Как найти верные цифры в широком смысле

Приближенные
значения величин обычно записывают в
виде десятичных дробей с конечным числом
цифр.

Значащими цифрами
в записи десятичной дроби
называются все цифры, начиная с первой
ненулевой слева. Например, в дроби
0,00102030004
значащими цифрами (подчеркнуты) являются
все цифры, начиная с третьей после
запятой.

Цифра в записи
приближенного значения
числовой величиныx
называется верной в широком (строгом)
смысле слова,
если абсолютная погрешность
приближенного значения
не превышает
единицы (половины единицы) разряда, в
котором стоит эта цифра.

Все цифры верные
в строгом смысле слова, очевидно, будут
верными и в широком смысле. Рассмотрим
несколько примеров.

Пример 1

Пусть
,= 0,000007899.Требуется найти верные цифры в
записив широком и строгом смысле слова и
подчеркнуть их одинарной и двойной
линией соответственно. Проверяя для
каждой цифры в записитребование, сформулированное в определении
верных цифр, получим, что цифры 0, 1, 2, 3 и
4 будут верными в широком и строгом
смысле слова одновременно. Цифра 5 будет
верной в широком смысле слова, но не
будет верной в строгом смысле слова:.

Отметим, что в
разрядах, в которых в записи

стоят незначащие нули, в записи
стоят верные цифры в широком смысле
слова.

Пример
2

Пусть теперь
,=0,000007899. Требуется найти верные цифры в
записив широком и строгом смысле слова.

Абсолютная
погрешность

нам неизвестна, а известна лишь ее оценка

.
Если оценка абсолютной погрешностиприближенного значения
не превышает
единицы (половины единицы) разряда, в
котором стоит цифра (в записи
),
то эта цифра, очевидно, также будет
верной в широком (строгом) смысле слова
.
Проверяя для каждой цифры в записи
это требование,
получим часть верных цифр:
.
Но, поскольку мы проверяем заведомо
более жесткое требование, чемэто,
среди неподчеркнутых цифр также могут
оказаться верные, если погрешность
окажется намного меньше своей оценки.

Отметим, что в тех
разрядах, в которых в записи
стоят незначащие нули, в записистоят верные цифры в широком смысле
слова.

Пример
3

Пусть,
=0,123456789,
=0,123457899.
В записи точного и приближенного значений
подчеркнуты совпадающие цифры.
Непосредственная проверка для каждой
цифры в записи
требования, сформулированного в
определении верных цифр, показывает,
что все подчеркнутые (совпадающие) цифры
являются верными в широком смысле слова,
а неподчеркнутые – неверными.

Но такое совпадение
верных цифр (в широком смысле слова) в
записи
с соответствующими цифрами в записииногда нарушается. Это связано с тем,
что некоторые вещественные числа могут
записываться в десятичной системе двумя
различными способами, например
1=1,0000…=0,9999… .

Пример
4

Пусть
=1,0000…,=0,9999.
В записи точного и приближенного значений
нет ни одной совпадающей цифры.
Непосредственная проверка для каждой
цифры в записитребования, сформулированного в
определении верных цифр, показывает,
что цифры в записиявляются верными в широком смысле слова.
В то же время если записатьдругим способом=0,9999…,
то все верные цифры в записибудут совпадать с соответствующими
цифрами в записи точного значения.

Рассмотренные
примеры позволяют сформулировать
некоторые свойства верных цифр.

Свойства
верных цифр:

1. В тех десятичных
   разрядах, где в записи
   (или)
   стоят незначащие нули, в записидолжны стоять верные цифры в широком
   смысле слова (докажите это самостоятельно).

2. Верные цифры в
   записи приближенного значения
   всегда совпадают с соответствующими
   цифрами в записи точного значения,
   если выбрать необходимую форму его
   записи в виде десятичной дроби

Установим теперь
связь между величинами абсолютной и
относительной погрешностей приближенного
значения и количеством верных цифр в
его записи. Пусть абсолютная погрешность
приближенного значения
равна.
Определим количество верных цифр в
широком смысле слова в записипосле запятой. Запишемв общем виде, указывая только разряды
и не указывая конкретных цифр, и подчеркнем
разряды, в которых будут располагаться
верные цифры в широком смысле слова:

.

