Как найти вероятность гиа

Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей — от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?

Понравилось? Добавьте в закладки

Вероятность. Что это?

Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события — явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах.

Вероятность — это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 — событие практически невозможно, 1 — событие практически достоверно, 0,5 (или «50 на 50») — с равной вероятностью событие произойдет или нет.

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Алгоритм решения задач на вероятность

Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике.

А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.

• Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
• Найти основной вопрос задачи вроде «вычислить вероятность того, что …» и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
• Событие записано. Теперь надо понять, к какой «схеме» теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:
  • происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
  • если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
  • событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).

  Чем больше опыт решения задач, тем легче будет определить, какие формулы подходят.

• Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
• Вуаля, вероятность найдена.

Как решать задачи: классическая вероятность

Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

Начинаем решение по пунктам, описанным выше.

• В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
• Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
• Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
• Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов — число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_{30}^3=frac{30!}{3!27!}=frac{28cdot 29 cdot 30}{1cdot 2 cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=frac{5!}{3!2!}=frac{4 cdot 5}{1cdot 2}=10.$$
• Получаем вероятность: $$P(X)=frac{m}{n}=frac{10}{4060}=0,002.$$ Задача решена.

Еще: Решенные задачи на классическое определение вероятности.

Некогда решать? Найди решенную задачу

Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:

Как решать задачи: формула Бернулли

Пример 2. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:

• В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний — бросаний монеты.
• Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
• Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз:
  $$ P_{n}(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}.$$
• Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
• Подставляем и получаем вероятность:
  $$ P(X)=P_{8}(5)=C_8^5 cdot 0,5^5 cdot (1-0,5)^{8-5}=frac{8!}{5!3!}cdot 0,5^8=frac{6cdot 7 cdot 8}{1cdot 2 cdot 3} cdot 0,5^8= 0,219.$$
  Задача решена.

Еще примеры: Решенные задачи на формулу Бернулли

И это все? Конечно, нет.

Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Полезные статьи по теории вероятностей

• Как найти математическое ожидание случайной величины?
• Как найти дисперсию случайной величины?
• Как найти вероятность в задачах про выстрелы?
• Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
• Как найти вероятность в задачах про подбрасывание игральных костей?
• Как найти вероятность в задачах про станки?
• Как найти вероятность в задачах про надежность схем и цепей?
• Как найти вероятность наступления хотя бы одного события?

УМК любой

Теория вероятностей

на ОГЭ и ЕГЭ

Алтайского края

Задачи

на вероятность

с игральным кубиком

(игральная кость)

1. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет нечетное число очков.

Решение задачи:

Нечетное число – 3 (1; 3; 5)

Ответ: P=0,5

2. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет менее 4 очков.

Решение задачи:

Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)

Менее 4–х очков – 3 (1; 2; 3)

Ответ: P=0,5

3 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет более 3 очков.

Решение задачи:

Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)

Более 3–х очков – 3 (4; 5; 6)

Ответ: P=0,5

4 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет более 2 очков. Ответ округлите до десятых.

Решение задачи:

Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)

Более 2–х очков – 2 (3; 4; 5; 6)

P = 4:6 = 0,66…

Ответ: P=0,7

5. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.

Решение задачи:

Сумма будет нечетна, когда: 1) в первый раз выпадет нечетное
число, а во второй четное
. 2) в первый раз — четное
, а во второй раз нечетное
.

1)
3: 6 = 0,5 — Вероятность выпадения нечетного числа в первое бросание.

3: 6 = 0,5 — Вероятность выпадения четного числа во второе бросание.

0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно. 2)
3: 6 = 0,5 — Вероятность выпадения четного числа в первое бросание.

3: 6 = 0,5 — Вероятность выпадения нечетного числа во второе бросание.

0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно,.

3)
0,25 + 0,25 = 0,5

Ответ: P=0,5

6. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до десятых.

Решение задачи:

1)
При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5, а при втором броске выпадет 5 2) При первом броске выпадет 5, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5

• 5: 6 = 5/6 – вероятность того, что выпадут 1; 2; 3; 4; 5

5/6 · 1/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события

• 1: 6 = 1/6 — вероятность выпадения 5

5: 6 = 5/6 — вероятность выпадения 1; 2; 3; 4; 5

1/6 · 5/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события

• 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…

Ответ: 0,3

7. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

Решение задачи:

1)
При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, а при втором броске выпадет 4; или 5 или 6 2) При первом броске выпадет 4; или 5 или 6, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3. 3) При первом броске выпадет 4; или 5 или 6, а при втором броске выпадет 4, или 5, или 6.

2) 3: 6 = 0,5 — вероятность выпадения 4; 5; 6

3: 6 = 0,5 — вероятность выпадения 1; 2; 3

0,5 · 0,5 = 0,25 — вероятность, что произойдут оба события

3) 3: 6 = 0,5 — вероятность выпадения 4; 5; 6

3: 6 = 0,5 — вероятность выпадения 4; 5; 6

0,5 · 0,5 = 0,25 — вероятность, что произойдут оба события

4) 0,25+ 0,25 + 0,25 = 0,75 Ответ: 0,75

Задачи

на вероятность

с монетами

8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз
.

Решение задачи:
Найдём число возможных исходов, переберём все варианты бросков. Составим таблицу и покажем все варианты:

2: 4 = 0,5 — вероятность того, что выпадет орел при броске.

2) Ответ: 0,5

9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза
.

Решение задачи:

1 бросок

2 бросок

3 бросок

1: 8 = 0,125 – вероятность того, что выпадет орел при броске.

Ответ: 0,125

10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза
.

Решение задачи:

1 бросок

2 бросок

3 бросок

3: 8 = 0,375 – вероятность того, что выпадет орел при броске.

Ответ: 0,375

11 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение задачи:

1 бросок

2 бросок

3 бросок

1: 8 = 0,125 — вероятность того, что выпадет орел при броске.

Ответ: 0,125

Задачи

на вероятность

(разные)

12. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,512. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 477 девочек. Насколько частота рождения девочки в 2010 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Решение задачи:

• 1 — 0,512 = 0,488 –
  

2) 477: 1000 = 0,477
– вероятность рождения девочек в 2010 г

3) 0,488 — 0,477=0,011

Ответ: 0,011

13. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,486. В 2011 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем приходилось 522 девочки. На сколько частота рождения девочки в 2011 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Решение задачи:

• 1 — 0,486 = 0,514 –
  вероятность рождения девочек в регионе

2) 522: 1000 = 0,522
– вероятность рождения девочек в 2011 г

3) 0,522 — 0,514 = 0,008

Ответ: 0,008

14. Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

Решение задачи:

• 999 — 99 = 900 –
  всего трехзначных чисел

2) 999: 48 = 20,8125
— т.е. всего 20
чисел делятся на 48

• Из них два числа двузначные — это 48 и 96, то 20 – 2 = 18
  

4) 18: 900 = 0,02

Ответ: 0,02

15 . Андрей выбирает случайное трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 33.

Решение задачи:

• 999 — 99 = 900 –
  всего трехзначных чисел

2) 999: 33 = 30,29…
— т.е. всего 30
чисел делятся на 33

• Из них три числа двузначные — это 33, 66, 99 то 30 – 3 = 27
  

4) 27: 900 = 0,03

Ответ: 0,03

16 . В каждой четвёртой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аля не найдёт приз в своей банке.

Решение задачи:

1) 1: 4 = 0,25 — вероятность выпадения приза.

2) 1 – 0,25 = 0,75 – вероятность не выпадения приза

Ответ: 0,75

17. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,35 + 0,2 = 0,52

Ответ: 0,52

18. Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Решение:

вероятность попадания — 0,8

вероятность промаха – 0,2

События промаха и попадания независимы, значит

19. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Найдем вероятность, что неисправны оба автомата.

Эти события независимы, т.е. 0,12² = 0,0144

Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один

автомат – противоположное, значит 1 – 0,0144 = 0,9856

Ответ: 0,9856

20. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Рассмотрим события:

А – кофе закончится в первом автомате

В – кофе закончится во втором автомате

А·В – кофе закончится в обоих автоматах

А+В — кофе закончится хотя бы в одном автомате

Значит, вероятность противоположного события (кофе останется в обоих автоматах) равна

Ответ: 0,56

21. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Вероятность того, что стекло, купленное на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135

Вероятность того, что стекло, купленное на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055

Значит, полная вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным: 0,0135 + 0,0055 = 0,019

Ответ: 0,019

Источники

Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2014-2015 http://www.fipi.ru/

Монета — https
://
upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg

Игральный кубик — http
://clipstock.ucoz.ru/_
ph/21/365284339.jpg

http
://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/%
D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675

ОГЭ 2016 — http
://
www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg

Приведенные к настоящему моменту в открытом банке задач ЕГЭ по математике (mathege.ru), решение которых основано на одной лишь формуле, представляющей собой классическое определение вероятности.

Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1.
В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?

Комментарий.
В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат — исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. «Мы вытащили какой-то шар» — тоже результат. «Мы вытащили синий шар» — результат. «Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров» — такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.

Решение.
Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: «выбранный шар оказался синего цвета»
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, — то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25

Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75

Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.

Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти — невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» — для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)

Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы , ), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы , ) – принцип остается тем же.

Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. ( , )
Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.

Пример 2.
Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?

Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4

Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы , , , ):

Пример 3.
В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.

Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5

Немного отличается прототип .
Остались задачи про монеты () и игральные кости (), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.

Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.

Пример 4.
Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро)
Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.

Пример 5.
А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25

Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5

В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·…·2=2 N .

Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125

То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.

Пример 6.
Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?

Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5

Пример 7.
Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)

Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта.
Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08

Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».

М.: 2017. — 48 с.

В предлагаемой книге, состоящей из двух частей,
подробно рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и
математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые
обычно предлагаются в КИМ на ОГЭ. Кроме того, подробно, на примерах излагаются
простейшие понятия комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок,
размещений и сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся
изложение основных положений математической статистики, показаны на примерах
отличия выборочного среднего от моды и медианы и дано пояснение, в каких случаях
какое из этих средних нужно использовать. Назначение пособия — отработка
практических навыков учащихся по подготовке к экзамену (в новой форме) в 9
классе по математике. В сборнике даны ответы на все варианты заданий. Пособие
предназначено учителям и методистам, использующим тесты для подготовки к
Основному государственному экзамену, оно также может быть использовано учащимися
для самоподготовки и самоконтроля.

