Продолжение статьи «Теория вероятности. Классическое определение».
В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.
Итак, теория.
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.
Сумма событий
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:
Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет 
, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: 
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:
Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).
Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.
Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть
Зависимые и независимые события
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.
Произведение вероятностей
Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:
Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – 
. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: 
.
Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.
Анализ данных • 14 декабря 2022 • 5 мин чтения
Совместные и несовместные события в анализе данных
Аналитики применяют теорию вероятностей, чтобы предсказать развитие бизнеса. Результат расчётов зависит от того, как взаимодействуют события между собой. Расскажем, какие виды событий есть и как посчитать их вероятность.
- Термины, которые используются в статье
- Противоположные события
- Несовместные события
- Совместные события
- Алгебра событий
- Как использовать совместные и несовместные события в анализе данных
- Совет эксперта
Термины, которые используются в статье
Пространство исходов — это множество всех исходов. Оно описывает все возможные варианты того, что может случиться в результате эксперимента. Обозначается буквой омега Ω.
Событие — это подмножество Ω, удовлетворяющее определённым условиям.
Например, «число очков на кубике чётное» — это событие.
Вероятность произвольного случайного события всегда принимает значения от 0 до 1, где 0 — событие невозможно, а 1 — событие точно произойдёт.
Анализ больших данных: зачем он нужен и кто им занимается
Противоположные события
Событие A̅ противоположно событию A, если состоит из тех исходов Ω, которых нет в A.
Из определения противоположных событий следуют два свойства:
● события А и A̅ и образуют всё пространство исходов,
● события А и A̅ не могут произойти одновременно.
Из двух событий А и A̅ наступить может только одно. При этом исходов в каждом событии может быть несколько.
Примеры:
● А = «на кубике выпало кратное 3 число» = {3, 6} и противоположное A̅ = «на кубике выпало не кратное 3 число» = {1, 2, 4, 5}
● A = «в задании с 5 попытками игрок сделал меньше 3 попыток» = {0, 1, 2, 3} и противоположное «в задании с 5 попытками игрок сделал больше 3 попыток = {4, 5}.
Противоположные события — частный случай несовместных событий.
Несовместные события
Несовместные события похожи на противоположные — они тоже не могут произойти одновременно. Появление одного события исключает появление всех остальных, несовместных с ним. Но есть и важное отличие: несовместных событий может быть сколько угодно, не только два.
Пример. Оплатить покупку в онлайн-магазине можно несколькими способами: картой на сайте, наличными при получении, в рассрочку от магазина или в кредит от банка. Все способы доступны, но пользователь должен выбрать только один из них.
Для набора событий А1, А2, … Аn это условие записывают так:
Аi ∩ Аj = Ø для всех
Пример. В некотором ресторане есть только четыре блюда дня: овощная грилата, суп из шампиньонов, салат по-мексикански и сэндвич с тунцом. И каждый день можно выбрать лишь одно из них. Исследователь, который постоянно заказывает еду из этого ресторана, хочет предсказать блюдо дня на завтра. На основе исторических данных он выяснил, что частота появления грилаты составляет ≈ 34%, супа ≈ 12%, салата ≈ 7%, а сэндвича ≈ 47%
На языке теории вероятностей это выглядит так:
● пространство исходов Ω = {грилата, суп, салат, сэндвич} ;
● P(грилата) = 0.34, Р(суп) = 0.12, Р(салат) = 0.07, Р(сэндвич) = 0.47.
В этом примере события образуют полную группу — набор несовместных событий, которые в объединении дают всё пространство исходов Ω.
Совместные события
События А и B называют совместными, если A ∩ B ≠ Ø .
Пример. Производитель корма провёл онлайн-опрос, чтобы узнать, какие питомцы живут у покупателей. Варианты ответа: собака, кошка, хомяк. У 65% есть собаки, 81% с кошками и 15% c хомячками. При этом у 52% респондентов есть и кошка, и собака, а у 9% — хомяк с собакой.
Совместные события, как и несовместные, необязательно дают в объединении всё пространство исходов Ω. В наборе из нескольких событий часть могут быть совместными друг другу, часть — несовместными.
Разные типы событий на диаграммах Эйлера.
Алгебра событий
Правило суммы для противоположных событий: вероятность объединения противоположных событий равна сумме их вероятностей, которая, в свою очередь, равна 1.
