Как найти верное тождество

Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.

Что представляет собой тождество

Начнем с определения понятия тождества.

Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.

По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.

Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.

Знак тождества

Запись равенства предполагает наличие знака равенства «=», от которого справа и слева располагаются некоторые числа или выражения. Знак тождества имеет вид трех параллельных линий «≡». Он также носит название знака тождественного равенства.

Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Примеры тождеств

Обратимся к примерам.

Числовые равенства 2≡2 и -3≡-3 это примеры тождеств. Согласно определению, данному выше, любое верное числовое равенство по определению является тождеством, а приведенные равенства верные. Их также можно записать следующим образом 2≡2 и -3≡-3.

Равенства 2+3=5 и 7−1=2·3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2+3≡5 и 7−1≡2·3.

Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.

Возьмем равенство 3·(x+1)=3·x+3. Это равенство является верным при любом значении переменной x. Подтверждает сей факт распределительное свойство умножения относительно сложения. Это значит, что приведенное равенство является тождеством.

Возьмем тождество y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y2:y. Рассмотрим область допустимых значений переменных x и y. Это любые числа, кроме нуля.

Если вспомнить тригонометрию и логарифмы, то здесь мы также можем найти примеры тождеств. Это основное логарифмическое тождество alogab=b и основное тригонометрическое тождество вида sin2α+cos2α=1.

В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.

Понятие тождества

Существует несколько вариантов определения тождества. Еще один вариант можно дать, есть рассматривать его с точки зрения допустимых значений переменных. В этом случае оно будет звучать так:

Тождество это верное равенство, или равенство, которое будет правильным при любом возможном значении переменных в его составе.

Школьная программа предусматривает подробное изучение этой темы по алгебре в седьмом классе. Школьная программа для детей этого возраста предполагает работу только с целыми числами. Подобные выражения не теряют смысла только в том случае, если в качестве переменных целые числа.

Если для сравнения взять программу восьмого класса, то мы увидим, что она более объемная за счет разбора выражений, которые становятся верными только если переменные приобретают значение из ОДЗ. Это и становится причиной пере формулировки определения, согласно которой тождество становится одним из примеров равенства. Это определение дает понять, что не каждое равенство можно считать тождеством.

Знак тождества

В математике равенство записывается через знак «=». Он уместен в том случае, если по обе стороны от него расположены равные выражения. Тождество в математике обозначается знаком, похожим на знак равенства, только состоящим из трех поперечных полосок «≡». В математике он называется знаком тождества, или тождественного равенства.

Математические выражения тождества и равенства практически ничем не отличаются, и по сути своей одинаковы. Знак тождественного равенства ставится с той целью, чтобы подчеркнуть, что в данном случае перед нами тождество.

Примеры тождественных выражений

Если обратиться к определению тождественного равенства, которое приведено выше, то можно сказать, что любое численное верные равенства можно назвать тождественными. Записываются они через знак тождества таким образом, как в примере.

Примеры равенств можно записывать так:

8-4=4

3×3=16-7

Эти же примеры можно записать, как тождество:

8-4≡4

3×3≡16-7

В качестве составляющих могут быть не только цифры, но и переменные. Примером такого равенства может быть подобное выражение:

5×(x+4)=5×x+20

Такое выражение будет равным, независимо от того, какое значение будет иметь переменная x.

Доказывается это применением распределительного свойства умножения относительно суммирования. Это объясняет то, что приведенный пример можно назвать тождеством.

Еще один пример тождественного равенства с переменными выглядит так:

y+2=y-2

Есть множество значений, при которых написанное равенство может быть неверным.

Как доказать тождество

Тождественные преобразования выражений: правила

Если мы имеем дело с более сложными примерами, то уместно преобразование, которое производится в следующем порядке:

• Преобразовывать можно обе части выражения сразу.
• Преобразовывается либо одна, либо вторая часть.
• Перемножить обе составляющие на одну и ту же цифру.
• Перенести составляющие через знак равенства, изменив знак на противоположный.

 

В простых случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности, можно просто вычислить правую и левую части.

Пример. Доказать тождество ((2,5+5cdot) (frac{6}{15})()^2=22-1,75).
Решение:

((2,5+5cdot) (frac{6}{15})()^2=22-1,75)
( (2,5+) (frac{6}{3})()^2=20,25)
((2,5+2)^2=20,25) 
((4,5)^2=20,25) 
(20,25=20,25) 
Тождество доказано.