Формат:
pdf

Размер:
939 Кб

Смотреть, скачать:
drive.google

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4
Часть I. Задачи по теории вероятностей 5
1. Понятие вероятности 5
2. Классическое определение вероятности 6
3. Применение классического определения вероятности 8
3.1. Правило суммы 11
3.2. Правило произведения 12
3.3. Задачи на вычисление вероятностей 17
4. Статистический метод 19
4.1. Статистическое определение вероятности 20
4.2. Задачи на вычисление вероятностей 21
5. Использование комбинаторных чисел 22
5.1. Перестановки без повторений 22
5.2. Задачи, в которых используется формула для числа перестановок без
повторений 24
5.3. Размещения без повторений 25
5.4. Сочетания без повторений 26
5.5. Выбор пары 28
5.6. Дополнительные задачи 31
Часть II. Элементы статистики, таблицы, обработка данных 33
1. Статистические характеристики 33
2. Задачи о среднем арифметическом и медиане 36
3. Выбор статистической характеристики для оценки явления 38
4. Задания на вычисление вероятностей и статистических характеристик 40
Ответы 46

Несмотря на то, что основы теории вероятностей и математической статистики уже
довольно давно преподаются в школах нашей страны, основные понятия и многие
положения этой интересной науки всё ещё остаются недостаточно прочно усвоенными
многими учащимися средней школы. Результаты проведения ОГЭ для учащихся 9-х
классов показывают, что примерно 30% из всех сдававших ОГЭ не справляются с
заданиями по теории вероятностей и(или) по статистике. Более того, некоторые
задачи, предлагавшиеся в ОГЭ и диагностических работах, вызывают определённую
неуверенность у некоторых учителей.
В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные
понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике,
детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМах
на ОГЭ. Кроме этого, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия
комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и
сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных
положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного
среднего от моды и медианы и дано пояснение в каких случаях какое из этих
средних нужно использовать.

Задачи для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по вероятности

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Греции, 4 спортсмена из Болгарии, 3 спортсменов из Румынии и 7 — из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Венгрии.

Решение: Всего исходов 4+6+7+3=20; Благоприятных – 7. Ответ: 7/20=0,35

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 20 до 29.

Решение: Искомая вероятность равна P=0.94−0.56=0.38. Ответ 0,38

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов – первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Преображенского окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: Воспользуемся классическим определением вероятности. По условию задачи, на последний день приходится 12 докладов, а всего их 75, тогда искомая вероятность равна P=12/75=0.16. Ответ 0,16

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3

На семинар приехали 3 ученых из Индонезии, 3 из Камбоджи, 4 из Чили и ещё 10 ученых из стран Европы. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из Индонезии. Ответ: 0,15

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции.

Решение: Всего исходов 6+3+6+10=25; Благоприятных – 3. Ответ: 3/25=0,12. Ответ: 0,12

В турнире чемпионов участвуют 6 футбольных клубов: «Барселона», «Ювентус», «Бавария», «Челси», «Порту» и «ПСЖ». Команды случайным образом распределяют на две группы по три команды. Какова вероятность того, что «Барселона» и «Бавария» окажутся в одной группе?

Пусть «Барселона» и «Бавария» должны попасть в первую группу. Вероятность того, что туда попадет «Барселона», равна 3/6=1/2, так как в группе 3 места, а всего команд 6. Вероятность того, что в первую группу попадет и «Бавария», равна 2/5, так как в группе уже осталось 2 места, а всего выбираем из 5 оставшихся команд. Следовательно, вероятность того, что обе команды попадут в первую группу, равна 1/2∗
2/5=0,2. Так
как
группы
две
, то
вероятности
складываюся
(обе
команд
ы попадут в первую ИЛИ во воторую группу). Тогда искомая вероятность равна 0,4. Ответ: 0,4.

Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 3 с машинами и 7 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машиной. Решение 3/10. Ответ: 0,3

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.Решение:
Обозначим за x

искомую вероятность того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве. Тогда 1−x

— вероятность того, что купленное яйцо произведено вторым хозяйством. Применим формулу полной вероятности и получим 0.4x+0.2(1−x)=0.35

⇒

x=0.75.

Ответ: 0,75

Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 6 с машинами и 14 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с городом. Ответ: 14/ 20 = 0,7

На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками. Ответ: 0,2

В сборнике билетов по физике всего 25 билетов в 13 из них встречается вопрос по оптике. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном билете на экзамене попадется билет по оптике.

Ответ: 13/25=0,52

В сборнике билетов по физике всего 15 билетов в 12 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном билете на экзамене не попадется билет по электростатике. Ответ: 3/15 = 0,2

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов.

Решение: Всего на 12 секторов разбивают циферблат числа от1 до 12. Благоприятные для нас сектора от 5 до 11. Их – 6. Тогда Р = 6/12 = 0,5. Ответ: 0,5

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.

Решение: Всего 12 секторов. Благоприятные – 3. Тогда Р = 3/12 = 0,25. Ответ: 0,25

Команда бобслеистов состоит из четырех человек. Если хотя бы один спортсмен заболеет, то команда не выходит на старт. Вероятность заболеть для первого участника команды составляет 0,1, для второго – 0,2, а для третьего – 0,3, а для четвертого – 0,4. Какова вероятность, что команда бобслеистов не выйдет на старт?

Решение. Найдем вероятность того, что команда выйдет на старт: P 1 =(1−0.1)∗
(1−
0.2)∗
(1−
0.3)∗
(1−
0.4)=0,3024. Тогда вероятность того, что команда не выйдет на старт, равна P=1−P 1 =1-0,3024= 0.6976. Ответ 0,6976.

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ 6/30=0,2

В группе туристов 16 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист А. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 4/16 = 0,25

В

лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России. Ответ: 7/20=0,35


На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что при случайном выборе ему попадется выученный билет. Ответ: 28/35=0,8

В каждой двадцать пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Коля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Коля не найдёт приз в своей банке.

Решение: Так как, согласно условиям в каждой двадцать пятой банке кофе есть приз,

то в остальных 24-х приза нет. Тогда, вероятность того, что Коля не найдёт приз в своей банке равна

24 / 25 = 0,96 Ответ: 0,96:

Из 600 клавиатур для компьютера в среднем 12 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная клавиатура исправна. Ответ: 1- 12/600=0,98

В среднем на 147 исправных дрелей приходятся три неисправные. Найдите вероятность того, что выбранная дрель исправна. Ответ: 147/150=0,98

Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Кате не выпадет. Ответ 4/5=0,8

Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру должен будет мальчик. Ответ: 0,4

В кармане у Серёжи было четыре конфеты — «Ласточка», «Красная шапочка», «Маска» и «Взлётная», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка». Ответ: 1/4=0,25

Перед началом первого тура чемпионате по теннису участников разбивают на игровые пары случайный образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России. Ответ: 6/75=0,08

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

Решение: найдём сколько выступлений запланировано на третий день: (80-8)/4=18

Тогда, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса равна

Р = 18/80=0,225 Ответ: 0,225

По статистическим данным вероятность того, что телефон марки “Sumsung”, купленный в магазине “Евросеть”, прослужит больше четырёх лет равна 0,83. Вероятность того, что он прослужит больше пяти лет, равна 0,66. Найдите вероятность того, что телефон данной марки выйдет из строя в течение пятого года эксплуатации.

Решение: Вероятность искомого события равна P = 0,83−0,66 = 0,17. Ответ 0.17.

Какова вероятность того что случайно выбранное натуральное число от 30 до 54 делится на 2?

Решение. От 30 до 54 25чисел. Четных из 13.(30 31; 32 33; 34 35;… 52 53; и 54) Ответ 13/25=0,52

В урне 5 красных и 3 синих шара. На удачу выбирают три из них. Какова вероятность того, что два из них будут синими.

Решение. (2/3*1/5)/3/8=2/15*8/3=16/45=0,3(5)

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Два несовместных события Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 5/30+10/30=15/30=0,5

Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение. Всего трехзначных чисел 900, из 180 чисел кратны 5, поэтому Р = 180/900 = 0,2 Ответ: 0,2

В урне лежат 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар будет: белый, черный, синий, красный, белый или черный, синий или красный, белый или черный или синий?

Решение. События вынуть шар белого цвета или вынуть шар черного цвета несовместны. Поэтому в решении используем теорему сложения. Всего 70 шаров.

Найдем Р(б)=10/70: Р(ч)=15/70: Р(с)=20/70: Р(к)=25/70

По теореме о сумме получим Р(б+ч) = Р(б)+ Р(ч)= 10/70+15/70=25/70= 5/14; Р(с+к)= Р(с)+Р(к)= 20/70+25/70=45/70=9/14; Р(б+ч+с) = Р(б)+Р(с)+ Р(ч)=10/70+20/70+15/70=45/70=9/14

Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.

В первой коробке находится 2 белых и 10 черных шаров, во второй — 8 белых и 4 черных шара. Вынимаем по 1 шару из каждой коробки. Какова вероятность, что оба шара будут белыми? Решение. Рассмотрим события:

А и В независимые события поэтому Р(А*В)= Р(А)*Р(В)=1/6*2/3=1/9 Ответ 1/9

Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

В первой коробке находится 2 белых и 10 черных шаров, во второй — 8 белых и 4 черных шара. Вынимаем по 1 шару из каждой коробки. Какова вероятность, что один вынутый шар белый, а другой — черный? Решение.

А – вынимаем белый шар из 1 ящика Р(А)=2/12

В – вынимаем белый шар из 2 ящика Р(В)=8/12

С – вынимаем черный шар из 1 ящика Р(С)=10/12

Д- вынимаем черный шар из 2 ящика Р(Д)=4/12

Каковы возможные случаи Р(АД) Р(ВС). Так как ящики не зависят друг от друга, то и события будут независимыми. Тогда Р(АД) = Р(А)*Р(Д)= 1/6 *1/3 = 1/18 ; Р(ВС) = Р(В)*Р(С) = 2/3 *5/6 = 5/9

В итоге у нас два несовместных события и получаем Р = Р(АД) + Р(ВС) = 11/18.

Вова выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 49. Решение. Трехзначных чисел – 900. Первое число которое делится на 49 это 147. Максимальное: решается неравенством 49*n

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение.P(АUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P=0,3+0,25=0,55 P(AB)=0


В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события: А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате. Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P
(A
+ B
)= P
(A
)+ P
(B
)− P
(A
·B
)=0,3+0,3−0,12=0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Приведем другое решение.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52. Примечание.

Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна 0,12.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов производится по вечерам после закрытия. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Такая же вероятность события, что к вечеру кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. P
(АUB
)=P
(A
)+P
(B
)-P
(AB
)=0,25+0,25-0,15 – хотя бы в одном, тогда если из 1-0,35=0,65 — кофе останется в обоих автоматах

Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,98. вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение. Прослужит дольше чем год- это значит больше двух лет или сломается в промежутке от 1 до 2 лет. Р(>1)=Р(1-2)+Р(>2) Р=0,98-0,84

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся П. верно решит больше 12 задач, равна 0,7. Вероятность того, что П. верно решит больше 11 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 12 задач. Ответ Р=0,79-0,7=0,09

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того что в обоих матчах первым мячом будет владеть команда А. Решение ½*1/2=0,25

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Монтёр» по очереди играет с командами «Ротор», «Статор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Монтёр» будет начинать только первую игру.

