Как найти величины внешних углов треугольника

Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине

Теорема о внешнем угле треугольника — одна из основных теорем планиметрии.

Формулировка[править | править код]

Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине (см. рис.).
Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

  • Внешний угол равен разности между 180° и его внутренним углом, смежным с ним. Внешний угол может принимать значения от 0 до 180° не включительно.
  • Теорема о внешнем угле треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом. Иными словами, (см. рис.): {displaystyle d=a+c.}

История[править | править код]

В евклидовом доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника, принадлежащем Евклиду, (а также и результата о том, то сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 180°) сначала проводится прямая, параллельна стороне AB, проходящая через вершину C, а затем, используя свойство соответственных углов при двух параллельных прямых и одной секущей и о внутренних накрест лежащих углах при двух параллельных прямых, требуемое утверждение получают как иллюстрацию (см. рис.).[1].

Применение[править | править код]

Теорема о внешнем угле треугольника используется тогда, когда пытаются вычислить меры неизвестных углов в геометрии, в задачах с многоугольниками, где используются треугольники.

Примечания[править | править код]

  1. Heath, 1956, Vol. 1, p. 316

Литература[править | править код]

  • Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1748-1
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
  • Heath, Thomas L.  (англ.) (рус.. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (неопр.). — 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. — New York: Dover Publications, 1956.
(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
  • Henderson, David W. & Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson/Prentice-Hall, ISBN 0-13-143748-8
  • Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3
  • Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill
  • Wheater, Carolyn C. (2007), Homework Helpers: Geometry, Franklin Lakes, NJ: Career Press, с. 88–90, ISBN 978-1-56414-936-7

Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?

Определение.

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.vneshniy ugol treugolnika

На рисунке:

∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

Сколько внешних углов у треугольника?

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.

vneshniy uglyi treugolnika Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):

∠1=∠4,  ∠2=∠5,  ∠3=∠6.

Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.

Чему равен внешний угол?

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

teorema o vneshnem ugle treugolnika

Дано: ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.

Доказать: ∠1=∠А+∠В.

Доказательство:

Так как сумма углов треугольника равна 180º, ∠А+∠В+∠С=180º.

Следовательно, ∠С=180º-(∠А+∠В).

∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.

Что и требовалось доказать.

Внешний угол треугольника

Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.

∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

Сколько внешних углов у треугольника?

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.

Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):

Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.

Чему равен внешний угол?

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.

∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.

Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем в геометрии 7 класса – о внешнем угле треугольника. Также разберем примеры решения задач, чтобы закрепить представленный материал.

Определение внешнего угла

Для начала вспомним, что такое внешний угол. Допустим у нас есть треугольник:

Смежный с внутренним углом ( λ ) треугольника угол при той же вершине является внешним. На нашем рисунке он обозначен буквой γ .

    сумма данных углов равна 180 градусам, т.е. γ + λ = 180° (свойство внешнего угла);

Формулировка теоремы

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Из данной теоремы следует, что внешний угол треугольника больше любого из несмежных с ним внутренних углов.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник, в котором известны значения двух углов – 45° и 58°. Найдите внешний угол, смежный с неизвестным углом треугольника.

Решение
Воспользовавшись формулой теоремы получаем: 45° + 58° = 103°.

Задание 1
Внешний угол треугольника равен 115°, а один из несмежных с ним внутренних углов – 28°. Вычислите значения оставшихся углов треугольника.

Решение
Для удобства будем использовать обозначения, указанные на рисунках выше. Известный внутренний угол примем за α .

Исходя из теоремы: β = γ – α = 115° – 28° = 87° .

Угол λ является смежным с внешним, а значит вычисляется по следующей формуле (следует из свойства внешнего угла): λ = 180° – γ = 180° – 115° = 65° .

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.


Обратите внимание, что:

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .

Пусть — внешний угол при вершине .

Зная , найдем по формуле

2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vneshnij-ugol-treugolnika/

[/spoiler]

Внешний угол треугольника

  • Сумма внешних углов

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

Внешний угол треугольника

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника  ABC,  то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Внешние углы треугольника

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна  180°:

∠1 + ∠4 = 180°.

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна  180°, значит:

∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Из этого следует, что

∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 + ∠4.

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

∠1 = ∠2 + ∠3.