В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что просто посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно: 

1. Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
2. Преобразовывать только левую или только правую часть.
3. Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
4. Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
5. Использовать все математические правила и формулы (формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример.
Доказать тождество ((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)).
Решение:

((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2))	Работаем с левой частью, не трогая правую. С помощью формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…
(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2))	…затем приводим подобные слагаемые,…
(2a^2+2b^2=2(a^2+b^2))	…после чего вынесем за скобку двойку.
(2(a^2+b^2 )=2(a^2+b^2))	Обе части равны – тождество доказано

Пример.
Доказать тождество (x^2+frac{1}{x^2} =(x+frac{1}{x})^2-2).
Решение:

(x^2+frac{1}{x^2} =(x+frac{1}{x})^2-2)	Преобразуем правую часть, не трогая левую. Раскроем скобки с помощью формулы квадрата суммы,…
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+2xcdotfrac{1}{x}+frac{1}{x^2} -2)	…упростим одно из слагаемых, сократив (x) и (frac{1}{x}), …
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+2+frac{1}{x^2} -2)	… и приводим подобные слагаемые   ((2) и (-2)).
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+frac{1}{x^2})	Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.

Смотрите также:
Тождество
Как доказать тригонометрическое тождество?

Скачать статью

Решение:

выпишем отдельно левую часть равенства и преобразуем, т. е. попытаемся доказать, что она равна правой части.

При раскрытии скобок (обеих) знаки поменяем, т. к. перед скобками стоит знак минус.

2t−(17−(t−7))=2t−17+(t−7)==2t¯−17+t¯−7=3t−24=3(t−8).

Получили, что левая часть исходного равенства равна правой.

Значит, исходное равенство — тождество.

Как доказать тождество?

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

В простых случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности , можно просто вычислить правую и левую части.

В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что просто посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно:

1. Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
2. Преобразовывать только левую или только правую часть.
3. Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
4. Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
5. Использовать все математические правила и формулы ( формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.

Работаем с левой частью, не трогая правую.
С помощью формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…

Обе части равны — тождество доказано

Преобразуем правую часть, не трогая левую.
Раскроем скобки с помощью формулы квадрата суммы ,…

…упростим одно из слагаемых, сократив (x) и (frac<1>) , …

Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.

Источник

Что необходимо знать ученику о тождествах в алгебре

Тождественные преобразования — основные понятия и определения

Перед началом работы с тождественными выражениями в математике необходимо разобраться что называют тождеством. Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных. Можно сказать, что тождеством является любое числовое равенство.

Тождества проходят в курсе алгебры за 7 класс. Однако с первыми представлениями о тождествах (равенствах) начинают знакомиться еще в начальной школе.

В алгебре используется понятие закона тождества как арифметического равенства чисел и выражений между собой, x ≡ x . Закон тождества иначе называется правило тождества, и оно гласит: «Всякое высказывание тождественно самому себе».

Справа и слева от знака равенства (=) располагаются одинаковые числа или выражения. Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства.

Знак тождества ( ≡ ) может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Простейшими примерами тождеств являются: 2 + 3 = 5 , 2 = 2 , a 2 + a 2 = 2 a 2 .

Можно дать определение тождеству:

Тождественными выражениями в алгебре называют буквенные выражения, которые при любых числовых значениях этих букв (переменных) равны между собой.

Тождественным преобразованием называют получение таких выражений, значения которых равны исходным при любых допустимых значениях переменных.

Тождественное преобразование всегда предполагает замену данного выражения другим, сохраняя при этом их равенства.

Тождественные выражения в математике

Тождественные выражения в математике могут быть различных видов. Простейшими числовыми тождествами можно назвать любое равенство чисел, например 2 , 5 = 2 , 5 , 2 , 5 = 1 , 5 + 1 .

Более сложными тождественными выражениями являются буквенные, например a 2 * a 2 = a 4 , или a 2 + a 2 = 2 a 2 .

Также тождество образует равенство после нахождения корней уравнения, например уравнение x-3=7, при x=10 образует тождество.

В тригонометрии тождественными выражениями можно считать формулы приведения и основное тригонометрическое тождество.

Тождественные преобразования выражений

В курсе алгебры 7 класс при работе с тождественными выражениями учатся также доказывать тождества. Доказать тождество — значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части представляют собой тождественно равные выражения. Чтобы доказать тождество, необходимо выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.

Существует несколько способов тождественных преобразований выражений, приведем некоторые из них:

1. Использование переместительного, распределительного и сочетательного законов для числовых выражений.
2. Сокращение алгебраических дробей.
3. Вынесение общего множителя за скобку и группировка.
4. Работа с формулами сокращенного умножения.
5. Тригонометрические формулы приведения и др.

Пояснения на примерах

Разберем несколько примеров решения тождеств.

Докажите тождество 25 * ( 5 + 10 ) = 25 * 5 + 25 * 10 .

Доказать это тождество можно, воспользовавшись распределительным свойством умножения вида:

a * ( b + c ) = a b + a c .

Применим наше свойство и получим, что 25 * ( 15 ) = 125 + 250 , 375=375.