Решение: Капитан команды «Монтер» будет трижды кидать жребий: с капитаном команды «Ротор», затем с капитаном команды «Статор» и с капитаном команды «Мотор».

В первом жребие вероятность начать игру равна 0.5. Далее вероятность не начинать игру со «Статором» и с «Мотором» равна также по 0.5. Таким образом, вероятность начать только первую игру равна P=0.5∗
0.5∗
0.5=0.125. Ответ: 0,125

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифра- ми?

Решение. А- Четная предпоследняя – Р(А)=1/2. В- четная последняя Р(В)=1/2

Р = 0,5*0,5 = 0,25 или всего четных цифр 5 на последнем месте и на предпоследнем тоже 5. Итого 5*5=25. Всего цифр на двух последних местах 10*10=100. Ответ 25/100=0,25

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну партию.

Решение: Найдем вероятность того, что гроссмейстер А не выйграет ни одну партию. Она равна P 1 =0.5∗
0.7=0.35. Тогда
, вероятность
того
, что
А
. выиграет
хотя
бы
одну
партию
, равна
(по
формуле
вероятности
прот
ипоположного события) P = 1−P 1 = 0,65. Ответ: 0,65.

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ 0,5*0,32=0,16

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156 . Ответ: 0,156

Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся не бракованными? Ответ 0,98*0,98=0,9604

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение: Вероятность того, что пистолет пристрелянный равна 2/10 = 0,2, что не пристрелянный 8/10 = 0,8
Вероятность того, что попадется пристрелянный и Джон попадет, равна 0,2 · 0,9 = 0,18
Вероятность того, что попадется не пристрелянный и Джон попадет, равна 0,8 · 0,3 = 0,24

Вероятность попасть: 0,18 + 0,24 = 0,42
Вероятность промаха: Р = 1 — 0,42 = 0,58 Ответ: 0,58

Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе — 0,9, в третье — 0,8. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение. Решение: Введем события

А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),

А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),

А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),

поусловию P(A1)=0,95;P(A2)=0,9;P(A3)=0,8

Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя).

Событие Х произойдет, если

или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 2.

Таким образом,

X
=A
1⋅
A
2*⋅
A
3*+A
1*
⋅
A
2⋅
A
3*+A
1*⋅
A
2*⋅
A
3.

Так как события А1,А2,А3 — независимые, по теоремам сложения и умножения получаем

P(X)=P(A1)
⋅

P(A2
*

)
⋅

P(A3
*

)+P(A1
*

)
⋅

P(A2)
⋅

P(A3
*

)+P(A1
*

)
⋅

P(A2
*

)
⋅

P(A3)=

0,95⋅
0,1⋅
0,2+0,05⋅
0,9⋅
0,2+0,05⋅
0,1⋅
0,8=0,032.

Найдем вероятность события Y=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие Y*=(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события

P(Y*)=P(A1
⋅

A2
⋅

A3)=P(A1)
⋅

P(A2)
⋅

P(A3)=0,95
⋅

0,9
⋅

0,8=0,684.

Тогда вероятность события Y: P(Y)=1−P(Y*)=1−0,684=0,316. Ответ: 0,032; 0,316.

В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими на тренировке.

Номер стрелка

Число выстрелов

Число попаданий

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите в ответе его номер.

Решение. Сравним дроби

26/44 45/70 14/40 48/67 Лучший результат 4. Ответ 4.

Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Пять выстрелов по пяти различным мишеням. Какова вероятность того, что биатлонист поразит ровно три мишени.

Решение. Так как в задаче происходит несколько выстрелов, и вероятность появления попадания одинакова при каждом выстреле, то речь идет о схеме Бернулли P n (k)=C k n ⋅
p k ⋅
(1−
p) n −
k .

Ответ = 10 * 0.8 3 * 0.2 2 = 0.2048

Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Решение. Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из n бросков монет герб выпадет ровно k раз: P n (k)=C k n ⋅
p k ⋅
(1−
p) n −
k .

Записываем данные из условия задачи: n=8,p=0,5 (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и k=5. Подставляем и получаем вероятность:

P(X)=P 8 (5)=C 5 8 ⋅
0,5 5 ⋅
(1−
0,5) 8 −
5 = 8! / 5!3!⋅
0,5 8 = (6⋅
7⋅
8)/(1⋅
2⋅
3) ⋅
0,58 = 0,219. Ответ 0,219.

Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение: Введем независимые события:

А1= (при аварии сработает первый сигнализатор);

А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);

по условию задачи P(A1)=0,95,P(A2)=0,9P(A1)=0,95,P(A2)=0,9.

Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть X=A1⋅
A2*
+A1*
⋅
A2. Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна

P(X)=P(A1)
⋅

P(A2
*

)+P(A1
*

)
⋅

P(A2)=0,95
⋅

0,1+0,05
⋅

0,9=0,14.
Ответ: 0,14.

В первой урне находятся 10 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 9 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

РЕШЕНИЕ. Введем событие X = (Оба извлеченных шара черного цвета).

Введем вспомогательные независимые события: H 1× = (Из первой урны извлечен черный шар),

H 2× = (Из второй урны извлечен черный шар).

Найдем вероятности этих событий по классическому определению вероятности: P (H 1×)=4/14

P (H 2×) = 9/14 . Тогда P (X)= P(H 1х) *P(H 2х) = 2/7*9/14 = 9/49 = 0,184 . ОТВЕТ
. 0,184.

Трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0,8, 0,7 и 0,6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один учащийся решит задачу.

Решение. Введем событие X = (Хотя бы один учащийся решит задачу) и противоположное ему X* = (Ни один учащийся не решит задачу). Введем вспомогательные события: A1 = (Первый учащийся решил задачу), A2 = (Второй учащийся решил задачу), A3 = (Третий учащийся решил задачу), вероятности P (A1) = 0,8 , P (А2) = 0,7 , P (А3)) = 0,6 . Выразим событие X*=A1* A2* A3* . Считаем
вероятность
как
вероятность
произведения
независимых
событий
: Р(Х*) = (1- 0,8)(1 — 0,7)(1- 0,6) = 0, 2* 0,3* 0,4 = 0,024.

Тогда
вероятность
искомого
события
P (X)= 1- P(X*) = 1 — 0,024 = 0,976 . ОТВЕТ
. 0,976.

Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень ровно один раз.

Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие», «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах из трёх право первой владеть мячом получит команда «Белые».

Решение: Составляем список всех возможных исходов в этих трёх играх с «Красными» (К), «Синими» (С) и «Зелеными» (З).
П — первая владеет мячом, Н — нет.

ППП ППН ПНП НПП ПНН НПН ННП ННН

и смотрим, в сколько из них содержится ровно 2 раза П, т.е. ровно в двух матчах команда «Белые» будет первой владеть мячом.
Таких вариантов 3, а всего вариантов — 8. Тогда искомая вероятность равна 3 / 8 = 0,375. Ответ: 0,375

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1% . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0, 0135

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01= 0,0055

По формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019

БОРИС НИКОЛАЕВИЧ ПЕРВУШКИН

Учитель Математики Высшей Категории

НОУ «Петербургская школа « Тет-а-Тет »

Элементы теории вероятностей на ОГЭ 9 класса и ЕГЭ 11 класса по Математике.

Теория вероятностей на ЕГЭ — это очень простые задачи под номером В10. С ними справится каждый. Ведь для решения задачи B10 в варианте ЕГЭ понадобятся лишь самые основные понятия теории вероятностей.

Случайным

называется событие,
которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.

Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью
. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием
.
Орел и решка — два возможных исхода
испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность
того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом
.
Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже 1/6
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример. В пакете 25 яблок, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое — 17/25.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25 + 17/25 = 1.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.

2. (Демо-вариант 2012) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.

3. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.
Ответ: 0,6.

4. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая -5 спортсменок). Ответ: 0,25.

5. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
, 11… 100

Каждое пятое
число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.

6. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.

Ответ: 0,5.

7. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты — уже четыре исхода:

Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2 2 2 = 2³ = 8.

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
Ответ: 3/8.

8. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.

А теперь — благоприятные исходы:

2 6
3 5
4 4
5 3
6 2

Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.

9. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9 0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна
0,9 0,9 0,9 0,9 = 0,6561.
^

Вероятность: логика перебора.

Задача В10 про монеты из диагностической работы 7 декабря многим показалась сложной. Вот ее условие:

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами 1, а десятирублевые цифрами 2 — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 1 1 2 2 2 2.

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

123, 124, 125, 126…
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем:
135, 136, 145, 146, 156.
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем:
234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356,
456.
Всего 20 возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 — всего 12 благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20.

Подбор заданий для самостоятельной работы в 9 классе по теме «Решение задач по теории вероятностей» (из Открытого банка заданий ОГЭ-9)

Вариант 1

1.В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек: 32 красных, 32 зелёных, 46 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.

2. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

3. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 
четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

4. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 4 с машинами и 6 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с машиной.

5. На экзамене 50 билетов, Сеня не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

6. У бабушки 25 чашек: 2 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

7. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 2 чёрных, 2 жёлтых и 16 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

8. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 5 с мясом, 2 с капустой и 3 с вишней. Андрей наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

9. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,2. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Вариант 2

1.В магазине канцтоваров продаётся 170 ручек: 47 красных, 33 зелёных, 14 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной.

2. В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен 
из Норвегии и 2 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии.

3. В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, 
шесть неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

4. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.

5. На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

6. У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

7. В фирме такси в данный момент свободно 12 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 3 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

8. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 3 с мясом, 24 с капустой и 3 с вишней. Лёша наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

9. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,26. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

infourok.ru

Разработка урока по теме «Вероятность в задачах ОГЭ» 9 класс

Урок «Решение задач по теории вероятностей» в 9 классе

Цели урока:

повторить материал по теории вероятностей, изучаемый в школьном курсе математики и вынесенный на итоговую аттестацию в 9 классе;

обобщить знания учащихся о способах и методах решения вероятностных задач;

находить вероятности случайных событий в простейших случаях.

Задачи:

создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями вероятности события;

способствовать запоминанию основной терминологии, умению устанавливать события вероятности;

формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;

развитие навыков учащихся в вычислении классической вероятности;

способствовать развитию интереса к математике, умений применять новый материал на практике и в жизни.

Вид и форма урока:

урок – обобщение, урок – практикум.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

наглядные,

практические,

по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный,

по степени самостоятельности: самостоятельная работа,

стимулирующие: поощрения,

виды контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы.

3. Устная работа.

4. Презентация, решение задач.

5. Самостоятельная работа.

6. Подведение итогов

7. Комментирование домашнего задания.

