Как найти вероятность что дверь будет открыта

Источник: Nuances of Programming

Парадокс Монти Холла — это одна из тех математических задач, над решением которой уже долгое время бьются многие умы, и даже всемирно известных математиков она приводит в затруднение. Хотя идея, лежащая в основе этого парадокса, предельно ясна и понятна. Задача эта, строго говоря, и не парадокс вовсе, но называется так из-за неочевидности и парадоксальности предлагаемых решений и объяснений, которые становятся поводом для самых жарких дискуссий в Интернете. Их накал уступает, пожалуй, лишь спорам из-за оптической иллюзии так называемого «платья раздора» и аудиоиллюзии «Янни и Лорел». Предлагаемое здесь объяснение призвано раз и навсегда развеять все связанные с этим парадоксом вопросы и очень доходчиво разъяснить всем интересующимся его суть.

Парадокс

Парадокс впервые был сформулирован американским математиком Стивом Селвином ещё в 1975 году, но широкую известность он приобрёл благодаря популярному игровому шоу «Давайте заключим сделку». В честь ведущего этой телевикторины, которого звали Монти Холл, парадокс и получил своё название.

В чём же суть парадокса Монти Холла?

Представьте, что перед вами три двери, как показано на рисунке ниже. За двумя дверьми находятся козы, за одной — автомобиль. Надо угадать дверь с автомобилем, и он ваш.

Казалось бы, ничего сложного. Но, как говорилось в одном фильме: «Если бы задача так просто решалась, то армянское радио этим бы не занималось». В своей передаче, после того как участник выбирал дверь, Монти всегда открывал одну из дверей с козой и предлагал ему поменять свой выбор. А вы поменяли бы или нет?

Этот вопрос многих ставит в тупик. Люди обычно думают: «Ну какая разница: остались две двери, и машина может с одинаковой вероятностью 50% оказаться как за одной, так и за другой дверью?». … И оказываются неправы. Правильный ответ — всегда менять первоначальный выбор. Поступая так, вы удваиваете свои шансы на победу.

Удивлены? Такой ответ для многих становится откровением: мало кто ожидает этого. Давайте подробно разберёмся, как так получается.

Итак, вы выбрали одну из трёх дверей. Вероятность того, что машина окажется именно за ней, составляет 1/3. А вероятность того, что она окажется за одной из двух оставшихся (то есть не выбранных вами) дверей, будет 2/3. Это должно быть понятно.

На рисунке у нас наглядно показаны эти вероятности: 1/3 слева и 2/3 справа.

Теперь Монти открывает одну из невыбранных дверей — тех, что справа. И открывает он всегда ту, за которой коза.

Вероятности остаются неизменными: 1/3 слева (ваш первоначальный выбор) и 2/3 справа. Изменилось лишь то, что справа одна дверь теперь открыта, но вероятность для оставшейся неоткрытой двери здесь та же, что была прежде для обеих.

Если не совсем понятно, попробуем объяснить на примере с десятью дверьми.

Выбранная вами дверь будет слева, остальные девять — справа (как на рисунке ниже). Вероятность того, что вы угадали дверь с машиной, будет 1/10. Вероятность того, что вы не угадали и машина окажется за одной из оставшихся девяти дверей, будет 9/10.

Дальше Монти открывает восемь из этих невыбранных девяти дверей, причем за всеми восемью — козы. Как поступить теперь: поменять свой выбор или нет? Конечно, поменять! Ведь теперь восемь из девяти дверей справа открыты, а вероятность того, что машина окажется за оставшейся девятой дверью (как мы уже посчитали ранее), равна 9/10.

Ответ на вопрос станет ещё очевиднее, если представить, что Монти даёт вам возможность открыть не одну оставшуюся справа неоткрытой дверь, а сразу все девять!

Вот и всё. Это так просто! Однако важно не забывать, что всегда есть вероятность проигрыша. Верное решение определяется стратегией. Правильная стратегия — делать так, чтобы шансы на победу были максимальными или хотя бы такими, которые позволяют больше выигрывать, чем проигрывать.

Усложняем задачу

Предположим, Монти хочет усложнить для вас задачу и открывает лишь одну дверь с правой стороны. Как вы поступите теперь: выберите одну из восьми закрытых дверей справа или не станете менять свой выбор?

