Как найти вероятность несовместимых событий

Продолжение статьи «Теория вероятности. Классическое определение».

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Итак, теория.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая  игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем.   Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий:

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:

Вероятность же  суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня  в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате»  по условию равна 0,3. События являются совместными. 

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например,  при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5,  – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если  происходят два независимых события А и В с  вероятностями  соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .

Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.

Несовместимые события – это ситуации, когда одно действие исключает вероятность выполнения другого действия.

• Пример: есть два варианта исхода обстоятельств, взаимоисключающие друг друга. Обозначим их К и К1. У игрока есть монета. Он подбрасывает ее вверх. Вариант К – выпадает решка, вариант К1 – выпадает орел. Естественно, что появиться одновременно обе стороны монеты не могут. Одно событие исключает другое, следовательно, они не могут являться совместимыми.

Теория вероятности: несовместимые события, противоположный исход

Несовместимый ряд просто сформулировать логически. Представим, что у игрока есть лотерейный шарик с шестью числами, написанными на разных сторонах. Любое действие, связанное с ним, обозначим буквой М. В случае броска:

• На шарике выпадает число 3 – М3;
• Появляется любое другое число, кроме 3, М(3).

Есть два варианта исхода. На табло появится 3 или не 3. Варианты – несовместимые и противоположные. Испытание приводит к появлению множества несовместных ситуаций. Из них состоит полная группа. Она формируется из любых двух ситуаций, противоречащих друг другу – М3 и М(3) – появление и не появление тройки. В разных заданиях на базе одинакового объекта могут происходить различные ситуации. Рассмотрим следующий набор комбинаций для шарика:

• М1 – на табло появится единица;
• М2 – двойка;
• М3 – тройка;
• М4 – четверка;
• М5 – пятерка;
• М6 – шестерка.

Все вариации М – несовместные. Если появится одно из чисел, другие не смогут высветиться на табло. При броске какой-либо номер в любом случае появится, поэтому группу можно считать полной.

Задания на вероятность и несовместимое событие – правила решения

Перед началом решения задачи следует повторить несколько правил:

• Сумма итогового количества событий М+К. Это ситуация, которая произойдет при наступлении хотя бы одного из них. Суммирование ряда в текстах заданий связывают союзом «ИЛИ»;
• Согласно правилам суммирования вероятности наступления М, К – несовместимых событий: Р(М)+Р(К) = Р(М+К). В этой формуле Р(М) – показатель вероятности, что произойдет ситуация М. Р(К) – вероятность наступления события К. Они взаимоисключающие;
• Согласно правилам умножения вероятности нескольких независимых событий М и К получается: Р(М)*Р(К) = Р(М+К), где Р(М) – шанс наступления события М, Р(К) – ситуации К. Если произойдет один независимый эпизод К или М, это не исключает возможность наступления второго;
• Произведение итогового количества ситуаций означает, что каждая из перечисленных ситуаций имеет место быть. Для связи таких обстоятельств используется союз «И». Обозначение двух обстоятельств – М*К.

Как правильно определить и решить задачи на несовместимые события: примеры

Задача 1

Марина зашла в магазин. Она собирается приобрести больше 10 товаров. Вероятность этого – 0.75. Шансы на то, что Марина купит 9 предметов – 0.8. Вопрос: Каковы шансы на то, что девочка приобретет ровно 10 товаров?

Событие М – Марина купит больше 9 единиц. Это независимый ряд, состоящий из нескольких несовместимых ситуаций, К – она приобретет больше 10 товаров и Т – ровно 10 предметов. Вероятность Р(М) = Р(К)+Р(Т). В задаче запрашивается Р(Т), следовательно, Р(Т) = Р(М)-Р(К). Р(Т) = 0.8-0.75 = 0.05.

Есть один ответ: Марина купит ровно 10 вещей с вероятностью 0.05.