Оборудование: мультимедийный проектор, карточки для самостоятельной работы.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Тема нашего урока «Теория вероятностей в задачах ОГЭ 2018». Мы сегодня обобщим наши знания и умения при решении задач на нахождение вероятности случайного события и обратим внимание на ошибки, которые вы допускаете при решении задач.

Задачи по теории вероятностей это 9 задание в ОГЭ.

Все задачи на сегодняшний урок взяты с сайта ФИПИ.

1. Проверка домашнего задания: Решение задач с монетами.

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Возможные исходы:

ОО

ОР

РО

РР

Количество всех исходов: 4

1. Количество благоприятных исходов 3, ответ ¾ = 0, 75.

2. Количество благоприятных исходов 2, ответ 2/4 = 0, 5.

3. Количество благоприятных исходов 1, ответ ¼ = 0, 25.

4. Количество благоприятных исходов 2, ответ 2/4 = 0, 5.

5. Количество благоприятных исходов 1, ответ ¼ = 0, 25.

1. Устная работа.

Выполните деление: 1:25, 22:25, 47:50, 9:20, 11/20

1. Презентация.

1 слайд: Теория вероятностей в задачах ЕГЭ

2 слайд:

Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равна

m–число благоприятных исходов,

n — число всех возможных исходов.

3 слайд:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(А) = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

4 – 12 слайд: Задачи

1. Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 8 с капустой
   и 3 с вишней. Петя наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

2. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 60 билетов, Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 10 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Коля. Найдите вероятность того, что Коле достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу,
   четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу
   в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена
   из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 100 ручек: 37 красных, 8 зелёных,
   17 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной
   или чёрной.

Вариант 2

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 3 с капустой, 8 с рисом
   и 1 с луком и яйцом. Игорь наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с капустой.

2. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 10 чашек: 1 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 18 с машинами и 7 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу,
   шесть неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу
   в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов
   из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,09. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 112 ручек: 17 красных, 44 зелёных,
   29 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной
   или чёрной.

Вариант 3

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 1 с творогом, 12 с мясом
   и 3 с яблоками. Ваня наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с мясом.

2. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 4 чёрных, 3 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 25 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 40 билетов, Оскар не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 8 с машинами и 12 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Вася. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл
   с машиной.

6. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу,
   пять неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу
   в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен
   из Норвегии и 2 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,21. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки, из них 22 красных, 9 зелёных, 41 фиолетовая, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.

Вариант 4

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 5 с рисом
   и 21 с повидлом. Андрей наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с повидлом.

2. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 3 жёлтых и 2 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 15 чашек: 6 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 20 билетов, Андрей не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 15 с машинами и 5 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Витя. Найдите вероятность того, что Вите достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 50 карманных фонариков, поступивших в продажу,
   шесть неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу
   в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен
   из Швеции и 2 спортсмена из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Швеции.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 206 ручек: 20 красных, 8 зелёных,
   12 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной
   или синей.

Вариант 5

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 3 с мясом, 3 с капустой
   и 4 с вишней. Саша наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

2. В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 3 чёрных, 9 жёлтых и 18 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 20 чашек: 14 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 3 с машинами и 7 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Миша. Найдите вероятность того, что Мише достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, восемнадцать неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена
   из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 200 ручек: 31 красная, 25 зелёных,
   38 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной
   или чёрной.

Вариант 6

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 5 с капустой
   и 6 с вишней. Дима наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

2. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрная, 1 жёлтая и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 10 чашек: 3 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 20 билетов, Саша не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 2 с машинами и 8 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Андрюша. Найдите вероятность того, что Андрюше достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу,
   четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу
   в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов
   из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,22. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 165 ручек: 37 красных, 16 зелёных,
   46 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет синей или чёрной.

Вариант 7

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 2 с мясом, 16 с капустой
   и 2 с вишней. Рома наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

2. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 3 чёрных, 3 жёлтых и 14 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 15 чашек: 9 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 25 билетов, Костя не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 11 с машинами и 9 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Илюша. Найдите вероятность того, что Илюше достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 75 карманных фонариков, поступивших в продажу,
   пятнадцать неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена
   из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,07. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 264 ручки: 38 красных, 30 зелёных,
   8 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной.

Вариант 8

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 5 с мясом, 2 с капустой
   и 3 с вишней. Андрей наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

2. В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 6 чёрных, 3 жёлтых и 21 зелёная. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 25 чашек: 2 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 30 билетов, Серёжа не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 6 с машинами и 14 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, пятнадцать неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов
   из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,11. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 272 ручки: 11 красных, 37 зелёных,
   26 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет зелёной
   или синей.

Вариант 9

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 3 с мясом, 24 с капустой
   и 3 с вишней. Лёша наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

2. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 2 чёрных, 2 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 20 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 24 с машинами и 1 с видом города. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Андрюша. Найдите вероятность того, что Андрюше достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу,
   десять неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу
   в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена
   из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,13. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 144 ручки: 30 красных, 24 зелёных,
   18 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет синей или чёрной.

Вариант 10

1. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 7 с мясом, 17 с капустой
   и 6 с вишней. Женя наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

2. В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 1 чёрная, 9 жёлтых и 20 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3. У бабушки 20 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. На экзамене 50 билетов, Сеня не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи
   с окончанием учебного года, из них 14 с машинами и 6 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с машиной.

6. В среднем из 75 карманных фонариков, поступивших в продажу,
   пятнадцать неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

7. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов
   из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

8. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,29. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

9. В магазине канцтоваров продаётся 138 ручек: 34 красных, 23 зелёных,
   11 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной.

Ответы к самостоятельной работе

6. Подведение итогов

7. Комментирование домашнего задания.

infourok.ru

Разбор и решение задания №9 ОГЭ по математике

---

Статистика и вероятности

---

Рассмотрим типовые задания 9 ОГЭ по математике. Тематика 9 задания — статистика и вероятности. Задание не является трудным даже для человека, не знакомого с теорией вероятностей или статистикой.

Обычно нам предлагается набор вещей — яблок, конфет, чашек или чего угодно различающихся цветом или другим качеством. Нам необходимо оценить вероятность попадания одного из класса вещей одному человеку. Задача сводится к вычислению общего количества вещей, а затем делению числа вещей необходимого класса на общее количество.

Итак, перейдем к рассмотрению типовых вариантов.

---

Разбор типовых вариантов задания №9 ОГЭ по математике

---

Первый вариант задания

У бабушки 20 чашек: 6 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение:

Как было сказано выше, найдем общее число чашек — в данном случае это известно по условию — 20 чашек. Нам необходимо найти число синих чашек:

20 — 6 = 14

Теперь мы можем найти вероятность:

14 / 20 = 7 / 10 = 0,7

Ответ: 0,7

---

Второй вариант задания

В магазине канцтоваров продаётся 138 ручек, из них 34 красные, 23 зелёные, 11 фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или чёрная ручка.

Решение:

Найдем вначале число черных ручек, для этого из общего числа вычитаем все известные цвета и делим на два, так как синих и чёрных ручек поровну:

(138 — 34 — 23 — 11) / 2 = 35

После этого можем найти вероятность, сложив количество чёрных и красных, разделив на общее количество:

(35 + 34) / 138 = 0,5

Ответ: 0,5

---

Третий вариант задания

В фирме такси в данный момент свободно 12 машин: 1 чёрная, 3 жёлтых и 8,зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение:

Найдем общее число машин:

1 + 3 + 8 = 12

Теперь оценим вероятность, разделив количество желтых на общее число:

3 / 12 = 0,25

Ответ: 0,25

---

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.

Решение:

Классическая задача по теории вероятностей. В нашем случае удачный исход — это пирожок с яблоком. Пирожков с яблоками 3, а всего пирожков:

4 + 8 + 3 = 15

Вероятность того, что попадется пирожок с яблоками — это количество пирожков с яблоками, деленное на общее количество:

3 / 15 = 0,2 или 20%

Ответ: 0,2

---

Четвертый вариант задания

Вероятность того, что новый принтер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит два года или больше, равна 0,88. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но не меньше года.

Решение:

Введем обозначения событий:

X – принтер прослужит «больше 1 года»;

Y – принтер прослужит «2 года или больше»;

Z – принтер прослужит «не менее 1 года, но меньше 2-х лет».

Анализируем. События Y и Z независимы, т.к. исключают друг друга. Событие X произойдет в любом случае, т.е. и при наступлении события Y, и наступлении события Z. Действительно, «больше 1 года» означает и «2 года», и «больше 2-х лет», и «меньше 2-х лет, но не менее 1 года».

Если так, то событие X можно считать суммой событий, и тогда на основании теоремы о сложении вероятностей запишем:

Р(X)=Р(Y)+Р(Z).

По условию вероятность события Х (т.е. «больше года») равно 0,95, события Y (т.е. «2 года и больше») – 0,88.

Подставим в формулу числовые данные:

0,95=0,88+Р(Z)

Получаем:

Р(Z)=0,95–0,88=0,07

Р(Z) – искомое событие.

Ответ: 0,07

---

Пятый вариант задания

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

Решение:

Для расчета вероятности используем классическую ее формулу:

где m – кол-во благоприятных исходов для искомого события, n – общее кол-во всех возможных исходов.

Одна из девочек (которая села первой) занимает стул произвольно. Значит, для другой имеется 9-1=8 стульев, чтобы сесть. Т.е. кол-во всех возможных вариантов событий равно n=8.

Другая девочка должна занять один из 2-х стульев, соседствующих со стулом первой. Только такая ситуация может считаться благоприятным исходом события. Значит, кол-во благоприятных исходов составляет m=2.

Подставляем данные в формулу для расчета вероятности:

Ответ: 0,25

spadilo.ru

Презентация по математике 9 класс ОГЭ «Теория вероятности»

ГИА   « * Теория вероятностей »

Магометова Х. Н. учитель математики

МБОУ СОШ №1 с.Кизляр

2017г.

№ 1  Стас выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

• РЕШЕНИЕ: Трехзначных чисел от 100 до 999  999 — 99 = 900  999 / 48 ≈ 20 чисел, которые делятся на 48 р(А) = 20 / 900 = 0,02 Ответ: 0,02

№ 2  Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 4 или 7.

• РЕШЕНИЕ: Всего исходов 6 * 6 = 36  Сумма 4 : 1+3, 2+2, 3+1 3 исхода Сумма 7: 6+1, 5+2 , 4+3, 3+4 , 2+5, 1+5 6 исходов Благоприятных исходов 3+6=9 р(А) = 9 / 36 = 0,25 Ответ: 0,25

№ 3  На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

• РЕШЕНИЕ: Билетов 20 Выучил 20 — 3 = 17 билетов р(А) = 17 / 20 = 0,85 Ответ: 0,85

№ 4  В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.