P(A) = 1 – P(A̅).
Правило суммы для несовместных событий: вероятность объединения несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Правило суммы для совместных событий: чтобы найти вероятность объединения двух совместных событий, нужно из суммы их вероятностей вычесть вероятность их пересечения.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Формула включений-исключений для трёх событий:
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) +P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ С)
Как использовать совместные и несовместные события в анализе данных
Пример. Поисковый сервис с равной вероятностью размещает рекламный баннер клиента слева от поисковой выдачи, справа или внутри неё. Нужно изучить, как работают алгоритмы. Чему равна вероятность, что из пяти поисковых запросов хотя бы в одном аналитик увидит рекламу слева от поисковой выдачи?
Решение. «Хотя бы один» — маркер того, что проще искать вероятность через обратное событие. Посчитаем вероятность противоположного события:
Тогда вероятность искомого события находится по формуле для противоположных событий:
Пример. Компания предлагает пользователям индивидуальную и семейную подписку на кино и музыку. Известно, что какая-либо подписка есть у клиентов. Сколько клиентов компании не имеют никакой подписки?
Решение. Всех клиентов компании можно поделить на три группы:
● A — есть индивидуальная подписка;
● B — есть семейная подписка;
● C — нет подписки.
В совокупности они образуют полную группу событий. Тогда P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Известно, что клиентов с подпиской 60%, то есть P(A ∪ B) = 0.6 = P(A) + P(B).
Подставляя в формулу выше, получаем P(C) = 0.4 = 40% клиентов без подписки.
Пример. Аналитик изучает источники трафика. В таблице данные по новым пользователям.
Источник трафика для каждой записи только один. context означает, что пользователь пришёл из контекстной рекламы; email — из рассылки на почту; источники None, other и undef не дают подробностей.
На основе этой таблицы аналитик прогнозирует вероятность источника, из которого придёт новый пользователь. Например, доля источника context равна
Это значение и принимают за вероятность. Какая вероятность того, что новый пользователь придёт из источников без подробностей (None, other и undef)?
Решение. Источник трафика может быть только один, поэтому события «пользователь пришёл из данного источника» несовместны. Вероятности можно сложить:
Эти задачи — примеры того, как аналитики применяют теорию вероятностей в своей работе.
В математике главное — практика. Поэтому знание правил лучше закреплять решением задач. Сделать это можно в бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий». В нём более 1000 задач с автоматической проверкой и подробными решениями.
Повторите математику, чтобы решать рабочие задачи
Вспомните проценты, алгебру и другие темы посложнее в бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий».
Совет эксперта
Евгений Григоренко
Учёные придумали рассматривать события, чтобы связать реальность с математикой и строго описать понятие вероятности. На самом деле событие — это математическое обозначение любого возможного явления, для которого интересно оценивать шансы. А/B-тесты не будут преградой, если тренироваться на простых задачах.
Автор курса по математике
Как пересечение и объединение множеств используются в анализе данных
Чем занимается аналитик данных, почему он всем так нужен и как освоить эту профессию
На этой странице вы узнаете
- Как кот может быть одновременно жив и мертв?
- Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой?
- Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?
Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.
Вероятность
Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…
Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться.
Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов.
Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат.
Ученый по имени Эрвин Шредингер провел мысленный эксперимент. Он поместил кота в закрытый ящик, в котором был расположен механизм, содержащий атомное ядро и ёмкость с ядовитым газом.
По эксперименту с вероятностью 0,5 ядро распадется, емкость с газом откроется и кот умрет. Но при этом с вероятностью 0,5 ядро не распадается и кот останется жив.
Пока ящик закрыт, мы не знаем результат эксперимента — такой эксперимент в математике можно назвать случайным. Тем временем кот находится одновременно в двух состояниях: он и жив, и мертв.
Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:
- выпадет орел;
- выпадет решка.
Эти два события образуют множество элементарных событий.
Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента.
В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации.
Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран.
Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности.
Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу.
(P = frac{m}{n})
Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие.
Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.
Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.
Можно, если хитро сформулировать условия. Например: «Орел — я выиграл, решка — ты проиграл». Вероятность выигрыша в этом случае будет равна (P = frac{2}{2} = 1), то есть мы точно выиграем спор.
Однако вероятность не так проста, и даже здесь подготовила ловушку.