Итак, если
абсолютная погрешность приближенного
значения
равна
,
то после
десятичной запятой в записи
будетn
верных
знаков.

Пусть теперь
относительная погрешность приближенного
значения
равна.
Установим общее количество верных
знаков в записи.
Для этого представимв показательной форме:.
Здесь–
вещественное число, называемое мантиссой,
ар
– целое число, называемое порядком
.
А для того, чтобы такое представление
дроби было однозначным потребуем, чтобы

.
(1.3.1)

Точное значение
величины
также запишем в показательной форме,
причем с тем же порядкомp:
.
Для мантиссы точного значенияне будет выполняться условие (1.3.1).
Значенияиестественно считать точным и приближенным
значениями мантиссы величиныx.
Тогда
ипредставляют собой абсолютную и
относительную погрешности приближенного
значения мантиссы.
Соответствующие цифры в записиидолжны совпадать попарно.Поэтому
и количество верных цифр в записи
ибудет одинаковым. Далее определяем
количество верных цифр в записи.
Запишем относительную погрешность

.

Отсюда

,

и, согласно формуле
(1.3.1), для абсолютной погрешности
получается оценка

(1.3.2)

Запишем
в общем виде

.

Из формулы (1.3.1)
следует, что первая цифра после десятичной
запятой в записи
должна быть отлична от нуля. Поэтому
все цифры в записипосле запятой являются значащими. Из
формулы (1.3.2) следует, что в записи
мантиссы должно быть не меньшеn
и не больше (n+1)
верной цифры после десятичной запятой,
причем все они являются значащими. Итак,
в мантиссе имеется или n
или (n+1)
верная значащая цифра. Поэтому общее
количество верных значащих цифр в записи
также будет равно либоn,
либо (n+1).

Таким образом, мы
показали, что если
относительная погрешность приближенного
значения

равна
,
то общее количество верных значащих
цифр в записи

равно либо n,
либо (n+1).

Соседние файлы в папке ВМ_УЧЕБНИК

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Верные и значащие цифры числа. Округление чисел.

 Наша система счета или счисления называется десятичной системой счисления, а 10 – основанием этой системы:

 разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Аналогично, разряды десятичных дробей: десятые, сотые, тысячные и т.д.

         В приближенном числе различают верные и сомнительные цифры. Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра.

Если же граница абсолютной погрешности больше единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными. Граница абсолютной погрешности ∆а находится непосредственно по записи приближенного значения а  числа х.

Например:                

24,5 ± 0,3    (| х – а | ≤ ∆а )

Приближенное значение 24,5

Граница абсолютной погрешности 0,3

0,3 < 1, значит верные цифры (в широком смысле) – это 2 и 4, а цифра 5 – сомнительная.

375 ± 20

Приближенное значение 375

Граница абсолютной погрешности 20

20 < 100, значит верная цифра 3, а цифры 7 и 5 сомнительные.

Когда рассматриваем верные цифры в широком смысле, то достаточно посмотреть на границу абсолютной погрешности и взять цифры приближенного числа, которые на разряд больше, чем граница абсолютной погрешности.

         Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана эта цифра. Если же граница абсолютной погрешности больше половины единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными.

         В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчётах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа, все цифры должны быть верными.

         Значащими цифрами приближенного числа, выраженного десятичной дробью считаются все верные цифры этой дроби, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.

Например:

Приближенное число 10,408 имеет 5 значащих цифр, так как крайняя слева цифра числа отлична от нуля (она равна 1)

Приближенное число 0,01104 имеет 4 значащие цифры:1, 1, 0, 4. Два нуля, стоящие слева от 1 не считаются значащими цифрами

Приближенное число 0,030 имеет 2 значащие цифры: 3 и 0 справа, по правилу два нуля, стоящие слева от цифры 3, не относятся к значащим.

Значащими цифрами приближенного целого числа считаются все его цифры, кроме нулей, поставленных взамен отброшенных или

неизвестных цифр.

Например: Частное 

Число 6000 имеет 3 значащие цифры, так как один последний нуль поставлен вместо отброшенной цифры (единицы).

         Округление чисел. При округлении числа а его заменяют числом а₁ с меньшим количеством значащих цифр. Абсолютная величина разности

 | а – а₁ | называется погрешностью округления.