• РЕШЕНИЕ: Количество исходов 2 3  = 8 Благоприятных исходов 3 ( 1 и 2 раз выпадет орел, 2 и 3 раз выпадет орел, 1 и 3 раз выпадет орел) р(А) = 3 / 8 = 0,375 Ответ: 0,375

№ 5  Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.

• РЕШЕНИЕ: Всего исходов 6*6 = 36. Благоприятные исходы 1 +1, 1 +2, 1 +3, 1+ 4, 1+ 5, 1 +6, 2+ 1, 2 +2, 2+ 3, 2 +4 , 2+ 5, 2+ 6, 3+ 1, 3 +2, 3 +3 , 3+ 4, 3+ 5, 3+ 6, 4 +1, 4 +2, 4 +3, 5 +1, 5+ 2, 5+ 3, 6+ 1, 6+ 2, 6+ 3. Благоприятных исходов 27 р(А) = 27/36 = 0,75 Ответ: 0,75

№ 6  Коля выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 34.

• РЕШЕНИЕ: Трехзначных чисел от 100 до 999  999 — 99 = 900  999 / 34 ≈ 29 чисел, которые делятся на 34 р(А) = 29 / 900 = 0,03 Ответ: 0,03

№ 7  Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.

• РЕШЕНИЕ: Всего исходов 6 * 6 = 36. Благоприятные исходы: 1+ 5, 2+ 5, 3 +5, 4 +5, 5+ 5, 5+ 1, 5 +2, 5+ 3, 5+ 4. Благоприятных исходов — 9  р(А) = 9 / 36 = 0,25. Ответ: 0,25

№ 8  На экзамене 40 билетов, Валера не выучил 10 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет

• РЕШЕНИЕ: Всего 40 билетов Выучил 40 — 10 = 30 билетов р(А) = 30 / 40 = 0,75 Ответ: 0,75

№ 9  Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечётное число очков.

• РЕШЕНИЕ: Всего исходов 6 Благоприятных исходов 3 (1,3,5 очков) р(А) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0,5 Ответ: 0,5

№ 10  Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Пете не выпадет

• РЕШЕНИЕ: всего 5 человек без Пети 4 р(А) = 4 / 5 = 0,8 Ответ: 0,8

№ 11  Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орёл. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?

• РЕШЕНИЕ: р(А) = 532 / 1000 = 0,532 р(В) = 1 — 0,532 = 0,468 0,532 — 0,468 = 0,064 Ответ: 0,064

№ 12  Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел чётна.

• РЕШЕНИЕ: Всего исходов 6 * 6 = 36. Благоприятные исходы: 1+ 5, 1+3, 1+1, 2+ 2, 2+4, 2+6, 3+1, 3+3, 3+5, 4+2, 4+4, 4+6, 5+1, 5+3, 5+5, 6+2, 6+4, 6+6  Благоприятных исходов 18  р(А) = 18 / 36 = 0,5 Ответ: 0,5

№ 13  На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

• РЕШЕНИЕ: Всего 20 билетов Выучил 20 — 2 = 18 билетов р(А) = 18 / 20 = 0,9 Ответ: 0,9

№ 14  Вова выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 95.

• РЕШЕНИЕ: Трехзначных чисел от 100 до 999  999 — 99 = 900  999 / 95 ≈ 10 чисел, которые делятся на 95 р(А) = 10 / 900 = 0,01 Ответ: 0,01

№ 15  На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

• РЕШЕНИЕ: Всего 25 билетов Выучил 25 — 6 = 19 билетов р(А) = 19 / 25 = 0,76 Ответ: 0,76

№ 16  Андрей выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 10.

• РЕШЕНИЕ: Трехзначных чисел от 100 до 999  999 — 99 = 900  999 / 10 ≈ 99 чисел, которые делятся на 10 р(А) = 99 / 900 = 0,11 Ответ: 0,11

№ 17  Андрей выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 33.

• РЕШЕНИЕ: Трехзначных чисел от 100 до 999  999 — 99 = 900  999 / 33 ≈ 30 чисел, которые делятся на 33 р(А) = 30 / 900 = 0,03 Ответ: 0,03

№ 18  На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

• РЕШЕНИЕ: Всего 20 билетов Выучил 20 — 4 = 16 билетов р(А) = 16 / 20 = 0,8 Ответ: 0,8

№19  Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

• РЕШЕНИЕ: Всего исходов 6*6 = 36. Благоприятные: 1+ 1, 1 +2, 1+ 3, 1 +4, 1+ 5, 1+ 6, 2+ 1, 2 +2, 2+3, 2 +4 , 2+ 5, 2+ 6, 3+ 1, 3+ 2, 3+ 3 , 3+ 4, 3+ 5, 3+ 6, 4 +1, 4 +2, 4+ 3, 5+ 1, 5 +2, 5+3, 6+ 1, 6+ 2, 6+ 3. Благоприятных исходов 27. р(А) = 27 / 36 = 0,75.  Ответ: 0,75

№ 20  На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 5 с рисом и 21 с повидлом. Андрей наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с повидлом.

Всего пирожков 4 + 5 + 21 = 30 С повидлом 21

р(А) = 21 / 30 = 0,7 Ответ: 0,7

№ 21  В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Валя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Валя не найдёт приз в своей банке.

• РЕШЕНИЕ: Банок 10 Без приза 9 банок р(А) = 9 / 10 = 0,9 Ответ: 0,9

№ 22  Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало чётное число очков.

• РЕШЕНИЕ: Всего исходов 6 Благоприятных исходов 3 (2,4,6) р(А) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0,5 Ответ: 0,5

multiurok.ru

Презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему: решение задач по теории вероятности. Гиа-2014

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок Решение задач по теории вероятностей. Модель «игральная кость»

Материал данного урока содержит задачи типа В10 ЕГЭ 2012 года и может быть использоваться учителем как на уроках математики в 9-11 классах, так и на факультативных занятиях….

Урок Решение задач по теории вероятностей. Модель «игральная кость»

Материал данного урока содержит задачи  В10 ЕГЭ  2012 и безусловно может использоваться учителем как на уроках математики в 9-11 классах, так и на факультативных занятиях….

Подготовка к ЕГЭ. Решение задач по теории вероятностей.

Презентация содержит решение задач по теории вероятностей. Можно использовать в 11 классе при подготовке к ЕГЭ….

Решение задач по теории вероятностей. Подготовка к ГИА.

В данной презентации содержится подборка задач по теории вероятностей для подготовки к ГИА и ЕГЭ. Материал взят из открытого банка заданий ГИА и ЕГЭ….

Презентация к уроку «Решение задач по теории вероятностей»

Этот материал поможет в подготовке к итоговой аттестации за курс основной школы, а также будет полезным при подготовке к ЕГЭ по математике….

Подготовка к ГИА «Решение задач по теории вероятностей»

В презентация «Решение задач по теории вероятностей» представлены различные типы задач, встречающихся в вариантах  ГИА, а также задачи в двух вариантах для самостоятельного решения с ответа…

Разработка урока – практикума по алгебре в 9 классе по теме: «Применение комбинаторики при решении задач по теории вероятностей»

Разработка урока повторения изученного материала по комбинаторике и теории вероятностей….

nsportal.ru

«Решение задач по теории вероятностей. ОГЭ — 2015.»

Решение задач по теории вероятности

ГИА-2014

Крицкая Елена Николаевна

ГБОУ СОШ №426 горда Москвы

№ 132821

• Андрей выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 33.

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно количество трёхзначных чисел, делящихся на 33, разделить на количество всех трёхзначных чисел.

Как вычислить количество всех трёхзначных чисел?

Первое трёхзначное число 100, последнее — 999.

Всего 900.

Все числа, которые делятся на 33, можно задать формулой 33 N , где N – целое число. Найдем, сколько таких чисел. Для этого решим неравенство:

Итак, всего таких чисел 27.

Вероятность равна 27:900=0,03 .

Ответ: 0,03

Андрей выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 10.

№ 13282 5

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно количество трёхзначных чисел, делящихся на 10 разделить, на количество всех трёхзначных чисел.

Как вычислить количество всех трёхзначных чисел?

Первое трёхзначное число 100, последнее — 999.

Всего 900.

Все числа, которые делятся на 10 , можно задать формулой 10N , где N – целое число. Найдем, сколько таких чисел. Для этого решим неравенство:

Итак, всего таких чисел 90 .

Вероятность равна 90 :900=0, 1 .

Ответ: 0, 1 .

№ 132823

• Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.

Решение.

Как вычислить количество всех трёхзначных чисел?

Первое трёхзначное число 100, последнее — 999.

Всего 900.

Все числа, которые делятся на 4 можно, задать формулой 4 N , где N – целое число. Найдем, сколько таких чисел. Для этого решим неравенство:

Итак, всего таких чисел 249:24=225.

Вероятность равна 225:900=0,25 .

Ответ: 0,25.

№ 132827

Коля выбирает трехзначное число.

Найдите вероятность того, что оно делится на 93.

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно количество трёхзначных чисел, делящихся на 93, разделить на количество всех трёхзначных чисел.

Как вычислить количество всех трёхзначных чисел?

Первое трёхзначное число 100, последнее — 999.

Всего 900.

Все числа, которые делятся на 93, можно задать формулой 93 N , где N – целое число. Найдем, сколько таких чисел. Для этого решим неравенство:

Итак, всего таких чисел 9.

Вероятность равна 9:900=0,01 .

Ответ: 0,01.

№ 132873

Телевизор у Марины сломался и показывает только один случайный канал. Марина включает телевизор. В это время по восьми каналам из сорока показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Марина попадет на канал, где комедия не идет.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество каналов, по которым комедия не идёт, разделить на общее количество каналов.

40-8=32 канала, по которым комедия не идёт.

Всего 40 каналов.

Вероятность равна 32:40=0,8 .

Ответ: 0,8.

№ 132877

Телевизор у Любы сломался и показывает только один случайный канал. Люба включает телевизор. В это время по двадцати пяти каналам из пятидесяти показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где комедия не идет.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество каналов, по которым комедия не идёт, разделить на общее количество каналов.

50-25=25 канала, по которым комедия не идёт.

Всего 50 каналов.

Вероятность равна 25:50=0,5 .

Ответ: 0,5.

№ 132909

Телевизор у Васи сломался и показывает только один случайный канал. Вася включает телевизор. В это время по одному каналу из двадцати одного показывают новости. Найдите вероятность того, что Вася попадет на канал, где новости не идут.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество каналов, по которым новости не идут, разделить на общее количество каналов.

21-1=20 каналов, по которым новости не идут.

Всего 21 канал.

Вероятность равна 20:21=

Ответ:

№ 132937

На тарелке 10 пирожков: 3 с мясом, 3 с капустой и 4 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество пирожков с вишней разделить на общее число пирожков.

Вероятность равна 4:10=0,4.