Задача 2

В игру играют два школьника. Они оба пытаются забить мяч в ворота. Вероятность того, что никто не справится с задачей – 0.08. Каков шанс, что хоть один из них попадет в ворота мячом?

Событие М – один из игроков забивает мяч. Если это сделает первый, значит, у второму не удастся выиграть, или наоборот. Если мяч забьет второй школьник, первый не получит шансов на победу. Событие К – никто не попадет – 0.08. Все вероятности в сумме приравниваются к единице.

Р(М) = 1-Р(К) = 1-0.08 = 0.92.

Шансы на то, что случайный гол школьники не забьют, равен 0.92.

На этой странице вы узнаете

• Как кот может быть одновременно жив и мертв? 
• Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой? 
• Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться. 

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. 

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат. 

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

• выпадет орел;
• выпадет решка. 

Эти два события образуют множество элементарных событий. 

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента. 

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации. 

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран. 

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности. 

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу. 

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие. 

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%. 

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна 
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:  
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ. 

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой. 

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными. 

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие. 

Вероятности появления событий равны. 

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий. 

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. 

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий. 

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка. 

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными. 

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}). 

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1) 

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1. 

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить. 

Объединение и пересечение событий 

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим? 

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий. 

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег. 

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B). 

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям. 

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B). 

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Независимые и зависимые события 

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем. 

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95). 

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга? 

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми. 

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. 

Определим вероятность независимых событий. 

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95. 

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025. 

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”. 

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой. 

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого. 

Но если автоматы стоят  рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого. 

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый. 

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}). 

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}). 

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы. 

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.   

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность. 

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}) 

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1) 

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A). 
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. 
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17 

Задание 3. 
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5 

Задание 4. 
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729 

Задание 5. 
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

Содержание:

1. Операции над вероятностями
2. Вероятность объединения несовместимых событии
3. Вероятность объединения совместимых событии
4. Условные вероятности
5. Независимость случайных событии и правило произведения вероятностей
6. Независимость в совокупности
7. Формула полной вероятности

Операции над вероятностями

Вероятность объединения несовместимых событии

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, k — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию B, несовместимому по отношению к событию А. Пусть n — общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий.

В силу формулы (4.1)

Согласно определению объединения несовместимых событий означает: «имеет место или А, или В». Но число событий, благоприятствующих такому событию, равно m+k, поэтому согласно формуле (4.1)

      (5.1)

На рисунке 20 дана геометрическая интерпретация формулы (5.1), если m, k и n здесь величины площадей нарисованных фигур.

Последнее равенство выражает следующее правило, которое последовательным применением формулы (5.1) может быть распространено на любое конечное число событий:

Вероятность объединения попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

С помощью этого правила мы можем справиться со многими задачами.

Примеры с решением:

Пример 1.

В лотерее выпущено 10 ООО билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 р., 100 — по 100 р., 500 — по 25 р. и 1000 выигрышей по 5 р. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25 р.?

Обозначим события:

А — «выигрыш не менее 25 р.»,

— «выигрыш равен 25 р.»,

— «выигрыш равен 100 р.»,

— «выигрыш равен 200 р.».

Поскольку куплен только один билет, то где события попарно несовместимы, поэтому

Р (А) = 0,05 + 0,01 + 0,001 = 0,061.

Пример 2.

На военных учениях летчик получил задание «уничтожить» 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй — 0,008, в третий — 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

Обозначим события:

А — «склады уничтожены»,

— «попадание в первый склад»,

— «попадание во второй склад»,

— «попадание в третий склад».

Для уничтожения складов достаточно попадания в один из упомянутых трех складов. Поэтому

Пример 3.

Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба? Обозначим события:

А — «появление герба при подбрасывании первой монеты», В — «появление герба при подбрасывании второй монеты». Снова предстоит найти вероятность события . Но в этом случае ибо события А и В совместимы. Поэтому формула (5.1) не применима. Приходится избрать другой путь решения.