В редких случаях есть и третий вариант событий — монетка встанет на ребро. Вероятность такого события составляет (frac{1}{6000}). То есть за миллион бросков это может случиться 150 раз или 1 раз в 2 дня, если подкидывать монету каждый день по 8 часов в течение года. Чтобы монета встала на ребро два раза подряд, придется подбрасывать ее в том же темпе около 35 лет.
Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%.
Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?
Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна
(frac{49}{140} = 0,35)
Выразим в процентах:
0,35 * 100% = 35%
Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ.
Ответ: 0,35
Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой.
(P = frac{m}{n} * 100%)
Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.
Равновозможные и противоположные события
Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными.
Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие.
Вероятности появления событий равны.
Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий.
Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.
В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий.
Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка.
А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными.
Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}).
Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?
)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1)
Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1.
(P(A) + P(overline{A}) = 1)
Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить.
Объединение и пересечение событий
Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим?
Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий.
В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег.
Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B).
Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?
Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям.
Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B).
Несовместные и совместные события
Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.
Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно.
Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого.
Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?
Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности.
Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.
Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий.
Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
(P(A cup B) = P(A) + P(B))
Если существуют несовместные события, то существуют и совместные.
Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого.
В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят? Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет.
Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”.
Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}).
Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})
Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А.
Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги.
А нужно получить вот такую картину:
Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок.
Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:
(P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B))
В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике.
Независимые и зависимые события
Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем.
Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95).
Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?
Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга?
Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми.
Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события.
Определим вероятность независимых событий.
Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95.
А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:
(P(A cap B) = P(A) * P(B))
Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025.
В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”.
Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой.
Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого.
Но если автоматы стоят рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого.
Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?
Нужная последовательность может быть в двух случаях:
- сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
- сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый.
Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые.
Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}).
Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми.
Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}).
В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы.
Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.
Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.
Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.
Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность.
Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило:
(P(A cap B) = P(A) * P(B | A))
Формула Бернулли
Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?
Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}).
Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}).
Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k.
Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли.
(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k})
Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики».
Решим задачу, подставив значения в формулу:
(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1)
Фактчек
- Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
- События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
- События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
- События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A).
- Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.
Проверь себя
Задание 1.
Какие события являются несовместными?
- Подбрасывание монетки.
- Брак батареек в одной упаковке.
- “Миша идет” и “Миша стоит”.
- Случайное вытаскивание конфет из вазы.
Задание 2.
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?
- 0,17
- 1
- 0,83
- 1,17
Задание 3.
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?
- 1
- 0,216
- 0,45
- 1,5
Задание 4.
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут.
- 0,3
- 0,001
- 2,7
- 0,729
Задание 5.
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой.
- 0,77
- 0,135
- 0,23
- -0,23
Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1
Почему в одной ситуации вероятности складываются, в другой – умножаются, а в третьей – вообще всё сложнее ?
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В одном из прошлых материалов, где я рассказывал про доску Гальтона – механическое устройство, которое визуализирует биномиальное распределение, я использовал три незыблемых правила манипулирования вероятностью. В этом материале хотелось бы поговорить об этом подробнее. Поехали!
Что такое событие?
Согласно словарю Ожегова событие – это “то, что произошло, то или иное значительное явление, факт общественной, личной жизни“. Глобально события можно разделить на два вида: детерминированные и вероятностные.
- Первые – это те события, исход которых можно предсказать и описать до факта его совершения. Например, если Вы бросите камень с 9-го этажа, то можете быть уверены, что он упадёт на Землю.
- Вторые – это те, которые даже при одинаковых начальных условиях могут привести к неожиданному или случайному исходу. Классическим примером случайного события является бросок монеты: до того, как монета не упадет, мы можем только предполагать, какой стороной она окажется к верху.
Однако и во втором случае есть место детерминированности. Мы на 100% уверены, что событий может быть только два: “Орёл” или “Решка”.
События “Орёл” и “Решка” образуют т.н. называемую полную группу событий. Математически это можно записать следующим образом:
Есть еще много различных классификаций “событий”, но я позволю остановиться на этом
Несовместные события
Что еще нужно сказать о событиях “Орёл” и “Решка” ? Самое главное – это то, что появление одного из них исключает выпадение другого. В теории вероятностей такие события принято называть несовместными, а в случае двух исходов, как в нашем случае, – противоположными.