Ответ: 0,4.

№ 132947

На тарелке 30 пирожков: 7 с мясом, 17 с капустой и 6 с вишней. Женя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество пирожков с вишней разделить на общее число пирожков.

Вероятность равна 6:30=0,2.

Ответ: 0,2.

№ 132975

На тарелке семнадцать пирожков: 2 с мясом, 4 с капустой и 11 с вишней. Юра наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество пирожков с мясом разделить на общее число пирожков.

Вероятность равна 2:17=

Ответ:

№ 133001

В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 черных, 6 желтых и 6 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно число желтых такси разделить на общее число машин.

Вероятность равна 6:15=0,4.

Ответ: 0,4.

№ 133071

В каждой сотой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей банке.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество банок без приза разделить на общее число банок.

Вероятность равна 99:100=0,99.

Ответ: 0,99.

№ 133039

В фирме такси в данный момент свободно 18 машин: 6 черных, 4 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно число зелёных такси разделить на общее число машин.

Вероятность равна 8:18=

Ответ:

№ 1330 63

В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 3 черных, 5 желтых и 22 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно число зелёных такси разделить на общее число машин.

Вероятность равна 22 : 30 =

Ответ:

№ 1330 81

В каждой шестой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Валя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Валя не найдет приз в своей банке?

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество банок без приза разделить на общее число банок.

Вероятность равна 5 : 6 =

Ответ:

№ 1330 89

Ваня с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать кабинок, из них 3 — синие, 24 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Ваня прокатится в красной кабинке.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество красных кабинок разделить на общее число кабинок.

Вероятность равна

(30-(24+3)):30=0,1.

Ответ: 0,1.

№ 133129

Тема с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе девятнадцать кабинок, из них 6 — синие, 10 — зеленые, остальные — оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Тема прокатится в оранжевой кабинке

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество оранжевых кабинок разделить на общее число кабинок.

Вероятность равна

(19-(6+10)):19=

Ответ:

№ 1331 61

У бабушки 25 чашек: 3 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество чашек с синими цветами разделить на общее число чашек.

Вероятность равна

(25-3):25=22:25=0,88

Ответ: 0,88.

№ 13319 1

У дедушки 17 чашек: 5 с красными звездами, остальные с золотыми. Дедушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с золотыми звездами.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество чашек с золотыми звёздами разделить на общее число чашек.

Вероятность равна

(17-5):17=12:17=

Ответ:

№ 133221

На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество выученных билетов разделить на общее число билетов.

Вероятность равна

(40-8):40=32:40=0,8.

Ответ: 0,8.

№ 133257

На экзамене 60 билетов, Стас не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество выученных билетов разделить на общее число билетов.

Вероятность равна

(60-6):60=54:60=0,9.

Ответ: 0,9.

№ 133311

Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 11 с машинами и 9 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Илюше достанется пазл с машиной.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество пазлов с машинами разделить на общее число пазлов.

Вероятность равна

9:20=0,45.

Ответ: 0,45.

№ 133319

Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество пазлов с машинами разделить на общее число пазлов.

Вероятность равна

21:25=0,84.

Ответ: 0,84.

№ 133387

В среднем на 75 карманных фонариков приходится девять неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество работающих фонариков разделить на общее число фонариков.

Вероятность равна

(75-9):75=0,88.

Ответ: 0,88.

№ 133481

В среднем из каждых 150 поступивших в продажу аккумуляторов 120 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно количество аккумуляторов, которые не работают разделить на общее число аккумуляторов.

Вероятность равна

(150-120):150=30:150=0,2.

Ответ: 0,2.

№ 132561

Андрей наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 5.

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно количество двузначных чисел, оканчивающихся на 5, разделить на количество всех двузначных чисел.

Как вычислить количество всех двузначных чисел?

Первое двузначное число 10, последнее — 99.

Всего 99-9=90.

Все числа, которые оканчиваются на 5, можно задать формулой 10 N+5 , где N – целое число. Найдем, сколько таких чисел. Для этого решим неравенство:

Итак, всего таких чисел 9 .

Вероятность равна 9 :90=0, 1 .

Ответ: 0, 1 .

№ 133565

Витя наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно начинается на 9.

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно количество двузначных чисел, которые начинаются на 9, разделить на количество всех двузначных чисел.

Как вычислить количество всех двузначных чисел?

Первое двузначное число 10, последнее — 99.

Всего 99-9=90.

Существует 10 чисел, которые начинаются на 9 (90, 91, 92,…,99).

Вероятность равна 10:90=

Ответ:

№ 132565

Леша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 0.

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно количество двузначных чисел, оканчивающихся на 0, разделить на количество всех двузначных чисел.

Как вычислить количество всех двузначных чисел?

Первое двузначное число 10, последнее — 99.

Всего 99-9=90.

Все числа, которые оканчиваются на 0, можно задать формулой 10 N , где N – целое число. Найдем, сколько таких чисел. Для этого решим неравенство:

Итак, всего таких чисел 9.

Вероятность равна 9:90=0,1

Ответ: 0,1.

kopilkaurokov.ru

Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (9 класс) на тему: Теория вероятности в задачах ОГЭ

Слайд 1

Теория вероятности в задачах ОГЭ (задание 9) по материалам открытого банка задач ОГЭ по математике 2017 года Кильдеева Ирина Владимировна – учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 37» г. Кемерово

Слайд 2

Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания. Вероятность некоторого события А обозначается Р(А) и определяется формулой: где N ( A ) – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A ; N – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Слайд 3

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей : В математике вероятность каждого события оценивают неотрицательным числом, но не процентами !

Слайд 4

Для нахождения вероятности случайного события при проведении некоторого испытания следует найти: 1) число всех возможных исходов данного испытания; 2) количество N ( A ) тех исходов, в которых наступает событие А; 3) частное N ( A )/ N будет равно вероятности события А. Вероятность события А обозначают Р(А). Алгоритм нахождения вероятности случайного события:

Слайд 5

События А и В называются противоположными , если они несовместны и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают символом Ᾱ . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. P(A ) + P( Ᾱ ) = 1 Вероятность противоположного события равна P( Ᾱ ) = 1 – P(A ) Противоположные события

Слайд 6

На эк­за­ме­не 25 би­ле­тов, Сер­гей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет. Решение: Ве­ро­ят­ность бла­го­при­ят­но­го слу­чая — от­но­ше­ние ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к общему ко­ли­че­ству всех исходов. В дан­ной за­да­че бла­го­при­ят­ным слу­ча­ем яв­ля­ет­ся взя­тие на эк­за­ме­не вы­учен­но­го би­ле­та. Всего бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев 25 − 3 =22 , а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 25. От­но­ше­ние со­от­вет­ствен­но равно Ответ: 0,88.

Слайд 7

Те­ле­ви­зор у Маши сло­мал­ся и по­ка­зы­ва­ет толь­ко один слу­чай­ный канал. Маша вклю­ча­ет те­ле­ви­зор. В это время по трем ка­на­лам из два­дца­ти по­ка­зы­ва­ют ки­но­ко­ме­дии. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Маша по­па­дет на канал, где ко­ме­дия не идет. Решение: Ко­ли­че­ство ка­на­лов, по ко­то­рым не идет ки­но­ко­ме­дий: 20 – 3 = 17 Ве­ро­ят­ность того, что Маша не по­па­дет на канал, по ко­то­ро­му идут ки­но­ко­ме­дии равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства ка­на­лов, по ко­то­рым не идут ки­но­ко­ме­дии к об­ще­му числу ка­на­лов: . Ответ: 0, 85 .

Слайд 8

На та­рел­ке 12 пи­рож­ков: 5 с мясом, 4 с ка­пу­стой и 3 с виш­ней. На­та­ша на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней. Решение: Ве­ро­ят­ность того, что будет вы­бран пи­ро­жок с виш­ней равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства пи­рож­ков с виш­ней к об­ще­му ко­ли­че­ству пи­рож­ков: Ответ: 0,2 5 .

Слайд 9

Решение: Машин желтого цвета 4, всего машин 20 . Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета равна: 2 В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 9 чер­ных, 4 жел­тых и 7 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­ку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к нему при­е­дет жел­тое такси. Ответ: 0,2.

Слайд 10

Решение: Ве­ро­ят­ность того, что по­дой­дет крас­ная ка­бин­ка равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства крас­ных ка­би­нок к об­ще­му ко­ли­че­ству ка­би­нок на ко­ле­се обо­зре­ния. Всего крас­ных ка­би­нок: По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность Миша с папой ре­ши­ли по­ка­тать­ся на ко­ле­се обо­зре­ния. Всего на ко­ле­се два­дцать че­ты­ре ка­бин­ки, из них 5 — синие, 7 — зе­ле­ные, осталь­ные — крас­ные. Ка­бин­ки по оче­ре­ди под­хо­дят к плат­фор­ме для по­сад­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Миша про­ка­тит­ся в крас­ной ка­бин­ке. Ответ: 0,5.

Слайд 11

Решение: Ве­ро­ят­ность того, что чай на­льют в чашку с си­ни­ми цве­та­ми равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства чашек с си­ни­ми цве­та­ми к об­ще­му ко­ли­че­ству чашек. Всего чашек с си­ни­ми цве­та­ми: По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность У ба­буш­ки 20 чашек: 5 с крас­ны­ми цве­та­ми, осталь­ные с си­ни­ми. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цве­та­ми. Ответ: 0,75.

Слайд 12

Решение: Ве­ро­ят­ность по­лу­чить пазл с ма­ши­ной равна от­но­ше­нию числа паз­лов с ма­ши­ной к об­ще­му числу за­куп­лен­ных паз­лов , то есть Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 25 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние года, из них 15 с ма­ши­на­ми и 10 с ви­да­ми го­ро­дов. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом . Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Толе до­ста­нет­ся пазл с ма­ши­ной. Ответ: 0,6.

Слайд 13

Решение: Из каж­дых 80 ак­ку­му­ля­то­ров в сред­нем будет 80 − 76 = 4 не­за­ря­жен­ных. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность ку­пить не­за­ря­жен­ный ак­ку­му­ля­тор равна отношению числа не­за­ря­жен­ных ак­ку­му­ля­то­ров к 80 заряженным, то есть В сред­нем из каж­дых 80 по­сту­пив­ших в про­да­жу ак­ку­му­ля­то­ров 76 ак­ку­му­ля­то­ров за­ря­же­ны. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ный ак­ку­му­ля­тор не за­ря­жен. Ответ: 0,05.

Слайд 14

Решение: Ве­ро­ят­ность по­лу­чить ве­ще­вой вы­иг­рыш равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства ве­ще­вых вый­грышей к об­ще­му ко­ли­че­ству вый­гры­шей В де­неж­но-ве­ще­вой ло­те­рее на 100 000 би­ле­тов разыг­ры­ва­ет­ся 1300 ве­ще­вых и 850 де­неж­ных вы­иг­ры­шей. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность по­лу­чить ве­ще­вой вы­иг­рыш? Ответ: 0,013.