Пусть событие — «выпадение герба не состоялось». Ясно, что , ибо при бросании двух монет могут произойти только следующие события:

Событие представляет собой достоверное событие, поэтому

отсюда

Вероятность объединения совместимых событии

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, k — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Допустим, что среди упомянутых m + k событий содержится таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n — общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий, то согласно формуле (4.1)

Запись означает: «произойдет или событие А, или событие Ву или то и другое вместе». Но такому событию благоприятствуют (m + k — ) элементарных событий. Поэтому по формуле (4.1) находим:

Подставляя значение, получим:

       (5.2)

Ясно, что эта формула представляет собой обобщение формулы (5.1). На основании равенства (5.2) формулируем правило:

Вероятность объединения двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Геометрическая интерпретация формулы (5.2) дается на рисунке 21, где m, k, , n представляют величины площадей изображенных фигур.

Примеры с решением:

Пример 1.

Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

Обозначим события:

А — «появление герба при подбрасывании первой монеты»,

В — «появление герба при подбрасывании второй монеты».

Нам надо определить вероятность события Так как А и В — совместимые события, то

Ясно, что Отсюда

Пример 2.

А, В, С — совместимые события. Доказать:

Условные вероятности

Из ящика, в котором белых и b черных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Рассмотрим события:

А — «первый шар белый», В — «второй шар белый». Понятно, что . Какова же вероятность события В?

Если событие А произошло, то среди оставшихся + b — 1 шаров только — 1 белых, поэтому вероятность того, что второй шар белый, . Если же А не произошло, то среди оставшихся шаров белых , поэтому вероятность того, что второй шар белый,  . Мы столкнулись с ситуацией, когда вероятность появления события В зависит от того, произошло или не произошло событие А. В таком случае говорим, что событие В зависит от события А, а вероятность появления события В условная.

Найдем способ вычисления таких вероятностей. Условную вероятность появления события В, если событие А произошло, будем обозначать Р (В/А).

Пусть из n равновозможных событий составляющих пространство Е всех элементарных событий, 

событию А благоприятствуют m событий,

событию В благоприятствуют k событий,

событию благоприятствуют r событий (понятно, что ).

Если событие А произошло, то это означает, что наступило одно из событий благоприятствующих событию А. При этом условии событию В благоприятствуют r и только r событий благоприятствующих (рис. 22). Таким образом,

            (5.3)

Точно так же

На основании этих формул находим:

т. е.

    (5.З’)

На основании (5.3) формулируем правило умножения вероятностей :

Вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Замечание. Формулы (5.3) имеют смысл в том случае, если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда, когда события А и В совместимы.

Примеры с решением:

Пример 1.

В ящике белых и Ь черных шаров. Последовательно вынимаем два шара. Какова вероятность того, что оба они белые?

Обозначим события:

А — «первый шар белый»,

В — «второй шар белый».

Нам надлежит найти Имеем:

Согласно формуле (5.3) находим:

Пример 2.

Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что:

а)    вынуты два валета;

б)    вынуты две карты пиковой масти;

в)    вынуты валет и дама. Обозначим события:

А — «первая карта — валет», В — «вторая карта — валет», С — «первая карта пиковой масти», D — «вторая карта пиковой масти», Е — «вторая карта — дама».

Нам следует найти  По формуле (5.3)

Пример 3.

Доказать:

Независимость случайных событии и правило произведения вероятностей

К понятию независимости случайных событий есть несколько подходов.

Событие В называется независимым от А, если его вероятность не зависит от того, произошло или не произошло событие А, т. е.

Р(В/А) = Р(В) = Р(В/А).

В случае независимости события В от события А из формулы (5.3) получим:

       (5.4)

Сопоставляя формулы (5.3) и (5.4), убеждаемся, что свойство независимости взаимно. Если событие В не зависит от осуществления А, то и А не зависит от осуществления В. На основании (5.4) формулируем правило: Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

На практике, как мы убедимся при рассмотрении примеров, для установления независимости событий обычно пользуются соображениями, основанными на опыте обращения с данными объектами, а не анализом формул.