Для несовместных событий действует теорема о сложении вероятностей:
- Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
В случае с подбрасыванием монетки это звучит так: вероятность получить или “Орёл” или “Решку” равно сумме вероятностей каждого исхода. Здесь ключевую роль играет союз “ИЛИ”, ведь именно он вербально задаёт несовместимость событий.
Независимые события
Казалось бы, следует перейти к понятию совместного события, однако логика требует иначе. Давайте представим, что мы параллельно подбрасываем две монеты. Зависит ли исход каждого испытания друг от друга?
Да, можно пытаться хитрить, но природу не обманешь….
Очевидно, что нет. Таким образом два события называются независимыми, если появление одного из них, не изменяет вероятность появления другого.
Правило вычисления вероятности независимых событий называется теоремой об умножении вероятностей:
Здесь уже главенствует союз “И” : вероятность наступления и того, и другого события равно произведению вероятностей наступления каждого из них по отдельности (независимые события!).
На конкретном примере вероятность выпадения двух “Орлов” или двух “Решек” при одновременном подбрасывании двух монет равняется 1/2*1/2 = 1/4.
Совместные события
Продолжим подбрасывать параллельно две монеты и попытаемся ответить на вопрос, а чему равна вероятность выпадения хотя бы одного “Орла” или “Решки” ?
- Очевидно, что, если складывать вероятности, то получим 1/2+1/2 = 1, что противоречит здравому смыслу. Ведь легко представить ситуацию, когда мы загадаем “Орла”, а две монеты выпадут “Решкой”.
- Умножение вероятностей так же не работает, ведь мы ищем вероятность хотя бы одного, а не одновременного выполнения событий.
Ответ: совместить два подхода и использовать формулу:
Таким образом, вероятность равняется 1/2+1/2 – 1/2*1/2 = 3/4.
События такого вида называются совместными – возникновение каждого из них не исключает возникновение другого. Естественно, что указанная выше формула распространяется и на произвольное количество событий, разве что будет немного посложнее.
Осталось рассмотреть еще один важный класс событий – зависимые, но это я сделаю в одном из следующих материалов. Спасибо за внимание!
- Ставьте “Нравится” и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.
- TELEGRAM и Facebook – там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Полная вероятность и формула Байеса
- Зависимые события и условные вероятности
- Вероятность совместного появления событий
- Формула полной вероятности
- Формула Байеса
- Примеры
п.1. Зависимые события и условные вероятности
Чтобы вспомнить о сложении и умножении вероятностей и независимых событиях – см. §39 справочника для 9 класса.
Напомним, что два случайных события A и B называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Например: при бросании монеты несколько раз каждый следующий бросок совершенно не зависит от предыдущих.
Два случайных события A и B называют зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или нет другое событие.
Вероятность события B, определенная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью и обозначается (P(B|A)) или (P_A(B)).
Для условных вероятностей справедливы формулы: $$ P(A|B)=frac{P(Awedge B)}{P(B)}, P(B|A)=frac{P(Awedge B)}{P(A)} $$ где (P(Awedge B)) – вероятность совместного появления событий A и B.
Например:
Рассмотрим урну, в которой находится 3 белых и 3 черных шара.
Мы достаем шары, смотрим на их цвет и не возвращаем их на место. События в последовательности становятся зависимыми.
Пусть событие A=”в 1й раз достаем черный шар”,
Событие B=”во 2й раз достаем белый шар”
Событие C=”во 2й раз достаем черный шар”
После того, как произошло событие A, в урне остается 3 белых и 2 черных шара.
Тогда условная вероятность для события B при условии, что событие A произошло:
(P(B|A)=frac35)
Аналогично, условная вероятность для события C:
(P(B|A)=frac25)
п.2. Вероятность совместного появления событий
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло: $$ P(Awedge B)=P(B)cdot P(A|B)=P(A)cdot P(B|A) $$ Это утверждение также называют теоремой умножения вероятностей.