Здесь придётся кое-что посчитать. Вероятность того, что машина окажется за одной из девяти дверей справа, равна 9/10. Разделим её на количество оставшихся неоткрытыми дверей (8):

Это будет вероятность того, что машина окажется за одной из восьми остающихся закрытыми дверей справа. И она чуть больше вероятности 0,1 (1/10), что первоначально выбранная вами дверь слева окажется с машиной. Поэтому вам всё же предпочтительнее поменять свой выбор, хотя шансы выиграть машину и в этом случае будут очень низкими. По этой же формуле можно посчитать вероятность для любого количества неоткрытых дверей.

Вот и весь парадокс Монти Холла вкратце. Не знаю, можно ли придумать более простое его объяснение? Я лишь выношу на ваш суд свой взгляд, отличный от тех, что изложены в большинстве других объяснений, в которых вы можете тоже почерпнуть много полезного. Надеюсь, что после прочтения статьи вы приблизились к пониманию парадокса Монти Холла.

Читайте также:

Читайте нас в телеграмме и vk

Перевод статьи Anup Sebastian: The easiest explanation to the Monty Hall problem

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Эта задача не является парадоксом, так как не содержит в себе противоречия. Вероятность конечного исхода не зависит от действий игрока, но зависит и увеличивается из-за действий ведущего, открывающего одну из дверей. Первоначальная вероятность была 1/3, потому что игрок мог открыть только 1 из дверей, а стала 2/3, потому что ему любезно открыли ещё одну дверь.

Более того, многие люди принимают за истину неправильное решение, когда им начинают объяснять про 2/3 вероятности и убеждать в обязательной смене двери.^[1]

Задача впервые была опубликована^[2][3] (вместе с решением) в 1975 году в журнале «The American Statistician» профессором Калифорнийского университета Стивом Селвином. Она стала популярной после появления в журнале «Parade» в 1990 году^[4].

Формулировка[править | править код]

Задача формулируется как описание игры, основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием^[5] — участнику игры заранее известны следующие правила :

• автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
• ведущий знает, где находится автомобиль;
• ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
• если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть (то есть, игрок указал на верную дверь, и за обеими оставшимися дверями — козы), он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

Разбор[править | править код]

Дверь 1	Дверь 2	Дверь 3	Результат, если менять выбор	Результат, если не менять выбор
Авто	Коза	Коза	Коза	Авто
Коза	Авто	Коза	Авто	Коза
Коза	Коза	Авто	Авто	Коза

Для стратегии выигрыша важно следующее: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. Это произойдёт с вероятностью ²⁄₃, так как изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3.

Но часто при решении этой задачи рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½, вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно: хотя возможностей выбора действительно остаётся две, эти возможности (с учётом предыстории) не являются равновероятными. Это так, поскольку изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключёнными.

Для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом Монти Холла.

Следует иметь в виду, что первый выбор двери игроком влияет на то, из каких двух оставшихся дверей будет выбирать Монти.

Ещё более наглядной ситуация с дверями становится, если представить что дверей не 3, а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок и ещё одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверьми различны, и не равны ½. Если мы меняем дверь, то проигрываем только в том случае, если с самого начала выбрали призовую дверь, вероятность чего 1:1000. Выигрываем же мы при смене двери в том случае, если наш изначальный выбор был неправильным, а вероятность этого — 999 из 1000. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения соответственно ²⁄₃, а не ⁹⁹⁹⁄₁₀₀₀.

Другой способ рассуждения — замена условия эквивалентным. Представим, что вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 67 %, и стратегия её выбора предпочтительна.

Ещё более наглядное рассуждение — заранее зная полные условия игры (то, что выбор предложат поменять) и заранее с этими условиями согласившись, игрок фактически в первый раз выбирает дверь, за которой приза, по его мнению, нет (и может ошибиться с вероятностью ¹⁄₃). Одновременно, косвенно он указывает на оставшиеся две двери, за одной из которых приз, по его мнению, есть, что даёт шанс на выигрыш ²⁄₃. Это эквивалентно игре, в которой ведущий бы в самом начале однократно предлагал игроку исключить одну «лишнюю» дверь и гарантированно открыть две оставшиеся.