Доказательство правила (5.4) проводилось на основе соотношений

        (5.5)

т. е. у нас получилось так: если имеет место (5.5), то имеет место и (5.4). Но читателя может интересовать и обратное: следует ли (5.5) из (5.4)? Пусть

Тогда на основании формул

и (5.4) получаем:

т. е. из (5.4) следует (5.5). Таким образом, исходной точкой определения независимости А и В может быть и формула (5.4), т. е. мы можем сказать и так:

События А и В называются независимыми тогда и только тогда, когда имеет место условие

       (5.6)

Однако определение независимости событий на основе (5.5) более близкое к интуитивному воображению.

Важно запомнить: независимые события с положительными вероятностями не являются несовместимыми. Пусть

    (5.7)

Как известно, пересечение несовместимых событий V — невозможное событие. Следовательно, для несовместимых событий

Но тогда в силу (5.6) по крайней мере одно из вероятностей Р (А) или Р (В) должно быть равно нулю. Это противоречит (5.7), а значит, подтверждает факт, что независимые события могут быть совместимы.

Приведем любопытный пример, когда интуитивное понимание независимости событий тоже приводит к формальному соотношению (5.4).

Пусть точка М наудачу бросается в прямоугольник с размерами X и Y, стороны которого параллельны координатным осям. Какова вероятность того, что М попадет в прямоугольник с размерами х и у, стороны которого тоже параллельны координатным осям (рис. 23)? Пусть события:

А — «М попала в полосу шириной х». Разумеется, Р(А) ,

В— «М попала в полосу шириной у». Разумеется, Р(В)

По формуле (4.3) Р («М попала в маленький прямоугольник») но Р(«М попала в маленький прямоугольник») Следовательно,

что и требовалось доказать.

Независимость в совокупности

Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных. Для независимости событий в их совокупности недостаточно, чтобы они были попарно независимы. Приведем такой пример.

Пусть в ящике 4 шара: черный, красный, белый и один пестрый — окрашенный в полоску всеми этими тремя цветами. Обозначим события: после изъятия одного шара видим

А — «черный цвет»,

В — «красный цвет»,

С — «белый цвет»,

тогда

Отсюда

Это значит, что А, В, С попарно независимы. Тем не менее  Значит, в совокупности А, В и С не являются независимыми.

Для независимых в совокупности имеет место

       (5.8)

Примеры с решением:

Пример 1.    

Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления на первой кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?

Обозначим события:

А — «появление нечетного числа очков при бросании первой кости»,

В — «появление пяти очков при бросании второй кости». Нам нужно найти Так как события А и В совместимы и независимы, то   поэтому

Пример 2.    

А, В и С — совместимые и независимые в совокупности события. Доказать, что

Допустим, что  Тогда

Пример 3.    

Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностыо 0,1, зашедшая женщина — с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность того, что по крайней мере одно лицо что-нибудь купит?

Обозначим события:

А — «покупку сделает мужчина»,

— «покупку сделает первая женщина»,

— «покупку сделает вторая женщина».

Если событие С — «по крайней мере одно лицо что-нибудь купит», то По формуле, построенной в примере 2 параграфа 2,

Допуская, что покупатели между собой незнакомы, можем принимать, что — события независимы. Тогда в силу (5.6)

Р (С) = 0,1 + 0,6 + 0,6 – 0,1*0,6 – 0,1*0,6 – 0,6*0,6 + 0,1*0,6*0,6 =0,856.

Пример 4.

Если события А и В независимы, то события А и также независимы.

Действительно, поскольку А и В независимы, то Р(В/А) = Р(В) и

Аналогично убеждаемся, что в случае независимости событий А и В независимыми будут события В и

Предлагаем вам самостоятельно установить, что в этом случае независимыми будут также события

Формула полной вероятности

Пусть требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из независимых событий (рис. 24).