Доказать тождество ( 2 a — 3 ) 2 — 4 a ( a + 1 ) = — 16 a + 9 .

Докажем это тождество, воспользовавшись формулами сокращенного умножения (квадрата разности) в левой части.

После раскрытия скобок получим выражение 4 a 2 — 12 a + 3 2 — 4 a 2 — 4 a .

Приведем в нем подобные, в итоге выражение примет вид:

— 12 a — 4 a + 9 = — 16 a + 9 .

Таким образом, выражение в левой части с помощью преобразования было приведено к выражению в правой части.

Доказать тождество 7 p — 35 p — 5 = 7 .

В левой части тождества выполним преобразование: вынесение общего множителя за скобки (в числителе дроби).

Получим дробь 7 * ( p — 35 ) p — 5 .

В числителе и знаменателе имеется одинаковое выражение, которое можно сократить.

В результате выражение в левой части будет равно 7.

Надо доказать основное тригонометрическое тождество sin α 2 + cos α 2 = 1 .

Для доказательства тождества вспомним, что синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тогда выразим синус и косинус угла через стороны прямоугольного треугольника.

Пусть АВ — гипотенуза треугольника, а АС и СВ — его катеты.

Получим sin α 2 = B C 2 A B 2 , cos α 2 = A C 2 A B 2 .

Далее по теореме Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

B C 2 + A C 2 = A B 2 .

Разделим теперь и правую часть тождества на гипотенузу A B 2 ,

получим: B C 2 / A B 2 + A C 2 / A B 2 = A B 2 / A B 2 , A B 2 A B 2 = 1 .

Докажем формулу приведения sin π + x = — sin x .

По формуле суммы тригонометрического угла распишем sin π + x = sin π * cos x + cos π * sin x = 0 * cos x + ( — 1 ) * sin x = — sin x .

Левая часть равна правой, значит тождество доказано.

Источник

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Источник

Решение тождественных уравнений примеры решений

Тождественные преобразования

Что такое тождественные преобразования

Тождество — это равенство, выполняемое на всем множестве значений переменных, которые в него включены.

К примеру, тождествами являются, в том числе, квадратные выражения:

a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

В рассмотренных выражениях любые значения a и b обращают их в верные равенства, что полезно знать при решении примеров.

Тождественно равными выражениями называют такие два выражения, которые обладают равными значениями при всех значениях переменных.

Данное равенство существует только в том случае, когда:

Рассматриваемое равенство не является тождеством, а представляет собой уравнение. Для обозначения тождественного равенства принято использовать символ тройного равенства: ≡ .

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является верным при любом из значений переменных. Уравнение же верно лишь в том случае, когда имеется одно или несколько значений переменных.

Это уравнение верное только, когда ответ соответствует х = 10 .

В этом случае тождество не включает в себя переменные.

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) представляет собой замену одних выражений на другие, которые тождественно равны между собой.

Данное объяснение преобразований позволяет значительно упростить решение задач. К примеру, для этого используют законы сокращенного умножения, арифметические свойства и другие тождества.

Рассмотрим конкретный пример:

Выполним работу по тождественным преобразованиям этой дроби:

x 3 – x x 2 – x = x ( x 2 – 1 ) x – 1 = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x ( x – 1 ) = x + 1

x 3 – x x 2 – x = x + 1

В результате получили тождество, которое существует, если х ≠ 0 и х ≠ 1 . То есть необходимо исключить недопустимые значения, так как знаменатель слева не должен принимать нулевые значения:

Доказательство тождеств

В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:

• тождественно преобразовать обе или только одну часть равенства;
• получить в обеих частях идентичные алгебраические выражения.

В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:

x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x

В первую очередь избавимся от х , записав его за скобками:

x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x

Заметим, что можно сократить х :

x 2 – 1 x – 1 = x + 1

( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1

Выполним сокращение на х — 1 :

Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1

Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:

x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0

Упростим вычисления с помощью сокращения х :

Выполним подстановку какого-то числа вместо х , например, числа 5:

Данное равенство не является тождеством.

Примеры тождеств

Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.

От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:

От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:

Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:

128 × 32 = 32 × 128

При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:

a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )

Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:

a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )

Приведем примеры таких тождественных преобразований:

15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )

6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11

При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:

( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e

Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:

( a + b ) × e = ( c + d ) × e

( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e

Запишем несколько примеров:

35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4

42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12

Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:

Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:

Рассмотрим примеры тождественных преобразований:

76 – 15 – 29 = 76 + ( — 15 ) + ( — 29 )

42 ÷ 3 = 42 × 3 — 1

Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:

Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:

1. В первую очередь выполняют возведение в степень, извлекают корни, вычисляют логарифмы, тригонометрические и прочие функции.
2. Далее можно приступать к действиям с выражениями, заключенными в скобки.
3. На последнем этапе, начиная с левой стороны, двигаясь вправо, выполняют действия, которые остались. При этом умножение и деление являются приоритетными, выполняются в первую очередь. Затем можно приступить к сложению и вычитанию. Данное правило распространяется и на выражения, записанные в скобках.