Например:
Продолжая предыдущий пример, вероятность события ((Awedge B)) – 1й раз достали черный шар и 2й раз белый – равна: $$ P(Awedge B)=P(A)cdot P(B|A)=frac12cdot frac35=0,3 $$ Также, напомним:
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: $$ P(Awedge B)=P(A)cdot P(B) $$
Например:
Пусть в урне 3 белых и 3 черных шара. Мы достаем шары, смотрим на их цвет и возвращаем их на место. В последовательности наших действий все события будут независимыми. Каждый раз, вероятность достать белый или черный шар будет равна 1/2. Поэтому, в этом случае вероятность события ((Awedge B)) – 1й раз достали черный шар, а 2й раз белый – равна: $$ P(Awedge B)=P(A)cdot P(B)=frac12cdotfrac12=0,25 $$
п.3. Формула полной вероятности
Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.
Например:
При подбрасывании монеты события A=«получить орла» и B=«получить решку» – несовместные, т.к. одновременно произойти не могут.
В то же время, эти несовместные события A и B образуют пространство элементарных событий или полную группу (Omega=left{B;Bright}), т.к. ничего другого, кроме орла или решки, получить нельзя. Сумма вероятностей (P(A)+P(B)=frac12+frac12=1), как и положено для полной группы.
Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий (B_1,B_2,…,B_k), которые образуют полную группу событий, то вероятность события A определяется по формуле полной вероятности: $$ P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+…+P(B_k)P(A|B_k)=sum_{i=1}^k P(B_i)P(A|B_i) $$
Например:
В 11А и 11Б учится по 35 человек, а в 11В – 30 человек. Будем считать тех, у кого 4 и 5 баллов по алгебре и геометрии, «знатоками математики». Таких учеников в 11А – 10 человек, в 11Б – 7 человек, и в 11В – 3 человека.
Какова вероятность, что произвольно выбранный 11-классник окажется знатоком математики?
Пусть события A=«знаток математики», Bi=«ученик i-го класса», (i=overline{1,3})
Составим таблицу:
| i | Класс | К-во учеников |
(P(B_i)) | К-во знатоков |
(P(A|B_i)) | (P(B_i)cdot P(A|B_i)) |
| 1 | 11A | 35 | 35/100=0,35 | 10 | 10/35=2/7 | 0,1 |
| 2 | 11Б | 35 | 35/100=0,35 | 7 | 7/35=1/5 | 0,07 |
| 3 | 11В | 30 | 30/100=0,3 | 10 | 3/30=1/10 | 0,03 |
| Всего | 100 | 1 | 20 | × | 0,2 |
Получаем полную вероятность (P(A)=sum_{i=1}^3 P(B_i)cdot P(A|B_i)=0,2)
В данном случае ответ можно получить и проще: 20 знатоков на 100 человек дает (P(A)=0,2).
п.4. Формула Байеса
По данному выше определению полной вероятности событие A случается, если происходит одно из событий полной группы (left{B_iright}).
Допустим, что событие A случилось. А какова вероятность, что при этом произошло конкретное событие (B_1inleft{B_iright})? Т.е., нас интересует условная вероятность (P(B_1|A)).
По теореме об умножении вероятностей: $$ P(Awedge B_1)=P(B_1)cdot P(A|B_1)=P(A)cdot P(B_1|A) $$ Откуда: $$ P(B_1|A)=frac{P(B_1)cdot P(A|B_1)}{P(A)} $$ То же самое справедливо для любого события (B_pinleft{B_iright}). Предположение о том, что случилось событие (B_p), называют гипотезой.
Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий полной группы (left{B_iright}) и событие A случилось, то вероятность гипотезы, что при этом случилось событие (B_pinleft{B_iright}), определяется формулой Байеса: $$ P(B_p|A)=frac{P(B_p)cdot P(A|B_p)}{P(A)}=frac{P(B_p)cdot P(A|B_p)}{sum_{i=1}^k P(B_i)P(A|B_i)} $$ Вероятность (P(B_p)) называют априорной вероятностью.
Вероятность (P(B_p|A)) называют апостериорной вероятностью. Случившееся событие A может поменять априорную (предварительную) оценку вероятности события (B_p).
Например:
Продолжим задачу с 11-классниками. Какова вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11Б?
Наши события: A=«знаток математики», B2=«ученик 11Б класса».
Событие A «случилось» – у нас имеется знаток, а событие B2 – это гипотеза про 11Б.
И ответом на поставленный вопрос является вероятность (P(B_2|A)).
Из нашей таблицы: $$ P(B_2)cdot P(A|B_2)=0,07; P(A)=0,2 $$ Получаем: $$ P(B_2|A)=frac{P(B_2)cdot P(A|B_2)}{P(A)}=frac{0,07}{0,2}=0,35 $$ Т.е. 11Б дает 35% всех знатоков математики в этой школе.