Слайд 15

Решение: Из 900 карт ис­прав­ны 900 − 54 = 846 шт. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная флеш -карта при­год­на для за­пи­си равна: Из 900 новых флеш -карт в сред­нем 54 не при­год­ны для за­пи­си. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная флеш -карта при­год­на для за­пи­си? Ответ: 0,94.

Слайд 16

Решение: Всего в ко­роб­ке 14+6=20 па­ке­ти­ков. Ве­ро­ят­ность того, что Павел вы­та­щит па­ке­тик с зелёным чаем равна 0,3. В ко­роб­ке 14 па­ке­ти­ков с чёрным чаем и 6 па­ке­ти­ков с зелёным чаем. Павел на­у­гад вы­ни­ма­ет один па­ке­тик. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что это па­ке­тик с зелёным чаем? Ответ: 0,3.

Слайд 17

Решение: Всего спортс­ме­нов 11 + 6 + 3 = 20 че­ло­век. 11 спортс­ме­нов из Рос­сии. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Рос­сии равна 0,55. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 11 спортс­ме­нов из Рос­сии, 6 спортс­ме­нов из Нор­ве­гии и 3 спортс­ме­на из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Рос­сии. Ответ: 0,55.

Слайд 18

Решение: Всего спортс­ме­нов 11 + 6 + 3 = 20 че­ло­век. Спортс­ме­нов не из Рос­сии 6+3=9. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Рос­сии равна 0,45. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 11 спортс­ме­нов из Рос­сии, 6 спортс­ме­нов из Нор­ве­гии и 3 спортс­ме­на из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии. Ответ: 0,45.

Слайд 19

Решение: Исправных лампочек 1000 — 5 = 995. Ве­ро­ят­ность того, что лампочка будет исправной равна отношению исправных лампочек к общему количеству лампочек 0,995. Из каж­дых 1000 элек­три­че­ских лам­по­чек 5 бра­ко­ван­ных. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность ку­пить ис­прав­ную лам­поч­ку? Ответ: 0,995.

Слайд 20

Решение: Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Среди пяти детей одна де­воч­ка. По­это­му ве­ро­ят­ность равна 0,2. Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет де­воч­ка . Ответ: 0,2.

Слайд 21

Решение: Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Бла­го­при­ят­ными слу­ча­ями яв­ля­ют­ся 3 слу­чая, когда игру на­чи­на­ет Петя, Игорь или Антон, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев (всего детей) 6 . По­это­му ис­ко­мое от­но­ше­ние равно 0,5. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, По­ли­на бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет маль­чик. Ответ: 0,5.

Слайд 22

Решение: Ве­ро­ят­ность того, что пакет мо­ло­ка про­те­ка­ет равна 0,5. Событие « пакет мо­ло­ка не течёт» является противоположным. Его вероятность равна 1 — 0,05 = 0,95 Из 1600 па­ке­тов мо­ло­ка в сред­нем 80 про­те­ка­ют. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный пакет мо­ло­ка не течёт ? Ответ: 0,95.

Слайд 23

Решение: Всего в со­рев­но­ва­ни­ях участ­ву­ют 3 + 3 + 4 = 10 гим­на­сток. 3 гимнастки из России. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пер­вой будет вы­сту­пать гим­наст­ка из Рос­сии равна 0,3. В со­рев­но­ва­ни­ях по ху­до­же­ствен­ной гим­на­сти­ке участ­ву­ют три гим­наст­ки из Рос­сии, три гим­наст­ки из Укра­и­ны и че­ты­ре гим­наст­ки из Бе­ло­рус­сии. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вой будет вы­сту­пать гим­наст­ка из Рос­сии. Ответ: 0,3.

Слайд 24

Решение: Событие « ручка пишет хо­ро­шо » противоположно событию « ручка пишет плохо (или не пишет )» вероятность которого равна 0,19. Поэтому, ве­ро­ят­ность того, что «ручка пишет хо­ро­шо» равна 1 − 0,19 = 0,81. Ве­ро­ят­ность того, что новая ша­ри­ко­вая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет одну такую ручку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что эта ручка пишет хо­ро­шо. Ответ: 0,81.

Слайд 25

Решение: Найдём ко­ли­че­ство чёрных и синих ручек : (100 – 37 – 8 – 17) : 2 = 19 Ве­ро­ят­ность того, что Алиса вы­та­щит на­у­гад крас­ную или чёрную ручку равна 0,56. В ма­га­зи­не канц­то­ва­ров продаётся 100 ручек, из них 37 – крас­ные, 8 – зелёные, 17 – фи­о­ле­то­вые, ещё есть синие и чёрные, их по­ров­ну. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Алиса на­у­гад вы­та­щит крас­ную или чёрную ручку. Ответ: 0,56.

Слайд 26

Решение: Из 100 фо­на­ри­ков 100 − 8 = 92 ис­прав­ны. Зна­чит , ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ный на­уда­чу в ма­га­зи­не фо­на­рик ока­жет­ся исправным равна 0,92. В сред­нем из 100 кар­ман­ных фо­на­ри­ков, по­сту­пив­ших в про­да­жу, во­семь не­ис­прав­ных. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ный на­уда­чу в ма­га­зи­не фо­на­рик ока­жет­ся ис­пра­вен . Ответ: 0,92.

Слайд 27

Используемые материалы ФИПИ Открытый банк заданий по математике 2017 года http :// 85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=5277E3049BBFA50A46567B64CE413F29&proj_guid=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0

nsportal.ru

Описание презентации по отдельным слайдам:

1
слайд

Описание слайда:

Ключевые задачи по теории вероятностей Подготовка К ОГЭ № 9 МБОУ «Гимназия №4 им. А.С. Пушкина» Автор-составитель: Софина Н.Ю.

2
слайд

Описание слайда:

Основные проверяемые требования к математической подготовке № 9 ОГЭ по математике Решать практические задачи, требующие систематического перебора вариантов; сравнивать шансы наступления случайных событий, оценивать вероятности случайного события, сопоставлять и исследовать модели реальной ситуации с использованием аппарата вероятности и статистики. № 9 – базовое задание. Максимальный балл за выполнение задания — 1.

3
слайд

Описание слайда:

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения Классическое определение вероятности Напомним формулу для вычисления классической вероятности случайного события Р = n m

4
слайд

Описание слайда:

Классическое определение вероятности Пример: Родительский комитет закупил 40 кижек-раскрасок для подарков детям на окончание учебного года. Из них 14 по сказкам А.С. Пушкина и 26 по сказкам Г.Х.Андерсена. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Насте достанется книжка-раскраска по сказкам А.С. Пушкина. Решение: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Ответ: 0, 35.

5
слайд

Описание слайда:

Пример: На экзамен было вынесено 60 вопросов. Иван не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный вопрос. Решение: Здесь n=60. Иван не выучил 3, значит выучил все остальные, т.е. m= 60-3=57. Р=57/60=0,95. Классическое определение вероятности Ответ: 0,95.

6
слайд

Описание слайда:

«Порядок определяется жеребьёвкой» Пример: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные- из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая пятой, окажется из Китая. Решение: В условии задачи есть «волшебное» слово «жребий», значит мы забываем о порядке выступления. Т.о., m= 20-8-7=5 (из Китая); n=20. Р= 5/20 = 0,25. Ответ: 0, 25.

7
слайд

Описание слайда:

Пример: Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов- первые 3 дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между 4-м и 5-м днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора Иванова окажется запланированным на последний день конференции? Решение: Занесём данные в таблицу. Получили, что m=12; n=75. Р=12/75= 0,16. Ответ: 0,16. «Порядок определяется жеребьёвкой» День I II III IV V Всего Число докладов 17 17 17 12 12 75

8
слайд

Описание слайда:

Частота события Точно так же, как и вероятность, находится частота события, задания на которую также есть в прототипах. В чём же отличие? Вероятность- это прогнозируемая величина, а частота- констатация факта. Пример: Вероятность того, что новый планшет в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных планшетов в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Решение: Найдём частоту события: 51/1000=0,051. А вероятность равна 0,045 (по условию).Значит в этом городе событие «гарантийный ремонт» происходит чаще, чем предполагалось. Найдём разницу ∆= 0,051- 0,045= 0,006. При этом, надо учесть, что нам НЕ важен знак разности, а лишь её абсолютное значение. Ответ: 0,006.

9
слайд

Описание слайда:

Задачи с перебором вариантов («монеты», «матчи») Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2k. Пример: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: Варианты выпадения монеты: ОО; ОР; РР; РО. Т.о., n=4. Благоприятные исходы: ОР и РО. Т.е., m= 2. Р=2/4 = 1/2 = 0,5. Ответ: 0,5.

10
слайд

Описание слайда:

Пример: Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер», «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий»? Задачи с перебором вариантов («монеты», «матчи») Решение: Обозначим право владения первой мячом команды «Меркурий» в матче с одной из других трех команд как «Решка». Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка. ; т.е., n=8; m=1. Р=1/8= 0,125. Ответ: 0,125 n = 23 «Марс» «Юпитер» «Уран» О О О О О Р О Р О О Р Р Р О О Р О Р Р Р Р

11
слайд

Описание слайда:

Задачи на «кубики» (игральные кости) Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6k. Пример: Даша дважды бросает игральный кубик. Найдите вероятность того, что сумме у нее выпало 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,14. Решение: В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 2 и 6 6 и 2 3 и 5 5 и 3 4 и 4 m= 5 (5 подходящих комбинаций) n =36 Р= 5/36 = 0,13(8)

12
слайд

Описание слайда:

Независимые события и закон умножения Вероятность нахождения и 1-го, и 2-го, и n-го события находятся по формуле: Р= Р1*Р2*…*Рn Пример: Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,02. Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: 0,8 2 выстрел: 0,8 3 выстрел: 0,8 4 выстрел: 0,2 5 выстрел: 0,2 По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем: Р= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13
слайд

Описание слайда:

Сочетания законов «и» и законов «или» Пример: Офис закупает канцелярию для сотрудников 3 различных фирм. Причём продукция 1-ой фирмы составляет 40% всех поставок, а остальных 2-х- поровну. Выяснилось, что 2% ручек 2-ой фирмы- бракованные. Процент брака в 1-ой и 3-ей фирме соответственно 1% и 3%. Сотрудник А взял ручку из новой поставки. Найдите вероятность того, что она будет исправна. Решение: Продукция 2и 3 фирм составляет (100%-40%):2=30% от поставок. Р(брака)= 0,4· 0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019. Р(исправных ручек) = 1- 0,019 = 0,981. Ответ: 0,981.