14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65

20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.

Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:

117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38

1040 – ( — 218 – 409 + 192 ) = 1040 + 218 + 409 – 192

22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14

18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6

Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.

3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )

28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )

31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )

В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.

Примеры тождественных преобразований:

( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225

Решение тождественных уравнений примеры решений

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.

Тождество

Тема урока: § 4. Тождество.

Тождественные выражения

Сравним значения выражений ( 2x+3x^ ) и ( 5x^ ) при некоторых значениях переменной ( x.) При ( x=2) значение первого выражения ( 16,) а второго ( 40.) Числа ( 16) и ( 40) — соответственные значения выражений: ( 2x+3x^ ) и ( 5x^ .) Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице:

$$textcolor $$	$$-0,4$$	$$-0,1$$	$$ 0 $$	$$0,1$$	$$ 1 $$
$$2x+3x^ $$	$$-0,32$$	$$-0,17$$	$$0$$	$$0,23$$	$$5$$
$$5x^ $$	$$-0,32$$	$$-0,005$$	$$0$$	$$0,005$$	$$5$$

Легко заметить, что не при всех значениях переменной ( x) значения выражений ( 2x+3x^ ) и ( 5x^ ) равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны.

Что такое тождество?

Выражения ( x+5) и ( 5+x) тождественно равны, поэтому равенство ( x+5=5+x) верно при любых значениях ( x.) Такое равенство называют тождеством.

Определение:
Тождеством называется такое равенство двух выражений, которое верно при любых значениях переменных.

Примеры тождеств

Верное числовое равенство также называют тождеством.

Тождественные преобразования выражений

Рассмотрим выражения ( x(y+7)) и ( xy+7x.) Вычислим их значения при ( x=9) и ( y=-2)

Мы видим что при ( x=9) и ( y=-2) соответственные значения выражений ( x(y+7)) и ( xy+7x) равны. Из распределительного и переместительного свойств умножения следует, что соответственные значения этих выражений равны при любых значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны.

При решении уравнений, вычислении значений выражений и ряде других случаев одни выражения заменяют другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами. Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений. К ним относятся, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.

Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме (5x+2x-3x.)

Чтобы привести подобные слагаемые, надо, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Имеем: $$5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x$$ Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки выражения (2a+(b-3c).)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”: если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Получим: $$2a+(b-3c)=2a+b-3c$$ Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении (a-(4b-c).)

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”: если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Выполненное преобразование также основано на свойствах действий над числами. Действительно, представим данное выражение в виде суммы: $$a-(4b-c)=a+(-1)cdot(4b-c)$$ Применим распределительное и сочетательное свойства умножения:

Доказательство тождеств

Если в выражении (textcolor ) раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые, то получится тождественно равное ему выражение (textcolor )

верно при любых значениях переменных. Такие равенства называют тождественными.

Свойства действий над числами также являются тождествами, приведем некоторые из них:

Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Докажем, например, тождество $$tag 7(2+b)-(14-b)=8b$$ Преобразуем левую часть равенства ((1):)

Для доказательства тождества иногда преобразуют каждую его часть. Докажем, например, тождество $$tag d(c-a)+ab=a(b-d)+cd$$ Выполним преобразования: [smallbegin d(c-a)+ab=cd-ad+ab, \ a(b-d)+cd= \ ab-ad+cd= \ cd-ad+ab end]

Левая и правая части равенства ((2)) тождественно равны одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно равны между собой. Значит, равенство ((2)) — тождество.

Не всякое равенство есть тождество. Так, равенство (x+2=2x) не является тождеством. Действительно, если бы это равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех значениях (x.) Однако, например, при (x=1) это равенство не является верным. Значит, оно не является тождеством.

Задачи для самостоятельного решения

№1. Являются ли выражения тождественно равными:

Первые два выражения тождественно равны. Т.е. равны при любых значениях переменной (footnotesize c. )

Вторая пара является тождеством, можно понять с помощью сочетательного закона сложения: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$

Тождество, т.к. (footnotesize -2a+2a=2a-2a=0 )

Тождество, т.к. (footnotesize (x-x)a=0cdot a=0 )

Пятая пара выражений не будет являться тождеством. Предположим обратное:

Видно что равенство верно при (footnotesize x=y,) но если (footnotesize x) и (footnotesize y) отличны друг от друга, то равенства достигаться не будет.

Тождество. Рассмотрим первое выражение

Видно, что первое выражение в точности является вторым.

№2. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное
свойства умножения:

Источник