Если сравнить апостериорную вероятность (P(B_2|A)=0,35) с априорной вероятностью (P(B_2)=0,35), они равны. Событие A не повлияло на оценку вклада 11Б в интеллектуальный багаж школы, он находится на среднем уровне.
Теперь найдем вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11А: begin{gather*} P(B_1|A)=frac{P(B_1)cdot P(A|B_1)}{P(A)}=frac{0,1}{0,2}=0,5\ P(B_1|A)gt P(B_1) end{gather*} Вклад 11А по факту (апостериорная вероятность 0,5) оказывается большим, чем ожидалось по количеству учеников (априорная вероятность 0,35). 50% знатоков всей школы – из этого класса.
Наконец, найдем вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11В: begin{gather*} P(B_3|A)=frac{P(B_3)cdot P(A|B_3)}{P(A)}=frac{0,03}{0,2}=0,15\ P(B_3|A)lt P(B_3) end{gather*} Вклад 11В по факту (апостериорная вероятность 0,15) оказывается меньшим, чем ожидалось по количеству учеников (априорная вероятность 0,3). Только 15% знатоков всей школы – из этого класса.
п.5. Примеры
Пример 1. Двигатель работает в трех режимах: нормальном (65% времени), форсированном (25% времени) и холостом. Вероятность поломки в каждом из режимов соответственно равна (p_1=0,1; p_2=0,8; p_3=0,05).
а) найдите вероятность поломки двигателя во время работы;
б) двигатель сломался. Какова вероятность, что он в этот момент работал в форсированном режиме?
а) Пусть событие A=«поломка двигателя», Bi – «работа в i-м режиме», (i=overline{1,3})
Необходимо найти полную вероятность (P(A)).
Составим таблицу:
| i | Режим | Часть времени (P(B_i)) |
Вероятность поломки (P(A|B_i)) |
(P(B_i)cdot P(A|B_i)) |
| 1 | Нормальный | 0,65 | 0,1 | 0,065 |
| 2 | Форсированный | 0,25 | 0,8 | 0,2 |
| 3 | Холостой | 0,1 | 0,05 | 0,005 |
| Всего | 1 | × | 0,27 |
Вероятность поломки (полная вероятность): $$ P(A)=sum_{i=1}^3 P(B_i)cdot P(A|B_i)=0,27 $$
б) Событие A=«поломка двигателя» произошло. Гипотеза B2 – «работа в форсированном режиме» при фактической поломке имеет вероятность: $$ P(B_2|A)=frac{P(B_2)cdot P(A|B_2)}{P(A)}=frac{0,2}{0,27}=frac{20}{27}approx 0,741 $$ Апостериорная вероятность (P(B_2|A)approx 0,741) больше априорной вероятности (P(B_2)=0,25).
Ответ: a) 0,27; б) (frac{20}{27}approx 0,741)
Пример 2. В состязании лучников участвуют три стрелка. Вероятность попадания в мишень для каждого из них равна 0,3; 0,5 и 0,7. Один из стрелков стреляет и не попадает. Какова вероятность, что это был:
а) первый стрелок;
б) второй стрелок;
в) третий стрелок;
Пусть событие A=«промах», Bi – «выстрел i-го стрелка», (i=overline{1,3})
Т.к. стрелять мог любой из стрелков (P(B_i)=frac13) для каждого из них.
Чтобы найти вероятность промаха, нужно от 1 отнять вероятность попадания.
Составим таблицу:
| i | (P(B_i)) | Вероятность промаха (P(A|B_i)) |
(P(B_i)cdot P(A|B_i)) |
| 1 | (frac13) | 1-0,3=0,7 | (frac13cdot 0,7=frac{7}{30}) |
| 2 | (frac13) | 1-0,5=0,5 | (frac13cdot 0,5=frac{1}{6}) |
| 3 | (frac13) | 1-0,7=0,3 | (frac13cdot 0,3=frac{1}{10}) |
| ∑ | 1 | × | 0,5 |
Полная вероятность: $$ P(A)=sum_{i=1}^3 P(B_i)cdot P(A|B_i)=frac{7}{30}+frac16+frac{1}{10}=0,5 $$ Промах произошел. Находим апостериорные вероятности для каждого стрелка: begin{gather*} P(B_1|A)=frac{P(B_1)cdot P(A|B_1)}{P(A)}=frac{7/30}{0,5}=frac{7}{15}approx 0,467\ P(B_2|A)=frac{P(B_2)cdot P(A|B_2)}{P(A)}=frac{1/6}{0,5}=frac{2}{3}approx 0,333\ P(B_3|A)=frac{P(B_3)cdot P(A|B_3)}{P(A)}=frac{1/10}{0,5}=frac{1}{5}=0,2\ end{gather*} С точки зрения практической, можно сказать, что «вероятнее всего», это был первый стрелок.