Четвёртый вариант: если игрок выбрал автомобиль (вероятность этого ⅓), Монти обязательно предложит смену, и она ведёт к козе. А если игрок выбрал козу (вероятность ⅔) — то к автомобилю. Отсюда и апостериорные вероятности ⅓, если не сменить, и ⅔, если сменить. А равновероятное открытие левой и правой двери, если игрок всё-таки указал на автомобиль, не даёт извлечь информацию из факта, что открыта левая или правая дверь.

Другое поведение ведущего[править | править код]

Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения. Если не сказано противное, призы равновероятно расположены за дверями, ведущий знает, где автомобиль, а если есть выбор — равновероятно выбирает из двух коз. Если ведущий влияет на вероятности, а не следует жёсткой процедуре, то его цель — уберечь автомобиль от испытуемого. Цель испытуемого, соответственно, его забрать.

Вариант: задача трёх узников[править | править код]

Задача предложена Мартином Гарднером в 1959 году.

Трое заключённых, A, B и С, заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключённый A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключённого, кто точно будет казнён: «Если B помилован, скажи мне, что казнён будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнён будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи имя B или C».

Стражник говорит заключённому A, что заключённый B будет казнён. Заключённый A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала ½, а не ⅓, как была до этого. Заключённый A тайно говорит заключённому С, что B будет казнён. Заключённый С также рад это слышать, поскольку он всё ещё полагает, что вероятность выживания заключённого А — ⅓, а его вероятность выживания возросла до ²⁄₃. Как такое может быть?

Разбор[править | править код]

Знакомый с парадоксом Монти Холла теперь знает, что прав C и не прав A.

• Помилуют A, стражник сказал B — вероятность ¹⁄₆.
• Помилуют A, стражник сказал C — вероятность тоже ¹⁄₆.
• Помилуют B, стражник сказал C — вероятность ⅓.
• Помилуют C, стражник сказал B — вероятность тоже ⅓.

Так что фраза «Казнят B» оставляет 1-й и 4-й варианты — то есть ²⁄₃ вероятности, что помилуют C, и ⅓, что A.

Люди думают, что вероятность ½, потому что они игнорируют суть вопроса, который заключённый A задаёт стражнику. Если бы стражник мог ответить на вопрос «Будет ли заключенный B казнён?», тогда в случае положительного ответа вероятность казни А действительно бы уменьшалась с ²⁄₃ до ½.

К вопросу можно подойти и с другой стороны: если A помилуют, стражник скажет любое имя наугад; если A казнят — стражник скажет того, кого казнят вместе с A. Так что вопрос не даст A никакого дополнительного шанса на помилование.

См. также[править | править код]

• Задача трёх узников
• Условная вероятность
• Теорема Байеса
• Парадокс двух конвертов
• Парадокс с полом ребёнка
• Парадокс Бертрана (вероятность)

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Объясняющий видеоролик на сайте Smart Videos .ru
• Weisstein, Eric W. Парадокс Монти Холла (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Парадокс Монти Холла на сайте телешоу Let’s Make a deal
• Ron Clarke Парадокс Монти Холла
• Отрывок из книги С.Лукьяненко, в котором используется парадокс Монти Холла
• Ещё одно решение по Байесу Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета
• Реализация симулятора парадокса Монти Холла на разных языках (на сайте Rosetta Code^[en])
• Наглядный пример действия парадокса Монти Холла (русск.)
• Приз за одной из трёх дверей

Литература[править | править код]

• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
• Gnedin, Sasha «The Mondee Gills Game.» (недоступная ссылка) Журнал The Mathematical Intelligencer, 2011
• Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990.
• Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006.
• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
• Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Ниже
приведены основные правила, позволяющие
определить вероятность появления
сложного события на основании известных
вероятностей составляющих его более
простых событий.

1. Вероятность
достоверного события равна
единице:

                                                                    .                                                                   
(4.2)

2. Вероятность
объединения (суммы) несовместных
событий равна
сумме их вероятностей:

                                     (4.3)

Эти
два равенства являются аксиомами теории
вероятностей, т. е. принимаются в качестве
исходных, но требующих доказательства
свойств вероятностей. На их основе
строится вся теория вероятностей.

