6y + 4 = 0 от оси ординат.

Даны варианты ответа.

y1 – 2 = (6 + – √20) / 2 = 3 + – √5

длина отрезка = y2 – y1 = (3 + √5) – (3 – √5) = 3 – 3 + √5 + √5 = 2√5.

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ, А( – 4, 4)и В (2 ; 1)с осью ординат?

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ, А( – 4, 4)и В (2 ; 1)с осью ординат.

Окружность с центром О(5 ; 4) отсекает от прямой х + 2у – 3 = 0 хорду длиной 8?

Окружность с центром О(5 ; 4) отсекает от прямой х + 2у – 3 = 0 хорду длиной 8.

Вычислите длину окружности и площадь круга, ограничиваемой данной окружностью.

Составить уравнение прямой которая проходит через точку С (3 ; – 7) и отсекает на координатных осях, отличных от нуля отрезки одинаковой длины?

Составить уравнение прямой которая проходит через точку С (3 ; – 7) и отсекает на координатных осях, отличных от нуля отрезки одинаковой длины.

Сечение цилиндра параллельно его оси отсекает от окружности основания дугу в 120 радиус основания 6см?

Сечение цилиндра параллельно его оси отсекает от окружности основания дугу в 120 радиус основания 6см.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 120º?

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 120º.

Найти площадь сечения, если высота цилиндра равна 7 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 2см.

Даны точки А ( – 4 ; 4 ), В ( 2 ; 1)?

Даны точки А ( – 4 ; 4 ), В ( 2 ; 1).

Найдите координаты точки пересечения отрезка А В с осью ординат.

Как найти деаметр окружности если дана длинна?

Как найти деаметр окружности если дана длинна.

В цилиндре проведена параллельно его оси плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 120 градусов?

В цилиндре проведена параллельно его оси плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 120 градусов.

Высота цилиндра 12 см, расстояние плоскости от оси 4 см.

Найти площадь сечения.

В цилиндре проведена плоскость параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°?

В цилиндре проведена плоскость параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°.

Вычислите площадь сечения, если длинна оси равна 10 см, а её расстояние от секущей плоскости равно 2 см.

Являются ли графики функций у = kx и у = – kx симметричными относительно : а)оси абцисс б) оси ординат?

Являются ли графики функций у = kx и у = – kx симметричными относительно : а)оси абцисс б) оси ординат.

Вы зашли на страницу вопроса Найти длину отрезка, отсекаемого окружностью x ^ 2 + y ^ 2 – 5x – 6y + 4 = 0 от оси ординат?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 – 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Уравнение прямой в отрезках на осях позволяет строить прямую в координатной плоскости без каких-либо дополнительных вычислений.

при условии a≠0, b≠0, c≠0 (то есть прямая не параллельна ни одной из осей координат и не проходит через начало отсчёта).

Перепишем уравнение в виде

и разделим обе части на -с:

Это — уравнение прямой в отрезках на осях, так как числа m и n соответствуют длинам отрезков (с соответствующими знаками), которые прямая отсекает на осях координат (считая от начала отсчёта).

В самом деле, в точке пересечения с осью Ox y=0:

В точке пересечения с осью Oy x=0:

отсекает на оси Ox отрезок -2, на оси Oy — отрезок 4.

Отмечаем на координатной плоскости точки (-2; 0) и (0;4) и проводим через них прямую.

Прямая

отсекает на оси Ox отрезок 3, на оси Oy — отрезок -6.

Отмечаем точки (3;0) и (0;-6) и проводим через них прямую.

[spoiler title=”источники:”]

http://matematika.my-dict.ru/q/4563414_najti-dlinu-otrezka-otsekaemogo-okruznostu-x/

[/spoiler]

В 4:40 поступил вопрос в раздел Математика, который вызвал затруднения у обучающегося.

Вопрос вызвавший трудности

Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку M (2, -3, 3) параллельно плоскости 3x+y-3z=0.

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru

Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике “Математика”. Ваш вопрос звучал следующим образом:

Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку M (2, -3, 3) параллельно плоскости 3x+y-3z=0.

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

2*x+8-8*y+10*z = 0-уравнение плоскости, которая проходит через данную точку параллельно данной плоскости. Теперь записываем уравнение плоскости в отрезках на осях, получаем длины отрезков.

——————-

.

Таким образом,
плотность упаковки частицами пространства внутри вещества составляет  .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 4. Определить
отрезки, отсекаемые на осях пространственной решетки плоскостью, заданной
индексами Миллера .

ДАНО: индексы Миллера

А, В, С – ?

АНАЛИЗ. Данная задача на основы кристаллографии. За единицы измерения
отрезков на координатных осях приняты периоды кристаллической решетки .

РЕШЕНИЕ. Запишем величины, обратные индексам плоскости . Общий знаменатель дробей 10. Умножим
дроби на общий знаменатель. Полученные числа определяют искомые отрезки .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 5. Какое наибольшее число линий может быть получено на
рентгенограмме, снятой на излучении с длиной волны Å
от кристалла простой кубической системы с параметром решетки Å.

АНАЛИЗ. Кристаллографические плоскости можно рассматривать как плоскости,
зеркально отражающие рентгеновские лучи. Расстояние d между параллельными плоскостями с индексами Миллера () для кубической системы

,

Между лучами 1 и 1¢, падающими
под углом скольжения θ, возникает разность хода  (рис.
3.2.7). При условии  наблюдается максимум
первого порядка, который и фиксируется на рентгенограмме. Предполагается, что
образец имеет поликристаллическую структуру, и на его поверхность выходят
плоскости с разными индексами , а, следовательно,
и . Необходимо выделить все возможные
решения, вытекающие из условия .

Очевидно, что , а, следовательно, . В нашем случае . Откуда .
Составим таблицу возможных комбинаций .

Таблица
возможных комбинаций индексов Миллера .

	1	2	3	4	5	6	9	9	10	11