М.: 2017. — 48 с.

В предлагаемой книге, состоящей из двух частей,
подробно рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и
математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые
обычно предлагаются в КИМ на ОГЭ. Кроме того, подробно, на примерах излагаются
простейшие понятия комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок,
размещений и сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся
изложение основных положений математической статистики, показаны на примерах
отличия выборочного среднего от моды и медианы и дано пояснение, в каких случаях
какое из этих средних нужно использовать. Назначение пособия — отработка
практических навыков учащихся по подготовке к экзамену (в новой форме) в 9
классе по математике. В сборнике даны ответы на все варианты заданий. Пособие
предназначено учителям и методистам, использующим тесты для подготовки к
Основному государственному экзамену, оно также может быть использовано учащимися
для самоподготовки и самоконтроля.

Формат:
pdf

Размер:
939 Кб

Смотреть, скачать:
drive.google

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4
Часть I. Задачи по теории вероятностей 5
1. Понятие вероятности 5
2. Классическое определение вероятности 6
3. Применение классического определения вероятности 8
3.1. Правило суммы 11
3.2. Правило произведения 12
3.3. Задачи на вычисление вероятностей 17
4. Статистический метод 19
4.1. Статистическое определение вероятности 20
4.2. Задачи на вычисление вероятностей 21
5. Использование комбинаторных чисел 22
5.1. Перестановки без повторений 22
5.2. Задачи, в которых используется формула для числа перестановок без
повторений 24
5.3. Размещения без повторений 25
5.4. Сочетания без повторений 26
5.5. Выбор пары 28
5.6. Дополнительные задачи 31
Часть II. Элементы статистики, таблицы, обработка данных 33
1. Статистические характеристики 33
2. Задачи о среднем арифметическом и медиане 36
3. Выбор статистической характеристики для оценки явления 38
4. Задания на вычисление вероятностей и статистических характеристик 40
Ответы 46

Несмотря на то, что основы теории вероятностей и математической статистики уже
довольно давно преподаются в школах нашей страны, основные понятия и многие
положения этой интересной науки всё ещё остаются недостаточно прочно усвоенными
многими учащимися средней школы. Результаты проведения ОГЭ для учащихся 9-х
классов показывают, что примерно 30% из всех сдававших ОГЭ не справляются с
заданиями по теории вероятностей и(или) по статистике. Более того, некоторые
задачи, предлагавшиеся в ОГЭ и диагностических работах, вызывают определённую
неуверенность у некоторых учителей.
В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные
понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике,
детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМах
на ОГЭ. Кроме этого, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия
комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и
сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных
положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного
среднего от моды и медианы и дано пояснение в каких случаях какое из этих
средних нужно использовать.

В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМ на ОГЭ. Кроме того, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного среднего от моды и медианы и дано пояснение, в каких случаях какое из этих средних нужно использовать.
Назначение пособия — отработка практических навыков учащихся по подготовке к экзамену (в новой форме) в 9 классе по математике. В сборнике даны ответы на все варианты заданий.
Пособие предназначено учителям и методистам, использующим тесты для подготовки к Основному государственному экзамену, оно также может быть использовано учащимися для самоподготовки и самоконтроля.

Примеры.

Телевизор у Марины сломался и показывает только один случайный канал. Марина включает телевизор. В это время по восьми каналам из пятидесяти показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Марина попадет на канал, где комедия не идет.

В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Аргентины, 7 спортсменов из Бразилии, 10 спортсменов из Парагвая и 4 — из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Парагвая.

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Часть I. Задачи по теории вероятностей

1. Понятие вероятности
2. Классическое определение вероятности
3. Применение классического определения вероятности
3.1. Правило суммы
3.2. Правило произведения
3.3. Задачи на вычисление вероятностей
4. Статистический метод
4.1. Статистическое определение вероятности
4.2. Задачи на вычисление вероятностей
5. Использование комбинаторных чисел
5.1. Перестановки без повторений
5.2. Задачи, в которых используется формула для числа перестановок без повторений
5.3. Размещения без повторений
5.4. Сочетания без повторений
5.5. Выбор пары
5.6. Дополнительные задачи
Часть II. Элементы статистики, таблицы, обработка данных

1. Статистические характеристики
2. Задачи о среднем арифметическом и медиане
3. Выбор статистической характеристики для оценки явления
4. Задания на вычисление вероятностей и статистических характеристик
Ответы.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:

Скачать книгу ОГЭ 2017, Математика, Теория вероятностей и элементы статистики, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• ОГЭ 2019, Математика, Сборник экзаменационных тестов, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г.
• ОГЭ 2018, Математика, Сборник экзаменационных тестов, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г.
• ОГЭ 2017, Математика, 9 класс, Сборник экзаменационных тестов, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г.
• ОГЭ 2016, Математика, 9 класс, Сборник экзаменационных тестов, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г., 2016

Следующие учебники и книги.

Теория вероятностей

1. Петя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 50.
2. Петя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 11.
3. На тарелке 10 пирожков: 2 с мясом, 6 с капустой и 2 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
4. На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Вова наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
5. В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 7 черных, 6 желтых и 17 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.
6. В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Петя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Петя не найдет приз в своей банке.
7. Игорь с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать кабинок, из них 3 — синие, 14 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в красной кабинке.
8. Петя с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двенадцать кабинок, из них 3 — синие, 6 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Петя прокатится в красной кабинке.
9. У дедушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Дедушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
10. У бабушки 20 чашек: 4 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
11. На экзамене 50 билетов. Петя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
12. На экзамене 50 билетов. Петя не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
13. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 2 с машинами и 8 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с машиной.
14. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 22 с машинами и 3 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Диме достанется пазл с машиной.
15. В среднем на 100 карманных фонариков приходится семь неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
16. В среднем на 75 карманных фонариков приходится семь неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
17. В среднем из каждых 100 поступивших в продажу аккумуляторов 91 аккумулятор заряжен. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.
18. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 68 аккумулятор заряжен. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.
19. Саша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 6.
20. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало нечетное число очков.
21. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало 1.
22. Одновременно бросают две симметричные монеты. Какова вероятность того, что выпадут орел и решка?
23. Одновременно бросают три симметричные монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?
24. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Петя и Вася. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 7 равных групп. Найдите вероятность того, что Петя и Вася попали в одну группу.
25. Перед началом футбольного матча судья бросают монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть три матча — с командой В, с командой С и с командой D. Найдите вероятность того, что во всех матчах владение мячом первыми будет принадлежать команде А.
26. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Греции, 4 спортсмена из Болгарии, 3 спортсмена из Румынии и 7 — из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяются жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Венгрии.
27. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Дании, 8 спортсменов из Швеции, 4 спортсмена из Румынии и 9 — из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяются жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
28. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.
29. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
30. На экзамене по геометрии школьнику достается одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача на тему «Треугольники», равна 0,5. Вероятность того, что это окажется задача на тему «Окружность» равна 0,25. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
31. На экзамене по геометрии школьнику достается одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача на тему «Окружность», равна 0,45. Вероятность того, что это окажется задача на тему «Углы» равна 0,5. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
32. Стрелок четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.
33. Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишени, а последние два раза промахнулся.
34. Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попал в мишень два раза и один раз промахнулся.
35. Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок попал в мишень два раза и один раз промахнулся.
36. В девятом экономическом классе учатся 24 мальчика и 6 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того, что это будет мальчик?
37. В девятом математическом классе учатся 2 мальчика и 23 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того, что это будет девочка?
38. Вероятность того, что новый компьютер прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
39. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
40. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 25 до 39 делится на 5?
41. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 36 делится на 2?
42. На олимпиаде по химии участников рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 180 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчете выяснилось, что всего было 450 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
43. На олимпиаде по математике участников рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчете выяснилось, что всего было 300 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
44. Вероятность того, что на тесте по физике Петя верно решит больше 11 задач, равна 0,65. Вероятность того, что он верно решит больше 10 задач, равна 0,71. Найдите вероятность того, что Петя верно решит ровно 11 задач.
45. Вероятность того, что на тесте по математике Вася верно решит больше 12 задач, равна 0,7. Вероятность того, что он верно решит больше 11 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что Вася верно решит ровно 12 задач.
46. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 22 пассажиров, равна 0,86. Вероятность того, что окажется меньше 9 пассажиров, равна 0,5. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 9 до 21.
47. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,96. Вероятность того, что окажется меньше 11 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 11 до 20.
48. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
49. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Задача 1.

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 черная, 1 желтая и 8 зеленых.
По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику.
Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Всего машин 10, из них желтых — 1, поэтому искомая вероятность равна P = 1/10 = 0,1.

Ответ: 0,1.

Задача 2.

На экзамене по геометрии школьнику достается одна задача из сборника.
Вероятность того, что это задача по теме «Окружность», равна 0,45. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Площадь», равна 0,25. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к эти двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

P = 0,45+0,25 = 0,7.

Ответ: 0,7.

Задача 3.

В магазине канцтоваров продается 118 ручек
, из них 32 — красные, 39 — зеленые, 7 — фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана зеленая или черная ручка.

32+39+7 = 78 — всего красных, зеленых и фиолетовых ручек. Тогда синих и черных вместе — (118-78) = 40. И так как синих и черных поровну, то 40/2 = 20 — черных ручек. Значит, черных и зеленых вместе 20+39 = 59 ручек.

Тогда, так как всего ручек 118, то искомая вероятность равна P = 59/118 = 1/2 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 4.

В магазине канцтоваров продается 138 ручек
, из них 34 — красные, 23 — зеленые, 11 — фиолетовые, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или черная ручка.

Найдем, сколько в магазине черных ручек.

34+23+11 = 68 — всего красных, зеленых и фиолетовых ручек. Тогда синих и черных вместе — (138-68) = 70. И так как синих и черных поровну, то 70/2 =35 — черных ручек. Значит, черных и красных вместе 34+35 = 69 ручек.

Тогда, так как всего ручек 138, то искомая вероятность равна P = 69/138 = 1/2 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 5.

Телевизор у Светы сломался и показывает только один случайный канал.
Света включает телевизор. В это время по четырем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Света попадет на канал, где комедия не идет.

Комедия не идет по 20-4 = 16 каналам.

Значит, вероятность того, что Света попадет на один из 16 каналов равна P = 16/20 = 4/5 = 0,8.

Ответ: 0,8.

Задача 6.

В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 68 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.

Не заряженных аккумуляторов всего: 80-68 = 12.

Искомая вероятность равна P = 12/80 = 3/20 = 0,15.

Ответ: 0,15.

Задача 7.

В среднем на 50 карманных фонариков приходится два неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

На 50 карманных фонариков приходится 50-2 = 48 исправных.

Поэтому вероятность купить исправный фонарик равна P = 48/50 = 0,96.