Все
остальные, приведенные ниже без
доказательств формулы могут быть
выведены из принятых аксиом.

3. Вероятность
невозможного события равна
нулю:

                                                                   .                                                                 
(4.4)

4. Вероятность
события, противоположного событию
А, равна

                                                              (4.5)

Формула
(4.5) оказывается полезной на практике в
тех случаях, когда вычисление вероятности
непосредственно события А затруднительно,
в то время как вероятность противоположного
события находится просто (см. ниже п.9).

5. Теорема
сложения вероятностей.
Вероятность объединения произвольных
событий равна сумме их вероятностей за
вычетом вероятности произведения
событий:

                                                 .                                               
(4.6)

Для
несовместных событий и
формула (4.6) переходит в (4.3).

6. Условная
вероятность. Если
требуется найти вероятность события В при
условии, что произошло некоторое другое
событие А,
то такую ситуацию характеризуют с
помощью условной вероятности.
Условная вероятность равна отношению
вероятности произведения событийА и В к
вероятности события А:

                                                              (4.7)

В
тех случаях, когда события А и В несовместны, и
соответственно.

7. Определение
условной вероятности в виде (4.7) дает
возможность записать следующую формулу
для вычисления вероятности произведения
событий (теорема
умножения вероятностей)

                                             (4.8)

8. Поскольку
вероятность события А (или В)
для независимых событий по определению
не изменяется при появлении другого
события, то условная вероятность совпадает
с вероятностью событияА,
а условная вероятность —
сР(В).
Вероятности Р(А) и Р(В)
в отличие от условных вероятностей
называются безусловными.

                                                  , ,
                                                 
(4.9)

Теорема
умножения вероятностей для независимых
событий записывается
следующим образом:

                                        ,                                      
(4.10)

т.
е. вероятность произведения независимых
событий равна произведению их вероятностей.

9. Вычислим вероятность
появления хотя бы одного события в n
испытаниях

А –
появление в n испытаниях хотя
бы один
раз интересующего нас события.

 –
интересующее
нас событие не появлилось в n испытаниях ни
разу.

А₁ –
интересующее нас событие появлилось в
первом испытании.

А₂ –
интересующее нас событие появлилось
во втором испытании.

….

А_n –
интересующее нас событие появлилось
в n-ом
испытании.

                             (4.11)

10. Формула
полной вероятности.

Если
событие А может
произойти только при появлении одного
из несовместных событий Н₁,
Н₂,
…, Н_n,
то

                        .                     
(4.12)

Пример
4.3

В
урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров,
не отличающихся по размеру. Шары тщательно
перемешивают и затем наугад вынимают
1 шар. Какова вероятность того, что
вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть
событие А –
появление белого или черного шара.
Разобьем это событие на более простые.
Пусть В₁ –
появление белого шара, а В₂ –
черного. Тогда, А=В₁+В₂по
определению суммы событий.
Следовательно Р(А)=Р(В₁+В₂).
Так как В₁ и В₂ –
несовместные события, то по теореме о
вероятности суммы несовместных событий
(формула 4.3)Р(В₁+В₂) = Р(В₁)+Р(В₂).

Вычислим
вероятности событий В₁ и В₂.
В этом примере имеется 35 равновозможных
(шары не отличаются по размеру) исходов
опыта, событию В₁ (появлению
белого шара) благоприятствуют 5 из них,
поэтому .
Аналогично,.
Следовательно,.

Пример
4.4

Ведутся
поиски двух преступников. Каждый из них
независимо от другого может быть
обнаружен в течение суток с вероятностью
0,5. Какова вероятность того, что в течение
суток будет обнаружен хотя бы один
преступник?

Решение. Пусть
событие А –
“обнаружен хотя бы один преступник”.
Разобьем это событие на более простые.
Пусть В₁ –
обнаружен первый преступник, а В₂ –
обнаружен второй преступник.
Тогда, А=В₁+В₂ по
определению суммы событий.
Следовательно Р(А)=Р(В₁+В₂).
Так как В₁и В₂ –
совместные события, то по теореме о
вероятности суммы событий (формула 4.6)

Р(В₁+В₂) = Р(В₁)+Р(В₂)-Р(В₁ В₂) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.