При округлении числа до m значащих цифр отбрасываются все цифры, стоящие правее m-й значащей цифры, или при сохранении разрядов заменят их нулями. При этом, если первая слева от отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1.

При применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Округление приближенных значений чисел с сохранением в записи только верных цифр производится до разряда, в котором записана первая справа верная цифра.

Например:

Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел:

0,3281 ± 0,05

Граница абсолютной погрешности 0,05 (разряд – сотые) цифры справа налево:1 – сомнительная, 8 – сомнительная, 2 – сомнительная, 3 – верная цифра 3  

Погрешность округления:

|0,3281 – 0,3| = 0,0281

0,05 + 0,0281 = 0,0781

Ответ      0,3 ± 0,08

Лекция 14.  Приближенные
числа. Погрешности арифметических действий.

Величиной называется то,
что может быть в определенных единицах выражено числом. Например, длина,
площадь, объем – это величины. Значение величины, в истинности которого мы не
сомневаемся, называется точным (в дальнейшем х — точное число).
Но обычно на практике, отыскивая значение какой-либо величины, получают лишь ее
приближенное значение (в дальнейшем а — приближенное число).
Например, при измерении физических величин с помощью измерительных приборов.

Модуль разности точного и приближенного значений
величины называется абсолютной погрешностью приближения .

Предельной абсолютной погрешностью приближения или
границей погрешности или оценкой абсолютной погрешности
называется число .

 Таких оценок может быть бесконечное число. Лучшей
оценкой погрешности является наименьшая оценка. Краткая запись точного числа:

Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю
точного значения величины называется относительной погрешностью .

На практике используется

Для предельной относительной погрешности (оценки
относительной погрешности): .

Относительная погрешность обычно выражается в %.

В дальнейшем слово оценка
опускается.

ПРИМЕР 1. Найти абсолютную и относительную погрешность
приближения а=3,14 для х=π.

Известно, что 3,14<π<3,15.

Отсюда следует, что , т.е.

Если учесть, что 3,14<π<3,142, то
получим лучшую оценку

ПРИМЕР
2. При измерении длины пути получен результат 25,2 км с точностью до 2м.
Вычислить предельную абсолютную и предельную относительную погрешности.

Решение. В нашем
случае предельная абсолютная погрешность равна D = 0,002 км, а предельная
относительная погрешность

ПРИМЕР
3. При измерении длины пути L = 10 км допущена ошибка D (L) = 10 м, а
при измерении диаметра гайки d = 4см допущена погрешность D ( d  ) = 1мм.
Какое из этих двух измерений более точное?

Решение. Найдём
предельные относительные погрешности чисел L и d.

По
условию задач D(L) =
0,01 км,

тогда

Аналогично,
вычисляем

Поскольку
d(L) < d( d ) то первое
измерение является более точным.

Цифра в десятичной записи приближенного значения
величины х называется верной в широком смысле,
если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда r,
которому принадлежит эта цифра (Нулевым
разрядом считается разряд единиц, десятичные цифры считаются отрицательными
разрядами).

Существует еще понятие верной цифры в узком
смысле: .

В дальнейшем будем рассматривать верные цифры в
широком смысле. Остальные цифры числа называются сомнительными.

Значащими цифрами числа,
записанного в десятичной форме, называются все верные цифры числа, начиная с
первой слева, отличной от 0. Все нули слева являются незначащими. По количеству
значащих цифр можно легко оценить абсолютную погрешность приближенного числа.
За оценку абсолютной погрешности можно взять 0,5 разряда, следующего за
последней значащей цифрой. Предельную относительную погрешность можно принять
равной дроби, числитель которой 1, а знаменатель – удвоенное целое число,
записанное при помощи всех значащих цифр данного числа.

ПРИМЕР. а=0,065;

ЗАДАЧА 1.1. Объем помещения V определен
с предельной относительной погрешностью δ Сколько значащих цифр в
V?

V=500±5

ЗАДАЧА 1.2. Известно, что приближенное значение а
имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную
погрешность.

ЗАДАЧА 1.3. Округлите сомнительные цифры приближенного
числа а, если известна относительная погрешность δ

Задание 1.1.

Известно, что приближенное значение а
имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную
погрешность со следующими исходными данными.

Задание 1.2.

Округлите сомнительные цифры приближенного числа а,
если известна относительная погрешность δ