Ответ: a) (frac{7}{15}); б) (frac{1}{3}); в) (frac{1}{5})
Пример 3. Три фрилансера на площадке выполняют заказы в отношении по количеству 3:4:3. Доля успешно выполненных заказов для каждого из них составляет 98%, 95% и 90%.
а) найдите вероятность успешного выполнения заказа на площадке;
б) найдите вероятность неуспеха на площадке;
в) кто из фрилансеров, вероятнее всего, виноват в неуспешной работе?
Пусть событие A=«успех», Bi – «работа i-го фрилансера», (i=overline{1,3})
Составим таблицу успешной деятельности:
| i | (P(B_i)) | Вероятность успеха (P(A|B_i)) |
(P(B_i)cdot P(A|B_i)) |
| 1 | 0,3 | 0,98 | 0,294 |
| 2 | 0,4 | 0,95 | 0,38 |
| 3 | 0,3 | 0,9 | 0,27 |
| ∑ | 1 | × | 0,944 |
Вероятность успешного выполнения (полная вероятность): $$ P(A)=sum_{i=1}^3 P(B_i)cdot P(A|B_i)=0,944 $$ б) Вероятность неуспеха (противоположное событие): $$ P(overline{A})=1-P(A)=1-0,944=0,056 $$ в) Составим таблицу неуспешной деятельности:
| i | (P(B_i)) | Вероятность неуспеха (P(overline{A}|B_i)) |
(P(B_i)cdot P(overline{A}|B_i)) |
| 1 | 0,3 | 1-0,98=0,02 | 0,006 |
| 2 | 0,4 | 1-0,95=0,05 | 0,02 |
| 3 | 0,3 | 1-0,9=0,1 | 0,03 |
| ∑ | 1 | × | 0,056 |
Апостериорные вероятности для каждого из фрилансеров: begin{gather*} P(B_1|overline{A})=frac{P(B_1)cdot P(overline{A}|B_1)}{P(overline{A})}=frac{0,006}{0,056}=frac{3}{28}approx 0,107\ P(B_2|overline{A})=frac{P(B_2)cdot P(overline{A}|B_2)}{P(overline{A})}=frac{0,02}{0,056}=frac{5}{14}approx 0,357\ P(B_3|overline{A})=frac{P(B_3)cdot P(overline{A}|B_3)}{P(overline{A})}=frac{0,03}{0,056}=frac{15}{28}approx 0,536 end{gather*} Наибольшая вероятность неуспеха – у третьего фрилансера.
Ответ: а) 0,944; б) 0,056; в) третий фрилансер.
Пример 4. Докажите, что если полная вероятность события A равна $$ P(A)=sum_{i=1}^k P(B_i)cdot P(A|B_i) $$ то вероятность противоположного события равна (P(overline{A})=1-P(A)).
По условию событие A происходит только при выполнении одного из событий полной группы (left{B_iright}. i=overline{i,k}). Соответственно, противоположное событие (overline{A}) также происходит при выполнении одного из событий (B_i). При этом условная вероятность для противоположного события: $$ P(overline{A}|B_i)=1-P(A|B_i) $$ Заметим также, что для полной группы сумма вероятностей равна 1: begin{gather*} sum_{i=1}^k P(B_i)=1 end{gather*} Получаем: begin{gather*} P(overline{A})=sum_{i=1}^k P(B_i)cdot P(overline{A}|B_i)=sum_{i=1}^k P(B_i)cdot (1-P(A|B_i))=\ =sum_{i=1}^k P(B_i)-sum_{i=1}^k P(B_i)cdot P(A|B_i)=1-P(A) end{gather*} Что и требовалось доказать.