Можно
решать и через обратное событие: .

Пример
4.5 а)

Преступник
имеет 3 ключа. В темноте он открывает
дверь выбирая ключ случайным образом.
На открытие каждой из дверей он тратит
5 сек. Найти вероятность того, что он
откроет все двери за 15 сек.

Решение. Пусть
событие А –
“открыты все двери”. Разобьем это
событие на более простые. Пусть В –
“открыта 1-я“, С –
“ открыта 2-я“, а D –
“ открыта 3-я“. Тогда, А=ВСD по
определению произведения событий.
Следовательно Р(А)=Р(ВСD).
По теореме о вероятности произведения
независимых событий (формула
4.10) Р(ВСD) = Р(В)Р(C)
Р(D).

Вычислим
вероятности событий В,
Cи D.
В этом примере имеется 3 равновозможных
(каждый ключ выбираем из 3-х) исходов
опыта. Каждому из событий В,
Cи Dблагоприятствует
1 из них, поэтому ..

Пример
4.5 б)

Изменим
задачу: считаем, что преступник –
забывчивый человек. Пусть преступник
открыв дверь, оставляет ключ в ней.
Какова тогда вероятность, что он откроет
все двери за 15 сек?

Решение. Событие А –
“открыты все двери”. Опять, А=ВСD по
определению произведения событий.
Следовательно Р(А)=Р(ВСD).
Но, теперь события В,
Cи D –
зависимы. По теореме о вероятности
произведения зависимых
событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B)
Р(D|BC).

Вычислим
вероятности : ,(ключа
осталось только два и один из них
подходит!),и,
значит,.

Пример
4.6

Ведутся
поиски двух преступников. Каждый из них
независимо от другого может быть
обнаружен в течение суток с вероятностью
0,5. После поимки одно из них, в связи с
увеличением количества сотрудников,
занятых в поисках,  вероятность найти
второго возрастает до 0,7. Какова
вероятность того, что в течение суток
будет обнаружены оба преступника.

Решение. Пусть
событие А –
“обнаружены два преступника”. Разобьем
это событие на более простые. Пусть В₁ –
обнаружен первый преступник, а В₂ –
обнаружен второй преступник, после
того, как пойман первый. Тогда, А=В₁В₂ по
определению произведения событий.
Следовательно Р(А)=Р(В₁В₂).
Так как В₁ и В₂ –
зависимые события, то по теореме о
вероятности произведения зависимых
событий (формула 4.8) Р(В₁В₂) = Р(В₁)Р(В₂/В₁) = 0,5
0,7=0,35.

Пример
4.7

Найти
вероятность того, что при подбрасывании
монеты 10 раз герб выпадет хотя бы 1 раз.

Решение. Пусть
событие А –
“герб выпадет хотя
бы 1
раз”. Рассмотрим обратное событие: –
“герб не выпадетни
разу”.
Очевидно, что обратное событие легче
чем исходное разбить на более простые.
Пусть А₁ –
герб не выпал при первом броске, А₂ –
герб не выпал при втором броске, … А₁₀ –
герб не выпал при 10-м броске. Все
события А₁…А₁₀ независимы,
следовательно, (формула 4.11)

.

Пример
4.8

В
проведении операции по освобождению
заложников участвуют 2 группы снайперов:
10 человек с винтовкой ОП21 и 20 человек с
АКМ47. Вероятность поражения из ОП21 –
0,85, а АКМ47 – 0,65. Найти вероятность
того, что при одном выстреле произвольного
снайпера преступник будет поражен.

Решение. Пусть
событие А –
“преступник поражен”. Разобьем это
событие на более простые. Преступник
может быть поражен либо из ОП21, либо из
АКМ47. Вероятность того, что произвольный
снайпер вооружен ОП21 (событие Н₁)
равна 10/30. Вероятность того, что
произвольный снайпер вооружен АКМ47
(событие Н₂)
равна 20/30.

Вероятность
того, что преступник поражен равна
(формула 4.12)

.

В
подобных задачах полезно изобразить
дерево всех возможных исходов (с указанием
вероятностей каждого исхода):

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Спрятать решение