Если А произошло вместе с одним из событий значит, произошло одно из несовместимых событий

Таким образом, событие А представляет или событие или а это означает, что

Поскольку события взаимно несовместимы, то и события

обладают тем же свойством. Поэтому

По формуле (5.3′)

Поэтому

         (5.9)

Равенство (5.9) носит название формулы полной вероятности. С помощью этой формулы легко находим так называемую формулу Бейеса:

     (5.10)

при i = 1, 2, …, n.

Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез. Докажем справедливость формулы Бейеса. По формуле (5.3′)

Из последнего равенства находим:

Подставляя значение Р (А) из формулы полной вероятности (5.9), получаем формулу Бейеса.

Примеры с решением:

Пример 1.

Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом примерно равна 0,4, вторым — 0,5, третьим — 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью, примерно равной 0,2, двумя попаданиями — с вероятностью 0,6, а тремя наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

Рассмотрим несовместимые события

— «промах»,

— «одно попадание»,

— «два попадания»,

— «три попадания».

Пусть

— «попадание с первого выстрела»,

— «попадание со второго выстрела»,

— «попадание с третьего выстрела»,

А — «кабан убит».

Согласно формуле полной вероятности

Вспомнив, что события, противополоясные событиям  обозначаются соответственно имеем:

Поскольку независимы в совокупности и независимы, то

Из условия задачи известно, что отсюда находим  Поэтому

Из условия следует:

Подставляя эти результаты в формулу полной вероятности, получим:

Пример 2.    

Строительная бригада получает железобетонные перекрытия от трех домостроительных комбинатов (ДСК): от I    ДСК — 30%, от II ДСК — 55% и от III ДСК — 15% перекрытий. Известно, что брак продукции I ДСК составляет 5%, II    ДСК — 6%, а III ДСК — 10%. Полученные перекрытия хранятся в общем складе. Наугад для контроля проверенное перекрытие оказалось браком. Какова вероятность того, что бракованное перекрытие изготовлено на I ДСК?

Обозначим события:

А — «наугад проверенное перекрытие — брак»,

— «наугад проверенное перекрытие изготовлено на I ДСК»,

— «наугад проверенное перекрытие изготовлено на II ДСК»,

— «наугад проверенное перекрытие изготовлено на III ДСК».

Нам следует найти по формуле (5.10):

Но по условию задачи

поэтому

Пример 3.    

Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, а один совсем не готовился — понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16 вопросов, удовлетворительно — на 10, и непод-готовившийся — на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

Обозначим события:

— «приглашен ученик, подготовившийся отлично»,

— «приглашен ученик, подготовившийся хорошо»,

— «приглашен ученик, подготовившийся удовлетворительно»,

— «приглашенный ученик к экзаменам не готов»,

А — «приглашенный ученик ответил на 3 вопроса».

Согласно условию задачи

Следует найти

По формуле Бейеса (5.10)

Как видно, искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько дополнительных вопросов.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Содержание:

• Формулировка теоремы сложения вероятностей
• Примеры решения задач

Формулировка теоремы сложения вероятностей

Несколько событий называются несовместными, если никакие из них не могут появиться одновременно в
результате однократного испытания случайного эксперимента.

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий:

$$Pleft(sum_{i=1}^{n} A_{i}right)=sum_{i=1}^{n} Pleft(A_{i}right)$$

Говорят, что события $A_{1}, A_{2}, ldots, A_{n}$ образуют
полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет, хотя бы одно из событий этой группы.

Следствие 1. Если события $A_{1}, A_{2}, ldots, A_{n}$ образуют полную группу несовместных событий, то
сумма их вероятностей равна единице:

$$sum_{i=1}^{n} Pleft(A_{i}right)=1$$

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

$$P(A)+P(overline{A})=1$$

здесь $overline{A}$ – событие, противоположное событию $A$ .

Примеры решения задач