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна  360°

Рассмотрим треугольник  ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны  180°.  Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны  540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° – (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° – 180° = 360°.

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Основные определения

Прежде чем рассмотреть определение внешнего угла треугольника, напомним несколько основных определений из начального курса геометрии, а именно:

  • угла и треугольника;
  • смежных углов;
  • параллельных прямых.

Угол и треугольник являются геометрическими фигурами. Угол состоит из точки (вершины) и двух лучей (сторон угла), которые исходят из данной точки. Треугольник представляет собой три точки (вершины), соединённые отрезками (сторонами). Треугольник имеет три угла.

Определение 1

Смежными называют два угла, имеющие одну общую сторону, а другие две стороны являются продолжениями друг друга.

На рисунке ниже смежными углами являются углы $ADB$ и $BDC$. $angle ADB + angle BDC = angle ADC = 180^{circ}$.

Смежные углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Смежные углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Параллельными называются две непересекающиеся прямые на одной плоскости. Секущей по отношению к двум прямым называется прямая, которая пересекает две прямые в двух точках. Если две прямые параллельны, то в случае пересечения пары этих прямых секущей, получившиеся в результате этого действа накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^{circ}$.

Теорема о сумме углов треугольника

Понятие внешнего угла треугольника встречается в теореме о сумме углов треугольника, которая звучит следующим образом:

Сумма углов треугольника равна $180^{circ}$.

«Внешний угол треугольника: определение и свойство» 👇

Приведём её доказательство.

Пусть дан произвольный $triangle ABC$. Нужно доказать, что $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$.

Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проведём прямую $b$ через вершину $B$, которая будет параллельна стороне $AC$.

Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что углы 1 и 5 – накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $b$ и $AC$ секущей $AB$. Углы 3 и 4 также являются накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прмяых секущей $BC$. Делаем вывод, что: $angle 5 = angle 1, angle 4 = angle 3$.

Очевидно, глядя на рисунок, что сумма углов 2, 4 и 5 равна $180^{circ}$. Отсюда следует, что $angle 1 +angle 2 +angle 3 = 180^{circ}$ или $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$. Ч.т.д.

Внешний угол треугольника

В доказательстве теоремы о сумме углов треугольника есть два примера внешнего угла треугольника. Это углы 4 и 5. Дадим определение:

Определение 2

Внешний угол треугольника – это угол, являющийся смежным с каким-нибудь углом данного треугольника.

Имеем теорему:

Теорема 2

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов данного треугольника, не являющихся смежным с внешним углом.

Докажем эту теорему.

Рассмотрим следующий рисунок:

Внешний угол треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Внешний угол треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Мы видим, что угол 4 является внешним углом, смежным с 2 углом треугольника. Очевидно, что $angle 4 +angle 2 = 180^{circ}$. По теореме о сумме углов:

$(angle 1 +angle 3)+angle 2=180^{circ}$. Отсюда следует, $angle 4 = angle 1 +angle 3$. Ч.т.д.

Рассмотрим пример задачи на данную тему.

Пример 1

Задача. $triangle ABC$ – равнобедренный. $AC$ – основание этого треугольника. $AC$=37 см, внешний угол при $B$ равняется $60^{circ}$. Нужно найти расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.

Решение. Сделаем рисунок:

Треугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Треугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На рисунке прямая, обозначающая расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ обозначена как $CD$. В математике такое расстояние называют высотой. По определению высоты треугольника, прямая высоты перпендикулярна той стороне, на которую опущена. То есть $angle ADC = 90^{circ}$.

По теореме о внешнем угле треугольника находим $angle B$: $angle B=180-60=120^{circ}$. По теореме о сумме углов треугольника получается, что $angle A + angle C = 180-120=60$. Так как треугольник равнобедренный, углы у основания равны по $30^{circ}$.

Рассмотрим $triangle ADC$. Из вышеуказанного следует, что он прямоугольный. Из свойства прямоугольных треугольников известно, что катет такого треугольника, который лежит против угла $30^{circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, $СD$ является катетом против угла $30^{circ}$, а $AC$ – гипотенуза. Поэтому справедливо утверждать, что $CD=37/2=18,5$ см.

Ответ: 18,5 см.

Таким образом, в данной статье мы получили полное представление о том, что такое внешний угол треугольника и разобрали сопутствующие теоремы.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Добавить комментарий